PEMANASAN SEKUNDER PLASMA

MENGGUNAKAN GELOMBANG MIKRO UNTUK REAKSI FUSI TERKONTROL

Muhamad Alwi Mujahid G74103007

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008

PEMANASAN SEKUNDER PLASMA MENGGUNAKAN GELOMBANG MIKRO

UNTUK REAKSI FUSI TERKONTROL

Muhamad Alwi Mujahid

Skripsi sebagai salahsatu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008

ii

Pengetahuan manusia ibarat buih

di tengah lautan luas,

tetes kecil Pengetahuan Allah menghasilkan

ombak besar di samudera yang dalam.

Thanks to: Allah Swt., Muhammad Saw., ibu & ayah yang telah memberikan dorongan luar biasa, adik-adikku tercinta: Akhyar yang selalu mengantarkan kepergianku dengan motornya, Faiz yang sangat lucu, Kholi yang menjengkelkan; rekan-rekan Fisika ’40 (Physicsholic) yang telah menjadi tempat bertanya, tempat berguru, tempat bercermin, rekan seperjuangan dan rekan bersaing; kakak-kakak Fisika ’39 (especially Kang Erus) yang menjadi sumber inspirasi; dosen-dosen (terutama Bapak Drs. Abduj Djamil Husin, M.Si, terima kasih, Pak...wejangannya!) dan tata usaha departemen Fisika yang tidak mengenal lelah menunaikan tugasnya; semoga mendapat balasan yang setimpal dari Allah Swt. Amin

iii

Judul : Pemanasan Sekunder Plasma menggunakan Gelombang Mikro untuk Reaksi Fusi Terkontrol.

Nama : Muhamad Alwi Mujahid. NRP : G74103007

Menyetujui, Pembimbing

Abd. Djamil Husin, M. Si. NIP. 132 158 552

Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasyim, DEA.NIP. 131 578 806

Tanggal lulus :

iv

MUHAMAD ALWI MUJAHID. Pemanasan Sekunder Plasma menggunakan Gelombang Mikro untuk Reaksi Fusi Terkontrol. Dibimbing oleh : Abd. Djamil Husin, M.Si.

ABSTRAK Telah diteliti pengaruh pemanasan sekunder pada plasma dengan menggunakan gelombang mikro, yang dijalarkan tegak lurus dengan medan magnetik toroidal dalam tokamak. Didapat nilai numerik daya

mP ψ ψ= ≈ 1,305×10-15 W/m3 yang diserap oleh elektron per volume terhadap

pemanasan sekunder menggunakan gelombang mikro yang penjalarannya tegak lurus dengan arah medan magnetik toroidal. Nilai yang kecil menunjukkan nilai rerata terhadap banyaknya partikel dalam plasma. Adapun diperolehnya nilai radius rm ≈ 1m yang mendapat nilai serapan terbesar menunjukkan bahwa pada lokasi tersebut terdapat sumbu magnetik, yang sebelumnya diasumsikan berada di pusat lingkaran penampang poloidal tokamak.

v

RIWAYAT HIDUP

Penyusun dilahirkan di Sukabumi, pada tanggal 9 September 1984, sebagai anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Ade Hasan Ridwanullah dan Euis Jamiatussalamah.

Penyusun menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Cikaret I Kec. Sukaraja Kab. Sukabumi pada tahun 1997, pendidikan menengah pertama di SLTPN 1 Sukaraja pada tahun 2000, dan pendidikan menengah atas di SMU Negeri 3 Sukabumi pada tahun 2003. Selain itu, penyusun pun mengikuti pendidikan di Madrasah Diniyah Miftahul Huda Kec. Sukaraja Kab. Sukabumi dan menyelesaikannya pada tahun 1997, dan mengikuti kegiatan kepesantrenan di Pondok Pesantren Miftahul Huda Kec. Kebonpedes Kab. Sukabumi.

Pada tahun 2003, penyusun diterima di Institut Pertanian Bogor pada Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur USMI.

Sebelum menjalani pendidikan tinggi, penyusun telah mengikuti beberapa kegiatan yaitu: Perlombaan Senam Kesehatan Jasmani (SKJ) tingkat SD, Perlombaan Cerdas Cermat tingkat SD, Seminar Sehari mengenai narkoba dan obat psikotropika yang diselenggarakan oleh Polres Kab. Sukabumi pada tahun 1999, mengikuti Olimpiade Kimia Nasional, dan mengikuti Tes Bakat yang diselenggarakan oleh Lembaga Konsultasi Psikologi “Psiko Kartika Buana” pada tahun 2003.

Selama masa perkuliahan, penyusun sempat mengikuti beberapa keorganisasian meliputi: Staf Departemen Biofisika Himpunan Mahsiswa Fisika IPB periode 2005 – 2006, Staf Departemen Kerohanian Himpunan Mahasiswa Fisika IPB periode 2006 – 2007, dan Marboth Al-Hurriyyah IPB. Adapun kegiatan keorganisasian di luar kampus meliputi : Penanggungjawab Program Paket C yang diselenggarakan oleh Pusat Kegiatan Belajar Masyarakat (PKBM) Yayasan Pendidikan Islam Miftahul Huda (YASPIMIDA), Juru Buku Koperasi Miftahul Huda (KOMIDA), dan Sekretaris Panti Sosial Asuh Anak (PSAA) “Habbatunnada” YASPIMIDA Kec. Kebonpedes Kab. Sukabumi.

vi

PRAKATA

Segala puji bagi Allah SWT., yang telah memberikan kesempatan pada penyusun untuk menuangkan beberapa buah pikiran dan menorehkan beberapa goresan tinta dalam skripsi ini. Salawat dan salam semoga tercurahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW., beserta keluarga, sahabat-sahabat dan pengikut-pengikutnya, yang telah memperjuangkan tegaknya panji Islam di atas bumi Allah.

Skripsi ini disusun oleh penyusun sebagai syarat kelulusan pada tingkat sarjana di departemen fisika, fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, Institut Pertanian Bogor. Namun, tidak hanya sebatas itu, dalam penyusunan skripsi ini penyusun bermaksud memperdalam ilmu yang sebelumnya masih dangkal baik dalam ilmu menulis maupun dalam ilmu fisika.

Topik yang dipilih oleh penyusun dalam penyusunan skripsi ini adalah “Pemanasan Sekunder Plasma menggunakan Gelombang Mikro untuk Reaksi Fusi Terkontrol”. Tujuan penyusun dalam pemilihan topik ini adalah untuk meneliti hubungan antara gelombang elektromagnetik, khususnya gelombang mikro, dengan kenaikan temperatur pada plasma. Hal yang melatarbelakangi penyusun dalam pemilihan topik ini yaitu untuk memberikan solusi dari krisis energi.

Merupakan suatu hal yang wajar apabila dalam skripsi ini akan didapati kekurangan dan kekeliruan, karena penyusun pada saat ini masih berada dalam proses belajar. Oleh karena itu merupakan suatu kewajaran bagi penyusun untuk menerima berbagai masukan, baik berupa saran maupun komentar, yang kiranya dapat membantu mengisi kekurangan yang ada dalam skripsi ini.

