¶ANE¶I™THMIAKE™ EK¢O™EI™ KPHTH™I‰Ú˘ÙÈ΋ ‰ˆÚ¿ ¶·ÁÎÚËÙÈ΋˜ EÓÒÛˆ˜ AÌÂÚÈ΋˜

Hƒ∞∫§∂π√ 2012

Paul G. Hoel ñ Sidney C. Port ñ Charles J. StoneUniversity of California, Los Angeles

∂π™∞°ø°∏ ™Δ∏ £∂øƒπ∞ ¶π£∞¡√Δ∏Δø¡

∞fi‰ÔÛË ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο:

∞fiÛÙÔÏÔ˜ °È·ÓÓfiÔ˘ÏÔ˜

¶ANE¶I™THMIAKE™ EK¢O™EI™ KPHTH™I¢PYMA TEXNO§O°IA™ KAI EPEYNA™

HÚ¿ÎÏÂÈÔ KÚ‹Ù˘, T.£. 1527, 711 10. TËÏ. 2810 391097, Fax: 2810 391085

Aı‹Ó·: ∫ÏÂÈÛfi‚˘ 3, 10677. TËÏ. 210 3849020-22, Fax: 210 3301583

e-mail: info@cup.gr

w w w. c u p . g r

™EIPA: ¶ANE¶I™THMIAKH BIB§IO£HKH £ETIKøN E¶I™THMøN / ª∞£∏ª∞Δπ∫∞

¢È¢ı˘ÓÙ‹˜ ÛÂÈÚ¿˜: ™Ù¤Ê·ÓÔ˜ TÚ·¯·Ó¿˜

ISBN 978-960-524-156-8

Δ›ÙÏÔ˜ ÚˆÙÔÙ‡Ô˘:

©

© ÁÈ· ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÁÏÒÛÛ·:

∞fi‰ÔÛË ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο:

¶ÚÒÙË ¤Î‰ÔÛË:

™ÙÔȯÂÈÔıÂÛ›· - ÛÂÏȉÔÔ›ËÛË:

™¯Â‰›·ÛË Û¯ËÌ¿ÙˆÓ:

¢ÈfiÚıˆÛË ‰ÔÎÈÌ›ˆÓ:

EÎÙ‡ˆÛË:

™¯Â‰›·ÛË Â͈ʇÏÏÔ˘:

Introduction to Probability Theory1971-2000, by Houghton Mifflin Company2001, ¶·ÓÂÈÛÙËÌȷΤ˜ EΉfiÛÂȘ KÚ‹Ù˘∞fiÛÙÔÏÔ˜ °È·ÓÓfiÔ˘ÏÔ˜™Â٤̂ÚÈÔ˜ 2002™ÔÊ›· ™·‚‚¿ÎË (¶.∂.∫.)£Âfi‰ˆÚÔ˜ M›¯Ô˜°È¿ÓÓ˘ ¶··‰fiÁÁÔÓ·˜ (¶.∂.∫.)§YXNO™

B¿Ûˆ A‚Ú·ÌÔÔ‡ÏÔ˘

–ÂÒȘ¸ÏÂÌ·

1 ◊˛ÒÔÈ È˷̸ÙÁÙ·Ú 11.1 –·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· Ùı˜·fl˘Ì ˆ·ÈÌÔÏ›Ì˘Ì 21.2 ◊˛ÒÔÈ È˷̸ÙÁÙ·Ú 61.3 …‰È¸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì 11

1.4 ƒÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ· 161.5 ¡ÌÂÓ·ÒÙÁÛfl· 21

2 ”ı̉ı·ÛÙÈÍfi ·Ì‹ÎıÛÁ 312.1 ƒÈ·ÙÂÙ·„ϛ̷ ‰Âfl„Ï·Ù· 322.2 ÃÂÙ·Ë›ÛÂÈÚ 35

2.3 ”ı̉ı·ÛÏÔfl (ÏÁ ‰È·ÙÂÙ·„ϛ̷ ‰Âfl„Ï·Ù·) 352.4 ƒÈ·ÏÂÒflÛÂÈÚ 39

∗2.5 ∏Ì˘ÛÁ Ẩ˜ÔÏ›Ì˘Ì 44∗2.6 –ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù· ÛıÏÙ˛ÛÂ˘Ì 46∗2.7 –ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù· Í·ÙÔ˜fiÚ 49∗2.8 ‘Ô ÎfiËÔÚ Ù˘Ì ‹‰ÂÈ˘Ì ‰Ô˜Âfl˘Ì 51

3 ƒÈ·ÍÒÈÙ›Ú Ùı˜·flÂÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙ›Ú 573.1 œÒÈÛÏÔfl 583.2 ’ÔÎÔ„ÈÛÏÔfl Ï ıÍ̸ÙÁÙÂÚ 66

3.3 ƒÈ·ÍÒÈÙ‹ Ùı˜·fl· ‰È·Ì˝ÛÏ·Ù· 703.4 ¡ÌÂÓ‹ÒÙÁÙÂÚ Ùı˜·flÂÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙ›Ú 73

3.4.1 « ÔÎı˘ÌıÏÈÍfi Í·Ù·ÌÔÏfi 773.4.2 –ÒÔÛ›„„ÈÛÁ ÙÁÚ ‰È˘ÌıÏÈÍfiÚ Í·Ù·ÌÔÏfiÚ ·¸ ÙÁÌ

Í·Ù·ÌÔÏfi Poisson 803.5 ∂ÂÈÒÂÚ ·ÍÔÎÔıËflÂÚ ‰ÔÍÈÏ˛Ì Bernoulli 813.6 ¡ËÒÔflÛÏ·Ù· ·ÌÂÓ‹ÒÙÁÙ˘Ì Ùı˜·fl˘Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 83

4 ÛÛÁ ÙÈÏfi ‰È·ÍÒÈÙ˛Ì Ùı˜·fl˘Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 974.1 œÒÈÛÏ¸Ú ÙÁÚ Ï›ÛÁÚ ÙÈÏfiÚ 99

4.2 …‰È¸ÙÁÙÂÚ ÙÁÚ Ï›ÛÁÚ ÙÈÏfiÚ 1014.3 —Ô›Ú 1094.4 ƒÈ·ÛÔÒ‹ ·ËÒÔflÛÏ·ÙÔÚ 1154.5 ”ıÌÙÂÎÂÛÙfiÚ ÛıÛ˜›ÙÈÛÁÚ 118

4.6 « ·ÌÈÛ¸ÙÁÙ· ÙÔı Chebyshev 120

viii –≈—…≈◊œÃ≈Õ¡

5 ”ı̘ÂflÚ Ùı˜·flÂÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙ›Ú 1315.1 ‘ı˜·flÂÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙ›Ú Í·È ÔÈ ÛıÌ·ÒÙfiÛÂÈÚ Í·Ù·ÌÔÏfiÚ ÙÔıÚ 132

5.1.1 …‰È¸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ÛıÌ·ÒÙfiÛÂ˘Ì Í·Ù·ÌÔÏfiÚ 1355.2 –ıÍ̸ÙÁÙÂÚ Ûı̘˛Ì Ùı˜·fl˘Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 139

5.2.1 ‘˝ÔÈ ·Îη„fiÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙfiÚ 1415.2.2 ”ıÏÏÂÙÒÈÍ›Ú ıÍ̸ÙÁÙÂÚ 147

5.3 �·ÌÔÌÈÍ›Ú ıÍ̸ÙÁÙÂÚ, ÂÍËÂÙÈÍ›Ú ıÍ̸ÙÁÙÂÚÍ·È ıÍ̸ÙÁÙÂÚ „‹ÏÏ· 1495.3.1 �·ÌÔÌÈÍ›Ú ıÍ̸ÙÁÙÂÚ 1495.3.2 ≈ÍËÂÙÈÍ›Ú ıÍ̸ÙÁÙÂÚ 1525.3.3 –ıÍ̸ÙÁÙÂÚ „‹ÏÏ· 154

∗5.4 ¡ÌÙflÛÙÒÔˆÂÚ ÛıÌ·ÒÙfiÛÂÈÚ Í·Ù·ÌÔÏfiÚ 157

6 –ÔÎı‰È‹ÛÙ·ÙÂÚ Í·Ù·ÌÔÏ›Ú 1676.1 …‰È¸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ‰È‰È‹ÛÙ·Ù˘Ì Í·Ù·ÌÔÏ˛Ì 1676.2 �·Ù·ÌÔÏfi ·ËÒÔÈÛÏ‹Ù˘Ì Í·È ÁÎflÍ˘Ì 174

6.2.1 �·Ù·ÌÔÏfi ·ËÒÔÈÛÏ‹Ù˘Ì 174∗6.2.2 �·Ù·ÌÔÏfi ÁÎflÍ˘Ì 180

6.3 ƒÂÛÏÂıÏ›ÌÂÚ ıÍ̸ÙÁÙÂÚ 1836.3.1 œ ̸ÏÔÚ ÙÔı Bayes 186

6.4 …‰È¸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ÔÎı‰È‹ÛÙ·Ù˘Ì Í·Ù·ÌÔÏ˛Ì 189∗6.5 ƒÈ·ÙÂÙ·„Ï›ÌÂÚ ÛÙ·ÙÈÛÙÈÍ›Ú ÛıÌ·ÒÙfiÛÂÈÚ 192∗6.6 ƒÂÈ„Ï·ÙÈÍ›Ú Í·Ù·ÌÔÏ›Ú 196∗6.7 –ÔÎı‰È‹ÛÙ·ÙÂÚ ·Îη„›Ú ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 199

7 ÛÛÁ ÙÈÏfi Í·È ÙÔ �ÂÌÙÒÈ͸ œÒȷ͸ »Â˛ÒÁÏ· 2077.1 ÛÛÁ ÙÈÏfi Ûı̘˛Ì Ùı˜·fl˘Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 2077.2 ∏Ì·Ú „ÂÌÈÍ¸Ú ÔÒÈÛÏ¸Ú ÙÁÚ Ï›ÛÁÚ ÙÈÏfiÚ 2097.3 —Ô›Ú Ûı̘˛Ì Ùı˜·fl˘Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì 2117.4 ƒÂÛÏÂıÏ›ÌÁ Ï›ÛÁ ÙÈÏfi 2177.5 ‘Ô �ÂÌÙÒÈ͸ œÒȷ͸ »Â˛ÒÁÏ· 219

7.5.1 �·ÌÔÌÈÍ›Ú ÒÔÛ„„flÛÂÈÚ 2217.5.2 ≈ˆ·ÒÏÔ„›Ú ÛÙÁ ‰ÂÈ„Ï·ÙÔÎÁ¯fl· 226

∗8 —ÔÔ„ÂÌÌfiÙÒÈÂÚ Í·È ˜·Ò·ÍÙÁÒÈÛÙÈÍ›Ú ÛıÌ·ÒÙfiÛÂÈÚ 2358.1 —ÔÔ„ÂÌÌfiÙÒÈÂÚ 2358.2 ◊·Ò·ÍÙÁÒÈÛÙÈÍ›Ú ÛıÌ·ÒÙfiÛÂÈÚ 2398.3 ‘˝ÔÈ ·ÌÙÈÛÙÒÔˆfiÚ Í·È ÙÔ »Â˛ÒÁÏ· ”ıÌ›˜ÂÈ·Ú 2458.4 œ ¡ÛËÂÌfiÚ Õ¸ÏÔÚ Ù˘Ì Ã„‹Î˘Ì ¡ÒÈËÏ˛Ì Í·È ÙÔ

�ÂÌÙÒÈ͸ œÒȷ͸ »Â˛ÒÁÏ· 250

∗9 ‘ı˜·flÔÈ ÂÒfl·ÙÔÈ Í·È ‰È·‰ÈÍ·ÛflÂÚ Poisson 2599.1 ‘ı˜·flÔÈ ÂÒfl·ÙÔÈ 2599.2 ¡ÎÔfl Ùı˜·flÔÈ ÂÒfl·ÙÔÈ 263

–≈—…≈◊œÃ≈Õ¡ ix

9.3 �·Ù·ÛÍÂıfi ÏÈ·Ú ‰È·‰ÈÍ·Ûfl·Ú Poisson 2709.4 ¡ÔÛÙ‹ÛÂÈÚ Û˘Ï·Ùȉfl˘Ì 2749.5 ◊Ò¸ÌÔÈ ·Ì·ÏÔÌfiÚ 276

¡·ÌÙfiÛÂÈÚ 285

–flÌ·Í·Ú … 300

≈ıÒÂÙfiÒÈÔ 303

–Ò¸ÎÔ„ÔÚ

”ÍÔ¸Ú ·ıÙÔ˝ ÙÔı Ù¸ÏÔı ÂflÌ·È Ì· ˜ÒÁÛÈϽÛÂÈ ˘Ú ‰È‰·ÍÙÈ͸ ‚È‚ÎflÔ „È· ›Ì·ÂÓ·ÏÁÌÈ·flÔ Ï‹ËÁÏ· Ë¢Òfl·Ú ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Ôı ·ÂıË˝ÌÂÙ·È Û ‰ÂıÙÂÒÔÂÙÂflÚ fiÙÒÈÙÔÂÙÂflÚ ˆÔÈÙÁÙ›Ú. « ˝ÎÁ ›˜ÂÈ Û˜Â‰È·ÛÙÂfl ›ÙÛÈ ˛ÛÙ ̷ ÒÔÂÙÔÈÏ‹ÊÂÈ Â·ÒͲÚÙÔÌ ·Ì·„Ì˛ÛÙÁ „È· ›Ì· Ï‹ËÁÏ· ÛÙ·ÙÈÛÙÈÍfiÚ fi „È· ÂÒ·ÈÙ›Ò˘ ÏÂΛÙÁ ÙÁÚ Ë¢Òfl·ÚÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Í·È Ù˘Ì ÛÙÔ˜·ÛÙÈÍ˛Ì ‰È·‰ÈÍ·ÛÈ˛Ì. –ÒÔ··ÈÙÔ˝ÏÂÌ· „È· ·ıÙ¸Ì ÙÔÌÙ¸ÏÔ ÂflÌ·È ›Ì· Ï‹ËÁÏ· ·ÂÈÒÔÛÙÈÍÔ˝ ÎÔ„ÈÛÏÔ˝ ÛÙÔ ÔÔflÔ ÛıÏÂÒÈης‹ÌÂÙ·È ÁË¢Òfl· ÔÎÔÍÎfiÒ˘ÛÁÚ ÛıÌ·ÒÙfiÛÂ˘Ì ÔÎÎ˛Ì ÏÂÙ·‚ÎÁÙ˛Ì.

≈ÈËıÏfl· Ï·Ú fiÙ·Ì Ì· ·ÒÔıÛÈ‹ÛÔıÏ ϸÌÔ ÙÈÚ ÈÔ ÛÁÏ·ÌÙÈÍ›Ú ›ÌÌÔÈÂÚÙÁÚ Ë¢Òfl·Ú ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì. ≈ȘÂÈÒfiÛ·Ï ̷ ÂÓÁ„fiÛÔıÏ ·ıÙ›Ú ÙÈÚ ›ÌÌÔÈÂÚ Í·ÈÌ· ÙÔÌflÛÔıÏ ÙÁÌ ˜ÒÁÛÈϸÙÁÙ‹ ÙÔıÚ Ï ÙÁ ‚ÔfiËÂÈ· Û˜ÔÎfl˘Ì, ·Ò·‰ÂÈ„Ï‹Ù˘ÌÍ·È ·ÛÍfiÛ¢Ì. ‘· ·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· ·Ì·Ù˝ÛÛÔÌÙ·È ÎÂÙÔÏÂÒ˛Ú, ›ÙÛÈ ˛ÛÙ ԈÔÈÙÁÙfiÚ Ì· ÏÔÒÂfl Ì· Ù· ÏÂÎÂÙfiÛÂÈ Ï¸ÌÔÚ ÙÔı, Í‹ÙÈ Ôı ·ˆfiÌÂÈ ÛÙÔÌ ‰È‰‹ÛÍÔÌÙ·ÂÒÈÛÛ¸ÙÂÒÔ ˜Ò¸ÌÔ „È· Ì· ÂÓÁ„fiÛÂÈ ÙÈÚ ÔıÛÈ·ÛÙÈÍ›Ú ›ÌÌÔÈÂÚ Í·È Ì· ·ÒÔıÛÈ‹ÛÂÈ·ÒÍÂÙ›Ú ·¸ ÙÈÚ ·ÛÍfiÛÂÈÚ Ï›Û· ÛÙÁÌ Ù‹ÓÁ.

”ÙÔ Ù›ÎÔÚ Í‹Ë Íˆ·Î·flÔı ı‹Ò˜ÂÈ ›Ì·Ú Ï„‹ÎÔÚ ·ÒÈËÏ¸Ú ·ÛÍfiÛ¢Ì, ÔÈÔÔflÂÚ ÂflÌ·È ‰È·ÙÂÙ·„Ï›ÌÂÚ Û˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÁ ÛÂÈÒ‹ Ï ÙÁÌ ÔÔfl· Âψ·ÌflÊÔÌÙ·ÈÛÙÔ ÍÂflÏÂÌÔ ÔÈ Û˜ÂÙÈÍ›Ú ›ÌÌÔÈÂÚ. �‹ÔÈÂÚ ·¸ ·ıÙ›Ú ÙÈÚ ·ÛÍfiÛÂÈÚ ÂflÌ·È ·Î›Ú,ÂÌ˛ ‹ÎÎÂÚ ·Ì·Ù˝ÛÛÔıÌ ÙÈÚ ›ÌÌÔÈÂÚ Ôı ÂÈÛfi˜ËÁÛ·Ì ÛÙÔ ÍÂflÏÂÌÔ Û Ï„·Î˝ÙÂÒÔ‚‹ËÔÚ fi Û ÂηˆÒ˛Ú ‰È·ˆÔÒÂÙÈÍfi Í·Ù½ËıÌÛÁ. √È· Ù· ‰ıÛÍÔθÙÂÒ· ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù··Ò›˜ÔÌÙ·È ıÔ‰ÂflÓÂÈÚ. œÈ ··ÌÙfiÛÂÈÚ, ·Ì ‰ÂÌ ıÔ‰ÂÈÍÌ˝ÔÌÙ·È ·¸ Ù· fl‰È· Ù·ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù·, ‰flÌÔÌÙ·È ÛÙÔ Ù›ÎÔÚ ÙÔı ‚È‚ÎflÔı.

