PARTE 2 - ESTADISTICA 7- Estimación puntual · 2011-03-16 · Al medir la muestra aleatoria se obtienen x1,x2,...,xn, y entonces el valor que toma Θˆ es ˆ h(x ,x,...,xn) θ= 1

Parte 2 – Estimación puntual Prof. María B. Pintarelli

124

PARTE 2 - ESTADISTICA

7- Estimación puntual

7. 1 – Introducción

Supongamos la siguiente situación: en una fábrica se producen artículos, el interés está en la

producción de un día, específicamente, de todos los artículos producidos en un día nos interesa una

característica determinada, si el artículo es o no defectuoso. Sea p la proporción de artículos

defectuosos en la población, es decir en la producción de un día.

Tomamos una muestra de 25 artículos, podemos definir la v.a. X: “número de artículos defectuosos

en la muestra”, y podemos asumir que ),25(~ pBX .

En Probabilidades se conocían todos los datos sobre la v.a. X, es decir conocíamos p. De esa forma

podíamos responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad que entre los 25 artículos halla 5

defectuosos?. Si, por ejemplo, 1.0=p entonces calculábamos )5( =XP donde )1.0 ,25(~ BX .

En Estadística desconocemos las características de X total o parcialmente, y a partir de la muestra

de 25 artículos tratamos de inferir información sobre la distribución de X, o dicho de otra forma

tratamos de inferir información sobre la población.

Por ejemplo, en estadística sabremos que X tiene distribución binomial pero desconocemos p, y a

partir de la muestra de 25 artículos trataremos de hallar información sobre p.

En Estadística nos haremos preguntas tales como: si en la muestra de 25 artículos se encontraron 5

defectuosos, ¿ese hecho me permite inferir que el verdadero p es 0.1?.

El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos utilizados para tomar decisiones

o para obtener conclusiones sobre el o los parámetros de una población. Estos métodos utilizan la

información contenida en una muestra de la población para obtener conclusiones.

La inferencia estadística puede dividirse en dos grandes áreas: estimación de parámetros y pruebas

de hipótesis.

7.2 – Muestreo aleatorio

En muchos problemas estadísticos es necesario utilizar una muestra de observaciones tomadas de la

población de interés con objeto de obtener conclusiones sobre ella. A continuación se presenta la

definición de algunos términos

En muchos problemas de inferencia estadística es poco práctico o imposible, observar toda la

población, en ese caso se toma una parte o subconjunto de la población

Para que las inferencias sean válidas, la muestra debe ser representativa de la población. Se

selecciona una muestra aleatoria como el resultado de un mecanismo aleatorio. En consecuencia, la

selección de una muestra es un experimento aleatorio, y cada observación de la muestra es el valor

observado de una variable aleatoria. Las observaciones en la población determinan la distribución de

probabilidad de la variable aleatoria.

Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto

interés

Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionada de una población


125

Para definir muestra aleatoria, sea X la v.a. que representa el resultado de tomar una observación de

la población. Sea )(xf la f.d.p. de la v.a. X. supongamos que cada observación en la muestra se

obtiene de manera independiente, bajo las mismas condiciones. Es decir, las observaciones de la

muestra se obtienen al observar X de manera independiente bajo condiciones que no cambian,

digamos n veces.

Sea iX la variable aleatoria que representa la i-ésima observación. Entonces nXXX ,...,, 21

constituyen una muestra aleatoria, donde los valores numéricos obtenidos son nxxx ,...,, 21 . Las

variables aleatorias en una muestra aleatoria son independientes, con la misma distribución de

probabilidad f(x) debido a que cada observación se obtiene bajo las mismas condiciones. Es decir las

funciones de densidad marginales de nXXX ,...,, 21 son todas iguales a f(x) y por independencia, la

distribución de probabilidad conjunta de la muestra aleatoria es el producto de las marginales

)()...()( 21 nxfxfxf

El propósito de tomar una muestra aleatoria es obtener información sobre los parámetros

desconocidos de la población. Por ejemplo, se desea alcanzar una conclusión acerca de la proporción

de artículos defectuosos en la producción diaria de una fábrica. Sea p la proporción de artículos

defectuosos en la población, para hacer una inferencia con respecto a p, se selecciona una muestra

aleatoria (de un tamaño apropiado) y se utiliza la proporción observada de artículos defectuosos en

la muestra para estimar p.

La proporción de la muestra p se calcula dividiendo el número de artículos defectuosos en la

muestra por el número total de artículos de la muestra. Entonces p es una función de los valores

observados en la muestra aleatoria. Como es posible obtener muchas muestras aleatorias de una

población, el valor de p cambiará de una a otra. Es decir p es una variable aleatoria. Esta variable

aleatoria se conoce como estadístico.

Estadísticos usuales

Sea nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de una v.a. X donde µ=)(XE y 2)( σ=XV

Si desconocemos µ un estadístico que se utiliza para estimar ese parámetro es la media o promedio

muestral ∑=

=n

i

iXn

X1

1

Análogamente si se desconoce 2σ un estadístico usado para tener alguna información sobre ese

parámetro es la varianza muestral que se define como ( )∑=

−−

=n

i

i XXn

S1

22

1

1

Otro estadístico es la desviación estándar muestral ( )∑=

−−

=n

i

i XXn

S1

2

1

1

Como un estadístico es una variable aleatoria, éste tiene una distribución de probabilidad, esperanza

y varianza.

Las variables aleatorias ( )nXXX ,...,, 21 constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una

v.a. X si nXXX ,...,, 21 son independientes idénticamente distribuidas

Un estadístico es cualquier función de la muestra aleatoria


126

Una aplicación de los estadísticos es obtener estimaciones puntuales de los parámetros

desconocidos de una distribución. Por ejemplo como se dijo antes se suelen estimar la media y la

varianza de una población.

Cuando un estadístico se utiliza para estimar un parámetro desconocido se lo llama estimador

puntual. Es habitual simbolizar en forma genérica a un parámetro con la letra θ y al estadístico que

se utiliza como estimador puntual de θ , simbolizarlo con Θ .

Por lo tanto Θ es una función de la muestra aleatoria: ( )nXXXh ,...,,ˆ21=Θ

Al medir la muestra aleatoria se obtienen nxxx ,...,, 21 , y entonces el valor que toma Θ es

( )nxxxh ,...,,ˆ21=θ y se denomina estimación puntual de θ

El objetivo de la estimación puntual es seleccionar un número, a partir de los valores de la muestra,

que sea el valor más probable de θ .

Por ejemplo, supongamos que 4321 ,,, XXXX es una muestra aleatoria de una v.a. X. Sabemos que X

tiene distribución normal pero desconocemos µ .

Tomamos como estimador de µ al promedio muestral X , es decir X=µ

Tomamos la muestra (medimos 4321 ,,, XXXX ) y obtenemos 32 ,27 ,30 ,24 4321 ==== xxxx

Entonces la estimación puntual de µ es 25.284

32273024=

+++=x

Si la varianza 2σ de X también es desconocida, un estimador puntual usual de 2σ es la varianza

muestral, es decir ( )∑=

−−

=n

i

i XXn

S1

22

1

1, para la muestra dada la estimación de 2σ es 12.25.

Otro parámetro que a menudo es necesario estimar es la proporción p de objetos de una población

que cumplen una determinada característica.

En este caso el estimador puntual de p sería ∑=

=n

i

iXn

p1

1ˆ donde

−

=contrariocaso

erésdeticacaracteríslatienenobservacióésimaílasi

X i 0

int1

ni ,...,2,1=

Por lo tanto ∑=

=n

i

iXn

p1

1ˆ es la proporción de objetos en la muestra cumplen la característica de

interés

Puede ocurrir que se tenga más de un estimador para un parámetro, por ejemplo para estimar la

media muestral se pueden considerar el promedio muestral, o también la semisuma entre 1X y nX ,

es decir 2

ˆ 1 nXX +=µ . En estos casos necesitamos de algún criterio para decidir cuál es mejor

estimador de µ .

7.3 – Criterios para evaluar estimadores puntuales

Lo que se desea de un estimador puntual es que tome valores “próximos” al verdadero parámetro.

Podemos exigir que el estimador Θ tenga una distribución cuya media sea θ .


127

Notar que si un estimador es insesgado entonces su sesgo es cero

Ejemplos:

1- Sea nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de una v.a. X donde µ=)(XE y 2)( σ=XV

Si desconocemos µ un estadístico que se utiliza usualmente para estimar este parámetro es la media

o promedio muestral ∑=

=n

i

iXn

X1

1. Veamos si es un estimador insesgado de µ . Debemos ver si

( ) µ=XE .

Usamos las propiedades de la esperanza, particularmente la propiedad de linealidad.

( ) ( )∑∑∑===

=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i XEn

XEn

Xn

EXE111

111.

Pero, tratándose de las componentes de una muestra aleatoria es:

( ) ( ) n,...,,iµXEXE i 21=∀== . Luego:

( ) .µµnn

XE ==1

2- Sea X una variable aleatoria asociada con alguna característica de los individuos de una población

y sean ( ) µXE = y ( ) 2σXV = . Sea ( )2

1

2

1

1∑=

−−

=n

i

i XXn

S la varianza muestral (con

n/XXn

i

i

= ∑

=1

la esperanza muestral) para una muestra aleatoria de tamaño n, ( )nX,...,X,X 21 .

Entonces ( ) 22 σSE = es decir ( )2

1

2

1

1∑=

−−

=n

i

i XXn

S es un estimador insesgado de ( ) 2σXV =

pues:

( ) ( ) ( )

−

−=

−

−= ∑∑

==

2

1

2

1

2

1

1

1

1 n

i

i

n

i

i XXEn

XXn

ESE .

Reescribiremos la suma de una forma más conveniente. Sumamos y restamos µ y desarrollamos el

cuadrado:

( ) ( ) [ ] [ ]( ) =−+−=−+−=− ∑∑∑===

2

1

2

1

2

1

n

i

i

n

i

i

n

i

i XXXXXX µµµµ

[ ] [ ][ ] [ ]∑=

−+−−+−=n

iii XXXX

1

222 µµµµ [ ] [ ] [ ] [ ] =−+−−+−= ∑∑

==

2

11

22 XnXXX

n

i

i

n

i

i µµµµ

Se dice que el estimador puntual Θ es un estimador insesgado del parámetro θ si ( ) θ=ΘE

cualquiera sea el valor verdadero de θ

La deferencia ( ) θ−ΘE se conoce como sesgo de estimador Θ . Anotamos ( ) ( ) θ−Θ=Θ ˆˆ Eb


128

[ ] [ ] [ ] [ ]21

22 XnXnXX

n

ii −+−−+−= ∑

=µµµµ [ ] [ ] [ ]22

1

22 XµnXµnµX

n

i

i −+−−−= ∑=

.

Esto es:

( ) [ ] [ ]21

2

2

1

XµnµXXXn

i

i

n

i

i −−−=− ∑∑==

Entonces:

( ) ( ) [ ] [ ] =

−−−

−=

−

−= ∑∑

==

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1XnXE

nXXE

nSE

n

i

i

n

i

i µµ

[ ] [ ] =

−−−

−= ∑

=

2

1

2

1

1µµ XnEXE

n

n

i

i

( ) ( )[ ] ( ) ( ) =

−

−=

−−

−= ∑∑

==

XnVXVn

XEXnEXVn

n

i

i

n

i

i

1

2

1 1

1

1

1

−

− nnn

n

22

1

1 σσ ,

donde en la última igualdad tuvimos en cuenta que ( ) ( ) n,...,,iσXVXV i 212 =∀== y que

( )n

σXV

2

= . Luego llegamos a lo que se deseaba demostrar: ( ) 22 σSE = .

