del primal (cuando la nueva variable es no básica) es la solución no óptima. En caso contrario, quedan como desconocidos todos los coeficientes de la nueva variable en las varias filas del tablero, estas constantes se deben buscar y la nueva variable que seguramente tendrá Z - C negativo, buscará entrada a la base.

Cambiando el modelo original:

178

Sujeta a:

La solución actual es:

Primal:

Dual:

Con sus restricciones:

PROGRAMACIÓN LINEAL PARAMÉTRICA

Hasta aquí hemos considerado cambios discretos en la estructura inicial y en los parámetros del problema de Programación Lineal. En lo que sigue, estudiaremos variaciones continuas en los coeficientes del modelo cuando éstos cambian simultáneamente como función de un parámetro. Llevaremos a cabo este análisis únicamente en relación con los dos casos más usuales y reales, como son los coeficientes de coste (c¡j) y los recursos (b¡). Aunque es posible un análisis paramétrico en relación con otros coeficientes, sin embargo en la práctica son poco frecuentes.

Variaciones en los coeficientes de coste

En esta sección analizaremos el efecto debido a la variación en los coeficientes de la función objetivo sobre la solución óptima.

Dado el problema de Programación Lineal

sujeto

el análisis de variación continua en los coeficientes c. se lleva a cabo con su parametrización, lo que equivale a sustituir el programa anterior por el

sujeto a

donde t = (t(,..., tn) es el vector de parámetros desconocidos, c° el vector que da las variaciones

y (tc°) representa el vector (t, c° ,••., tnc° ). Mediante la variación de los parámetros t¡ cambian los coeficientes cj y el problema consiste en determinar las soluciones óptimas cuando los t¡ recorren los números reales o algún subconjunto de él.

Ejemplo

Sea Z = C]X] + c2x2 una función objetivo que representa el beneficio de las ventas de x¡ unidades de un producto A y x2 de B, con c¡ y c2 utilidades por unidad A y B, respectivamente. Si se piensa que el beneficio de ambos productos varía linealmente con el parámetro t = (tj, t2) de forma que la función objetivo parametrizada es

vemos que x¡ decrece linealmente con tj y x2 crece linealmente con 2t2. Esta función objetivo se tiene como caso particular de la anterior en que c° = ( - 1, 2).

En lo que sigue consideraremos el caso en que t¡ = t para todo i. La consideración de más de un parámetro aumenta la dificultad en cuanto que es más difícil realizar un análisis sistemático de sus recorridos, sin embargo, el procedimiento de ejecutarlo es el mismo que desarrollamos posteriormente.

El análisis de la parametrización de los coeficientes de la función objetivo se resuelve utilizando el método del simplex primal sobre la fila indicador de la tabla óptima modificada, al añadirle bajo ella otra

179

fila de valores , correspondiente a la tabla óptima del problema en el caso de un parámetro escalar, es decir. para cada i. Como la fila indicador es función del parámetro t, es

con

Por otra parte,

con

Notemos que representa el vector formado por los elementos de correspondientes a las variables básicas de la tabla óptima. Desarrollamos en forma de algoritmo el análisis de sensibilidad de los coeficientes Cj, lo que nos permite un estudio sistemático del mismo.

Paso 0. Calcular la tabla óptima del simplex para y añadir a ésta una fila bajo la fila indicador

cuyos elementos son los asociados a cada variable y

Paso 1. Imponer a la tabla modificada la condición de optimalidad, es decir, que los valores de la

fila indicador sean no negativos. Determinar los recorridos del parámetro(s) para los cuales

la tabla permanece óptima, es decir, determinar los valores extremos I, S tales que para se mantiene la optimalidad.

Paso 2. Sustituir t por aquellos valores extremos que sean finitos y aplicar el método del simplex

primal a las columnas no básicas que pasen a degeneradas, es decir, obteniendo las

soluciones óptimas alternativas.

Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 hasta haber analizado el recorrido del parámetro(s).

180

En la ejecución de este algoritmo se obtiene un número finito de recorridos no triviales para t (a lo sumo 2) y se puede ver que z*(t) es una función lineal a trozos y convexa de t.

Ejemplo

Sujeta a las siguientes restricciones:

Para el problema original, cuando la solución óptima es

Nosotros necesitamos considerar lo que pasa ahora cuando se aumenta o disminuye. Podemos

observar que la función objetivo para los valores permanecerá óptimo para algunos

valores de . Cuando aumenta, la pendiente se vuelve más escarpada; cuando disminuye, la pendiente se vuelve menos inclinada. La línea definida por Z rueda sobre el punto (24, 14). Así,

cuando aumenta, el punto permanecerá óptimo hasta que Z sea paralelo a la línea

definida por ecuación _ cuando disminuye, el punto permanecerá óptimo hasta que sea paralelo a la línea Cuando Z es paralela a cualquiera de las dos líneas se obtiene una solución óptima múltiple. La Programación Lineal Paramétrica

nos permite determinar el rango de para el cual el punto ( permanece óptimo, y

qué otras soluciones son óptimas para el rango de

Podemos notar que las variables no básicas son Sj y S2, para lo cual resolvemos

para encontrar los valores de . La solución actual permanecerá óptima para

Observamos que cuando , la cual es paralela a ;

181

La solución del problema parametrizado cuando X = 0 se obtiene en la siguiente tabla incluyendo los coeficientes de los costos paramétricos:

cuando , la cual es paralela a Para

ambos puntos (24, 14) y (45, 0) son soluciones óptimas con Para ambos

puntos (24, 14) y (0, 20) son soluciones óptimas con

Variaciones en los recursos

En el caso de los recursos, también es posible realizar de forma sencilla un análisis de variación paramétrica, ya que existen problemas en los cuales los recursos no son independientes y puede ocurrir que la variación en el nivel de alguno implique la variación en los niveles de otros. Ejemplo:

Con sus restricciones:

Inicialmente resolvemos el problema y presentamos a continuación el tablero óptimo del simplex, para cuando t = 0

Luego imponemos en el tablero anterior la condición de factibilidad, que se tiene para 20 - 1 > 0 De la primera condición no obtenemos nada y siempre que el valor de t se encuentre entre - oo y 20 (-00 < t > 20), de aquí se tiene que la solución óptima sea:

182

Posteriormente sustituimos los valores extremos finitos en el tablero anterior. Si t = 20 la variable X2 pasa a ser degenerada y utilizamos el método del dual simplex para obtener el tablero que mostramos a continuación con X2 como variable de salida de la base y S i como variable de entrada a la base.

Finalmente reemplazamos en el último tablero t = 45/2 que lleva a la variable X¡ a degenerada. Aplicamos el dual simplex, pero sin embargo notamos que no existe pivote, luego el dual es no acotado y por tanto el problema no tiene solución; así cuando t > 45/2 el problema es infactible. Este resultado es natural, si observamos la segunda restricción, si t > 45/2 la disponibilidad del segundo recurso se convierte en negativa, lo que carece de sentido.

Hasta aquí hemos examinado todo el recorrido del parámetro t y los resultados los resumimos en el siguiente cuadro:

183

EJERCICIOS PROPUESTOS

decidido incursionar en el mercado de las bolsas para bastones de golf hechas de piel, a precios mediano y alto. El distribuidor de Deporgolf está muy entusiasmado con la nueva línea de productos y ha aceptado comprar todas las bolsas de golf que fabrique la empresa en los tres meses siguientes.

Después de una investigación cuidadosa de las etapas necesarias para fabricar una bolsa, los administradores determinan que cada bolsa que se produzca requerirá de las siguientes operaciones:

• Cortar y teñir el material. • Coser. • Terminar (insertar el portasombrilla, los separadores de los palos, etc.). • Inspeccionar y embalar.

El director de la manufactura ha llegado a la conclusión de que si la Compañía fabrica un modelo estándar de precio medio, se requiere 7/10 de hora en el Departamento de Corte y Teñido, 1/2 hora en el Departamento de Costura, 1 hora en el Departamento de Terminado y 1 /10 de hora en el Departamento de Inspección y Embalaje. El modelo de lujo más costoso requiere de 1 hora para Corte y Teñido, 5/6 de hora para Costura, 2/3 de hora para el Terminado y 1/4 de hora para Inspección y Embalaje.

El Departamento de Costos ha analizado estas cifras de producción, ha asignado todos los costos pertinentes y ha concluido que se obtendrá una contribución a la utilidad de $9000 por cada bolsa estándar y $8000 por cada bolsa de lujo que se produzca.

Además, después de estudiar las proyecciones de las cargas de trabajo en los departamentos, el director de manufactura estima que para la producción de la bolsa de golf en los tres meses siguientes, habrá disponibles 603 horas de tiempo de Corte y Teñido, 600 horas de Costura, 708 horas de Acabado y 135 horas de Inspección y Embalaje. Plantear, resolver e interpretar las variables correspondientes al primal y dual del problema anterior.

184

Resolver el dual del siguiente problema y comparar sus respuestas con las encontradas en el primal:

La Compañía "Deporgolf" fabrica equipos y accesorios para golf, cuyos administradores han

Sujeta a:

a la utilidad y cada camión contribuye con $360000; en la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos para la producción de un automóvil y de un camión. Cada día, la Compañía puede rentar hasta 98 máquinas tipo I a un costo de $45000 la máquina; actualmente, la fábrica dispone de 73 máquinas tipo II y 260 toneladas de acero, consideraciones del mercado indican que se deben ensamblar por lo menos 88 automóviles y 26 camiones.

Plantear y resolver el anterior problema de Programación Lineal, para dar respuesta a las siguientes preguntas:

a. Si los automóviles contribuyeran con $279000 a la ganancia. ¿Cuál sería la nueva solución óptima para el problema?

b. ¿Cuál es la máxima cantidad que la Fábrica Manizales tendría que estar dispuesta a pagar para rentar una máquina adicional del tipo I por un día?

c. ¿Cuál es la máxima cantidad que la Compañía tendría que estar dispuesta a pagar por una tonelada extra de acero?

d. Si la empresa tuviera que producir por lo menos 86 automóviles. ¿Cuál sería la utilidad?

e. Esta subsidiaria automotriz considera la posibilidad de producir vehículos para todo terreno (jeep). Un jeep genera $540000 de utilidad y requiere 1, 2 días de la máquina I, 2 días de la máquina II y 4 toneladas de acero.¿Tendría que producir la Fábrica Manizales algún jeep?

185

Resolver y comparar las soluciones en el siguiente problema (dual-primal):

Con sus restricciones:

La Fábrica Manizales ensambla automóviles y camiones. Cada automóvil contribuye con $270000

Resolver el problema lineal paramétrico:

Sujeta a:

Resolver el problema lineal paramétrico:

Sujeta a:

186

C A P Í T U L O VI

P R O B L E M A DEL T R A N S P O R T E P R O B L E M A DEL I N T E R T R A N S P O R T E P R O B L E M A DE A S I G N A C I Ó N

"No se preocupe por sus dificultades en las Matemáticas. Yo puedo asegurarle que las mías son todavía mayores".

Albert Einstein

PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN

Es un problema de redes, que no es usual resolverlo por Simplex, ya que queda bastante extenso, porque resultan igualdades al establecer las ecuaciones de oferta entre las fuentes y de demanda hacia los destinos. Usualmente, se tiene una determinada capacidad en cada fuente y se requiere otra en cada destino. El objetivo básico del problema del transporte es satisfacer las expectativas de los clientes estableciendo rutas entre las fuentes y los destinos a un costo mínimo; un ejemplo se muestra a continuación:

El modelo del transporte es utilizado fundamentalmente cuando un producto (servicio) debe ser enviado de un almacén (fábrica) a un usuario, para lo cual es factible generar varias rutas; de éstas, la óptima es aquella de costo mínimo y corresponde a una solución que puede ser degenerada o no degenerada.

Métodos de solución

Básicamente existen dos métodos para resolver problemas de transporte:

Métodos de inicialización

Para solucionar el problema del transporte se emplean primordialmente los siguientes modelos:

187

• Método de (del) la Esquina (Extremo) Noroeste (Noroccidental), Noreste (Nororiental), Suroeste (Suroccidental) y Sureste (Suroriental).

• Columna mínima. • Fila mínima. • Matriz mínima. • Método Vogel. • Algoritmo de Rüssel 1.

Métodos de finalización (optimización)

Principalmente se emplean los siguientes:

• Stepping-Stone. • Método de Wagener. • Primal de Balinski y Gómory. • Solución Numérica de Houthakker. • Primal dual para el transporte.

Otros Métodos

Existen numerosos métodos además de los nombrados:

• Método de Kuhn, Ford y Fulkerson. • Método de Friedmann (una variante del anterior). • Método Gráfico de Vidale. • Método de las Matrices Reducidas de Dwyer y Galler. • Método de Separación en Estrella de Zimmern.

Nota: Algunos modelos no requieren de la solución inicial, como el de Houthakker y el primal dual para el transporte, ya que ellos inician el problema y llegan hasta la solución óptima.