¡Ì Í·È ÙÔ Ï„·Î˝ÙÂÒÔ Ï›ÒÔÚ ÙÁÚ ˝ÎÁÚ Ôı ͷνÙÂÙ·È ·¸ ·ıÙ¸Ì ÙÔÌÙ¸ÏÔ ÂflÌ·È ··Ò·flÙÁÙÔ „È· ÙÁÌ ÂÒ·ÈÙ›Ò˘ ÏÂΛÙÁ Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Í·ÈÙÁÚ ÛÙ·ÙÈÛÙÈÍfiÚ, ÛıÏÂÒÈ΋‚·Ï ͋ÔÈÔ ÒÔ·ÈÒÂÙÈ͸ ıÎÈ͸ ˛ÛÙ ̷ ı‹Ò˜ÂÈÏ„·Î˝ÙÂÒÁ ÂıÂÎÈÓfl·. œÈ ÒÔ·ÈÒÂÙÈÍ›Ú ·Ò‹„Ò·ˆÔÈ ÛÁÏÂÈ˛ÌÔÌÙ·È Ï ·ÛÙÂÒflÛÍÔ.« ˝ÎÁ ÙÁÚ –·Ò·„Ò‹ˆÔı 6.2.2 ˜ÒÂÈ‹ÊÂÙ·È Ï¸ÌÔ ÛÙÁÌ –·Ò‹„Ò·ˆÔ 6.6. �·Ïfl··¸ ÙÈÚ ‰˝Ô ·Ò·„Ò‹ˆÔıÚ ‰ÂÌ ··ÈÙÂflÙ·È Û ·ıÙ¸Ì ÙÔÌ Ù¸ÏÔ, ˜ÒÂÈ‹ÊÔÌÙ·È ¸Ï˘ÚÍ·È ÔÈ ‰˝Ô ÛÙÁÌ ≈ÈÛ·„˘„fi ÛÙÁ ”Ù·ÙÈÛÙÈÍfi »Â˘Òfl·. « ˝ÎÁ ÙÁÚ –·Ò·„Ò‹ˆÔı6.7 ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈÂflÙ·È Ï¸ÌÔ ÛÙÁÌ ·¸‰ÂÈÓÁ ÙÔı »Â˘ÒfiÏ·ÙÔÚ 1 ÙÔı �ˆ·Î·flÔı 9·ıÙÔ˝ ÙÔı Ù¸ÏÔı Í·È ÙÔı »Â˘ÒfiÏ·ÙÔÚ 1 ÙÔı �ˆ·Î·flÔı 5 ÙÁÚ ≈ÈÛ·„˘„fiÚ ÛÙÁ

xii –—œÀœ√œ”

”Ù·ÙÈÛÙÈÍfi »Â˘Òfl·. ‘Ô ÂÒȘ¸ÏÂÌÔ Ù˘Ì �ˆ·Î·fl˘Ì 8 Í·È 9 ÂflÌ·È ÒÔ·ÈÒÂÙÈ͸.‘Ô �ˆ‹Î·ÈÔ 9 ÂflÌ·È ·ÌÂÓ‹ÒÙÁÙÔ ·¸ ÙÔ �ˆ‹Î·ÈÔ 8.

»· ˛ηÏ ̷ Âı˜·ÒÈÛÙfiÛÔıÏ ÔÎÎÔ˝Ú ÛıÌ·‰›ÎˆÔıÚ Ôı ‰È‹‚·Û·Ì ÙÔ·Ò˜È͸ ˜ÂÈÒ¸„Ò·ˆÔ Í·È ›Í·Ì·Ì ÒÔÙ‹ÛÂÈÚ Ôı Ô‰fi„ÁÛ·Ì Û ÔıÛÈ·ÛÙÈ͛ڂÂÎÙÈ˛ÛÂÈÚ. »›ÎÔıÏ ·Í¸Ï· Ì· Âı˜·ÒÈÛÙfiÛÔıÏ ÙÔıÚ Neil Weiss Í·È Luis GorostizaÔı ›‰˘Û·Ì ··ÌÙfiÛÂÈÚ Û ¸ÎÂÚ ÙÈÚ ·ÛÍfiÛÂÈÚ Í·È ÙÁÌ Í·. Ruth Goldstein „È· ÙÁÌÂÓ·ÈÒÂÙÈÍfi ÙÁÚ ÂÒ„·Ûfl· ÛÙÁÌ ‰·ÍÙıÎÔ„Ò‹ˆÁÛÁ.

1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

◊˛ÒÔÈ

–È˷̸ÙÁÙ·Ú

« Ë¢Òfl· ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ÂflÌ·È Ô Í΋‰ÔÚ Ù˘Ì Ï·ËÁÏ·ÙÈÍ˛Ì Ôı ·Û˜ÔÎÂflÙ·È Ï ٷÙı˜·fl· ˆ·È̸ÏÂÌ·. « ÏÂΛÙÁ ÙÁÚ Í›Ò‰ÈÛ ÔÎÎÔ˝Ú Ï·ËÁÏ·ÙÈÍÔ˝Ú, Ù¸ÛÔ „È· ÙÔË¢ÒÁÙÈ͸ ÙÁÚ Ẩȷˆ›ÒÔÌ ¸ÛÔ Í·È „È· ÙÈÚ ÂÈÙı˜ÁÏ›ÌÂÚ Âˆ·ÒÏÔ„›Ú ÙÁÚ Û ÔÎΛÚÂÒÈÔ˜›Ú Ù˘Ì ˆıÛÈͲÌ, ‚ÈÔÎÔ„ÈÍ˛Ì Í·È ÍÔÈÌ˘ÌÈÍ˛Ì ÂÈÛÙÁÏ˛Ì, ÛÙÁ ÏÁ˜·ÌÈÍfi Í·ÈÛÙÔÌ ÂȘÂÈÒÁÏ·ÙÈ͸ ͸ÛÏÔ.

–ÔÎ΋ ˆ·È̸ÏÂÌ· ›˜ÔıÌ ÙÁÌ È‰È¸ÙÁÙ· Á ·ÌÂÈÎÁÏÏ›ÌÁ ·Ò·ÙfiÒÁÛfi ÙÔıÚ Í‹Ù˘·¸ ›Ì· ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ Û˝ÛÙÁÏ· ÛıÌËÁÍ˛Ì Ì· Ô‰Á„Âfl ‹ÌÙ· ÛÙÔ fl‰ÈÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ·.√È· ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·, ·Ì ·ˆfiÌÔıÏ Ïfl· ϋη Ôı fiÙ·Ì ·Ò˜ÈÍ‹ ·ÍflÌÁÙÁ Ì· ›ÛÂÈ·¸ ˝¯ÔÚ d Ï›ÙÒ˘Ì Ï›Û· Û ›Ì·Ì Í˝ÎÈ̉ÒÔ ˜˘ÒflÚ ·›Ò·, Ë· ˆÙ‹ÌÂÈ ÛÙÔ ›‰·ˆÔÚ‹ÌÙ· ÏÂÙ‹ ·¸ t =

√

2d/g ‰ÂıÙÂÒ¸ÎÂÙ·, ¸Ôı g Á ÛÙ·ËÂÒfi ÂÈÙ‹˜ıÌÛÁ ÙÁÚ‚·Ò˝ÙÁÙ·Ú Û m/sec2 . ’‹Ò˜ÔıÌ ‹Îη ˆ·È̸ÏÂÌ· Ù˘Ì ÔÔfl˘Ì Á ·ÌÂÈÎÁÏÏ›ÌÁ·Ò·ÙfiÒÁÛÁ Í‹Ù˘ ·¸ ›Ì· ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ Û˝ÛÙÁÏ· ÛıÌËÁÍ˛Ì ‰ÂÌ Ô‰Á„Âfl ‹ÌÙ·ÛÙÔ fl‰ÈÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ·. ∏Ì· ÔÈÍÂflÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï· ·ıÙÔ˝ ÙÔı Âfl‰ÔıÚ ÂflÌ·È Á Òfl¯ÁÂÌ¸Ú ÌÔÏflÛÏ·ÙÔÚ. ¡Ì ÒflÓÔıÏ ›Ì· ̸ÏÈÛÏ· 1000 ˆÔÒ›Ú, ÔÈ Âψ·ÌflÛÂÈÚ „Ò·ÏÏ‹Ù˘Ìfi ÍÔÒ˛Ì·Ú ÂÌ·Î΋ÛÛÔÌÙ·È Ï ›Ì·Ì ˆ·ÈÌÔÏÂÌÈÍ‹ ·Í·Ì¸ÌÈÛÙÔ Í·È ·Ò¸‚ÎÂÙÔÙÒ¸Ô. ¡ıÙ‹ Ù· ˆ·È̸ÏÂÌ· Û͈ٸϷÛÙÂ Û·Ì Ùı˜·fl·, Í·È ·ıÙ‹ Ë· ÂflÌ·È ÙÔ·ÌÙÈÍÂflÏÂÌÔ ÙÁÚ ÏÂΛÙÁÚ Ï·Ú.

àÙÁÌ Ò˛ÙÁ Ï·ÙÈ‹ ˆ·flÌÂÙ·È flÛ˘Ú ·‰˝Ì·ÙÔ Ì· ‰È·Ùı˛ÛÔıÏ ·ÓȸÎÔ„·ÛıÏÂÒ‹ÛÏ·Ù· „È· Ù›ÙÔÈ· Ùı˜·fl· ˆ·È̸ÏÂÌ·, ¸Ï˘Ú ‰ÂÌ ÂflÌ·È Í·Ë¸ÎÔı ›ÙÛÈ.« ÂÏÂÈÒfl· ›˜ÂÈ ‰ÂflÓÂÈ ¸ÙÈ ÔÎ΋ ÏÁ-ÌÙÂÙÂÒÏÈÌÈÛÙÈÍ‹ ˆ·È̸ÏÂÌ· ·ÒÔıÛÈ‹ÊÔıÌÏfl· ÛÙ·ÙÈÛÙÈÍfi Í·ÌÔÌÈ͸ÙÁÙ· Ôı ·ÓflÊÂÈ Ì· ÏÂÎÂÙÁËÂfl. ”·Ì ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·, ·Ú‹ÒÔıÏ ‹ÎÈ ÙÁÌ Òfl¯Á ÙÔı ÌÔÏflÛÏ·ÙÔÚ. √È· Í‹Ë ‰Â‰ÔÏ›ÌÁ Òfl¯Á ÙÔı ÌÔÏflÛÏ·ÙÔÚ‰ÂÌ ÏÔÒÔ˝Ï ̷ Í‹ÌÔıÏ ͷÏÏfl· ÏÁ ÙÂÙÒÈÏÏ›ÌÁ Ò¸‚ίÁ, ÔÈ ·Ò·ÙÁÒfiÛÂÈÚ¸Ï˘Ú ‰Âfl˜ÌÔıÌ ¸ÙÈ „È· Ï„‹ÎÔ ·ÒÈËϸ ‰ÔÍÈÏ˛Ì ÙÔ ÔÛÔÛÙ¸ Ù˘Ì Âψ·ÌflÛÂ˘Ì„Ò·ÏÏ‹Ù˘Ì ÏÔÈ‹ÊÂÈ Ì· ÍÈÌÂflÙ·È „˝Ò˘ ·¸ ›Ì·Ì ÛÙ·ËÂÒ¸ ·ÒÈËϸ p ÏÂÙ·Ó˝ ÙÔı 0

2 �≈÷¡À¡…œ 1

Í·È ÙÔı 1 (Í·È Ô p ÂflÌ·È Ôν ÍÔÌÙ‹ ÛÙÔ 1/2, ÂÍÙ¸Ú ·Ì ÙÔ Ì¸ÏÈÛÏ· ÂflÌ·È ÙÂÎÂfl˘ÚÂηÙÙ˘Ï·ÙÈ͸). ÷·flÌÂÙ·È ¸ÙÈ ÙÔ ÔÛÔÛÙ¸ Ôı Í·Ù·„Ò‹ˆÔıÏ ÛÙÈÚ n ‰ÔÍÈÏ›ÚÙÂflÌÂÈ ÛÙÔ p ·Ì ·ˆfiÛÔıÏ ÙÔ n Ì· ‹ÂÈ ÛÙÔ ‹ÂÈÒÔ. ”͈ٸϷÛÙ ÎÔÈ¸Ì ·ıÙ¸ÙÔ ÔÒȷ͸ ÔÛÔÛÙ¸ p Û·Ì ÙÁÌ ((È˷̸ÙÁÙ·)) Ì· Âψ·ÌÈÛÙÔ˝Ì „Ò‹ÏÏ·Ù· Û Ïfl·Í·È ÏÔÌ·‰ÈÍfi Òfl¯Á.

–ȸ „ÂÌÈÍ‹, Ô ÈÛ˜ıÒÈÛÏ¸Ú ¸ÙÈ Í‹ÔÈÔ ÂÈÒ·Ï·ÙÈ͸ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ·p ›˜ÂÈ ÙÁÌ ›ÌÌÔÈ· ¸ÙÈ „È· ›Ì· Ï„‹ÎÔ ÎfiËÔÚ Â·Ì·Îfi¯Â˘Ì ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ,ÙÔ Ûı„ÍÂÍÒÈÏ›ÌÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· Ë· ·Ò·ÙÁÒÁËÂfl „È· ÂÒflÔı 100p% ·¸ ·ıÙ›Ú.¡ıÙfi ÂflÌ·È Á ΄¸ÏÂÌÁ ÂÒÏÁÌÂfl· ÙÁÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ˘Ú Û˜ÂÙÈÍfiÚ Ûı˜Ì¸ÙÁÙ·Ú.≈flÌ·È Ôν ˆıÛÈÔÎÔ„ÈÍfi „È· ÔÎÎ›Ú Âˆ·ÒÏÔ„›Ú ÙÁÚ Ë¢Òfl·Ú ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ÛÂÒÔ‚ÎfiÏ·Ù· Ù˘Ì ˆıÛÈÍ˛Ì ÂÈÛÙÁÏ˛Ì, Ûı˜Ì‹ ¸Ï˘Ú ÏÔÈ‹ÊÂÈ Ôν ÂÓÂÊÁÙÁÏ›ÌÁ.–˛Ú, „È· ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·, Ë· ÏÔÒÔ˝Û·Ï ̷ ÂÒÏÁ̽ÛÔıÏÂ Û·Ì Û˜ÂÙÈÍfi Ûı˜Ì¸ÙÁÙ·ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· ¸ÙÈ ›Ì· ÌÂÔ„›ÌÌÁÙÔ Ï˘Ò¸ Ë· ÊfiÛÂÈ ÙÔı΋˜ÈÛÙÔÌ 70 ˜Ò¸ÌÈ·; ∏˜ÔıÌ„flÌÂÈ ‰È‹ˆÔÒÂÚ ÒÔÛ‹ËÂÈÂÚ, ·¸ ÙÈÚ ÔÔflÂÚ Í·ÏÏfl· ‰ÂÌ ÂflÌ·È Í·ËÔÎÈÍ‹ ·Ô‰ÂÍÙfi,„È· Ì· ‰ÔËÂfl ÂÌ·ÎηÍÙÈÍfi ÂÒÏÁÌÂfl· Ù›ÙÔÈ˘Ì ÈË·ÌÔË¢ÒÁÙÈÍ˛Ì ÒÔÙ‹Û¢Ì.

√È· ÙÁ Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi Ë¢Òfl· Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì, Ô ÙÒ¸ÔÚ ÂÒÏÁÌÂfl·Ú Ù˘ÌÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ÂflÌ·È ·‰È‹ˆÔÒÔÚ, ¸˘Ú ·ÍÒÈ‚˛Ú ÛÙÁ „¢ÏÂÙÒfl· Ô ÙÒ¸ÔÚ ÂÒÏÁÌÂfl·ÚÙ˘Ì ÛÁÏÂfl˘Ì, Ù˘Ì ÂıËÂÈ˛Ì Í·È Ù˘Ì ÂÈ›‰˘Ì ÂflÌ·È ·‰È‹ˆÔÒÔÚ. »· ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈÔ˝ÏÂÙÁÌ ÂÒÏÁÌÂfl· Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Ï ‚‹ÛÁ ÙÁÌ Û˜ÂÙÈÍfi Ûı˜Ì¸ÙÁÙ· ϸÌÔ Û·Ì Î·flÛÈÔ„È· ÙÁÌ ‰È·ÈÛËÁÙÈÍfi ͷٷ̸ÁÛÁ Ù˘Ì ÔÒÈÛÏ˛Ì Í·È Ù˘Ì Ë¢ÒÁÏ‹Ù˘Ì Ôı Ë··Ì·Ù˝ÓÔıÏ ÛÙÁ ÛıÌ›˜ÂÈ·.

1.1. –·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· Ùı˜·fl˘Ì ˆ·ÈÌÔÏ›Ì˘Ì

” ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ·Ò‹„Ò·ˆÔ Ë· ÛıÊÁÙfiÛÔıÏ ‰˝Ô ·Î‹ ·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· Ùı˜·fl˘Ìˆ·ÈÌÔÏ›Ì˘Ì, Ôı Ë· Ï·Ú ‚ÔÁËfiÛÔıÌ Ì· ÂÈÛ·„‹„ÔıÏ ÔϷ΋ ÙÁÌ ÙıÈÍfi ‰ÔÏfi ÙÁÚË¢Òfl·Ú.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 1. ∏Ì· ‰Ô˜ÂflÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ s ‚˛ÎÔıÚ, Ôı ˆ›ÒÔıÌ ÙÔıÚ ·ÒÈËÏÔ˝Ú1, 2, . . . , s ·Î΋ ÂflÌ·È ÂÌÙÂÎ˛Ú ¸ÏÔÈÂÚ Í·Ù‹ Ù· ‹Îη. »Â˘ÒÔ˝Ï ÙÔ ÂÓfiÚÂflÒ·Ï·. ¡Ì·Í·Ù½ÔıÏ ͷ΋ ÙÔıÚ ‚˛ÎÔıÚ ÛÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ Í·È Í‹ÔÈÔÚ ÎÁÛÈ‹ÊÂÈÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ Í·È ÂÈΛ„ÂÈ ›Ì·Ì ‚˛ÎÔ. ”ÁÏÂÈ˛ÌÔıÏ ÙÔÌ ·ÒÈËϸ ÙÔı ‚˛ÎÔı Í·È ÙÔÌ·̷ÙÔÔËÂÙÔ˝Ï ÛÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ. ‘Ô ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ÂflÌ·È Ô ·ÒÈËϸÚÙÔı ‚˛ÎÔı Ôı ÂÈΛ˜ËÁÍÂ. √È· ÙÔ ÂflÒ·Ï· ·ıÙ¸ ‰ÂÌ ÏÔÒÂfl Ì· „flÌÂÈ Í·ÏÏfl· ÏÁÙÂÙÒÈÏÏ›ÌÁ Ò¸‚ίÁ.

¡Ú ıÔË›ÛÔıÏ ¸ÙÈ Â·Ì·Î·Ï‚‹ÌÔıÏ ·ıÙ¸ ÙÔ ÂflÒ·Ï· n ˆÔÒ›Ú. ”ıÏ‚ÔÎflÊÔıÏÂÏ Nn(k) ÙÔ ÎfiËÔÚ ÂÍÂflÌ˘Ì ·¸ ÙÈÚ n ‰ÔÍÈÏ›Ú ÛÙÈÚ ÔÔflÂÚ ÂÈΛ˜ËÁÍÂ Ô ‚˛ÎÔÚÏ ÙÔÌ ·ÒÈËϸ k. ∏ÛÙ˘ ¸ÙÈ Âfl˜·ÏÂ, ·Ú Ô˝ÏÂ, s = 3 ‚˛ÎÔıÚ Í·È n = 20 ‰ÔÍÈÏ›Ú.‘· ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ·ıÙ˛Ì Ù˘Ì 20 ‰ÔÍÈÏ˛Ì Ë· ÏÔÒÔ˝Û·Ì Ì· ÂÒÈ„Ò·ˆÔ˝Ì Ï ÙÁÌ·Ò‹ËÂÛÁ Ù˘Ì ·ÒÈËÏ˛Ì Ôı Âψ·ÌflÛÙÁÍ·Ì Í·Ù‹ ÙÁ ÛÂÈÒ‹ Ôı ·Ò·ÙÁÒfiËÁÍ·Ì.∏Ì· ÙıÈ͸ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· Ë· ÏÔÒÔ˝Û ̷ ÂflÌ·È ÙÔ

1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2,

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 3

Í·È ÛÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ ·ıÙfi,

N20(1) = 5, N20(2) = 8, Í·È N20(3) = 7.

œÈ Û˜ÂÙÈÍ›Ú Ûı˜Ì¸ÙÁÙÂÚ (‰Áη‰fi, ÙÔ ÔÛÔÛÙ¸ Ù˘Ì Âψ·ÌflÛ¢Ì) Ù˘Ì·ÔÙÂÎÂÛÏ‹Ù˘Ì 1,2, Í·È 3 ÂflÌ·È ÎÔȸÌ

N20(1)

20= 0,25,

N20(2)

20= 0,40, Í·È

N20(3)

20= 0,35.

