Departamento

deMatem

aticayFısicaAplicad

as-UCSC2012

Inform

e8–Calculo

II(IN1005C)

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Pauta Informe 8: Coordenadas PolaresCALCULO II (IN1005C)

Problema 1. Considere la curva (x2 + y2)2 = 8xy

a) [30 Puntos] Escriba (x2 + y2)2 = 8xy en coordenadas polares.

Desarrollo: Sea r > 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π talque

x = r cos θ

y = r sen θ

(10 puntos)

Reemplazando en (x2 + y2)2 = 8xy se tiene

(x2 + y2)2 = 8xy =(

r2 cos2 θ + r2 sen2 θ)2

= 8(r cos θ)(r sen θ)

=(

r2(cos2 θ + sen2 θ))2

= 8r2 cos θ sen θ

=(

r2)2

= 4r2(2 cos θ sen θ)

= r4 = 4r2 sen 2θ / · 1

r2

= r2 = 4 sen 2θ

(20 puntos)

b) [30 Puntos] Bosquejar la grafica de la curva (x2 + y2)2 = 8xy en el plano polar, analizando simetrıa

con respecto al eje polar, eje normal y el polo. Ademas determine las rectas tangente al polo y complete la

siguiente tabla.

Desarrollo: De la parte a) se tiene (x2 + y2)2 = 8xy es equivalente a escribir en coordenadas polares

r2 = 4 sen 2θ, la cual corresponde a una Lemniscata

θ 0 π

6

π

4

π

3

π

2π

r 0 2√3 4 2

√3 0 0

(6 puntos)

Primero observemos sen(2θ) ≥ 0 ası Dom(f) =[

0, π

2

]

∪[

π, 3π

2

]

. Veamos ahora las simetrıas existen-

tes, sea f(θ) = 2√

sen(2θ), luego si θ ∈ Dom(f)

entonces f(−θ) y f(π − θ) no esta definido, por

tanto no existe simetrıa con respecto al eje polar ni

normal. Por otro lado

f(π + θ) = 2√

sen(2(π + θ))

= 2√

sen(2π) cos(2θ) + cos(2π) sen(2θ)

= 2√

sen(2θ)

= f(θ)

Ası existe simetrıa con respecto al polo. Ahora vea-

mos las rectas tangente al polo (10 puntos)

f(θ) = 0 ⇒ sen(2θ) = 0

⇒ θ = 0 ∨ θ =π

2∨ θ = π ∨ θ =

3π

2(4 puntos)

1

2

1 2

0

π

6

π

4

π

3

π

22π

33π

4

5π

6

π

7π

6

5π

44π

3

3π

2

10π

6

7π

4

5π

3

(10 puntos)

TB/RL/MG/AC Miercoles 13 e junio de 2012