Planteamiento de un problema

Los nodos de suministro son m, los cuales están ofreciendo: 0¡ = Oi,...,Om; análogamente hay nodos de requerimiento n, correspondiente a demanda: Dj = D],..., Dn.

Nodo.oferta Nodo requerimiento

188

X¡j: Unidades enviadas del nodo de oferta i al nodo de requerimiento j. Cjj: Costo de enviar una unidad el nodo de oferta i al nodo de requerimiento j. W : Costo total.

Ejemplo

Una compañía de las instalaciones A, B y C suministra a los distribuidores D, E, F y G. Las capacidades mensuales son 20, 30 y 45 unidades, respectivamente; los requerimientos mensuales de los distribuidores son 10,15,40 y 30 unidades, para los distribuidores D, E, F y G; los costos unitarios de envío son los siguientes:

Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de transporte. Determinar el plan óptimo de distribución.

D E F G

A $5 $10 $5 $0

B $5 $9 $5 $10

C $10 $10 $15 $5

Solución

Primer paso:

189

Con sus restricciones:

Segundo paso:

Tercer paso:

Buscar una solución factible inicial básica no degenerada (S.F.I.B.N.D.) con las siguientes características:

1. Asuma m + n - 1. 2. Las variables básicas no deben formar un ciclo.

REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE

Se empieza en la celda (A,D) y se asigna lo máximo que se pueda por fila (columna) y se sigue sucesivamente de la misma manera hasta llegar a la celda (C,G) y obtener así una solución factible inicial.

W = 10(5) + 10(10) + 5(9) + 25(5) + 15(15) + 30(5) W = $695

m = 3;n = 4;m + n - l =6; NA= m + n - 1; (S.F.I.B.N.D.), donde NA: Número de asignaciones.

Planteamiento del modelo primal MIN W = 5 X n + 10 X| 2+ 5 X13 + 0 X ] 4 + 5 X2, + 9 X22 + 5 X23+ 10 X24+ 10 X31 + 10 X32 +

15X33 + 5X3 4

Sujeto a las siguientes restricciones:

190

se crea una columna (fila) ficticia con costos cero y toma el valor correspondiente a la diferencia.

MÉTODO DEVOGEL

En cada fila y columna se calcula por diferencia, el mínimo costo a partir de los dos menores costos; de esta manera se tienen m + n diferencias. Se debe buscar la fila o columna cuya diferencia sea mayor y asignar a la base la X¡¡ correspondiente a la celda de costo más bajo (i,j). Cuando los requerimientos estén satisfechos, se debe eliminar dicha fila o columna y continuar con el proceso hasta terminar la tabla. En caso de empates se rompen arbitrariamente.

W = 20(0)+ 30(5)+ 10(10)+ 15(10)+ 10(15)+ 10(5) W = $600 S.F.B.I.N.D.

Cuarto paso:

Buscar si la solución hasta aquí obtenida es óptima; en caso contrario se debe optimizar, para lo cual se puede tomar el tablero uno (W = 695) o el tablero dos (W = 600)

MÉTODO DE STEPPING-STONE (AZAR)

Este método se debe a Chames y a Cooper; con posterioridad fue modificado por George Bernard Dantzig y comenzó a llamarse MODI o de las U¡, V,.

191

Tablero de Costos Básicos (T.C.B.)

Se toma para su elaboración el tablero dos.

D E F G u¡

0 U,= -5

B 5 U2= - 10

C 10 10 15 5 U3=0

Vj Vi v 2 v 3 v 4 1» »» M tt

10 10 15 5

Nota: En aquella fila (U¡) o columna (Vj) en la que se ha realizado el mayor número de asignaciones se le da un valor arbitrario cero a la variable, con el objeto de obtener todos los valores de las Uj y de las Vj. Cuando hay empate, éste se rompe al azar.

A continuación se elabora el tablero de costos no básicos (T.C.N.B.):

192

En este caso, como 513 = - 5, se asigna en dicha celda:

T . C . B . Cj j = U ¡ + V j

193

Lo cual nos dice que estamos en el óptimo. Además, se presentan rutas alternas, es decir, la respuesta de este problema se refiere a una solución óptima múltiple (alterna), la cual se determina de

acuerdo a los 6¡j= 0.

Óptimo 1: De A Unidades Costo A F 10 5 A G 10 0 B F 30 5 C D 10 10 C E 15 10 C G 20 5

194

Solución Óptima No Degenerada

Óptimo 2:

D E F G A 10 10 B 30 C 15 30

De A Unidades Costo A D 10 5 A F 10 5 B F 30 5 C E 15 10 C G 30 5

Solución Óptima Degenerada W2* = $550.

Óptimo 3:

D E F G 20

B 10 20 C 15 30

De A Unidades Costo A F 20 5 B D 10 5 B F 20 5 C E 15 10 C G 30 5

PROBLEMAS DE TRANSPORTE DE MAXIMIZACIÓN

Cuando se tiene un problema de transporte de maximización se puede resolver de las siguientes maneras:

Solución Óptima Degenerada

195

• Se multiplica la función obj etivo por menos uno (luego cuando se obtenga la solución óptima se debe cambiar el signo del valor de la función objetivo); se aplica cualquiera de los métodos ya vistos.

• Se observa el tablero de costos no básicos (T.C.N.B.) si todos los ij < 0 la solución es óptima

única; si algunos la solución es óptima múltiple, cada celda igual a cero indica una ruta

alterna, sin que varíe W*; si se tienen varios se toma el más positivo y se asigna en dicha celda, es decir, se realizan nuevas asignaciones (reasignaciones).

Soluciones degeneradas en el problema del transporte

Para pasar del método de inicialización al método de finalización, se requiere que la solución sea no degenerada.

Existen varios métodos para resolver el problema de soluciones degeneradas. Se presenta el conocido como de - posiciones, que consiste en asignar convenientemente el valor (que es una cantidad positiva próxima a cero) a posiciones no localizadas hasta alcanzar m + n - 1 posiciones localizadas. Estas £ - posiciones se tienen en cuenta durante todo el proceso de solución en el método de finalización como si fueran posiciones básicas y únicamente al terminar el proceso de solución se hacen las E igual a cero. Para designar las - posiciones es necesario el concepto de ciclo que se construye así:

Paso 1. Fijar una posición vacía y asignarle

Paso 2. Un ciclo se construye considerando una sucesión de segmentos alternativamente verticales y horizontales con orígenes y extremos en posiciones básicas y que comienza y termina en la posición vacía inicialmente elegida.

Paso 3. A las posiciones del ciclo construido se las asigna alternativamente , empezando

con el de la posición vacía.

La asignación de - posiciones se hace a posiciones independientes definidas como aquellas posiciones vacías para las que no es posible construir un ciclo. Una vez identificada una posición independiente será posible asignarle un valor s ; en todo caso, la determinación de las posiciones independientes debe comenzar por aquellas (vacías) con costo más bajo, ya que la asignación de

- posiciones a éstas puede conducir más rápidamente a la solución final.

Una propiedad importante es que siempre es posible construir un ciclo a partir de una solución básica factible. Lo anterior nos permite obtener siempre una solución no degenerada de una solución degenerada y así pasar a la fase de finalización.

196

PROBLEMA DEL TRANSPORTE GENERALIZADO

Si en el problema de transporte original

con sus restricciones:

a este problema se le denomina de transporte generalizado. En el problema del transporte había m + n - 1 ecuaciones linealmente independientes, lo que condujo a la facilidad con la cual puede encontrarse una solución básica factible y probarse su optimización. En cualquier caso, como el problema de transporte generalizado es un problema de Programación Lineal, puede siempre solucionarse por el método simplex.

PROBLEMA DEL INTERTRANSPORTE O TRANSBORDO O REEMBARQUE

Este modelo fue propuesto por Alex Orden en 1956, como una generalización del problema del transporte. El modelo del transporte tiene la característica de estar relacionado con una red en la cual sólo hay nodos de dos tipos: nodos de suministro y nodos de demanda; los primeros que suministran flujo y los segundos que lo reciben. Es muy fácil imaginarnos un problema en el cual haya un tercer tipo de nodo a través del cual simplemente pueda pasar el flujo. Si en un problema de plantas y mercados, los envíos no se hicieran directamente de cada planta a cada mercado, sino que fuera posible enviar a bodegas en tal forma que el proceso fuera planta-bodega-mercado, las bodegas serían nodos de

197

Las restricciones

se reemplazan por ecuaciones linealmente independientes más generales del tipo:

intertransporte. Al grupo de problemas que contiene este tercer tipo de nodo se les llama problemas de transbordo o reembarque y, como veremos más adelante, tienen una estructura matemática equivalente a la del simple problema del transporte.

La siguiente es una comparación de dos redes, una correspondiente a un problema de transporte y la otra a un problema de intertransporte.

SUMINISTRO D E M A N D A SUMINISTRO D E M A N D A

Es importante advertir que los nodos de intertransporte pueden tener algún flujo positivo inicialmente o requerir alguna cantidad de flujo. Su característica principal es que permiten que pase flujo a través de ellos.

Mediante el siguiente método se puede transformar un problema de transbordo en un problema de transporte balanceado.

Paso 1. De ser necesario, se agrega un punto de demanda ficticia (con una oferta de cero y una demanda igual a la oferta en exceso del problema) para balancear el problema. Los envíos hacia el punto ficticio y desde un punto hacia sí mismo, tendrán por supuesto un costo de envío igual a cero. Sea 0¡ la oferta total disponible.

Paso 2. Se construye el tablero de transporte de la manera siguiente: se requiere un renglón en el cuadro por cada punto de oferta y por cada punto de transbordo y se necesitará una columna por cada punto de demanda y por cada punto de transbordo. Cada punto de oferta tendrá una oferta igual a su oferta original y cada punto de demanda tendrá una demanda igual a su demanda original. Sea O, la oferta total disponible; entonces cada punto de transbordo tendrá una oferta igual a la oferta original del punto + O y una demanda igual a la demanda original del punto + O.

PROBLEMA DE TRANSPORTE PROBLEMA DE INTERTRANSPORTE

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN O AFIJACIÓN O DE NOMBRAMIENTOS

La formulación del problema general de asignación es:

198

Corresponde a un caso especial del problema del transporte en el cual las variables X¡j sólo pueden tomar el valor 0 ó 1; tomar el valor 1 si el origen i se hace corresponder al destino j y 0 en caso contrario.

El algoritmo para resolver problemas de asignación se denomina Húngaro, ya que fueron dos matemáticos húngaros, Kónig (1916) y Egervary (1931), los que aportaron las teorías que sirven de base a este método.

Este problema se presenta en diversos casos de toma de decisiones. Los problemas típicos de asignación implican afijar tareas a máquinas, trabajadores a tareas y proyectos, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitaciones, horarios de aulas disponibles a horarios de maestros disponibles, enfermos a camas disponibles del hospital, cierto número de empleados a cierta cantidad de puestos en una empresa, aviones a destinos aéreos, entre otros.

Una característica importante de los problemas de asignación es que se asigna un trabajador, una tarea,..., a una sola máquina, proyecto.... en particular se busca el conjunto de asignaciones que optimice el objetivo planteado, tal como minimizar costos, minimizar tiempo o maximizar utilidad.

El Método Húngaro

Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del Método Húngaro son:

Paso 1. Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2. (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar.

199

Sujeta a:

Paso 3. Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2.

Notas:

1. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) y resolver el problema como uno de minimización.

2. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema de asignación está desbalanceado. El Método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el Método Húngaro.

3. En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas.

Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el Método Húngaro a la solución de un problema de asignación de minimización:

Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible.

Planteamiento del modelo primal:

M I N W = 10XU+ 14X| 2+ 16X1 3+ 13X1 4+12X2 i + 13 X2 2+ 15 X23 + 12 X24+ + 9 X3i + 12 X32

+ 12X 3 3 +11 X34 + 14 X4] + 16 X42 + 18 X43 + 16 X44

200

Sujeto a las siguientes restricciones:

Aplicando el Método Húngaro tenemos:

1 2 3 4 A 10 14 16 13 B 12 13 15 12 C 9 12 12 11 D 14 16 18 16

Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas correspondientes:

1 2 3 4 A 0 4 6 3 B 0 1 3 0 C 0 3 3 2 D 0 2 4 2

Ahora restamos 1 y 3 (columnas 2 y 3) de cada elemento en las columnas respectivas. En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):

1 2 3 4 A 0 3 3 3 B 0 0 0 . 0 C 0 2 0 2 D 0 1 1 2

201

Encontramos el menor valor que está por fuera de las rectas (1), lo restamos de esos mismos valores y lo adicionamos en las intersecciones:

1 2 3 4 A 0 2 3 2 B 1 0 1 0 C 0 1 0 1 D 0 0 1 1

Solución Óptima Única: A-l, B-4, C-3 y D-2. Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1(10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas).