�·Ë˛Ú ÙÔ ÎfiËÔÚ Ù˘Ì ‰ÔÍÈÏ˛Ì ·ıÓ‹ÌÂÈ, Ë· ÂÒÈϛ̷Ï ÔÈ Û˜ÂÙÈÍ›Ú Ûı˜Ì¸ÙÁÙÂÚNn(1)/n, . . . ,Nn(s)/n Ì· ÛÙ·ËÂÒÔÔÈÔ˝ÌÙ·È Û ͋ÔÈÔıÚ ÛÙ·ËÂÒÔ˝Ú ·ÒÈËÏÔ˝Úp1, p2, . . . , ps (ÔÈ ÔÔflÔÈ Û˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÁ ‰È·flÛËÁÛfi Ï·Ú Ë· ›Ò ̷ ÂflÌ·È ¸ÎÔÈflÛÔÈ Ï 1/s ÛÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ ·ıÙfi).

”˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÁÌ ÂÒÏÁÌÂfl· ÙÁÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ï ‚‹ÛÁ ÙÁÌ Û˜ÂÙÈÍfi Ûı˜Ì¸ÙÁÙ·, Ô·ÒÈËÏ¸Ú pi Ò›ÂÈ Ì· ‰flÌÂÈ ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· ÂÈÎÔ„fiÚ ÙÔı ‚˛ÎÔı Ï ·ÒÈËϸ i ·ÌÙÔ ÂflÒ·Ï· ÂÍÙÂÎÂÛÙÂfl Ïfl· ϸÌÔ ˆÔÒ‹ (i = 1, 2, . . . , s).

»· Í·Ù·ÛÍÂı‹ÛÔıÏÂ Ù˛Ò· ›Ì· Ï·ËÁÏ·ÙÈ͸ ÏÔÌÙ›ÎÔ „È· ÙÔ ÂflÒ·Ï· ÙÁÚÂÈÎÔ„fiÚ ÂÌ¸Ú ‚˛ÎÔı ·¸ ÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ. √È· ÙÔ ÛÍÔ¸ ·ıÙ¸, ·flÒÌÔıÏÂ Ò˛Ù· ›Ì·Û˝ÌÔÎÔ Ôı ›˜ÂÈ s ÛÁÏÂfl·, Ù· ÔÔfl· ˆ›ÒÌÔıÏ Û ›Ì· ÒÔÚ ›Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘfl· ÏÂÙ· ‰ıÌ·Ù‹ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ. Ã›Û˘ ·ıÙfiÚ ÙÁÚ ·ÌÙÈÛÙÔȘfl·Ú, ·ÍÒÈ‚˛Ú›Ì· ÛÁÏÂflÔ ÙÔı Û˜ÂÙflÊÂÙ·È Ï ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· Ì· ÂÈ΄Âfl Ô ‚˛ÎÔÚ Ï ·ÒÈËϸk. œÌÔÏ‹ÊÔıÏ ·ıÙ¸ ÙÔ ÛÁÏÂflÔ ωk . ”ÙÔ ÛÁÏÂflÔ ωk ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÔıÏ ÙÔÌ ·ÒÈËϸpk = 1/s Í·È ÙÔÌ ÔÌÔÏ‹ÊÔıÏ È˷̸ÙÁÙ· ÙÔı ωk. –·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ·Ï›Û˘Ú ¸ÙÈ0 ≤ pk ≤ 1 Í·È ¸ÙÈ p1 + . . . + pk = 1.

’ÔË›ÙÔıÏÂ Ù˛Ò· ¸ÙÈ ÔÈ ‚˛ÎÔÈ, ÂÍÙ¸Ú ·¸ ÙÔ Ì· ˆ›ÒÔıÌ ÙÔıÚ ·ÒÈËÏÔ˝Ú ·¸ 1˘Ú s, ÂflÌ·È ˜Ò˘Ï·ÙÈÛÏ›ÌÔÈ, ÔÈ Ò˛ÙÔÈ r Ï ͸ÍÍÈÌÔ ˜Ò˛Ï· Í·È ÔÈ ı¸ÎÔÈÔÈ s− rÏ Ϸ˝ÒÔ ˜Ò˛Ï·. ≈ÍÙÂÎÔ˝Ï ÙÔ ÂflÒ·Ï· ¸˘Ú ÒflÌ, Ù˛Ò· ¸Ï˘Ú Ï·Ú Ẩȷˆ›ÒÂÈϸÌÔ ÙÔ ˜Ò˛Ï· ÙÔı ‚˛ÎÔı Ôı ÂÈΛ˜ËÁÍÂ, Í·È ¸˜È Ô ·ÒÈËÏ¸Ú ÙÔı. àÎfl„ÁÛÍ›¯Á ‚ΛÔıÏ ¸ÙÈ Á Û˜ÂÙÈÍfi Ûı˜Ì¸ÙÁÙ· ÙÁÚ ÂÈÎÔ„fiÚ Í¸ÍÍÈÌÔı ‚˛ÎÔı Û n·̷Îfi¯ÂÈÚ ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ÂflÌ·È ·Î˛Ú ÙÔ ‹ËÒÔÈÛÏ· Ù˘Ì Û˜ÂÙÈÍ˛Ì Ûı˜ÌÔÙfiÙ˘ÌNn(k)/n „È· ÂÍÂflÌÂÚ ÙÈÚ ÙÈÏ›Ú ÙÔı k Ôı ·ÌÙÈÛÙÔÈ˜Ô˝Ì Û ͸ÍÍÈÌÔ ‚˛ÎÔ. »·ÂÒÈϛ̷ÏÂ, Í·È Á ÂÏÂÈÒfl· ÙÔ ·Ô‰ÂÈÍÌ˝ÂÈ, ¸ÙÈ „È· Ï„‹Î· n ·ıÙfi Á Û˜ÂÙÈÍfiÛı˜Ì¸ÙÁÙ· ÛÙ·ËÂÒÔÔÈÂflÙ·È Û ͋ÔÈÔÌ ·ÒÈËϸ. ¡ˆÔ˝ „È· Ï„‹Î· n ÔÈ Û˜ÂÙÈÍ›ÚÛı˜Ì¸ÙÁÙÂÚ Nn(k)/n ·Ì·Ï›ÌÂÙ·È Ì· ‚ÒflÛÍÔÌÙ·È ÍÔÌÙ‹ ÛÙÔÌ pk = 1/s, ÂflÌ·ÈÙÂÎÂfl˘Ú ˆıÛÈ͸ Ì· Ô˝Ï ¸ÙÈ Á Û˜ÂÙÈÍfi Ûı˜Ì¸ÙÁÙ· ÙÁÚ ÂÈÎÔ„fiÚ Í¸ÍÍÈÌÔı ‚˛ÎÔıË· ÂflÌ·È ÍÔÌÙ‹ ÛÙÔÌ r/s. –‹ÎÈ, Á ÂÏÂÈÒfl· ÙÔ ÂȂ‚·È˛ÌÂÈ. ”˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÁÌÂÒÏÁÌÂfl· ÙÁÚ Û˜ÂÙÈÍfiÚ Ûı˜Ì¸ÙÁÙ·Ú, ΛÏ ¸ÙÈ Á È˷̸ÙÁÙ· ÂÈÎÔ„fiÚ Í¸ÍÍÈÌÔı‚˛ÎÔı ÈÛÔ˝Ù·È Ï r/s.

¡Ú ‰Ô˝Ï Ï ÔÈÔ ÙÒ¸Ô ·ÌÙ·Ì·ÍÎ‹Ù·È ÛÙÔ ÏÔÌÙ›ÎÔ Ï·Ú ·ıÙ¸Ú Ô ÛıÎÎÔ„ÈÛϸÚ.∏ÛÙ˘ A ÙÔ ıÔÛ˝ÌÔÎÔ ÙÔı Ôı ·ÔÙÂÎÂflÙ·È ·¸ ÂÍÂflÌ· Ù· ÛÁÏÂfl· ωk „È· Ù·ÔÔfl· Ô ‚˛ÎÔÚ k ÂflÌ·È Í¸ÍÍÈÌÔÚ. ‘¸Ù ÙÔ A ›˜ÂÈ ·ÍÒÈ‚˛Ú r ÛÁÏÂfl·. À›Ï ¸ÙÈ ÙÔA ÂflÌ·È ›Ì· Ẩ˜¸ÏÂÌÔ. –ȸ „ÂÌÈÍ‹, ÛÙÔ ÏÔÌÙ›ÎÔ Ôı ÛıÊÁÙ‹Ï ˷ ΛÏ Ẩ˜¸-

4 �≈÷¡À¡…œ 1

”˜fiÏ· 1

ÏÂÌÔ Í‹Ë ıÔÛ˝ÌÔÎÔ ÙÔı . ºÙ·Ì ΛÏ ¸ÙÈ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÂÌÌÔÔ˝Ï¸ÙÈ ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ Í‹ÔÈÔ ÛÁÏÂflÔ ÙÔı B.

∏ÛÙ˘ A Í·È B ‰˝Ô Ẩ˜¸ÏÂÌ·. »ıÏÁËÂflÙ ¸ÙÈ Á ›Ì˘ÛÁ A ∪ B Ù˘Ì A Í·È BÂflÌ·È ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ ¸Î˘Ì Ù˘Ì ÛÁÏÂfl˘Ì ω ∈ „È· Ù· ÔÔfl· ÂflÙ ω ∈ A ÂflÙ ω ∈ B.‘· ÛÁÏÂfl· ÙÔı ‚ÒflÛÍÔÌÙ·È Û ·ÌÙÈÛÙÔȘfl· Ï ٷ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·Ù¸ÚÏ·Ú. ‘Ô Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A ÛıÏ‚·flÌÂÈ ·Ì ÙÔ ÂflÒ·Ï· ‰flÌÂÈ ›Ì· ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· Ôı·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ Í‹ÔÈÔ ÛÁÏÂflÔ ÙÔı A, Í·È ¸ÏÔÈ· ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ·Ì ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ Í‹ÔÈÔ ÛÁÏÂflÔ ÙÔı B. ‘ÔÛ˝ÌÔÎÔ A∪B ·Ì··ÒÈÛÙ‹ ÎÔÈ¸Ì ÙÔ „„ÔÌ¸Ú ¸ÙÈ ÂflÙ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A ÛıÏ‚·flÌÂÈÂflÙ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ. ºÏÔÈ·, Á ÙÔÏfi A∩B Ù˘Ì A Í·È B ·ÔÙÂÎÂflÙ·È·¸ ¸Î· Ù· ÛÁÏÂfl· Ôı ·ÌfiÍÔıÌ Í·È ÛÙÔ A Í·È ÛÙÔ B. ∏ÙÛÈ, ·Ì ω ∈ A∩B Ù¸ÙÂω ∈ A Í·È ω ∈ B, ‰Áη‰fi ÙÔ A∩B ·Ì··ÒÈÛÙ‹ ÙÔ „„ÔÌ¸Ú ¸ÙÈ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ· AÍ·È B ÛıÏ‚·flÌÔıÌ Í·È Ù· ‰˝Ô. ‘Ô ÛıÏÎfiÒ˘Ï· Ac (fi A′) ÙÔı A ÂflÌ·È ÙÔ Û˝ÌÔÎÔÙ˘Ì ÛÁÏÂfl˘Ì ÙÔı Ôı ‰ÂÌ ·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÔ A. ‘Ô Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A ‰ÂÌ ÛıÏ‚·flÌÂÈ ·ÌÙÔ ÂflÒ·Ï· ‰flÌÂÈ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· Ôı ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ ÛÁÏÂflÔ ÙÔı Ac.

”˜ÁÏ·ÙÈÍ‹, ·Ì Ù· A Í·È B ·Ì··ÒflÛÙ·ÌÙ·È ·¸ Ù· ˜˘Òfl· ÛÙÔ ”˜fiÏ· 1·, Ù¸ÙÂÙ· A∪B, A∩B, Í·È Ac ·Ì··ÒflÛÙ·ÌÙ·È ·¸ Ù· ÛÍÈ·Ûϛ̷ ˜˘Òfl· ÛÙ· ”˜fiÏ·Ù·1‚, 1„ Í·È 1‰, ·ÌÙflÛÙÔȘ·.

√È· Ì· ÂÓÔÈÍÂÈ˘ËÔ˝Ï Ï ·ıÙ›Ú ÙÈÚ ›ÌÌÔÈÂÚ, ·Ú ‹ÒÔıÏÂ Û·Ì A ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì·((ÂÈΛ˜ËÁÍ ͸ÍÍÈÌÔÚ ‚˛ÎÔÚ)) Í·È Û·Ì B ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ((ÂÈΛ˜ËÁÍ ‚˛ÎÔÚÏ ‹ÒÙÈÔ ·ÒÈËϸ)). ‘¸ÙÂ, Á ›Ì˘ÛÁ A ∪ B ÂflÌ·È ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛ˜ËÁÍ ÂflÙÂ͸ÍÍÈÌÔÚ ‚˛ÎÔÚ ÂflÙ ‚˛ÎÔÚ Ï ‹ÒÙÈÔ ·ÒÈËϸ. « ÙÔÏfi A ∩ B ÂflÌ·È ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔÌ· ÂÈΛ˜ËÁÍ ͸ÍÍÈÌÔÚ ‚˛ÎÔÚ Ï ‹ÒÙÈÔ ·ÒÈËϸ. ‘Ô Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ac ÛıÏ‚·flÌÂÈ ·Ì‰ÂÌ ÂÈΛ˜ËÁÍ ͸ÍÍÈÌÔÚ ‚˛ÎÔÚ.

»›ÎÔıÏÂ Ù˛Ò· Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘflÛÔıÏ È˷̸ÙÁÙÂÚ ÛÙ· Ẩ˜¸ÏÂÌ·. ¡¸Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi ‹Ô¯Á, ·ıÙ¸ ÛÁÏ·flÌÂÈ ·Î˛Ú ¸ÙÈ ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÔıÏ Û ͋ËÂ Û˝ÌÔÎÔB ›Ì·Ì Ò·„Ï·ÙÈ͸ ·ÒÈËϸ. �·Ù"·Ò˜fiÌ Ë· ÏÔÒÔ˝Û·Ï ̷ ÙÔ Í‹ÌÔıÏ ÏÂ

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 5

·ıË·flÒÂÙÔ ÙÒ¸Ô. ¡Ì ¸Ï˘Ú Ë›ÎÔıÏ ·ıÙ›Ú ÔÈ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ì· ÂÒÈ„Ò‹ˆÔıÌ Û˘ÛÙ‹ÙÔ ÂflÒ·Ï· Ôı ÒÔÛ·ËÔ˝Ï ̷ ÏÔÌÙÂÎÔÔÈfiÛÔıÏÂ, ٸ٠ϷflÌÔıÌ ‰È‹ˆÔÒÔÈÂÒÈÔÒÈÛÏÔfl. –˛Ú Ò›ÂÈ Ì· „flÌÂÈ Á ·ÌÙÈÛÙÔfl˜ÈÛÁ; ∏˜ÔıÏ fi‰Á ·ÌÙÈÛÙÔȘflÛÂÈÛ ͋Ë ÛÁÏÂflÔ ÙÔÌ ·ÒÈËϸ 1/s. ∏ÙÛÈ, Û ͋Ë ÏÔÌÔÛ˝ÌÔÎÔ {ω} Ò›ÂÈ Ì··ÌÙÈÛÙÔȘÂfl Ô ·ÒÈËÏ¸Ú 1/s. ¡¸ ÙÁ ÛıÊfiÙÁÛÁ Ôı Í‹Ì·Ï „È· ÙÁ Û˜ÂÙÈÍfiÛı˜Ì¸ÙÁÙ· ÙÔı Ẩ˜ÔÏ›ÌÔı ((ÂÈÎÔ„fi ͸ÍÍÈÌÔı ‚˛ÎÔı)), ˆ·flÌÂÙ·È ¸ÙÈ Ë· Ò›ÂÈÛÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘflÛÔıÏ ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· P (A) = r/s. –ȸ „ÂÌÈÍ‹,·Ì B ÂflÌ·È ÔÔÈÔ‰fiÔÙ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ, ÔÒflÊÔıÏ ÙÁÌ P (B) Ë›ÙÔÌÙ·Ú P (B) = j/s·Ì ÙÔ B ›˜ÂÈ ·ÍÒÈ‚˛Ú j ÛÁÏÂfl·. –·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ٸÙ ¸ÙÈ

P (B) =∑

ωk∈B

pk,

¸Ôı∑

ωk∈B pk ÛÁÏ·flÌÂÈ ¸ÙÈ ·ËÒÔflÊÔıÏ ÙÔıÚ ·ÒÈËÏÔ˝Ú pk „È· ÂÍÂflÌÂÚ ÙÈÚ ÙÈÏ›ÚÙÔı k Ôı ·ÌÙÈÛÙÔÈ˜Ô˝Ì Û ͋ÔÈÔ ωk ∈ B. ¡¸ ÙÔÌ ÔÒÈÛϸ ÙÁÚ P (B) ‚ΛÔıϽÍÔη ¸ÙÈ ÈÛ˜˝ÔıÌ ÔÈ ·Í¸ÎÔıËÂÚ ÒÔÙ‹ÛÂÈÚ (Á ·ÎfiËÂıÛfi ÙÔıÚ ·ˆfiÌÂÙ·È ÛÙÔÌ·Ì·„Ì˛ÛÙÁ).

∏ÛÙ˘ ∅ ÙÔ ÍÂ̸ Û˝ÌÔÎÔ. ‘¸Ù P (∅) = 0 Í·È P () = 1. ¡Ì A Í·È B ÂflÌ·È ‰˝Ôӛ̷ Û˝ÌÔη, ‰Áη‰fi A ∩ B = ∅, Ù¸ÙÂ

P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 2. ¡¸ ˆıÛÈÍ‹ ÂÈÒ‹Ï·Ù· ÂflÌ·È „Ì˘ÛÙ¸ ¸ÙÈ ›Ì· ÈÛ¸ÙÔÔ Í‹ÔÈÔıÒ·‰ÈÂÌÂÒ„Ô˝ ÛÙÔȘÂflÔı ÂflÌ·È ·ÛÙ·Ë›Ú. àÙÁÌ ‹ÒÔ‰Ô ÙÔı ˜Ò¸ÌÔı ·Ô‚‹ÎÎÂÈÌÂÙÒ¸ÌÈ· Í·È ›Ò˜ÂÙ·È Û ÛÙ·ËÂÒfi Í·Ù‹ÛÙ·ÛÁ. ≈̉ȷˆÂҸϷÛÙ „È· ÙÔ ˜Ò¸ÌÔ Ôı˜ÒÂÈ‹ÊÂÙ·È „È· Ì· ‰È·Û·ÛÙÂfl ›Ì· ‹ÙÔÏÔ ÙÔı ÈÛÔÙ¸Ôı. ”˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÔıÚ Ì¸ÏÔıÚÙÁÚ ˆıÛÈÍfiÚ ÂflÌ·È ·‰˝Ì·ÙÔ Ì· Ô˝Ï Ï ‚‚·È¸ÙÁÙ· ¸Ù ͋ÔÈÔ Ûı„ÍÂÍÒÈÏ›ÌÔ‹ÙÔÏÔ ÙÔı ÈÛÔÙ¸Ôı Ë· ‰È·Û·ÛÙÂfl, ·Ì ¸Ï˘Ú ·Ò·ÙÁÒfiÛÔıÏ ›Ì· Ï„‹ÎÔ ÎfiËÔÚN ·Ù¸Ï˘Ì, ٸ٠ÏÔÒÔ˝Ï ̷ Í‹ÌÔıÏ ͋ÔÈÂÚ ·ÍÒÈ‚ÂflÚ ÒԂΛ¯ÂÈÚ „È· ÙÔÎfiËÔÚ N (t) Ù˘Ì ·Ù¸Ï˘Ì Ôı ‰ÂÌ ›˜ÔıÌ ‰È·Û·ÛÙÂfl ˘Ú ÙÁÌ ˜ÒÔÌÈÍfi ÛÙÈ„Ïfi t.à‹Îη θ„È· ÏÔÒÔ˝Ï ̷ ÒԂΛ¯ÔıÏ Ï ·ÍÒfl‚ÂÈ· ÙÔÌ Î¸„Ô Ù˘Ì ·Ù¸Ï˘ÌN (t)/N Ôı ‰ÂÌ ›˜ÔıÌ ‰È·Û·ÛÙÂfl ˘Ú ÙÁÌ ˜ÒÔÌÈÍfi ÛÙÈ„Ïfi t, ·Î΋ ‰ÂÌ ÏÔÒÔ˝ÏÂÌ· Ô˝Ï ÔÈ· ÂflÌ·È ·ıÙ‹ Ù· ‹ÙÔÏ·. ¡ˆÔ˝ ¸Î· Ù· ‹ÙÔÏ· ÂflÌ·È fl‰È·, Á Ù·ıÙ¸˜ÒÔÌÁ·Ò·ÙfiÒÁÛÁ N ·Ù¸Ï˘Ì Ò›ÂÈ Ì· Ë¢ÒÁËÂfl ÈÛÔ‰˝Ì·ÏÁ Ï N ·̷Îfi¯ÂÈÚ ÙÔıfl‰ÈÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ, ¸Ôı, Û ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ, ÙÔ ÂflÒ·Ï· ÂflÌ·È Á ·Ò·ÙfiÒÁÛÁÙÔı ˜Ò¸ÌÔı Ôı ··ÈÙÂflÙ·È „È· ÙÁÌ ‰È‹Û·ÛÁ ÂÌ¸Ú ·Ù¸ÏÔı.