3- Supongamos que tomamos como estimador de 2σ a ( )2

1

2 1ˆ ∑

=

−=n

i

i XXn

σ

Entonces notar que podemos escribir ( )( )

21

2

2

1

2 1

1

11ˆ S

n

n

n

XX

n

nXX

n

n

i

in

i

i

−=

−

−−

=−=∑

∑ =

=

σ

Por lo tanto ( ) ( ) 22222 111ˆ σσσ ≠

−=

−=

−=

n

nSE

n

nS

n

nEE

Es decir 2σ no es un estimador insesgado de 2σ , es sesgado, y su sesgo es

( ) ( ) 222222 11ˆˆ σσσσσσ

nn

nEb −=−

−=−=

Como el sesgo es negativo el estimador tiende a subestimar el valor de verdadero parámetro

En ocasiones hay más de un estimador insesgado de un parámetro θ

Por lo tanto necesitamos un método para seleccionar un estimador entre varios estimadores

insesgados.

Varianza y error cuadrático medio de un estimador puntual

Supongamos que 1Θ y 2Θ son dos estimadores insegados de un parámetro θ . Esto indica que la

distribución de cada estimador está centrada en el verdadero parámetro θ . Sin embargo las varianzas

de estas distribuciones pueden ser diferentes. La figura siguiente ilustra este hecho.


129

-15 -10 -5 5 10 15

0.1

0.2

0.3

0.4

Como 1Θ tiene menor varianza que 2Θ , entonces es más probable que el estimador 1Θ produzca

una estimación más cercana al verdadero valor de θ . Por lo tanto si tenemos dos estimadores

insesgados se seleccionará aquel te tenga menor varianza.

Ejemplo: Sea nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de una v.a. X donde µ=)(XE y 2)( σ=XV

Suponemos µ desconocido.

Estimamos al parámetro µ con la media o promedio muestral ∑=

=n

i

iXn

X1

1. Sabemos que es un

estimador insesgado de µ . Anotamos ∑=

==n

i

iXn

X1

1

1µ

Supongamos que tomamos otro estimador para µ , lo anotamos 2

ˆ 12

nXX +=µ

Entonces como

( ) ( ) ( )( ) ( ) µµµµµ ==+=+=

+= 2

2

1

2

1

2

1

2ˆ

211

2 XEXEXX

EE n ,

2ˆ 12

nXX +=µ es también un estimador insesgado de µ

¿Cuál de los dos estimadores es mejor?

Calculamos la varianza de cada uno utilizando las propiedades de la varianza.

Ya sabemos cuál es la varianza de ∑=

=n

i

iXn

X1

1 (se la halló para T.C.L.):

( )=XV ( ),XVn

XVn

Xn

Vn

i

i

n

i

i

n

i

i ∑∑∑===

=

=

12

12

1

111

donde en la última igualdad hemos tenido en cuenta que, por tratarse de una muestra aleatoria, las

iX con i=1,2,…,n son variables aleatorias independientes y, en consecuencia, la varianza de la suma

de ellas es la suma de las varianzas. Si tenemos en cuenta que además todas tienen la misma

distribución que X y por lo tanto la misma varianza:

( ) ( ) n,...,,iσXVXV i 212 =∀== , tenemos

( )=XV .n

σσn

n

22

2

1=

Distribución de 1Θ


θ


130

Análogamente calculamos la varianza de 2

ˆ 12

nXX +=µ :

( ) ( ) ( )24

1)()(

4

1

2ˆ

222

211

2

σσσµ =+=+=

+= XVXV

XXVV n

Vemos que si 2>n entonces )ˆ()ˆ( 21 µµ VV < . Por lo tanto si 2>n es mejor estimador 1µ

Supongamos ahora que 1Θ y 2Θ son dos estimadores de un parámetro θ y alguno de ellos no es

insesgado.

A veces es necesario utilizar un estimador sesgado. En esos casos puede ser importante el error

cuadrático medio del estimador.

El error cuadrático medio puede escribirse de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )2ˆˆˆ Θ+Θ=Θ bVECM

Dem.) Por definición ( ) ( )

−Θ=Θ

2ˆˆ θEECM . Sumamos y restamos el número ( )ΘE :

( ) ( ) ( )( )

−Θ+Θ−Θ=Θ

2ˆˆˆˆ θEEEECM , y desarrollamos el cuadrado:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =

−ΘΘ−Θ+−Θ+Θ−Θ=

−Θ+Θ−Θ=Θ θθθ ˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆˆ 222

EEEEEEEEECM

Aplicamos propiedades de la esperanza:

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20ˆ

2

ˆ

2 ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆ

2

Θ+Θ=Θ−Θ−Θ+−Θ+

Θ−Θ=

ΘΘ

bVEEEEEE

bV

434214342144 344 21

θθ

El error cuadrático medio es un criterio importante para comparar estimadores.

Si la eficiencia relativa es menor que 1 entonces 1Θ tiene menor error cuadrático medio que 2Θ

Por lo tanto 1Θ es más eficiente que 2Θ

El error cuadrático medio de un estimador Θ de un parámetro θ está definido como

( ) ( )

−Θ=Θ

2ˆˆ θEECM

Si 1Θ y 2Θ son dos estimadores de un parámetro θ .

La eficiencia relativa de 2Θ con respecto a 1Θ se define como ( )( )2

1

ˆ

ˆ

Θ

Θ

ECM

ECM


131

Observaciones:

1- Si Θ es un estimador insesgado de θ , entonces ( ) ( )Θ=Θ ˆˆ VECM

2- A veces es preferible utilizar estimadores sesgados que estimadores insesgados, si es que tienen

un error cuadrático medio menor.

En el error cuadrático medio se consideran tanto la varianza como el sesgo del estimador.

Si 1Θ y 2Θ son dos estimadores de un parámetro θ , tales que ( ) θ=Θ1Ê ; ( ) θ≠Θ2

Ê y

( ) ( )12ˆˆ Θ<Θ VV , habría que calcular el error cuadrático medio de cada uno, y tomar el que tenga

menor error cuadrático medio. Pues puede ocurrir que 2Θ , aunque sea sesgado, al tener menor

varianza tome valores mas cercanos al verdadero parámetro que 1Θ

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.1

0.2

0.3

0.4

Ejemplo:

Supóngase que 1Θ , 2Θ y 3Θ son dos estimadores de un parámetro θ , y que

( ) ( ) ;ˆˆ21 θ=Θ=Θ EE ( ) θ≠Θ3

Ê , 10)ˆ( 1 =θV , 6)ˆ( 2 =ΘV y ( ) 4ˆ 2

3 =

−Θ θE . Haga una comparación

de estos estimadores. ¿Cuál prefiere y por qué?

Solución: Calculamos el error cuadrático medio de cada estimador

( ) ( ) 10ˆˆ11 =Θ=Θ VECM pues 1Θ es insesgado

( ) ( ) 6ˆˆ22 =Θ=Θ VECM pues 2Θ es insesgado

( ) ( ) 4ˆˆ 2

33 =

−Θ=Θ θEECM es dato

En consecuencia 3Θ es el mejor estimador de los tres dados porque tiene menor error cuadrático

medio.

Consistencia de estimadores puntuales



θ

Sea nΘ un estimador del parámetro θ , basado en una muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 de

tamaño n. Se dice que nΘ es un estimador consistente de θ si

( ) 0ˆlim =≥−Θ∞→

εθnn

P para todo 0>ε


132

Observación:

Este tipo de convergencia, que involucra a una sucesión de variables aleatorias, se llama

convergencia en probabilidad y es la misma que consideramos en relación a la ley de los grandes

números Suele escribirse también θP

n →Θ .

Este tipo de convergencia debe distinguirse de la considerada en relación al teorema central del

límite. En este último caso teníamos una sucesión de distribuciones: ( ) ( )zZPzF nZ n≤= y se

considera el límite ( ) ( ) ( )zzZPlimzFlim nn

Zn n

Φ=≤=∞→∞→

.

Se habla, entonces, de convergencia en distribución y suele indicarse ZZd

n → ∼ ( )10,N .

Teorema. Sea nΘ un estimador del parámetro θ basado en una muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 .

Si ( ) θ=Θ∞→ n

nE ˆlim y ( ) 0ˆlim =Θ

∞→ nn

V , entonces nΘ es un estimador consistente de θ .

Dem.)

Utilizamos la desigualdad de Chebyshev 0>∀ε :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Θ+Θ=Θ=

−Θ≤≥−Θ

2

222

2

ˆˆ1ˆ1ˆˆ

nnnn

n bVECME

Pεεε

θεθ

Entonces, al tomar el límite ∞→n

lim y teniendo presente que ( ) θ=Θ∞→ n

nE ˆlim y ( ) 0ˆlim =Θ

∞→ nn

V , vemos que

( ) 0ˆlim =≥−Θ∞→

εθnn

P 0>∀ε , es decir nΘ es un estimador convergente de θ .

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria que describe alguna característica numérica de los individuos de una

población y sean ( )XEµ = y ( )XVσ =2 la esperanza poblacional y la varianza poblacional,

respectivamente. Sea ∑=

=n

i

iXn

X1

1 la esperanza muestral basada en una muestra aleatoria

( )nX,...,X,X 21 . Entonces X es un estimador consistente de la esperanza poblacional ( )XEµ = .

Sabemos que

a) ( ) ( )XEµXE == n∀

b) ( ) ( )n

XV

n

σXV ==

2

n∀

La propiedad a) ya me dice que X es un estimador insesgado de ( )XEµ = .

Por otra parte si a) vale para todo n, también vale en particular en el límite ∞→n :

( ) ( )XEµXElimn

==∞→

.

Además, de b) deducimos inmediatamente que

( ) 0=∞→

XVlimn

.

Por lo tanto vemos que X es un estimador consistente de ( )XEµ = .


133

7.4 – Métodos de estimación puntual

Los criterios anteriores establecen propiedades que es deseable que sean verificadas por los

estimadores. Entre dos estimadores posibles para un dado parámetro poblacional es razonable elegir

aquél que cumple la mayor cantidad de criterios o alguno en particular que se considera importante

para el problema que se esté analizando. Sin embargo estos criterios no nos enseñan por sí mismos a

construir los estimadores. Existen una serie de métodos para construir estimadores los cuales en

general se basan en principios básicos de razonabilidad. Entre éstos podemos mencionar:

- Método de los momentos

- Método de máxima verosimilitud

Método de los momentos

Se puede probar usando la desigualdad de Chebyshev el siguiente resultado:

Definimos los momentos de orden k de una variable aleatoria como:

( ) ( )∑∈

==Xi Rx

i

k

i

k

k xpxXEµ ( ),...,,k 210= Si X es discreta

( ) ( )∫+∞

∞−

== dxxfxXEµ kk

k ( ),...,,k 210= Si X es continua,

y definimos los correspondientes momentos muestrales de orden k como:

∑=

=n

i

k

ik Xn

M1

1 ( ),...,,k 210= ,

Entonces la ley débil de los grandes números se puede generalizar:

( ) 0lim =≥−∞→

εµkkn

MP ( ),...,,k 210= .

De acuerdo con esto parece razonable estimar los momentos poblacionales de orden k mediante los

momentos muestrales de orden k: kµ ∼ kM ( ),...,,k 210= .

Ley débil de los grandes números:

Sean ( )nX,...,X,X 21 n variables aleatorias independientes todas las cuales tienen la misma

esperanza ( )XEµ = y varianza ( )XVσ =2 . Sea ∑=

=n

i

iXn

X1

1. Entonces

( ) 0lim =≥−∞→

εµXPn

Decimos que X converge a µ en probabilidad y lo indicamos: µXp

→ .


