1. Escriba la ecuación de la conducción de calor no-permanente para el caso de calor específico c constante. Demuestre que, con referencia a la ecuación diferencial general, esto implica Φ = T, u = 0, Γ = k/c y S = Sh/c, donde Sh es la tasa volumétrica de generación de “calor”.

Solución

De acuerdo al libro de Patankar 1980 sección 2, punto 2.1-7, la ecuación diferencia general es la siguiente:

∂∂ t

( ρ∅ )+¿ ( ρu∅ )=¿ (Γ grad∅ )+S

Dónde:

∂∂ t

( ρ∅ ) :Terminotransitorio (no−permanente )

¿ ( ρu∅ ):Termino convectivo

¿ (Γ grad∅ ) :Terminodifusivo

S : fuente osumidero (tasa volumétrica de generación)

Ya que se está solo considerando conducción de calor, de acuerdo a la ley de Fourier se tiene que:

Termino transitorio (no−permanente ) ∂∂ t

( ρ∅ )= ∂∂t

( ρT ) ,donde T es la Temperatura

Termino convectivo÷( ρu∅ )=¿ ( ρuh )=0 , dondehes entalpiaespecifica

Termino difusivo÷ (Γ grad∅ )=¿ (k grad T ) , dondek es laconductividad termica

fuente (tasa volumétricade generación )S=Shquerepresenta latasa volumetrica de generaciondecalor

Conociendo esto se obtiene la ecuación:

∂∂ t

( ρT )=¿ ( k grad T )+Sh

Para gases ideales, líquidos y solidos

c grad T=grad h

Donde c es el calor especifico a presión constante. Si c es constante la relación h T , se

simplifica a h=cT . Lo que lleva a establecer la ecuación de la conducción de calor no-permanente para el caso de calor específico c constante como:

∂∂ t

( ρT )=¿ ( kc grad T )+ Shc

2. Derive las expresiones para Φ, Γ y S si en el problema anterior el calor específico c no puede ser tomado como constante. (Sugerencia: Use la energía interna i como la variable dependiente; note que di = cdT).

Solución

Ya que para gases ideales, líquidos y sólidos:

c grad T=grad h

Podemos escribir la ecuación en función de la energía interna:

∂∂ t

( ρh )=¿( kc grad h)+Sh