Part 2-2

I. Phép biến đổi Laplace

►II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

s

Part 2:

Phép biến đổi Laplace

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

1. Giải phương trình vi phân

2. Ứng dụng trong kỹ thuật Mạch điện

Hệ thống cơ học


1. Giải phương trình vi phâna. Tính chất biến đổi Laplace của đạo hàm

Biến đổi Laplace của f(n)(t) = dnf/dtn:

L {f(3)(t)} = s3F(s) – s2f(0) – sf(1)(0) - f(2)(0)

L {f’’(t)} = s2F(s) – sf(0) –f’(0)

L {f’(t)} = sF(s) –f(0)


L{f(n)(t)} = snF(s) – sn-1f(0) – sn-2f(1)(0) - … - f(n-1)(0)

b. Phương trình vi phân cổ điển (ODE)

Chúng ta có thể ứng dụng phép biến đổi Laplaceđể giải các phương trình vi phân cổ điển có hệ số hằng.Ví dụ, xét phương trình vi phân bậc 2:

ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t)

Với các điều kiện đầu: y(0) = α, y’(0) = β.

Lấy biến đổi Laplace hai vế:

a[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b[sY(s) – y(0)] + cY(s) = F(s)

Cuối cùng, lấy biến đổi Laplace ngược, ta có y(t).


2

( ) ( )( )

F s as b aY s

as bs c


Một số nhận xét

Ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến đổiLaplace đó là ta có thể thay thế các phép toán đạohàm (tích phân) bằng các phép toán đại số thôngthường.

Khi sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phươngtrình vi phân, thì các điều kiện đầu được sử dụngngay ở bươc đầu tiên.

Phương pháp này bị hạn chế đối với các bài toánkhông cho trước điều kiện đầu.

Đa thức ở mẫu số của Y(s) chính là đa thức đặc trưngtrong lời giải cổ điển.



Ví dụ 2.01: Giải phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2e-t

Với điều kiện đầu: y(0) = 1, y’(0) = 0

Giải:

Lấy biến đổi Laplace:


2

2 3

2( ) .1 0 5 ( ) 1 6 ( )

12 5

( )( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3)

( ) t t t

s Y s s sY s Y ss

sY s

s s s s s

y t e e e


Ví dụ 2.02: Giải các phương trình vi phân sau:

a. y’’(t) + 6y’(t) + 9y(t) = sint ; y(0) = 0, y’(0) = 0

b. y’’(t) + 9y(t) = 18t ; y(0) = 0, y(π/2) = 0

Đáp án:


3 33 1 2 3. ( ) sin cos

50 10 25 50. ( ) 2 sin 3

t ta y t e te t t

b y t t t


Ví dụ 2.03: Tìm nghiệm y(t) của phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) ; y(0) = 0, y’(0) = 2

Đáp án:


3 [0,6)( )

0 [0,6)

tf t

t

6

6

2 3 2( 6) 3( 6)

3 3( )

2 3 3( )

( 2)( 3) ( 2)( 3)

1 1 1 3( ) ( 6)

2 2 2 2

s

s

t t t t

F s es s

s eY s

s s s s s s

y t e e e e u t


c. Hệ phương trình vi phân

Ví dụ 2.04: Giải hệ phương trình vi phân bậc nhất sau:

Đáp án:

Sử dụng phép biến đổi Laplace ta được:


'( ) '( ) 5 ( ) 3 ( ); (0) 2, (0) 1

2 '( ) '( ) ( ) ( ) 3

tx t y t x t y t ex y

x t y t x t y t

2

2

3 22

2 14 9 9 11 25( ) ( )( 2)( 1) 2 6 3

15 1 11 2522 39 15( )( )

2 2 2 2( 1)( 2)( 1)

t t

t t t

s sX s x t e e

s s s

s s sy t e e eY s

s s s s


2. Ứng dụng trong kỹ thuậta. Mạch điện

Quan hệ giữa điện áp và dòng điện của các linhkiện cơ bản trong miền t (miền thời gian) và miền s:

Điện trở:

uR(t) = R.iR(t) UR(s) = R.IR(s)

Điện cảm (cuộn dây):

uL(t) = L.diL(t)/dt UL(s) = sL.IL(s) – L.iL(0)

Điện dung (tụ điện):


( ) 1 1( ) ( ) ( ) (0)C

C C C C

du ti t C U s I s u

dt sC s

Mạch điện trong miền s:

Mô hình của các phần tử cơ bản trong miền s:

• Điện trở

• Điện cảm

• Điện dung

Các điện áp và dòng điện trong miền s:

u(t) U(s); i(t) I(s)

Mối liên hệ giữa các phần tử trong mạch được xácđịnh bởi định luật Kirchhoff và định luậtOhm.


IR(s) R

+ UR(s) -L.iL(0)sLIL(s)

+ UL(s) -

uC(0)/sIC(s)

+ UC(s) -

1/sC

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.05: Tìm dòng điện i(t) trong mạch sau:

Lời giải: Trong trường hợp này, ta thấy các điều kiện đầu đều bằng 0, do đó ta có mô hình mạch trong miền s như sau:


1H 3W

0.5F

i(t)

10u(t)

2

2

10( )

3 2

( ) 10 ( )t t

I ss s

i t e e u t

s 3

2/s

I(s)

10/s


Ví dụ 2.06: Tìm dòng i trong mạch biên sau:

Lời giải: Trong trường hợp này, ta phải xác định các điều kiện đầu:

t < 0: mạch xác lập


(0 ) 2

(0 ) 10L

C

i A

u V

1H 3W

0.5F

i(t)

105W

t = 0: open circuit

3W i(t)

10 5W

iL(0-)

uC(0-)+

-

:

(0 ) (0 ) (0)

(0 ) (0 ) (0)L L L

C C C

IMPORTANT NOTICE

i i i

u u u


Ví dụ 2.06 (tt):

t > 0: mạch quá độ

Mạch trong miền s:

Đáp án:


2

2

2( ) ( ) 2 4

3 2t ts

I s i t e es s

s 3

2/s

I(s)

10/s

2

10/s

2( ) 2 4 0

( ) 2 0

t ti t e e t

i t t


Ví dụ 2.07: Xác định uC(t).

Answer:

t < 0 điều kiện đầu

Kết quả:


(0) 2

(0) 12L

C

i A

u V

30H

0.2F

iL(t)

12[1+u(t)] V 5W uC(t)

+

-

11

32( ) 24 24 36 0

( ) 12 0

tt

C

C

u t e e t

u t t


Ví dụ 2.08: Xác định i1(t) và i2(t).

Answer:

t < 0

Kết quả


2(0) (0) 4

(0) 16L

C

i i A

u V

3 4

1

3 4

2

24 48 0( )

0 0

16 12 0( )

4 0

t t

t t

e e ti t

t

e e ti t

t

0.5H

1W 1Fi1(t)

0.2W t = 0:

open circuit

i2(t)20V

4V

uC(t)-+


b. Các hệ cơ học

Basic elements of mechanical translational systems are masses, spings and dampers:

The relationships between the forces and displacement at time t are:


2

2

2 1

2 12 1

: '' (Newton's law)

: ( ) (Hooke's law)

: ( ' ')

d xmass F M Mx

dtspring F K x x

dx dxdamper F B B x x

dt dt


Example 2.09: Determine the resulting displacement x(t)of the mass, given that x(0) = x’(0) = 0, in the mass-spring-damper system below:

Solution: by Newton’s law:


1 2''( ) ( ) ( ) ( )Mx t F t F t F t

K = 25 B = 6

M = 1

x(t) F(t) = 4sinwtw = 2

M

x(t) F(t)

F1(t) = Kx(t) F2(t) = Bx (t)


Example 2.08 (cont):

We have the differential equation representing themotion of the system:

x’’(t) + 6x’(t) + 25x(t) = 4sin2t

Taking Laplace transform with the given initialconditions, lead to:


2 2

2 2

3

8( )

( 4)( 6 25)

4 4 14 2 8( 3) 4

195 1954 ( 3) 16

4 2( ) 2sin 2 4cos 2 8cos 4 sin 4

195 195t

X ss s s

s s

s s

x t t t e t t


Documents

Part 2-2