INDICEI.INTRODUCCIN2II.OBJETIVO2III.PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE SMIRNOV KOLMOGOROV2IV.DISTRIBUCION NORMAL4IV.1 FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD4IV.2 FUNCION DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR4V.DISTRIBUCION LOG NORMAL DE 2 PARAMETROS4V.1 FUNCIN DENSIDAD:4VI.DATOS ESTACION SALLIQUE6VI.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION SALLIQUE9VI.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL 2 PARAMETROS ESTACION SALLIQUE15VII.DATOS ESTACION CACAO21VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx22VII.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx28VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmin34

I. INTRODUCCINEl estudio de frecuencia de caudales mximos es uno de los tpicos ms estudiados de la Hidrologa, dada la necesidad de estimar la probabilidad de ocurrencia de crecidas para el diseo de obras hidrulicas, proteccin de ciudades, etc.

El enfoque clsico del anlisis de frecuencia se basa en el empleo de una serie de datos observados de manera sistemtica en una seccin o punto de inters de un rio o una cuenca. Para el adecuado empleo de dicha serie, es necesario verificar en primera instancia el cumplimiento de tres requisitos: que la informacin confiable, completa y por ltimo que pase el mtodo estadstico S-K.

Dado que si bien es cierto los datos a estimar con relacin al tiempo son ocurrencias, predicciones, datos que no siempre sern ciertos; pero que nos precisan un porcentaje considerable de credibilidad, en el cual nos basamos para poder tener prevencin a futuro e informar o alertar a la poblacin de los mismos.II. OBJETIVO Determinar si los datos meteorolgicos se ajustan a una determinada distribucin, si se ajustan el ajuste es bueno y si no el ajuste no es aceptable III. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE SMIRNOV KOLMOGOROV

Consiste en comparar las diferencias existentes entre la "probabilidad emprica de los datos de la muestra" y la "probabilidad terica", tomando los mximos del valor absoluto, de la diferencia del valor observado del valor de la recta terica del modelo, es decir: = mx. |F(x) P(x)|. (1)Siendo: : Estadstico Smirnov KolmogorovF(x) :Probabilidad de la distribucin de ajuste o tericaP(x):Probabilidad experimental o emprica de los datos (o frecuencia acumulada)

Tabla N02 Valores Crticos de o del estadstico Smirnov

Kolmogorov, para varios valores de N y niveles de significancia .Tamao de la muestra NNivel de significancia

0.200.100.050.01

50.450.510.560.67

100.320.370.410.49

150.270.300.340.40

200.230.260.290.36

250.210.240.270.32

300.190.220.240.29

350.180.200.240.29

400.170.190.210.25

450.160.180.200.24

500.150.170.190.23

N>501.07/ N1. 22/ N1.36 / N1. 63/ N

El estadstico , tiene su funcin de distribucin de probabilidades.

Si o es un valor crtico para un nivel de significancia , se tiene:

P ( o) =. (2) yP ( < o) =1- .(3)

Procedimiento para efectuar el ajuste, mediante el estadstico Smirnov Kolmogorov1) Clculo probabilidad emprica o experimental, P(x), de los datos, (uso de la expresin Weibull)P(x) = M / (N+1)M = N de orden; N: Total de datos.2) Clculo Probabilidad terica, F(x)3) Calcular: F(x) P(x)4) Seleccionar la mxima diferencia = mx. |F(x) P(x)|5) Hallar valor crtico del estadstico o para = 0.05. Ver tabla N 02.6) Comparar con o; si < o Ajuste Bueno o Ajuste No bueno.

IV. DISTRIBUCION NORMAL IV.1 FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Siendo: = Funcin densidad normal de la variable (x). = variable independiente. = media aritmtica de x. = Desviacin estndar de x. = funcin exponencial.

IV.2 FUNCION DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Si

Los valores de: pueden ser fcilmente evaluados para en valor dado de x z.

V. DISTRIBUCION LOG NORMAL DE 2 PARAMETROS

V.1 FUNCIN DENSIDAD:

SI Y= variable aleatoria La funcin de distribucin de y es:

Donde Media = variancia Si , lo remplazamos como Si Por lo tanto, la funcin de distribucin de probabilidad de x es:

Donde:

Expresiones tiles para estimar parmetros:

Datos originales:

Variancia: Media: Hallo: Hallo: terico Tener: , nivel de significancia.VI. VII. DATOS ESTACION SALLIQUE

PRECIPITACION MAXIMA 24 H ESTACION SALLIQUE

ESTACION: SALLIQUELAT: 053932DPTO: CAJAMARCALONG: 791845PROV: JAENCATEGORIA: COALT: 1789 msnmDIST: SALLIQUE

PRECIPITACION MAXIMA 24 HORAS (mm)Pmax 24h (mm)

AoENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIOAGOSTOSETIEMBREOCTUBRENOVIEMBREDICIEMBRE

200219.62629.441.415.84.23.804.62219.71041.4

200310.817.82312.611.210.65.409.43.89.610.523

200474.517.417.812.25.63.203.823.317.218.223.3

2005515.63620.23.42.20014118.127.636

200614.542.936.251.2617.86.41.45.513.82033.651.2

200728.223.853198.815.81.25.82.524.818.41353

200814.436.230.422.45.29.410.42.82.330.823.4036.2

200924.41648.71611.230.64.610.517.414.818.648.7

201015.6273615.46.956.29.57.419.4920.436

201111.716.812.536.84.516.26.41.811.48.823.810.436.8

201225.725.71413.972.80.330.431.623.51231.6

20139.96.613.22.813.82.520.82.22200.26.820.8

Pmax28.242.95351.215.817.820.89.51431.623.833.6

Anlisis de los datos adquiridos de la estacin SALLIQUE

MESPrecipitacin Mxima 24Hrs (mm)

ENERO28.2

FEBRERO42.9

MARZO53

ABRIL51.2

MAYO15.8

JUNIO17.8

JULIO20.8

AGOSTO9.5

SETIEMBRE14

OCTUBRE31.6

NOVIEMBRE23.8

DICIEMBRE33.6

En la siguiente grfica se concluye que en los meses de febrero a abril hubo una elevada precipitacin, respecto a los otros meses; y a partir de mayo hasta diciembre, la precipitacin es moderada constantemente.

mAOPrecipitacin Mxima 24Hrs (mm)

1200241.4

2200323

3200423.3

4200536

5200651.2

6200753

7200836.2

8200948.7

9201036

10201136.8

11201231.6

12201320.8

En la siguiente grfica se concluye que los 12 aos presentados tienen una moderada precipitacin la cual flucta entre (20-50mm).

VI.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION SALLIQUE

Resumen de los parmetros de las precipitaciones ESTACIN SALLIQUEMAOPmax 24hORDENANDO LAS Pmax24h

1200241.420.8

220032323

3200423.323.3

420053631.6

5200651.236

620075336

7200836.236.2

8200948.736.8

920103641.4

10201136.848.7

11201231.651.2

12201320.853

Datos estadsticos:mX (mm)

120.8-15.700000246.49

223-13.500000182.25

323.3-13.200000174.24

431.6-4.90000024.01

536-0.5000000.25

636-0.5000000.25

736.2-0.3000000.09

836.80.3000000.09

941.44.90000024.01

1048.712.200000148.84

1151.214.700000216.09

125316.500000272.25

CALCULOS DE Z y F(Z):A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):MF(z)F(z)

F(z)1-F(z)

1-1.45041781-P(1.4504178)0.073471

2-1.24717451-P(1.2471745)0.106169

3-1.21945961-P(1.2194596)0.111336

4-0.45267821-P(0.4526782)0.325392

5-0.04619161-P(0.0461916)0.481574

6-0.04619161-P(0.0461916)0.481574

7-0.02771501-P(0.0277150)0.488877

80.0277150P(0.0277150)0.511055

90.4526782P(0.4526782)0.674608

101.1270763P(1.1270763)0.870142

111.3580345P(1.3580345)0.912772

121.5243244P(1.5243244)0.936284

Finalmente se presenta:

Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 12 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.

N

100.41

12S-K

150.34

Observamos que el mximo valor obtenido es 0.119434, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.

Funcin Densidad de Probabilidad

X(mm)F(x)

20.80.01287325

230.01693336

23.30.01752217

31.60.03326643

360.03681631

360.03681631

36.20.03684145

36.80.03684145

41.40.03326643

48.70.01952815

51.20.01465643

530.01153315

Funcin Densidad de la Distribucin Normal Estndar

ZF(z)

-1.45041780.07347143

-1.247174550.10616907

-1.219459560.1113355

-0.452678170.32539185

-0.046191650.48157395

-0.046191650.48157395

-0.027714990.48887715

0.027714990.51105517

0.452678170.67460815

1.127076260.87014241

1.35803450.91277193

1.524324440.93628382

PERIODOS DE RETORNO

Para 25 aos:

Para 50 aos:

Para 100 aos:

Para 200 aos:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Pmax

Para Pmax = 10 mm

Para Pmax = 20 mm

Para Pmax = 30 mm

Para Pmax = 40 mm

Interpolacin para probabilidad de ocurrencia

Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia

VI.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL 2 PARAMETROS ESTACION SALLIQUEResumen de los parmetros de las precipitaciones ESTACIN SALLIQUEMAOPmax 24hORDENANDO LAS Pmax24h