La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas. Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.

PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN DE MAXIMIZACIÓN

Cuando se tiene un problema de asignación de maximización se puede resolver de las siguientes formas:

• Se multiplica la función obj etivo por menos uno y se resuelve como un problema de minimización.

• Se determina el costo más elevado de la tabla, se resta este costo de todos los elementos del tablero y se resuelve como un problema de minimización.

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADO

Si suponemos que existen m trabajadores y cada uno de ellos tiene cierta cantidad de recursos disponibles y existen n tareas que deben llevarse a cabo, el problema de asignación generalizado puede plantearse de la siguiente manera:

202

Sujeta a:

b¡ : Cantidad de recursos para el i - ésimo trabajador r¡j : Recursos del trabajador i - ésimo necesarios para realizar la j - ésima tarea. Q j : Costo para que el trabajador i - ésimo lleve a cabo la j - ésima tarea.

El primer conjunto de restricciones asegura que no se utilizan más recursos de los que están disponibles para cada trabajador; el segundo conjunto de restricciones afianza el hecho que cada uno de los trabajos lo lleva a cabo un solo trabajador.

EJERCICIOS PROPUESTOS

producción, tanto de su tactona central, como de sus otras fabricas.

A continuación, se presentan los requerimientos y capacidades de las ciudades y de las factorías:

Nuevos Requerimientos (Unidades)

Nueva Capacidad en las fábricas (Unidades)

Ibagué 200 Bogotá D.C. 300

Neiva 200 Medellín 150

Tunja 300 Cali 250

Los costos entre las factorías y los centros de distribución son:

Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de transporte.

203

La administración de la Fábrica Nacional de Trigo ha decidido la expansión de su capacidad de

zona cafetera (Armenia, Manizales, Pereira). Determine el mejor modelo de transporte a partir de la información dada en la siguiente tabla:

cuadros se dan las ofertas, demandas y costos (semanales):

ENS A M B L A D O R A OFERTA DE CARROS

C I U D A D DEMANDA DE CARROS

Bogotá D.C. 35 Cartagena 3 0

Medellín 60 Cali 4 5

Barranquilla 25 Montería 2 5

Pasto 2 0

Plañtear y resolver el anterior problema, es decir, encontrar el óptimo en un modelo de transporte.

En el siguiente problema de asignación, encontrar la asignación óptima:

A B C D

1 7 3 4 8

2 5 4 6 5 > 3 6 7 9 6

4 8 6 7 4

204

La Compañía Agroinsumos ofrece tres clases de abono para los cultivos que se presentan en la

La Compañía de Automotores es especialista en el ensamble de vehículos. En los siguientes

* Conseguir la afij ación óptima en el problema de asignación:

1 2 3 4 5 6

A 63 61 59 59 57 58 B 56 73 62 62 59 55

C 57 65 73 63 65 56 D 93 100 97 99 87 44

E 77 85 83 83 74 44

F 44 44 44 44 44 44

* Encontrar la asignación óptima en el problema siguiente:

A B C D E F G H

1 10 12 13 11 10 6 16 12 2 5 6 4 8 4 9 6 6 3 32 40 31 30 42 35 36 49 4 17 14 19 15 10 16 19 12 5 6 7 10 5 8 10 11 5 6 8 10 12 8 9 10 9 6 7 55 62 61 70 62 63 65 59 8 59 65 10 8 15 31 6 10

205

C A P Í T U L O V I I

P R O G R A M A C I Ó N L I N E A L ENTERA

"La ignorancia afirma o niega rotundamente; la ciencia duda". Volt aire

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Sus pioneros fueron Wagner (1950) y Manne (1959). Tradicionalmente estos modelos se han considerado como subclases de la programación lineal, sin embargo, las variables de decisión que aparecen en ellos sólo toman valores enteros, por lo que realmente deben considerarse como problemas de programación entera. El número de modelos lineales enteros y sus métodos de solución es en la actualidad bastante extenso, lo que nos ha llevado a hacer una selección, considerando aquellos que creemos más interesantes y que aparecen con mayor frecuencia en la realidad.

Un aspecto notable de los métodos de solución de estos problemas, que caen dentro de la clase denominada de modelos combinatorios, es la complejidad computacional. Un enfoque primitivo de resolución consiste en evaluar cada posible solución, es decir, cada una de las combinaciones de valores enteros para las variables del problema. En este caso, incluso en un problema pequeño como podría ser con diez variables y diez valores para cada variable, tendría un número grande (diez mil millones) de posibles soluciones, lo que hace necesario planteamientos de solución inteligentes. Estos se han dirigido por una parte hacia los "métodos exactos", es decir, aquellos que conducen a una solución óptima exacta para el problema combinatorio empleando técnicas que reduzcan la búsqueda de soluciones (caso del método simplex). Por otra parte, se ha propuesto un buen número de "métodos heurísticos", sin una base matemática formal, pero que, basados esencialmente en la intuición, conducen a una solución próxima a la óptima y, lo que es más deseable, en una cantidad razonable de tiempo. Más concretamente, lo hacen en tiempo polinomial, frente a muchos métodos exactos para problemas combinatorios que lo hacen en tiempo exponencial, siendo por tanto poco aplicables estos últimos a problemas de tamaño grande.

Si se requiere que todas las variables sean enteras, se dice que se habla de Programación Lineal Entera Pura; si se necesita que algunas de las variables de decisión sean números enteros, se tiene un problema de Programación Lineal Entera Mixta.

En algunas aplicaciones, sólo se permite que todas las variables tomen valores de cero o uno, hablamos en estos casos de Programación Lineal Entera Binaria (Digital); si se requiere que solamente algunas de las variables tomen valores de cero o uno, se tiene un problema de Programación Lineal Entera Binaria Mixta.

207

Para resolver problemas de Programación Lineal Entera, se utilizan varios algoritmos como son: Ralph Gomory, Ramificación y Acotamiento, Enumeración Exhaustiva o Enumeración Explícita, Enumeración Implícita, Aditivo de Egon Balas y Algoritmos /Heurísticos.

En Programación Lineal Entera Pura algunos de los algoritmos de solución que se emplean son: Método de Plano de Corte, Algoritmo Fraccional de Gomory, Algoritmo Entero Puro de Gomory, Método de Ramificación y Acotamiento y el Algoritmo de Land-Doig, entre otros. Para Programación Lineal Entera Binaria algunos de los utilizados son: Método de Ramificación y Acotamiento, Método Aditivo de Egon Balas, Método Lexicográfico, Método de Lemke y Spielberg, Distancia de Hamming y Retículos y Método de Trubin. En Programación Lineal Entera Mixta se usan el Algoritmo Entero Mixto de Gomory, el Algoritmo de Land-Doig, Método de Benders.

Algor i tmo Gomory

Se pretende mostrar una de las versiones de Gomory (Fraccional), existen otros, como son el entero y el mixto.

• Paso 1. Resolver el problema primal, si la solución es entera, corresponde a la óptima para el problema de Programación Lineal Entera.

• Paso 2. Seleccionar decimales y escoger aquel que tenga la mayor parte fraccionaria tomando las ecuaciones completas.

• Paso 3. Se separa la parte entera, es decir, quedarse solamente con la parte fraccionaria.

Nota: Luego de encontrar una solución óptima para el primal por Simplex y después de agregarle la primera nueva ecuación al sistema, se pasa a Dual-Simplex, para quitarle la infactibilidad al sistema.

A partir del siguiente ej emplo, vamos a mostrar la manera de aplicar el algoritmo de Gómory para solucionar un problema de Programación Lineal Entera:

MAX Z = 8 X t + 5 X2

Con sus restricciones:

208

Estandarización:

TABLERO 1 SIMPLEX

Variable que entra a la base: X¡ Variable que sale de la base: S2

TABLERO 2

Variable que entra a la base: X2 Variable que sale de la base: S!

TABLERO 3

Solución Óptima Única para el problema primal:

209

X, = 15/4; X2 = 9/4; S, = 0; S 2 = 0; Z* = 165/4, pero para el problema de Programación Lineal Entera no nos sirve la respuesta, ya que las variables de decisión tienen valores fraccionarios. Para resolver este problema, aplicamos un refinamiento de la Programación Lineal, el cual corresponde al algoritmo de Gomory:

X, -5/4 S, + 1/4 S 2 = 15/4

(1 + 0) X, + ( - 2 + 3/4) S, + (0 + 1/4) S2= (3 + 3/4)

3/4 S, + 1/4 S2 = 3/4 Nueva ecuación

3/4 Si + 1/4S2 > 3/4 Nueva restricción

- 3/4 S] — 1/4 S2 + S3 = — 3/4 Ecuación a introducir al sistema

A continuación se aplica el Dual-Simplex, con el objetivo de quitarle la infactibilidad al sistema.

TABLERO 4 DUAL - SIMPLEX

CB VB b X , X 2 S 2 S 3

5 X 2 9/4 0 1 9/4 - 1/4 0 8 X , 15/4 1 0 -5 /4 1/4 0

0 S 3 - 3 / 4 0 0 - 3 / 4 - 1/4 1

Z 165/4 0 0 5/4 3/4 0

Variable que se vuelve no básica: S3 Variable que se vuelve básica: S2

TABLERO 5 DUAL - SIMPLEX

CB VB b X , X 2 S 2 S 3

5 X 2 0 0 1 0 - 1 3 8 X , 5 1 0 0 2/3 - 5 / 3

0 S, 1 0 0 1 1/3 - 4 / 3

Z 40 0 0 0 1/3 5/3

Solución Óptima al problema de Programación Lineal Entera:

X* = 5; X*2 = 0; S* = 0; S* = 1; S* = 0;Z* = 40.

210

Método de ramificación y acotamiento

Cada problema de Programación Lineal Entera para su solución se divide en dos subproblemas; para cada subproblema puede ocurrir lo siguiente:

1. Cuando el problema es no factible se da por terminado.

2. La solución es entera mejor que cualquier solución entera conocida, es candidata a solución; en este caso no se busca más.

3. Es fraccionario mejor que la solución entera conocida más adecuada, se parte en dos este problema.

4. Es peor que la mejor entera conocida; no se investiga más.

Ejemplo

MAX Z = 3 X! + 5 X2

Con sus restricciones

TABLERO 1 SIMPLEX

211

Solución Analítica:

Estandarización:

TABLERO 2

Solución Óptima Única de Programación Lineal: no de Programación Lineal Entera.

Solución Óptima al problema de Programación Lineal Entera:

más

212

Método de enumeración exhaustiva o enumeración explícita

Consiste en enumerar todas las soluciones posibles, a partir de los valores tomados para las variables enteras y realizar todas las combinaciones posibles hasta encontrar una combinación que nos proporcione el valor óptimo de la función objetivo y que cumpla con todas las restricciones del problema. Una de las objeciones principales que presenta este método es el número de variables, ya que se presentan demasiadas combinaciones antes de encontrar la solución óptima.

Ejemplo

MAX Z = 3 X! + 5 X2

Sujeta a:

A continuación observamos las posibles soluciones aplicando los valores de y X2 a la función objetivo y además teniendo en cuenta que se cumplan las restricciones.

213

Posibles valores enteros de X2, según la restricción X 2 = [0,1,2,3]

Posibles valores enteros de X2, según la restricción X 2 = [0,1,2,3,4,5,6,7,8]

Entonces Xj = [0,1,2]

Posibles valores enteros de Xj, según la restricción

X i = [ 0 , 1 , 2 ]

Posibles valores enteros de X], según la restricción [0,1,2,3,4,5,6,7,8]

Solución

Entonces X 2 = [0,1,2,3]

Donde S;i = 1, 2, 3,..., 12 corresponde a los tipos de soluciones resultantes, en las cuales existen algunas válidas y otras que no lo son por violar alguna o todas las restricciones; R|: restricción 1;

Las situaciones en las que las decisiones aparecen como alternativas son las más frecuentes con las que nos enfrentamos. La noción de tipo binario la utilizamos en nuestros razonamientos y en nuestras acciones: todo o nada, blanco o negro, abierto o cerrado, existe o no existe, 0 ó 1, verdadero o falso, prendido o apagado, muerto o vivo, entre otros.

Los dos métodos más usuales para solucionar problemas de Programación Lineal Entera Binaria son Enumeración Implícita Cero-Uno y Método Aditivo de Egon Balas.

Método de enumeración implícita Cero-Uno

El método de Enumeración Implícita Cero-Uno consiste en enumerar todas las soluciones y analizarlas; se entiende que este proceso es bastante dispendioso, sobre todo si se tiene un número apreciable de variables, ya que el número de combinaciones corresponde a 2n, donde n es el número de variables del problema.