134

Supongamos, entonces, una variable aleatoria X y supongamos que la distribución de X depende de r

parámetros rθθθ ,...,, 21 , esto es la fdp poblacional es ( )rixp θθθ ,...,,, 21 si X es discreta o

( )rxf θθθ ,...,,, 21 si es continua. Sean rµ,...,µ,µ 21 los primeros r momentos poblacionales:

( ) ( )∑∈

==Xi Rx

ri

k

i

k

k xpxXE θθθµ ,...,,, 21 ( )r,...,,k 21= Si X es discreta

( ) ( )∫+∞

∞−

== dxxfxXE r

kk

k θθθµ ,...,,, 21 ( )r,...,,k 21= Si X es continua,

y sean

∑=

=n

i

k

ik Xn

M1

1 ( )r,...,,k 21= los r primeros momentos maestrales para una muestra de tamaño n

( )nX,...,X,X 21 . Entonces el método de los momentos consiste en plantear el sistema de ecuaciones:

=

=

=

rr Mµ

Mµ

Mµ

MMM

22

11

Es decir

( )

( )

( )

=

=

=

∑∑

∑∑

∑∑

=∈

=∈

=∈

n

i

r

i

Rx

ri

r

i

n

i

i

Rx

rii

n

i

i

Rx

rii

Xn

xpx

Xn

xpx

Xn

xpx

Xi

Xi

Xi

1

21

1

2

21

2

1

1

21

1,...,,,

1,...,,,

1,...,,,

θθθ

θθθ

θθθ

MMM Si X es discreta,

o

( )

( )

( )

=

=

=

∑∫

∑∫

∑∫

=

∞+

∞−

=

∞+

∞−

=

+∞

∞−

n

i

r

ir

r

n

i

ir

n

i

ir

Xn

dxxfx

Xn

dxxfx

Xn

dxxxf

1

21

1

2

21

2

1

1

21

1,...,,,

1,...,,,

1,...,,,

θθθ

θθθ

θθθ

MMM Si X es continua.


135

Resolviendo estos sistema de ecuaciones para los parámetros desconocidos rθθθ ,...,, 21 en función de

la muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 obtenemos los estimadores:

( )( )

( )

=Θ

=Θ

=Θ

nrr

n

n

XXXH

XXXH

XXXH

,...,,ˆ

,...,,ˆ

,...,,ˆ

21

2122

2111

M

Observación:

En la forma que presentamos aquí el método necesitamos conocer la forma de la fdp poblacional, por

lo tanto estamos frente a un caso de estimación puntual paramétrica.

Ejemplos:

1- Sea X una variable aleatoria. Supongamos que X tiene distribución gama con parámetros σ y λ :

X ∼ ( )λ,σΓ , es decir su fdp está dada por:

( )

>

=

−−

valoresdemás

xeσ

x

λσ)x(f

σ

xλ

0

01

1

Γ

con 0>σ ; 0>λ y ( ) ∫∞

−−=Γ0

1 dxexλ xλ .

Sea ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n. Deseamos calcular los estimadores de σ y λ

dados por el método de los momentos.

Solución:

Como tenemos dos parámetros desconocidos a estimar, planteamos el sistema de ecuaciones:

=

=

22

11

Mµ

Mµ

Se puede probar que

σ.λµ =1

222

2 σ.λσ.λµ +=

Tenemos, entonces, el sistema de ecuaciones

=+

=

∑

∑

=

=n

i

i

n

i

i

Xn

σ.λσ.λ

Xn

σ.λ

1

2222

1

1

1

⇒

=+

=

∑=

n

i

iXn

X

1

2222 1..

.

σλσλ

σλ


136

Reemplazando en la segunda ecuación: ∑=

=+n

i

iXn

XX1

22 1σ ⇒

X

XXn

n

i

i∑=

−= 1

221

σ

Y despejando λ de la primera ecuación y reemplazando la expresión hallada para σ

( )

( )

−=

−=

∑

∑

=

=

Xn

XX

XX

Xn

n

i

i

n

i

i

1

2

1

2

2

ˆ

ˆ

σ

λ

2- Sea ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. X donde [ ]θ,0~UX , θ

desconocido. Hallar el estimador de θ por el método de los momentos.

Solución:

Planteamos la ecuación: 11 M=µ

Sabemos que 22

0)(1

θθµ =

+== XE . Entonces X=

2

θ ⇒ X2ˆ =Θ

Observación: notar que el estimador X2ˆ =Θ es un estimador consistente de θ , pues

( ) ( ) ( ) θθ

====Θ2

222ˆ XEXEE y ( ) ( ) ( ) ( )0

312

0442ˆ

22

∞→→=

−===Θ

nnnXVXVV

θθ

3- Sea ( )nX,...,X,X 21 una muestra aleatoria de una v.a. X~ ),( 2σµN .

Encuentra los estimadores de µ y σ por el método de momentos.

Solución:

Planteamos las ecuaciones

=

=

22

11

Mµ

Mµ ⇒ ( )

=

=

∑=

n

i

iXn

XE

X

1

22 1

µ

pero en general es válido que 22 )()( µ−= XEXV ⇒ µ+= )()( 2 XVXE

Entonces las ecuaciones quedan

=+

=

∑=

n

i

iXn

X

1

222 1µσ

µ ⇒

−=

=

∑=

2

1

22 1ˆ

ˆ

XXn

Xn

i

iσ

µ

4- Sea ( )nX,...,X,X 21 una muestra aleatoria de una v.a. X~ ),0( 2σN .

Hallar un estimador por el método de los momentos de 2σ

Solución: en este caso no es conveniente plantear 11 M=µ pues quedaría


137

la ecuación X=0 que no conduce a nada.

Entonces podemos plantear 22 M=µ es decir

∑=

=n

i

iXn

XE1

22 1)( ⇒ ∑

=

=+n

i

iXn 1

22 10σ ⇒ ∑

=

=n

i

iXn 1

22 1σ

Observación: si Θ es un estimador por el método de los momentos de un parámetro θ , el estimador

de los momentos de ( )θg es ( )Θg , si )(xg es una función inyectiva.

Por ejemplo, en el ejemplo anterior un estimador de σ por el método de los momentos sería

∑=

==n

i

iXn 1

22 1ˆˆ σσ . Notar que xxg =)( es inyectiva para los reales positivos.

Método de máxima verosimilitud

Uno de los mejores métodos para obtener un estimador puntual de un parámetro es el método de

máxima verosimilitud.

La interpretación del método sería: el estimador de máxima verosimilitud es aquel valor del

parámetro que maximiza la probabilidad de ocurrencia de los valores muestrales

La adaptación para el caso en que X es una v.a. continua sería la siguiente

Notación: abreviamos estimador de máxima verosimilitud con EMV

Supongamos que X es una v.a. discreta con función de distribución de probabilidad ),( θxp ,

donde θ es un parámetro desconocido. Sean nxxx ,...,, 21 los valores observados de una muestra

aleatoria de tamaño n.

Se define la función de verosimilitud como la función de distribución conjunta de las

observaciones:

( ) ),().....,().,()()...()(,,...,, 21221121 θθθθ nnnn xpxpxpxXPxXPxXPxxxL =====

Notar que la función de verosimilitud es una función de θ .

El estimador de máxima verosimilitud de θ es aquel valor de θ que maximiza la función de

verosimilitud

Supongamos que X es una v.a. continua con función de densidad de probabilidad ),( θxf , donde

θ es un parámetro desconocido. Sean nxxx ,...,, 21 los valores observados de una muestra

aleatoria de tamaño n.

Se define la función de verosimilitud como la función de distribución conjunta de las

observaciones:

( ) ),().....,().,(,,...,, 2121 θθθθ nn xfxfxfxxxL =

La función de verosimilitud es una función de θ .

El estimador de máxima verosimilitud de θ es aquel valor de θ que maximiza la función de

verosimilitud


138

Ejemplos:

1- Sea ( )nX,...,X,X 21 una muestra aleatoria de una v.a. X~ ),1( pB

Por ejemplo, se eligen al azar n objetos de una línea de producción, y cada uno se clasifica como

defectuoso (en cuyo caso 1=ix ) o no defectuoso (en cuyo caso 0=ix ).

Entonces )1( == iXPp , es decir es la verdadera proporción de objetos defectuosos en la producción

total.

Queremos hallar el EMV de p

Solución:

Si X~ ),1( pB entonces kk ppk

kXP −−

== 1)1(

1)( 1,0=k

Planteamos la función de verosimilitud

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nnxxxxxx

nn pppppppxppxppxppxxxL−−− −−−== 111

2121 1...11;...;;;,..,, 2211

Esto puede escribirse:

( ) ( ) ∑−∑

= == −

n

i

i

n

i

ixn

x

n pppxxxL 1

1 1;,...,, 21

Para maximizar la función de verosimilitud y facilitar los cálculos tomamos el logaritmo natural de L

Pues maximizar L es equivalente a maximizar ln(L) y al tomar logaritmos transformamos productos

en sumas.

Entonces

( )( ) ( )pxnpxpxxxLn

i

i

n

i

in −

−+

= ∑∑

==

1lnln;,...,,ln11

21

Y ahora podemos maximizar la función derivando e igualando a cero

( )

01

;,...,,ln 1121 =−

−−=

∂

∂ ∑∑==

p

xn

p

x

p

pxxxL

n

i

i

n

i

i

n

de donde despejando p

xn

x

p

n

i

i

==∑=1 la proporción de defectuosos en la muestra

Por lo tanto se toma como estimador a ∑=

==n

i

iXn

Xp1

1ˆ

2- El tiempo de fallar T de una componente tiene una distribución exponencial con parámetro λ :

T∼ ( )λExp , es decir la fdp es

( )

∞<≤=

−

valoresdemás

te

tf

t

0

0

;

λλλ

Recordemos que la esperanza y varianza son:


139

( ) λ1=TE y ( ) 2

1λ

=TV , respectivamente.

Se desea calcular el estimador de máxima verosimilitud del parámetro λ para una muestra de

tamaño n.

Solución:

La función de probabilidad es:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]nttt

nn eeetftftftttLλλλ λλλλλλλ −−− ×××== ...;...;;;,...,, 21

2121 ,

que puede escribirse:

( ) ( )∑

= =

−n

i

itn

n etttL 1;,...,, 21

λ

λλ

Nuevamente tomamos logaritmo natural

( ) ∑−==

n

iin tntttL

121 ln;,...,,ln λλσ

( )

01;,...,,ln

1

21 =∑−=∂

∂=

n

ii

n TntttL

λλλ

de donde podemos despejar λ :

t

t

nn

i

i

==

∑=1

λ , entonces el estimador de λ es

∑=

=n

i

iT

n

1

λ

El método de máxima verosimilitud presenta, algunas veces, dificultades para maximizar la función

de verosimilitud debido a que la ecuación obtenida a partir de 0)( =θθ

Ld

d no resulta fácil de

resolver. O también puede ocurrir que los métodos de cálculo para maximizar )(θL no son

aplicables.

Por ejemplo:

Sea ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. X donde [ ]θ,0~UX , θ

desconocido. Hallar el estimador de θ por el método máxima verosimilitud.

Solución:

La f.d.p. de X es

<<=

contrariocaso

xsixf

0

01

)(θ

θ

Planteamos la función de verosimilitud


140

( )( )

<=

∀<<=

contrariocaso

xsi

contrariocaso

ixsixxxL

ii

nin

n0

max1

0

01

,,..., 21

θθ

θθθ

Si derivamos con respecto a θ obtenemos 1+

− −=n

n n

d

d

θθ

θ que es siempre menor que cero. Por lo

tanto la función de verosimilitud es una función decreciente para todos los ( )ii

xmax>θ

Si hacemos un gráfico de la función de verosimilitud

Vemos que donde la función tiene el máximo hay una discontinuidad no evitable.

