-
©
-
3
.
.
.
.
.
.
: " ". " "
" "
.
-
4
1 52 IR 183 314 49
5 616 78
7 93
8 111
9 13010 14711 17012 189
13 201
-
6
" """ :
a = 326 a 52 8.
30 .
) .(
: 219 729 91 57 435 41 67 119 2007 1001 101.
60.
).(
2 3
8 25 9 543 225 450 3737 10101
1
2
3
4
5
-
7
I
11-- 6 ::
2 3 6 12576 483651
61457346 794564
1. 6 34678324 ; 123679074 ; 3256782 ; 43167890
2. 6 34128924 ; 27894334 ; 2571372 ; 5468932
3. :
8 3 6 9 4 6 48 6 10 4 6
6
....... .......
11
-
8
-2 12
1. 12 29185470 ; 259134 ; 1256925 ; 13971120
2. 12
657890 ; 22724489 ; 467903 ; 524687 3. :
2 6 12 3 15 90 12
4. 32012 + 32009 12.
4 3 12
7653480 1247634 71963628 2485326
12 ........
11
-
9
I
15
5 3 15 12576345 468326451 26574360 46745650
1. 15 54791248 ; 146790745 ; 5642172 ; 34680
2. 15 54378903 ; 27894334 ; 2543278 ; 5468932
3. :
20 3 15 9 15 45 15
15 ....... .......
11
-
10
a b .
a b 15 12 .
43570 ; 37241 ; 94857ab ab ab
12 15 3 4 5 0) 0b (
4 3. 94857ab a b 33 0a
6a 9485700 9485760 15 12 .
37241ab a b 17 4a 3724140 15 12
43570ab a b 19 2a 8a 4357020 4357080 15 12
.
A 24. Z . B 7 C "" E 50 110 145
11
-
11
I A 8 8 A ) A=(8
E 0 . C 5 : } { = C.
AB 3 . A : )A,2( .
1. 2. . 3. :
B A
A
B
1
2
3
(A , 1)
2
-
12
" " )A,1( A.
4. 5 2 5. 7 4
:» P « : » F «.
» P « » F «.
. 1. 2. 4 3. 4
12
1. 2. 3.
1. :– –
).( 2. :– – – )
.(
3
4
5
6
-
13
I
: )
( .
:
-
14
6
2 3.
12
3 4.
15
3 5.
-
15
I
x :
12 15: 2340 435 542 723 3720 8350 510 8250
11 5x7x8x9
N = 74ab b a . 1. a b N 6. 2. a b N 15. )(
A = 5a8b a b . 1 .a b A 12. 2 .a b A 15. )(
B = 4x3y x y . 1. x y B 3. 2. x y B 4. 3. x y B 12.
672 762 680 5922 834 234 348 585 960
6
12
15
1
2
3
4
5
6
-
16
" 12 13 15."
x
- 2x 15.
- 90 1( 2550 5103 -2 15.
2( 35000 2431001 - 13 6.
3( 22000 8666 + 5 12.
7 8 9.
A B C D
:
) (.
7
8
9
10
11
H A
B
C
D E
F
G
Ax Bx Dx Cx
-
17
I 2012 20115 5P .
1. a : 3 22 3a a
2. 5a
A B C D .
464 10 420 10
12 15 .
1234567891011121314……………20
1( 2( :
- 12
- 15
- 9
) ) ( :: 1111:: 11 2222:: 22
2233:: 11 3344:: 22 ... ... 11(( 22((
13
14
15
17
16
12
-
19
IR
1. Q D
2. D Z
3. Q- Z
: , , , =
Z ….Q+ ; D …..Z ; N …..Q+ ; Z- ….Q- ; Z …..Q ; D …..Q ; N …..Z 2
....3
5..... 3,3456....
a = 2n b = 2n+1 a b .
1.
2. - n a² .
- b² . 3. c c² .
c . 4. :
. 11 ( (- A B C D2 3
125
194
- : OA OB OC OD AB CD 2( - ' C ' D C D O.
- ' C ' D
a : a ..................... a ......................
1
2
3
4
-
20
1 . 81 2. 16
4925 0,49
3. :
16 57
0,49
0,1x0,1 = ……. ........01,0 ............
94 ..............................
= ..............2)-6 (.......................
: 35 ; 22 ; 11 ; 15 ; 10 ; 5 ; 312
8,23
. I :
:12,5 7 17 9 4 3 65 22.
3 22 .
6
:0,13636363636… 36 . 3
22
36 :36,10= 322
a
a2 = 16 4
16
: 16 4
5
1
2
7
-
21
IR
:
11 5 2 1 35 -3; ; ; ; ;5 2 7 3 8 11
5,6
: ,65 6.5 60,5
143
235
45699
- II
2, 101001000100001000001……. -3,123456789101112…
1.
2. .
:
1. N Z D Q IR 2. IR+ IR-
. 3. :IR = IR+ IR-
.
IR.
4
3
-
22
ABCD cm AB = 2 I J K L
.
1. AIL , BIJ , CJK DLK .
2. IJKL .
3. : (1,415)2 ; (1,414)2 ; (1,42)2 ; (1,41)2 ; (1,4)2 ;
(1,5)2
2. :
-
23
IR
1 ( a b 2( ) 2ab
- a² a .
- b
2 ( 2 .
(2( ) 2ab
a2 a
( a p a = 2.p (2p)² = 2.b² 4p² = 2b² b² = 2p² b² .
b² b .
2 : a2 =b
) a b (
22 ( )ab
.
a b
: 2 .
2 " ."
2 = 22
ba
a2 = 2.b2
2 . 2 .
2 -3,57577577757777…
-
24
3.14 :
= 3,1415926535897932384626433832795…
1. .
2. .
1 ( cm2 . 2 ( 2. 3 (
A
C D
B
1:
A’ B’
C’ D’
1
2
3 4
2:
E
1. EFGH .
2.
3. 8 .
4. 8 )
2 24(
1
2
3
4
G
H
3:
F
1
2
3
-
25
IR
: .III
:
IR .IQ
) OI( O
I
1. A A’ B B’ I’ :
2 -274
74
-1
2. OA OA’ OB OB’ .
3. M 2.
M’ 2
4. ( 2 2)C 5( )2
D 2( )2
E
ABCD 3cm
I , J , K , L : AI = BJ = CK = DL = 1
2,456 …… IR+ ; -3,12132133213332 ……. ; 127
……… IR-
5 ……. ; A = { -2,7 ; - 3 ; 0 } ….. ; B = { 0 ; 115
; , 10 }…. IR+
x M
: M (x)
(OI).
OI) . OI’ [.
6
7
1
)
[
-
26
(( IJKL (( IJKL 5cm2
( 5.
(O,I).
( A B C 2 114
5.
( A’ B’ C’ A B C O
.
2
-
27
IR
.
.
Q
I N Z D Q IR IR = Q I
.
a b
a a b b2 a =
-
28
11.. 1 2 3 4 5 6 13; ; ; ; ; ;11 11 11 11 11 11 11
22.. 1 2 235 13; ; ;7 7 7 7
33.. 3 4 7; ;11 11 11
: 22 ;
7b a 629
200c
1. a b c 2. a b c .
3,11411441144411444411 a =
-5,2357111317192329… b =
1. - a
- a .
2. - b .
- b Q
2 11 4; ; ; 8; ; 2; 0,257 5 49
A
: ; ; ;A A A ID A
1. A
2
3
4
1
-
29
IR
x :
1. 2375333
2. 100 .
3. 2008 .
1. 176
2. 17 16
17 16
3. 236
116
)(
ABCD n n 2
I J k L : I [AB] ; J [BC] ; K [CD] ; L [DA] ; AI = BJ = CK = DL
= 1
1. AIL BIJ CJK DLK .
2. IJKL .
3. IJKL n = 3 ; n = 4 ; n = 5
4. 17
25
81 - 0, 36 -1,123456789101112… 8 2 ,357 a
a Q
a Q
a IR+
a IR-
5
6
7
8
-
30
1. 52 42 < 5 17 < 4
2. < 4,2 17 4,1 <
3. 17 .
1 . R = 3cm .
2 . ... : 3.14159265358979 =
: 2 2 2 249 5; ; ( ) ; ( 8) ; ( 20)36 11
:
1 (:
116
; 0,25 ; 81 ; 0,01 ; 10049
2 (
: 10 ; 3 ; 24 ; 26 ; ; 48 ; 50
(xx’) (O,I).
0 1 2 3 4-1-2-3-4
A B C D : 7 ; 2 ; 8 ; 55
E : A (…) B (…) C (…) D(…)
A B C D E F
0,3 2 8
0,25 1 121
10
11
12
x
x’
A B C D
13
14
9
-
32
--II
: (35
32 ( )
52(
41 ( )
31
45(
32
( 1)45
32( ( )2
21(3 ( )2
23()
212(
x :
1
23 x 0
41x
101
53 x 34,26 x
:
)511()2
53(
521M
)32()1
43(23)
21(
32N
x :
xxxA 3)2()52(3
)3(1)12(1 xxxB
)21(23)2(
21 xxxxC
E a :
aaaE )35()
32(
1- E . 2- E a = 2. 3-
23a. " "" ":
- E 3
10
- E 56
5
4
3
1
2
-
I
33
- : 35
38 2)12( )
31(2
- x : 01x 41 x x2 03x
:
)312(
41a )2()12(b )
23(3)()
23(c
)3()2(d )2()321(
23e )
43(2)2(
47f
IR Q : - IR :
:
a b : a+b = b+a :
a b c a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
- a : a + 0 = 0 + a = a
0 IR .
- a (-a ) = ( -a )+ a = 0 : (-a ) a +
.
