PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA … · adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor b &, ... Pertidaksamaan Pertama, tentukan titik-titik batas,

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X

MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1

Diberikan dua vektor sebagai berikut:

b

Gambarkan vektor a) ba

2 b) ba

Jawab:

a) Untuk menggambar vektor ba

2 , gambar dahulu vektor a

2 , lalu disambung dengan

vektor b

. Vektor a

2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a

dan arahnya sama

dengan arah vektor a

. Gambar dulu yuk vektor a

2 :

Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b

. Letakkan pangkal vektor b

pada

ujung vektor a

2 :

Lalu mana vektor ba

2 ?

Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a

2 ) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b

). Itulah vektor ba

2 . Gambarnye:

a

a

2

a

2

b


b) Untuk menggambar vektor ba

, gambar dahulu vektor a

, lalu disambung dengan

vektor b

. Pertama, gambar vektor a

:

Selanjutnya, vektor b

adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor

b

, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b

.

Kalau vektor b

arahnya ke kanan atas:

Maka vektor b

arahnya ke kiri bawah:

Geser vektor b

ini ke vektor a

, pangkal vektor b

ditempelkan ke ujung vektor

a

.

a

2

b

ba

2

a

b

b

a

b


Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a

) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b

), jadi deh vektor ba

.

Soal 2

Diketahui 4a

, 61ba

, sudut apit antara vektor a

dan b

adalah 60o. Maka ....b

Jawab:

Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

cos222

bababa

dengan adalah sudut apit antara vektor a

dan b

.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

cos222

bababa

60cos4246122 bb

2

1421661

2 bb

kuadratkan

bb

416612

6116402

bb

45402

bb

a

b

ba

Hafalin rumus ini yuuuk…!!


590 bb

09 b

atau 05 b

9b

atau 5b

Solusinya adalah 5b

sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, 5b

.

(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan

gergaji!!)

Soal 3

Diketahui persamaan cba

32 dengan

2

1

5

a

,

3

9

mb

dan

12

8

n

k

c

.

Maka nilai k + m + n = ….

Jawab:

Kita mulai dari persamaan:

cba

32 .

Masukkan nilai vektor cba

dan , , , sehingga menjadi:

12

8

3

9

3

2

1

5

2

n

k

m

12

8

9

3

27

4

2

10

n

k

m

129

83

27

4

2

10

n

m

k

Dari sini, kita peroleh:

k 2710 17k

832 m 2m

1294 n 7n

Sehingga 127217 nmk .


Soal 4

Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = …

Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:

DEmDF

)( demdf

7

4

1

5

7

4

6m

p

8

1

1

4m

p

Dari sini,

14 mp dan m81

m8

1

18

14 p

48

1p

8

14p

8

33p

Maka nilai dari 4

3122

4

491

8

982

8

8

8

9901

8

33.30130 p .


Soal 5

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

Nah, jika vektor

q

ps 2

12

sejajar dengan vektor

2

1

3

t

.maka nilai ....22 qp

Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.

Jika vektor s

sejajar dengan vektor t

, maka dapat ditulis

tms

(dengan m suatu bilangan riil)

Masukkan nilai vektor s

dan t

pada soal, didapatkan:

2

1

3

2

12

m

q

p

Dari komponen pertama,

12 = m . 3

m = 4

Dari komponen kedua,

12 mp

142 p

p = 2

Dari komponen ketiga,

)2( mq

)2(4 q

8q

Maka nilai .68644)8(2 2222 qp

Soal 6

Jika jip

2 dan kjiq

maka ....3 qp

Jawab:


kjikjijikjijiqp

3253332)(3)2(3 .

Maka 3894253253 222 qp

.

Soal 7

Diberikan

0

2

6

a

dan

2

5

3

b

.

Tentukan: (i) hasil kali skalar ....ba

(ii) vektor satuan searah vektor b

(iii) panjang proyeksi vektor a

pada b

(iv) proyeksi vektor orthogonal a

pada b

Jawab:

(i) Hasil kali 801018

2

5

3

0

2

6

ba

.

(ii) Vektor satuan searah vektor b

adalah b

b

.

38

238

538

3

222 38

2

5

3

4259

2

5

3

25)3(

2

5

3

b

b

.

(iii) Panjang proyeksi vektor a

pada b

adalah b

ba

.

38

8

38

01018

25)3(

2

5

3

0

2

6

222

b

ba

.

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

3819

438

38

8

38

38

38

8

38

8

.


(iv) Proyeksi vektor orthogonal a

pada b

adalah b

b

ba

2.

2

5

3

25)3(

2

5

3

0

2

6

2222

2b

b

ba

2

5

3

25)3(

01018

222

2

5

3

38

8

2

5

3

19

4

Kalau bilangan 19

4dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak

dimarahin kok!

198

1920

1912

2

5

3

19

4.

Soal 8

Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1, –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan:

(i) Jarak PQ

(ii) Jika adalah sudut yang dibentuk antara vektor

PQ dan

PR , tentukan nilai cos .

Jawab:

(i) Cari dulu vektor

PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

4

0

1

2

1

3

2

1

4

pqPQ

.

Maka 171601)4(01 222

PQPQ .


(ii) Gunakan rumus

PRPQ

PRPQcos

Dari soal (i) sudah didapatkan

4

0

1

PQ dan 17

PQ . Sekarang kita cari

PR dan

PR .

0

1

3

2

1

3

2

2

0

prPR

,

sehingga 1001901)3( 222

PR .

Maka 170

3

170

003

1017

0

1

3

4

0

1

cos

PRPQ

PRPQ.

Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.

2. Soal yang mengasyikkan …

Soal 9

Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB

sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian

sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!