Por lo tanto ( )ii

xmaxˆ =Θ

El método de máxima verosimilitud puede emplearse en el caso donde hay más de un parámetro

desconocido para estimar. En ese caso la función de verosimilitud es una función de varias variables.

Específicamente si tenemos para estimar k parámetros kθθθ ,..., 21 , entonces la función de

verosimilitud es una función de k variables ( )knxxxL θθθ ,...,,,...,, 2121 y los estimadores de máxima

verosimilitud kΘΘΘ ˆ,...ˆ,ˆ21 se obtienen al plantear ( si existen las derivadas parciales) y resolver el

sistema de k ecuaciones con k incógnitas kθθθ ,..., 21

( ) kixxxLd

dkn

i

,..2,10,...,,,...,, 2121 ==θθθθ

Ejemplo:

La variable aleatoria X tiene distribución ( )2σ,µN con µ y 2σ ambos parámetros desconocidos para

los cuales se desea encontrar los estimadores máxima verosimilitud. La fdp es

( )2

2

1

2

2

1

−−

= σ

µx

eσπ

σ,µ;xf ∞<<∞− x ,

La función de verosimilitud para una muestra aleatoria de tamaño n es

θ ( )ii

xmax

)(θL


141

( )

( )2

1

22

2

2

1

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

21

2

2

1...

2

1

2

1,;,...,,

−−

−

−−

−−

−−

∑=

==

= σµ

σµ

σµ

σµ

πσ

σπσπσπσµ

in

i

n

xn

xxx

n

e

eeexxxL

Luego

( ) ( )2

1

22

212

12ln

2,;,...,,ln ∑

=

−−−=

n

i

in

xnxxxL

σµ

πσσµ

y el sistema de ecuaciones de verosimilitud queda:

( )

( ) ( )

=−

+−=∂

∂

=

−=

∂∂

∑

∑

=

=

02

1

2

,;,...,,ln

0,;,...,,ln

14

2

22

2

21

1

2

21

n

i

in

n

i

in

xnxxxL

xxxxL

σµ

σσσµ

σµ

µσµ

Resolvemos con respecto a µ y 2σ :

( ) ( )

−=−=

==

∑ ∑

∑

= =

=n

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

xn

xxn

1 1

222

1

11

1

µσ

µ

Entonces los estimadores máxima verosimilitud de µ y 2σ son

( )

−=

==

∑

∑

=

=n

i

i

n

i

i

XXn

XXn

1

22

1

1ˆ

1ˆ

σ

µ

Propiedades de los estimadores máxima verosimilitud

1- Los EMV pueden ser sesgados, pero en general si Θ es el EMV de un parámetro θ basado en

una muestra de tamaño n, entonces θ=Θ∞→

)ˆ(limEn

, es decir son asintóticamente insesgados

2- Bajo condiciones bastantes generales se puede probar que los EMV son asintóticamente

consistentes

3- Bajo condiciones bastantes generales se puede probar que los EMV asintóticamente tienen

varianza mínima

4-Los EMV cumplen la propiedad de invarianza es decir:

si Θ es un EMV de un parámetro θ , el EMV de ( )θg es ( )Θg , si )(xg es una función inyectiva.

Ejemplos:

1- Si consideramos nuevamente la situación considerada en el Ejemplo 2, donde teníamos una v.a. T

cuya distribución es una exponencial: T∼ ( )λExp , entonces, si queremos el EMV de la varianza


142

poblacional, podemos calcularlo recordando que ( ) 21λ

=TV , es decir, ( ) ( ) 21λ

λ == gTV . Vimos

que T

T

nn

i

i

1ˆ

1

==

∑=

λ . Por lo tanto el EMV de la varianza es 2

2

ˆ

1ˆ

λσ = .

2- Sea nXXX ,........,, 21 una muestra aleatoria de una v.a. ),1( pB . Un EMV de p es ∑=

==n

i

iXn

Xp1

1ˆ

Se selecciona una muestra aleatoria de n cascos para ciclistas fabricados por cierta compañía.

Sea X : “ el número entre los n que tienen defectos” , y p = P(el casco tiene defecto).

Supongamos que solo se observa X ( el número de cascos con defectos).

Si n = 20 y x = 3, es la estimación de p es 20

3ˆ =p

El E.M.V. de la probabilidad (1-p)5, de que ninguno de los siguientes cinco cascos que se examinen

tenga defectos será ( )5ˆ1 p− y su estimación en este caso

5

20

31

−

8- Intervalos de confianza

8.1 – Introducción

Se ha visto como construir a partir de una muestra aleatoria un estimador puntual de un parámetro

desconocido. En esos casos necesitábamos dar algunas características del estimador, como por

ejemplo si era insesgado o su varianza.

A veces resulta más conveniente dar un intervalo de valores posibles del parámetro desconocido, de

manera tal que dicho intervalo contenga al verdadero parámetro con determinada probabilidad.

Específicamente, a partir de una muestra aleatoria se construye un intervalo ( )21ˆ,ˆ ΘΘ donde los

extremos 1Θ y 2Θ son dos estadísticos, tal que ( )( ) αθ −=ΘΘ∈ 1ˆ,ˆ21P donde θ es el parámetro

desconocido a estimar y α es un valor real entre cero y uno dado de antemano. Por ejemplo si

05.0=α , se quiere construir un intervalo ( )21ˆ,ˆ ΘΘ tal que ( )( ) 95.0ˆ,ˆ

21 =ΘΘ∈θP , o escrito de otra

forma ( ) 95.0ˆˆ21 =Θ≤≤Θ θP

Esta probabilidad tiene el siguiente significado: como 1Θ y 2Θ son estadísticos, los valores que

ellos toman varían con los valores de la muestra, es decir si nxxx ,...,, 21 son los valores medidos de

la muestra entonces el estadístico 1Θ tomará el valor 1θ y el estadístico 2Θ tomará el valor 2θ . Si

medimos nuevamente la muestra obtendremos ahora valores ,,

2

´,

1 ,...,, nxxx y por lo tanto 1Θ tomará

el valor ,

1θ y el estadístico 2Θ tomará el valor ,

2θ , diferentes en general de los anteriores. Esto

significa que si medimos la muestra 100 veces obtendremos 100 valores diferentes para 1Θ y 2Θ y

por lo tanto obtendremos 100 intervalos distintos, de los cuales aproximadamente 5 de ellos no

contendrán al verdadero parámetro.

Al valor α−1 se lo llama nivel de confianza del intervalo. También se suele definir como nivel de

confianza al ( ) %1001 α−


143

La construcción repetida de un intervalo de confianza para µ se ilustra en la siguiente figura

8.2 – Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, varianza conocida.

El método general para construir intervalos de confianza es el siguiente llamado método del pivote:

Supongamos el siguiente caso particular, sea ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n de

una v.a. X donde ),(~ 2σµNX , 2σ conocido, se quiere construir un intervalo de confianza para µ

de nivel α−1 . Supongamos 05.0=α .

1- tomamos un estimador puntual de µ , sabemos que X=µ es un estimador con buenas

propiedades.

2- a partir de X=µ construimos el estadístico

n

XZ

σµ−

= . Notar que Z (pivote) contiene al

verdadero parámetro µ y que bajo las condiciones dadas )1,0(~ NZ

3- como conocemos la distribución de Z, podemos plantear: hallar un número z tal que

( ) 95.0=≤≤− zZzP

Por la simetría de la distribución normal estándar podemos escribir

( ) ( ) ( ) ( ) 95.012 =−Φ=−Φ−Φ=≤≤− zzzzZzP ⇒ ( ) 975.0=Φ z ⇒ 96.1=z

Por lo tanto ( ) 95.096.196.196.196.1 =

≤−

≤−=≤≤−

n

XPZP

σµ

Despejamos µ :

µ


144

95.096.196.196.196.1

96.196.196.196.1

=

+≤≤−=

−≤−≤−−=

=

≤−≤−=

≤

−≤−

nX

nXPX

nX

nP

nX

nP

n

XP

σµ

σσµ

σ

σµ

σσ

µ

Entonces

95.096.1;96.196.196.1 =

+−∈=

+≤≤−

nX

nXP

nX

nXP

σσµ

σµ

σ

Es decir el intervalo de confianza para µ es

+−

nX

nX

σσ96.1;96.1 y tiene nivel de confianza

0.95 o 95%.

Aquí n

Xσ

96.1ˆ1 −=Θ y

nX

σ96.1ˆ

2 +=Θ

Repetimos el procedimiento anterior y construimos un intervalo de confianza para µ con nivel de

confianza α−1

1-Partimos de la esperanza muestral ∑=

=n

iXn

X11

1 para una muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 de

tamaño n. Sabemos que es un estimador insesgado y consistente de µ .

2-Construimos el estadístico

N~n/σ

µXZ

−= (0,1)

La variable aleatoria Z cumple las condiciones necesarias de un pivote

Para construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 1-α partiendo del pivote Z,

comenzamos por plantear la ecuación

( ) =≤≤− zZzP 1-α ,

donde la incógnita es el número real z.

Si reemplazamos la v.a. Z por su expresión tenemos:

=

+−≤−≤−−=

≤−≤−=

≤

−≤−

n

σzXµ

n

σzXP

n

σzµX

n

σzPz

n/σ

µXzP 1-α

Multiplicando todos los miembros de la desigualdad por -1 (el orden de los miembros se invierte)

llegamos a:

=

+≤≤−

n

σzXµ

n

σzXP 1-α

Evidentemente, si definimos


145

+=Θ

−=Θ

nzX

nzX

σ

σ

2

1

ˆ

ˆ

, hemos construido dos estadísticos 1Θ y 2Θ tales que ( )=Θ≤≤Θ 21ˆˆ µP 1-α ,

es decir hemos construido el intervalo de confianza bilateral deseado [ ]21ˆ,ˆ ΘΘ . Todos los elementos

que forman los estadísticos 1Θ y 2Θ son conocidos ya que el número z verifica la ecuación

anterior, es decir (ver figura):

( ) ( ) ( )zzzZzP −Φ−Φ=≤≤− =1-α donde ( )zΦ es la Fda para la v.a. N~Z (0,1)

Recordando que ( ) ( )zz Φ−=−Φ 1 , esta ecuación queda:

( ) ( )zz −Φ−Φ = ( ) 12 −Φ z =1-α , o bien (ver figura anterior),

( )2

1α

z −=Φ o de otra forma 2

)(α

=> zZP .

Al valor de z que verifica esta ecuación se lo suele indicar 2

αz . En consecuencia, el intervalo de

confianza bilateral al nivel de significación 1-α queda:

[ ]

+−=ΘΘ

nzX

nzX

σσαα22

21 ,ˆ,ˆ

En consecuencia:

Ejemplo:

Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresión del concreto. La resistencia está distribuida

aproximadamente de manera normal, con varianza 1000 (psi)2. Al tomar una muestra aleatoria de 12

especímenes, se tiene que 3250=x psi.

a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la resistencia a la compresión promedio.

Si ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. X donde ),(~ 2σµNX , 2σ

conocido, un intervalo de confianza para µ de nivel α−1 es

+−

nzX

nzX

σσαα22

, (8.1)

αz

2

αz 2

αz−

2

α

2

α

2

αzz =


146

b) Construya un intervalo de confianza del 99% para la resistencia a la compresión promedio.

Compare el ancho de este intervalo de confianza con el ancho encontrado en el inciso a).

Solución:

La v. a. de interés es Xi: “resistencia a la compresión del concreto en un espécimen i”

Tenemos una muestra de 12=n especímenes.

Asumimos que ),(~ 2σµNX i para 12,...,3,2,1=i con 10002 =σ

a) Queremos un intervalo de confianza para µ de nivel 95%. Por lo tanto 05.0=α

El intervalo a utilizar es

+−

nzX

nzX

σσαα22

, .