Ejemplo

214

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA BINARIA

R2: restricción 2. Entonces la solución óptima es:

Con sus restricciones:

Para nuestro caso el número de combinaciones es 25 = 32, que corresponde a la cantidad de soluciones posibles:

Método adit ivo (enumeración) de Egon Balas

Este método es un procedimiento de enumeración que encuentra el óptimo en forma más rápida; en el método de Balas, la eficacia consiste en la evaluación sólo de unas soluciones. El método empieza poniendo todas las variables iguales a cero y luego por medio de un procedimiento sistemático de forma consecutiva se asigna a una por una de las variables el valor 1. Luego se reemplaza en cada una de las restricciones y se averigua la infactibilidad. Por esta razón el método es algunas veces llamado el algoritmo aditivo.

Para describir el algoritmo, se considera la forma general siguiente de un problema de Programación Lineal con variables cero-uno:

• Paso 1. La función objetivo debe ser del tipo minimización, con todos los coeficientes no negativos.

• Paso 2. Todas las restricciones deben ser del tipo < con los lados derechos?negativos?de ser necesario. Luego, estas restricciones se convierten a ecuaciones, usando las variables auxiliares en el lado izquierdo de las restricciones.

Ejemplo

215

En el tablero anterior algunas soluciones son válidas, mientras que otras no, porque en algunos

casos violan una, unas o todas las restricciones. Solución Óptima:

216

Sujeta a:

MIN W = - 3 Y, - 2 Y2 + 5 Y3 + 2 Y4 - 3 Y5

Con sus restricciones:

Reemplazamos:

Sujeta a:

Sustituimos W' + 8 = W

Con sus restricciones:

Siempre el problema nuevo a resolver consiste en la minimización de la función objetivo, teniendo en cuenta la medida de la no factibilidad de la holgura. Cuando la infactibilidad da el menor valor, continuamos con el siguiente paso; en el caso de una infactibilidad cero, ésta corresponde a la solución óptima; si encontramos varias infactibilidades iguales a cero, reemplazamos en la función objetivo y la respuesta será la que haga esta función mínima.

217

Algunos autores emplean el algoritmo de Balas modificado, el cual consiste en introducirle al modelo una restricción denominada de filtro, la cual no es otra que la función objetivo con una cota inferior del valor óptimo. Históricamente es muy importante, ya que ha demostrado que algoritmos eficaces de programación en números enteros podrían emplear la enumeración implícita.

Solución Óptima Única para el problema original:

• X, = 0;X 2 = 0;X3 = 0; X4 = 0;X 5 = 0 0 < 1; 0 < - 2; 0 < - 1; Infactibilidad 3

• X! = 0; X2 = 0; X3 = 0; X4 = 0; X5 = 0 0 < 2 ; 0 < 5 ; 0 < - 1 2 ; Infactibilidad 12

• X 2 = 1;X, = 0;X 3 = 0; X4 = 0 ;X 5 = 0 0 < 2; 0 < - 2; 0 < 5; Infactibilidad 2

• X 3 = 1;X! = 0;X2 = 0; X4 = 0;X 5 = 0 0 < 0 ; 0 < - 5 ; 0 < - l ; Infactibilidad 6

• X 4 = 1 ; X 1 = 0;X 2 = 0; X3 = 0;X 5 = 0 0 < - l ; 0 < 2 ; 0 < 2 ; Infactibilidad 1

• X 5 = l ; X i = 0;X2 = 0; X3 = 0;X 4 = 0 0 <2; 0 < 1; 0 < 2; Infactibilidad 0

Solución Óptima Única:

X* = 0; X*2= 0; x] = 0; X¡ = 0; X¡ = 1; W* = 3.

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA

En un problema de Programación Lineal Entera Mixta, algunas variables deben ser enteras y otras pueden ser enteras o no. Supongamos que un problema de Programación Lineal Entera +Binaria contiene n + p variables, tales que n variables no puedan tomar más que valores enteros y que las otras p variables no puedan tomar más que valores reales no negativos; presentamos a continuación un algoritmo de enumeración. Ejemplo:

La solución óptima es: X* = 1/2; Y* = 1; Y* = 0; W* = 3/2.

EJERCICIOS PROPUESTOS

218

Sujeta a:

El conjunto de soluciones está dado por:

Encontrar el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal Entera Pura:

Sujeta a:

Conseguir el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal

Entera Pura:

Encontrar el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal

Entera Binaria:

Con sus restricciones:

Obtener el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal

Entera Pura:

Sujeta a:

219

Con sus restricciones:

En el siguiente problema de Programación Lineal Entera Binaria

encontrar el óptimo:

Sujeta a:

Obtener el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal

Entera Mixta:

Con sus restricciones:

Conseguir el óptimo en el siguiente problema de Programación Lineal

Entera Mixta:

221

C A P Í T U L O V I I I

T E O R Í A DE D E C I S I O N E S

"Se debe hacer todo tan sencillo como sea posible, pero no más sencillo ". Albert Einstein

INTRODUCCIÓN

Para una persona que toma decisiones, es difícil tener en cuenta todos los factores que inciden en la decisión, por tanto, es indispensable encontrar algún modo de descomponer estos factores, de tal manera que le permita al tomador de decisiones, pensar en las implicaciones de cada factor, en forma racional.

Cualquier problema de decisión, tiene ciertas características que describen su naturaleza, y además pueden proporcionar alternativas para su solución.

El tomador de decisiones debe especificar y describir los factores que tendrá en cuenta para optar una decisión, acorde con sus expectativas.

La teoría de decisiones es una aproximación analítica y sistemática para estudiar la toma de decisiones.

Durante este escrito se pretende presentar algunos modelos matemáticos utilizados como ayuda a los empresarios para tomar óptimas decisiones.

Los pasos en la Teoría de Decisiones

Ya sea que usted esté decidiendo acerca de lograr un corte de cabello de moda, construyendo una fábrica multimillonaria o comprando una cámara nueva, los pasos para tomar una buena decisión son básicamente iguales. Estos pasos son:

1. Defina claramente el problema.

2. Liste las posibles alternativas.

3. Identifique los posibles resultados.

4. Liste el costo o la utilidad de cada combinación de alternativas y resultados.

5. Seleccione uno de los modelos matemáticos de la teoría de decisiones.

6. Aplique el modelo y tome su decisión.

223

TOMA DE DECISIONES

Varios factores en la toma de decisiones

Muchos problemas en la toma de decisiones, envuelven un número de factores. Por ejemplo, si usted está considerando un nuevo trabajo, los factores pueden incluir un salario inicial, oportunidades de progreso en la carrera, la ubicación del trabajo, las personas con las que estará en el trabajo, el tipo de trabajo que estará realizando y la variedad de beneficios adicionales.

Si usted está considerando la compra de un computador personal, hay un importante número de factores que se deben considerar muy bien. Entre estos factores se puede incluir el precio, la capacidad de memoria, la compatibilidad con otros computadores, flexibilidad, nombre de la marca, viabilidad del software, la existencia de algunos clubes o grupos de usuarios y la garantía de los fabricantes del computador y el local del almacén de los computadores.

En la compra de un carro nuevo o usado factores como el color, el estilo, fábrica y modelo, año, número de millas, si es un carro usado, precio, la institución o individuo de quien usted está adquiriendo el carro, las garantías y el costo del seguro, pueden ser factores importantes a considerar.

En la toma de decisiones de varios factores, muchos individuos subjetiva e intuitivamente consideran la variedad de factores para hacer su selección. Para decisiones difíciles se recomienda una aproximación cuantitativa. Todos los factores importantes pueden entonces dar consideraciones apropiadas y cada alternativa, tal como un carro, un computados o un prospecto de un nuevo trabajo, pueden ser evaluados en términos de estos factores. Esta aproximación es llamada proceso de evaluación de varios factores.

En otros casos no nos es posible cuantificar nuestras preferencias por varios factores y alternativas. Nosotros entonces usamos el Proceso de Jerarquía Analítica. Este proceso utiliza algunos modos de comparación computando el peso de los factores considerados y las evaluaciones. Nosotros empezamos con una discusión del proceso de evaluación de varios factores.

Consideramos la toma gerencial de decisiones como un proceso en donde un gerente (o un grupo) enfrentado a un problema, busca un curso alterno específico de opciones entre un conjunto de posibles cursos de acción disponibles. En la mayoría de los casos hay alguna incertidumbre sobre el futuro y así no podemos estar seguros de las consecuencias finales de la decisión elegida. ¿Cómo se llega a una (o cualquiera) de estas situaciones de decisión? La toma de decisiones es la respuesta a un problema de decisión, que generalmente se presenta como resultado de una discrepancia entre las condiciones existentes y las metas y objetivos de la organización, representada por su gerente.

Tipos de decisiones y sus elementos constitutivos

La Figura N° 1 ilustra varios tipos generales de situaciones de decisión en las que puede encontrarse un gerente. Estas situaciones comprenden:

224

1. Decisiones bajo certeza (en donde todos los hechos son conocidos con seguridad) versus incertidumbre, en donde el evento que ocurrirá, (estado de la naturaleza) no es conocido con seguridad pero se le puede asignar una probabilidad o posibilidad a su ocurrencia.

2. Decisiones estáticas (decisiones que se toman una y sólo una vez) versus decisiones dinámicas (en donde se toma una secuencia de decisiones interrelacionadas, bien simultáneamente o sobre varios períodos de tiempo).

3. Decisiones donde el oponente es la naturaleza (por ejemplo, el estado de tiempo, de la naturaleza) o un oponente que piensa (racional).

Considerando todas las posibles combinaciones de estos factores, hay ocho tipos generales de condiciones o situaciones de decisión que puede enfrentar un gerente. Por ejemplo, el punto seis de la Figura N° 1 representa una situación de decisión estática en donde existe incertidumbre y el oponente es racional. La programación de producción y la competencia frente a ventas futuras inciertas.

Los elementos de una decisión constan de:

1. Una unidad de toma de decisión (individual, grupo, organización o sociedad).

2. Un conjunto posible de acciones que pueden tomarse para resolver el problema de decisión.

3. Un conjunto posible de estados que pueden ocurrir.

4. Un conjunto de consecuencias asociadas con cada acción y estado posible que pueden ocurrir.

5. La relación entre las consecuencias y los valores de la unidad de toma de decisión.

Por consiguiente, en una situación real de toma de decisión, la definición y generación de alternativas, estados y consecuencias es el aspecto más difícil, sino crucial, del problema de decisión.

FIGURA N ° 1. TIPOS DE DECIS ION Y SUS ELEMENTOS CONSTITUTIVOS

225

FIGURA N ° 2. T A X O N O M Í A DE LAS SITUACIONES DE DECISIÓN

¿Por qué la toma de decisiones es compleja?

En primer lugar, ¿por qué se presentan situaciones complejas de toma de decisiones? Una razón es que en nuestra sociedad contemporánea, el ambiente político, económico y tecnológico y los factores competitivos interactúan en una forma bastante complicada. Por ejemplo, la selección de un sitio para una nueva planta debe basarse en la disponibilidad de fuerza laboral, acceso a mercados y materias primas, la actitud de la comunidad, consideraciones ambientales y ecológicas, la posibilidad de incremento de salarios por parte de empresas regionales en el área para evitar la fuga de su fuerza de trabajo, etc.

Otros factores que pueden complicar la toma de decisiones son la organización (quizá sin saberlo) que puede perseguir metas incompatibles, la responsabilidad y autoridad para la toma de decisiones dentro de la organización que puede estar bastante difusa y el ambiente dinámico e incierto dentro del cual opera la organización.

En términos más fundamentales, podemos decir que, en general, las dificultades y complejidades de la toma de decisiones (aún las relativamente simples) se deben a:

1. Los responsables de la decisión o a las unidades de toma de decisiones, sus valores, metas (que pueden ser inconsistentes con la organización), actitudes de riesgo y sus creencias o conocimiento de la situación.

2. Los recursos limitados y la capacidad de la organización y su gente.

3. La complejidad de la situación decisoria:

a. La naturaleza múltiple de las metas y objetivos que se intentan lograr.

b. El número de alternativas posibles que se deben escoger.

c. Los eventos o estados posibles múltiples que pueden ocurrir.

226

d. Las posibles consecuencias múltiples que pueden resultar cuando se toma una acción y ocurre un conjunto de eventos.

4. Las diferentes estructuras de preferencia de los individuos en la organización.

5. La interacción de las decisiones hechas por diferentes tomadores de decisiones.

La complej idad de un problema, o aún una decisión relativamente simple, puede crear confusión mental. La premisa básica de la Investigación de Operaciones es que es más fácil resolver problemas complejos de decisión si los factores que influencian la decisión se hacen visibles y cuantificables.

Es también fácil examinar y analizar un problema complejo, si los conceptos, herramientas y las técnicas de Investigación de Operaciones se utilizan para descomponer el problema en sus elementos más simples; una vez que se hace esto, los elementos pueden agregarse o sintetizarse. Esto proporciona una visión del problema total y ayuda en su resolución; intrínseco en el enfoque de Investigación de Operaciones está la construcción de un modelo que sintetice los segmentos de una organización afectada por la decisión.