�·Ù‹ ÒÔÛ›„„ÈÛÁ (Á ÔÔfl· Ï‹ÎÈÛÙ· ÂflÌ·È Ôν ·ÍÒÈ‚fiÚ), Ô ÒıËÏ¸Ú Ï ÙÔÌÔÔflÔ ‰È·Û‹Ù·È ÙÔ ÈÛ¸ÙÔÔ ÙÁ ˜ÒÔÌÈÍfi ÛÙÈ„Ïfi t ÂflÌ·È ·Ì‹ÎÔ„ÔÚ Ï ÙÔ ÎfiËÔÚ Ù˘Ì·Ù¸Ï˘Ì Ôı ı‹Ò˜ÔıÌ ÙÁ ˜ÒÔÌÈÍfi ÛÙÈ„Ïfi t, ‹Ò· ÙÔ N (t) ‰flÌÂÙ·È ÒÔÛ„„ÈÛÙÈÍ‹·¸ ÙÁÌ Î˝ÛÁ ÙÁÚ ‰È·ˆÔÒÈÍfiÚ ÂÓflÛ˘ÛÁÚ

dfdt

= −λf(t), f(0) = N,

6 �≈÷¡À¡…œ 1

¸Ôı λ > 0 ÂflÌ·È Ïfl· ËÂÙÈÍfi ÛÙ·ËÂÒ‹ ·Ì·ÎÔ„fl·Ú. « ÏÔÌ·‰ÈÍfi νÛÁ ·ıÙfiÚ ÙÁÚÂÓflÛ˘ÛÁÚ ÂflÌ·È Á f(t) = Ne−λt, ÂÔÏ›Ì˘Ú Ô Î¸„ÔÚ Ù˘Ì ·Ù¸Ï˘Ì Ôı ‰ÂÌ ›˜Ôı̉ȷ۷ÛÙÂfl ˘Ú ÙÁÌ ÛÙÈ„Ïfi t ‰flÌÂÙ·È Í·Ù‹ ÒÔÛ›„„ÈÛÁ ·¸ ÙÔ N (t)/N = e−λt. ¡Ì0 ≤ t0 ≤ t1, Ô Î¸„ÔÚ Ù˘Ì ·Ù¸Ï˘Ì Ôı ‰È·Û˛ÌÙ·È ÛÙÔ ˜ÒÔÌÈ͸ ‰È‹ÛÙÁÏ· [t0, t1]ÂflÌ·È (e−λt0 − e−λt1). ≈ÔÏ›Ì˘Ú, Û˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÁÌ ÂÒÏÁÌÂfl· ÙÁÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú˘Ú Û˜ÂÙÈÍfiÚ Ûı˜Ì¸ÙÁÙ·Ú ·flÒÌÔıÏ ÙÔ (e−λt0 − e−λt1) Û·Ì ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· Ì·‰È·Û·ÛÙÂfl ›Ì· ‹ÙÔÏÔ ·Ì‹ÏÂÛ· ÛÙÈÚ ˜ÒÔÌÈÍ›Ú ÛÙÈ„Ï›Ú t0 Í·È t1.

√È· Ì· Í·Ù·ÛÍÂı‹ÛÔıÏ ›Ì· Ï·ËÁÏ·ÙÈ͸ ÏÔÌÙ›ÎÔ „È· ÙÔ ÂflÒ·Ï·, ÏÔÒÔ˝ÏÂÌ· ÒÔ˜˘ÒfiÛÔıÏ ¸˘Ú ÛÙÔ ÒÔÁ„Ô˝ÏÂÌÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·. –Ò˛Ù· ÂÈΛ„ÔıÏ ›Ì·Û˝ÌÔÎÔ Ôı ÏÔÒÂfl Ì· ÙÂËÂfl Û ›Ì· ÒÔÚ ›Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘfl· Ï ٷ ‰ıÌ·Ù‹·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ. ¡ÔÙ›ÎÂÛÏ· Û ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ ÂflÌ·È Ô˜Ò¸ÌÔÚ Ôı ··ÈÙÂflÙ·È „È· ÙÁ ÛÙ·ËÂÒÔÔflÁÛÁ ÂÌ¸Ú ·Ù¸ÏÔı. ¡ıÙ¸Ú ÏÔÒÂfl Ì·ÂflÌ·È ÔÔÈÔÛ‰fiÔÙ ËÂÙÈÍ¸Ú Ò·„Ï·ÙÈÍ¸Ú ·ÒÈËϸÚ, ·flÒÌÔıÏ ÎÔÈ¸Ì Û·Ì ÙԉȋÛÙÁÏ· [0,∞) ÛÙÁÌ Ò·„Ï·ÙÈÍfi ÂıËÂfl·. ¡¸ ÙÁ ÛıÊfiÙÁÛÁ Ôı ÒÔÁ„fiËÁ͈·flÌÂÙ·È ÎÔ„È͸ Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘflÛÔıÏ ÛÙÔ ‰È‹ÛÙÁÏ· [t0, t1] ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ·(e−λt0 − e−λt1). ≈ȉÈ͸ÙÂÒ·, ·Ì t0 = t1 = t, ٸ٠ÙÔ ‰È‹ÛÙÁÏ· Â͈ıÎflÊÂÙ·È ÛÙÔÛ˝ÌÔÎÔ {t} Í·È Á È˷̸ÙÁÙ· Ôı ·ÌÙÈÛÙÔȘÂfl Û ·ıÙ¸ ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ ÂflÌ·È 0.

”ÙÔ ÒÔÁ„Ô˝ÏÂÌÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï‹ Ï·Ú, ÙÔ Âfl˜Â ÂÂÒ·Ûϛ̷ ÙÔ ÎfiËÔÚ ÛÁÏÂfl·.≈‰˛ ¸Ï˘Ú, ÙÔ ›˜ÂÈ ıÂÒ·ÒÈËÏfiÛÈÏ· ‹ÂÈÒ· ÙÔ ÎfiËÔÚ ÛÁÏÂfl· Í·È Í‹Ë ÛÁÏÂflÔ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ· 0. √È· Ïfl· ·Í¸Ï· ˆÔÒ‹ ·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ¸ÙÈ P () = 1 Í·È P (∅) = 0.¡Ú ıÔË›ÛÔıÏ ¸ÙÈ A Í·È B ÂflÌ·È ‰˝Ô ӛ̷ ‰È·ÛÙfiÏ·Ù·. ‘¸ÙÂ Ô Î¸„ÔÚ Ù˘Ì·Ù¸Ï˘Ì Ôı ‰È·Û˛ÌÙ·È ÛÙÔ ˜ÒÔÌÈ͸ ‰È‹ÛÙÁÏ· A ∪ B ÂflÌ·È ÙÔ ‹ËÒÔÈÛÏ· ÙÔıθ„Ôı ·ıÙ˛Ì Ôı ‰È·Û˛ÌÙ·È ÛÙÔ ˜ÒÔÌÈ͸ ‰È‹ÛÙÁÏ· A Í·È ÙÔı θ„Ôı ·ıÙ˛Ì Ôı‰È·Û˛ÌÙ·È ÛÙÔ ˜ÒÔÌÈ͸ ‰È‹ÛÙÁÏ· B. –·Ò·ÙÁÒ˛ÌÙ·Ú ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ÒÔÛËÂÙÈ͸ÙÁÙ·,ÊÁÙ‹Ï ÛÙÔ Ï·ËÁÏ·ÙÈ͸ Ï·Ú ÏÔÌÙ›ÎÔ ÙÔ A∪B Ì· ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ· P (A) + P (B).à‹Îη θ„È·, ÛÙÔ Ï·ËÁÏ·ÙÈ͸ Ï·Ú ÏÔÌÙ›ÎÔ Ë›ÎÔıÏ ̷ ÈÛ˜˝ÂÈ Á

P (A ∪B) = P (A) + P (B)

·Ì A Í·È B ÂflÌ·È ‰˝Ô ӛ̷ ‰È·ÛÙfiÏ·Ù·.

1.2. ◊˛ÒÔÈ È˷̸ÙÁÙ·Ú

”ÍÔ¸Ú Ï·Ú Û ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ·Ò‹„Ò·ˆÔ ÂflÌ·È Ì· ÔÒflÛÔıÏ ÙÁÌ ÙıÈÍfi Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi‰ÔÏfi, Ôı Λ„ÂÙ·È ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú, Á ÔÔfl· Ë· ·ÔÙÂΛÛÂÈ ÙÁ ‚‹ÛÁ „È· ÙÁÏ·ËÁÏ·ÙÈÍfi ÏÂΛÙÁ Ù˘Ì Ùı˜·fl˘Ì ˆ·ÈÌÔÏ›Ì˘Ì.

÷·ÌÙ·ÛÙÂflÙ ͋ÔÈÔ Ò·„Ï·ÙÈ͸ fi ˆ·ÌÙ·ÛÙÈ͸ ÂflÒ·Ï· ÙÔ ÔÔflÔÒÔÛ·ËÔ˝Ï ̷ ÏÔÌÙÂÎÔÔÈfiÛÔıÏÂ. ‘Ô Ò˛ÙÔ Ò‹„Ï· Ôı ›˜ÔıÏ ̷ Í‹ÌÔıÏÂÂflÌ·È Ì· ·Ôˆ·ÛflÛÔıÏ ٷ ‰ıÌ·Ù‹ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ. ƒÂÌ ›˜ÂÈȉȷflÙÂÒÁ ÛÁÏ·Ûfl· ·Ì ÛÙÁ ÏÂΛÙÁ Ï·Ú Ë· ·Ô‰Â˜ÙÔ˝Ï ÂÒÈÛ¸ÙÂÒ· Ò‹„Ï·Ù· ·¸·ıÙ‹ Ôı ÏÔÒÂfl Ò·„Ï·ÙÈÍ‹ Ì· ÛıÏ‚Ô˝Ì, Ë›ÎÔıÏ ¸Ï˘Ú Ì· ÂÓ·Ûˆ·ÎflÛÔıÏ ¸ÙȉÂÌ Ë· ·ÔÍÎÂÈÛÙÔ˝Ì Ò‹„Ï·Ù· Ôı Ë· ÏÔÒÔ˝Û ̷ ÛıÏ‚Ô˝Ì. ¡¸ ÙÁ ÛÙÈ„Ïfi

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 7

Ôı Ë· ·Ôˆ·ÛflÛÔıÏ „È· Ù· ‰ıÌ·Ù‹ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù·, ÂÈΛ„ÔıÏ ›Ì· Û˝ÌÔÎÔ ÙÔı ÔÔflÔı Ù· ÛÁÏÂfl· ω Û˜ÂÙflÊÔÌÙ·È Ï ·ıÙ‹ Ù· ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù·. ¡¸ ÙÁÌ Í·Ë·Ò‹Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi ¸Ï˘Ú ‹Ô¯Á, ÙÔ ÂflÌ·È ·Î˛Ú ›Ì· ·ˆÁÒÁÏ›ÌÔ Û˝ÌÔÎÔ ÛÁÏÂfl˘Ì.

”ÙÁ ÛıÌ›˜ÂÈ· ·flÒÌÔıÏ Ïfl· ÏÁ ÍÂÌfi ÛıÎÎÔ„fi A ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı ÁÔÔfl· Ò¸ÍÂÈÙ·È Ì· ·Ì··Ò·ÛÙfiÛÂÈ ÙÁÌ ÛıÎÎÔ„fi Ù˘Ì ((Ẩ˜ÔÏ›Ì˘Ì)) ÛÙ·ÔÔfl· ÂÈËıÏÔ˝Ï ̷ ·ÌÙÈÛÙÔȘflÛÔıÏ È˷̸ÙÁÙÂÚ. ≈Ó ÔÒÈÛÏÔ˝ Ù˛Ò·, Ï ÙÔ̸ÒÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÂÌÌÔÔ˝Ï ›Ì· Û˝ÌÔÎÔ A ÛÙÁÌ A. « Ò¸Ù·ÛÁ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔA ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÛÁÏ·flÌÂÈ ¸ÙÈ ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·Ù¸Ú Ï·Ú ·Ì··ÒflÛٷٷȷ¸ Í‹ÔÈÔ ÛÁÏÂflÔ ω ∈ A. –‹ÎÈ, ·¸ ÙÁÌ Í·Ë·Ò‹ Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi ‹Ô¯Á, ÙÔ AÂflÌ·È ·Î˛Ú ÏÈ· Í·ËÔÒÈÛÏ›ÌÁ ÛıÎÎÔ„fi ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı . øÌÔ ÛÂ Û˝ÌÔηA ∈ A, ‰Áη‰fi Û Ẩ˜¸ÏÂÌ·, ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÔÌÙ·È È˷̸ÙÁÙÂÚ. ”ÙÔ ÏÔÌÙ›ÎÔÙÔı –·Ò·‰Âfl„Ï·ÙÔÚ 1, Á A ·ÔÙÂÎÂflÙ·È ·¸ ¸Î· Ù· ıÔÛ˝ÌÔη ÙÔı . ”ÙÁ„ÂÌÈÍfi ÂÒflÙ˘ÛÁ Ôı ÙÔ ‰ÂÌ ›˜ÂÈ ÂÂÒ·Ûϛ̷ ÙÔ ÎfiËÔÚ ÛÁÏÂfl·, ¸˘Ú ÛÙÔ–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 2, ÏÔÒÂfl Ì· ÏÁÌ ÂflÌ·È ‰ıÌ·Ù¸Ì Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÙÁÌ A Í·Ù"·ıÙ¸Ì ÙÔÌÙÒ¸Ô.

‘Ô Â¸ÏÂÌÔ ÂÒ˛ÙÁÏ· ÂflÌ·È, ÔÈ· Ò›ÂÈ Ì· ÂflÌ·È Á ÛıÎÎÔ„fi A. ≈flÌ·È ÔνÎÔ„È͸ Ì· ··ÈÙfiÛÔıÏ Á A Ì· ÂflÌ·È ÍÎÂÈÛÙfi ˘Ú ÒÔÚ ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÂÚ ÂÌ˛ÛÂÈÚ Í·ÈÂÂÒ·ÛÏ›ÌÂÚ ÙÔÏ›Ú, Í·Ë˛Ú Í·È ˘Ú ÒÔÚ ÛıÏÎÁÒ˛Ï·Ù·. √È· ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·, ·Ì AÍ·È B ÂflÌ·È ‰˝Ô Ẩ˜¸ÏÂÌ·, ٸ٠ÙÔ A ∪ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ ·Ì ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔıÂÈÒ‹Ï·Ù¸Ú Ï·Ú ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ÂflÙ ·¸ ÛÁÏÂflÔ ÛÙÔ A ÂflÙ ·¸ ÛÁÏÂflÔ ÛÙÔ B.–ÒÔˆ·Ì˛Ú, Ù¸ÙÂ, ·Ì ›˜ÂÈ Ì¸ÁÏ· Ì· ÛıÊÁÙ‹Ï „È· ÙÈÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ì· ÛıÏ‚·flÌÔıÌÙ· A Í·È B, Ò›ÂÈ Ì· ›˜ÂÈ Ì¸ÁÏ· Ì· ÛıÊÁÙ‹ÏÂ Í·È „È· ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· Ì·ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÂflÙ ÙÔ A ÂflÙ ÙÔ B, ‰Áη‰fi Ì· ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A∪B. ¡ˆÔ˝ÏÈ΋Ï ϸÌÔ „È· ÙÈÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ÛıÌ¸Î˘Ì Ôı ·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÁÌ A, ÂflÏ·ÛÙÂıÔ˜ÒÂ˘Ï›ÌÔÈ Ì· ··ÈÙfiÛÔıÏ ¸ÙÈ ÙÔ A ∪B ·ÌfiÍÂÈ ÛÙÁÌ A ·Ì Ù· A Í·È B ÂflÌ·ÈÛÙÔȘÂfl· ÙÁÚ A. ‘˛Ò·, ÙÔ A ∩ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ ·Ì ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·Ù¸ÚÏ·Ú ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ Í‹ÔÈÔ ÛÁÏÂflÔ Ôı ·ÌfiÍÂÈ Ù¸ÛÔ ÛÙÔ A ¸ÛÔ Í·È ÛÙÔ B.¡Ì‹ÎÔ„ÔÚ ÛıÎÎÔ„ÈÛÏ¸Ú Ï ·ıÙ¸Ì Ôı ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈfiÛ·Ï „È· ÙÔ A ∪ B Ï·Ú ÂflËÂȸÙÈ Ò›ÂÈ Ì· ›˜ÔıÏ A ∩ B ∈ A ÔÔÙ‰fiÔÙ A,B ∈ A. ‘›ÎÔÚ, Λ„ÔÌÙ·Ú ¸ÙÈÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A ‰ÂÌ ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÂÌÌÔÔ˝Ï ¸ÙÈ ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÔı ÂÈÒ‹Ï·Ù¸Ú Ï·Ú‰ÂÌ ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ ÛÁÏÂflÔ ÛÙÔ A, ÂÔÏ›Ì˘Ú ·Ì··ÒflÛÙ·Ù·È ·¸ Í‹ÔÈÔÛÁÏÂflÔ ÛÙÔ Ac. »· fiÙ·Ì ·ÒÍÂÙ‹ ÂÒflÂÒ„Ô Ì· ΛÏ ¸ÙÈ ÂÈÙÒ›ÂÙ·È Ì· ÏÈ΋Ï „È·ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· ÙÔı A ·Î΋ ¸˜È ÙÔı Ac. »· ÊÁÙ‹Ï ÎÔÈ¸Ì ·Ì ÙÔ A ÂflÌ·È ÛÙÁÌA Ì· ÂflÌ·È Í·È ÙÔ Ac.

∏˜ÔıÏ ›ÙÛÈ Í·Ù·ÎfiÓÂÈ ÛÙÔ ÛıϛҷÛÏ· ¸ÙÈ Á A Ò›ÂÈ Ì· ÂflÌ·È Ïfl· ÏÁ ÍÂÌfiÛıÎÎÔ„fi ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı Ôı ›˜ÂÈ ÙÈÚ ÂÓfiÚ È‰È¸ÙÁÙÂÚ:

(i) ¡Ì ÙÔ A ·ÌfiÍÂÈ ÛÙÁÌ A, ÙÔ fl‰ÈÔ ÈÛ˜˝ÂÈ „È· ÙÔ Ac.

(ii) ¡Ì Ù· A Í·È B ·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÁÌ A, ÙÔ fl‰ÈÔ ÈÛ˜˝ÂÈ „È· Ù· A ∪B Í·È A ∩ B.

∏Ì· ·Î¸ ·„˘„È͸ ÂȘÂflÒÁÏ· ‰Âfl˜ÌÂÈ ¸ÙÈ ·Ì A1, A2, . . . , An ÂflÌ·È Û˝ÌÔηÛÙÁÌ A, ٸ٠ÙÔ fl‰ÈÔ ÈÛ˜˝ÂÈ Í·È „È· Ù·

⋃ni=1

Ai Í·È⋂n

i=1Ai. ≈‰˛ ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈÔ˝ÏÂ

ÙÈÚ ÛıÌÙÏfiÛÂÈÚ

8 �≈÷¡À¡…œ 1

n⋃

i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

Í·Èn⋂

i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An.

≈flÛÁÚ, ·ˆÔ˝ A ∩ Ac = ∅ Í·È A ∪ Ac = , ‚ΛÔıÏ ¸ÙÈ Ù¸ÛÔ ÙÔ ÍÂ̸ Û˝ÌÔÎÔ ∅¸ÛÔ Í·È ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ Ò›ÂÈ Ì· ·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÁÌ A.

Ãfl· ÏÁ ÍÂÌfi ÛıÎÎÔ„fi ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÂÌ¸Ú Ûı̸ÎÔı Ôı ÂflÌ·È ÍÎÂÈÛÙfi ˘ÚÒÔÚ ÙÈÚ ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÂÚ ÛıÌÔÎÔË¢ÒÁÙÈÍ›Ú Ò‹ÓÂÈÚ Î›„ÂÙ·È ‹Î„‚ҷ ıÔÛıÌ¸Î˘ÌÙÔı . ÃÔÈ‹ÊÂÈ ÎÔÈ¸Ì ÎÔ„È͸ Ì· ··ÈÙfiÛÔıÏ ¸ÙÈ Á A ÂflÌ·È ÏÈ· ‹Î„‚ҷıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı . √È· Ï·ËÁÏ·ÙÈÍÔ˝Ú ¸Ï˘Ú θ„ÔıÚ, ÙÔ Ì· ··ÈÙfiÛÔıÏ Á AÌ· ÂflÌ·È ·Î˛Ú ‹Î„‚ҷ ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı ÂflÌ·È ·Ì·ÒÍ›Ú. ¡ıÙ¸ Ôı Ë···ÈÙfiÛÔıÏ ·¸ ÙÁÌ ÔÈÍÔ„›ÌÂÈ· A ÂflÌ·È ÈÛ˜ıÒ¸ÙÂÒÔ. »· ÊÁÙfiÛÔıÏ Á A Ì·ÂflÌ·È ÍÎÂÈÛÙfi ¸˜È ϸÌÔ ˘Ú ÒÔÚ ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÂÚ ÛıÌÔÎÔË¢ÒÁÙÈÍ›Ú Ò‹ÓÂÈÚ ·ÎÎ‹Í·È ˘Ú ÒÔÚ ‹ÂÈÒÂÚ ·ÒÈËÏfiÛÈÏÂÚ ÛıÌÔÎÔË¢ÒÁÙÈÍ›Ú Ò‹ÓÂÈÚ. à‹Îη θ„È·, ·Ì{An}, n ≥ 1, ÂflÌ·È ÏÈ· ·ÍÔÎÔıËfl· ÛıÌ¸Î˘Ì ÛÙÁÌ A, ··ÈÙÔ˝Ï ̷ ÈÛ˜˝ÔıÌ ÔÈ

∞⋃

n=1

An ∈ A ,∞⋂

n=1

An ∈ A.

≈‰˛ ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈÔ˝Ï ÙÁ Û˝ÌÙÏÁÛÁ

∞⋃

n=1

An = A1 ∪A2 ∪ . . .

„È· ÙÁÌ ›Ì˘ÛÁ ¸Î˘Ì Ù˘Ì ÛıÌ¸Î˘Ì ÙÁÚ ·ÍÔÎÔıËfl·Ú, Í·È ÙÁÌ

∞⋂

n=1

An = A1 ∩A2 ∩ . . .

„È· ÙÁÌ ÙÔÏfi ¸Î˘Ì Ù˘Ì ÛıÌ¸Î˘Ì ÙÁÚ ·ÍÔÎÔıËfl·Ú. Ãfl· ÛıÎÎÔ„fi ıÔÛıÌ¸Î˘Ì Â̸ÚÛı̸ÎÔı Ôı ÂflÌ·È ÍÎÂÈÛÙfi ˘Ú ÒÔÚ ·ÒÈËÏfiÛÈÏÂÚ Ò‹ÓÂÈÚ ÛıÌ¸Î˘Ì Î›„ÂÙ·Èσ-‹Î„‚ҷ ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı . (‘Ô „Ò‹ÏÏ· σ Ï·flÌÂÈ ÏÒÔÛÙ‹ „È· Ì· ‰È·ÍÒflÌÂÈÏfl· Ù›ÙÔÈ· ÛıÎÎÔ„fi ·¸ ÙÁÌ ‹Î„‚ҷ ıÔÛıÌ¸Î˘Ì.) –ȸ ÙıÈÍ‹ ›˜ÔıÏ ÙÔÌ ÂÓfiÚÔÒÈÛϸ:

œÒÈÛÏ¸Ú 1 Ãfl· ÏÁ ÍÂÌfi ÛıÎÎÔ„fi A ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÂÌ¸Ú Ûı̸ÎÔı Λ„ÂÙ·Èσ-‹Î„‚ҷ ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı ·Ì ÈÛ˜˝ÔıÌ ÔÈ ·Ò·Í‹Ù˘ ‰˝Ô ȉȸÙÁÙÂÚ:

(i) ¡Ì ÙÔ A ·ÌfiÍÂÈ ÛÙÁÌ A, Ù¸ÙÂ ÙÔ Ac ÂflÌ·È ÛÙÁÌ A.

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 9

(ii) ¡Ì ÙÔ An ·ÌfiÍÂÈ ÛÙÁÌ A, n = 1, 2, . . ., Ù¸ÙÂ Ù·⋃∞

n=1An Í·È

⋂∞

n=1An ÂflÌ·È

Í·È Ù· ‰˝Ô ÛÙÁÌ A.

≈Ò˜¸Ï·ÛÙÂ Ù˛Ò· ÛÙÁÌ ·¸‰ÔÛÁ ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ÛÙ· Ẩ˜¸ÏÂÌ·. º˘Ú ›„È̈·ÌÂÒ¸ ·¸ Ù· ·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· ÙÁÚ ÒÔÁ„Ô˝ÏÂÌÁÚ ·Ò·„Ò‹ˆÔı, Á È˷̸ÙÁÙ· Â̸ÚẨ˜ÔÏ›ÌÔı ÂflÌ·È ›Ì·Ú ÏÁ ·ÒÌÁÙÈÍ¸Ú Ò·„Ï·ÙÈÍ¸Ú ·ÒÈËϸÚ. √È· Í‹Ë Ẩ˜¸ÏÂÌÔA, Ë· ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ ·ıÙ¸Ì ÙÔÌ ·ÒÈËϸ Ï P (A). ‘¸Ù 0 ≤ P (A) ≤ 1. ”ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ ÙÔ ÔÔflÔ ·Ì··ÒÈÛÙ‹ Í‹Ë ‰ıÌ·Ù¸ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ·, Ë· Ò›ÂÈ ÒÔˆ·Ì˛Ú Ì··Ô‰ÔËÂfl Ô ·ÒÈËÏ¸Ú 1, ‰Áη‰fi P () = 1. ”ÙÁ ÛıÊfiÙÁÛÁ ÙÔı –·Ò·‰Âfl„Ï·ÙÔÚ 1‰ÂflÓ·Ï ¸ÙÈ Á È˷̸ÙÁÙ· Ù˘Ì Ẩ˜ÔÏ›Ì˘Ì ›˜ÂÈ ÙÁÌ È‰È¸ÙÁÙ· ·Ì A Í·È B Âfl̷ȉ˝Ô ӛ̷ Ẩ˜¸ÏÂÌ· ٸ٠P (A ∪ B) = P (A) + P (B). ºÏÔÈ·, ÛÙÔ –·Ò‹‰ÂÈ„Ï·2 ‰ÂflÓ·Ï ¸ÙÈ ·Ì A Í·È B ÂflÌ·È ‰˝Ô ӛ̷ ‰È·ÛÙfiÏ·Ù·, ٸ٠˷ ›Ò ‹ÎÈ Ì·ÊÁÙfiÛÔıÏ ÙÁÌ

P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

ÃÔÈ‹ÊÂÈ ÎÔÈ¸Ì ÎÔ„È͸ Ì· ··ÈÙfiÛÔıÏ „ÂÌÈÍ‹ ¸ÙÈ ·Ì A Í·È B ÂflÌ·È Ó›Ì·Ẩ˜¸ÏÂÌ· ٸ٠P (A ∪ B) = P (A) + P (B). à·„˘„fi, Ë· ÒÔ›ÍıÙ ٸÙ¸ÙÈ ·Ì A1, A2, . . . , An ÂflÌ·È n ӛ̷ ·Ì‹ ‰˝Ô Û˝ÌÔη (‰Áη‰fi, ·Ì Ai ∩ Aj = ∅ÔÔÙ‰fiÔÙ i 6= j), Ù¸ÙÂ

P

(n⋃

i=1

Ai

)

=

n∑

i=1

P (Ai).

√È· ÙÁÌ ·ÍÒfl‚ÂÈ·, ‹ÎÈ „È· Ï·ËÁÏ·ÙÈÍÔ˝Ú Î¸„ÔıÚ, Ë· ··ÈÙfiÛÔıÏ ·ıÙfi ÁÒÔÛËÂÙÈÍfi ȉȸÙÁÙ· Ì· ÈÛ˜˝ÂÈ „È· ·ÒÈËÏfiÛÈÏÂÚ ÛıÎÎÔ„›Ú Ó›Ì˘Ì Ẩ˜ÔÏ›Ì˘Ì.

œÒÈÛÏ¸Ú 2. ∏Ì· Ï›ÙÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú P Û Ïfl· σ-‹Î„‚ҷ A ıÔÛıÌ¸Î˘Ì Â̸ÚÛı̸ÎÔı ÂflÌ·È ÏÈ· Ò·„Ï·ÙÈÍfi ÛıÌ‹ÒÙÁÛÁ Ï ‰flÔ ÔÒÈÛÏÔ˝ ÙÁÌ A, Ôı ›˜ÂÈÙÈÚ ÂÓfiÚ È‰È¸ÙÁÙÂÚ:

(i) P () = 1.(ii) P (A) ≥ 0 „È· Í‹ËÂ A ∈ A.

(iii) ¡Ì An, n = 1, 2, 3, . . ., ÂflÌ·È Ó›Ì· ·Ì‹ ‰˝Ô Û˝ÌÔη ÛÙÁÌ A, Ù¸ÙÂ

P

(∞⋃

n=1

An

)

=

∞∑

n=1

P (An).

∏Ì·Ú ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú (,A, P ) ÂflÌ·È Ïfl· ÙÒÈ‹‰· Ôı ·ÔÙÂÎÂflÙ·È·¸ ›Ì· Û˝ÌÔÎÔ , Ïfl· σ-‹Î„‚ҷ A ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı , Í·È ›Ì· Ï›ÙÒÔÈ˷̸ÙÁÙ·Ú ÔÒÈÛÏ›ÌÔ ÛÙÁÌ A.

≈flÌ·È Ôν ½ÍÔÎÔ Ì· ‚ÒÔ˝Ï ›Ì·Ì ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ôı Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘÂfl ÛÙÔÂflÒ·Ï· ÙÁÚ ÂÈÎÔ„fiÚ ÂÌ¸Ú ‚˛ÎÔı ·¸ ›Ì· ‰Ô˜ÂflÔ. œıÛÈ·ÛÙÈÍ‹ ÙÔÌ ÂÒÈ„Ò‹¯·ÏÂ

10 �≈÷¡À¡…œ 1

¸Ù·Ì ÛıÊÁÙÔ˝Û·Ï ·ıÙ¸ ÙÔ ÂflÒ·Ï·. ¡Î˛Ú ·flÒÌÔıÏÂ Û·Ì ›Ì· ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÔÛ˝ÌÔÎÔ Ï s ÛÙÔȘÂfl·, Û·Ì A ÙÁ ÛıÎÎÔ„fi ¸Î˘Ì Ù˘Ì ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı , Í·È Û·ÌP ÙÔ Ï›ÙÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ôı ·ÌÙÈÛÙÔȘÂfl ÛÙÔ A ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· P (A) = j/s ·ÌÙÔ A ›˜ÂÈ ·ÍÒÈ‚˛Ú j ÛÙÔȘÂfl·.

¡Ú ‰Ô˝ÏÂ Ù˛Ò· ÙÔÌ ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ôı ·ÌÙÈÛÙÔȘÂfl ÛÙÔ ÂflÒ·Ï· ÙÁډȋ۷ÛÁÚ ÙÔı ÈÛÔÙ¸Ôı (–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 2). ≈‰˛ ÂflÌ·È ‚›‚·È· ˆ·ÌÂÒ¸ ¸ÙÈ =[0,∞), ‰ÂÌ ÂflÌ·È ¸Ï˘Ú ͷ˸ÎÔı ÒÔˆ·Ì›Ú ÔÈ· Ò›ÂÈ Ì· ÂflÌ·È Ù· A Í·ÈP . –Ò‹„Ï·ÙÈ, ¸˘Ú Ë· ‰Ô˝Ï ÈÔ Í‹Ù˘, ·ıÙ¸ ‰ÂÌ ÂflÌ·È Í·Ë¸ÎÔı ÙÂÙÒÈÏÏ›ÌÔÒ¸‚ÎÁÏ·, Í·È Á ÎfiÒÁÚ ÂflÎıÛfi ÙÔı ··ÈÙÂfl Í‹ÔÈ· ‚·Ë˝ÙÂÒ· ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù·ÙÁÚ Ë¢Òfl·Ú ÛıÌ¸Î˘Ì Ôı ÂflÌ·È ›Ó˘ ·¸ ÙÔıÚ ÛÍÔÔ˝Ú ·ıÙÔ˝ ÙÔı ‚È‚ÎflÔı.

∏Ì· ¸Ï˘Ú Ò‹„Ï· ÂflÌ·È Û·ˆ›Ú: ¸˘Ú ÍÈ ·Ì ÂÈΛÓÔıÏ ٷ A Í·È P , Á A Ò›ÂÈÌ· ÂÒÈ›˜ÂÈ ¸Î· Ù· ‰È·ÛÙfiÏ·Ù·, Í·È ÙÔ P Ò›ÂÈ Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÂÈ È˷̸ÙÁÙ·(e−λt0 − e−λt1) ÛÙÔ ‰È‹ÛÙÁÏ· [t0, t1] ·Ì Ë›ÎÔıÏÂ Ô ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ÔıÍ·Ù·ÛÍÂı‹ÊÔıÏ ̷ ·ÌÙÈÍ·ÙÔÙÒflÊÂÈ ÙÁÌ ˆıÛÈÍfi Í·Ù‹ÛÙ·ÛÁ. ‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· ÙÁÚÍ·Ù·ÛÍÂıfiÚ ÙÔı ˜˛ÒÔı ‰È·Ùı˛ÌÂÙ·È ÎÔÈ¸Ì ·ıÛÙÁÒ‹ ˘Ú ÂÓfiÚ. ’‹Ò˜ÔıÌ σ-‹Î„‚ҷ A Ôı ÂÒÈ›˜ÂÈ ¸Î· Ù· ‰È·ÛÙfiÏ·Ù· Í·È Ï›ÙÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú P ÔÒÈÛÏ›ÌÔÛÙÁÌ A Ôı Û ͋Ë ‰È‹ÛÙÁÏ· A Ì· ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÂÈ ÙÁÌ ·Ò·‹Ì˘ È˷̸ÙÁÙ·P (A); ≈Ò˘ÙfiÏ·Ù· ·ıÙÔ˝ ÙÔı Âfl‰ÔıÚ ·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÁÌ ÂÈÍÒ‹ÙÂÈ· ÂÌ¸Ú Í΋‰ÔıÙ˘Ì ·Ì˛ÙÂÒ˘Ì Ï·ËÁÏ·ÙÈÍ˛Ì Ôı Λ„ÂÙ·È Ë¢Òfl· Ï›ÙÒÔı, Í·È ‰ÂÌ ÏÔÒÔ˝ÏÂÌ· Ù· ·ÌÙÈÏÂÙ˘flÛÔıÏ ·ÒÍ˛Ú Ï›ÌÔÌÙ·Ú ÛÙÔ ÂflÂ‰Ô ·ıÙÔ˝ ÙÔı ‚È‚ÎflÔı.¡ÔÙÂΛÛÏ·Ù· ·¸ ÙÁ Ë¢Òfl· Ï›ÙÒÔı ‰Âfl˜ÌÔıÌ ¸ÙÈ Á ·‹ÌÙÁÛÁ ÛÙÔ Ûı„ÍÂÍÒÈÏ›ÌÔÂÒ˛ÙÁÏ·, Í·Ë˛Ú Í·È Û ‹Îη ·Ò¸ÏÔÈ·Ú ıˆfiÚ, ÂflÌ·È Ì·fl, Ô¸Ù ‰Â˜¸Ï·ÛÙ ¸ÙÈÍ·Ù·ÛÍÂı›Ú Ù›ÙÔÈÔı Âfl‰ÔıÚ ÂflÌ·È ‹ÌÙ· ‰ıÌ·Ù›Ú.

√ÂÌÈÍ‹, ‰ÂÌ Ë· ÂÏ‚·Ë˝ÌÔıÏ ÛÙÁÌ Í·Ù·ÛÍÂıfi ˜˛Ò˘Ì È˷̸ÙÁÙ·Ú. «Ï·ËÁÏ·ÙÈÍfi Ë¢Òfl· ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ·Ò˜flÊÂÈ Ï ›Ì·Ì ·ˆÁÒÁÏ›ÌÔ ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·ÚÍ·È ·Ì·Ù˝ÛÛÂÈ ÙÁ Ë¢Òfl· ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈ˛ÌÙ·Ú ÙÔÌ ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Û·Ì Î·flÛÈÔÎÂÈÙÔıÒ„fl·Ú. ¡Ì ¸Ï˘Ú ÂÓ·ÈÒ›ÛÔıÏ ÙÔÌ Ò¸ÎÔ ÙÔı Û·Ì Î·flÛÈÔ „È· ÙÔÌ ·ıÛÙÁÒ¸ÔÒÈÛϸ Ù˘Ì ‹ÎÎ˘Ì ÂÌÌÔÈ˛Ì ÙÁÚ Ë¢Òfl·Ú, Ô ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ·¸ ϸÌÔÚ ÙÔı‰ÂÌ ·flÊÂÈ Ï„‹ÎÔ Ò¸ÎÔ ÛÙÁÌ ·Ò·›Ò· ·Ì‹ÙıÓÁ ÙÔı ·ÌÙÈÍÂÈÏ›ÌÔı. ¬ÔÁËÁÙÈÍ›ÚÔÛ¸ÙÁÙÂÚ (ÂȉÈÍ‹ ÔÈ Ùı˜·flÂÚ ÏÂÙ·‚ÎÁÙ›Ú, ÏÈ· ›ÌÌÔÈ· Ôı Ë· ÛıÌ·ÌÙfiÛÔıÏ ÛÙÔ�ˆ‹Î·ÈÔ 3) „flÌÔÌÙ·È Ôν Û˝ÌÙÔÏ· ÙÔ ÍıÒfl·Ò˜Ô ˛Ϸ, Í·È Ô ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·ÚÂÒÌ‹ÂÈ ÛÙÔ ÂÒÈ˲ÒÈÔ.