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor de 96.1025.0

2

== zzα

Reemplazando:

=

×+×− 89227.3267,10773.3232

12

100096.13250,

12

100096.13250

b) repetimos lo anterior pero ahora 01.0=α

El intervalo a utilizar es

+−

nzX

nzX

σσαα22

, .

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor de 58.2005.0

2

== zzα

Reemplazando:

=

×+×− 55207.3273,44793.3226

12

100058.23250,

12

100058.23250

La longitud del intervalo encontrado en a) es: 35.78454

La longitud del intervalo encontrado en b) es: 47.10414

Notar que la seguridad de que el verdadero parámetro se encuentre en el intervalo hallado es mayor

en el intervalo b) que en el a), pero la longitud del intervalo b) es mayor que la del intervalo a).

Al aumentar el nivel de confianza se perdió precisión en la estimación, ya que a menor longitud hay

mayor precisión en la estimación.

En general la longitud del intervalo es n

zLσ

α2

2=

Notar que:

a) si n y σ están fijos, a medida que α disminuye tenemos que 2

αz aumenta, por lo tanto L

aumenta.

b) si α y σ están fijos, entonces a medida que n aumenta tenemos que L disminuye.

Podemos plantearnos la siguiente pregunta relacionada con el ejemplo anterior: ¿qué tamaño n de

muestra se necesita para que el intervalo tenga nivel de confianza 99% y longitud la mitad de la

longitud del intervalo hallado en a)?

Solución: el intervalo hallado en a) tiene longitud 35.78454, y queremos que el nuevo intervalo

tenga longitud 17.89227 aproximadamente. Planteamos:


147

89227.171000

58.2289227.1722

≤××⇒≤=nn

zLσ

α

Despejando n :

170.8389227.17

100058.22

2

≥⇒≤

×× nn

O sea, hay que tomar por lo menos 84 especímenes para que el intervalo tenga la longitud pedida.

Si estimamos puntualmente al parámetro µ con X estamos cometiendo un error en la estimación

menor o igual a n

zL σ

α2

2= , que se conoce como precisión del estimador

Ejemplo: Se estima que el tiempo de reacción a un estímulo de cierto dispositivo electrónico está

distribuido normalmente con desviación estándar de 0.05 segundos. ¿Cuál es el número de

mediciones temporales que deberá hacerse para que la confianza de que el error de la estimación de

la esperanza no exceda de 0.01 sea del 95%?

Nos piden calcular n tal que 01.02

2

<=n

zL σ

α con 05.0=α .

Por lo tanto

2

025.001.0

05.0

≥ zn .

Además 025,0z =1.96. Entonces ( ) 04965961010

050 2

2

9750 ...

.zn . =×=

≥ .

O sea hay que tomar por lo menos 97 mediciones temporales.

Ejemplo:

Supongamos que X representa la duración de una pieza de equipo y que se probaron 100 de esas

piezas dando una duración promedio de 501.2 horas. Se sabe que la desviación estándar poblacional

En general, si queremos hallar n tal que ln

zL ≤=σ

α2

2 , donde l es un valor dado, entonces

despejando n

2

2

2

≥l

z

n

σα

Para muestras tomadas de una población normal, o para muestras de tamaño 30≥n , de una

población cualquiera, el intervalo de confianza dado anteriormente en (8.1), proporciona buenos

resultados.

En el caso de que la población de la que se extrae la muestra no sea normal pero 30≥n , el nivel

de confianza del intervalo (8.1) es aproximadamente α−1 .

Pero para muestras pequeñas tomadas de poblaciones que no son normales no se puede garantizar

que el nivel de confianza sea α−1 si se utiliza (8.1).


148

es σ =4 horas. Se desea tener un intervalo del 95% de confianza para la esperanza poblacional

( ) µXE = .

Solución:

En este caso, si bien no conocemos cuál es la distribución de X tenemos que el tamaño de la muestra

es 30100 >=n (muestra grande) por lo tanto el intervalo buscado es

+−

nzX

nzX

σσαα22

,

Puesto que 1-α=0.95 025.02

05.095.01 =→=−=→α

α

De la tabla de la normal estandarizada obtenemos 025,0z =1.96. Entonces reemplazando:

+−

100

496.1,

100

496.1 XX

Para el valor particular x =501.2 tenemos el intervalo

=

+−=

+− 0.502,4.500

10

496.12.501,

10

496.12.501

496.1,

100

496.1

nxx .

Al establecer que

05024500 .,. es un intervalo al 95% de confianza de µ estamos diciendo que la

probabilidad de que el intervalo

05024500 .,. contenga a µ es 0.95. O, en otras palabras, la

probabilidad de que la muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 tome valores tales que el intervalo aleatorio

+−

100

496.1,

100

496.1 XX defina un intervalo numérico que contenga al parámetro fijo

desconocido µ es 0.95.

8.2 - Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, varianza desconocida

Nuevamente como se trata de encontrar un intervalo de confianza para µ nos basamos en la

esperanza muestral ∑=

=n

iXn

X11

1 que sabemos es un buen estimador de µ . Pero ahora no podemos

usar como pivote a

n/σ

µXZ

−=

porque desconocemos σ y una condición para ser pivote es que, excepto por el parámetro a estimar (

en este caso µ ), todos los parámetros que aparecen en él deben ser conocidos. Entonces proponemos

como pivote una variable aleatoria definida en forma parecida a Z pero reemplazando σ por un

estimador adecuado.

Ya vimos que la varianza muestral definida


149

( )2

11

2

1

1∑=

−−

=n

i XXn

S ,

donde X es la esperanza muestral, es un estimador insesgado de la varianza poblacional ( )XV , es

decir, ( ) ( ) 22 σXVSE == n∀ . Entonces estimamos σ con S y proponemos como pivote a la

variable aleatoria

n/S

µXT

−= .

Pero para poder usar a T como pivote debemos conocer su distribución.

Se puede probar que la distribución de T es una distribución llamada Student con parámetro n-1.

Nota: Una v.a. continua tiene distribución Student con k grados de libertad, si su f.d.p. es de la

forma

( )

∞<<∞−

+

Γ

+Γ

=+

x

k

xk

k

k

xfk

1

1

2

2

1

)(

2

1

2π

Notación: ktT ~

La gráfica de la f.d.p. de la distribución Student tiene forma de campana como la normal, pero tiende

a cero más lentamente. Se puede probar que cuando ∞→k la fdp de la Student tiende a la fdp de la

)1 ,0(N .

En la figura siguiente se grafica f(x) para diferentes valores de k

1=k

6=k

- - - - - ∞=k

Anotaremos kt ,α al cuantil de la Student con k grados de libertad que deja bajo la fdp a derecha un

área de α , y a su izquierda un área de α−1 .

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4


150

Luego, para construir el intervalo de confianza buscado a partir del pivote T procedemos como en

los casos anteriores:

Comenzamos por plantear la ecuación

( ) =≤≤− tTtP 1-α ,

donde la incógnita es el número real t.

Si reemplazamos la v.a. T por su expresión, tenemos sucesivamente (multiplicando por n/S y

restando X ):

=

+−≤−≤−−=

≤−≤−=

≤

−≤−

n

StXµ

n

StXP

n

StµX

n

StPt

n/S

µXtP 1-α


llegamos a:

=

+≤≤−

n

StXµ

n

StXP 1-α


+=Θ

−=Θ

n

StX

n

StX

2

1

ˆ

ˆ

, hemos construido dos estadísticos 1Θ y 2Θ tales que ( )=Θ≤≤Θ 21ˆˆ µP 1-α ,

veamos quien es el número t que verifica la ecuación, es decir (ver figura):

( ) ( ) ( )tFtFtTtP −−=≤≤− =1-α donde ( )tF es la Fda para la v.a. T ∼ 1−nt .

Por la simetría de la distribución t de Student se deduce fácilmente de la figura anterior que

( ) ( )tFtF −=− 1 , entonces:

( ) ( )tFtF −− = ( ) 12 −tF =1-α , o bien (ver figura anterior),

( )2

1α

tF −= .

2

αt− 2

αt

libertad de grados 4=k

2

α

2

α


151

Al valor de t que verifica esta ecuación se lo suele indicar 1,

2−n

tα . En consecuencia, el intervalo de

confianza bilateral al nivel de significación 1-α queda:

+−

−− n

StX

n

StX

nn 1,2

1,2

, αα con 2

11,

2

αα −=

−n

tF .

En consecuencia:

Ejemplo:

Se hicieron 10 mediciones sobre la resistencia de cierto tipo de alambre que dieron valores

1021 x,...,x,x tales que ∑=

==10

1

481010

1

i

i .xx ohms y ( )∑=

−=10

2

9

1

!i

i xxS = 1.36 ohms. Supóngase que

X~N(µ,σ2).

Se desea obtener un intervalo de confianza para la esperanza poblacional µ al 90 %.

Tenemos que →=− 9001 .α →= 10.α 05.02/ =α

De la Tabla de la t de Student tenemos que 8331.19,05.0 =t . Entonces el intervalo de confianza

buscado es:

+−=

+−

−− 10

36.18331.148.10,

10

36.18331.148.10,

1,2

1,2 n

StX

n

StX

nnαα

Esto es: [ ]27.11 ,69.9 .

8.3 – Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas conocidas

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas:

Si ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. X donde ),(~ 2σµNX , 2σ desconocido, un intervalo de confianza para µ de nivel α−1 es

+−

n

StX

n

StX

22

, αα (8.2)

Si la muestra aleatoria se toma de una distribución normal, σ2 es desconocido y el tamaño de la

muestra grande, entonces se puede probar que al reemplazar σ por S, el estadístico

( )10,Nn/S

µXZ ∼

−= aproximadamente

y puedo construir el intervalo para µ como antes:

+−

n

SzX

n

SzX

22

, αα , pero su nivel es aproximadamente α−1


152

( )( )

2

222

2

111

σ,µN~X

σ,µN~X y suponemos que las varianzas 2

1σ y 2

2σ son conocidas.

Sean además

( )111211 nX,...,X,X una muestra aleatoria de tamaño 1n de 1X

( )222221 nX,...,X,X una muestra aleatoria de tamaño 2n de 2X .

Deseamos construir un intervalo al nivel de confianza α−1 para la diferencia de esperanzas 21 µµ − .

Ya sabemos cuál es la distribución del promedio de variables aleatorias normales independientes:

=

=

∑

∑

=

=

2

1

1 2

2

222

2

2

1 1

2

111

1

1

1

1

n

i

i

n

i

i

n

σ,µN~X

nX

n

σ,µN~X

nX

Consideremos ahora la diferencia 21 XXY −= . Si 1X y 2X tienen distribución normal y son

independientes, su diferencia también es normal, con esperanza igual a la diferencia de las

esperanzas y la varianza es la suma de las varianzas:

+−−

2

2

2

1

2

12121 ,N~

nnXX

σσµµ .

Por lo tanto

( ) ( )1,0N~

2

2

2

1

2

1

2121

nn

XXZ

σσ

µµ

+

−−−= , es decir, tiene distribución normal estandarizada.

La v.a. Z cumple con toda las condiciones para servir de pivote y construiremos nuestro intervalo en

forma análoga a cómo hicimos en los casos anteriores:

Comenzamos por plantear la ecuación

( ) =≤≤− zZzP 1-α ,

donde la incógnita es el número real z.

Reemplazamos la v.a. Z por su expresión y tenemos sucesivamente (multiplicando por n/σ y

restando X ):

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ασσ

µµσσ

σσµµ

σσ

σσ

µµ

−=

++−−≤−−≤+−−−=

=

+≤−−−≤+−=

≤

+

−−−≤−

12

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2121

nnzXX

nnzXXP

nnzXX

nnzPz

nn

XXzP


153


llegamos a:

( ) ασσ

µµσσ

−=

++−≤−≤+−− 1

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121

nnzXX

nnzXXP


+−−=Θ

+−−=Θ

,ˆ

ˆ

2

2

2

1

2

1212

2

2

2

1

2

1211

nnzXX

nnzXX

σσ

σσ

habremos construido dos estadísticos 1Θ y 2Θ tales que ( )( )=Θ≤−≤Θ 2211ˆˆ µµP 1-α , es decir

habremos construido el intervalo de confianza bilateral deseado [ ]21 A,A . Todos los elementos que

forman los estadísticos 1Θ y 2Θ son conocidos ya que el número z verifica la ecuación anterior, es

decir:

( ) ( ) ( )zzzZzP −Φ−Φ=≤≤− =1-α donde ( )zΦ es la Fda para la v.a. N~Z (0,1)

o bien, según vimos:

( )2

1α

z −=Φ que anotamos 2

αz

En consecuencia, el intervalo de confianza bilateral al nivel de significación 1-α queda:

++−+−−

2

2

2

1

2

1

2

21

2

2

2

1

2

1

2

21 ,nn

zXXnn

zXXσσσσ

αα

Por lo tanto

Ejemplo:

Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para máquinas lavaplatos. Se

sabe que las desviaciones estándar de volumen de llenado son 10.01 =σ onzas de líquido y

15.02 =σ onzas de líquido para las dos máquinas respectivamente. Se toman dos muestras

aleatorias, 121 =n botellas de la máquina 1 y 102 =n botellas de la máquina 2. Los volúmenes

promedio de llenado son 87.301 =x onzas de líquido y 68.302 =x onzas de líquido.

Si 1X y 2X son dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas:

( )2

111 ,N~ σµX , ( )2

222 ,N~ σµX y suponemos que las varianzas 2

1σ y 2

2σ son conocidas. Un

intervalo de confianza para la diferencia 21 µµ − de nivel α−1 es

++−+−−

2

2

2

1

2

1

2

21

2

2

2

1

2

1

2

21 ,nn

zXXnn

zXXσσσσ

αα

r (8.3)


154

Asumiendo que ambas muestras provienen de distribuciones normales

Construya un intervalo de confianza de nivel 90% para la diferencia entre las medias del volumen de

llenado.

Solución:

Como 90.01 =−α entonces 10.0=α

Por lo tanto 65.105.0

2

== zzα

El intervalo será ( ) ( )

++−+−−

10

15.0

12

10.065.168.3087.30;

10

15.0

12

10.065.168.3087.30

2222

O sea

281620.0;09837.0

Si se conocen las desviaciones estándar y los tamaños de las muestras son iguales (es decir

nnn == 21 ), entonces puede determinarse el tamaño requerido de la muestra de manera tal que la

longitud del intervalo sea menor que l

( )2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2 σσσσ α

α +

≥⇒≤+=l

z

nlnn

zL

Ejemplo:

Para muestras tomadas de dos poblaciones normales, o para muestras de tamaño 301 ≥n y

302 ≥n , de dos poblaciones cualesquiera, el intervalo de confianza dado anteriormente en (8.3),

proporciona buenos resultados.

En el caso de que la población de la que se extrae la muestra no sea normal pero 301 ≥n y

302 ≥n , el nivel de confianza del intervalo (8.3) es aproximadamente α−1 .

Si las muestras aleatorias se toma de una distribución normal, donde 1σ y 2σ son desconocidos,

301 ≥n y 302 ≥n , entonces se puede probar que al reemplazar 1σ por S1 y 2σ por S2, el

estadístico

)1,0()(

1

2

1

1

2

1

2121 N

n

S

n

S

XX≈

+

−−− µµ. aproximadamente

y puedo construir el intervalo para 21 µµ − como antes:

++−+−−

1

2

1

1

2

1

2

21

1

2

1

1

2

1

2

21 ,n

S

n

SzXX

n

S

n

SzXX αα , (8.4)

pero su nivel es aproximadamente α−1


155

De una muestra de 150 lámparas del fabricante A se obtuvo una vida media de 1400 hs y una

desviación típica de 120 hs. Mientras que de una muestra de 100 lámparas del fabricante B se obtuvo

una vida media de 1200 hs. y una desviación típica de 80 hs.

Halla los límites de confianza del 95% para la diferencia las vidas medias de las poblaciones A y B.

Solución:

Sean las variables aleatorias:

:1X “duración en horas de una lámpara del fabricante A”

:2X “duración en horas de una lámpara del fabricante B”

No se dice cuál es la distribución de estas variables, pero como 1501 =n y 1002 =n

podemos usar el intervalo dado en (8.4)

Tenemos que 14001 =x , 12002 =x , 1201 =s y 802 =s .

Además 95.01 =−α 1.96z z 0.025

2

==→ α

Entonces el intervalo es

=

+−−+−− 7922.224;2077.175100

80

150

12096.112001400;

100

80

150

12096.112001400

2222

Observación: como este intervalo no contiene al cero, podemos inferir que hay diferencia entre las

medias con probabilidad 0.95, es más, podemos inferir que la media del tiempo de duración de las

lámparas del fabricante A es mayor que la media del tiempo de duración de las lámparas del

fabricante B con probabilidad 0.95 .

8.4 – Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas desconocidas

Nuevamente supongamos que tenemos dos variables aleatorias independientes normalmente

distribuidas:

( )( )

2

222

2

111

σ,µN~X

σ,µN~X y suponemos que las varianzas 2

1σ y 2

2σ son desconocidas .

Sean además

( )111211 nX,...,X,X una muestra aleatoria de tamaño 1n de 1X

( )222221 nX,...,X,X una muestra aleatoria de tamaño 2n de 2X .

Pero ahora 1n o 2n no son mayores que 30

Supongamos que es razonable suponer que las varianzas desconocidas son iguales, es decir

σσσ == 21

Deseamos construir un intervalo al nivel de confianza α−1 para la diferencia de esperanzas 21 µµ −

Sean 1X y 2X las medias muestrales y 2

1S y 2

2S las varianzas muestrales. Como 2

1S y 2

2S son los

estimadores de la varianza común 2σ , entonces construimos un estimador combinado de 2σ . Este

estimador es

( ) ( )

2

11

21

2

22

2

112

−+

−+−=

nn

SnSnS p


156

Se puede comprobar que es un estimador insesgado de 2σ .

Se puede probar que el estadístico

( )

21

2121

11

nnS

XXT

p +

−−−=

µµr

tiene distribución Student con 221 −+ nn grados de libertad

Por lo tanto se plantea la ecuación

ααα −=

≤≤−

−+−+1

2,2

2,2

2121 nnnntTtP

o

( )

αµµ

αα −=

≤

+

−−−≤−

−+−+1

11 2,2

21

2121

2,2

2121 nn

p

nnt

nnS

XXtP

r

Despejamos 21 µµ − y queda la expresión

αµµ αα −=

+≤−≤+−−

−+−+1

1111

212,

2

21

212,

2

212121 nn

Stnn

StXXP pnn

pnn

Entonces

Ejemplo:

Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente líquido para ropa, es afectada

por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de fabricación. Se sabe que la desviación estándar

de la concentración activa es de 3 g/l, sin importar el tipo de catalizador utilizado. Se realizan 10

observaciones con cada catalizador, y se obtienen los datos siguientes:

Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0

Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4, 65.3, 68.8

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las

concentraciones activas para los dos catalizadores. Asumir que ambas muestras fueron extraídas de

poblaciones normales con varianzas iguales.

b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del

catalizador utilizado?


( )2

111 ,N~ σµX , ( )2


1σ y 2

2σ son desconocidas e

iguales, es decir σσσ == 21

Un intervalo de confianza para la diferencia 21 µµ − de nivel α−1 es

21

2,2

21

212,

2

21

11;

11

2121 nnStXX

nnStXX p

nnp

nn+−−+−−

−+−+αα (8.5)


157

Solución:

Sean las variables aleatorias

:1X “ concentración del ingrediente activo con catalizador 1”

:2X “ concentración del ingrediente activo con catalizador 2”

Asumimos que ambas variables tienen distribución normal con varianzas iguales

Estamos e3n las condiciones para usar (8.5)

Tenemos que 22.651 =x , 42.682 =x , 444.31 =s , 224.22 =s , 1021 == nn

Calculamos ( ) ( )

4036.821010

224.29444.39

2

11 22

21

2

22

2

112 =−+×+×

=−+

−+−=

nn

SnSnS p

Por lo tanto 89890.24036.8 ==pS

Buscamos en la tabla de la Student 060.218,025.02,

221

==−+

ttnn

α


[ ]52935.0;8706.5

10

1

10

189890.2060.242.6822.65;

10

1

10

189890.2060.242.6822.65

−−=

=

+×−−+×−−

b) Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del

catalizador utilizado, pues el 0 no pertenece al intervalo.

En muchas ocasiones no es razonable suponer que las varianzas son iguales. Si no podemos

garantizar que las varianzas son iguales, para construir un intervalo de confianza de nivel α−1 para

21 µµ − utilizamos es estadístico

1

2

1

1

2

1

2121* )(

n

S

n

S

XXT

+

−−−=

µµ

Se puede probar que *T tiene aproximadamente una distribución Student con ν grados de libertad

donde

( )

( ) ( )11 2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

21

2

1

−+

−

+=

n

nS

n

nS

nSnSν si ν no es entero, se toma el entero más próximo a ν

Por lo tanto planteamos la ecuación

αν

αν

α −=

≤≤− 1

,2

*

,2

tTtP

Y despejando 21 µµ − el intervalo es

++−+−−

2

2

2

1

2

1

,2

21

2

2

2

1

2

1

,2

21 ,n

S

n

StXX

n

S

n

StXX

να

να


158

Entonces

Ejemplo:

Una muestra de 6 soldaduras de un tipo tenía promedio de prueba final de resistencia de 83.2 ksi y

desviación estándar de 5.2. Y una muestra de 10 soldaduras de otro tipo tenía resistencia promedio

de 71.3 ksi y desviación estándar de 3.1. supongamos que ambos conjuntos de soldaduras son

muestras aleatorias de poblaciones normales. Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95%

para la diferencia entre las medias de las resistencias de los dos tipos de soldaduras.

Solución:

Ambos tamaños muestrales son pequeños y las muestras provienen de poblaciones normales. No

podemos asumir igualdad de varianzas. Entonces aplicamos (8.6)

Tenemos que 2.831 =x , 3.712 =x , 2.51 =s , 1.32 =s , 10;6 21 == nn

Como 95.01 =−α entonces 025.02

=α

Además ( )

( ) ( ) ( ) ( )718.7

9

101.3

5

62.5

10

1.3

6

2.5

11

22

222

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

21

2

1 ≈=

+

+

=

−+

−

+=

n

nS

n

nS

nSnSν

Entonces buscamos en la tabla de la Student 365.27,025.0 =t

Por lo tanto el intervalo es

=

++−+−−=

=

++−+−−

43.17,37.610

1.3

6

2.5365.23.712.83;

10

1.3

6

2.5365.23.712.83

,

2222

2

2

2

1

2

1

,2

21

2

2

2

1

2

1

,2

21n

S

n

StXX

n

S

n

StXX

να

να


( )2

111 ,N~ σµX , ( )2


1σ y 2

2σ son desconocidas y

distintas

Un intervalo de confianza para la diferencia 21 µµ − de nivel aproximadamente α−1 es

++−+−−

2

2

2

1

2

1

,2

21

2

2

2

1

2

1

,2

21 ,n

S

n

StXX

n

S

n

StXX

να

να (8.6)

Donde

( )

( ) ( )11 2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

21

2

1

−+

−

+=

n

nS

n

nS

nSnSν


159

8.5 – Intervalo de confianza para 21 µµ − para datos pareados

Hasta ahora se obtuvieron intervalos de confianza para la diferencia de medias donde se tomaban

dos muestras aleatorias independientes de dos poblaciones de interés. En ese caso se tomaban 1n

observaciones de una población y 2n observaciones de la otra población.

En muchas situaciones experimentales, existen solo n unidades experimentales diferentes y los datos

están recopilados por pares, esto es cada unidad experimental está formada por dos observaciones.

Por ejemplo, supongamos que se mide el tiempo en segundos que un individuo tarda en hacer una

maniobra de estacionamiento con dos automóviles diferentes en cuanto al tamaño de la llanta y la

relación de vueltas del volante. Notar que cada individuo es la unidad experimental y de esa unidad

experimental se toman dos observaciones que no serán independientes. Se desea obtener un

intervalo de confianza para la diferencia entre el tiempo medio para estacionar los dos automóviles.

En general, supongamos que tenemos los siguientes datos ( ) ( ) ( )nn XXXXXX 2122122111 ,;...;,;,1

.

Las variables aleatorias 1X y 2X tienen medias 1µ y 2µ respectivamente.

Sea jjj XXD 21 −= con nj ,...,2,1= .

Entonces

( ) ( ) ( ) ( )212121 µµ −=−=−= jjjjj XEXEXXEDE

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

2

2

2

1212121 ,2,2 XXCovXXCovXVXVXXVDV jjjjjjj −+=−+=−= σσ

Estimamos ( )21 µµ −=jDE con ( )

21

1

21

1

11XXXX

nD

nD

n

j

jj

n

j

j −=−== ∑∑==

En lugar de tratar de estimar la covarianza, estimamos la ( )jDV con ( )∑

=

−−

=n

j

jD DDn

S1

2

1

1

Anotamos 21 µµµ −=D y ( )jD DV=2σ

Asumimos que ( )2,N~ DDjD σµ con nj ,...,2,1=

Las variables aleatorias en pares diferentes son independientes, no lo son dentro de un mismo par.

Para construir el intervalo de confianza notar que

1/

−∼−

= n

D

D tnS

DT

µ

entonces al plantear la ecuación ( ) =≤≤− tTtP 1-α , deducimos que 1,

2−

=n

tt α

Por lo tanto el intervalo de confianza para 21 µµµ −=D de nivel α−1 se obtendrá al sustituir T en

la ecuación anterior y despejar 21 µµµ −=D

El intervalo resultante es

+−

−− n

StD

n

StD D

n

D

n 1,2

1,2

; αα

Entonces


160

Ejemplo:

Consideramos el ejemplo planteado al comienzo. Deseamos un intervalo de nivel 0.90


jX 1 : “tiempo en segundos que tarda el individuo j en estacionar automóvil 1” con nj ,...,2,1=

jX 2 : “tiempo en segundos que tarda el individuo j en estacionar automóvil 2” con nj ,...,2,1=

Medimos estas variables de manera que tenemos las siguientes observaciones

Automóvil 1 Automóvil 2 diferencia

sujeto (observación jx1 ) (observación jx2 ) jD

1 37.0 17.8 19.2

2 25.8 20.2 5.6

3 16.2 16.8 -0.6

4 24.2 41.4 -17.2

5 22.0 21.4 0.6

6 33.4 38.4 -5.0

7 23.8 16.8 7.0

8 58.2 32.2 26.0

9 33.6 27.8 5.8

10 24.4 23.2 1.2

11 23.4 29.6 -6.2

12 21.2 20.6 0.6

13 36.2 32.2 4.0

14 29.8 53.8 -24.0

A partir de la columna de diferencias observadas se calcula 21.1=D y 68.12=DS

Además 771.113,05.01,

2

==−

ttn

α , entonces el intervalo para la diferencia 21 µµµ −=D de nivel 0.90

es

−=

×+×− 21.7;79.4

14

68.12771.121.1;

14

68.12771.121.1

8.6 – Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal

Supongamos que se quiere hallar un intervalo de confianza para la varianza 2σ de una distribución

normal.

Sea ( )nX,...,X,X 21 una muestra aleatoria de una v.a. X, donde ),(~ 2σµNX .

Cuando las observaciones se dan de a pares ( ) ( ) ( )nn XXXXXX 2122122111 ,;...;,;,1

, y las diferencias

jjj XXD 21 −= son tales que ( )2,N~ DDjD σµ para nj ,...,2,1= , un intervalo de confianza de

nivel α−1 para 21 µµµ −=D es

+−

−− n

StD

n

StD D

n

D

n 1,2

1,2

; αα (8.7)


161

Tomamos como estimador puntual de 2σ a ( )2

11

2

1

1∑=

−−

=n

i XXn

S

Luego a partir de este estimador puntual construimos el estadístico ( )

2

21

σSn

X−

=

Este estadístico contiene al parámetro desconocido a estimar 2σ y tiene una distribución conocida,

se puede probar que X tiene una distribución llamada ji-cuadrado con n-1 grados de libertad

Observación: Si X es una v.a. continua se dice que tiene distribución ji-cuadrado con k grados de

libertad si su f.d.p. es

( )

0

22

1)( 2

12

2

>

Γ=

−−xex

kxf

xk

k

Notación: X~2

kχ

La distribución ji-cuadrdo es asimétrica. En la figura siguiente se grafica la densidad para diferentes

valores de k

10 20 30 40 50 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Anotaremos k,2αχ al cuantil de la ji-cuadrado con k grados de libertad que deja bajo la fdp a derecha

un área de α , y a su izquierda un área de α−1 .

Propiedades:

1- Se puede probar que si nXXX ,...,, 21 son variables aleatorias independientes con distribución

)1,0(N entonces 22

2

2

1 ... nXXXZ +++= tiene distribución ji-cuadrado con n grados de libertad.

2- Si nXXX ,...,, 21 son variables aleatorias independientes tal que iX tiene distribución ji-cuadrado

con ik grados de libertad, entonces nXXXZ +++= ...21 tiene distribución ji-cuadrado con k

grados de libertad donde nkkkk +++= ...21

3- Si 2~ kX χ entonces para k grande

− 1,12~2 kNX aproximadamente.

Para desarrollar el intervalo de confianza planteamos hallar dos números a y b tales que

( ) α−=≤≤ 1bXaP es decir ( )

ασ

−=

≤

−≤ 1

12

2

bSn

aP

30

15

2

=

=

=

k

k

k


162

Se puede probar que la mejor elección de a y b es: 2

1,2

1 −−=

na αχ y 2

1,2

−=

nb αχ

Por lo tanto

( )

αχσ

χ αα −=

≤

−≤

−−−1

1 2

1,2

2

22

1,2

1 nn

SnP

y despejando 2σ se llega a

( ) ( )

αχ

σχ αα

−=

−

≤≤−

−−−

111

2

1,2

1

22

2

1,2

2

nn

SnSnP

Entonces

Observación: un intervalo de confianza para σ de nivel α−1 , es ( ) ( )

−−

−−−

2

1,2

1

2

2

1,2

2 1 ;

1

nn

SnSn

αα χχ

Ejemplo:

Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad de la máquina utilizada para

llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la desviación estándar σ del proceso de

llenado sea menor que 0.15 onzas de líquido; de otro modo, existe un porcentaje mayor del deseable

de botellas con un contenido menor de detergente. Supongamos que la distribución del volumen de

llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas, se obtiene una

Si ( )nX,...,X,X 21 es una muestra aleatoria de una v.a. X, donde ),(~ 2σµNX , un intervalo de

confianza para 2σ de nivel α−1 es

( ) ( )

−−

−−−

2

1,2

1

2

2

1,2

2 1 ;

1

nn

SnSn

αα χχ (8.8)

2

α

α−1

2

1,2

1 −− nαχ 2

1,2

−nαχ

2

α

5=k


163

varianza muestral 0153.02 =S . Hallar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la verdadera

varianza del volumen de llenado.

Solución:

La v.a. de interés es X: “ volumen de llenado de una botella”

Se asume que ),(~ 2σµNX con σ desconocido.

Estamos en las condiciones para aplicar (8.8)

Tenemos que 95.01 =−α 05.0 =→ α → 91.82

19,975.0

2

1,2

1==

−−χχ α

n y 85.322

19,025.0

2

1,2

==−

χχαn

Además 0153.02 =S

Por lo tanto el intervalo es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).03260 ;00884.0

91.8

0153.0120 ;

85.32

0153.01201 ;

12

1,2

1

2

2

1,2

2

=

×−×−=

−−

−−− nn

SnSn

αα χχ

Y un intervalo para σ es ( ) ( )1805.0 ;09.00326.0 ;00884.0 =

Por lo tanto con un nivel de 0.95 los datos no apoyan la afirmación que 15.0<σ

8.7 – Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones normales

Supongamos que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 2

1σ y 2

2σ respectivamente. Se desea encontrar un intervalo de nivel α−1 para el cociente de las dos

varianzas 2

2

2

1

σσ

.

Se toma una muestra aleatoria de tamaño 1n de una de las poblaciones y una muestra de tamaño 2n

de la otra población. Sean 2

1S y 2

2S las dos varianzas muestrales.

Consideramos el estadístico

21

21

22

22

σ

σ

S

S

F =

Notar que F contiene al parámetro de interés 2

2

2

1

σσ

, pues 22

21

21

22

σ

σ

×

×=

S

SF

Se puede probar que F tiene una distribución llamada Fisher con 12 −n y 11 −n grados de libertad.


164

Observación:

Sea X una variable aleatoria continua, se dice que tiene distribución Fisher con u grados de libertad

en el numerador y v grados de libertad en el denominador si su fdp es de la forma

∞<<

+

Γ

Γ

+Γ

=+

−

x

xv

uvu

xv

uvu

xfvu

uu

0

122

2)(

2

12

2

En particular si W e Y son variables aleatorias independientes ji-cuadrado con u y v grados de

libertad respectivamente, entonces el cociente

vY

uW

F =

Tiene una distribución Fisher con u grados de libertad en el numerador y v grados de libertad en el

denominador.

Notación: vuFF ,~

La gráfica de una distribución Fisher es similar a la de una ji-cuadrado, es asimétrica. Anotamos

vuf ,,α al cuantil que deja a su derecha un área de α bajo la curva de densidad.

Existe la siguiente relación entre los cuantiles de una vuF , y de una uvF ,

uv

vuf

f,,

,,1

1

αα =−

Planteamos la siguiente ecuación ( ) α−=≤≤ 1bFaP y se pede probar que la mejor elección de a

y b es: 1,1,

21 12 −−−

=nn

fa α y 1,1,

212 −−

=nn

fb α

20 ;15 == vu

α

vuf ,,α


165

Entonces ασσ

αα −=

≤≤

−−−−−1

1,1,2

2

1

2

1

2

2

2

2

1,1,2

1 1212 nnnnf

S

SfP

Despejando el cociente 2

2

2

1

σσ

queda :

ασσ

αα −=

≤≤

−−−−−1

1,1,2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1,2

12

2

2

1

1212 nnnnf

S

Sf

S

SP

Por lo tanto

Ejemplo:

Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las operaciones consiste

en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio. Pueden emplearse

dos procesos de esmerilado, y ambos pueden producir partes que tienen la misma rugosidad

superficial promedio. Interesaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la

rugosidad de la superficie. Para esto se toma una muestra de 12 partes del primer proceso, la cual

tiene una desviación estándar muestral 1.51 =S micropulgadas, y una muestra aleatoria de 15 partes

del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral 7.42 =S micropulgadas. Se

desea encontrar un intervalo de confianza de nivel 90% para el cociente de las dos varianzas.

Suponer que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida

de manera normal.

Solución:

Estamos en las condiciones para aplicar (8.9)

20 ;15 == vu

2

α

2

α

1,1,2

1 12 −−− nnf α

1,1, 12 −− nnfα

Si se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 2

1σ y 2

2σ

respectivamente, entonces un intervalo de nivel α−1 para el cociente de las dos varianzas 2

2

2

1

σσ

es

−−−−− 1,1,

2

2

2

2

1

1,1,2

12

2

2

1

1212

;nnnn

fS

Sf

S

Sαα (8.9)


166

Buscamos en la tabla de la Fisher 39.058.2

11

14,11,05.0

11,14,95.01,1,

21 12

====−−− f

ffnn

α

y 74.211,14,05.01,1,

212

==−−

ffnn

α


[ ]23.3 ;46.0 2.747.4

1.5 ;39.0

7.4

1.52

2

2

2

=

Como este intervalo incluye al 1, no podemos afirmar que las desviaciones estándar de los dos

procesos sean diferentes con una confianza de 90%.

8.8 – Intervalo de confianza para una proporción

Sea una población de tamaño N (eventualmente puede ser infinito) de cuyos individuos nos interesa

cierta propiedad A. Supongamos que la probabilidad de que un individuo de la población verifique A

es ( )APp = .El significado del parámetro p es, en consecuencia, el de proporción de individuos de

la población que verifican la propiedad A. Podemos definir una variable

aleatoria iX que mide a los individuos de la población la ocurrencia o no de la propiedad A .

La variable aleatoria tendrá la distribución:

( )( ) ( )

( ) ( )

−===

====

,100

11

pXPp

pXPp

xp

i

i

es decir, Xi es una v.a. que toma sólo dos valores: 1 (si el individuo verifica A) con probabilidad p y

0 (cuando no verifica A) con probabilidad 1-p. Esto es equivalente a decir que Xi tiene una

distribución binomial con parámetros 1 y p: Xi ~ B(1,p).

Supongamos que consideramos una muestra aleatoria ( )nXXX ...,, 21 de tamaño n . Si formamos el

estadístico =X nXXX +++ ...21 , es evidente que esta v.a. mide el número de individuos de la

muestra de tamaño n que verifican la propiedad A. Por lo tanto por su significado X es una v.a. cuya

distribución es binomial con parámetros n y p: X~B(n,p). De acuerdo con esto, la variable aleatoria

P definida: n

XP = representa la proporción de individuos de la muestra que verifican la propiedad

A.

Observemos que siendo Xi ~ B(1,p) es ( ) pXE i = . Y, dado que X~B(n,p), también es

( ) ( ) pnpn

XEnn

XEPE ===

=11

, es decir P es un estimador insesgado de p . Esto es de esperar

pues ∑=

==n

i

iXnn

XP

1

1ˆ .

Pero además, es fácil ver que P es estimador consistente de p . En efecto, tenemos que ( ) pPE = ,

pero también es


167

( ) ( ) ( )n

pppnp

nn

XVPV

−=−=

=1

112

.

Deseamos construir un intervalo de confianza de p. Es razonable basarnos en el estimador insegado

P . Consideramos como pivote a la variable aleatoria

( )n

pp

pPZ

−

−=

1 cuya distribución es, para n suficientemente grande, aproximadamente N(0,1). En

efecto:

Siendo n

X

n

X

n

XP n+++= ...ˆ 21 , es ( ) ∑

=

=

=

n

i

i pn

XEPE

1

ˆ y ( ) ( )∑=

−=

=

n

i

i

n

pp

n

XVPV

1

1ˆ

Por lo tanto:

( )( )1,0~

1

ˆN

n

pp

pPZ

granden−

−= ,

El pivote puede ponerse en una forma más conveniente si tenemos en cuenta que, según vimos

recién, P es estimador consistente de p y en consecuencia, en el denominador reemplazamos el

parámetro desconocido p por su estimador P , y se puede probar que :

( )≈

−

−=

n

PP

pPZ

ˆ1ˆ

ˆN(0,1). aproximadamente si n es grande

Partiendo de este pivote podemos seguir los mismos pasos de los casos anteriores para llegar al

siguiente intervalo de confianza al nivel α−1 de p:

( ) ( )

−+

−−

n

PPzP

n

PPzP

ˆ1ˆˆ,ˆ1ˆˆ

22

αα con 2

12

αα −=

Φ z .

Entonces

Si P es la proporción de observaciones de una muestra aleatoria de tamaño n que verifican una

propiedad de interés, entonces un intervalo de confianza para la proporción p de la población que

cumple dicha propiedad de nivel aproximadamente α−1 es

( ) ( )

−+

−−

n

PPzP

n

PPzP

ˆ1ˆˆ ,ˆ1ˆˆ

22

αα (8.10)


168

Observaciones:

1- Este procedimiento depende de la aproximación normal a la distribución binomial. Por lo tanto el

intervalo (8.10) se puede utilizar si 10ˆ >Pn y 10)ˆ1( >− Pn , es decir, la muestra debe contener un

mínimo de diez éxitos y diez fracasos.

2- La longitud del intervalo es ( )

n

PPzL

ˆ1ˆ2

2

−= α , pero esta expresión está en función de P

Si nos interesa hallar un valor de n de manera tal que la longitud L sea menor que un valor

determinado, podemos hacer dos cosas:

a) tomar una muestra preliminar, con ella estimar p con P y de la expresión anterior despejar n, lo

que lleva a

( ) ( )PP

l

z

nln

PPzL ˆ1ˆ

2

ˆ1ˆ

2

2

2

2

−

≥⇒≤−

=α

α

b) si no tomamos una muestra preliminar, entonces acotamos ( ) ( )5.015.0ˆ1ˆ −×≤− PP , entonces

( ) ( )

2

2

22

5.015.0

2ˆ1ˆ

2

≥⇒≤−

≤−

=l

z

nln

zn

PPzL

α

αα

Ejemplo:

Un fabricante de componentes compra un lote de dispositivos de segunda mano y desea saber la

proporción de la población que están fallados. Con ese fin experimenta con 140 dispositivos elegidos

al azar y encuentra que 35 de ellos están fallados.

a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional p.

b) ¿De qué tamaño deberá extraerse la muestra a fin de que la proporción muestral no difiera de la

proporción poblacional en más de 0.03 con un 95% de confianza?

Solución:

a) El tamaño de la muestra es 140=n (muestra grande)

La proporción muestral es 25.0140

35ˆ ==P

El nivel de confianza es 9901 .α =− → 010.α = → 00502

.α

= .

De la tabla de la normal estandarizada vemos que 58.2005.0 =z . Entonces el intervalo buscado es:

( ) ( ) [ ]34441.0 ,15558.0140

25.0125.058.225.0 ,

140

25.0125.058.225.0 =

−+

−−

b) Buscamos el tamaño n de la muestra tal que con un 95% de confianza la proporción muestral P

esté a una distancia 0.03 de la proporción poblacional p, es decir buscamos n tal que


169

03.02

≤L

, por lo tanto como 05.0=α → 025.02

=α

si tomamos la muestra anterior como

preliminar :

( ) ( ) 3333.80025.0125.003.02

96.12ˆ1ˆ

22

2

2 =−

××

=−

≥ PPl

z

n

α

Por lo tanto hay que tomar una muestra de tamaño por lo menos 801. como ya se tomó una muestra

de tamaño 140, hay que tomar otra adicional de tamaño 661140801 =−

Supongamos que no tomamos una muestra inicial, entonces directamente planteamos

1111.106703.02

96.12

2

2 =

×

=

≥l

z

n

α

Entonces hay que tomar una muestra de tamaño 1068 por lo menos.

8.9 – Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones

Supongamos que existen dos proporciones de interés 1p y 2p y es necesario obtener un intervalo de

confianza de nivel α−1 para la diferencia 21 pp − .

Supongamos que se toman dos muestras independientes de tamaños 1n y 2n respectivamente de dos

poblaciones.


:1X “número de observaciones en la primera muestra que tienen la propiedad de interés”

:2X “número de observaciones en la segunda muestra que tienen la propiedad de interés”

Entonces 1X y 2X son variables aleatorias independientes y X1~B(n1,p1) ; X2~B(n2,p2)

Además 1

11ˆ

n

XP = y

2

22ˆ

n

XP = son estimadores puntuales de 1p y 2p respectivamente.

Vemos que ( ) 2121ˆˆ ppPPE −=− y ( ) ( ) ( )

2

22

1

1121

11ˆˆn

pp

n

ppPPV

−+

−=−

Aplicando la aproximación normal a la binomial podemos decir que

( )( ) ( )

)1,0(11

ˆˆ

2

22

1

11

2121 N

n

pp

n

pp

ppPPZ ≈

−+

−

−−−= , y como en el caso de intervalo para una proporción estimamos

( ) ( )2

22

1

11 11

n

pp

n

pp −+

− con

( ) ( )2

22

1

11ˆ1ˆˆ1ˆ

n

PP

n

PP −+

− y entonces

( )( ) ( )

)1,0(ˆ1ˆˆ1ˆ

ˆˆ

2

22

1

11

2121 N

n

PP

n

PP

ppPPZ ≈

−+

−

−−−= aproximadamente.

Planteamos la ecuación ( ) ( ) ( )zzzZzP −Φ−Φ=≤≤− =1-α , lo que lleva a


170

2

αzz = , y con una deducción análoga a las anteriores se llega al intervalo

( ) ( ) ( ) ( )

−+

−+−

−+

−−−

2

22

1

11

2

21

2

22

1

11

2

21

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ ;

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ

n

PP

n

PPzPP

n

PP

n

PPzPP αα

Entonces

Ejemplo:

Se lleva a cabo un estudio para determinar la efectividad de una nueva vacuna contra la gripe. Se

administra la vacuna a una muestra aleatoria de 3000 sujetos, y de ese grupo 13 contraen gripe.

Como grupo de control se seleccionan al azar 2500 sujetos, a los cuales no se les administra la

vacuna, y de ese grupo 170 contraen gripe. Construya un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la

diferencia entre las verdaderas proporciones de individuos que contraen gripe.

Solución:


:1X “número de personas que contraen gripe del grupo que recibió la vacuna”

:2X “número de personas que contraen gripe del grupo que no recibió la vacuna”

Entonces X1~B(n1,p1) ; X2~B(n2,p2) donde 30001 =n ; 25002 =n

Además 3000

13ˆ1 =P ;

2500

170ˆ2 =P

Y 96.195.01 025.0

2

==→=− zzαα

Entonces

( ) ( ) ( ) ( )

−−=

−+

−+−

−+

−−

−=

=

−+

−+−

−+

−−−

0535222.0;0738112.02500

2500

1701

2500

170

3000

3000

131

3000

13

96.12500

170

3000

13

;2500

2500

1701

2500

170

3000

3000

131

3000

13

96.12500

170

3000

13

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ ;

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ

2

22

1

11

2

21

2

22

1

11

2

21n

PP

n

PPzPP

n

PP

n

PPzPP αα

Si 1P y 2P son las proporciones muestrales de una observación de dos muestras aleatorias

independientes de tamaños 1n y 2n respectivamente que verifican la propiedad de interés,

entonces un intervalo de confianza de nivel α−1 aproximadamente es

( ) ( ) ( ) ( )

−+

−+−

−+

−−−

2

22

1

11

2

21

2

22

1

11

2

21

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ ;

ˆ1ˆˆ1ˆˆˆ

n

PP

n

PPzPP

n

PP

n

PPzPP αα (8.11)

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PARTE 2 - ESTADISTICA 7- Estimación puntual · 2011-03-16 · Al medir la muestra aleatoria se obtienen x1,x2,...,xn, y entonces el valor que toma Θˆ es ˆ h(x ,x,...,xn) θ= 1