Bogor, September 2008

Muhamad Alwi Mujahid

vii

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN .............................................................................................................iv ABSTRAK .......................................................................................................................................v RIWAYAT HIDUP .........................................................................................................................vi PRAKATA .................................................................................................................................... vii DAFTAR ISI ................................................................................................................................ viii PENDAHULUAN ............................................................................................................................1 TINJAUAN PUSTAKA ...................................................................................................................1 Definisi Plasma .............................................................................................................................1 Frekuensi Plasma .....................................................................................................................2 Aproksimasi Plasma .................................................................................................................2 Interaksi Kolektif ......................................................................................................................2 Gerakan Partikel Bermuatan pada Medan Konstan........................................................................2 Gelombang Mikro .........................................................................................................................3 Relasi Dispersi dan Frekuensi Resonansi ......................................................................................3 Transfer Energi pada Plasma Tak Termagnetisasi ........................................................................4 Persamaan Grad-Shafranov dalam Koordinat Fluks ......................................................................4 METODOLOGI PENELITIAN .......................................................................................................4 Perumusan Masalah ......................................................................................................................4 Hipotesis ........................................................................................................................................4 Prosedur Penelitian ........................................................................................................................5 Alat dan Bahan ..............................................................................................................................5 Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................................................................5 HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................................................................5 Formulasi Matematis ....................................................................................................................5 Visualisasi ....................................................................................................................................6 Penafsiran Fisis ............................................................................................................................6 PENUTUP ........................................................................................................................................7 Kesimpulan ..................................................................................................................................7 Saran .............................................................................................................................................7 REFERENSI ....................................................................................................................................7 LAMPIRAN-LAMPIRAN ..............................................................................................................8 Derivasi Formulasi Matematis .....................................................................................................8 Relasi Dispersi .........................................................................................................................8 Persamaan Grad-Shafranov dalam Koordinat Fluks ............................................................11 Transfer Energi pada Plasma Tak Termagnetisasi ................................................................14 Data Konfigurasi Reaktor ITER .................................................................................................17 Perintah dalam Memplot Grafik (Maple 9.5) .............................................................................17

viii

1

BAB I PENDAHULUAN

Dunia saat ini tengah menghadapi satu bentuk krisis baru, yaitu krisis energi. Krisis ini terbentuk dari semakin meningkatnya pengaruh teknologi, yang menyebabkan semakin tingginya energi yang dibutuhkan dalam proses produksinya, sedangkan sumber energi yang digunakan bersifat terbatas dan irreversibel.

Untuk mengatasi krisis tersebut,

perlu dicari energi alternatif yang dapat memenuhi kebutuhan. Sumber energi alternatif ini diharapkan memiliki sifat tak terbatas dan atau reversibel, sehingga tidak diperlukan lagi kekhawatiran akan menipisnya energi di masa depan.

Salah satu sumber energi alternatif

yang dapat memenuhi persyaratan di atas adalah matahari. Energi matahari berasal dari reaksi fusi (penggabungan inti-inti atom ringan menjadi inti atom yang lebih berat disertai dengan produksi energi) yang berlangsung pada interior matahari. Suhu yang diperlukan agar reaksi ini terwujud adalah sekitar 107 K, cocok dengan kondisi yang terdapat pada inti matahari. Energi yang dihasilkan oleh matahari dapat memfasilitasi segala macam kehidupan yang ada di bumi.

Reaksi fusi terjadi dalam satu

bentuk materi yang disebut dengan fasa plasma. Plasma merupakan bentuk materi yang dicirikan dengan bentuk fisis gas yang terionisasi. Dengan kata lain, plasma merupakan gas yang dipanaskan dengan temperatur yang setara dengan energi ionisasi. Temperatur yang berada pada matahari melebihi energi ionisasi ini, sehingga fasa matahari berupa plasma.

Untuk memanfaatkan sumber fusi,

perlu disusun seperangkat reaktor dengan plasma sebagai bahan bakarnya. Dengan diberikan medan elektromagnetik pada plasma tersebut, maka plasma menjadi “terkungkung” (confined), sehingga aliran dan beberapa parameter pada plasma dapat terkontrol. Salah satu metode pengungkungan plasma yang paling menjanjikan adalah dengan menggunakan tokamak, yaitu suatu rongga berbentuk donat yang dililiti oleh kumparan medan magnetik. Namun, sampai saat ini para ilmuwan masih mencari metode untuk dapat memunculkan

reaksi fusi pada plasma dengan lebih mudah, di antaranya ialah dengan adanya pemanasan sekunder yang terlokalisasi, sehingga dapat dicapai temperatur reaksi fusi dengan lebih cepat.

Pemanasan primer berasal dari

adanya resistansi ketika arus plasma mengalir, sehingga terjadi disipasi energi listrik menjadi energi termal dan menaikkan temperatur. Atas hal ini pemanasan primer diistilahkan sebagai pemanasan Ohmic. Namun, semakin tinggi temperatur yang dihasilkan, resistivitas plasma menurun dalam orde Te

3/2 sehingga kontribusi dari pemanasan ini menurun. Pemanasan sekunder diberikan untuk memanaskan kembali plasma sehingga dalam proses secara keseluruhan pemanasan plasma bergradien positif. Selain dari itu, pemanasan sekunder tertentu dapat menaikkan stabilitas pengungkungan plasma.

Tujuan yang ingin dicapai dalam

penelitian ini, yaitu: mendeskripsikan pemanasan sekunder yang diberikan oleh gelombang mikro pada plasma yang terkungkung dalam reaktor tokamak, yang mendapatkan pengaruh medan magnetik konstan.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

A. Definisi Plasma

Secara informal, plasma dapat didefinisikan sebagai: “suatu gas yang terionisasi, sehingga di dalamnya terdapat kumpulan elektron dan ion yang bergerak bebas, namun terikat oleh interaksi Coulomb yang memiliki jangkauan interaksi yang jauh, sehingga memberikan sifat kolektif pada plasma”. Sifat inilah yang membedakannya dengan gas konvensional.

Plasma memiliki konduktivitas

listrik yang tinggi, sehingga medan listrik dalam plasma bernilai sangat kecil. Hal ini disebabkan arus yang muncul seolah-olah akan dihubung pendek dalam ruang akibat konduktivitas listrik yang tinggi. Para ilmuwan mengistilahkan hal ini dengan Debye Shielding, yaitu penolakan medan listrik di sekitar bola interaksi Debye (akan dijelaskan kemudian).

2

Definisi plasma secara formal dapat diuraikan secara bertahap sebagai berikut:

1. Frekuensi plasma: Frekuensi plasma

elektron (frekuensi dari osilasi elektron dalam plasma akibat dari ketidaksamaan antara densitas muatan elektron dengan densitas muatan ion)

22 2

02 x pd x

m eE e n x mdtδ

δ ε ω δ= = − = − x

(2 – 1)

( )1 1 222 45,64 10 rad/spe e e en e m nω = = ×

(2 – 2)

lebih besar jika dibandingkan dengan frekuensi tumbukan antara elektron dengan partikel netral. Ketika kondisi ini terpenuhi, plasma dikatakan berada dalam keadaan kuasinetral, yaitu terjadinya penghapusan muatan dalam plasma secara cepat, namun dalam waktu yang berhingga.