Beneficios y limitaciones del enfoque científico en la toma de decisiones

Obviamente, los gerentes tienen que tomar y toman decisiones constantemente. Para una situación dada, un proceso formal de toma de decisiones puede resultar en una solución idéntica obtenido por medios intuitivos. Por otra parte, el hecho de que una decisión se tome dentro de un marco ordenado y matemáticamente preciso, no podrá juzgarse necesariamente en forma retrospectiva como una decisión bien tomada. La incertidumbre sobre las consecuencias futuras juega un papel fundamental aquí, y así, un resultado no satisfactorio puede obtenerse aún para la mejor decisión que haya podido ser hecha.

Similarmente, a largo plazo, la aplicación de un enfoque racional formal a la toma de decisiones puede fortalecer el proceso de toma de decisiones gerenciales. Esta afirmación es soportada por la utilización sustancial de las técnicas y modelos de Investigación de Operaciones, tanto en el sector privado como en el público, y su adopción en el plan básico de casi cualquier escuela de Ingeniería y Negocios.

¿Cómo es beneficioso un enfoque formal en la toma de decisiones?

1. Proporciona a quienes toman las decisiones un conjunto de conceptos y herramientas que los capacitan para tomar decisiones de una manera lógica, consistente y con tanta precisión como sea posible.

2. Suministra a quienes toman las decisiones una visión mejorada del proceso de toma de decisiones de tal manera que ellos puedan mejorar su propio proceso intuitivo de toma de decisiones.

227

3. La formalización y cuantificación del problema facilita la comunicación y coordinación. De esta manera, las preferencias divergentes y la información entre individuos puede reconciliarse y las decisiones se pueden coordinar.

4. La formalización de problemas de decisión rutinarios o repetitivos (por ejemplo, el manejo de las actividades de operación y el monitoreo de tendencias peligrosas) libera a los gerentes para que se concentren en asuntos de más presión, excepto cuando se presentan circunstancias poco comunes, que requieren revisión del curso de acción diario. De esta manera los gerentes logran mejor control de sus operaciones y pueden asignar su tiempo más eficientemente.

5. La formalización facilita el desarrollo de mejores sistemas de planeación organizacional, de control y de operación. Un estudio de Investigación de Operaciones iniciado para analizar un problema particular de decisión, puede convertirse finalmente en una parte integral del sistema de decisión de la organización y ser empleado repetitivamente. Así, el costo de iniciar la primera aplicación puede producir utilidades a largo plazo y generar beneficios que originalmente no se habían previsto.

6. Sirve para mantener registros, que es de gran valor histórico y corriente. Así, los gerentes pueden seguir el desarrollo de un sistema, los nuevos gerentes familiarizarse con sistemas existentes más rápidamente, los problemas se pueden aislar con mayor fiabilidad y las revisiones al sistema se pueden hacer más fácilmente y se pueden hacer conocer de todas las personas involucradas.

Hay naturalmente, limitaciones con el uso del enfoque formal en la toma de decisiones. No importa qué tan sofisticado sea el diseño del sistema; un enfoque formal rara vez proporciona toda la información para la acción. Un enfoque formal incluye un modelo y un modelo no es una realidad sino una abstracción de la realidad; por otra parte, el proceso mismo de construir un modelo formal de decisión involucra subj etividad además de la manipulación lógica de los símbolos y datos. Por tanto, los gerentes deben estar prevénidos de que un modelo no describe la realidad y por consiguiente las soluciones no son sagradas. En resumen, un enfoque de Investigación de Operaciones no es siempre suficiente, sino que debe ser atemperado por el juicio proporcionado por el conocimiento de los administradores.

Además, una implementación verdaderamente satisfactoria de un enfoque de Investigación de Operaciones debe aplicar, tanto las ciencias del comportamiento como las matemáticas, debido a que el sistema resultante puede interactuar con los seres humanos. Por tanto, se debe tener en cuenta la capacidad de las personas y su voluntad para utilizar el sistema desarrollado.

228

FIGURA N ° 3. D I A G R A M A DE FLUJO DEL PROCESO TEÓRICO DE D E C I S I Ó N

Modelos y Técnicas Mult iatr ibutos

La teoría y el análisis de decisión se aplican fuertemente a situaciones de decisión de sistemas orientados por metas; el tomador de decisiones asume el trabajo de que el sistema obtenga metas y objetivos conocidos. El considera solamente estas alternativas y criterios los cuales, hasta donde él conoce, influencian significativamente el éxito del esfuerzo. Para decisiones en donde se pueden describir adecuadamente por una sola variable, los métodos existentes de asignación de utilidades son adecuados. Sin embargo, cuando se requieren muchas variables para describir las consecuencias que se están considerando, la asignación de utilidades se vuelve difícil. Es quizá poco realista esperar que un tomador de decisiones obtenga un valor de utilidad sin proporcionarle a él algún medio de clasificar la información de atributos para cada alternativa.

229

Consideremos ahora algunos métodos disponibles para que un tomador de decisiones pueda enfrentarse a un problema de decisión multiatributo.

1. Los modelos no compensatorios: No permiten intercambios entre los atributos; las comparaciones se hacen en una base atributo por atributo y en general, la caracterización multidimensional no es amalgamable en un solo número de utilidad. En otras palabras, la dimensionalidad total del espacio atributo se retiene generalmente (aunque hay excepciones). Se subdivide en:

a. Dominación b. Satisfacción (conjuntivo-disyuntivo) c. Lexicografía d. Maximín (minimax) e. Maximax

2. Los modelos compensatorios: El término "compensatorio" es utilizado en el sentido de que un valor bajo en algún atributo puede ser compensado (o "intercambiado") por un valor alto en algún otro atributo. Las diversas maneras en que los valores de los atributos compensan el uno al otro, sirven en parte, para distinguir los modelos. Los modelos descritos en esta sección son:

a. El modelo de utilidad aditiva. b. Modelos de utilidad configural. c. Modelos de representación espacial. d. Modelos de programación matemática.

Modelos de Dominación

Esto es, cuando comparamos todas las alternativas, si una alternativa tiene valores atributos por lo menos tan buenos o mejores para todos los atributos, decimos que esta alternativa domina a las otras. En otras palabras, la utilidad de al es mayor que la utilidad de a2 ( U (ai) > U (a2) ), así a¡ se prefiere a a2 ( a, > a2 ).

La eliminación nos deja con alternativas no dominadas solamente (también llamada admisible, Pareto-Optimal).

230

Podemos reducir el número de alternativas que deben examinarse eliminando aquellas que son "dominadas"; la alternativa al se dice que domina la alternativa a2 si

Cuando se emplea el criterio de dominación: (1) la información numérica sobre los valores de los atributos es innecesaria, (2) ninguna suposición está implicada respecto al grado de preferencia de los atributos particulares y (3) la dominación no requiere que el tomador de decisiones dé importancia relativa a cada uno de los atributos.

Modelos de Satisfacción

Hay dos tipos de modelos de satisfacción que debemos considerar: conjuntivos y disyuntivos. Tanto los disyuntivos como los conjuntivos, no se emplean comúnmente para ordenar alternativas, sino más bien a dicotomizarlas en categorías aceptable-inaceptable.

Con los modelos conjuntivos especificamos un valor mínimo gj (nivel de aspiración, valor de corte, valor umbral, nivel meta) para cada uno de los atributos y nosotros decimos que la alternativa ai es "aceptable" si ella domina (o no es peor que) g ls g2,..., gm. En otras palabras, todos los estándares o metas deben lograrse o sobrepasarse para poder que la alternativa sea aceptable.

Con los modelos disyuntivos especificamos un valor máximo hj para cada atributo crítico m y decimos que la alternativa ai es "aceptable" si sobrepasa aquel valor máximo en cada atributo crítico. En la forma disyuntiva, solamente uno o más estándares deben excederse para que la alternativa sea aceptable; los modelos disyuntivos deben evaluar alternativas con base a su máximo en vez de los valores mínimos.

Modelo de Lexicografía

Los modelos de lexicografía se distinguen de los modelos anteriores en que para el procesamiento de los datos se procede secuencialmente. Primero se clasifican las alternativas de acuerdo a los atributos más importantes (metas). Si todas las alternativas pueden ordenarse con respecto al atributo más importante, los atributos restantes no se consideran. Sin embargo, si algunas alternativas están empatadas en el atributo más importante, el tomador de decisiones procede al atributo siguiente más importante, para resolver el subconjunto de alternativas empatadas. El proceso continúa hasta que todas las alternativas se clasifican o hasta que todos los m atributos han sido considerados.

Así, podemos definir un modelo lexicográfico de la siguiente manera: supongamos que tenemos m atributos y que estos atributos se clasifican, de tal manera que el atributo 1 es más importante que el atributo 2 y que el atributo 2 es más importante que el atributo 3, etc. Consideremos dos acciones alternas y a2 que tengan los siguientes niveles de atributos:

231

Entonces, por ordenamiento lexicográfico, al se prefiere a a2 (ai > a2) si a\j > a2], independiente de las relaciones entre ajj y a2j- para j > 1. Si au = a21, entonces la elección entre a¡ y a2 está en los valores relativos de los segundos atributos a12 versus a22. Si a12 = a22, la elección se hace con respecto al tercer atributo (por ejemplo aj3 versus a23), etc.

Generalmente hablando, los modelos lexicográficos suponen funciones de utilidad separadas o independientes para cada atributo en orden de preferencia por atributos. Por consiguiente, el modelo lexicográfico es no compensatorio y no puede representarse por una sola función de utilidad. Ninguna consideración se da al atributo k si es posible clasificar todas las alternativas con respecto al atributo j, el atributo más importante.

Maximín (minimax)

El procedimiento maximín selecciona las alternativas con el valor mínimo mayor de cualquier atributo.

En símbolos: máx {a¡} mínj a{]

El método maximín puede ser utilizado solamente cuando los valores interatributos son comparables. El método utiliza lo que podría llamarse una ponderación degenerada especializada, puesto que la ponderación, que puede ser diferente para cada alternativa, asigna un peso de "1" al peor valor del atributo y un peso de "0" a todos los otros. El método requiere que, para cada una de las alternativas, el tomador de decisiones compare todos los valores de atributos para identificar el peor valor; este valor peor del atributo es entonces utilizado para representar la alternativa; la regla para el tomador de decisiones, entonces, es seleccionar aquella alternativa con el máximo de estos valores mínimos.

La única vez que el maximín es aplicable es cuando el comportamiento total de la alternativa se determina por el atributo más débil (por ejemplo, el eslabón más débil de una cadena).

Maximax

El procedimiento maximax selecciona la alternativa con el valor alto más grande del atributo.

En símbolos: máx { a,} máx¡ a-

En contraste con el método maximín, el método maximax representa una alternativa para el mejor valor de su atributo. Él también requiere un alto grado de comparabilidad y utiliza una ponderación especializada degenerada (con un peso de "1" asignado al mejor atributo y "0" a todos los otros). En ambos casos del maximax y minimax la elección final se hace considerando solamente un atributo por alternativa, que es generalmente indeseable. Ambos métodos suponen todos los atributos intercambiables

232

en el sentido que no importa cuál sea el que uno maximice; este método es aplicable cuando las alternativas, que se describen por multiatributos, pueden ser especializados en uso a un atributo y el tomador de decisiones no tiene requerimientos a priori sobre cuál atributo es éste.

Modelo de utilidad aditiva

Este modelo ha recibido la mayor atención y ha sido ampliamente aplicado a todos los modelos UMA (Modelos de Utilidad Multiatributos). La forma básica de este modelo,

donde U¡i y Uj2 son los componentes de utilidad del primero y segundo valores del atributo y U¡3;¡2

es la componente de utilidad que tiene en cuenta el efecto de interacción. El efecto de interacción simplemente implica que cada atributo no es valorado en sí mismo, esto es, no puede separarse en utilidades para cada atributo individual.

Dos tipos de modelos configúrales que pueden tomarse como aproximaciones compensatorias de modelos de compensación (satisfacción) conjuntivos o disyuntivos descritos anteriormente, se mencionan brevemente. Para el modelo conjuntivo, la aproximación es:

233

donde a¡ ¡ y a¡2 son los valores de los atributos primero y segundo de la i-ésima alternativa, respectivamente

Modelos de utilidad configural (no lineal)

Los modelos configúrales UMA permiten manejar funciones más complejas que el modelo aditivo lineal simple de la ecuación (1) o (2). Por ejemplo, si suponemos sólo dos atributos y los valores de los atributos interactúan, tendríamos el siguiente modelo configural:

El Wj denota importancias relativas asignadas a cada uno de los atributos, reflejando su contribución a la utilidad total. En esencia, cada Wju(ay) refleja la componente de utilidad del valor del atributo j-ésimo asociado con la alternativa i-ésima, esto es, la expresión puede escribirse:

La ecuación (6) tiene la forma aditiva lineal familiar de la ecuación (1) y así puede resolverse de esta forma.

