Part 2-1

► I. Phép biến đổi Laplace

II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

s

Part 2:

Phép biến đổi Laplace

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Phép biến đổi Laplace:

1. Phép biến đổi Laplace thuận Định nghĩa

Các tính chất

2. Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa

Cách tìm biến đổi Laplace ngược


1. Phép biến đổi Laplacea. Định nghĩa:

Biến đổi Laplace của hàm f(t) là hàm F(s) xác định bởi:


0

( ) ( ) stF s f t e dt

Ví dụ 1.01: Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:

a. f1(t) = c (c là một hằng số)

b. f2(t) = t

Đáp án:


1

0 0

2 2 20 00

. ( ) .

1 1. ( ) .

stst

stst st

e ca F s c e dt c

s s

teb F s t e dt e

s s s

1. Phép biến đổi Laplace

Một số phép biến đổi Laplace thường dùng


f(t) F(s)

1 or u(t)

cos at

sin at

tn

1

s

2 2

s

s a

2 2

a

s a

1

!n

n

s


b. Các tính chất của phép biến đổi Laplace

i. Tuyến tính

ii. Dời tần số (dời theo s)

iii. Dời thời gian (dời theo t)

iv. Co – giãn theo thời gian


c1f1(t) + c2f2(t) c1F1(s) + c2F2(s)

e-atf(t) F(s + a)

f(t - a )u(t – a) e-asF(s)

f(at) (1/a)F(s/a)


Ví dụ 1.02:

3t4 – 2sin5t

e-3tt3

u(t – 2)

(t/2)2


5 2 2 5 2

4! 5 72 103 2

5 25s s s s

4 4

3! 6

( 3) ( 3)s s

2se

s

3 3

2! 12

(2 ) 2s s


b. Cách tính chất của phép biến đổi Laplace (tt)

v. Đạo hàm theo thời gian

f(n)(t) snF(s) – sn–1f(0 –) – sn–2f’(0 –) –… – f(n –1)(0 –)

vi. Tích phân theo thời gian:

vii. Nhân với tn


f’(t) sF(s) – f(0 – )

0

( )( )

tF s

f x dxs

( )( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )n

n n n n

n

dt f t F s F s

ds


Ví dụ 1.03:


2 2 2

1 10

( 1) ( 1) ( 1)t t t s

te e te ss s s

2 20

1 1

( 1) ( 1)

tt xte xe dx

s s s

22 2

2 3

1 1 2( 1)

1 1 ( 1)t t d

e t es sds s



viii. Chia cho t

ix. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn với chu kỳ T


( )

( )s

f tF x dx

t

0

( )

( )1

Tst

sT

e f t dt

f te


Ví dụ 1.04:


2 2

1 1 1 1.

1 1( 1) ( 1)

tt

s s

tea te dx

t x ss x

1 2

0 1

21

st st

s

e dt e dt

e

1 2

0 1

2

1

1 (1 )

st st

s

s s

e e

s s e

e s e

2

0

2

( )

. ( )1

st

s

e f t dt

b F se


L


x. Định lý giá trị đầu

xi. Định lý giá trị cuối

xii. Tích phân


0lim ( ) (0 ) lim ( )t s

f t f sF s

0lim ( ) ( ) lim ( )t s

f t f sF s

0

( ) (0)f t dt F


2. Phép biến đổi Laplace ngượca. Định nghĩa

Nếu F(s) là biến đổi Laplace của f(t), thì f(t) sẽ làbiến đổi Laplace ngược của F(s):

Để tìm biến đổi Laplace ngược, ta thường dùng cáccác biến đổi Laplace đã biết kết hợp với các tính chất.


L{f(t)}

L-1{F(s)} = f(t)

0

( ) ( ) stF s f t e dt

Các tính chất của biến đổi Laplace ngược tương tựnhư các tính chất của biến đổi Laplace thuận, ví dụ nhưtính tuyến tính:

Ví dụ 1.05:


L[c1f1(t) + c2f2(t)] = c1F1(s) + c2F2(s)

L-1[c1F1(s) + c2F2(s)] = c1f1(t) + c2f2(t)

L-1 2 2

1 33cos 2

4

st t

s s

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Tìm biến đổi ngược dùng tính chất dời tần số (dời theo s)

Ví dụ 1.06: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau


L-1{F(s - a)} = eatf(t)

2 2

2 2

2

2 2

1 1. .

2 ( 1) ( 4)

1 2. .( 2) 6 13

1 7. .( 3)( 2) 2 5

1.

( 9)

a es s s

b fs s s

sc g

s s s s

sd

s s


Đáp án Ví dụ 1.06


2 2 3 2

2 2

2 2

3

1 1. ( ) . ( ) . ( )

5 51 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. ( ) . . . ( ) cos 3 sin 39 9 9 9 9 9 2792 1 1 1 1 2 3

. ( ) . . .25 1 5 25( 1) 4

2 1 2 3( ) cos 2 sin 2

25 5 25 50

. ( ) sin 2

. ( )

t t t t

t t

t

a f t e b f t te c f t e e

sd F s f t t t t

s s ss

e F ss s s

f t e te t t

f f t e t

g f t

cos 2 3 sin 2t te t e t


Khai triển Heaviside

Xét hàm F(s) có dạng phân thức:

Khi đó F(s) có thể phân tích thành các phân thứcđơn vị.

Trường hợp 1: F(s) có toàn các cực đơn


1

1 1 0

1

1 1 0

...( ) ;

...

m m

m m

n n

n n

b s b s b s bF s m n

a s a s a s a

1

1 1 0

1 2

1 2

1 2

...( )

( )( )...( )

...

( ) ( )r

m m

m m

n

n

n

r r s

b s b s b s bF s

s s s

kk k

s s s

with k s F s


Trường hợp 2: F(s) có cực bội:


1

1 1 0

1 2

1, 1, 1 1,1 21

1 21 1

,

...( )

( ) ( )...( )

... ...( )( ) ( )

1( ) ( )

!i

m m

m m

r

i

r r i

r ri

jr

i r j ij

s

b s b s b s bF s

s s s

k k k kk

s s ss s

dwith k s F s

j ds


Ví dụ 1.07: Xác định biến đổi Laplace ngược của cáchàm sau:


2

2

2

4 3 2

2 2

11 2 5. ( )

( 2)(2 1)( 1)

2 3. ( )

( 1)( 1)

2 7 63 55 71. ( )

( 3)( 2) ( 2 17)

s sa F s

s s s

s sb F s

s s

s s s sc F s

s s s s


Đáp án Ví dụ 1.07:


2 2

3 2

3. ( ) 2 5

2

3 1. ( )

2 2

. ( ) ( 2) (cos 4 5sin 4 )

tt t

t t

t t t

a f t e e e

b f t e e t

c f t e e t e t t


Tìm biến đổi ngược dùng tính chất dời thời gian (dời theo t)

Ví dụ 1.07: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàmsau:

Đáp án:


L-1{e-asF(s)} = f(t - a)u(t – a)

4

2

4 ( 3). .

( 2) ( 1)

s se e sa b

s s s s

2( 4)

2( 4)

0 4. ( ) 2 2 ( 4)

2 1 4

0. ( ) (3 3cos sin ) ( )

3 3cos sin

t

t

ta f t e u t

e t

tb f t t t u t

t t t


Historical Note: Pierre Simon LaplaceBorn: 23 March 1749

Normandy, France

Died: 5 October 1827 (aged 77)

Paris, France

Pierre-Simon marquis deLaplace was a Frenchmathematician and astronomerwhose work was pivotal to thedevelopment of mathematicalastronomy and statistics.


Historical Note: Oliver HeavisideBorn: 18 May 1850

London, EnglandDied: 3 February 1925 (aged 74)

Devon, England.

Oliver Heaviside was a self-taught English electrical engineer,mathematician, and physicist whoadapted complex numbers to thestudy of electrical circuits,invented mathematical techniquesto the solution of differentialequations (later found to beequivalent to Laplace transforms)


Documents

Part 2-1