1200241.420.8

220032323

3200423.323.3

420053631.6

5200651.236

620075336

7200836.236.2

8200948.736.8

920103641.4

10201136.848.7

11201231.651.2

12201320.853

Datos estadsticos:

mX (mm)Y=Ln(x)

120.8-15.700000246.493.034953

223-13.500000182.253.135494

323.3-13.200000174.243.148453

431.6-4.90000024.013.453157

536-0.5000000.253.583519

636-0.5000000.253.583519

736.2-0.3000000.093.589059

836.80.3000000.093.605498

941.44.90000024.013.723281

1048.712.200000148.843.885679

1151.214.700000216.093.935740

125316.500000272.253.970292

CALCULOS DE Z y F(Z):A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):MF(z)F(z)

F(z)1-F(z)

1-1.79177491-P(1.7917749)0.036588

2-1.44547931-P(1.4454793)0.074167

3-1.40084401-P(1.4008440)0.080634

4-0.35134871-P(0.3513487)0.362664

50.0976583P(0.0976583)0.538900

60.0976583P(0.0976583)0.538900

70.1167404P(0.1167404)0.546466

80.1733605P(0.1733605)0.568811

90.5790422P(0.5790422)0.718716

101.1383924P(1.1383924)0.872514

111.3108164P(1.3108164)0.905037

121.4298257P(1.4298257)0.923615

Finalmente se presenta:

Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 12 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.

N

100.41

12S-K

150.34

Observamos que el mximo valor obtenido es 0.154285, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.

PERIODOS DE RETORNO

Para 25 aos:

Para 50 aos:

Para 100 aos:

Para 200 aos:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Pmax

Para Pmax = 10 mm

Para Pmax = 20 mm

Para Pmax = 30 mm

Para Pmax = 40 mm

Interpolacin para probabilidad de ocurrencia

Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia

CUADRO RESUMEN DE LAS DISTRIBUCIONESDistribucinTiempos de Retorno (Aos)

2550100200

Normal55.4558.7361.6864.38

Logartmica58.1763.5368.7673.92

VIII. DATOS ESTACION CACAO

mQmax.Qmin.Qmed.Qmax. Ord.Qmin. Ord.Qmed. Ord.

1177.007.8023.58102.505.2619.23

2139.006.1020.12132.005.7619.65

3214.006.5021.04132.006.1019.66

4140.007.5019.65134.006.5020.12

5210.009.2020.45139.006.8020.45

6207.0011.7033.61140.006.8021.04

7205.0014.8039.50145.207.5021.17

8183.0011.6036.51160.007.5022.59

9132.0010.8031.49163.507.5023.12

10185.0012.3030.47164.707.8023.24

11145.205.7619.23177.008.0023.44

12102.506.8022.59181.708.2023.58

13160.009.2123.44183.009.2025.08

14181.7010.4026.63183.709.2025.26

15191.7010.2029.56185.009.2125.59

16164.7011.0021.17185.4010.2026.63

17163.505.2619.66187.8010.4029.56

18189.4010.5023.12189.4010.5029.57

19194.008.0025.59191.7010.7030.47

20134.007.5023.24192.9010.8031.49

21185.407.5031.54194.0011.0031.54

22192.908.2025.08205.0011.6032.74

23183.709.2025.26207.0011.7033.61

24132.0010.7029.57210.0012.3036.51

25187.806.8032.74214.0014.8039.50

VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx

Datos estadsticos:

CALCULOS DE Z y F(Z):

A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):

Finalmente se presenta:

Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 25 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.

N

200.29

25S-K

300.24

Observamos que el mximo valor obtenido es 0.167661, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.PERIODOS DE RETORNO

Para 25 aos:

Para 50 aos:

Para 100 aos:

Para 200 aos:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Qmax

Para Qmax = 150 m3/s

Para Qmax = 250 m3/s

Para Qmax = 350 m3/s

Interpolacin para probabilidad de ocurrencia

Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia

VII.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE QmxDatos estadsticos:

CALCULOS DE Z y F(Z):

A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):

Finalmente se presenta:

Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 25 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.N

200.29

25S-K

300.24

Observamos que el mximo valor obtenido es 0.196760, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.PERIODOS DE RETORNO

Para 25 aos:

Para 50 aos:

Para 100 aos:

Para 200 aos:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Qmax

Para Qmax = 150 m3/s

Para Qmax = 250 m3/s

Para Qmax = 350 m3/s

Interpolacin para probabilidad de ocurrencia

Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia

VII.3 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmin

Datos estadsticos:

CALCULOS DE Z y F(Z):