1
2
-
34
a b c :
a-b = a + (-b) -(-a) = a -(a + b ) = -a – b -(a-b) = -a+b
a-(b+c) = (a-b)-c a-(b-c) = (a-b)+c
:
)25(1X 1)212(
32Y
32)13(T )21(Z
1( : )]1253(2[
21a
1)]252(1[)
2122(b
2( a b c :
)()( cbacbabaA
)]([)( bcacabB
)](()([ abccabbcaC
1( a b a - b = 5
:
)23()2( baA
)2()5( abB
2 ( E c d : )3()1(2 dcE
c-d : E = 2.
1(232 baA ) ) - ( (
21)( baA
29
215A
3
4
-
I
35
B : 127)( baB
2( 2)(312 dcdcE
2E 22)( dc : 4dc
- II
:
532a )
521(
21b
54)
32(c )1
53(
32d
: )
61
54()
432(a 2 1 0 1( 3) ( )
5 3 6b
312
211
c
43
32
43
32
d
421
412
87
413
e
x : )2(3)1(2 xxA 1 3 2( 1)
3 4 3B x x
)3)(1( xxC )2)(1()3)(2( xxxxD
a :
)1(43)1(2 aaaE
23 2115 aaF )2)(2()3)(2( 2 aaaaaH
1
2
3
4
-
36
. -
- .
: )231(22a )1).(3.
51.(3b
221c
2322
d
/ //
.
IR Q :
( : :a b : ab = ba : a b c : a(bc) = (ab)c = abc : a b c :
a.(b+c) = a.b +a.c : a b c :
a.(b-c) = a.b -a.c ( 1 . a : a.1= 1.a = a ( a : a.(-1) = (-1).a
= -a ( a )1(
a : x a = 1
a1 =
a1 a x
170 cm
120 cm
1
2
-
I
37
a(b+c) =
l5,2 75 g.
.
) l( 3 12 20
)g( 270 1050
a b .
)11()(ba
ba
)( ba
223 223
( : 3233
2133
( ) x y : ( 22 yx
1 ( : )42(21 )12(3)1(2 xx )( IRx
2 ( : 11211 25 xx )( IRx
a b c d
: (a+b)(c+d) (a+b)(c-d)
: )2)(1( ba )12)(12( )3)(1( aa a b
:
x : 0)2)(1( xx 0)3(4 x 02x
a b :
baba11
.1
.
.
a b c d :
bdbcadacdcba )()(bdbcadacdcba )()(
a b : (b =0 a = 0) (ab = 0)
3
11
4
5
6
2
7
-
38
x :
05xx 0)3(2 x 0)3)(2( xx 0)2( x
III- :
O I 1cm= OI
A B C D
(OI) 2 25- 2 2 -
OA OB OC OD AB BC . 2- N (OI) (-2) P I . P
:
43 )( 2 )2( 0 21.3 )3(
x :
0x 2x 3x 21x
x 1x 22x 32x
)4)(1(.
a b : (b 0 a 0) (ab 0)
Q a b :
a|.|b| |ab| = |
a x a : )| x | = x ( x
)| x | = -x ( x
= 0)| |x ( = 0) x (
)| x | = a( ) x = -a x = a(
M
)(OI x
x OM = OM x||
11
1
2
3
8
-
I
39
ab ba .
: 4b 51a a =
(-2) b = (-4 ) a = 5 b = (-3)
IV - : : 2549 2549
81400
81400
a b 2)( ab 2)( ba
: baab
a b b 2)(ba
2
2
)()(
ba
: ba
ba
: 2)2( 2)16( 2)5(
x : (2+x)2 = 0 (1-x)2 = 1 ; x2 = 4 x2 = 3 x2 = (-4)2
x : = 2 2x = 8 2)1(x = 1 2x
a
b :
ba
ba
bb11
a :
aa 2
a b : (a = b) ( a = b )
a b b
: baab ba
ba
21
1
2
3
1
2
3
-
40
ba a b b 20 12 72 108
:
4822712A 50272183B
: 4520
7548
6328
4
5
6
-
I
41
- I IR
a b : a + b = b + a
IR :
a b c
:
0 : a :a + 0 = 0 + a = 0
a ) (-a:
a :a + (-a) = (-a) + a = 0 ab d b+d a = : d = a - b
(d = a - b ) (a = b + d ) a - b = a + (-b) a :-(-a) = a a b :
-(a+b) = -a-b a b c :a - (b + c) = a – b - c
+ c a - (b - c) = (a - b)
- II IR :
a b : a.b = b.a IR :
a b c : (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
a+ (b + c) = (a+b) + c = a + b + c
-
42
IR : a b c :a(b +c) = ab + ac IR :
a b c :a(b - c) = ab - ac
1 : a : a.1 = 1.a = a
a : a.(-1) = (-1).a = -a
a )1(a
:
a : 11a
a
a b : (ab = 0) a = 0 ) b = 0 (
: b
aba 1
b
cabc
ba )0b
bd
bcaddc
ba 0,0 db
0,0,0 dcb:dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dcba
- III
M ) (OI x . x OM : = OM x||
)| x | = x ( x
)| x | = -x ( x = 0)| |x( = 0) x (
-
I
43
| x | = a )( ) x = -a x = a ( a IR
:
a b : baab .
0b ba
ba
: : a b : baab .
a b 0 b: ba
ba
-
44
" """ : "".
1- - . - b (-b) .
- a x : a = 0) (x = 0 (x + a = 0).
2- - a : 11a
a.
- a b : )( 22 ba )( ba. - 25 25.
. ) x ( :
1 - a b a + b = 0 : a b .
a b
a b
2- aaE 2)37(
32a E :
65
35
35
321082484 :
32 32 34
:
)23()]13(2[3A
]23)1(2[)
21(2B
3)]32(2[21C
3
2
1
-
I
45
100 m 63,66 m
x y :
)21
47()
213(x
)225(1y
1- x y
2- x y .
a b a - b = 2 : )2()2( baA )2()( abB )1()1( baC
:
)2()21()
25(1A
1( 3) [1 ( 3 )] 32
B
)32()]13(2[32C
:
)223()4
23(1A
)]42(3[23B
1- A B
2- A B
3- B
5
6
7
8
4
-
46
: 33a 22b 3c 51d
: )13(3)22)(21(A
)32(2)32)(32(B )22)(21()32)(31(C
a b : 1112a 1112b
1- a b . 2- :
ba11.
x y : 32y 22712x
1- 32x
2- x y .
3 - x2 y2 xy
yx
: 2432b 2523a
205d 22c
: 482712 11211 273 1020
:
112275442C27375248B12850232A
:
322
22
a 527235b
222121
2121
c
9
15
10
11
12
13
14
16
-
I
47
121
122a
234
233b
575
577c
1012
52
67227
7228
2412
2540
1- 2 23
4 6.
2 - x 3 x 2 23
.
1 - .
2 - 90 cm.
)311 dml(
17
7 m
15 m
16.5 m
10 m
18
19
20
-
48
-1 . 2- Kg/dm3 2,65
1m .
sl /.10) (
1 - .
2 -
20 cm
12 cm
6 cm
8 cm 5 cm
22
2m
6m
21
-
4
-
50
אאאא
احسب - أ52
3 −
،61
10
،05 ،12008 ،2009( 1)− ،200080
كّل عدد من األعداد الّتالية يف صيغة قّوة لعدد كسري اكتب - ب
16
81c =1000 و = −e و d 0,027=
اكتب كّل جذاء من اجلذاءات الّتالية يف صيغة قّوة لعدد كسري نسيب
واختصر الكتابة املتحّصل . أ
.عليها2
2 3a 105
= ×
3
3 5b ( 2)2
−− = − ×
7 72 11c11 2
= − × −
4 43 5d
10 9
− − = ×
عدد صحيح nعدد كسري نسيب و aحيث naاكتب كّل عدد من األعداد
الّتالية يف صيغة . ب نسيب
( )35a 2= ، 824 b
9
− =
3
3
2 c5
= 100000d32
−= 3125e
8 9=
× كتب يف صيغة قّوة لعدد كسري نسيب - أ
237a
13 = −
، 7 73 2b
5 9 = × −
10 42 2c
13 13
− = − × −
’ 27d125
= −
اكمل الفراغات مبا يناسب - ب
( )( )
( )......... 2512 .........
........10
......... 10 9 ........2
6
103 3= , = 10 4 4 10
8 2 2 2 2= , 3 11 11 113
−
−
− − −
= ×
كسريني عددين bو a كان إذا
عددين n و m و للصفر خمالفني
فإن نسبيني صحيحني
( )( )
n n n
mn n m
n m n
×
m
n n
n
+
a×b = a ×b
a = a
a ×a = aa a=b b
W
1
2
3
-
51
األة وعجم مي فىقوال
يةيقحق الادعد
I . قّوة عدد حقيقي دليلها عدد صحيح نسبي
: احسب حجم كّل شكل من األشكال الّتالية
اط مبا يناسبأنقل مث عّوض الّنق
( )( )
54
4........
2 ................................ ..... .. , ( 3) =
.................................
3 ........................... ........ , 7 7 7 7 7 7
.......2
= = −
− = = × × × × × =
.
n حيث طبيعّيا صحيحا عددا n و حقيقّيا عددا a إذا كان • فإنّ
-
52
أنقل مثّ عّوض الّنقاط مبا يناسب....... 8 5
......... ........ .........