2. Aproksimasi plasma: Setiap partikel

bermuatan harus dekat satu-sama-lain, sehingga satu partikel berinteraksi dengan banyak partikel lainnya (sifat kolektif dari plasma). Aproksimasi plasma berlaku ketika terdapat banyak partikel berada di dalam radius bola interaksi Debye (radius Debye: panjang gelombang de Broglie elektron termal yang berada di dalam plasma),

( )12

1 12 2

1 20

2

/

7, 43 10 cm

D pkT

kT nem

T n

λ ω ε−

−

= =

= ×

(2 – 3)

Adapun jumlah rata-rata partikel yang terdapat pada bola Debye berhubungan dengan parameter plasma Λe,

3 2 1 23 33 0

3

1 28

44

6,919 10 cm

e D

e

k Tn

ne

T

πεπ λ

−−

⎛ ⎞⎟⎜Λ = = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

= ×

(2 – 4)

3. Interaksi kolektif: Jarak interaksi Debye (seperti yang telah dikemukakan sebelumnya) lebih kecil jika dibandingkan dengan ukuran dari plasma itu sendiri.

Tabel berikut memperlihatkan

beberapa parameter plasma yang terdapat dalam beberapa bidang penelitian plasma:

Parameter-parameter plasma dalam bidang-bidang penelitian plasma.

B. Gerakan Partikel Bermuatan pada Medan Konstan

Sistem yang akan diteliti mengandung medan magnetik yang bernilai konstan, dengan demikian perlu dibahas gerakan partikel bermuatan pada medan magnetik yang konstan.

Persamaan gerak partikel

bermuatan q pada medan elektromagnetik konstan adalah

( )d

m qdt

= + ×v

E v B

(2 – 5) Komponen yang sejajar dengan medan magnet menghasilkan

dv qE

dt m=

(2 – 6) memperlihatkan bahwa partikel mengalami percepatan konstan. Akibatnya, plasma yang berada pada daerah sekitar kesetimbangan memiliki nilai medan listrik yang sejajar dengan medan magnet yang kecil, atau bahkan nol.

Adapun komponen yang tegak lurus dengan medan magnet menghasilkan persamaan

( ) ([ ]1 0 22 sin cost t

Bρ γ⊥

×= + Ω Ω + + Ω +

E Bv e e )0γ

(2 – 7)

3

dengan Ω = qB/m menyatakan frekuensi

girasi (frekuensi Larmor), ρ = vT/Ω

merupakan radius girasi (radius Larmor), vT

= (2T/m)1/2, e1 dan e2 merupakan vektor yang membentuk koordinat ortogonal tangan kanan (e1, e2, B), dan γ0 adalah fase girasi awal. Dengan demikian secara keseluruhan partikel bergerak membentuk lintasan heliks yang bergirasi dalam bidang yang tegak lurus dengan medan magnet, dengan radius Larmor dan frekuensi Larmor, dengan kecepatan lepas (tangensial)

2d B×

=E B

v

Kecepatan ini dapat dihilangkan dengan melakukan transformasi membentuk kerangka koordinat diam terhadap partikel yang bergerak bersamaan dengan partikel. Dalam sistem koordinat ini medan listrik bernilai nol, yang sesuai dengan keadaan plasma (adanya Debye Shielding) yang memiliki konduktivitas tinggi. C. Gelombang Mikro

Gelombang mikro merupakan salah satu dari spektrum gelombang elektromagnetik, yang terletak dalam kisaran frekuensi 107Hz – 1011Hz. Karakteristik dari gelombang mikro adalah interaksi dengan materi yang menghasilkan kenaikan energi termal yang diindikasikan dengan meningkatnya temperatur. Hal ini disebabkan frekuensi gelombang mikro yang berinterferensi dengan frekuensi rotasi molekul pada kebanyakan materi, sehingga energi rotasional materi tersebut meningkat.

Gelombang mikro sering digunakan

dalam spektroskopi molekuler untuk mengukur spektrum energi rotasional molekul. Dengan diketahuinya spektrum energi tersebut, dapat dilakukan rekayasa kimiawi pada molekul untuk memperoleh sifat molekul yang diinginkan. Sumber gelombang mikro yang sering digunakan dalam spektroskopi molekuler adalah klystron, yang sering pula dipakai dalam pemanasan plasma.

D. Relasi Dispersi dan Frekuensi Resonansi

Berdasarkan referensi yang

berkaitan dengan relasi dispersi, didapatkan bahwa interaksi antara gelombang elektromagnetik dengan plasma yang dihantarkan tegak lurus dengan medan magnet, adalah

2 RL

NS

=

(2 – 8) dengan

( ) ( )

2 2

1 , 1pj pj

j jj

R Lω ω

ω ω ω ω= − = −

+ Ω − Ω∑ ∑

( )12

S R L= +

sedangkan indeks j menyatakan jenis spesies (partikel).

Terlihat bahwa indeks refraktif n akan bernilai tak hingga jika

2 2UH pe eω ω= + Ω2

(2 – 9) dan

2 22

2 2

e piLH

e p

ωω

ω

Ω=

Ω + e

(2 – 10) dengan menyatakan resonansi hibrid

atas, dan resonansi hibrid bawah. Sedangkan indeks refraktif itu sendiri menunjukkan perbandingan cepat rambat gelombang pada vakum dengan cepat rambat gelombang pada medium, maka nilai tak hingga menunjukkan adanya penyerapan medium terhadap gelombang datang. Maksud dari adanya dua frekuensi resonansi ini adalah bahwa dengan adanya gelombang elektromagnetik yang menjalar tegak lurus dengan medan magnetik menghasilkan dua lapisan hibrid pada plasma yang memiliki karakteristik frekuensi yang berbeda, yaitu frekuensi resonansi hibrid atas dan frekuensi resonansi hibrid bawah.

