8/18/2019 Pauta Cert 1 2015

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

PAUTA CERTAMEN N◦1 CALCULO I (IN1002C)

Primer Semestre de 2015

Problema 1.   Si  a  es un número real postivo, muestre que si  a  0 (0.2 Puntos)a2 < a · 1   Definición de cuadrado (0.2 Puntos)

a2 < a   Neutro para el producto (0.1 Puntos)

Problema 2.   (2.0 Puntos) Resuelva la siguiente inecuación, indicando expĺıcitamente el con-

 junto solución:

(a)

x − 1x + 1 ≥ 2

Desarrollo:   x + 1 = 0 =⇒   x = −1

|x − 1| ≥ 2 |x + 1|   =⇒   (x − 1)2 ≥ 4(x + 1)2 ∧   x = −1

x2 − 2x + 1 ≥ 4(x2 + 2x + 1)   ∧   x = −1. (3 Puntos)

3x2 + 10x + 3 ≤ 0   ∧   x = −1.

3(x2 + 10

3 x + 1) ≤ 0   ∧   x = −1   (3 Puntos)

3(x + 3)(x + 1

3) ≤ 0   ∧   x = −1 =⇒   x ∈

−3 , − 1

3

− {−1}   (4 Puntos)

(b) √ x2 + 8 − √ x2 − 9 >  2Desarrollo:√ 

x2 + 8 − √ x2 − 92 > 4   y   x2 − 9 ≥ 0(x2 + 8) + (x2 − 9) − 2

 (x2 + 8)(x2 − 9) >  4   y   x2 ≥ 9

(x2 + 8) + (x2 − 9) − 2 

(x2 + 8)(x2 − 9) >  4   y   x ∈ [−∞ , −3] [3 ,  +∞]2x2 − 1 − 2

 (x2 + 8)(x2 − 9) >  4   y   x ∈ [−∞ , −3] [3 ,  +∞]   (3 Puntos)

2x2

−5 >  2 (x2 + 8)(x2 −

9)   y   x

 ∈ [

−∞,

−3] [3 ,  +∞

]

(2x2 − 5)2 > 4(x2 + 8)(x2 − 9)   y   x ∈ [−∞ , −3] [3 ,  +∞]   (3 Puntos)4x4 + 25 − 20x2 > 4x4 − 4x2 − 288   y   x ∈ [−∞ , −3] [3 ,  +∞]16x2 <   313 =⇒ |x| <

 313

16  =⇒   x ∈

− 

313

16  ,

 313

16

  y   x ∈ [−∞ , −3] [3 ,  +∞]

=⇒ S  =− 

313

16  , −3

3 ,

 313

16

  (4 Puntos)

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Problema 3.   (1.0 Puntos) Encuentre, si existe, el conjunto de las cotas superiores, el con-

 junto de las cotas inferiores, el supremo, el ı́nfimo, el máximo y el mı́nimo del conjunto. ¿S es

un conjunto acotado?

S  = {x ∈R,   xx−3

 ≥  4}.Solución:

x

x − 3 ≥  4 =⇒  x

x − 3 − 4 ≥ 0

x − 4x + 12x − 3   ≥ 0 =⇒ −3

x − 4x − 3

 ≥ 0

x − 4x − 3 ≤

 0 =⇒

  x ∈

 ]3 ,  4]   (3 Puntos)

Por lo tanto, el conjunto   S : es acotado inferior y superiormente, tiene infimo, supremo, máximo

y mı́nimo.

Cotas Superiores:   [4, +∞)   Cotas Inferiores:   (−∞, 3]   (0.3 puntos)

Supremo:   4   Infimo :   3   (0.2 puntos)

Máximo :   4   Ḿınimo : No existe (0.2 puntos)

Problema 4.   (1.0 Puntos) Encuentre la ecuación de la recta   L  que pasa por el centro de la

circunferencia   x2

+ y2

− 6x + 10y + 6 = 0  y es perpendicular a la recta   L1  :  x + 2y − 5 = 0.Desarrollo: Centro de la circunferencia: completando cuadrados tenemos:

(x2 − 6x + 9) + (y2 + 10y + 25) + 6 − 9 − 25 = 02(x − 3)2 + (y + 5)2 = 28 −→   C (3, −5)   (0.3 puntos)

Pendiente de la recta:   L1 :  x + 2y − 5 = 0 =⇒   mL1  = −1

2

=⇒   mL = 2   (0.3 puntos)

Aśı la ecuación de la recta pedida queda:

L : (y − (−5)) = 2(x − 3) =⇒   L : 2x − y − 11 = 0   (0.4 puntos)

Problema 5.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos   A(2, 3)   y   B(−1, 1)  cuyo centro seencuentra ubicado en la recta  x − 3y − 11 = 0. (13 ptos.)Desarrollo:

Sea   C  : (x − h)2 + (y − k)2 = r2

=⇒   (2 − h)2 + (3 − k)2 = r2 y   (−1 − h)2 + (1 − k)2 = r2 (0.3 puntos)

Además   h − 3k − 11 = 0   pues el centro está sobre la recta.Aśı:   (2 − h)2 + (3 − k)2 = (−1 − h)2 + (1 − k)2 y   h = 3k + 11 = 0

=⇒   h2

− 4h + 4 + k2

− 6k + 9 =   h2

+ 2h + 1 + k2

− 2k + 1   y   h = 3k + 11 = 0=⇒   6h + 4k = 11   y   h − 3k = 11   (0.3 puntos)

=⇒   h =  7722

  =  7

2  y   k = −55

22  = −5

2

=⇒   r = 

(2 −  72

)2 + (3 + 5

2)2 =

 (− 3

2)2 + ( 11

2 )2 =

 65

2  (0.4 puntos)

=⇒   (x −  72

)2 + (y + 5

2)2 =

 65

2  (0.3 puntos)

EO/UM/FL/EO/DCH/MG/RSM April 23, 2015