La aproximación del modelo disyuntivo requiere la selección de un conjunto de valores máximos hj para todos los atributos j. Estos valores se escogen arbitrariamente por encima de los valores más altos obtenibles para cada alternativa en un atributo dado. El modelo se escribe como:

donde el modelo representado por la ecuación (4) es de la forma aditiva lineal de la ecuación (1).

Se puede concluir esta sección, diciendo que hay dos métodos básicos para estimar los valores de los parámetros de modelos compensatorios UMA: (1) Inferencia de los datos elegidos en el pasado utilizando modelos estadísticos como el análisis de regresión y (2) interrogación directa.

Modelos de representación espacial

Hay dos tipos de estos modelos, los cuales serán considerados ahora brevemente:

1. Curvas de indiferencia. Las curvas de indiferencia, que han sido largamente utilizadas en Economía, muestran las combinaciones de valores de atributos que son igualmente preferidas. Las alternativas que deben evaluarse son puntos de estas curvas de indiferencia en la cual ellas descansan, se puede generar un ordenamiento completo entre las alternativas. En esencia, este procedimiento es simplemente una forma gráfica de realizar intercambios.

234

o en forma logarítmica, como:

donde las W¡ son constantes que deben derivarse. La formulación anterior puede expresarse en forma logarítmica como:

2. Escalamiento multidimensional. Estos modelos se caracterizan por cuatro atributos, los cuales son:

a. Un conjunto de alternativas especificadas, en algunos casos con valores de atributos vagos o desconocidos.

b. Un procedimiento para obtener juicios intra e interatributos o un juicio agregado. c. La construcción de una representación espacial. d. La identificación de configuraciones ideales y la regla de elección basados en las alternativas

de proximidad de estas configuraciones ideales.

En el escalamiento multidimensional, la clasificación de proximidades de pares de alternativas del tomador de decisiones puede utilizarse para construir una representación espacial multidimensional. Las alternativas se representan por puntos en este espacio; los puntos que están más cercanos en términos de preferencias. Al tomador de decisiones se le pide que localice su alternativa ideal en este espacio y entonces la distancia del punto ideal es medida (utilizando la medida eucli diana o cualquier otra medida), para clasificar las alternativas en orden de preferencia.

Modelos de Programación Matemática

Esta clase general de modelos tiene el siguiente conjunto común de características:

1. Un conjunto grande o infinito de alternativas. 2. Un conjunto tecnológico, económico o de restricciones de preferencia. 3. Una función objetivo que es compensatoria. 4. Un algoritmo (por ejemplo, el método simplex de programación lineal) que converge hacia una

solución óptima.

Programación Lineal y No Lineal

Un modelo regular de Programación Lineal y No Lineal puede mirarse como un modelo de decisión de atributos múltiples en el siguiente sentido. Las variables son los atributos, las restricciones lineales y no lineales son restricciones conjuntivas o combinaciones de atributos y hay una función objetivo compensatoria lineal o no lineal. El objeto es maximizar o minimizar la función objetivo sujeta a las restricciones.

En contraste con los modelos UMA, no hay una lista pequeña explícita de alternativas de las cuales escoger, sino más bien un conjunto infinito o factible de alternativas implícitamente definidas por el conjunto de restricciones. Los algoritmos de solución eficiente tales como el método simplex, se utilizan para encontrar la alternativa óptima reuniendo la mejor combinación o conjunto de valores de atributos (variables) factibles.

235

Decisiones Multicriterio

Programación Meta

En la formulación de una Programación Meta, el tomador de decisiones especifica niveles aceptables o deseables de los valores de cada atributo (por ejemplo, restricciones de una sola variable) o en combinaciones de multiatributo (restricciones de multiatributo) y éstos sirven como las metas primarias. En lugar de tratar de maximizar o minimizar la función objetivo directamente, como en la Programación Lineal (No Lineal), deben minimizarse las desviaciones entre las metas y lo que puede lograrse dentro de un conjunto dado de restricciones. En el algoritmo Simplex de Programación Lineal, tales desviaciones se denominan variables "sobrantes" o "faltantes". Las variables de decisión toman un nuevo significado en la programación meta; la variable de desviación se representa en dos dimensiones: desviaciones positivas y negativas de cada submeta o meta; entonces la función objetivo se convierte en la minimización de estas desviaciones, basados en la importancia relativa o prioridad asignada a ellos.

La característica distintiva de la Programación Meta, es que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal; esto es, las metas que son clasificadas en orden de prioridad (importancia) por el tomador de decisiones, se satisfacen secuencialmente por el algoritmo de solución. Obviamente no es siempre posible lograr cada meta en la extensión deseada por la administración. En este sentido, la programación meta puede mirarse como un procedimiento lexicográfico. La Programación Meta es un procedimiento de satisfacción, en el sentido de que el tomador de decisiones trata de lograr un nivel "satisfactorio" de objetivos múltiples en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo (como en la Programación Lineal).

TEORÍA DE LA UTILIDAD

La teoría de la utilidad se enmarca dentro de la teoría de la decisión y su característica esencial es que la toma de decisiones en utilidad se realiza desde un enfoque axiomático. Un proceso de decisión trata de resolver la ambigüedad existente en un conjunto de alternativas, revelando la estructura de preferencias que, se supone, existe en el conjunto de alternativas. Para ello es preciso construir una escala de preferencias, la cual debe pennitir la comparación entre las diferentes alternativas. Así, debemos encontrar en las alternativas propiedades susceptibles de ser medidas, con el fin de averiguar qué valores numéricos representan tales propiedades, de manera que la comparación de alternativas quede reducida a una comparación de números reales.

Existen varias formas de construir escalas de preferencia, lo que constituye las diversas metodologías o racionalidades de la teoría de la utilidad; una de las maneras es construir una función numérica que traduzca la estructura de preorden completo, que se supone como hipótesis básica, subyacente en el conjunto de alternativas. Ahora bien, como no toda función real sobre el conjunto de alternativas es válida, habrá que exigirle una serie de condiciones.

Así, la teoría de la utilidad es la parte de la teoría de la decisión que postula, mediante una serie de axiomas, el comportamiento del decisor; dichos axiomas permiten definir una función numérica que

236

muestra la estructura de preferencias del conjunto de alternativas. Esta función recibe el nombre de función de utilidad.

Los diferentes conjuntos de axiomas que podemos establecer originan las diferentes axiomáticas de la utilidad; en función del entorno del problema, se distinguen axiomáticas de utilidad en ambiente de certeza, riesgo e incertidumbre.

Siempre que el comportamiento de un decisor se adapte a una de las axiomáticas propuestas, diremos que es racional con esa axiomática. Cada decisor podría proponer su propia axiomática, aunque la más elaborada en ambiente de riesgo es la de Luce y Raiffa.

Ejemplos

1. Determine cuáles de las siguientes funciones son funciones de utilidad en su dominio de definición:

Solución:

a) Para ver si la función U! es función de utilidad debemos determinar si es creciente en su dominio de definición, que en este caso es el conjunto { - 2 , - 1 , 0 , 1 ,2,3}. Para que u 1 sea creciente se tiene que verificar que si X] < x2 entonces Ui (xj) < 1 (x2). Como los valores (x¡) sobre los que está definida la función están ordenados en forma creciente en la tabla, sólo tenemos que comprobar que sus imágenes u(x¡) también lo están.

Se observa claramente que si bien - 2 < - l , e s u ( - 2 ) = - 0,75 > - 1 = u ( - 1); por tanto la función no es creciente y en consecuencia no es función de utilidad en su dominio de definición.

b) Escribimos la función u2 definida en una tabla:

Claramente se ve que tanto los valores de x¡ como sus imágenes están ordenados en sentido ascendente, por lo que se deduce de manera inmediata que la función u2 es creciente y por tanto función de utilidad.

237

a)

c) La función u3 es continua y derivable, por ser un polinomio; por tanto para estudiar si es creciente lo hacemos a través del signo de la primera derivada: u (x) = - 1. Entonces la función u3 es decreciente en todo el dominio, por lo cual no es función de utilidad. También se podría haber llegado a la misma conclusión habiendo observado que la función u3 es una recta de pendiente m = - 1, es decir, decreciente.

d) Al ser la función u4 un polinomio, es continua y derivable, por lo que estudiaremos su crecimiento a través de su primera derivada: u (x) = 24 x3 + 3, para que sea creciente debe suceder que u > 0; así

238

2. Una persona se plantea la posibilidad de participar en un negocio como socio capitalista o trabajador. El aporte inicial es de $3 '000.000; con la primera modalidad puede obtener unos beneficios de $3 '000.000 o nada, ambos con la misma probabilidad; con la segunda opción puede obtener $1 '000.000 o $2'000.000 con probabilidades 0,4 y 0,6 respectivamente. Si la función de utilidad del dinero de dicha persona es:

a) Para qué valores de x dicha función es de utilidad.

b) La actitud frente al riesgo.

c) La opción óptima según el criterio de la máxima utilidad esperada.

d) ¿Sería necesariamente la misma si aplicara el criterio de la utilidad media-varianza?

e) ¿Cuál es la forma más eficiente de participar en el negocio?

f) Calcule el error que se comete al encontrar la utilidad media-varianza sobre la segunda opción.

Solución

a) Como la función es derivable podemos estudiar la monotonía de la función a través de su primera derivada:

b) Al ser la función de utilidad sucesivamente derivable estudiamos la convexidad y por tanto la actitud del decisor, mediante el signo de la segunda derivada:

Así pues en [ - 4, 0] el decisor es propenso al riesgo y en [0, 4] el decisor es adverso al riesgo.

c) Sean Ai y A2 las opciones de participar en el negocio como socio capitalista y trabajador respectivamente:

En este caso no consideramos el aporte inicial al definir las alternativas para que todos los premios estén comprendidos entre - 4 y 4:

d) La opción óptima no sería necesariamente la misma, ya que la alternativa de mayor utilidad esperada no tiene por qué ser eficiente, mientras que la utilidad media-varianza se aplica sobre el conjunto de opciones eficientes; incluso en el caso de alternativas eficientes la utilidad media-varianza es una aproximación (hasta los términos de orden dos del desarrollo de Taylor) de la utilidad esperada. Si no se aproxima, el valor verdadero de la utilidad vendrá dado por:

239

Puesto que el resto de los términos son nulos; mientras que si se utiliza la aproximación media-varianza se tendrá:

Por tanto, el error que cometemos al aproximar la utilidad esperada mediante la utilidad media-varianza es:

A2 tiene mayor esperanza y menor varianza que Ah por tanto A2 es más eficiente que A¡. La forma más eficiente de participar en el negocio es como socio trabajador.

f) Como la función de utilidad es un polinomio de grado tres (3), el error que cometemos al aproximar la utilidad esperada de una alternativa por la aproximación media-varianza, vendrá dado en el punto d) por:

3. Sea la siguiente lotería bietápica:

Determinar la probabilidad de cada uno de los premios x1; x2, x3 y x4 en la lotería L.

Solución:

Si representamos la lotería L en forma extendida:

240

e) Calculamos la media y la varianza para las dos alternativas:

probabilidad de la lotería 1, en la lotería L y pM representa la probabilidad que se de el premio x¡ en la lotería lj. Así, tendremos:

P (xj) = 0,5 * 0,3 + 0,2 * 0,4 + 0,2 * 0 + 0,1 * 0,2; P (x,) = 0,25

P (x2) = 0,5 * 0,6 + 0,2 * 0,3 + 0,2 * 0,6 + 0,1 * 0; P (x2) = 0,48

P (x3) = 0,5 * 0 + 0,2 * 0,3 + 0,2 * 0,4 + 0,1 * 0,8; P (x3) = 0,22

P (X4) = 0,5 * 0,1 + 0,2 * 0 + 0,2 * 0 + 0,1 * 0; P (x4) = 0,05

Efectivamente se comprueba que la suma de todas las probabilidades es uno.

DECISIÓN EN AMBIENTE DE CERTEZA

Estos problemas se caracterizan porque el decisor tiene conocimiento perfecto del entorno, es decir, sabe exactamente qué concreción del estado de la naturaleza va a presentarse; lo anterior supone que a cada alternativa le corresponde un único resultado, de manera que la óptima será aquella que tenga asociado un resultado óptimo.

El problema de decisión en ambiente de certeza queda, por tanto, reducido a un problema de optimización matemática; los elementos de este problema son los siguientes: decisor único, conjunto de alternativas, conjunto factible y función objetivo.

Si sólo se desea optimizar el sistema cuando éste ha alcanzado el estado estable, hablamos de Optimización Estática. Estos modelos de Optimización incluyen problemas que se formulan por medio de ecuaciones algebraicas y trascendentes lineales y no lineales; a este grupo pertenecen la mayoría de los problemas económicos, técnico-económicos y muchos de control de procesos tecnológicos.