UHω

LHω

4

Dalam tokamak, frekuensi plasma untuk elektron diperkirakan sama dengan frekuensi girasinya. Hal ini menunjukkan bahwa densitas elektron berada dalam nilai pertengahan. Sehingga dalam pemanasan plasma biasanya dipilih frekuensi resonansi hibrid bawah, agar energi gelombang yang diperlukan tidak terlalu besar. E. Transfer Energi pada Plasma Tak

Termagnetisasi

Menggunakan Hukum Newton II, dapat dibuktikan bahwa terjadi transfer energi yang diterima tiap partikel per satuan volum dari gelombang mikro pada plasma yang tidak termagnetisasi senilai

( )12 2 2

23 exp

8m

P q EkT

π ω ω⎛ ⎞ ⎛⎟⎜ ⎜= ⎟⎜ ⎜⎟⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ 22mTk

⎞⎟− ⎟⎟⎟⎠ (2 – 11)

F. Persamaan Grad-Shafranov dalam

Sistem Koordinat Fluks

Tokamak memiliki karakteristik yang unik, yaitu bersifat axisimetrik (memiliki suatu sumbu koordinat yang bersifat invarian), sehingga sistem ini menghasilkan penyederhanaan dalam perumusan modelnya. Dalam hal ini, sumbu yang dipilih untuk dijadikan invarian adalah sumbu toroidal φêφ dalam sistem koordinat

tabung (R,φ,Z). Tujuan utama pembentukan tokamak, selain sebagai reaktor, juga sebagai pengungkung plasma yang bersuhu sangat tinggi. Prinsip pengungkungan menggunakan kesetimbangan antara tekanan dari plasma dengan tekanan dari medan magnet eksternal.

p∇ = ×j B

Berdasarkan kesetimbangan ini dan

geometri dari tokamak, dapat diperoleh persamaan Grad-Shafranov yang berada dalam sistem koordinat fluks (ψ, φ, χ)

2

0 01

2dp dF

J Rd R dφμ μψ ψ

= +

(2 – 12)

Di mana F(ψ) = RBφ(ψ)

merupakan fungsi geometri plasma. Persamaan ini dapat mendeskripsikan dinamika perubahan tekanan dan geometri plasma sepanjang arah medan magnetik.

Adapun solusi eksak dari

persamaan Grad-Shafranov ψ yaitu

( ) ( ) ( )2 2 3 2, c4 8A C

r r a r a rψ θ θ= − + − os

(2 – 13)

dengan r menyatakan jarak dengan

sumbu magnetik, a jari-jari minor tokamak,

θ sudut antara fluks dengan bidang horizontal yang berimpit dengan sumbu magnetik, dan A serta C merupakan fungsi sebarang, yang berbanding lurus dengan perubahan energi.

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

A. Perumusan Masalah

Untuk timbulnya gejala kenaikan temperatur pada plasma setelah diberikan gangguan berupa gelombang mikro, perlu diketahui frekuensi gelombang mikro yang diperlukan agar beresonansi dengan gelombang pada plasma yang dibentuk oleh spesies pembentuk plasma.

Plasma dipandang sebagai gas ideal

klasik yang terionisasi sempurna, dengan densitas partikel elektron dan ion bernilai sama. Sedangkan konfigurasi fluks magnetik tokamak merupakan solusi analitik dari persamaan Grad-Shafranov dalam sistem koordinat fluks. Perhitungan daya yang diserap menggunakan solusi deret dari persamaan diferensial yang terbentuk dari persamaan gerak partikel dalam medan listrik yang berosilasi harmonik.

Dalam analisis diasumsikan sistem

berada dalam medan magnetik yang bernilai konstan dengan arah sumbu φ (sumbu toroidal). Gerakan partikel di dalam plasma akibat energi termal diabaikan. Selain dari itu, tekanan plasma dan absorpsi plasma diabaikan.

5

B. Hipotesis

Dengan diberikannya medan magnetik eksternal memberikan dampak dispersif pada plasma. Hal ini dapat ditunjukkan dengan adanya indeks refraktif pada persamaan dispersi yang bergantung pada frekuensi plasma dan frekuensi gelombang datang. C. Prosedur Penelitian

Prosedur dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memformulasikan penyaluran energi pada plasma dalam tokamak yang termagnetisasi konstan.

2. Menampilkan proses penyaluran energi secara visual.

3. Memberikan tafsiran fisis terhadap visualisasi proses penyaluran energi.

D. Alat dan Bahan

Peralatan yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah seperangkat komputer dengan software Matlab v6.1 dan Maple v9.5 (opsional). Sedangkan bahan-bahan yang dipergunakan adalah literatur-literatur yang didapat dari buku-buku dan internet.

Adapun data-data numerik

konstanta bersumber dari data-data operasional reaktor fusi ITER, yang masih berupa cetak biru, namun telah dikaji dengan seksama oleh para ilmuwan sehingga keabsahannya cukup baik. Tabel konfigurasi reaktor ITER terdapat dalam Lampiran

E. Waktu dan Tempat Penelitian Waktu yang diperlukan dalam penelitian ini kurang lebih selama satu bulan. Sedangkan tempat berlangsungnya penelitian adalah Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika IPB dan di rumah penyusun.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Formulasi Matematis

Setelah didapatkan relasi dispersi ketika gelombang elektromagnetik dirambatkan tegak lurus dengan medan magnetik, dan transfer energi gelombang mikro pada plasma yang tidak termagnetisasi, maka untuk mengetahui

transfer energi pada plasma yang termagnetisasi dibuat asumsi, bahwa magnetisasi plasma mengakibatkan adanya perbedaan cepat rambat gelombang dan menghasilkan indeks refraktif (perbandingan cepat rambat gelombang pada vakum dengan cepat rambat gelombang pada medium/plasma). Indeks refraktif dapat diketahui dengan mengetahui relasi dispersi dari interaksi antara gelombang elektromagnetik dengan plasma yang memiliki medan magnet konstan. Pada relasi dispersi sebelumnya diperoleh frekuensi resonansi yang memperlihatkan adanya absorpsi gelombang pada frekuensi tersebut, sehingga untuk mengetahui transfer energi pada plasma yang termagnetisasi ialah dengan mensubstitusikan nilai frekuensi resonansi pada persamaan transfer energi pada plasma yang tidak termagnetisasi (2 – 11). Didapatkan hubungan

12 2 2

23 2exp

8 2s LH s LH

s ss s

m mP q E

kT Tπ ω ω

⊥ ⊥

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜= −⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k

⎞⎠

(4 – 1)

dengan indeks s menunjukkan jenis partikel yang diamati.

Persamaan di atas hanya berlaku pada plasma yang tidak terkungkung. Untuk mengetahui transfer energi pada plasma yang terkungkung dalam tokamak, maka perlu dimasukkan persamaan Grad-Shafranov (2 – 12) pada pers. (4 – 1) melalui kopling

σ= ⋅j E

Komponen yang diperlukan adalah komponen pada sumbu toroidal φ, dengan demikian didapatkan

12 22 3 3 2

3 220

exp28 2

s s LH s LHs

s sj jj

Bq m d mP p

k dT Ti q nφ

φπ ω ω

ψ μ⊥ ⊥

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟= +⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠∑ k

⎞⎟− ⎟⎟⎟⎠

(4 – 2)

indeks j menyatakan jenis partikel dalam plasma (dalam hal ini elektron dan proton).

Terlihat pada persamaan (4 – 2) bahwa terdapat faktor imajiner, bahkan terdapat turunan terhadap fluks ψ. Untuk

6

mengatasi hal ini maka daya perlu dirata-ratakan terhadap fluks dan dikuadratkan, didapatkan

2

2

2

23 2 2

2 220

1exp

2 2s LH s s LH

s sj jj

PdP

d

Bm q mp

T k T kq n

ψ

φ

ψ

ψ

ω πμ ψ⊥ ⊥

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∫∫

∑ω

(4 – 3) dengan demikian terdapat tiga variabel, yaitu

p, 2

02BB

E , dan ψ yaitu tekanan plasma,

energi magnetik rata-rata dan fluks magnetik, di mana tekanan plasma dan energi magnetik rata-rata merupakan fungsi dari fluks magnetik. Tanda negatif menunjukkan bahwa daya diserap oleh partikel dalam plasma (damping).