»· ÔÎÔÍÎÁÒ˛ÛÔıÏ ÙÁ ÛıÊfiÙÁÛÁ ‹Ì˘ ÛÙÔıÚ ˜˛ÒÔıÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú,Í·Ù·ÛÍÂı‹ÊÔÌÙ·Ú Ïfl· ÛÁÏ·ÌÙÈÍfi Í΋ÛÁ ˜˛Ò˘Ì È˷̸ÙÁÙ·Ú, ÙÔıÚ ÔÏÔȸÏÔÒˆÔıÚ˜˛ÒÔıÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú.

ÃÂÒÈÍ‹ ·¸ Ù· ÈÔ ·ÎÈ‹ ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù· Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì ·ˆÔÒÔ˝Ì ÙÁÌ((Ùı˜·fl·)) ÂÈÎÔ„fi ÂÌ¸Ú ÛÁÏÂflÔı ·¸ ›Ì· Û˝ÌÔÎÔ S . « ‰È·flÛËÁÛfi Ï·Ú ı·„ÔÒ½ÂȸÙÈ ·Ì A Í·È B ÂflÌ·È ‰˝Ô Û˝ÌÔη Ôı ›˜ÔıÌ ÙÔ fl‰ÈÔ ((Ï›„ÂËÔÚ)) ٸ٠Á È˷̸ÙÁÙ·Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÛÁÏÂflÔ ÙÔı A ÂflÌ·È Á fl‰È· Ï ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÛÁÏÂflÔÙÔı B. ¡Ì ÙÔ S ›˜ÂÈ ÂÂÒ·Ûϛ̷ ÙÔ ÎfiËÔÚ ÛÁÏÂfl·, ÏÔÒo˝Ï ̷ ÏÂÙÒfiÛÔıÏÂÙÔ ((Ï›„ÂËÔÚ)) ÂÌ¸Ú Ûı̸ÎÔı Ï ÙÔÌ ÎÁË‹ÒÈËϸ ÙÔı. ƒ˝Ô Û˝ÌÔη ›˜ÔıÌ ÎÔȸÌÙÔ fl‰ÈÔ ((Ï›„ÂËÔÚ)) ·Ì ›˜ÔıÌ ÙÔ fl‰ÈÔ ÎfiËÔÚ ÛÁÏÂfl˘Ì. ≈flÌ·È Ôν ½ÍÔÎÔ Ì·

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 11

ˆÙÈ‹ÓÔıÏ ›Ì·Ì ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ôı ·ÌÙÈÛÙÔȘÂfl ÛÙÔ ÂflÒ·Ï· ÙÁÚ Ùı˜·fl·ÚÂÈÎÔ„fiÚ ÂÌ¸Ú ÛÁÏÂflÔı ·¸ ›Ì· Û˝ÌÔÎÔ S Ï s ÛÙÔȘÂfl·. –·flÒÌÔıÏ = S , A¸Î· Ù· ıÔÛ˝ÌÔη ÙÔı S , Í·È ·ÌÙÈÛÙÔȘflÊÔıÏ ÛÙÔ Û˝ÌÔÎÔ A ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ·P (A) = j/s ·Ì ÙÔ A ›˜ÂÈ ·ÍÒÈ‚˛Ú j ÛÁÏÂfl·. ∏Ì·Ú Ù›ÙÔÈÔÚ ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·ÚΛ„ÂÙ·È ÛıÏÏÂÙÒÈÍ¸Ú ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú „È·Ùfl Í‹Ë ÏÔÌÔÛ˝ÌÔÎÔ ›˜ÂÈ ÙÁÌ fl‰È·È˷̸ÙÁÙ· s−1. ”ÙÔ �ˆ‹Î·ÈÔ 2 Ë· ÂÈÛÙÒ›¯ÔıÏ ÛÙÁ ÏÂΛÙÁ ·ıÙ˛Ì Ù˘Ì ˜˛Ò˘Ì.

¡Ú ıÔË›ÛÔıÏÂ Ù˛Ò· ¸ÙÈ S ÂflÌ·È ÙÔ ‰È‹ÛÙÁÏ· [a, b] ÛÙÁÌ Ò·„Ï·ÙÈÍfi ÂıËÂfl·,¸Ôı −∞ < a < b < +∞. ”ÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ ·ıÙfi ˆ·flÌÂÙ·È ÎÔ„È͸ Ì· ÏÂÙÒfiÛÔıÏÂÙÔ ((Ï›„ÂËÔÚ)) ÂÌ¸Ú ıÔÛı̸ÎÔı A ÙÔı [a, b] Ï ‚‹ÛÁ ÙÔ ÏfiÍÔÚ ÙÔı. ƒ˝Ô Û˝ÌÔη›˜ÔıÌ ÙÔ fl‰ÈÔ Ï›„ÂËÔÚ ·Ì ›˜ÔıÌ ÙÔ fl‰ÈÔ ÏfiÍÔÚ. »· ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ ÙÔ ÏfiÍÔÚ Â̸ÚÛı̸ÎÔı A Ï |A|.

√È· Ì· Í·Ù·ÛÍÂı‹ÛÔıÏ ›Ì·Ì ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú „È· ÙÔ ÂflÒ·Ï· ÙÁÚ ((Ùı˜·fl·ÚÂÈÎÔ„fiÚ ÂÌ¸Ú ÛÁÏÂflÔı ·¸ ÙÔ S)), ÒÔ˜˘Ò‹Ï ¸˘Ú ÛÙÁÌ ÂÒflÙ˘ÛÁ ÙÔıÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ÙÔı ÈÛÔÙ¸Ôı. –·flÒÌÔıÏ = S , Í·È ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈ˛ÌÙ·Ú ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù·ÙÁÚ Ë¢Òfl·Ú Ï›ÙÒÔı ‚ΛÔıÏ ¸ÙÈ ı‹Ò˜ÔıÌ Ïfl· σ-‹Î„‚ҷ A ıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔıS , Í·È ›Ì· Ï›ÙÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú P ÔÒÈÛÏ›ÌÔ ÛÙÁÌ A ˛ÛÙ P (A) = |A|/|S| ·Ì ÙÔ AÂflÌ·È ‰È‹ÛÙÁÏ·.

–ȸ „ÂÌÈÍ‹, ›ÛÙ˘ S ›Ì· ıÔÛ˝ÌÔÎÔ ÙÔı r-‰È‹ÛÙ·ÙÔı ≈ıÍÎÂfl‰ÂÈÔı ˜˛ÒÔı, Ôı›˜ÂÈ ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÔ, ÏÁ ÏÁ‰ÂÌÈ͸ r-‰È‹ÛÙ·ÙÔ ¸„ÍÔ. ¡Ì A ÂflÌ·È ›Ì· ıÔÛ˝ÌÔÎÔÙÔı S , ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ ÙÔÌ ¸„ÍÔ ÙÔı A Ï |A|. ’‹Ò˜ÔıÌ Ù¸Ù Ïfl· σ-‹Î„‚ҷ AıÔÛıÌ¸Î˘Ì ÙÔı S Ôı ÂÒÈ›˜ÂÈ ¸Î· Ù· ıÔÛ˝ÌÔη ÙÔı S Ù˘Ì ÔÔfl˘Ì ÔÒflÊÂÙ·ÈÔ ¸„ÍÔÚ (ÛÙÔ Î·flÛÈÔ ÙÔı ·ÂÈÒÔÛÙÈÍÔ˝ ÎÔ„ÈÛÏÔ˝), Í·È ›Ì· Ï›ÙÒÔ È˷̸ÙÁÙ·ÚP ÔÒÈÛÏ›ÌÔ ÛÙÁÌ A ˛ÛÙ P (A) = |A|/|S| „È· Í‹Ë ٛÙÔÈÔ Û˝ÌÔÎÔ A. ∏Ì·Ú˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ·ıÙÔ˝ ÙÔı Âfl‰ÔıÚ ÛıÏ‚ÔÎflÊÂÙ·È Ï (S,A, P ), Í·È Î›„ÂÙ·ÈÔÏÔȸÏÔÒˆÔÚ ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú.

1.3. …‰È¸ÙÁÙÂÚ Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì

” ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ·Ò‹„Ò·ˆÔ, ·Ô‰ÂÈÍÌ˝ÔıÏ ͋ÔÈÂÚ ÂÈΛÔÌ È‰È¸ÙÁÙÂÚ ÙÔı Ï›ÙÒÔıÈ˷̸ÙÁÙ·Ú P Ôı ÒÔÍ˝ÙÔıÌ ·¸ ÙÔÌ ÔÒÈÛϸ ÙÔı Ï›ÙÒÔı È˷̸ÙÁÙ·Ú. œÈȉȸÙÁÙÂÚ ·ıÙ›Ú Ë· ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈÔ˝ÌÙ·È Ûı̘˛Ú ÛÙÔ ı¸ÎÔÈÔ ·ıÙÔ˝ ÙÔı ‚È‚ÎflÔı.’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ Ï·Ú ›˜ÂÈ ‰ÔËÂfl ›Ì·Ú ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú (,A, P ) Í·È ¸ÙÈ ¸Î·Ù· Û˝ÌÔη Ôı ÛıÊÁÙ‹Ï ÂflÌ·È Ẩ˜¸ÏÂÌ·, ‰Áη‰fi ÛÙÔȘÂfl· ÙÁÚ A.

√È· Í‹ËÂ Û˝ÌÔÎÔ A ÈÛ˜˝ÂÈ A ∪ Ac = , ‹Ò· „È· Ùı˜¸ÌÙ· Û˝ÌÔη A Í·È B›˜ÔıÏ ÙÁ ‰È‹Û·ÛÁ ÙÔı B

(1) B = ∩ B = (A ∪ Ac) ∩ B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B).

¡ˆÔ˝ Ù· A∩B Í·È Ac ∩B ÂflÌ·È Ó›Ì·, ·¸ ÙÁÌ (iii) ÙÔı œÒÈÛÏÔ˝ 2 ‚ΛÔıÏ ¸ÙÈ

(2) P (B) = P (A ∩ B) + P (Ac ∩B).

12 �≈÷¡À¡…œ 1

»›ÙÔÌÙ·Ú B = Í·È ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈ˛ÌÙ·Ú ÙÔ „„ÔÌ¸Ú ¸ÙÈ P () = 1, ÛıÏÂÒ·flÌÔıÏ·¸ ÙÁÌ (2) ¸ÙÈ

(3) P (Ac) = 1 −P (A).

≈ȉÈ͸ÙÂÒ· P (∅) = 1 − P (), ‹Ò·

(4) P (∅) = 0.

√È· Ïfl· ‰Â˝ÙÂÒÁ ˆ·ÒÏÔ„fi ÙÁÚ (2) ·Ú ıÔË›ÛÔıÏ ¸ÙÈ A ⊂ B. ‘¸Ù A ∩ B = A,ÂÔÏ›Ì˘Ú

(5) P (B) = P (A) + P (Ac ∩ B), αν A ⊂ B.

¡ˆÔ˝ P (Ac ∩ B) ≥ 0 ·¸ ÙÁÌ (ii), ‚ΛÔıÏ ·¸ ÙÁÌ (5) ¸ÙÈ

(6) P (B) ≥ P (A) αν A ⊂ B.

œÈ ̸ÏÔÈ ÙÔı De Morgan ÈÛ˜ıÒflÊÔÌÙ·È ¸ÙÈ ·Ì {An}, n ≥ 1, ÂflÌ·È ÏÈ· ·ÍÔÎÔıËfl·ÛıÌ¸Î˘Ì, Ù¸ÙÂ

(7)

(⋃

n

An

)c

=

(⋂

n

Acn

)

Í·È

(8)

(⋂

n

An

)c

=

(⋃

n

Acn

)

.

√È· Ì· ‰Ô˝Ï ¸ÙÈ ÈÛ˜˝ÂÈ Á (7), ·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ¸ÙÈ ω ∈(⋃

n≥1An

)c

·Ì Í·È Ï¸ÌÔ

·Ì ω /∈ An „È· Í‹Ë n. ƒÁη‰fi, ·Ì ω ∈ Acn „È· Í‹Ë n ≥ 1, fi ÈÛÔ‰˝Ì·Ï·, ·Ì

ω ∈⋂

n Acn. √È· Ì· ·Ô‰ÂflÓÔıÏ ÙÁÌ (8) ˆ·ÒϸÊÔıÏ ÙÁÌ (7) „È· ÙÁÌ {Ac

n} ͷȂΛÔıÏ ¸ÙÈ

(⋃

n

Acn

)c

=⋂

n

An,

Ô¸ÙÂ, ·flÒÌÔÌÙ·Ú ÛıÏÎÁÒ˛Ï·Ù·, Í·Ù·Îfi„ÔıÏ ÛÙÁÌ

⋃

n

Acn =

(⋂

n

An

)c

.

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 13

Ãfl· ˜ÒfiÛÈÏÁ Û˜›ÛÁ Ôı ›ÂÙ·È ·¸ ÙÈÚ (7) Í·È (3) ÂflÌ·È Á

(9) P

(⋃

n

An

)

= 1 − P

(⋂

n

Acn

)

.

‘˛Ò·,⋃

n An ÂflÌ·È ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÙÔı΋˜ÈÛÙÔÌ ›Ì· ·¸ Ù·Ẩ˜¸ÏÂÌ· An, ÂÌ˛

⋂

n Acn ÂflÌ·È ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÏÁÌ ÛıÏ‚·flÌÂÈ Í·Ì›Ì·

·¸ ·ıÙ‹. àθ„È·, Á (9) ÈÛ˜ıÒflÊÂÙ·È ¸ÙÈ Á È˷̸ÙÁÙ· Ì· ÛıÏ‚·flÌÂÈÙÔı΋˜ÈÛÙÔÌ ›Ì· ·¸ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ· An ÂflÌ·È 1 ÏÂflÔÌ ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· Ì·ÏÁÌ ÛıÏ‚·flÌÂÈ Í·Ì›Ì· ·¸ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ· An. ‘Ô ÎÂÔÌ›ÍÙÁÏ· ÙÁÚ (9) Âfl̷ȸÙÈ Û ÔÒÈÛÏ›ÌÂÚ ÂÒÈÙ˛ÛÂÈÚ ÂflÌ·È ÂıÍÔθÙÂÒÔ Ì· ıÔÎÔ„flÛÔıÏ ÙÁÌ P

(⋂

n Acn

)

·Ò‹ Ì· ıÔÎÔ„flÛÔıÏÂ ÙÁÌ P(⋃

n An

). [–·Ò·ÙÁÒfiÛÙ ¸ÙÈ ·ˆÔ˝ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ·

An ‰ÂÌ ÂflÌ·È ·Ì·„Í·ÛÙÈÍ‹ ӛ̷, ‰ÂÌ ÈÛ˜˝ÂÈ ¸ÙÈ P(⋃

n An

)=∑

n P (An).] «˜ÒfiÛÁ ÙÁÚ (9) ÂÒÈ„Ò‹ˆÂÙ·È ıÔ‰ÂÈ„Ï·ÙÈÍ‹ ÛÙÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï· Ôı ·ÍÔÎÔıËÂfl.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 3. —fl˜ÌÔıÏ ÙÒfl· ·ÏÂÒ¸ÎÁÙ·, ¸ÏÔÈ· ÌÔÏflÛÏ·Ù·. Õ· ‚ÒÂËÂfl ÁÈ˷̸ÙÁÙ· Ì· Âψ·ÌÈÛÙÔ˝Ì ÙÔı΋˜ÈÛÙÔÌ Ïfl· ˆÔÒ‹ „Ò‹ÏÏ·Ù·.

’‹Ò˜ÔıÌ ÔÍÙ˛ ‰ıÌ·Ù‹ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù· „È· ÙÔ ÂflÒ·Ï·:

Õ¸ÏÈÛÏ· 1 « « « « ‘ ‘ ‘ ‘

Õ¸ÏÈÛÏ· 2 « « ‘ ‘ « « ‘ ‘

Õ¸ÏÈÛÏ· 3 « ‘ « ‘ « ‘ « ‘

« ‰È·flÛËÁÛfi Ï·Ú ıÔ‰ÂÈÍÌ˝ÂÈ ¸ÙÈ Í·Ë›Ì· ·¸ ·ıÙ‹ Ù· ÔÍÙ˛ ·ÔÙÂΛÛÏ·Ù·Ò›ÂÈ Ì· ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ· 1/8. ∏ÛÙ˘ A1 ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÙÔ Ò˛ÙÔ Ì¸ÏÈÛÏ·Ì· Âψ·ÌflÛÂÈ „Ò‹ÏÏ·Ù·, A2 ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ Ì¸ÏÈÛÏ· Ì· Âψ·ÌflÛÂÈ„Ò‹ÏÏ·Ù·, Í·È A3 ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÙÔ ÙÒflÙÔ Ì¸ÏÈÛÏ· Ì· Âψ·ÌflÛÂÈ „Ò‹ÏÏ·Ù·. ‘ÔÒ¸‚ÎÁÏ· Ï·Ú ÊÁÙ‹ÂÈ Ì· ıÔÎÔ„flÛÔıÏ ÙÁÌ P (A1∪A2∪A3). ºÏ˘Ú, Ac

1∩Ac

2∩Ac

3=

{(K,K,K)} ‹Ò·

P (Ac1 ∩ Ac

2 ∩ Ac3) = 1/8.

¡¸ ÙÁÌ (9) ÛıÏÂÒ·flÌÔıÏ ¸ÙÈ

P (A1 ∪A2 ∪ A3) = 1 − P (Ac1 ∩ Ac

2 ∩ Ac3) = 7/8.

‘Ô ·Ófl˘Ï· (iii) Ù˘Ì Ï›ÙÒ˘Ì È˷̸ÙÁÙ·Ú Ï·Ú Î›ÂÈ ¸ÙÈ ·Ì Ù· Û˝ÌÔη A Í·È BÂflÌ·È Ó›Ì·, ٸ٠P (A∪B) = P (A)+P (B). ¡Ì Ù· A Í·È B ‰ÂÌ ÂflÌ·È ·Ì·„Í·ÛÙÈ͋ӛ̷, Ù¸ÙÂ

(10) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) −P (A ∩ B)

14 �≈÷¡À¡…œ 1

”˜fiÏ· 2

ÂÔÏ›Ì˘Ú

(11) P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B).

√È· Ì· ‰Ô˝Ï ¸ÙÈ ÈÛ˜˝ÂÈ Á (10) ·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ¸ÙÈ Ù· Û˝ÌÔη A∩Bc, A∩B, Í·ÈAc ∩B ÂflÌ·È Ó›Ì· ·Ì‹ ‰˝Ô Í·È Á ›Ì˘Ûfi ÙÔıÚ ÂflÌ·È ÙÔ A∪B (‰ÂflÙ ÙÔ ”˜fiÏ· 2).∂Ò·,

(12) P (A ∪ B) = P (A ∩ Bc) + P (Ac ∩ B) + P (A ∩ B).

ºÏ˘Ú, ·¸ ÙÁÌ (2),P (A ∩ Bc) = P (A) −P (A ∩ B)

Í·È

P (Ac ∩ B) = P (B) −P (A ∩ B).

¡ÌÙÈÍ·ËÈÛÙ˛ÌÙ·Ú ÛÙÁÌ (12), ·flÒÌÔıÏ ÙÁÌ (10).œÈ ÈÛ¸ÙÁÙÂÚ (10) Í·È (11) ÂÂÍÙÂflÌÔÌÙ·È „È· ·ıË·flÒÂÙÔ ÂÂÒ·ÛÏ›ÌÔ ÎfiËÔÚ

ÛıÌ¸Î˘Ì. « „ÂÌflÍÂıÛÁ ÙÔı Ù˝Ôı (10) ÂflÌ·È ·ÒÍÂÙ‹ ÔνÎÔÍÁ Í·È Ë· ÙÁÌÛıÊÁÙfiÛÔıÏ ÛÙÔ �ˆ‹Î·ÈÔ 2. « ·ÌÈÛ¸ÙÁÙ· (11), ¸Ï˘Ú, ÂÂÍÙÂflÌÂÙ·È Â˝ÍÔη Ï·„˘„fi Í·È ›˜ÔıÏÂ

(13) P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ≤n∑

i=1

P (Ai).

√È· Ì· ÙÔ ·Ô‰ÂflÓÔıÏÂ, ·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ¸ÙÈ ·Ì n ≥ 2, ٸ٠·¸ ÙÁÌ (11)

P (A1 ∪ . . . ∪ An) = P ((A1 ∪ . . . ∪ An−1) ∪ An)

≤P (A1 ∪ . . .∪ An−1) + P (An).

≈ÔÏ›Ì˘Ú, ·Ì ÈÛ˜˝ÂÈ Á (13) „È· n− 1 Û˝ÌÔη, ٸ٠ÈÛ˜˝ÂÈ „È· n Û˝ÌÔη. ¡ˆÔ˝ Á(13) ÒÔˆ·Ì˛Ú ÈÛ˜˝ÂÈ „È· n = 1, ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ·Ô‰ÂÈÍÌ˝ÂÙ·È Ï ·„˘„fi.

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 15

Û˜ÒÈ Ù˛Ò· ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈfiÛ·Ï ϸÌÔ ÙÔ „„ÔÌ¸Ú ¸ÙÈ ›Ì· Ï›ÙÒÔÈ˷̸ÙÁÙ·Ú ÂflÌ·È ÂÂÒ·Ûϛ̷ ÒÔÛËÂÙÈ͸. ”ÙÔ Â¸ÏÂÌÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ‹ Ï·Ú Ë·˜ÒÁÛÈÏÔÔÈfiÛÔıÏ ÙÁÌ ·ÒÈËÏfiÛÈÏÁ ÒÔÛËÂÙÈ͸ÙÁÙ·.

»Â˛ÒÁÏ· 1. »Â˘ÒÔ˝Ï ٷ Ẩ˜¸ÏÂÌ· An, n ≥ 1.

(i) ¡Ì A1 ⊂ A2 ⊂ . . . Í·È A =⋃∞

n=1An, Ù¸ÙÂ

(14) limn→∞

P (An) = P (A).

(ii) ¡Ì A1 ⊃ A2 ⊃ . . . Í·È A =⋂∞

n=1An, ٸ٠ÈÛ˜˝ÂÈ ‹ÎÈ Á (14).

¡¸‰ÂÈÓÁ ÙÔı (i). ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ A1 ⊂ A2 ⊂ . . . Í·È A =⋃∞

n=1An. »›ÙÔıÏÂ

B1 = A1, Í·È „È· Í‹Ë n ≥ 2, ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ Ï Bn ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ Ù˘Ì ÛÁÏÂfl˘Ì Ôı·ÌfiÍÔıÌ ÛÙÔ An ·Î΋ ¸˜È ÛÙÔ An−1, ‰Áη‰fi Bn = An ∩ Ac

n−1. ∏Ì· ÛÁÏÂflÔ ω

·ÌfiÍÂÈ ÛÙÔ Bn ·Ì Í·È Ï¸ÌÔ ·Ì ÙÔ ω ÂflÌ·È ÛÙÔ A Í·È ÙÔ An ÂflÌ·È ÙÔ Ò˛ÙÔÛ˝ÌÔÎÔ ÙÁÚ ·ÍÔÎÔıËfl·Ú A1, A2, . . . Ôı ÂÒÈ›˜ÂÈ ÙÔ ω. ¡¸ ÙÔÌ ÔÒÈÛϸ ÙÔıÚ, Ù·Û˝ÌÔη Bn ÂflÌ·È Ó›Ì·,

An =

n⋃

i=1

Bi,

Í·È

A =∞⋃

i=1

Bi.

≈ÔÏ›Ì˘Ú,

P (An) =

n∑

i=1

P (Bi)

Í·È

P (A) =

∞∑

i=1

P (Bi).

ºÏ˘Ú

limn→∞

n∑

i=1

P (Bi) =

∞∑

i=1

P (Bi)

·¸ ÙÔÌ ÔÒÈÛϸ ÙÔı ·ËÒÔflÛÏ·ÙÔÚ ‹ÂÈÒÁÚ ÛÂÈÒ‹Ú. ¡¸ ÙÁÌ (15) ›ÂÙ·È ¸ÙÈ

limn→∞

P (An) = limn→∞

n∑

i=1

P (Bi)

=

∞∑

i=1

P (Bi) = P (A),

16 �≈÷¡À¡…œ 1

‰Áη‰fi ÈÛ˜˝ÂÈ Á (14).

¡¸‰ÂÈÓÁ ÙÔı (ii). ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . Í·È A =⋂∞

n=1An. ‘¸ÙÂ

Ac1⊂ Ac

2⊂ . . . Í·È ·¸ ÙÁÌ (8)

Ac =

∞⋃

n=1

Acn.

∏ÙÛÈ, ·¸ ÙÔ (i) ÙÔı Ë¢ÒfiÏ·ÙÔÚ

(16) limn→∞

P (Acn) = P (Ac).

¡ˆÔ˝ P (Acn) = 1 − P (An) Í·È P (Ac) = 1 − P (A), ·¸ ÙÁÌ (16) ›ÂÙ·È ¸ÙÈ

limn→∞

P (An) = limn→∞

(1 − P (Acn))

= 1 − limn→∞

P (Acn)

= 1 − P (Ac) = P (A),

Ô¸Ù Á (14) ÈÛ˜˝ÂÈ ‹ÎÈ. �

1.4. ƒÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ·

∏Ì· ‰Ô˜ÂflÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ r ͸ÍÍÈÌÔıÚ ‚˛ÎÔıÚ Ôı ˆ›ÒÔıÌ ÙÔıÚ ·ÒÈËÏÔ˝Ú 1, 2, . . . , rÍ·È b Ï·˝ÒÔıÚ ‚˛ÎÔıÚ Ôı ˆ›ÒÔıÌ ÙÔıÚ ·ÒÈËÏÔ˝Ú 1, 2, . . . , b. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ ÁÈ˷̸ÙÁÙ· ÂÈÎÔ„fiÚ Í‹Ë ‚˛ÎÔı ÂflÌ·È (b + r)−1. ¡Ì Ó›ÒÔıÏ ¸ÙÈ Ô ‚˛ÎÔÚ ÔıÂÈΛӷÏ ÂflÌ·È Í¸ÍÍÈÌÔÚ, ÔÈ· ÂflÌ·È Á È˷̸ÙÁÙ· Ì· ÂflÌ·È Ô Í¸ÍÍÈÌÔÚ ‚˛ÎÔÚÔı ˆ›ÒÂÈ ÙÔÌ ·ÒÈËϸ 1; ∏Ì·Ú ‹ÎÎÔÚ ÙÒ¸ÔÚ Ì· ‰È·Ùı˛ÛÔıÏ ÙÔ Ò¸‚ÎÁÏ·ÂflÌ·È Ô ÂÓfiÚ. ∏ÛÙ˘ A ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ͸ÍÍÈÌÔ ‚˛ÎÔ Í·È B ÙÔẨ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÙÔÌ Í¸ÍÍÈÌÔ ‚˛ÎÔ Ï ·ÒÈËϸ 1. ‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· ÂflÌ·Èٸ٠̷ ÒÔÛ‰ÈÔÒflÛÔıÏ ÙÁÌ ((‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁ)) È˷̸ÙÁÙ· Ì· ›˜ÂÈ ÛıÏ‚Âfl ÙÔ B,‰Â‰ÔÏ›ÌÔı ¸ÙÈ ÛıÌ›‚Á ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ A. ”ÙÔ Ò¸‚ÎÁÏ· ·ıÙ¸ ‰ÂÌ ÏÔÒÔ˝Ï ̷‰˛ÛÔıÏ ·‹ÌÙÁÛÁ ·Ì ‰ÂÌ ›˜ÔıÏ ÒÔÁ„ÔıÏ›Ì˘Ú ‰˛ÛÂÈ ›Ì·Ì ·ÍÒÈ‚fi ÔÒÈÛϸ ÙÁÚ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ÂÌ¸Ú Ẩ˜ÔÏ›ÌÔı Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ Í‹ÔÈÔ ‹ÎÎÔ. œ ·ÍÒÈ‚fiÚ·ıÙ¸Ú ÔÒÈÛÏ¸Ú ›˜ÂÈ ˘Ú ÂÓfiÚ:

œÒÈÛÏ¸Ú 3. ∏ÛÙ˘ A Í·È B ‰˝Ô Ẩ˜¸ÏÂÌ· Ù›ÙÔÈ· ˛ÛÙ P (A) > 0. ‘¸Ù Á‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ· ÙÔı B Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ ÙÔ A, Á ÔÔfl· ÛıÏ‚ÔÎflÊÂÙ·È ÏÂP (B|A), ÔÒflÊÂÙ·È ·¸ ÙÁÌ

(17) P (B|A) =P (B ∩ A)

P (A).

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 17

¡Ì P (A) = 0, ٸ٠Á ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ· ÙÔı B Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ ÙÔ A ‰ÂÌÔÒflÊÂÙ·È.

œ ·Ò·‹Ì˘ ÔÒÈÛÏ¸Ú ‰ÈÍ·ÈÔÎÔ„ÂflÙ·È ‰È·ÈÛËÁÙÈÍ‹ ·Ì ÂÒÏÁ̽ÛÔıÏÂÙÈÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ Û·Ì Û˜ÂÙÈÍ›Ú Ûı˜Ì¸ÙÁÙÂÚ. »Â˘ÒÔ˝Ï ›Ì· ÂflÒ·Ï· Ôı·̷ης‹ÌÂÙ·È ÔÎÎ›Ú ˆÔÒ›Ú. ”ıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ Ï Nn(A), Nn(B), Í·È Nn(A∩B),ÙÔ ÎfiËÔÚ ÂÍÂflÌ˘Ì ·¸ ÙÈÚ n ‰ÔÍÈÏ›Ú ÛÙÈÚ ÔÔflÂÚ ÛıÏ‚·flÌÔıÌ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ·A,B Í·È A ∩ B, ·ÌÙflÛÙÔȘ·. √È· Ï„‹Î· n ÂÒÈÏ›ÌÔıÏ ¸ÙÈ ÔÈ ·ÒÈËÏÔflNn(A)/n,Nn(B)/n Í·È Nn(A ∩ B) Ò›ÂÈ Ì· ÂflÌ·È ÍÔÌÙ‹ ÛÙÔıÚ P (A), P (B)Í·È P (A ∩ B), ·ÌÙflÛÙÔȘ·. ¡Ì Ù˛Ò· Í·Ù·„Ò‹¯ÔıÏ ϸÌÔ ÂÍÂflÌ· Ù· ÂÈÒ‹Ï·Ù·ÛÙ· ÔÔfl· ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÙÔ A, ›˜ÔıÏ Nn(A) ‰ÔÍÈÏ›Ú ÛÙÈÚ ÔÔflÂÚ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ BÛıÏ‚·flÌÂÈ Nn(A∩B) ˆÔÒ›Ú. ∏ÙÛÈ, ÙÔ ÔÛÔÛÙ¸ Ù˘Ì ‰ÔÍÈÏ˛Ì ÛÙÈÚ ÔÔflÂÚ ÛıÏ‚·flÌÂÈÙÔ B ·Ì ÂÒÈÔÒÈÛÙÔ˝Ï Û ·ıÙ‹ Ù· Nn(A) ÂÈÒ‹Ï·Ù· ÂflÌ·È Nn(A ∩ B)/Nn(A).¡Î΋

Nn(A ∩ B)

Nn(A)=

Nn(A ∩ B)/n

Nn(A)/n,

‹Ò· „È· Ï„‹ÎÂÚ ÙÈÏ›Ú ÙÔı n ·ıÙ¸ ÙÔ Í΋ÛÏ· Ò›ÂÈ Ì· ÂflÌ·È ÍÔÌÙ‹ ÛÙÔ

P (A ∩ B)/P (A).

»· ‰˛ÛÔıÏ ›Ì· Ò˛ÙÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï· ˆ·ÒÏÔ„fiÚ ÙÁÚ (17) νÌÔÌÙ·Ú ÙÔÒ¸‚ÎÁÏ· Ôı Ù›ËÁÍ ÛÙÁÌ ·Ò˜fi ·ıÙfiÚ ÙÁÚ ·Ò·„Ò‹ˆÔı. ¡ˆÔ˝ ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ ›˜ÂÈ b + r ÛÁÏÂfl· ͷ˛̷ ·¸ Ù· ÔÔfl· ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ· (b + r)−1, ‚ΛÔıϸÙÈ P (A) = r(b + r)−1 Í·È P (A ∩ B) = (b + r)−1. ≈ÔÏ›Ì˘Ú

P (B|A) =1

r.

”ı„ÍÒflÌÂÙ Ï ÙÁÌ ((·‰›ÛÏÂıÙÁ)) È˷̸ÙÁÙ· ÙÔı B, Ôı ÂflÌ·È flÛÁ Ï P (B) =(b + r)−1.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 4. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ Òfl˜ÌÔıÏ Ïfl· ˆÔÒ‹ ‰˝Ô ¸ÏÔÈ·, ·ÏÂÒ¸ÎÁÙ·ÌÔÏflÛÏ·Ù·.

(·) Õ· ‚ÒÂËÂfl Á ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ· Ì· Âψ·ÌÈÛÙÔ˝Ì „Ò‹ÏÏ·Ù· Í·È ÛÙ· ‰˝ÔÌÔÏflÛÏ·Ù·, Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ ¸ÙÈ ÛÙÔ Ò˛ÙÔ Ì¸ÏÈÛÏ· Âψ·ÌflÛÙÁÍ·Ì „Ò‹ÏÏ·Ù·.

(‚) Õ· ‚ÒÂËÂfl Á ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÁ È˷̸ÙÁÙ· Ì· Âψ·ÌÈÛÙÔ˝Ì „Ò‹ÏÏ·Ù· Í·È ÛÙ· ‰˝ÔÌÔÏflÛÏ·Ù·, Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ ¸ÙÈ Âψ·ÌflÛÙÁÍ·Ì „Ò‹ÏÏ·Ù· Û ÙÔı΋˜ÈÛÙÔÌ ›Ì· ·¸·ıÙ‹.

√È· Ì· ··ÌÙfiÛÔıÏ ·ıÙ‹ Ù· ÂÒ˘ÙfiÏ·Ù· ·flÒÌÔıÏ ÙÔÌ ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú Ì· ·ÔÙÂÎÂflÙ·È ·¸ Ù· Ù›ÛÛÂÒ· ÛÁÏÂfl· √√, √�, �√, ��, ͷ˛̷ ‰Â ·¸ ·ıÙ‹Ì· ›˜ÂÈ È˷̸ÙÁÙ· 1/4. ∏ÛÙ˘ A ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÙÔ Ò˛ÙÔ Ì¸ÏÈÛÏ· Ì· ‰ÂflÓÂÈ

18 �≈÷¡À¡…œ 1

„Ò‹ÏÏ·Ù·, Í·È B ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ Ì¸ÏÈÛÏ· Ì· ‰ÂflÓÂÈ „Ò‹ÏÏ·Ù·. √È· ÙÔ(·) Í‹ÌÔıÏ ÙÔÌ ıÔÎÔ„ÈÛϸ

P (A ∩ B|A) = P (A ∩ B)/P (A) = (1/4)/(1/2) = 1/2.

√È· ÙÔ (‚) Í‹ÌÔıÏ ÙÔÌ ıÔÎÔ„ÈÛϸ

P (A ∩ B|A ∪ B) = P (A ∩ B)/P (A ∪B) = (1/4)/(3/4) = 1/3.

”Ù· ÒÔÁ„Ô˝ÏÂÌ· ‰˝Ô ·Ò·‰Âfl„Ï·Ù· Ô ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú fiÙ·Ì „Ì˘ÛÙ¸Ú,Í·È ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈ˛ÌÙ·Ú ÙÁÌ (17) ıÔÎÔ„flÛ·Ï ‰È‹ˆÔÒÂÚ ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÂÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ.” ÔÎ΋ ÒÔ‚ÎfiÏ·Ù· ¸Ï˘Ú, ·ıÙ¸ Ôı Í‹ÌÔıÏ ÂflÌ·È ÛÙÁÌ ·ÌÙflËÂÙÁÍ·Ù½ËıÌÛÁ. Ã‹Ú ‰flÌÔıÌ ÂÍ Ù˘Ì ÒÔÙ›Ò˘Ì Í‹ÔÈÂÚ ‰ÂÛÏÂıÏ›ÌÂÚ È˷̸ÙÁÙÂÚÍ·È ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈ˛ÌÙ·Ú ·ıÙfiÌ ÙÁÌ ÎÁÒÔˆÔÒfl· Ï·Ë·flÌÔıÏ ÔÈÔ ÂflÌ·È ÙÔ Ï›ÙÒÔÈ˷̸ÙÁÙ·Ú ÛÙÔ . « Í·Ù‹ÛÙ·ÛÁ ·ıÙfi ÂÒÈ„Ò‹ˆÂÙ·È ÛÙÔ ·Ò·Í‹Ù˘ ÙıÈ͸·Ò‹‰ÂÈ„Ï·.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 5. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ Ô ÎÁËıÛÏ¸Ú Í‹ÔÈ·Ú ¸ÎÁÚ ÂflÌ·È 40% ·ÒÛÂÌÈ͸ÚÍ·È 60% ËÁÎı͸Ú. ’ÔË›ÙÔıÏ ·Í¸Ï· ¸ÙÈ 50% ÙÔı ·ÒÛÂÌÈÍÔ˝ Í·È 30% ÙÔıËÁÎıÍÔ˝ ÎÁËıÛÏÔ˝ ÂflÌ·È Í·ÌÈÛÙ›Ú. Õ· ‚ÒÂËÂfl Á È˷̸ÙÁÙ· ›Ì·Ú Í·ÌÈÛÙfiÚÌ· ÂflÌ·È „›ÌÔıÚ ·ÒÛÂÌÈÍÔ˝.

”ıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ Ï A ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ‹ÙÔÏÔ ·ÒÛÂÌÈÍÔ˝ „›ÌÔıÚ, Í·ÈÏ ð ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ‹ÙÔÏÔ ËÁÎıÍÔ˝ „›ÌÔıÚ. ≈flÛÁÚ, ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏÂÏ K ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ͷÌÈÛÙfi, Í·È Ï Ł ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔÌ· ÂÈΛÓÔıÏ ÏÁ Í·ÌÈÛÙfi. « ÎÁÒÔˆÔÒfl· Ôı Ï·Ú ›˜ÂÈ ‰ÔËÂfl ÂflÌ·È ¸ÙÈP (K|A) = 0,5, P (K|ð) = 0,3, P (A) = 0,4, Í·È P (ð) = 0,6. ‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ·ÂflÌ·È Ì· ıÔÎÔ„ÈÛÙÂfl Á P (A|K). ¡¸ ÙÁÌ (17),

P (A|K) =P (A ∩ K)

P (K).

¡Î΋ P (A ∩ K) = P (A)P (K|A) = (0,4)(0,5) = 0.20, ‹Ò· Ô ·ÒÈËÏÁÙfiÚıÔÎÔ„flÊÂÙ·È Ï ‚‹ÛÁ ÙÈÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ôı Ï·Ú ‰¸ËÁÍ·Ì. ‘Ô K ÂflÌ·È Á ›Ì˘ÛÁÙ˘Ì Ó›Ì˘Ì ÛıÌ¸Î˘Ì K ∩ A Í·È K ∩ ð, ‹Ò·

P (K) = P (K ∩A) + P (K ∩ ð).