DECISIÓN EN AMBIENTE DE RIESGO

La característica principal de estos problemas reside en el grado de conocimiento que el decisor tiene del entorno; de ese estado el decisor conoce sus posible concreciones, pero no tiene conocimiento pleno acerca de la presentación de cada una de ellas. Sin embargo, es capaz de objetivar ese desconocimiento a través de una distribución de probabilidad. Los elementos de un problema de decisión en ambiente de riesgo son: decisor, conjunto de alternativas, estado de la naturaleza, criterio de evaluación y criterio de decisión. Ejemplos:

1. Una empresa puede optar por fabricar uno de los dos modelos diferentes de un determinado artículo, o ambos, pero por limitaciones de equipo y trabajadores, los costos que supone desarrollar ambos modelos simultáneamente superan la suma de los costos de hacerlo individualmente; las

241

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total: donde qj representa la

limitaciones en la capacidad productiva hacen que sea imposible fabricar en ambos modelos tantas unidades como pueda absorber el mercado; los departamentos de producción y ventas de la empresa han efectuado las siguientes estimaciones:

A) Los costos de los diversos modelos son los siguientes: modelo económico $2000000, modelo de lujo $3000000, ambos en el mismo año $6000000.

B) Los gastos generales y administrativos fijos son de $2000000.

C) Los ingresos por ventas que dependen de cuál sea la coyuntura económica el próximo año son: modelo económico $ 12000000, $6000000 ó $4000000; modelo de lujo $ 15000000, $6000000 ó $0000000; ambos $18000000, $12000000 ó $4000000, según que la economía esté en expansión, estabilidad o recesión, respectivamente.

El departamento de investigación económica estima que las probabilidades de que haya expansión, estabilidad y recesión son de 0,3, 0,5 y 0,2, respectivamente. Determinar:

a) La alternativa óptima para la empresa.

b) La máxima cantidad que la empresa estaría dispuesta a pagar por obtener la información perfecta acerca de la coyuntura económica, si ello fuera posible.

Solución:

Elementos del problema de decisión:

• Decisor: La empresa

• Clasificación del problema atendiendo al ambiente: a cada alternativa le corresponden tres resultados y el decisor conoce la distribución de probabilidad de dichos resultados, por tanto, es un problema de decisión en ambiente de riesgo.

• Matriz de resultados: Los resultados asociados a las distintas alternativas y los diversos estados de la naturaleza son beneficiosos (ingresos menos costos) y se calculan como se muestra a continuación, donde r¡j representa el resultado de la alternativa i en la concreción del estado Ejemplo:

242

La matriz de resultados es la siguiente:

• Criterio de decisión: Como la única información de la que disponemos es la probabilidad de la variable estado de la naturaleza, el crierio de decisión que vamos a utilizar para resolver el problema será el del valor monetario esperado (VME). Ahora bien, como ese criterio de decisión cumple el enfoque de dominación simple, vamos a comprobar, antes de resolver el problema de decisión, si existen alternativas no admisibles; de ser así, podemos reducir la dimensión del problema, ya que una alternativa dominada no puede ser alternativa óptima. Una alternativa domina a otra si con la primera los resultados que el decisor consigue son siempre mejores que con la segunda; en nuestro caso, puesto que la matriz de resultados es de beneficios, se puede formular:

Según el criterio del valor medio asignamos a cada alternativa el resultado esperado de dicha opción y de esta manera transformamos el problema de decisión en ambiente de riesgo en un problema

243

a) La alternativa A2 está dominada por A3, ya que con A2 se obtienen menores o iguales resultados que con A3 cualquiera que sea el estado de la naturaleza que se presente, siendo la desigualdad estricta con E2 y E3. Por tanto podemos eliminar A2 a la hora de buscar la alternativa óptima.

de decisión en ambiente de certeza (a cada alternativa le corresponde un único resultado), donde actuamos con criterios de óptimo. Por tanto, la alternativa óptima será:

A* - > O p t E ( A ¡ ) i

Este óptimo será un máximo, ya que en este caso los resultados suponen consecuencias favorables para el decisor; así:

E ( A , ) = 0,3 * 8 + 0,5 * 2 + 0,2 * 0; E ( A , ) = 3,4

E ( A 3 ) = 0,3 * 10 + 0,5 * 4 + 0,2 * ( - 4); E ( A 3 ) = 4,2

Como E (A3) > E (AJ) es A3 >- A¡. Por tanto la alternativa óptima para la empresa, según el criterio del valor medio, será fabricar ambos modelos el mismo año.

b) La máxima cantidad que la empresa estaría dispuesta a pagar para obtener información perfecta sobre la coyuntura económica es el valor de dicha información, siendo éste igual a la diferencia entre el resultado esperado con información perfecta y el resultado esperado en ambiente de riesgo.

REIP = ^ r * Pj =10*0,3 + 4*0,5 + 0*0,2; REIP = 5 j

Puesto que r* = mejor (r¡¡) RER = 4,2; VIP = REIP - RER; VIP = 5 - 4,2; VIP = 0,8 i

La empresa estaría dispuesta a pagar como máximo $800000 por obtener información perfecta, si esto fuera posible, sobre la coyuntura económica.

2. Todogangas es una empresa que se dedica a la comercialización de bienes de consumo destinados a las tiendas "Todo a $ 1000". Esta empresa quiere ampliar su negocio entrando a un nuevo mercado; por este motivo, realiza un estudio sobre la demanda de su producto en cuatro zonas distintas, I, II, III y IV, estimando una demanda en cada zona de 11000, 12000, 15500 y 17000 unidades respectivamente; para poder abastecer el nuevo mercado debe contar con un nuevo almacén; actualmente se alquilan tres, que tienen, cada uno, una capacidad de 11000, 15000 y 17000 unidades. La estructura de costos mensuales (en miles de pesos) que la empresa ha estimado para cada posible situación es:

ALMACÉN MERCADO 11000 15000 17000

I 10 15 20 II 10 17,5 15

III 15 16 19 IV 30 35 18

244

• Estados de la naturaleza: Capacidad del almacén que debe alquilar, siendo conocida la distribución de probabilidad de esta variable.

E,: Capacidad de 11000 unidades; P (E,) = 0,3 • E, : Capacidad de 15000 unidades; P(E2) = 0,4

E 3 : Capacidad de 17000 unidades; P (E3) = 0,3

• Clasificación del problema atendiendo al ambiente: El decisor conoce la distribución de probabilidad de dichos resultados, por tanto, es un problema de decisión en ambiente de riesgo.

• Criterio de evaluación: Es el costo mensual de cada elección; la matriz (en miles) de resultados del problema es:

• Criterio de decisión: Es el valor monetario esperado (VME) comprobando la dominación. En nuestro caso, puesto que la matriz de resultados es de costos, se puede formular como:

245

Si la probabilidad de alquilar el primer almacén es del 30%, de conseguir el segundo del 40% y el tercero del 30%, establezca:

a) ¿Cuál será su decisión óptima respecto al nuevo mercado en el que desarrollará su actividad si el objetivo que persigue es minimizar los costos?

b) ¿Cuál será su decisión si además no acepta varianzas en los resultados superiores a $8?

Solución:

a) Empezamos identificando los elementos de este problema de decisión:

Decisor: La empresa Todogangas

• Alternativas: Zonas en las que puede ampliar su negocio

246

Comprobando en la matriz vemos que la alternativa A4 está dominada por la alternativa A2; entonces eliminamos la alternativa A4, ya que no puede ser óptima. Calculamos el costo medio de las tres alternativas:

La alternativa óptima será aquella a la que corresponda el mínimo costo asociado.

b) El problema de decisión sigue siendo un problema en ambiente de riesgo, pero ya tenemos más información y el decisor limita el riesgo de su elección acotando la varianza; el criterio de decisión será, ahora, el de óptimo valor medio con varianza acotada:

Calculamos, en primer lugar, las varianzas de las alternativas, analizando cuál cumple la condición decisión impuesta por el decisor (posible óptimo) y cuál no;

La única alternativa que puede ser óptima es A3, ya que es la única cuya varianza es menor a $8.

247

3. Una empresa debe decidir al comienzo del año el número n de artículos que producirá; de acuerdo con su experiencia ha estimado que las ventas aleatorias se distribuyen según una ley normal de media 0,8 * n y varianza n * 10"6. La empresa no puede fabricar más de 1000 productos al año y cada artículo vendido produce un beneficio de $30000; se considera que una utilidad de $15000000 son suficientes y una varianza de beneficios superior a 9 * 1012 no se acepta. Discutir el problema planteado, teniendo en cuenta el ambiente de la decisión, según los diversos criterios aplicables.

Solución:

Elementos del problema

• Decisor: La empresa.

• Alternativas: Número de unidades n que debe producir entre [0, 1000].

• Clasificación del problema: A cada alternativa n le corresponden infinitos resultados, ya que son infinitos los estados de la naturaleza, pero conocemos la distribución de probabilidad de dichos estados que es normal de media 0,8 * n y varianza n5 * 10~6, por tanto, es un problema de decisión en ambiente de riesgo.

• Criterios de decisión: Vamos a utilizar los criterios del valor medio, máximo valor medio con varianza acotada y mínima varianza con valor medio acotado.

a) Criterio del valor monetario esperado:

Asociamos a cada alternativa un único resultado, de esta forma transformamos el problema de decisión en ambiente de riesgo en un problema de decisión en ambiente de certeza, optando por aquella alternativa que tiene asociado el resultado óptimo esperado; en nuestro caso:

Como el número máximo de artículos que se puede fabricar al año es 1000, no pudiendo ser negativo y los resultados suponen consecuencias favorables para el decisor, el criterio del valor medio conduce al problema de optimización matemática:

Sujeta a:

I Evidentemente la función objetivo alcanza su máximo en el mayor valor posible de n, es decir, en

n = 1000. Por tanto, si la empresa aplica el criterio del valor medio, debe fabricar 1.000 unidades.

b) Criterio del máximo valor medio con varianza acotada:

Tenemos que determinar el número de artículos a producir que maximizan la utilidad esperada siendo la varianza de los ingresos no superior a 9 * 1012. Como V (30000 £) = 300002 V( ) = 9 * 108

* n * 10"6 = 9 * 102 * n , el criterio del máximo valor medio con varianza acotada conduce al problema de optimización matemática:

248

Con sus restricciones:

Este problema se reduce a:

Sujeta a:

La solución es n = 100; por tanto, si la empresa trata de maximizar la utilidad esperada, siendo la varianza de los beneficios no superior a 9 * 1012 debe fabricar 100 artículos.

c) Criterio de la mínima varianza con valor medio acotado:

Hay que determinar el número de productos a fabricar que minimizan la varianza de la utilidad siendo los beneficios esperados de al menos $15000000, es decir, tenemos que resolver el problema siguiente:

Con sus restricciones:

249

Equivalentemente el problema queda:

Sujeta a:

La función 900 * n5 alcanza su mínimo valor en el menor valor posible de n, es decir, en n = 625. Como es un problema de optimización matemática con restricciones de desigualdad se podrían haber determinado los puntos críticos aplicando las condiciones necesarias de Karush-Kuhn-Tucker. Los Multiplicadores de Lagrange son:

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para este problema son:

De la segunda condición obtenemos:

A) Si sustituyendo en la primera condición obtenemos:

El punto obtenido P| (0, 0, 0) no es un punto crítico, ya que no verifica - n < - 625.

B) Si sustituyendo en la primera condición obtenemos:

250

No verifica la cuarta condición, por tanto el punto obtenido P2(1000, 0, 4500 * 1012) no es un punto crítico.

C) Si sustituyendo en la primera condición obtenemos:

El punto P3 (625, - 4500 * 6254, 0) es un punto crítico, ya que verifica las cuatro condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Por tanto el único candidato a punto crítico es P3 (625, - 4500 * 6254, 0) ; para ver si en ese punto la función tiene un mínimo analizaremos la convexidad del problema.

La función obj etivo es convexa, ya que su segunda derivada 18000 * n3 es positiva Vn e [625,1000]; como el conjunto factible también es convexo, ya que las restricciones son lineales, el problema es convexo para mínimo. Por tanto la función objetivo alcanza un mínimo global en el punto crítico. Si la empresa trata de minimizar la varianza de la utilidad llegando a unos beneficios esperados de al menos $ 15 '000.000, debe fabricar 625 unidades.

DECISIÓN EN AMBIENTE DE INCERTIDUMBRE

En las decisiones en ambiente de incertidumbre a diferencia de las anteriores, el decisor conoce el entorno, pero no tiene más información, debido a lo cual no es posible asociar a las variables de estado una distribución de probabilidad. Los elementos de un problema de decisión en ambiente de incertidumbre son: decisor, conjunto de alternativas, estado de la naturaleza, criterio de evaluación y criterio de decisión. Los enfoques empleados para solucionar estos problemas son: criterio de decisión de Wald, criterio de decisión de maximax, criterio de decisión de Hurwicz, criterio de decisión de Savage y criterio de decisión de Laplace.