φ

μ=

B. Visualisasi

Telah didapatkan persamaan yang

dapat menghubungkan frekuensi gelombang mikro dengan daya “rata-rata” yang disalurkan pada setiap elektron. Permasalahan yang didapatkan adalah dalam memplotkannya, mengingat bahwa persamaan (4 – 3) merupakan fungsi tiga variabel di mana dua variabel bergantung linier terhadap sisanya. Namun hal ini dapat disederhanakan dengan mengasumsikan bahwa serapan energi rata-rata dipengaruhi secara global oleh energi termal dan energi magnetik plasma secara keseluruhan. Dengan menggunakan hukum kekekalan energi bersamaan dengan persamaan keadaan gas ideal ( dalam kasus ini plasma dipandang sebagai gas klasik yang ideal), dapat diambil kesimpulan bahwa masing-masing tekanan maupun medan magnetik toroidal dalam plasma bernilai tetap. Sehingga persamaan (4 – 3) dapat disederhanakan menjadi hanya bergantung pada satu variabel saja, yaitu fluks magnetik ψ.

Bentuk persamaan (4 – 3) jika

disederhanakan merupakan fungsi fluks. Karakteristik utama persamaan tersebut dengan demikian merupakan solusi persamaan Grad-Shafranov (2 – 13). Dalam persamaan ini pun disusun simplifikasi bahwa sudut θ bernilai nol (fluks magnetik

dikatakan stabil), sedangkan fungsi bebas A

dan C berupa bilangan 1 dan 2, sehingga (2 – 13) hanya merupakan fungsi radial terhadap sumbu magnetik, yang ditetapkan berada di pusat bola poloidal yang simetris. Plot dari (2 – 13) yang telah disesuaikan dengan (4 – 3) adalah sebagai berikut:

Plot antara <ψ>-2 dengan r.

Dari plot di atas ternyata fluks rata-rata kuadrat bersifat diskret, dengan nilai maksimum global (pada jangkauan radius tokamak) pada rm ≈ 1m dari sebelah kiri sumbu magnetik, dengan daya rata-rata yang diterima seluruh elektron per satuan volum bernilai

mP ψ ψ= ≈ 1,305×10-15 W/m3,

dengan menggunakan gelombang mikro berfrekuensi

, sedangkan

menurut data ITER (terdapat dalam Lampiran) daya eksternal yang dibutuhkan sebesar 100-150 MW.

39.175,23 HzLHω ω= =

C. Penafsiran Fisis

Kecilnya nilai daya serapan yang didapat merupakan implikasi dari fakta bahwa daya yang didapat merupakan nilai rataan terhadap seluruh elektron, padahal sebagaimana telah diketahui bahwa terdapat 1020 elektron pada setiap satuan volum tokamak, sedangkan volum secara keseluruhan bernilai ∼2.000m3. Distribusi temperatur dalam plasma bersifat Maxwellian, yang momennya dapat dipersempit sampai membentuk fungsi delta. Mempertimbangkan kenyataan tersebut, terdapat kemungkinan terjadi serapan daya berorde 105 untuk pemberian gelombang yang sangat terfokus. Bahkan penyerapan

7

akan lebih besar pada ion dengan frekuensi Larmor yang lebih kecil.

Parameter rm menunjukkan lokasi

sebenarnya dari sumbu magnetik, yang sebelumnya diasumsikan berada dalam pusat lingkaran penampang poloidal tokamak. Alasan pengambilan keputusan ini adalah bahwa dalam sumbu magnetik plasma bersifat weakly coupled (energi kinetik >> energi ikat Coulomb) yang memiliki temperatur tertinggi dalam plasma. Dalam daerah ini, tekanan plasma memperoleh nilai maksimum, sehingga dengan menggunakan persamaan keadaan gas ideal temperatur pun memperoleh nilai maksimum.

Selain dari itu, hasil ini

menunjukkan alasan tidak terbakarnya dinding tokamak oleh plasma, padahal secara teoritis temperatur plasma pada tokamak sebesar 108 Kelvin, yaitu bahwa nilai temperatur tersebut dapat terlokalisasi pada jangkauan tertentu, sedangkan secara rataan temperatur plasma dapat berada pada skala normal (di bawah titik didih dinding tokamak). Di sinilah arti penting dari sifat banyak partikel dalam plasma, yang dalam setiap perumusan fisisnya menggunakan distribusi.

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

Telah didapat nilai numerik daya

mP ψ ψ= ≈ 1,305×10-15 W/m3 yang

diserap oleh elektron per volum terhadap pemanasan sekunder menggunakan gelombang mikro yang penjalarannya tegak lurus dengan arah medan magnetik toroidal. Nilai yang kecil menunjukkan nilai rataan terhadap banyaknya partikel dalam plasma. Adapun diperolehnya nilai radius rm ≈ 1m yang mendapat nilai serapan terbesar

menunjukkan bahwa pada lokasi tersebut terdapat sumbu magnetik, yang sebelumnya diasumsikan berada di pusat lingkaran penampang poloidal tokamak.

Nilai yang diperoleh dari penelitian ini memberikan alasan mengapa dinding tokamak tidak terbakar dengan suhu plasma yang sangat tinggi. Hal ini disebabkan oleh sifat banyak partikel plasma yang perumusan fisisnya menggunakan distribusi, sehingga temperaturpun terdistribusi dalam plasma. Dengan kata lain, terdapat beberapa partikel yang bersuhu tinggi, dan terdapat banyak elektron bersuhu rendah, sehingga secara rataan temperatur plasma masih berada di bawah titik didih dinding tokamak.

B. Saran

Dalam penelitian ini banyak asumsi yang digunakan oleh penyusun untuk penyederhanaan masalah, sehingga terdapat kemungkinan nilai yang didapat belum akurat. Penyusun menyarankan untuk mengurangi asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian selanjutnya untuk lebih mengakuratkan hasil yang didapat.

Selain dari itu, terdapat parameter

waktu pengungkungan yang ternyata dipengaruhi oleh pemanasan sekunder, penyusun menyarankan dalam penelitian selanjutnya untuk memasukkan besaran ini.

REFERENSI

Fitzpatrick, R. -. Introduction to Plasma

Physics: A Graduate Level Course. The University of Texas at Austin.

Hutchinson, I., Jeffrey Friedberg. 2001. Introduction to Plasma Physics I. MIT Open Courseware.

Nicholson, Dwight R. 1983. Introduction to Plasma Theory. New York: John Wiley & Sons.

8

LAMPIRAN-LAMPIRAN

A. Derivasi Formulasi Matematis

Relasi Dispersi

Akan diturunkan relasi dispersi yang dapat menghubungkan energi yang timbul pada plasma dengan frekuensi masukan. Dalam penurunan relasi dispersi ini pengetahuan dasar yang digunakan adalah Hukum Newton II.