0,0314 3,14 10 10 0,.............. 10
0,................0,00001003 1,003 10 0,000003704 3,704 10 0,000917
9,17 10
− −= × = == × = × = ×
; ;
; ;
احسب
( )0 2 4 6
1 137 5 2 , , , , 2 2 3
− −
πππ
قارن )و 43 )و −57 ثم 43( ) 57 −
:حّدد عالمة كّل عدد من األعداد الّتالية
( )
( ) ( )
884 153 04
613 10
10
3 9 3 7, , , 5 , 4 5 17 5
, , 3 , 2 2
−− − − − −
− − −
π π
3
4
2
للّصفر وخمالفا موجبا حقيقّيا عددا a نإذا كا
): فإنّ نسبّيا صحيحا عددا n و )nna = a
.وخمالف للّصفر هي موجبة كّل قّوة لعدد حقيقّي موجب • سالب وخمالف
للّصفر دليلها زوجي هي موجبة كّل قّوة لعدد حقيقيّ • .كّل قّوة لعدد
حقيقي سالب خمالف للّصفر دليلها فردي هي سالبة •
نشاط 2
-
53
األة وعجم مي فىقوال
يةيقحق الادعد
II . خاصّيات القوى في IR
:قارن األعداد احلقيقّية الّتالية ( )2 23 π× و( )23 π× ثم( ) ( )3
38 2− −× )و − ) 38 2 − × −
.للّصفر وخمالفة موجبة حقيقّية اأعداد c و b و a نعترب
الكتابة ضع مث c أو b أو a بداللة الّتالية اهلندسّية األشكال من
شكل كلّ حجم احسب .حقيقي لعدد قّوة صيغة يف عليها املتحّصل
احسب بطريقتني خمتلفتني -أ كّال من قيس مساحة املرّبع
.وحجم املكّعباستنتج بأّن -ب
( ) ( )2 223 2 3 2× = × )و ) ( )3 333 2 3 2× = ×
للّصفر خمالفني حقيقّيني عددين b و a إذا كان) فإنّ نسبّيا صحيحا
عددا n و ) n nna = a ×× bb
نشاط 1
نشاط 2
W
1
-
54
.اكتب يف صيغة قّوة لعدد حقيقي واختصر الكتابة املتحّصل عليها
( ) ( )
6 6 4 4 3 3
556 6
3 10 12 5 25 4 , , 4 9 5 36 2 5
5 2 , e 2 3 2 102
a b c
d
ππ
− − = × = − × − = ×
= − × = ×
طبيعيصحيح يف صيغة قّوة دليلها عدد اكتب100 5100 3 3 3
35 15 2 5 22 2 22 3
d c b aπππ
−− − − − = × = − × = × = , , ,
قارن
( )( ) 232 ، 62و −−−421
3
−
و 81
3
−
،( )35
2−
− )و ) 152 −−
nعدد حقيقي و x حيث nx اكتب كّل عدد من األعداد الّتالية يف صيغة.
أ .عدد صحيح نسيب
( ) ( )4 52 7 313 533 2 , , , 2
3
−− = = = − =
d c b aππ
أنقل مث أكمل الفراغات مبا يناسب. ب
( ) ( )5........... 20 ..........12 4 ..........10 .........5 5
, = , 2 = 2
3 3 2 2π π − − = −
عدد صحيح نسيب n عدد حقيقي و x حيث nx اكتب كّل عدد من األعداد
الّتالية يف صيغة
3
صحيحني عددين p و n و للّصفر خمالفا حقيقّيا عددا a إذا كان:
نسبّيني فإّن
( )p nn ×pa = a
نشاط 3
W
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 23 2 224 7 7 9 1862 2 35 , , 5 3 , 2
2
53c d b aπ
= × = × = − × − = ×
2
-
55
األة وعجم مي فىقوال
يةيقحق الادعد
: مل الفراغات مبا يناسبأنقل مثّ أك( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
4 3 ......
......4 3 ......
...... ......
3 3 ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ..... ....
..... ..... ..... ..... ......
........... 3 3 .......... .....
−
× = × × × × × × = × × × × × × =
× = × = = ...... ...... ...... ............ ...... ......
......
× × =× × ×
) قارن ) ( )5 62 2− ، 2و ×10 7
1 13 3
− ×
و 3
13
اكتب يف صيغة قّوة لعدد حقيقي
( ) ( )5 3
13 25 2 2 b 2 2 , a 3 3
− = × = ×
4 5 3 4
2 2d , c3 3 3 3π π
−
= × = − × −
أنقل على كرّاسك ما يلي مثّ أكمل لتحصل على عبارة صحيحة
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25 ........ 19................. 9 21 5
........ 73 3 311 11 = 11 , , 3 3 3
7 7 7 − × − − × = − × = −
احسب كالّ من قيس مساحة املربّع امللّون وحجم املكّعب
.امللّون بطريقتني خمتلفتني
صحيحني عددين p و n و للّصفر خمالفا حقيقّيا عددا a إذا كان: فإنّ
نسبّيني
p n+pna ×a =a
نشاط 4
نشاط 5
W
1
2
نشاط 6
-
56
bعلى a خارج قسمة c للّصفر و ليكنعددين حقيقّيني خمالفني bو a
يكنل) بّني أنّ )n na bc= مهما يكن العدد الصحيح النسيب n
مثّ استنتج بأنّ n
nn
acb
وكذلك =n
n acb =
أنقل مثّ عوَّض النَّقاط مبا يناسب
( )( )
( )
.......7 ........3 ......
..............
........26 6
52 ...... 5 2 2 , = 3 27 2 2 55
..... 343 ..... 10000 ...... , , 125 64 ...... 625 .......5
− − = − = =
π = = =
اكتب يف صيغة قّوة لعدد حقيقي
( )
( )53 43 5 4
39 3 64 8 37 24 2 3 3 2
−− , , , , π
اكتب يف صيغة قّوة لعدد حقيقي( )( )
89 9 7
124 5 3
3 10 2 , , , 10 23
ππ
−
−−
ماذا تالحظ ؟
عددا n و للّصفر خمالفني حقيقّيني ينعدد b و a إذا كان
فإنّ نسبّيا صحيحاn n
na a=b b
صحيحا نسبّيا عددا n عددين حقيقّيني خمالفني للّصفر و b و a ا
كانإذ
فإنّ nna b
b a
−
=
نشاط 7
W
1
2
3
-
57
األة وعجم مي فىقوال
يةيقحق الادعد
نسبّيني صحيحني عددين p و n و للّصفر خمالفا حقيقّيا عددا a إذا
كان
: فإنّ
nn p
pa aa
−=
-
58
فإنّ n > 1 عددا صحيحا طبيعّيا حيث n و للّصفر خمالفا حقيقّيا
عددا a إذا كان •
na هو جذاء n عوامل مساوية لـ a يعين na a a .... a× × n حيث =× هو
عدد عوامل هذا اجلذاء
1a عددا حقيقّيا فإنّ aإذا كان • a= 0a فإنّ للّصفر خمالفا حقيقّيا
عددا a إذا كان • 1= : فإنّ نسبّيا صحيحا عددا n و عددا حقيقّيا
خمالفا للّصفر a ا كانإذ •
-nn
1a a=
نسبّيني صحيحني عددين p و n و للّصفر خمالفني حقيقّيني عددين b و a
إذا كان :فإنّ
( )( )
n n n
p npn
p n pn
n n
n
nn p
p
a b a b
a aa a aa ab b
a aa
+
−
× = ×
=× =
=
=
-
59
األة وعجم مي فىقوال
يةيقحق الادعد
: احسب العبارات الّتالية
6 3 42 2211 3 , ,
1 1218 211
3 3 8481 6 5 110000 , , 2
10 5 3 2 × − × ×
نسيب صحيح عدد n و حقيقي عدد x حيث nx اكتب كّل عدد من األعداد
الّتالية يف صيغة
( ) ( )
( ) ( )
55 4 35 3
735 33 4
2 2 3 3a 7 7 , b , c 4 23 3
16 2d 5 5 , e25 5
= − × − = × = × −
= − × − = ×
.مةبعض املتساويات املقّدمة باجلدول خاطئة، حّددها وأعد كتابتها
بصورة سلي4 42 3
3 2
− =
( )52 2 5= × ( ) ( )5 553 2 3 2= × 43 4 4 4= × × ( )( )
( )15
3
5
22
2=
5 2 32 2 2
3 3 3
= ×
( ) ( )24 8
2 2− = −
( )57 7 7 7 7 7× × × ×=
( ) ( )4 5 65 17 25 17 5 17− × = × 4 33 4
2 27 7
− =
1
2
3
-
60
حيث c و b و a نعترب األعداد احلقيقّية5
2a3
=
و 33b
2 =
و 6
3c2
=
bc و ac و ab من كالّ أختصر مثّ احسب
اكتب يف صيغة قّوة لعدد حقيقي
3
3
23
a2
7
=
،
5
5
3
b2
− π = π
،( )7
7
2c
12
−=
،( )4
4
1,3d
135
=
،24e
81π=
: اختصر الكتابات الّتالية
7 -3 5 14
4 123 5
0,0003 10 0,28 10 36 10 2,5 10D , C , B , A9 10 5 103 10 7
10
−
− −
× × × ×= = = =× ×× ×
ab = c حيث حقيقّية أعداد ثالثة c و b و a نعترب
: مثّ أختصر إذا علمت أنّ a احسب . أ
( )5b 3 2= c و × مثّ =64
2b3
=
و 3
3c2
− =
) أنّ بّني . ب )2abc ab=
أنّ علمت إذا abc احسب.ج 3
2a5
=
و 3
2b5
−
=
: حّدد العدد الذي ترى أنّه دخيل على جمموعة األعداد احلقيقّية
الّتالية
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 10 2 4620 12 6020 4 53 15 30 30 306
, 6 , 3 2 , 6 , 3 2 , 36 , 3 2 − × × − ×
4
5
6
7
8
-
III
-
62
אא אאא
قارن ذهنيا العددين يف كل حالة من احلاالت التالية - ب 210 و 23
-أ
4 و 13
3 -ج 13
7 و 11
52
7 -د 2 -م 1. 41 7 و 3
12 و 5
6 و 3.14 - ك 7
201628
أعط ثالثة أعداد كسرية أكرب من -أ 113 .
ددين كسريني أصغر منجد ع - ب7 وأكرب من - 2
73-.
قارن العددين الكسريني -ج 5 و 4
4 .بطريقتني خمتلفتني 3
: التالية ب تصاعديا األعدادرتّ ) أ
21− ،
173 ،
94 ،
35− ،
215− ،
311
: من األعداد السابقة ميكن أن يعوض املثلث يف كل حالة من احلاالت
التالية أي) ب Δ < 3
2 ،7
3− < Δ ،
173 < Δ
-
63
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
.رتب تنازليا األعداد احلقيقية التالية -أ
21 - ،3 - ،2 , 2 1 , 2 1+ −
) عني على مستقيم مدرج النقاط - ب ) ( ) ( ) ( ) 11 2 , B 2 1 , C
2 , D -3 , E - 2A + −
:ل حالة من احلاالت التالية قارن العددين يف ك
5 - أ 5 9 −و5 1 -ب − 13 11 2 112 4
+و +
1 -ج 2 2 +و2 2 -د − 4 7 1 3 73
−و − −
:يف كل حالة من احلاالت التالية b و a العددين احلقيقينيقارن -
أ
52 - =a و
32- =b
7 - ب 92 3 b = 2 34 5aو = + +
18- - ج 5 +1 b = 7 55
aو = +
قارن حجميهما. b >a نعترب املخروطني التاليني حيث
حقيقيني عددين b و a ليكن 0 ≤ b – a يعين b ≤ a 0 ≥ b – a يعين b ≥
a
2
3a
2b
2b
3a
قاعدته جمسم هو الدائري املخروط رأسه بعد ميثل وارتفاعه دائري قرص
قاعدته مركز عن
حجمه2
3r hV π= حيث h
.القاعدة شعاع rو اإلرتفاع
W
1 نشاط
نشاط 2
W
1
-
64
d d
c
c
d
c
a و b عددان حقيقيان حيث a 711 =b
53
:قارن العبارتني يف كل حالة من احلاالت التالية a+ 9 - أ
711 b+ 9 و
5 a+ √2 - ب 3
711 و
52 +b
53
5 -ج2
−+ a 72 و 11
3 - b
5110 -د 3 a
72 و − 3b−
c نعترب متوازيي املستطيالت التاليني حيث d> .قارن حجميهما.
2 إذا علمت أن yو x قارن العددين - أ2
π − =y - x
) قارن العددين - ب )3 2 1 x− و y إذا علمت أن y > x
I . الترتيب والجمع في IR
b ≥ a حيث حقيقيني عددين b و a نعترب : قارن العبارتني يف كل حالة
من احلاالت التالية 7-أ و 7 b +
6 6a +
ba قارن العبارتني -ب πو π− − - 3 : العبارتني قارن -ج
43 +a 3 و -
43 +b .
ماذا تستنتج ؟ -د
y x ≤ ثالثة أعداد حقيقية حيث z و yو x لتكن - أ x + z و y +z قارن
ثة أعداد حقيقية حبيثثال z و yو x لتكن - ب
y +z ≥ x + z. .yو x قارن العددين
5
4
3
3 نشاط
نشاط 4
-
65
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
x y
نشاط 5
+ 11 قارن العددين - أ5 و 7
311 +11
: قارن بطريقتني خمتلفتني العددين التاليني-ب 0.12 +1 - π +2 1+ 2
و- π +0.13. :إذا علمت أن b و a قارن العددين -ج 131 +
23 - a <
23 - b +131
z < t يف احلالتني التاليتني إذا علمت أن y و x قارن
العددين
12 -أ , 1 42
t+ + =y 1 و 2 , 1 42
z+ + =x
+ t2 -ب10000
1−
+43 =y 432 و 10
4x z −= + −
a و b ان حيثعددان حقيقي b > a = 22 أن بني -أ) 1
211
+ +
211+−
قارن العبارتني - ب 21
1+
+21
1+−
+ a 22 و +b c= - 203+ 45 اختصر العبارة التالية إىل أقصى حد -أ)
2
b - 53 و a - 203+ 45+ قارن العبارتني -ب
22 ان نعلم7
π <
: استنتج مقارنة العددين يف كل حالة من احلاالت التالية
W
يةحقيق أعداد ثالثة z و yو x لتكنy ≥ x يعين y +z ≥ x + z
1
2
3
-
66
-أ 25 +π و
213 +
7 -ب 22
522 + π 2و +
722
-ج 23 - π و
117 -
7 -3 و π - 7 -د 22
722
t ≤ z و y ≤ x أعدادا حقيقية حيث t و z و yو x لتكن
)t - z) + (y - x) = (t +y (- )z +x( بني أن - أ z +x و t +y
استنتج املقارنة بني - ب
b > a حيث حقيقيان عددان b و a -أ 29 و π +1 قارن
729 و π +1 +b مث استنتج مقارنة العبارتني
7 + a
212 قارن - ب 3 310
−و 212 مث استنتج مقارنة العبارتني − 3 a+ 310
b +و − −
2 قارن العبارتني -ج 7 5+ +a 152 و 74
+ + b
يف املكان املناسب ( * ) انقل اجلدول التايل مث ضع عالمة
صحيح خطأ 5 11 7 7− + ≥ −
111 2 ( 1)907 842−− + > − − −
x كان إذا y> 2 فإن 1x y+ > +
a إذا كان b≤ 1 فإن 32 5
b a− ≤ −
) t ≤ z و y ≤ x ( كان إذا حقيقية أعداد أربعة t و z و yو x لتكن)
t +y ≤ z +x( فإن
نشاط 6
W
1
2
-
67
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
:يف كل حالة من احلاالت التالية yو x قارن العددين9 - أ 10 , 5 6 7
8
5 6 7 8x = − 9 و + 1y= -0 ,5 6 7 7 +
5 6 7 7
2 - ب 9 2 8 2 7 3 2 6 4 2 9 2 8 2 7x = - y = -7 2 8 2 9 2 1 0 8
2 1 5 7 2 8 2 9 1
− −
.IIفي والضرب الترتيب IR:
19قارن العددين - أ 214 519 مث استنتج مقارنة العددين و 11
421 و 11
5
1 قارن العددين - ب 5 1- 5 3 3
1 مث استنتج مقارنة العددين +و 5 1- 5 3 3
πو π+
)-1+ 7( العددين قارن -ج2
)1+ 7( و - 12
1 -
قارن العبارتني يف كل حالة من احلاالت b ≥ a عددين حقيقيني حيث b و
a نعترب1) : التالية
a17 - أ3
b17 و 3
5 -د - a π و - b π -ج b2 و a2 - ب 5 - b 4 4
−aو
3 كان إذا -أ 2) 3a b2 2
≥
a أن بني b≥ 1 كان إذا – ب 1
4 4a b− −≥
a أن بني b≤
يف اخلانة املناسبة(*) انقل اجلدول التايل وضع عالمة
خطأ صحيح 3 2 3
5 5≤
1372 13725 7
− −<
4 7 4 53 3
− −<
1 3 1 34 3
− −>
حقيقيني عددين b و a نعترب فإن قطعا موجبا حقيقيا عددا c كان إذا
-1 ) b ≤ a يعين b c ≤ a c( فإن قطعا سالبا حقيقيا عددا c كان إذا
-2
)b ≤ a يعين b c ≥ a c(
7 نشاط
8 نشاط
W
1
-
68
2 أن بني -أ 3− < 1 5− ) العددين قارن -ب )7 2 31 1 ) و − )
7 1 51 1
−
2 أن بني -أ) 2 3 5+ > 125 7 العددين قارن -ب . 1 2 5
4 17 و − (2 3 5 )
41− +
:قارن العبارتني يف كل حالة من احلاالت التالية . a ≥ b عددين
حقيقيني حيث b و a نعترب
17 -أ و 173 3
a b ب- a 0,14 و b750
b2 و a2 -د −aπ و - bπ -ج
50 نعترب العبارتني 18 2− − =A 27 و 12− =B إىل أقصى حد B و A ختصر
العبارتنيا) 1 .−2B و −2A مث استنتج مقارنة لـ B و A قارن) 2
3.14 > ∏ > 3.15 أن نعلم2التالية رتب تنازليا األعداد - أ 2
23,14 ; 3,14 ; 3,15 ; 3,15 ; π π π
∏ رتب تصاعديا األعداد التالية - ب 5 ,520
315 ,20 ,5 210314
- IIIعددين حقيقيين مخالفين للصفر مقلوب مقارنة قارن العددين -
أ
5 و 3
7 مث 2
3و 5
27 .
350و 3,5 قارن العددين - ب101
.مث قارن مقلوبيهما .2+ 1 هو مقلوب العدد 2 - 1 بني أن -ج2 نوأ
2 .2 هو مقلوب
2 ستنتج مقارنة العددينا 2 و −12
. .مث قارن مقلوبيهما 2+3 و 2+ 1 قارن العددين -د
2
3
4
5
نشاط 9
-
69
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
ن حقيقيني كالمها خمالفا للصفر وهلما نفس العالمةعددي yو x ليكن و
y xما هي عالمة كل من العددين - أ
xy ؟ 1
) y - x( هي عالمة العبارة ما - بxy ؟ y ≤ x إذا علمنا أن 1
استنتج مقارنة -جy و 1
x1 .
: قارن العددين يف كل حالة من احلاالت التالية 100 -أ
628 و
7 - ب 1
9 و −1
131 - ج −1
3 51 و
3 7
1 -د1 3+
1 و 1 2+
1 - م 5 3 7+
1 و 5 3 11+
1 - ن 7135
+1 و 913
5+
2)3 نعترب العددين احلقيقيني 3) 1a = + 6 و + 2 18 4b = − +. 4 أن
بني) 1 2 3a = 4و + 3 2b = +. 3 قارن العددين -أ) 2 2 و 2 3 .
7 أثبت أن - ب a b<
-
70
26 7 3x x+ +
12
2
2 1x +
1
3 2x +
)2( )1(
قارن حجمي متوازيي املستطيالت التالية .1 )1( حجم متوازي
املستطيالت 1V نعترب .2 )2( املستطيالت متوازي حجم 2V و2 أنّ بّني -أ
22 1 2 1 2 1V -V = (V -V ) (V +V ) .املستطيالت متوازي مربّعي مقارنة
استنتج - ب
موجبني حقيقيني عددين yو x ليكن) 12و y - x أنّ بّني -أ 2x y− هلما
نفس العالمة y يعين y ≤ x ( اخلاصية التالية بّني -ب 2 ≤ x 2(. عددين
حقيقيني سالبني y و x ليكن) 22 و y - x أنبّني -أ 2x y− هلما عالمتني
خمتلفتني 2يعين y ≤ x( اخلاصية التالية بّني -ب 2x y≥ (.
جوابك المعلّ خطأ أو بصحيح أجب مثّ يلي ما أنقل 21 < 5 - أ
5 123 - ج > 1 -د
87117
عددين حقيقيني y و x نعترب .عددين موجبني y و x إذا كان) 1
.) 2y ≤ 2x يعين y ≤ x ( فان عددين سالبني yو x إذا كان )2
.) 2y≥ 2x يعين y ≤ x ( فان
نشاط
نشاط
W
1
12
13
-
71
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
x
x
x
y
x
y
: يف كل حالة من احلاالت التاليةقارن العددين :112 و 73 - أ
2 - ج -53 و -35 - ب 319 197 5
و −−
x حيث التاليني اهلرمني نعترب y
-
72
2ba 2b a
1( )S 2( )S
a حيث التاليتني الكرتني حجمي قارن b<
: التالية احلاالتمن حالة كل يف العددين قارن 1089 و 1123 -أ
3)2169 -ب )4
3)2296و + )7
+
231 -ج ( )5
241 و + ( )7
+
6
هو 2R حجم كرة قطرها34
3V Rπ=
7
-
73
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
: رتب تنازليا األعداد التالية - أ
22 120 315 72 9 1, , , , ,7 35 100 21 2 2
− − −
رتب تصاعديا األعداد التالية - ب8 133 ; 1,7 ; 2 ; 1,4 ; ;7
100
− − −
: يف كل حالة من احلاالت التالية b و a قارن العددين
7 - أ 9− + =a 11 و 9− + =b 2 - ب 5
3+ =a 1 و 5
4− =b
5 -ج 7 2− + =a 2 و 2 9 7− =b
: يف كل حالة من احلاالت التالية yو xقارن العددين 2 - أ 13 - 19
=x 2 و 13 - 17 =y
100 - ب 5 3 + 415 4
=x 10 و 5 3 + 43 4
=y
2 - ج 3 + 212
=x و 23 +
34
=y
.ميلــك فــالح حوضــني شــكل كــل منهمــا متــوازي مســتطيالت
يســتعملهما الدخــار حمصــوله مــن الزيــتاحلــوض الثــاين فبعــدا
أمــا الزيــت مــن لــرتا 28وي حيــو ، 2,5و 3,5 قاعــدة احلــوض
األول بعــداها بــاملرت
.قارن ارتفاعي الزيت يف احلوضني. لرتا من الزيت 20 وحيوي 1,5 و 4,5
قاعدته باملرت
3 احلقيقيني العددين قارن ) 1 2 و 7 13 1 استنتج مقارنة للعددين)
2
5 3 7−
+1 و
5 2 13−
+
b ≤ a عددين حقيقيني حيث b و a ليكن) 3a 4 قارن بني -أ
5b4 و −
5−
3 استنتج مقارنة العبارتني - ب 7 + a45
2 و − 13 + b45
−
1
2
3
4
5
-
74
قارن العددين احلقيقيني يف كل حالة من احلاالت التالية3 - أ 3 و
−17 ) -ب −19 )27 ) و −5 )25 7− 18 - ج 18 و −13 17−
يف كل حالة من احلاالت التالية قارن العددين احلقيقيني )17 و −7 -
أ 5
2− 7 و - 5 -ب − 5
2− −
7 > - 5 أن استنتج) 2 52
− −
y < z < x طعا حيثثالثة أعداد حقيقية موجبة ق z و y و x
لتكنz +x(1( أن برهن - أ
2 < x و )z +y(1
2 < z و )y +x(1
2 < x
z +x( )y +x( )z +y( < 38x( استنتج أن- ب
x , 3 , 3: عددين حقيقيني حيث y و x كنلي y x y> > > :رتب
تصاعديا
- 3 2 1 , , , - 3 2 1
x x x xy y y y
+ ++ +
45 :نعترب العددين احلقيقيني 28+ =a
8 0 3+ =b
3 بني أن) 1 5 2 7+ =a 4 و 5 3+ =b 2 قارن -أ) 2 2 و 7 5
3 قارن - ب 2 و 5 5 3+ b و a استنتج مقارنة لـ) 3
7
8
9
10
11
6
-
75
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
2 { :عة نعترب اجملمو 11 ،72 ،2- ،6 ،5− ،3 3 ،43
− { =A
: اجملموعات اجلزئية التالية A جد يف
32 اليت عناصرها أصغر أو مساوية من B اجملموعة) أ .1 اليت عناصرها
أكرب من C اجملموعة) بA: اجملموعتان) ج C∩ و A C∪
a و b عددان حقيقيان، قارن العبارتني A و B كل حالة من احلاالت
التالية يف: 2) أ 3 2 3A a b= + 3) و − 2 ) 2 7B b a= − − +
5 )ب 7 42 11
A b a= + 5 و − 92(2 )4 4
B a b= − − +.
aABو مستطيل DCBA حيث أعالهالحظ الرسم bBCو = 7و = 1 7 1b− <
< + 7 1 3 7 1a+ < < −
أعط حصرا لـمحيط املستطيل )1 أعط حصرا ملساحة املستطيل )2 .أعط
حصرا ملساحة اجلزء امللون )3
1 عددا حقيقيا حيث a ليكن 2 1 22
a− < − <
102 مث لـ a أعط حصرا لـ - أ −a 13 لـ و a−2 أعط حصرا لـ - ب
+a
x و y و z 1 أعداد حقيقية حيث 2x≤ 2 و ≥ 3y≤ 3 و ≥ 2z− ≤ ≤ − z و y
أحسب مدى حصر كل من) 1
16
12
13
15
D C
B
b
A b
a
14
-
76
2 و xz و xy و x + z: أوجد حصر لكل من) 2 5x− 2 و + 1y − :استنتج
أن ) 32 . أ 6 ( ) 4x y z− ≤ + ≤
. ب21 1 8
3 2 5y
x−≤ ≤
− +
20 . ت ( ) 4x z≤ + ≤
:قارن العددين احلقيقيني التاليني - أ5
512 1 0 −
−×
511 و 3 1 0 −+ × :ة رتب تصاعديا األعداد التالي - ب
8102 −+=a 28 و )102( −+=b 8102 و −+ :رتب تنازليا األعداد
احلقيقية التالية -ج 20101 −−=x 220 و )101( −−=y 20101 و −−=z
: يف كل حالة من احلاالت التالية B و A باستعمال اآللة احلاسبة
قارن العددين
- أ4 2(3 .2 10 )
7A
و =×−3 3(5.3 10 )
5B
−×=
- ب2 4(6.8 10 )
21A
3 و =×− 3(1 1 1 0 )8
B−×=
2 حلساب العدد : مالحظة 2( 2 .1 1 0 )1 8
X :نتبع الطريقة التالية بآلة حاسبة علمية =×−
2 10 2.1
0.0000245
1 أن بني )1 1 11 ( 1)n n n n
− =+ +
n* مهما تكن IN∈ تاليني، األعداد الكسرية أكتب يف صيغة فارق عددين
كسريني مقامهما عددين صحيحني مت )2
1: التالية 1 1 1, , ,20 12 6 2
× ( xy −+ )2x ÷ 18 =
17
18
19
-
77
ة وعجم مي فنةقارلموا
ب رتيالت
يةيقحق الادعداأل
1 عددين حقيقيني حيث b و a ليكن )3 1 1 1.......1 2 2 3 3 4 2006
2007
a = + + + +× × × ×
1 و 1 1 1...........2 3 3 4 4 5 2007 2008
b = + + + +× × × ×
.بطريقتني خمتلفتني b و a قارن العددين
a حيث b و a نعترب العددين احلقيقيني) 1 b≥ .
8 قارن 3a b+ 3 و 8a b+ 3 مث 2a− 3 و + 2b− + 2 حيث y و x نعترب
العددين) 2 5 3 2x = 2 و + 5 3 2y = − عدد موجب y بني أن . أ
y و x قارن . ب .استنتج مقارنة ملقلوبيهما
20
-
6
-
79
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
אאאאאאא I . الجذاءات المعتبرة
: أنشر العبارات الّتالية( )( ) ( ) ( )2 2a 3 2 3 2 , b 2 1 , c 5
2= + − = + = −
خمتلفتني مثّ بطريقتني ABCD املستطيل مساحة قيس b و a يف اجلدول
الّتايل، أحسب بداللة
.أكمل
( )2a b ......................+ = ( )2a b
.......................− = ( )( )a b a b ...............− + =
b و a احسب بداللة
2 الّشكل مساحة قيس . أ 3 الّشكل مساحة قيس . ب
؟ تستنتج ماذا
نشاط 1
D C
A B H
:فإّن حقيقّيني عددين b و a كان إذا
( )( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2 2
a b a 2ab b
a b a 2ab b
a b a b a b
+ = + +
− = − +
+ − = −
A
نشاط 2
نشاط 3
-
80
انقل مثّ عّوض الّنقاط مبا يناسب( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 22
2 2 2
2
2 1 2 2 ..... ..... 1 ........ ........... ....... ........
.............
5 3 ...... 2 ....... ...... ..... ......... ........ .......
....... ........
7 2 ......... 14 2 ........... ........... .
+ = + × × + = + + = +
+ = + × × + = + + = +
− = − + = −
( )( )...........
7 3 7 3 ......... ............ ...........− + = − =
2 : احسب ذهنّيا 2 2 2101 99 , 89 111 , 95 85 , 64 36 , 101 , 98×
× × −
: انشر العبارات الّتالية
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 23 2 2 3 7 5 7 2 5 3 5 3 3 5+ − + − + −2
2, , , ,
:انشر العبارات الّتالية ( ) ( ) ( )( ) ( )22 22x 3 , 3 x , 5x 1
5x 1 , 2x 3+ − − + عدد x حيث +
حقيقي
فّكك إىل جذاء عوامل 2 2 2 2x 2 2x 2 , x 6x 9 , x 9 , x 4x 4+ + −
+ − + عدد x حيث +
حقيقي
تأّمل األشكال الّتالية ّمث عّرب عن مساحة املنطقة امللّونة يف كّل
حالة وفّكك العبارة املتحّصل .عليها إىل جذاء عوامل
1
3
5
6
W
2
4
-
81
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
اكتب األعداد الّتالية يف شكل جذاءات معتربة - 1
z 42 10 17 , y 7 4 3 , x 4 2 3 = − = − = + 42 بّني أنّ - 2 10 17
42 10 17 10− + + =
4 لكتابة - 1 2 2 يف شكل جذاء معترب يتبادر إىل الّذهن بأنّ + 3
متّثل اجلذاء املضاعف 3
2ab يف اجلذاء املعترب ( )2a b+ ّوبالّتايل فإن ab 3= ab حيث b و a
كانّية وجود عددين حقيقّينيإذن جيب أن نبحث ذهنّيا عن إم ويكون =3
4 جمموع مربّعيهما مساويا لـa ممّا يدفعنا إىل التفكري يف احلّل
األقرب والذي حيّقق الّشرطني الّسابقني أال وهو 3=
bو : عن ذلك كما يليأو العكس، ونعّرب =1( ) ( )2 22x 4 2 3 3 2 3 1
3 2 3 1 1 3 1= + = + + = + × × + = +
א
W
-
82
z و y وكذلك بالّنسبة إىل
( ) ( )2 22y 7 4 3 4 4 3 3 2 2 2 3 3 2 3= − = − + = − × × + = −
( ) ( )2 22z 42 10 17 25 4 17 17 5 2 5 17 17 5 17= − = − + = − × ×
+ = −
) نعلم من خالل الّسؤال الّسابق بأنّ - 2 )242 10 17 5 17− = وبنفس
الّطريقة نبّني −)بأنّ )242 10 17 5 17+ = +
) لدينا بالّتايل )242 10 17 5 17 5 17 5 17− = − = − = − ) كذلكو
)242 10 17 5 17 5 17 5 17+ = + = + = + A إذن 42 10 17 42 10 17 5 17
5 17 10= − + + = − + + =
II . العبارات الجبرية عددا حقيقّيا واتّبع املراحل الّتالية
اخرت
ضاعف العدد الذي اخرتته • العدد الذي حتّصلت عليهإىل 6 أضف • خذ
نصف العدد الذي حتّصلت عليه • أطرح العدد الذي اخرتته يف البداية من
العدد الذي حتّصلت عليه •
الّسابقة املراحل وأعد آخر عددا اخرت ماذا تالحظ ؟ . أ جد تفسريا
ملا الحظته . ب
) نعترب العبارة اجلربيّة ) ( )22A 2 x 1 2x 1= + − حقيقي عدد x
حيث +
x الّتالية احلاالت من حالة كلّ يف A احسب . أ 2 , x 1 , x 1 2= =
= − الّتالية احلاالت من حالة كلّ يف احلاسبة اآللة مستعمال A للعدد
تقريبّية قيمة أعط . ب 3 1 3x , x , x
5 7 2= = =
2 نشاط
-
83
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
) نعترب العبارة اجلربيّة )2
2 2P 3 3 a 3 1 a3
= + + −
عدد حقيقي a حيث
3a يف كّل حالة من احلاالت الّتالية P أحسب 3 , a 3 , a2
= = − =
حيث Bو A نعترب العبارتني اجلربيّتني2A x 4x 3= − 2Bو + 5x x 1= −
+ − )x عدد حقيقي(
x كان إذا Bو A احسب كالّ من . أ A مثّ أحسب =2 4B+ .يف هذه احلالة
وبطريقتني خمتلفتني
A احسب . ب B+ وA B− 5 وA B+ بداللة املتغّري x
a و b و c ثالثة أعداد طبيعّية متتالية a بداللة c و b أكتب كالّ
من . أ 2 كتابة خمتصرة لـأعط . ب 2 2a b c+ a بداللة + .3 استنتج إذا
باقي القسمة اإلقليديّة جملموع مربّعات ثالثة أعداد طبيعّية متتالّية
على . ج
.عّرب عن مساحة كّل شكل من األشكال الّتالية بطريقتني خمتلفتني
: عند مجع أو طرح عبارات جربيّةحنذف األقواس مستعملني يف ذلك
اجلذاءات املعتربة أو خاصّية توزيع
.اجلمع يف جمموعة األعداد احلقيقّية الّضرب علىة أي اليت هلا نفس
املتغّري واملكتوب يف صيغة جنمع احلدود اجلربيّة املتشا
قوى هلا نفس الّدليل أو تكون يف شكل أعداد حقيقّية ثابتة
3 طنشا
نشاط 4
نشاط 5
نشاط 6
-
84
: لّتاليةانشر كّل عبارة من العبارات اجلربيّة ا( )( ) ( )
( )( )
1Q 3x 2 3x 1 , P x 2x 32
3 1 1 3R x x , S 2x 7 2x 32 2 2 2
= + − = − +
= − − = + +
خمالفو موجب حقيقي عدد x املساحتني يف كّل حالة من احلاالت
الّتالية حيث نقار
.للصفر
فّكك العبارات اجلربيّة الّتالية إىل جذاء عوامل
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
15 2x 6 6x , 2 3 3 2x , 4y 2y 1 3y
2t 3 t 1 t 1 , 3 2t 6 t 3 , 2x-1 4x 1
+ − + +
+ − − − + + + − −
) اجلربيّتني العبارتني نعترب )2P 2 x 1= ) و − )2Q 2 x 1= عدد
حقيقي x حيث − : يف كّل حالة من احلاالت الّتالية Q و P احسب كالّ من
. أ
1 (x 1= 2 (x 2= 3 (1x2
= −
d و c و b و a كان إذا فإن حقيقية أعداد
( )( )( ) ( )( )( )
a b a a b b
a b a a b b
a b a a b b
c d c d c d
c d c d c d
c d c d c d
+ + = + + +
− + = + − −
+ − = − + −
7 نشاط
نشاط 8
نشاط 9
W
1
-
85
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
P - Q احسب مثّ Qو P نشرا . ب x بطريقتني خمتلفتني إذا علمت أن P-Q
احسب . ج 2=
) نعترب العبارة اجلربيّة )2 2 1A 2x 1 2 x
2 = − − −
حقيقي عدد x حيث :يف كّل حالة من احلاالت الّتالية Aاحسب . أ
x 1= 1x2
= 1x2
= −
A العبارة اختصر . ب .عوامل جذاء إىل A بارةعال فّكك . ج
2
-
86
3a حيث حقيقّيني عددين bو a ليكن2
1b و =2
=
2 أنّ بّني . أ 2a b 1+ = ) حسبا . ب )2a b+ و( )2a b−
واختصر نشرا
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
22 2
d 3 2 3 2 , c 3 5 , b 3 2 , a 2 3
g 4 4 , f 2 3 1 2 3 1 , e 2 7 1
= + − = + = − = +
= π + − π − = − + = +
الّتالية اجلذاءات انشر. احقيقيّ اعدد x ليكن
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2x 3 2x 3 , 3x 1 3x 1 , 2 x 3
2x 3 , 2x 1 , x 2
− + − + −
+ − +
) نعترب العبارتني اجلربيّتني ) ( )2 2P x 1 x 1= + − )و − ) ( )2
2Q x 5 x 5= + − عدد x حيث −
.حقيقي Qو P من كالّ اختصرو انشر . أ ذهنّيا احسب . ب
2 212345 12343a12344
و =−2 2389452 389442b
389447 استغالل ميكن( =−
.)سبق ما ) انشر . أ ) ( )2 27 1 , 3 2− +
) اختصر . ب )( ) ( )( )2 7 1 4 7 3 2 7 4 3B , A7 1 3 2
+ − − += =
− +
عوامل جذاء إىل فّكك
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 9 4y y , x , u 3u 1 , 25t 20t 4 4 81 25 4
x 8x 16 , 64u 36 , y 7 , 2t 2 6t 3
+ + − − + + +
− + − − + +
1
2
3
4
5
6
-
87
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
P اجلربيّة العبارة احسب Q+ حيث الّتالية احلاالت من حالة كلّ يف x
عدد حقيقي 2
2 2
Q 3x x 5 , P 5x 3Q x 7x 2 , P 2x x 7
= − + = − += − − + = − + −
2 2
2 2
1 9 1 1 3Q x x , P x x 13 2 6 2 4
3 1 1Q x + x , P x x 2 10 52
= − + = + +
= − = − + −
حقيقي عدد x حيث الّتالية اباتالكت واختصر انشر
5( 3) 2( 3)x x− + + 2(1 2 ) ( 1) ,x x x− + − 1 5x(3 4 ) ,2 2
x x x − − −
( 2+ 3) - 2(2 3)x x x+ + 22x (x +3) - 2( 1),x x+ − 2 2 2( 1) (
1) 2 ,x x x− + + + −
يحقيق عدد x حيث الّتالية اجلربيّة العبارات نعترب 2 2R x 2 2x 3 ,
Q 3x 2 2x 1 , P 2x 2= − − + = − + = −
1R أنّ بّني . أ Q2
= 1x أنّ علمت إذا =2
=
2P احسب . ب 2R أنّ بّني . ج Q P+ =
) حيث P العبارة نعترب )2 2P 3x 1 9x 1= − + −
: الّتالية احلاالت من حالة كلّ يف P احسب . أ 1x
3= 2x
3= 1x
3=
) انشر . ب )23x P العبارة أختصر مث −1 عوامل جذاء إىل P فّكك .
ج
) انشر . أ )( ) ( )( ) ( )( )2 3 5 2 3 5 , 3 1 3 1 , 2 1 2 1− +
+ − + −
:جْد كتابة مقامها عدد صحيح لكّل عدد من األعداد الّتالية . ب5 3 3
1 2 , ,
2 3 5 3 1 2 1+ ++ − +
7
8
9
10
11
-
88
ّمت تقسيم منطقة مربّعة إىل عّدة مناطق كما هو مبّني يف الّشكل
املقابل، أوجد مساحتها بطريقتني
.خمتلفتني مثّ استنتج جذاءا معتربا
) نعترب العبارتني اجلربيّتني )2 2P 2x 1 4x= − )و − )2Q 2x 1 x 1=
− − حقيقي عدد x حيث + Q و P اختصر كالّ من العبارتني . أ 2إذا كان Qو
P احسب كالّ من . ب 1x
2−=
P-Q و P+Q العبارتنيمن كالّ وأختصر احسب . ج 2 إذا كان P+Q
خمتلفتني بطريقتني احسب . د 1x
2−=
3 عدد صحيح طبيعي غري قابل للقسمة على a . أ
1 يساوي 3 على a2 بّني أّن باقي القسمة اإلقليديّة للعدد 3 على
للقسمة قابلة غري طبيعّية صحيحة أعداد ثالثة c و b و a . ب
2 بّني أّن العدد الطبيعي 2 2a b c+ .3 قابل للقسمة على +
حيث R و Qو P عترب العبارتني اجلربيّتنين5 1 5 1R x 1 x , Q x , P
x2 2+ −= + − = + = −
2 بّني أنّ . أ 1P Q x x× = + −
بّني أّن . ب 2
5 1 2 5 62 4
+ +=
5 يف حالة . ج 1x2R بّني أنّ =+ 0=.
14
13
12
15
-
89
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
تنينعترب العبارتني اجلربيّ 2
2 3Y t 3t 1 , X t2
= − + = −
حقيقي عدد t حيث
X انشر العبارة . أ 1Y أنّ بّني . ب X
4= 1Y أنّ استنتج مث +
4≥
3 أنّ علمت إذا Y مثّ X احسب . ج 1t2−=
1 مسألة
تأّمل الّشكل املقابل بالصنتيمرت ABCD املرّبع مساحة إىل S1 بـ
نرمز
املرّبع EFGH املستطيل مساحة إىل S2 بـ ونرمز
.املرّبع بالصنتيمرت
خمتلفتني بطريقتني S1 عّرب عن . أ x بداللة y استنتج مثّ
x بداللة S2لـ كتابةجْد . ب ) بّني أنّ )21 2S 1S x 22 2− = −
ABCD املربع مساحة نصف EFGH املستطيل مساحة لتكون x جْد إذا .
ج
2مسألة
ABCD 10 ضلعه طول قيس مرّبعcm I منتصف [ ]AD وM إىل تنتمي [ ]AB وN
تنتمي ] إىل ]BC ثحي BM = CN = x
: التالية األشكال من شكل كل مساحة عن x عّرب بداللة . 1 IAM
املثّلث . أ MBN املثّلث . ب
16
W
-
90
INCD املنحرف شبه . ج انشر واختصر العبارة -أ 2.
21 15 175S = x- + :2 2 4
.هلا حصرا أعط. S تساوي IMN بّني أن مساحة املثلث - ب 3مسألة
ا قرَّرت شركة أن تصنع علباً ارتفاع لتسويق منتجاوأن ختتار بني
اواحد الرت و سعتها 10cm كلٍّ منها
.قائمة مكعَّب واآلخر اسطوانة دائريَّة ني أحدمهاشكل 10cm ضلعه طول
قيس مكعَّب يستجيب هل) 1
؟ لشروط الّشركة )بالصنتمرت( x بـ شعاعها إىل نرمز قائمة دائريّة
اسطوانة شكل على العلبة كانت إذا) 2
x جْد كتابة خمتصرة ملساحتها اجلمليَّة بالصنتمرت املربَّع بداللة
. أ .املكعَّب بالصنتمرت املطلوب واحلجم االسطوانة حجم بني للفرق x
ابة بداللةجد كت . ب برقمني االسطوانة لشعاع تقريبّية قيمة أعط مث
عوامل جذاء إىل عليها املتحصَّل الكتابة فكِّك . ج
.بعد الفاصلة .قيمة تقريبّية للمساحة اجلمليَّة لالسطوانة برقمني
بعد الفاصلة نأعط إذ . د
خليار األقّل تكلفة بالنسبة للشَّركة ؟ما هو ا) 3
4مسألة 50m دائريّة الّشكل شعاعهامعّشبة لفّالح قطعة أرض
ثّبت وتدا وسطها وشدَّ إليه حبالمن رعيها لهة بقر لتمكني .مثّ شدَّ
الّطرف اآلخر من احلبل إىل البقرة
x إذا اعتربنا أن طول احلبل باملرت هو للرًّعياألرض املخصًّصة
مساحة x احسب بداللة . أ
واملساحة املتبّقية) اليت ميكن أن تطوهلا البقرة( .عليها املتحّصل
الكتابة أعط كتابة خمتصرة للفرق بني املساحتني مثّ فكِّك إىل جذاء
عوامل . ب من العشب املوجود ؟%50 كم جيب أن يكون طول احلبل إذا أراد
الفّالح أن ترعى البقرة . ج
10cm
x
-
91
ّيةبرج التاراعبوال
ة برعتلمت اءاذاجال
5 مسألة y
-
92
)م 845 حوالي - م 781 حوالي( الخوارزمي موسى بن محمد اهللا عبد أبو
.بأوزبكستان حاليا املنطقة تعرف
،فارسبالديفإقليموهيخراسان،يفخوارزممدينة يف اخلوارزمي ولد
813 عامي بني أحباثه معظم اخلوارزمي أجنز العراق، يف بغداد إىل
قصرية بفرتة والدته بعد عائلته انتقلت العلم لغة كانت اليت العربية،
باللغة أعماله ونشر. املأمون اخلليفة أسسها اليت احلكمة، دار يف 833 و
.العصر ذلك يف
أعماله أدت .اخلرائط ورسم واجلغرافية والفلك واملثلثات اجلرب حقول
يف هامة بأعمال اخلوارزمي قام من امسه اخذ العلم إن حىت اجلرب، علم
نشوء إىل الثانية الدرجة من املعادالت حل يف املنطقيةو املنهجية اليت
األدبيات كل يف أثر الذي الكتاب وهو ،830 عام نشره الذي ،والمقابلة
الجبر حساب كتابه الكتاب هذا يف اخلوارزمي واستخدم .الغرب أو الشرق يف
سواءً بعده، من الرياضية العلوم تناولت ترجم من أول وهو الشسرتي،
روبرت الالتينية إىل الكتاب هذا ترجم قدو .مرة ألول جرب مصطلح
ليوناردو مثل الغرب رياضيي أشهر لدراسات أساًسا الكتاب هذا ترمجة
وكانت .الالتينية إىل القرآن .الرياضيات يف املعرفية بذخريته للعرب
مدين بأنه اعرتف الذي البيزي يف الكثري أجنز قد انه إال اخلاصة،
ألحباثه نتيجة كانت الرياضيات جمال يف الكبرية اخلوارزمي أعمال من
اخلاص طابعه فأعطاها اهلند، ويف اإلغريق عند مسبقا موجودة كانت اليت
املعلومات تطوير و جتميع عن مفهومنا جذري وبشكل غريت اليت العربية
األعداد العامل يستخدم اخلوارزمي، بفضلق باملنط االلتزام .اهلند يف
فكرته بدأت الذي صفر، العدد مفهوم دخلقد أ انه كما ،األعداد
اخلاصة أحباثه على معتمدا ،ااجلغرافي يف Ptolemy بطليموس اإلغريقي
العامل أحباث اخلوارزمي صحح أصبحت عندما .آنذاك املعروف للعامل خريطة
أول الجناز جغرافيا 70 عمل على اشرف قد انه كما.