Ejemplo

1. Un fabricante de carros estudia lanzar un nuevo modelo al mercado, esperando posicionarlo en cuatro segmentos distintos, los cuales son: T,, T2, T3 y T4. La utilidad esperada (en millones de pesos) en el año siguiente al lanzamiento en función del tipo de interés al consumo es:

• Estado de la naturaleza: Tenemos una variable de estado E = {Ej, E2, E3, E4}, como el primer carro tardará aproximadamente dos años en ser colocado a la venta. Estamos hablando de un problema en ambiente de incertidumbre.

• Criterio de evaluación: Utilidades anuales (resultados favorables).

• Criterio de decisión: La empresa quiere maximizar sus ganancias, pero no conocemos el comportamiento de la empresa, por lo que debemos aplicar todos los enfoques en este ambiente.

Criterio de Wa ld

Es un criterio de decisión para un comportamiento prudente; por lo que a cada alternativa le asigna su peor resultado y de ellos se escoge el mejor, es decir,

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Luego es decir, la alternativa óptima según el criterio

de Wald es la segunda, lanzar el modelo T2.

¿Cuál sería la opción que usted le recomendaría a la empresa?

Solución:

Los elementos de este problema son:

• Decisor: El fabricante de carros.

• Conjunto de alternativas: Producir los diferentes modelos de carros.

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Criterio Max imax

Es un criterio de decisión para un comportamiento optimista o arriesgado; por ello a cada alternativa le asigna su mejor resultado y de ellos elige el mejor.

Como la alternativa elegida, según el criterio optimista,

es lanzar el modelo T4.

Criterio de Hurwicz

Es un criterio de decisión intermedio entre el de Wald y el Maximax en el cual el decisor puede evaluar su grado de pesimismo en un coeficiente al que se denota por a . Con este coeficiente se establece una combinación lineal convexa entre el mejor y el peor resultado para cada alternativa y se elige la mejor, es decir,

Así pues, para cada alternativa elegimos el mejor y el peor resultado y establecemos la combinación lineal convexa entre ambos que expresamos en la tabla adjunta:

Como el deeisor no expresa de manera concreta su coeficiente de pesimismo, estudiaremos lo que sucede para todos los posibles valores de a ; para ello representaremos gráficamente las combinaciones lineales c¡:

Criterio de Savage

Es un criterio que mide el costo de oportunidad de la decisión errónea; para ello construye la

matriz de arrepentimientos o pesares (r¡¡) como la diferencia entre el mejor elemento para cada estado de la naturaleza y el correspondiente elemento de la matriz de utilidades original; una vez construida la matriz se le aplica el criterio de Wald, pero teniendo en cuenta que la matriz es de resultados desfavorables. Por tanto, si denotamos el mejor resultado para cada estado de la naturaleza por

r, = Máxrü = Máx {24, 22, 23, 25}; r, = 25; r2 = Máxr i2 = Máx {19, 22, 23, 24}; r2 = 24;

r3 = Máx r¡3 = Máx {10,23,21, 18}; r3 = 23; r4 = Máx ri4 = Máx {16,20, 15, 14}; r4 =20;

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Si ( la alternativa elegida es A4, es decir, lanzar al mercado el modelo T4.

Si A2 y A4 son indiferentes, lo que equivale a lanzar al mercado el modelo T2 o el tipo T4.

Si la alternativa elegida es A2, es decir, lanzar al mercado el modelo T2.

Entonces la matriz de pesares es:

Aplicando el criterio de Wald para resultados desfavorables:

Por tanto es decir, la alternativa óptima según el criterio

de Savage es lanzar al mercado el modelo T2.

Criterio de Laplace

Es un criterio que transforma el problema de incertidumbre presente en uno de riesgo, asignándole equiprobabilidad a los estados de la naturaleza y utilizando el criterio del valor medio para resolverlo, es decir,

En el caso particular en que nos encontramos, las probabilidades de los estados de la naturaleza son:

los resultados esperados para cada una de las alternativas son:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Montar una fábrica: Se consideran inicialmente dos (2) posibilidades:

i. Montar una fábrica con una producción anual de 250 millones de unidades monetarias y una inversión de 50 millones de unidades monetarias. Se supone que toda la inversión está hecha y pagada al comenzar el año.

ii. Montar una fábrica con una producción anual de 125 millones de unidades monetarias y una inversión de 37,5 millones de unidades monetarias. Se supone que con posterioridad se pueden realizar ampliaciones para alcanzar una producción total de 250 millones de unidades monetarias. La inversión acumulada será de 70 millones de unidades monetarias.

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Si la demanda es alta, con la fábrica grande pueden obtenerse utilidades de 20 millones de unidades monetarias y con la pequeña de 7,5 millones de unidades monetarias; las utilidades se consideran como saldos de flujo de caja, interés del 8%.

Si la demanda es pequeña, con la fábrica grande pueden obtenerse pérdidas de 10 millones de unidades monetarias y con la pequeña se gana 5 millones de unidades monetarias.

Se va a considerar un horizonte económico de seis (6) años, dividido en períodos de dos (2) años y se estima a priori que existen las siguientes probabilidades:

A) Demanda alta en el primer período de dos (2) años 20%. B) Demanda baja en el primer período de dos (2) años 80%. C) Si la demanda es alta en un período, la probabilidad de que sea alta en el siguiente período es

del 60%.

D) Si la demanda es alta en un período, la probabilidad de que sea baja en el siguiente período es del 40%.

E) Si la demanda es baj a en un período, la probabilidad de que sea alta en el siguiente período es del 50%.

F) Si la demanda es baja en un período, la probabilidad de que sea baja en el siguiente período es del 50%.

¿Qué decisión tomaría?

dada. Las utilidades que se obtengan dependen en gran parte del estado del tiempo; en particular, si el tiempo es lluvioso, la feria pierde 15000 unidades monetarias, si está nublado, la feria pierde 5000 unidades monetarias y si hay sol, la feria obtiene una utilidad de 10000 unidades monetarias.

La feria tiene que montar el equipo para un espectáculo, pero puede cancelar éste antes de montar el equipo. Esta acción produce una pérdida de 1.000 unidades monetarias; además incurriendo en un costo adicional de 1000 unidades monetarias; la feria puede posponer su decisión de hacer el montaje hasta el día anterior a la ejecución programada del espectáculo. En está ocasión, se puede obtener el boletín meteorológico local; la Oficina Meteorológica ha recopilado datos basados en sus previsiones:

Además, la Oficina Meteorológica ha recopilado una distribución a priori del estado del tiempo. En particular, las probabilidades de lluvia, nube y sol son 0,1; 0,3 y 0.6 respectivamente.

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Programación de una feria: La realización de una feria se programa en una ciudad en una fecha

Cómo invertir unos ahorros: un estudiante de Investigación de Operaciones está considerando la mejor forma de invertir sus ahorros del año pasado y tiene dos (2) posibilidades:

A) Colocarlos en una cuenta a plazo fijo.

B) Comprar acciones.

Los rendimientos que puede obtener dependen de la evolución general de la economía, para la cual considera tres (3) posibilidades:

1) Inflación moderada y estancamiento.

2) Recuperación moderada e inflación normal

3) Fuerte recuperación y alta inflación.

Teniendo en cuenta la pérdida de poder adquisitivo debida a la inflación, las utilidades por cada 100 unidades monetarias, son respectivamente:

i) Si invierte a plazo fijo - 1 0 -15 - 2 0 .

ii) Si compra acciones - 4 0 +25 + 10.

Se trata de definir las estrategias pura y mixta que darían mejor resultado en los siguientes casos:

a) Se comporta como un decisor de Wald.

b) Se comporta como un decisor de Savage.

c) Se comporta como un decisor de Bayes y considera equiprobables las tres (3) posibilidades de evolución de la economía.

Considerándolo como un decisor de Bayes, el estudiante puede consultar a un experto en economía para que le de su pronóstico. El estudiante considera que sea la que sea la evolución real de la economía, el experto acertará con una probabilidad del 60%, siendo igualmente probables los dos (2) pronósticos erróneos en cada caso.

d) ¿Cuáles serán las decisiones del estudiante en función del pronóstico del experto?

e) ¿Cuánto podría pagarse al experto si se dispone de 50.000 unidades monetarias para invertir?

f) ¿Cuánto podría pagarse a un experto infalible?

g) A la vista de todos los resultados, ¿qué se le podría aconsejar al estudiante?

deíectuosa; si un objeto defectuoso llega al mercado se producen quejas, perdida de prestigio y hay que reemplazarlo, lo que se evalúa en un costo de 2000 unidades monetarias; por otra parte, si un artículo correcto se considera defectuoso y se desecha, se produce una pérdida de 2500 unidades monetarias.

Se están estudiando dos (2) procedimientos rápidos de control, el primero, de costo por objeto controlado de 50 unidades monetarias, detecta el 80% de los artículos defectuosos, pero señala como tales el 10% de los correctos; el segundo, de costo 200 unidades monetarias, detecta el 90% de los defectuosos y nunca señala por error artículos correctos.

¿Qué procedimiento conviene elegir?

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Fabricación de artículos: La fabricación de unos objetos es tal que un 5% de los mismos resulta

control de recepción (no destructivo); el control representa un costo fijo de 3,5 unidades monetarias y un costo variable de 2 unidades monetarias por elemento controlado. Por otra parte, cada elemento defectuoso que llega a producción representa un costo por pérdida de tiempo productivo de 300 unidades monetarias por elemento.

A) Comparar las políticas de no control y control al 100%.

B) Si a priori la probabilidad de ser defectuosas es p (x):

Calcular la estrategia de Bayes. ¿Podría ser interesante un control parcial?

C) Se controla un elemento al azar, si es bueno se acepta el lote, si es defectuoso se controlan los 99 restantes. ¿Cuál es el riesgo Bayes de esta regla? ¿Es una regla eficaz?

D) Se toma una muestra de cuatro (4) elementos y se controla ¿cuál sería en este caso la regla de Bayes y su costo?

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Una caja de 100 elementos electrónicos puede ser aceptada en su totalidad o ser sometida a un

C A P Í T U L O IX

M O D E L O S DE REDES

"La vida es el arte de sacar conclusiones suficientes a partir de datos insuficientes". Samuel Butler

MODELOS (TEORÍA) DE REDES

• Gráfica: Serie de puntos llamados nodos (nudos) unidos por ramales.

• Red: Es una gráfica con algún tipo de flujo en sus ramales. Ejemplo: Eléctrica, transporte.

• Cadena: Serie de elementos que van de un nodo a otro. Ejemplo: 1 - 2, 2 - 5, 5 - 7.

• Ruta: Serie de elementos que conforman una cadena. Ejemplo: Para el anterior 1 - 2 - 5 - 7.

• Ciclo: Es la cadena que une un nodo consigo mismo. Ejemplo: 3 - 5, 5 - 2,2 - 4,4 - 7, 7 - 6, 6 - 3.

• Gráfica conectada: Aquella en la cual al menos todos los nodos están conectados. Ejemplo: El de la gráfica.

• Ramal orientado: Es aquel que tiene un sentido determinado, o sea, que tiene un nodo origen y un nodo destino. Ejemplo:

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• Gráfica orientada: Aquella en la cual todos sus ramales están orientados. Ejemplo:

• Árbol: Gráfica sin ciclos. Ejemplo:

La capacidad de flujo de un ramal es el límite superior de la rata de flujo en dicho ramal en un sentido determinado.

Nodo fuente: Aquel en el cual todos sus ramales están orientados hacia afuera. Ejemplo:

Nodo receptor: Aquel en el cual todos sus ramales están orientados hacia él. Ejemplo:

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Problemas a resolver

1. Problema del flujo máximo. 2. Problema de la ruta más corta. 3. Problema del árbol de mínimo recorrido. 4. Problema del PERT / CPM / LPU / ROY / RAMPS.

Problema del flujo máximo

Nos permite conocer (calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que podemos transportar desde un origen hasta un destino.

Pasos a seguir:

• Primer paso: Elegir una ruta arbitraria. • Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y transportar

por esa ruta la cantidad escogida. • Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de

flujo. Ejemplo:

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El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por las restricciones, el destino sólo puede recibir 19 unidades en la ruta AB - BC - CD - DF - FG.

Problema de la ruta más corta

Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino.

Pasos a seguir:

• Primer paso: Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él.

• Segundo paso: Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él.

• Tercer paso: Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido.

• Cuarto paso: Comenzando en el origen, se debe encontrar el nodo más cercano a él, por intermedio del(los) nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar al destino. Ejemplo:

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Es decir, la ruta más corta corresponde a la ruta ABFJ, la cual suma 30 unidades.

Problema del árbol de mínimo recorrido

En este problema se trata de encontrar un árbol, cuya suma total de distancias sea mínima.

Pasos a seguir: