Parte I – Sinais e Sistemas Conceitos Básicos. Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são necessários em quase todos os campos da engenharia elétrica

Parte I – Sinais e Sistemas

Conceitos Básicos

Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são necessários em quase todos os campos da engenharia elétrica e também em muitas outras disciplinas científicas e de engenharia. Eles formam a base para estudos mais avançados em áreas como comunicação, processamento de sinais e sistemas de controle.

Sinais e Classificação de Sinais

• Um sinal é uma função que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno

• Matematicamente, um sinal é representado por uma função de uma variável independente t. Usualmente, t representa o tempo. Assim, um sinal é indicado por x(t).

Sinais e Classificação de SinaisSinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto


sn

n

n

n

nTxnxx

xxx

nxxx

txtxtx

nxx

,...,...,,

,...,...,1,0

,...,...,,

10

10

Seqüência de números Sinal Discreto

Um sinal de tempo discreto pode representar um fenômeno para o qual a variável independente é inerentemente discreta

Exemplo: Média diária do fechamento do mercado de ações

Amostras

Intervalo de Amostragem


2,0,1,0,1,2,2,1

,...2

1,...,4

1,2

1,1

0,0

0,2

1

n

n

n

n

n

x

x

n

nxnx

Um sinal x[n] de tempo discreto pode ser definido de dois modos:

Especificando uma regra

Listando os valores da seqüência. A seta indica o termo n=0

• Sinais Analógicos e Digitais– Se um sinal de tempo contínuo x(t) pode assumir

qualquer valor no intervalo contínuo (a,b), então o sinal é chamado sinal analógico

– Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir apenas um número finito de valores distintos, então ele é chamado sinal digital



tjxtxtx 21

Onde x1(t) e x2(t) são sinais reais

Um sinal x(t) é um sinal real se seu valor for um número real, e é um sinal complexo se seu valor for um número complexo. Sua forma geral é:

Representa tanto uma variável contínua como uma discreta

Sinais Reais e Complexos

• Sinais Determinísticos e Aleatórios– Sinais determinísticos são aqueles cujos

valores estão completamente especificados em qualquer instante de tempo dado

– Sinais Aleatórios são aqueles que assumem valores aleatórios (randômicos) em qualquer tempo dado e devem ser caracterizados estatisticamente


Sinais e Classificação de SinaisSinais Pares e Ímpares

txtx

txtx

txtx

txtx

Funções Pares

Funções Ímpares

txtxtx

txtxtx

oe

oe

Qualquer sinal pode ser expresso como a soma de dois sinais, um par e outro ímpar:

Sinais e Classificação de SinaisSinais Periódicos e Não-Periódicos

nxmNnx

nxNnx

txmTtx

txTtx

Período

Período


2

2

22/

2/

2

12

1lim

1lim

N

NnN

n

T

TT

nxN

P

nxE

dttxT

P

dttxE

Sinais de Energia e de Potência

Conteúdo de energia normalizado

Potência média normalizada

Conteúdo de energia normalizado

Potência média normalizada

Tempo Contínuo

Tempo Discreto

E

P

P

E

0

0

0SINAL DE ENERGIA

SINAL DE POTÊNCIA

Sinais Básicos de Tempo Contínuo

0,0

0,1

t

ttu

u(t)

t0

1

u(t-t0)

t0

1

t0

0

00 ,0

,1

tt

ttttu

Função Degrau Unitário


Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)

t

δ(t)

0 t

δ(t)

0 t0

Delta de Dirac


00

0

0

0

1

0

tdtttt

indefinido

dttt

dttt

dtt

t

b

a

0

0

t

t

0

0

0

a

ba

ba

0

0

b

ba

ou

ou

Função Generalizada



dtxtx

dtut


Qualquer sinal de tempo contínuo pode ser expresso como:

A função degrau unitário pode ser expressa como:

Sinais Básicos de Tempo ContínuoSinais Exponenciais Complexos

t

ttjst

tj

etx

tjsenteeetx

T

tjsentetx

cos

2

cos

00

000

Forma Geral

Forma de Euler

Período Fundamental

Exponencial Real

Sinais Básicos de Tempo ContínuoSinais Senoidais

00

00

0

1

2

cos

Tf

T

tAtx

tAeA

eAtA

f

tj

tj

0

0

00

sinIm

Recos

2

0

0

Sinais Básicos de Tempo DiscretoSeqüência Degrau Unitário

0,0

0,1

n

nnu

u[n]

n0

1

u[n-k]

n0

1

k

kn

knknu

,0

,1

Sinais Básicos de Tempo DiscretoSeqüência Impulso Unitário

n

δ[n]

0 n

δ[n-k]

0 k

Delta de Dirac

k

n

k

knkxnx

knu

nunun

knkxknnx

nxnnx

kn

n

1

0

0

1

0

1

0

0

n

nAmostra Unitária

kn

kn

Sinais Básicos de Tempo DiscretoSeqüência Impulso Unitário

Qualquer seqüência pode ser expressa nesta forma

Sinais Básicos de Tempo Discreto

Seqüências Exponenciais Complexas

n

nj

Cnx

mN

njnenx

00

00

2

sincos0

Forma Geral

Forma de Euler

Período Fundamental

Sinais Básicos de Tempo Discreto

Seqüências Senoidais

njeAnA

nAnx0Recos

cos

0

0

Sistemas e Classificação de Sistemas

Representação de Sistema

Sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta). O sistema é visto como uma transformação de x em y.

xy T

T é um operador que representa uma regra bem definida pela qual x é transformado em y

SistemaT

x y

SistemaT

x(t) y(t)

SistemaT

x[n] y[n]


Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto

Contínuo

Discreto


Sistemas com Memória e sem Memória

Um sistema é dito sem memória se a saída em qualquer instante de tempo depende apenas da entrada naquele mesmo instante. Ex: resistor, a entrada é a corrente e a saída é a tensão.

tRitv

tRxty

Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C

diC

tvt

1

Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória é

n

k

kxny


Sistemas Causais e Não Causais

Um sistema é chamado causal se sua saída y(t) em um tempo arbitrário t=t0 depender apenas da entrada x(t) para t ≤ t0. Ou seja, a saída de um sistema causal não depende de seu valores futuros.

Obs: Todos os sistemas sem memória são causais, mas não vice-versa.

Exemplos de sistemas não-causais são:

nxny

txty

1


Sistemas Lineares e Não Lineares

Se o operador T satisfizer as duas condições seguintes, antão T é chamado operador linear e um sistema representado pelo operador T é chamado sistema linear.

2121

22

11

yyxx

yx

yx

T

T

TAditividade

yx T

Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala)


Sistemas Invariantes e Variantes no tempo

Um sistema é chamado invariante no tempo se um deslocamento de tempo (retardo ou adiantamento) no sinal de entrada causa o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída.

knyknx

tytx

T

T Tempo Contínuo

Tempo Discreto


Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT)

Se o sistema é linear e invariante no tempo ele é um LIT

Sistemas Estáveis

Um sistema é chamado de estável com entrada limitada/saída limitada (BIBO) se, para qualquer entrada limitada x ≤ k1 a saída y correspondente é também limitada e definida por y ≤ k2

Sistemas com Realimentação

SistemaΣx(t) y(t)

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