Jawab:


Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:

4

5

7

28

35

7

0

21

28

56

7

0

73

7

144

34

34 abp

.

sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB.

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor

posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan

9

20

7

63

140

7

0

14

63

126

7

0

72

7

149

29

29 abq

Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 10

Vektor

4

3

9

a

tegak lurus vektor

13

4

1

m

b

. Tentukan nilai m.

Jawab:

Jika vektor a

tegak lurus b

maka berlaku persamaan: 0ba


(Bukti: Jika vektor a

tegak lurus b

maka sudut apitnya 90 , sehingga

0090coscos babababa

, terbukti)

Jadi, 0ba

0

13

4

1

4

3

9

m

0)13(44.31.9 m

0412129 m

0112 m

112 m

12

1m

Soal 11

Diberikan vektor a = –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a

pada b adalah 8, maka x = ....

Jawab:

INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b

ba .

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:

a = –2i + j + xk

x

1

2

b = 4i – 2j + 6k

6

2

4

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

b

ba = 8

8

6)2(4

6

2

4

1

2

222

x

-

836416

628

x

856

610

x


8142

610

x

1416610 x

1014166 x

6

101416 x

3

5148 x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 12

Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah kji

dan , , .

Tentukan: (a) i

(ii) k

(iii) kk (d) ji

Jawab:

(a) 1i

(Alasan: Karena i

adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)

(b) 1k

(Alasan: k

juga vektor satuan)

(c) 11.1.10cos kkkk

(INGAT! Sudut antara vektor k

dengan k

adalah 0o. INGAT juga nilai 10cos )

(d) 00.1.190cos jiji

(INGAT! Sudut antara vektor i

dan j

adalah 90 .

INGAT juga )090cos

Soal 13

Diketahui 8a

dan 32b

. Sudut apit antara vektor a

dan b

adalah 30o. Nilai dari

....ba


Jawab:

Gunakan definisi perkalian skalar cosbaba

. Maka:

.243832

131630cos328cos baba

Soal 14

Pada jajargenjang PQRS, vektor uQP

dan vQR

.

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor:

(a)

QX

(b)

XY

dalam u

dan v

!

Jawab:

(a) Perhatikan gambar!

.

(b) Perhatikan gambar!

(Lihat vektor

SY dan v

berlawanan arah)

8

uvRXQRQX

2

1

vuSYXSXY

2

1

2

1


Soal 15

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

(a) 0)9(

)1)(6(

3

2

x

xx

(b) 239 22 xxx

Jawab:

(a) Pertidaksamaan 0)9(

)1)(6(

3

2

x

xx

Pertama, tentukan titik-titik batas, yaitu nilai-nilai x sehingga:

06 x 0)1( 2 x 0)9( 3 x

6x 01x 09 x

1x 9x

Lalu letakkan nilai-nilai batas ini pada garis bilangan:

Perhatikan bahwa pada angka –6 titiknya satu buah, angka 1 titiknya dua buah,

sedangkan pada angka 9 titiknya tiga buah, sesuai dengan pangkat pada soal

0)9(

)1)(6(

3

2

x

xx.

Ingat aturan pengisian tanda:

Jika titiknya ganjil, maka daerah kanan dan kirinya berbeda tanda

Jika titiknya genap, maka daerah kanan dan kirinya sama tanda.


Cek tanda untuk daerah paling kanan. Ambil sembarang bilangan yang > 9, misalkan 10.

Masukkan x = 10 ke bentuk 3

2

)9(

)1)(6(

x

xx.

01

916

)910(

)110)(610(

)9(

)1)(6(

3

2

3

2

3

2

x

xx hasilnya positif.

Jadi kita isi deh daerah paling kanan positif:

Karena angka 9 titiknya ada tiga (ganjil), maka daerah tepat di sebelah kiri 9 tandanya

berbeda, yaitu negatif:

Dan karena angka 1 titiknya ada dua (genap), maka daerah tepat di kiri 1 tandanya sama,

yaitu negatif:

Kemudian, karena angka –6 titiknya ada satu (ganjil), maka daerah tepat di kiri –6 tanda

berbeda dengan di kanannya, yaitu bertanda positif:

Lengkaplah sudah pengisian tanda!

Pada soal , 0)9(

)1)(6(

3

2

x

xx berarti yang diminta adalah daerah yang bertanda

negatif.


Sehingga himpunan penyelesaian (HP)nya dapat ditulis sebagai:

} , 91atau 16 { riilbilanganxxxxHP

atau bisa juga ditulis:

} ,1 , 96 { riilbilanganxxxxHP

(b) Cara menyelesaikan pertidaksamaan 239 22 xxx

adalah dengan mengkuadratkannya menjadi:

239 22 xxx ………………….. (I)

dengan syarat bentuk di bawah tanda akar harus 0 :

092 x ……………………..(II)

dan 0232 xx ……………………… (III)

Pertama, kita selesaikan dulu pertidaksamaan (I):

239 22 xxx

923 x

113 x

3

11x ……………………(*)

Bagannya:


Berikutnya, kita kerjakan pertidaksamaan (II):

092 x

0)3)(3( xx

3atau 3 xx ………………... (**)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Juga kita kerjakan pertidaksamaan (III):

0232 xx

0)2)(1( xx

2atau 1 xx ………………... (***)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Nah, penyelesaian akhirnya adalah irisian dari ketiga daerah tersebut (daerah (*), (**),

dan (***)). Irisan adalah bagian yang berada di bawah tiga garis. Yuuk kita iris:

Maka riil}bilangan ,3

11 { xxxHP .


Documents

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA … · adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor b &, ... Pertidaksamaan Pertama, tentukan titik-titik batas,