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8/16/2019 Paso a Paso_ Cálculo de Áreas (1).pdf
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Documento Recopilado Docente INACAP Sede Temuco ifb_2016 1
INTEGRALES DEFINIDAS- CALCULO DE ÁREAS(RESOLUCIÓN PASO A PAS0)
Teorema fundamental del cálculo integral
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REGLA DE BARROW
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Documento Recopilado Docente INACAP Sede Temuco ifb_2016 3
ÁREA DE UNA FUNCIÓN
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Documento Recopilado Docente INACAP Sede Temuco ifb_2016 4
3 Calcula el área del recinto limitado por la parábola f(x) = x2 y las rectas y = 0, x = 1, x = 3.
Área limitada por la gráfica de dos funciones
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Documento Recopilado Docente INACAP Sede Temuco ifb_2016 5
EJERCICIOS ADICIONALES I – CALCULO DE AREAS
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Ejercicios Propuestos:
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EJERCICIOS ADICIONALES II – CALCULO DE ÁREAS
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a) b) c)
d) e) f)
g)
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EJERCICIOS ADICIONALES III – CALCULO DE ÁREAS
1.-Calcular la integral 3
2 2 1dx
x
x
Solución: x
x
x
x x
A
x
B
x
A x B x
x x2 1 1 1 1 1
1 1
1 1
( )( )
( ) ( )
( )( )
x A x B x ( ) ( )1 1
Para x = -1, B 1
2
Para x= 1, A = 1
2
121121121
12
1
12 x L x Ldx
xdx
xdx
x x =
= L x x( . ) 1 1 Por tanto,
38)11(
1
3
22 L L x x Ldx
x
x
2.-Calcula el área del recinto l imitado por la parábola y=x 2 y las rectas y=0, x=2, x=6.
Solución:La recta y=0 es el eje x.
El área del recinto limitado por una función f(x), el eje x y la rectas x=a, x=b, viene dada por el valor
absoluto de la integral b
adx x f I )( siempre que la función f(x) no corte al eje x en ningún punto
interior del intervalo [a,b]
6
2
2dx x I =
=3
20832
36
3
336
2
3
x
Area= 208
3
208
3
2 u
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3.- Calcul a el área l imitada por la curva y = x 3 – 6x
2 + 8x y el eje x
Solución:
Calculamos los puntos de corte de la curva con el eje x : x x x3 26 8 0
4;2086
00)86(
2
2
x x x x
x x x x
Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales:
I1= 2
0
23 )86( dx x x x
I2= 4
2
23 )86( dx x x x
I1= 4424
2
0
234
x x
x;
I2= 4424
4
2
234
x x
x;
Area=4+-4=8 u2
4.-Cal cul a el área del recinto l imi tado por la parábola de ecuación y = 9 – x 2 y el eje de abscisas.
Solución
Determinamos los puntos de corte de la curva con el eje x:
9-x2=0 x=3; x=-3
36)927()927(3
9)9(
3
3
33
3
2
x xdx x I
Area=36 u 2 =36 u 2
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5.-Calcula el área del recinto limi tado por la parábola y=4x-x 2 y el eje de abscisas en
el in tervalo [0,6]
Solución:
Comprobamos si hay puntos de corte
dentro del intervalo [0,6].4x-x2=0x(4-x)=0x=0; x=4
Como hay un punto de corte dentro delintervalo [0,6] que es x = 4, las integralesa plantear son:
4
0
2
1 )4( dx x x I
4
0
32
32
x x
I 1 32 64
3
96 64
3
32
3
6
4
2
2 )4( dx x x I ;3
56
3
32)7264(
32
6
4
32
2
x x I
Area= 32
3
56
3
88
3
2 ; Area = 88
3u
6.- H al la el área comprendida entr e las parábolas y = 8 – x 2 ; y = x 2
Solución:
Buscamos los puntos de corte de las dos curvas:8 2 8 4 22 2 2 x x x x
Los límites de integración son -2 y 2
La función a integrar es la diferencia de las dos funciones.
8 8 22 2 2 x x x , por tanto,
2
2
32
2
2
3
28)28(
x xdx x I
I
( ) ( )16 16
316
16
332
32
3
64
3
Area u u 64
3
64
3
2 2
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7.-Hall a el área comprendida entre las curvas y=6x-x 2 ; y=x 2 -2x
Solución:
6 2 2 8 02 2 2 x x x x x x
2 4 0 0 4 x x x x( ) ;
Función a integrar:( ) ( ) x x x x x x2 2 22 6 2 8
4
0
23
4
0
2
43
2
)82( x
x
dx x x I
128 192
3
64
3 Área=
64
3
64
3
2u
8.-Ar ea del recinto limi tado por la parábola y=3x-x 2 y la recta y=x-3
Solución:Límites de integración: 3 3 2 3 02 2 x x x x x
Resolviendo la ecuación se obtiene x=3; x=-1
Función a integrar: 3
32
33)32(
3
1
23
3
1
2
x x x
dx x x I
Area= 32
3
32
3
2u
9.-Hall a el área del r ecin to l imitado por la parábola de ecuación y=x 2 , la recta de ecuación y=x+2 y eleje OX.
Límites de integración: Son los puntos de corte de la parábola y la recta
x x x x2 22 2 0
12
231
291 x
Función a integrar: x x 2 2 (Diferencia de las dos funciones)
Hemos de resolver la integral siguiente:
2
9
32
2)2(
2
1
322
1
2
x x
xdx x x I Area u u
9
2
9
2
2 2
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10.-Calcula el área del recinto l imitado por la parábola de ecuación y=2(1-x 2 ) y la
recta de ecuación y=0
Solución:
Como la curva es simétrica respecto al eje de
ordenadas, podemos integrar entre 0 y
3
2
y multiplicar el resultado por 2.
Límites de integración: 2 1 1 3 2 3
2
2 2( ) x x x
Función a integrar: 2 1 1 3 22 2
( ) ( ) x x
23
0
2 )23( dx x I =
2
3
0
3
3
23
x x 2
3
2 Area u 4
3
2
2
11.-Calcula el área del recin to l imitado por l a curva de ecuación y x 2 y la rectay=x.
Solución:
Límites de integración:2 4 4 02 2 x x x x x x
x x x( ) ; 4 0 0 x = 4
Función a integrar: 2 x x
4
0
2
14
0)2()2( dx x xdx x x I
4
0
23
23
4
x x=8
3 ; Área=
8
3
2u
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12.-Hall a el área del recin to l imi tado por las gráficas de las funciones y=Lx, y=1 y los
ejes de coordenadas.
Solución:
Observando el dibujo, el área pedida será la diferencia
entre las integrales
e
dx0
.1 y e
dx Lx1
.
e xdx I ee
001 .1
1)10()(11
2 ee x xLx Lxdx I ee
(por partes)
Area=I I e1 2
1 u2
13.- Halla el área del recinto limitado por la parábola y x 2, la recta de ecuación y x 2 y el
eje OX
Solución:
Punto de corte de la parábola y el eje OX:
x x2 0 0
Punto de corte de la recta y el eje =OX:
x x2 0 2
Punto de corte de la parábola y la recta:
x x x x2 22 2 0
2
1
2
31
2
811 x
La solución x = -2 está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el valor
x =1
Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes:
2
1)2( ;
3
1 2
12
1
0
2
1 dx x I dx x I ; Area u 1
3
1
2
5
6
2