Dimulai dari Hukum Newton II pada partikel bermuatan yang mengalami medan listrik

dan medan magnet,

( )m qt

∂= + ×

∂v

E v B (A – 1)

Tetapkan kondisi dasar plasma yaitu E0 = 0, B = BB0 dengan kecepatan bernilai nol.

Dengan demikian gerakan seluruh partikel merupakan sebuah fungsi gelombang, selain dari itu gerakan partikel tersebut dapat dianggap tidak terpengaruh oleh medan magnetik eksternal asalkan kecepatannya sangat kecil (kondisi ini adalah dalam rangka linearisasi). Sehingga persamaan (A – 1) menjadi

( )0m qt

∂= + ×

∂v

E v B (A – 2)

di mana v dan merupakan besaran-besaran gelombang yang dimaksud. (exp i ω∝ ⋅ −E k x )t

Substitusikan it

ω∂

→ −∂

lalu diuraikan, kemudian asumsikan kondisi BB0 = B0B (0,0,1),

didapat

( )

( )0

0

x x y

y y x

z z

i mv q E v B

i mv q E v B

i mv qE

ω

ω

ω

− = +

− = −

− =

(A – 3)

Pecahkan untuk v dalam suku E,

2 2

2 2

x yx

x yy

z z

i E Eqv

mE i Eq

vmq i

v Em

ωω

ωω

ω

−Ω⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ΩΩ +⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− Ω

=

(A – 4)

di mana 0qBm

Ω = merupakan frekuensi girasi yang tandanya bergantung pada muatan partikel

yang ditinjau. Telah diketahui sebelumnya bahwa q n σ= = ⋅j v E , maka dapat dicari tensor

konduktivitasnya, yaitu

9

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

0

0

0 0

j j j j j

j jj j

j j j j jj

j jj j

j j

q n q ni

m m

q n q n i

m m

iq n

m

ω

ω ω

ωσ

ω ω

ω

⎡ ⎤Ω⎢ ⎥−⎢ ⎥− Ω − Ω⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥Ω⎢ ⎥= ⎢ ⎥− Ω − Ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A – 5)

Sedangkan konduktivitas totalnya adalah j

j

σ σ= ∑ (A – 6)

Dengan demikian,

2

2 2j j

xx yyj j

q n im

ωσ σ

ω= =

−Ω∑ (A – 7)

2

2 2j j j

xy yxj jj

q nm

σ σω

Ω= − = −

−Ω∑ (A – 8)

2j j

zzjj

q n im

σω

= ∑ (A – 9)

Mengingat definisi suseptibilitas sebagai 0

1i

χωε

=−

σ , maka akan didapat tensor

dielektrik

0 0

0 0

0 0 0 0

xx xy

yx yy

zz

S iD

iD S

P

ε εε ε ε

ε

⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A – 10)

di mana

2

2 21 pjxx yy

jj

Sω

ε εω

= = = −−Ω∑ (A – 11)

2

2 2j pj

xy yxjj

i i Dω

ε εω ωΩ

= − = =−Ω∑ (A – 12)

2

21 pjzz

j

Pω

εω

= = −∑ (A – 13)

dan

2

2

0

j jpj

j

q nm

ωε

≡ (A – 14)

dinamakan “frekuensi plasma”. Sedangkan S dan D merupakan singkatan dari Sum (penjumlahan) dan Difference (selisih):

10

( ) ( )1 12 2

S R L D R= + = − L (A – 15)

di mana R dan L merupakan singkatan dari “Right-hand” (sisi kanan) dan “Left-hand” (sisi kiri), yaitu

( ) ( )

2 2

1 , 1pj pj

j jj

R Lω ω

ω ω ω ω= − = −

+ Ω −Ω∑ ∑ (A – 16)

Definisi R dan L ini timbul dari fakta bahwa terjadi polarisasi memutar (kanan dan kiri).

Telah didapatkan tensor dielektrik yang dapat digunakan untuk mencari relasi dispersi dan menyelesaikannya untuk mendapatkan fungsi k(ω) dan polarisasi. Perlu diperhatikan bahwa ε

tidak bergantung pada k, sehingga relasi dispersi (untuk setiap nilai ω yang diberikan) berbanding

lurus dengan indeks refraktif kuadrat ( )2

2 kcN ε

ω≡ = (atau k2).

Pilih sumbu koordinat yang sesuai sehingga Ny = ky = 0. Tetapkan θ sebagai sudut

antara k dan BB

2 P

θ

0 sedemikian sehingga

(A – 17) cos , sinx zN N N Nθ θ= =

kemudian dibentuk tensor dispersi D

(A – 18)

2 2 2

2

2 2

cos sin cos

0

sin cos 0 sin

N S iD N

iD N S

N N

θ θ

θ θ θ

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + − +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

D

dan 4 2AN BN C= − +D (A – 19) dengan (A – 20) 2 2sin cosA S Pθ θ≡ + (A – 21) ( )2 2sin 1 cosB RL PSθ θ≡ + + (A – 22) C PR≡ L Solusinya adalah sebuah relasi dispersi

2

2B F

NA±

= (A – 23)

di mana F adalah (A – 24) ( )22 4 2sin 4 cosF RL PS P Dθ θ= − + 2 2

11

Solusi (A – 23) dapat pula dituliskan sebagai

( )( )

( )( )

2 22

2 2tanP N R N L

SN RL N Pθ

− −= −

− − (A – 25)

bentuk ini dapat memudahkan dalam analisis relasi dispersi pada θ = 0 dan 2

πθ = , yaitu pada penjalaran gelombang secara paralel dan tegak lurus.

Untuk propagasi yang tegak lurus dengan medan magnet,

2 RLN

S= (A – 26)

Resonansi akan terjadi jika penyebut persamaan di atas bernilai nol, dengan

menyelesaikannya dalam bentuk ω2 didapat

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2pe e pi i pe e pi i

pe piω ω ω ω

ω ω⎛ ⎞+ Ω + + Ω + Ω − −Ω ⎟⎜ ⎟= ± ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ω+ (A – 27)

dengan mengabaikan suku berorde ei

mm (dalam hal ini

2

2pi

pe

ωω

) didapatkan dua solusi

(A – 28) 2 2 2 Resonansi Hibrid AtasUH pe eω ω= + Ω

2 2

22 2 Resonansi Hibrid Bawahe pi

LHe pe

ωω

ωΩ

=Ω +

(A – 29)

Dalam tokamak, , densitas elektron dikatakan berada dalam nilai pertengahan. 2

pe eω Ω∼ 2

Persamaan Grad-Shafranov pada Koordinat Fluks

Persamaan Grad-Shafranov merupakan suatu persamaan yang mendeskripsikan distribusi fluks pada tokamak. Persamaan ini merupakan konsekuensi dari kesetimbangan antara tekanan plasma dengan tekanan magnetik sepanjang sumbu toroida

(A – 30) p∇ = ×j B di mana telah diabaikannya suku medan listrik pada suku gaya Lorentz, karena pada kerangka diam plasma medan listrik bernilai nol.

Untuk mempermudah derivasi selanjutnya, diasumsikan sistem berada dalam kerangka koordinat kartesian. Sistem ini dapat disederhanakan dengan memilih salah satu sumbunya sebagai sumbu invarian (dalam tokamak, sumbu ini adalah sumbu toroidal), yang berakibat segala komponen observabel yang berada dalam sumbu ini menjadi konstanta gerak

/ z∂ ∂ = 0

Observabel pertama yang akan ditinjau adalah medan magnet B, yang berdasarkan kondisi di atas menjadi

( )( )/ , / , ,zA y A z B x y= ∂ ∂ −∂ ∂B

12

atau (A – 31) ˆ ˆ zA B= ∇ × +B z z di mana adalah potensial vektor. Perlu diperhatikan bahwa berdasarkan bentuk ini dapat disimpulkan bahwa A merupakan konstanta untuk setiap garis medan magnetik, karena ∇A

tegak lurus terhadap B. Selain dari itu, A merupakan fungsi fluks magnetik ψ.

( )ˆ,A x y z

Bukan hanya potensial vektor A, tetapi juga tekanan plasma p merupakan konstanta

gerak untuk setiap garis medan magnetik dengan alasan yang sama, yaitu arah ∇p yang tegak

lurus terhadap B (berlawanan arah dengan ∇A). Lebih jauh lagi, komponen sumbu z dari ruas kanan persamaan (A – 30) bernilai nol

0⊥ ⊥× =j B sehingga j⊥ sejajar dengan BB

z

⊥.

Ruas kanan persamaan (A – 30) dapat dipecah menjadi dua suku, yaitu

( )ˆ ˆzj B⊥ ⊥× = × + ×j B z B j z (A – 32) Komponen sumbu z dari rapat arus pada persamaan di atas dapat dituliskan sebagai (A – 33) 2

0/zj A μ= −∇ Sedangkan untuk medan BB

×

⊥ yaitu

(A – 34) ˆA⊥ = ∇ ×B z dan dengan menggunakan Hukum Ampére, j⊥ adalah

(A – 35) ( )0 ˆ1/ zBμ⊥ = ∇j z Agar vektor ini paralel dengan BB⊥, vektor ∇BzB harus tegak lurus terhadap j⊥, sehingga BBz pun

merupakan konstanta seperti halnya p.

Substitusi nilai ∇A dari pers. (A – 34) pada pers. (A – 35) menghasilkan

( )0ˆ 1/z zB Bμ⊥ × = − ∇j z zB (A – 36) Seluruh hasil yang didapatkan disubstitusikan pada pers. (A – 32) sehingga menghasilkan ( )[ ] ( )2

0 01/ 1/ z zp A Aμ μ∇ = − ∇ ∇ − ∇B B (A – 37) namun, karena p dan BB⊥ merupakan konstanta sepanjang suatu garis medan, dan keduanya

merupakan fungsi A, maka dapat dituliskan

13

( )

( )

/

/z z

p dp dA A

B dB dA

∇ = ∇

∇ = ∇A

sehingga pers. (A – 37) menjadi

2

20

02zd B

A pdA

μμ

⎛ ⎞⎟⎜∇ = − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (A – 38)

Inilah yang disebut dengan persamaan Grad-Shafranov.

Persamaan Grad-Shafranov merupakan persamaan diferensial orde dua yang eliptik, sehingga amat sukar untuk menentukan solusi eksaknya. Sehingga untuk kebutuhan, para fisikawan menggunakan metode numerik dengan teorema perturbasi untuk menyelesaikannya.

Namun terdapat suatu cara untuk mereduksi orde persamaan diferensial dari persamaan

tersebut, yaitu dengan mentransformasikannya ke dalam sistem koordinat fluks. Sistem koordinat ini terbentuk dari permukaan-permukaan isobar yang berlapis-lapis jika dilihat dari penampang poloidal tokamak.

Dengan mengamati Gambar 1, dapat disimpulkan beberapa fakta berikut:

1. Gambar 1 membandingkan sistem koordinat fluks (ψ, φ, χ) dengan sistem koordinat

tabung (R, φ, Z).

2. Arah ψ ortogonal terhadap permukaan fluks di setiap titik.

3. Vektor êφ mendefinisikan arah toroidal, yang dalam hal ini menjadi invarian.

4. Arah χ diberikan oleh ˆ ˆ . ˆχ φ= ×e e eψ

χ

5. Terdapat relasi berikut:

(A – 39) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 222

22 22

d h d Rd h d

d dR Rd dZ

ψ χψ φ

φ

= + +

= + +

r

r Berdasarkan fakta-fakta tersebut, setelah terlebih dahulu ditransformasikan pada sistem

koordinat tabung, dan berdasarkan fakta bahwa p = p(ψ) dan BBz = BzB (ψ), maka persamaan Grad-Shafranov pada sistem koordinat fluks adalah

0 01

2dp dF

J R Fd R dφμ μψ ψ

= + (A – 40)

Gambar 1. Sistem Koordinat Fluks

dengan F(ψ) = RBφ(ψ) menyatakan fungsi geometri fluks dalam tokamak.

14

Transfer Energi pada Plasma Tak Termagnetisasi

Akan ditunjukkan bahwa terdapat energi yang disalurkan oleh gelombang mikro pada spesies yang terdapat dalam plasma yang tidak termagnetisasi.

Telah diketahui bahwa terdapat gelombang pada plasma yang sedang kita tinjau dalam

bentuk

(A – 41) ( )ˆcosE kz tω= −E z Partikel dalam plasma ini dengan demikian diatur oleh persamaan gerak

( )cosdv q

E kz tdt mdz

vdt

ω= −

= (A – 42)

Kita dapat mendapatkan solusinya dengan menggunakan metode deret. Uraikan v dan z dalam bentuk deret ( ) ( )0 1 0 1, .v v v z z t z t= + + = + +

Pada orde ke-nol:

00 00 konstan , i

dvv z

dt= ⇒ = = + 0z v t (A – 43)

dengan zi = konstanta, yang merupakan posisi awal.

Orde pertama:

( ) ( )( ) 10 0

11

cos cos idv q q

E kz t E k z v t tdt m mdz

vdt

ω ω= − = + −

= (A – 44)

Integrasikan:

( )0

10

sinkonst.iqE kz kv t t

vm kv

ωω

+ −=

−+ (A – 45)

dengan mengambil kondisi awal bernilai nol maka hasil integrasinya menjadi

( ) ( )

1sin sini iqE kz t kz

vm

ωω

+ Δ −=

Δ (A – 46)

di mana . 0kvω ωΔ ≡ −

( )

1 2

cos cos sini iqE kz kz t kzz t

mω

ωω− + Δ i⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎢ Δ ⎥Δ⎣ ⎦ (A – 47)

dengan z1(0) = 0.

15

Orde ke dua:

( ) ([ ])

( )[ ] ( )

20 1 0

1

cos cos

sin 1

i i

i i

dv qEkz kv t t kz kz kv t t

dt mqE

kz kz t kzm

ω ω

ω

= + − + − + −

= − + Δ (A – 48)

Peningkatan energi kinetik yang dialami oleh spesies dalam plasma dengan demikian

adalah

( )

[ ]

22 2 20 0 1 2 0

20 1 1 0 2

1 1 12 2 2

12 2 orde lebih tinggi

2

mv mv m v v v v

m v v v v v

⎡ ⎤− = + + + −⎣ ⎦

= + + + (A – 49)

dengan laju perubahannya adalah

( ) ( 1 120 1 0

12

d dv dvmv m v v v

dt dt dt dt= + + )2dv

(A – 50)

Setelah mendapatkan hasil di atas, perlu ditarik nilai rata-ratanya terhadap posisi zi agar

tidak terdapat komponen dari solusi yang menyimpang dari posisi tersebut (transfer energi ditinjau terjadi hanya dalam satu titik.

( ) 1 1 220 1 0

12

d dv dvmv v v v m

dt dt dt dt= + +

dv (A – 51)

Dengan

10 0dv

vdt

= (A – 52)

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2 21

1 2

2 2

2

2 22

2

2 2

2

sin sincos

sin sin cos cos sincos

sincos

1 sin2

i ii

i i ii

i

dv q E kz t kzv kz t

dt m

q E kz t kz t t kz t tkz t

tm

q E tkz t

tm

q E ttm

ωω

ω

ω ω ω ω ωω

ω

ωω

ω

ωω

+ Δ −⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥⎢ Δ ⎥⎣ ⎦

+ Δ − + Δ Δ + + Δ Δ= + Δ

Δ

Δ= +

Δ

Δ=

Δ (A – 53)

( )( )

( )

2 22

0 02 2

2 22

02 2

2 20

2 2

cos cos sinsin

sin cossin

sin cos2

i i ii

i

dv q E kz kz t kzv kv t kz

dt m

q E t tkv t kz t

m

q E kv t tt

m

ωω

ωωω ω

ωωω

ω ωωω

− − + Δ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ΔΔ− Δ Δ⎛ ⎞⎟⎜= − + Δ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ΔΔ

Δ Δ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎢ Δ ⎥Δ⎣ ⎦

t+ Δ

(A – 54)

Dengan demikian,

16

( )

2 22

0 02

2 2

2

1 sin sin co2 2

sincos cos

2

d q E t tmv kv kv t

dt m t

q E t tt t t

m

ω ωω ωω

ω ω ωω ω

ωω

Δ Δ Δs tω⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎢ Δ ΔΔ ⎥⎣ ⎦

− Δ⎡ ⎤= + Δ + Δ⎢ ⎥⎢ Δ ⎥Δ⎣ ⎦

(A – 55)

yang merupakan daya rata-rata yang diserap spesies pada suatu daerah zi dengan kecepatan awal

v0.

Langkah selanjutnya adalah mengintegrasikannya terhadap fungsi distribusi elektron f0. Untuk mempermudah, digunakan fakta bahwa

2

0

sinsin cos cos sin

1 sinsin

t tt t t t

tt

k v

ω ω ω ωω ω ω

ω ω ωωω ω

ωω

− ∂ ⎛ ⎞⎟⎜Δ + Δ + Δ = + Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Δ ∂Δ ΔΔ∂ Δ⎛ ⎞⎟⎜= + Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ Δ

tωΔ

Sehingga daya per unit volum adalah

( )

( )

20 0

2 2

0 00

2 2

00

12

sinsin

2

sinsin

2

dP mv f v dv

dt

q E tf v t

mk v

q E t ft dv

mk v

ω ωω

ω

ω ωω

ω

=

∂ Δ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝∂ Δ

Δ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − + Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Δ ∂

∫

∫

∫

dv+ Δ⎠

)tω

(A – 56)

Jika t semakin besar, nilai berosilasi “terlalu liar” terhadap

v

( 0sin sint kvωΔ = −

0. Dengan demikian suku kedua integran dapat diabaikan terhadap suku pertama. Selain dari itu, suku pertama integran

sin sint t

tt

ω ω ωω

ω ωΔ Δ

=Δ Δ

bersifat seperti fungsi Delta. Hal ini menyebabkan integral dapat dievaluasi hanya pada daerah sekitar Δω = 0 ( = 0), karena untuk daerah yang lain berkontribusi sangat kecil. 0kv ω−

Dengan demikian,

2 2 sin

2k

q E f xP

mk k v xω

ω ∂= −

∂ ∫ dx

)tω

(A – 57)

dengan . Mengingat ( 0x t kvω= Δ = −sinx

dxx

π=∫ , maka hasilnya adalah

2

22k

q fP E

vmk ω

π ω ∂= −

∂ (A – 58)

17

Dari hasil ini terlihat bahwa terjadi transfer energi dari gelombang mikro dengan kecepatan

resonansi kω

pada spesies (bernilai positif jika kemiringan fungsi distribusi elektron pada

kecepatan resonansi bernilai negatif).

Untuk fungsi distribusi elektron Maxwell-Boltzmann,

( ) ( )12

2

0 0 exp2 2m mv

f v fT Tπ

⎛ ⎞⎟⎜= = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠n (A – 59)

( ) ( )12

20 exp

2 2f m mv mv

nv T T Tπ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠ (A – 60)

daya yang diterima tiap spesies adalah

( )12 2 2

23 2exp

8 2m m

P q EkT T

π ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k (A – 61)

B. Data Konfigurasi Reaktor ITER

Berikut diberikan tabel data konfigurasi reaktor ITER yang berfungsi sebagai sumber data penentuan nilai konstanta persamaan (3 – 8).

Tabel 1. Data-Data Konstanta yang bersumber dari reaktor ITER

C. Perintah dalam Memplot Grafik (Maple 9.5)

Berikut diberikan perintah-perintah dalam memplotkan persamaan (3 – 8) dengan menggunakan Maple 9.5. > with(VectorCalculus): SetCoordinates('polar'[r,theta]):

18

Warning, the assigned names `<,>` and `<|>` now have a global binding Warning, these protected names have been redefined and unprotected: `*`, `+`, `.`, D, Vector, diff, int, limit, series> psi(r,theta):=(A/4)*((r^2)-(a^2))+(C/8)*((r^3)-(a^2)*r)*cos(theta):> theta:=0:> psi(r,theta):=(A/4)*((r^2)-(a^2))+(C/8)*((r^3)-(a^2)*r)*cos(theta):> plots[interactive](VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1,1/4),r^2),VectorCalculus:-`*`(1.960000000,-1)),VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1,1/4),r^3)),VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1.960000000,r),-1))):> sigma(r,theta):=(1/(psi(r,theta)))^2:> smartplot( VectorCalculus:-`*`(1,1/VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`+`(VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1,1/4),r^2),VectorCalculus:-`*`(1.960000000,-1)),VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1,1/4),r^3)),VectorCalculus:-`*`(VectorCalculus:-`*`(1.960000000,r),-1))^2) ):