فعرّ الغرب، يف العلم تقدم يف كبري دور هلا كان الالتينية، إىل
ترمجتها بعد أوروبا يف معروفة أحباثه الرياضيات عن األوروبية اجلامعات
يف يدرس الذي الكتاب أصبحو العلم ذا أوروبا باجلرب اصاخل كتابه .عشر
السادس القرن حىت
http://ar.wikipedia.org احلرة املوسوعة - ويكيبيديا موقع من :
المصدر
م 1983 تي عامايطابع بريدي أصدره االتحاد السوف
لميالد الخوارزمي 1200في الذكرى والمقابلة للخوارزمي الجبر كتاب
المختصر في حساب
-
7
-
94
؟بعد كم سنة يصبح عمر األب ضعف عمر االبن . سنوات 9 سنة وابنه عمره
40 رجل عمره
:املعادالت التالية IR حل يف
2 3 4 *1 4 5 *2
1 13 3( ) *2 615 5(2 ) *3
x x
x x
x x
x x
+ = −
− − = +
+ = +
− + = −
1 جد عددا حقيقيا يزيد جمموع ثلثه ومخسه عن سدسه بـ 1
3
.مرتا وطوله مخسة أضعاف عرضه 420 جد بعدي حقل مستطيل الشكل قيس
حميطه
2 أن نعترب 2
7 . هذا التمريناملعتمدة يف π ـهي القيمة التقريبية ل
.الحظ الرسم التايل حيث طول املستطيل يفوق عرضه بسبعة أمتار
.جد قيس حميط نصف الدائرة لكي يكون حميطها مساويا لثلث حميط
املستطيل
0 باع تاجر بضاعة بربح يقدر بـ 01 5. ا بيعت بـ دينارا 2300 أوجد
مثن شرائها إذا علمت أ
W
1
2
3
4
5
6
-
95
تحاجترالموا
ت دالعالم ا
: التالية املعادالت IRحل يف
2
3 1 2 *2 2
2 3 3 *
(2 7 )( 2 11) 0 *
2 ( 1) 2 * 0 *
xx
x
x x
x xx x
+ = − +
− =
− + =
− + =
− =
مث أضاف إىل ذلك 6 يف ضرب النتيجة، 52 اختار أحد زمالئك عددا
حقيقيا أنقص منه ك ؟هو العدد الذي اختاره زميل ما. 216 وجد يف
النهاية. 75 العدد
)وحدة القيس هي الصنتمرت( A نعترب B C مثلثا أبعاده
4 3AB x= 2 و − 7A C x= 1B و + C x= 1 من أكرب قيقيحعدد x حيث −x
جد العدد) 1 . А متقايس الضلعني قمته الرئيسية ABC حبيث يكون املثلث ؟
138 إذا علمت أن حميطه يساوي ABC ما هي أبعاد املثلث) 2
:املعادالت التالية IR حل يف
12 32
5( 1) 2 5(1 )3
3 2 1 22
2 1 74
x x
xx x
xx
x x
+ = − +
− + + = − +
− + = − +
− + = −
axكل عبارة تؤول كتابتها إىل الشكل b= حيث a لوم عدد حقيقي مععدد
جمهول تسمى معادلة من x عدد حقيقي معلوم و b وخمالف للصفر و
bx حلهاو IR يف الدرجة األوىل ذات جمهول واحدa
=.
1 نشاط
2 نشاط
نشاط 3
W
1
W
-
96
جب بصحيح أو خطأ أ14 - أ
4x− 17 يعين =
4x =
2 - ب 13
x x+ = − 1 يعين +6
x =
10t -ج عيني =2 54 2t =
13 -د 13 12 2
z− + = 1z يعين + =
:اشرتى مواطن ثالجة ودفع مثنها على أربعة أقساط .قيمة القسط األول
ربع املبلغ - .قيمة القسط الثاين ثلث املبلغ املتبقي - .دينارا 20 ب
القسط الثالث يفوق القسط األول - .دينارا 120 أما القسط الرابع
واألخري فهو -
فما هو مثن الثالجة ؟
لرتا من الزيت 85 صنتيمرتا وضعنا فيه 50 حوض على شكل مكعب قيس طول
حرفه فما هو ارتفاع الزيت يف هذا احلوض ؟
حميط املثلث املتقايس األضالع مساويا حمليط حبيث يكون x الحظ الشكل
التايل مث أوجد .املستطيل
3
4
x
27
2
5
-
97
تحاجترالموا
ت دالعالم ا
אאW
70 قارن -أ11
70 مث 6و 11
7و 706 نالحظ أن 7
11< 70 نقول أن العدد >
11 ومدى احلصر 7 و 6 لعددينحمصور بني ا
1 =6 - 7
70 قارن* 11
70 مث 6.3 و 11
6.4 و ماذا تالحظ وما هو مدى احلصر ؟
70 قارن* 11
70 مث 6.363و 11
6.364 و ما هو مدى احلصر ؟
114 أعط حصرا للعدد احلقيقي - ب51
−210 مداه 124 أعط حصرا للعدد احلقيقي -ج
63 0.001 مداه
172 اليةأوجد حصرا لكل عدد من األعداد الت - أ , , 3
6− −110 مدى كل منها −
−410أوجد حصرا لكل عدد من األعداد السابقة مدى كل منها - ب
. 46 و 30 أوجد أربعة أعداد صحيحة طبيعية متتالية جمموعها حمصور
بني
) نعترب املستقيم املدرج بـ , )O I 6 حيث OI cm= 4 للعدد −110 أوجد
حصرا مداه - أ
3
) املستقيم على عني - ب )OI النقاط , , C B A ا اليت ، 1.5 التوايل
على فاصال67 ،
34
W
a حيث bو a عددين بني وحمصورا معلوما عددا x كان إذا x b< <
b هو احلصر مدى أن نقول a−
نشاط 4
W
1
2
3
-
98
) املستقيم املدرج نعترب )xx′ حيث O أصل التدريج و I النقطة
الواحدية , (2) عني النقطتني - أ ( 3)A B −
2 و - 3 اد حمصورة بنيأوجد مخسة أعد - ب} جمموعة األعداد احلقيقية
حبيث J نسمي -ج }/ 3 2J x IR x= ∈ − ≤ ≤
؟ J هل ميكن ذكر كل عناصر
] ينتميان للمجال y و x أعط عددين حقيقيني - أ مث أوجد حصرا
جملموعهما −2,3[
2 عددين حقيقيني حيث bو a نعترب - ب 3a≤ 2و ≥ 34 4
b≤ ≤
5 أنّ بّني 2 5 34 4
a b≤ + ≤
a حيث حقيقية أعداد أربعة dو cو bو a لتكن) 1 b≤ وc d≤ bxa حيث
حقيقيني عددين y و x وليكن dyc و ≥≥ ≤≤
x أن بني - أ y b y+ ≤ bو + y b d+ ≤ + x أن بني مث y a y+ ≥ aو +
y a c+ ≥ + a أن استنتج - ب c x y b d+ ≤ + ≤ +
a أربعة أعداد حقيقية موجبة حيث dو cو bو a نعترب) 2 b≤ و c d≤ a
حيث حقيقيني عددين yو x وليكن x b≤ cو ≥ y d≤ ≤ x أن بني -أ y b y≤ و
by bd≤
ماذا تستنتج ؟ - بa بني أنّ -ج c xy≤ bdxyac أنّ استنتج - د ≤≤
a x b≤ aيعين ≥ x≤ و x b≤
]بـ J نرمز إىل اجملموعة ]3,2J = و -3 ونسميها جماال مغلقا طرفاه
−
: ومنثله على املستقيم املدرج كما يلي 2
203-
−∞ +∞
5 نشاط
6 نشاط
نشاط 7
-
99
تحاجترالموا
ت دالعالم ا
3عددا حقيقيا ينتمي إىل اجملال xنعترب 2,
5 3
] ينتمي إىل اجملال 15xأن بني -أ ]9,10
1بني أن - ب2
x 1ينتمي إىل اجملال − 1,10 6
7عددا حقيقيا ينتمي إىل اجملال xنعترب 4,5 3
− −
,21ينتمي إىل اجملال 3x أن بني - أ 45
− −
23استنتج جماال تنتمي إليه العبارة - ب5
x +
2xعددين حقيقيني حيث yو xنعترب 3
3و ≥ 2y2
≤ .yو xن أوجد حصرا للعددي - أ
2xyبني أن - ب3
y≤. xyاستنتج أن - ت 1≤ . .x yاستنتج جماال ينتمي إليه اجلذاء -
ث
مثل على مستقيم مدرج اجملموعات التالية -أ )1
{ } { }{ } { }
A= x / x 2 , A = x / x -1
/ 2 0 , K = x /1 x 3
IR IR
K x IR x IR
′∈ ≥ ∈ <
′= ∈ − ≤ < ∈ < <
اكتب كال من اجملموعات السابقة يف صيغة جمال - ب اجملاالت
التاليةنعترب )2
] [ [ [ ] ] [ [ ] ]1, 2 , C = 1 ,3 , D = -4 ,-1 , I= -3 ,+ , ,
4B J= − ∞ = − ∞
1 (a وb وc وd أربعة أعداد حقيقية حيث a b≤ وc d≤ كان إذا a x b≤ c
و ≥ y d≤ ≤ a فإن c x y b d+ ≤ + ≤ +
2 (a وb وc وd حيث موجبة حقيقية أعداد أربعة a b≤ و c d≤ a كان إذا
x b≤ ≤ c و y d≤ ≤ ac فإن x y bd≤ ≤
W
1
2
3
نشاط 8
-
100
أنقل مث أمتم مبا يناسب - أ
{ } { }{ } { }{ }
/ .............. D = x /................
/ .............. I= x /.................
/ ..............
B x IR IR
C x IR IR
J x IR
= ∈ ∈
= ∈ ∈
= ∈
Iو Dمثل على مستقيم مدرج كال من اجملالني - ب Jو Cو Bمثل على
مستقيم مدرج اجملاالت -ج