¡ˆÔ˝P (K ∩ ð) = P (ð)P (K|ð) = (0,6)(0,3) = 0,18,

‚ΛÔıÏ ¸ÙÈP (K) = 0,20 + 0,18 = 0,38.

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 19

≈ÔÏ›Ì˘Ú,

P (A|K) =0,20

0,38≈ 0,53.

œ ·Ì·„Ì˛ÛÙÁÚ Ë· ·Ò·ÙÁÒfiÛÂÈ ¸ÙÈ Ô ˜˛ÒÔÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ‰ÂÌ ·Ì·ˆ›ÒËÁÍÂÔÙ› Û·ˆ˛Ú. ‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· ·ıÙ¸ Í·È ‹Îη ÙÔı ȉflÔı Ù˝Ôı, νÌÔÌÙ·È ·Î˛Ú Ï‚‹ÛÁ Ù· ‰Â‰Ôϛ̷ Í·È ÙÔıÚ Í·Ì¸ÌÂÚ ıÔÎÔ„ÈÛÏÔ˝ ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Ôı ‰˛Û·Ï ÛÙÁÌ–·Ò‹„Ò·ˆÔ 3.

≈flÌ·È Ôν ½ÍÔÎÔ Ì· Í·Ù·ÛÍÂı‹ÛÔıÏ ›Ì·Ì ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú „È· ÙÔ·Ò·‹Ì˘ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï·. –·flÒÌÔıÏ ÙÔ Û˝ÌÔÎÔ Ì· ·ÔÙÂÎÂflÙ·È ·¸ Ù›ÛÛÂÒ·ÛÁÏÂfl·, Ù· KA,Kð, ŁA, Í·È Łð Ôı ÂflÌ·È, ·ÌÙflÛÙÔȘ·, Ù· ÏÔÌ·‰ÈÍ‹ ÛÁÏÂfl· ÛÙ·Û˝ÌÔη K∩A,K∩ð, Ł∩A, Í·È Ł∩ð. œÈ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ôı ‰flÌÔıÏ ÛÙ· Ù›ÛÛÂÒ··ıÙ‹ ÛÁÏÂfl· ‰ÂÌ ÔÒflÊÔÌÙ·È ·ÂıËÂfl·Ú, Ë›ÎÔıÏ ¸Ï˘Ú Ì· ÙÈÚ ÒÔÛ‰ÈÔÒflÛÔıÏ ›ÙÛÈ˛ÛÙ ٷ Ẩ˜¸ÏÂÌ· K|A, K|ð, A, Í·È ð Ì· ›˜ÔıÌ ÙÈÚ È˷̸ÙÁÙÂÚ Ôı Ï·Ú‰¸ËÁÍ·Ì. ¬ÒfiÍ·Ï fi‰Á ¸ÙÈ P (K ∩ A) = 0,20 Í·È P (K ∩ ð) = 0,18. ¡ˆfiÌÔıÏÂÛ·Ì ‹ÛÍÁÛÁ ÙÔÌ ıÔÎÔ„ÈÛϸ Ù˘Ì ÈË·ÌÔÙfiÙ˘Ì Ôı ·ÌÙÈÛÙÔÈ˜Ô˝Ì ÛÙ· ‹Îη ‰˝ÔÛÁÏÂfl·.

‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· Ôı ÛıÊÁÙfiÛ·Ï Û ·ıÙ¸ ÙÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï· ÂflÌ·È ÂȉÈÍfi ÂÒflÙ˘ÛÁÙÁÚ ·Í¸ÎÔıËÁÚ „ÂÌÈÍfiÚ Í·Ù‹ÛÙ·ÛÁÚ. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ A1, A2, . . . , An ÂflÌ·È n ӛ̷·Ì‹ ‰˝Ô Ẩ˜¸ÏÂÌ· Ï ›Ì˘ÛÁ ÙÔ . ∏ÛÙ˘ B ›Ì· Ẩ˜¸ÏÂÌÔ ˛ÛÙ P (B) > 0Í·È ·Ú ıÔË›ÛÔıÏ ¸ÙÈ ‰flÌÔÌÙ·È ÔÈ P (B|Ak) Í·È P (Ak) „È· 1 ≤ k ≤ n. –ÔÈ‹ÂflÌ·È Á P (Ai|B); √È· Ì· νÛÔıÏ ·ıÙ¸ ÙÔ Ò¸‚ÎÁÏ· ·Ò·ÙÁÒÔ˝Ï ¸ÙÈ Ù· Ak

ÂflÌ·È Ó›Ì· Û˝ÌÔη Ï ›Ì˘ÛÁ ÙÔ , ÂÔÏ›Ì˘Ú

B = B ∩

(n⋃

k=1

Ak

)

=

n⋃

k=1

(B ∩ Ak).

∂Ò·

P (B) =

n∑

k=1

P (B ∩ Ak).

ºÏ˘ÚP (B ∩Ak) = P (Ak)P (B|Ak),

Ô¸Ù ÏÔÒÔ˝Ï ̷ „Ò‹¯ÔıÏÂ

(18) P (Ai|B) =P (Ai ∩ B)

P (B)=

P (Ai)P (B|Ai)∑n

k=1P (Ak)P (B|Ak)

.

¡ıÙ¸Ú Ô Ù˝ÔÚ, Ôı Λ„ÂÙ·È Ù˝ÔÚ ÙÔı Bayes, ˆ·ÒϸÊÂÙ·È Ûı˜Ì‹. ∏Ì·ÚÙÒ¸ÔÚ Ì· Û͈ٸϷÛÙ ÙÔ ·ÔÙ›ÎÂÛÏ· ÙÁÚ (18) ÂflÌ·È Ô ÂÓfiÚ. ¡Ú ıÔË›ÛÔıÏ ¸ÙÈÛ͈ٸϷÛÙ ٷ Ẩ˜¸ÏÂÌ· Ak Û·Ì ÙÈÚ ÈË·Ì›Ú ((·ÈÙflÂÚ)) ÂÌ¸Ú ·Ò·ÙÁÒfiÛÈÏÔıẨ˜ÔÏ›ÌÔı B. ‘¸Ù Á P (Ai|B) ÂflÌ·È Á È˷̸ÙÁÙ· ÙÔ Ai Ì· ((ÒÔÍ‹ÎÂÛÂ)) ÙÔ

20 �≈÷¡À¡…œ 1

B Ï ‰Â‰ÔÏ›ÌÔ ¸ÙÈ ÙÔ B ÛıÏ‚·flÌÂÈ. œ ̸ÏÔÚ ÙÔı Bayes ·ÔÙÂÎÂfl ÙÁÌ ‚‹ÛÁ Ïfl·ÚÛÙ·ÙÈÛÙÈÍfiÚ ÏÂ˸‰Ôı Ôı Λ„ÂÙ·È ((‰È·‰ÈÍ·ÛflÂÚ Bayes)) Í·È Ë· ÛıÊÁÙÁËÂfl ÛÙÔÌ‰Â˝ÙÂÒÔ Ù¸ÏÔ ·ıÙfiÚ ÙÁÚ ÛÂÈÒ‹Ú (≈ÈÛ·„˘„fi ÛÙÁÌ ”Ù·ÙÈÛÙÈÍfi »Â˘Òfl·).

”·Ì ‰Âfl„Ï· ˆ·ÒÏÔ„fiÚ ÙÔı ̸ÏÔı ÙÔı Bayes Ë¢ÒÔ˝Ï ÙÔ ÂÓfiÚ (Í‹˘ÚÍηÛÈ͸) Ò¸‚ÎÁÏ·.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 6. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ ›˜ÔıÏ ÙÒfl· ÂÒÏ‹ÒÈ· Í·È Í·Ë›Ì· ·¸ ·ıÙ‹ ›˜ÂÈÙÒfl· ÛıÒÙ‹ÒÈ·. ‘Ô Ò˛ÙÔ ÂÒÏ‹ÒÈÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ ›Ì· ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ· Û ͋Ë ÛıÒÙ‹ÒÈ,ÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ ›Ì· ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ· ÛÙÔ ›Ì· ÛıÒÙ‹ÒÈ ÍÈ ›Ì· ·Ò„ıÒ¸ ̸ÏÈÛÏ·ÛÙÔ ‹ÎÎÔ ÛıÒÙ‹ÒÈ, Í·È ÙÔ ÙÒflÙÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ ›Ì· ·Ò„ıÒ¸ ̸ÏÈÛÏ· Û ͋Ë ÛıÒÙ‹ÒÈ.≈ÈΛ„ÔıÏ Ùı˜·fl· ›Ì· ÂÒÏ‹ÒÈÔ Í·È ·ÌÔfl„ÔıÏ ›Ì· ÛıÒÙ‹ÒÈ. ¡Ì ÙÔ ÛıÒÙ‹ÒÈÂÒÈ›˜ÂÈ ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ·, ÔÈ· ÂflÌ·È Á È˷̸ÙÁÙ· ÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ ÛıÒÙ‹ÒÈ ÙÔı Ì·ÂÒÈ›˜ÂÈ ÍÈ ·ıÙ¸ ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ·; –ÒÔÙÂflÌÔıÏ ÛÙÔÌ ·Ì·„Ì˛ÛÙÁ Ì· ÛÙ·Ï·ÙfiÛÂÈ Í·ÈÌ· Ï·ÌÙ›¯ÂÈ ÙÁÌ ·‹ÌÙÁÛÁ ÒÈÌ ‰È·‚‹ÛÂÈ ÙÁ νÛÁ. ”ı˜Ì‹ ‰flÌÂÙ·È Á ηÌË·ÛÏ›ÌÁ·‹ÌÙÁÛÁ 1/2.

‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· νÌÂÙ·È Â˝ÍÔη Í·È Û˘ÛÙ‹ ·Ì ˜ÒÁÛÈÏÔÔÈfiÛÔıÏ ÙÔÌ Ù˝ÔÙÔı Bayes, ·ÒÍÂfl Ì· ‰˛ÛÔıÏ ͷًÎÎÁÎÁ ÂÒÈ„Ò·ˆfi Ù˘Ì ‰Â‰ÔÏ›Ì˘Ì. ÃÔÒÔ˝ÏÂÌ· Ë¢ÒfiÛÔıÏ ›Ì·Ì ˜˛ÒÔ È˷̸ÙÁÙ·Ú ÛÙÔÌ ÔÔflÔ Ù· Ẩ˜¸ÏÂÌ· A1, A2

Í·È A3 ·ÌÙÈÛÙÔÈ˜Ô˝Ì ÛÙÁÌ ÂÈÎÔ„fi ÙÔı Ò˛ÙÔı, ‰Â˝ÙÂÒÔı Í·È ÙÒflÙÔı ÂÒÏ·ÒflÔı,·ÌÙflÛÙÔȘ·. ‘· Ẩ˜¸ÏÂÌ· ·ıÙ‹ ÂflÌ·È Ó›Ì· Í·È Á ›Ì˘Ûfi ÙÔıÚ ÂflÌ·È ÔθÍÎÁÒÔÚÔ ˜˛ÒÔÚ ·ˆÔ˝ ÂÈΛ„ÔıÏ ·ÍÒÈ‚˛Ú ›Ì· ÂÒÏ‹ÒÈÔ. ≈ÈΛÔÌ, ÏÔÒÂfl Í·ÌÂflÚÌ· ıÔË›ÛÂÈ ¸ÙÈ ÂflÌ·È ÂÓflÛÔı È˷̸ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÔÔÈÔ‰fiÔÙ ·¸ Ù· ÙÒfl·ÂÒÏ‹ÒÈ·, ‰Áη‰fi P (Ai) = 1/3, i = 1, 2, 3. ∏ÛÙ˘ B ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ì· ‚ÒfiͷϘÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ·. ‘¸ÙÂ, ·¸ ÙÁ Û˝ÌËÂÛÁ Ù˘Ì ÂÒÏ·Òfl˘Ì ÂflÌ·È ˆ·ÌÂÒ¸ ¸ÙÈ

P (B|A1) = 1, P (B|A2) = 1/2, P (B|A3) = 0.

‘Ô Ò¸‚ÎÁÏ· ÊÁÙ‹ÂÈ ÙÁÌ È˷̸ÙÁÙ· ÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ ÛıÒÙ‹ÒÈ Ì· ÂÒÈ›˜ÂÈ ˜Òı۸̸ÏÈÛÏ· ‰Â‰ÔÏ›ÌÔı ¸ÙÈ ÛÙÔ Ò˛ÙÔ ‚ÒfiÍ·Ï ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ·. ¡ıÙ¸ ÏÔÒÂfl Ì·ÛıÏ‚Âfl ϸÌÔ ·Ì ÂÈΛӷÏ ÙÔ Ò˛ÙÔ ÂÒÏ‹ÒÈÔ, ‰Áη‰fi ÙÔ Ò¸‚ÎÁÏ· Ï·Ú ÊÁÙ‹ÂÈÙÁÌ P (A1 |B). ÃÔÒÔ˝ÏÂ Ù˛Ò· Ì· ˆ·ÒϸÛÔıÏ ÙÔÌ Ì¸ÏÔ ÙÔı Bayes (18) Í·È Ì·‚ÒÔ˝Ï ÙÁÌ ·‹ÌÙÁÛÁ, Ôı ÂflÌ·È 2/3. ¡ˆfiÌÔıÏÂ Û·Ì ‹ÛÍÁÛÁ „È· ÙÔÌ ·Ì·„Ì˛ÛÙÁÙÔÌ ıÔÎÔ„ÈÛϸ ÙÁÚ È˷̸ÙÁÙ·Ú ÛÙÔ ‰Â˝ÙÂÒÔ ÛıÒÙ‹ÒÈ Ì· ÂÒÈ›˜ÂÙ·È ·Ò„ıҸ̸ÏÈÛÏ· ‰Â‰ÔÏ›ÌÔı ¸ÙÈ ÛÙÔ Ò˛ÙÔ ÛıÒÙ‹ÒÈ ‚ÒfiÍ·Ï ˜ÒıÛ¸ ̸ÏÈÛÏ·.

”ÙÔ Â¸ÏÂÌÔ ·Ò‹‰ÂÈ„Ï‹ Ï·Ú Ë¢ÒÔ˝Ï ›Ì· ·Î¸ ÈË·ÌÔË¢ÒÁÙÈ͸ Û˜fiÏ·Ôı ÔˆÂflÎÂÙ·È ÛÙÔÌ P�olya.

–·Ò‹‰ÂÈ„Ï· 7. ‘Ô ‰Ô˜ÂflÔ ÙÔı P�olya. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ ›Ì· ‰Ô˜ÂflÔ ÂÒÈ›˜ÂÈ r͸ÍÍÈÌÔıÚ Í·È b Ï·˝ÒÔıÚ ‚˛ÎÔıÚ. ≈ÈΛ„ÔıÏ ›Ì·Ì ‚˛ÎÔ Í·È Í·Ù·„Ò‹ˆÔıÏÂÙÔ ˜Ò˛Ï· ÙÔı. ‘¸Ù ·ıÙ¸Ú Ï·Êfl Ï c > 0 ·Í¸Ï· ‚˛ÎÔıÚ ÙÔı fl‰ÈÔı ˜Ò˛Ï·ÙÔÚÒÔÛÙflËÂÌÙ·È ÛÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ. « ‰È·‰ÈÍ·Ûfl· ·̷ης‹ÌÂÙ·È n − 1 ·Í¸Ï· ˆÔÒ›Ú,‰Áη‰fi ÙÔ ÎfiËÔÚ Ù˘Ì ÂÈÎÔ„˛Ì Ôı Í‹ÌÔıÏ ·¸ ÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ ÂflÌ·È n.

◊Ÿ—œ… –…»¡Õœ‘«‘¡” 21

àRj , 1 ≤ j ≤ n, ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ô j-ÛÙ¸Ú ‚˛ÎÔÚ Ôı ÂÈΛ„ÔıÏÂÌ· ÂflÌ·È Í¸ÍÍÈÌÔÚ Í·È Ï Bj , 1 ≤ j ≤ n, ÛıÏ‚ÔÎflÊÔıÏ ÙÔ Ẩ˜¸ÏÂÌÔ Ô j-ÛÙ¸Ú‚˛ÎÔÚ Ôı ÂÈΛ„ÔıÏ ̷ ÂflÌ·È Ï·˝ÒÔÚ. ÷ıÛÈÍ‹, „È· Í‹Ë j , Ù· Rj Í·È Bj

ÂflÌ·È Ó›Ì·. �·Ù‹ ÙÁÌ k-ÛÙfi ÂÈÎÔ„fi ı‹Ò˜ÔıÌ b + r + (k − 1)c ‚˛ÎÔÈ ÛÙÔ‰Ô˜ÂflÔ, Í·È ıÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ Á È˷̸ÙÁÙ· ÂÈÎÔ„fiÚ ÔÔÈÔı‰fiÔÙ ‚˛ÎÔı ÂflÌ·È(b + r + (k − 1)c)−1. √È· Ì· ıÔÎÔ„flÛÔıÏ ÙÁÌ P (R1 ∩ R2) „Ò‹ˆÔıÏÂ

P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2|R1).

‘˛Ò·

P (R1) =r

b + r, P (R2|R1) =

r + c

b + r + c,

ÂÔÏ›Ì˘Ú,

P (R1 ∩ R2) =( r

b + r

)( r + c

b + r + c

)

.

ºÏÔÈ·

P (B1 ∩ R2) =

(b

b + r

)( r

b + r + c

)

ÂÔÏ›Ì˘ÚP (R2) = P (R1 ∩ R2) + P (B1 ∩ R2)

=( r

b + r

)( r + c

b + r + c

)

+

(b

b + r

)( r

b + r + c

)

=r

b + r.

”ıÏÂÒ·flÌÔıÏ ¸ÙÈ P (R2) = P (R1). ¡ˆÔ˝

P (B2) = 1 − P (R2) =b

b + r,

‚ΛÔıÏ ¸ÙÈ P (B2) = P (B1). ”ÙÈÚ ·ÛÍfiÛÂÈÚ Ë· ‰Ô˝Ï ÍÈ ‹ÎÎÂÚ È‰È¸ÙÁÙÂÚ ÙÔıÂÈÒ‹Ï·ÙÔÚ ÙÔı P�olya.

1.5. ¡ÌÂÓ·ÒÙÁÛfl·

»Â˘ÒÔ˝Ï ›Ì· ‰Ô˜ÂflÔ Ôı ÂÒÈ›˜ÂÈ Ù›ÛÛÂÒÈÚ ‰È·ˆÔÒÂÙÈÍÔ˝Ú ‚˛ÎÔıÚ Í·È ÂÍÙÂÎÔ˝ÏÂÙÔ ÂflÒ·Ï· ÙÁÚ ÂÈÎÔ„fiÚ ÂÌ¸Ú ‚˛ÎÔı ·¸ ÙÔ ‰Ô˜ÂflÔ. ’ÔË›ÙÔıÏ ¸ÙÈ ÂflÌ·È ÂÓflÛÔıÈ˷̸ Ì· ÂÈΛÓÔıÏ ÔÔÈỔfiÔÙ ·¸ ÙÔıÚ ‚˛ÎÔıÚ. »›ÙÔıÏ = {1, 2, 3, 4}Í·È ‰flÌÔıÏ È˷̸ÙÁÙ· 1/4 Û ͋Ë ÛÁÏÂflÔ.

∏ÛÙ˘ A Í·È B ‰˝Ô Ẩ˜¸ÏÂÌ·. √È· Í‹ÔÈÂÚ ÂÈÎÔ„›Ú Ù˘Ì A Í·È B, ·Ì„Ì˘ÒflÊÔıÏ ¸ÙÈ ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÙÔ A ·ıÓ‹ÌÂÙ·È Á È˷̸ÙÁÙ· Ì· ÛıÏ‚·flÌÂÈ ÙÔ B.

Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη