Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base · PDF fileParámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base Objetivo El alumno identificará los principales parámetros empleados

Parámetros de Sistemas de

Comunicaciones Banda Base

Objetivo

El alumno identificará los principales parámetros empleados para evaluar el desempeño de un sistema de

comunicaciones banda base. Estos parámetros son el ancho de banda, la relación señal a ruido y la figura de

ruido.

Contenido

• Comunicación banda base

• Respuesta en frecuencia de un sistema

• Ancho de banda

• Ganancias de potencia y voltaje

• Relación señal a ruido (RSR)

• Factor de ruido (F) y figura de ruido (NF)

• Ejercicios

Sistemas de Comunicaciones

Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base

3

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

Comunicación banda base

(Bruce Carlson; Sistemas de Comunicación; McGraw Hill)

La comunicación de banda base se refiere a la transmisión de señal sin modulación; el nombre proviene del

hecho de que la transmisión de banda base no incluye la traslación en frecuencia del espectro del mensaje

que caracteriza a la modulación. Existen tres tipos de transmisión de banda base

• Analógica: como la comunicación del abonado telefónico (teléfono en casa) a la central telefónica.

• De pulsos: como la comunicación entre centrales telefónicas de hace algunas décadas.

• Digital: como la comunicación por redes de computadoras.

Respuesta en frecuencia de un sistema

Esta respuesta puede definir se dos formas posibles:

• Es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso del sistema: siempre y cuando la respuesta

a impulso sea una señal energía.

• Es la respuesta del sistema, en estado estable, a una entrada senoidal cuya frecuencia varía de −∞

a ∞.

Ambas definiciones son equivalentes.

Ancho de banda de un sistema

El ancho de banda puede corresponder tanto a una señal como a un sistema. El ancho de banda de un

sistema se conoce a través del espectro de la respuesta impulso (respuesta en frecuencia). Ahora bien,

considere que la respuesta a impulso es una señal.

Ancho de banda de una señal energía

Dada una señal energía

3.1

Y su correspondiente transformada de Fourier

3.2

��

�� = ��

El teorema de Parseval nos dice que:

3.3

Del teorema de Parseval se define la función densidad espectral de energía, referida como � ��, la cual es

una función real de variable real y cuya área bajo la curva provee la energía media total de la señal energía.

3.4

Definición 1: El ancho de banda de una señal energía se define como la amplitud de un intervalo de

frecuencias en el cual la función densidad espectral de energía es mayor a la mitad del máximo valor que

pueda alcanzar ésta, es decir:

3.5

La figura 3.1 ilustra algunos casos particulares sobre el ancho de banda.

Según se puede observar en la figura 3.1.a, el intervalo de frecuencias que pasan por el filtro va de 0�� a

3400��, así entonces el ancho de banda del filtro paso bajas es de 3400��. El caso en la figura 3.1.b

corresponde a un filtro paso banda, cuyo intervalo de frecuencias está entre 1000�� y 5000��, así

entonces el ancho de banda de este filtro es de 4000��.

�� = 12� � ��∗��

�

��

� �� = ��∗��

� �� ≥ 12 � !"

Figura 3.1. Funciones “densidad espectral de energía”, correspondientes a un filtro paso bajas y a un filtro paso

banda.



5


El ancho de banda de un sistema

El ancho de banda de un sistema se calcula a partir de su respuesta a impulso. Si la respuesta a impulso de

un sistema es una señal de tipo energía, se puede aplicar la transformada de Fourier para conocer su función

densidad espectral de energía � ��.

Además de la definición analítica de ancho de banda dada por � ��, éste también puede definirse de la

manera siguiente

Definición 2: El ancho de banda de un sistema es la amplitud de un intervalo de frecuencias de señal que

pueden pasar sin atenuación por tal sistema.

Ejemplo numérico para el cálculo de la función de un filtro paso bajas

Para este ejemplo se le indicará, por medio de código programable, a MATLAB que cree la función de

transferencia ��#� de un filtro paso bajas con frecuencia de corte en 3400��. A partir de la función ��#�

se calculará la función densidad espectral de energía � ��, se graficará y se buscará la frecuencia que

define el ancho de banda.

El código para el ejemplo se muestra en la figura 3.2 debe cargarse en el editor de MATLAB y ejecutarse.

Una vez que se despliega la gráfica, de la cual se muestra una copia en la figura 3.3, se recurre al icono “Data

cursor” para localizar el punto en el cual ocurre la mitad de la máxima amplitud.

%La afunción de transferencia a graficar es %de un filtro paso bajas con frec. de corte en 3400Hz [b,a]=butter(3,2*pi*3400,'low','s'); tf(b,a)

%La función tiene la forma % b4 %H(s)= ---------------------------- % s^3 + a2 * S^2 + a3*s + a4

%Graficar la función densidad espectral de energía f=0:100:10000; %Vector de frecuencias en Hz w=2*pi*f; s=j*w; %Definición de "s" de Laplace N=b(4); D=s.*(s.*(s+a(2))+a(3))+a(4); Hs=N./D; HHs=Hs.*conj(Hs); plot(f,HHs);

Figura 3.2. Código para graficar la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas.

La figura 3.3 muestra la gráfica de la función densidad espectral de energía correspondiente al diseño del

filtro paso bajas. Nótese que la frecuencia de corte es de 3400�� para una amplitud de 0.5. Entonces el

ancho de banda del filtro es de % = 3400��.

Figura 3.3. Gráfica correspondiente a la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas. El intervalo de

frecuencias de señales que pasan por el filtro va de 0�� a 3400��. El ancho de banda es de % = 3400��.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 3400

Y: 0.5



7


Ejemplo numérico para el cálculo de la función de un filtro paso-banda

Para este ejemplo se le indicará, por medio de código programable, a MATLAB que cree la función de

transferencia ��#� de un filtro paso-banda con frecuencias de corte en 1000�� y 5000��. A partir de la

función ��#� se calculará la función densidad espectral de energía � ��, se graficará y se buscará la

frecuencia que define el ancho de banda.

El código mostrado en la figura 3.4 debe cargarse en el editor de MATLAB y ejecutarse. Una vez que se

despliega la gráfica, de la cual se muestra una copia en la figura 3.5, se recurre al icono “Data cursor”

para localizar los puntos en los cuales ocurre la mitad de la máxima amplitud.

La figura 3.5 muestra la gráfica de la función densidad espectral de energía correspondiente al diseño del

filtro paso-banda. Nótese que las frecuencias de corte están en 1000�� y 5000�� para una amplitud de

0.5. Entonces el ancho de banda del filtro es de % = 4000��.

%La afunción de transferencia a graficar es de %un filtro paso banda con frecs. de corte en 1000Hz y 5000Hz [b,a]=butter(2,2*pi*[1000,5000],'bandpass','s'); tf(b,a)

%La función tiene la forma % b2*s^3 %H(s)= ----------------------------------- % s^4 + a2 * s^3 + a3*s^2 + a4*s+a5

%% %Graficar la función densidad espectral de energía f=0:100:10000; %Vector de frecuencias en Hz w=2*pi*f; s=j*w; %Definición de "s" de Laplace N=b(3)*s.*s; D=s.*(s.*(s.*(s+a(2))+a(3))+a(4))+a(5); Hs=N./D; HHs=Hs.*conj(Hs); plot(f,HHs);

Figura 3.4. Código para graficar la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas.

Figura 3.5. Gráfica correspondiente a la función densidad espectral de energía de un filtro paso-bajas. El intervalo de

frecuencias de señales que pasan por el filtro va de 1000�� a 4000��. El ancho de banda es de % = 4000��.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 1000

Y: 0.5



9


Ganancias de potencia y voltaje

Sea el circuito de la figura 3.6, en el cual se define un sistema lineal e invariante en el tiempo. Este sistema

recibe señal de una fuente de voltaje &', la cual es representativa de otro sistema, y entrega su respuesta a

otro sistema, el cual es representado por la carga ().

Ganancia de potencia

La ganancia de potencia se define como la relación de potencia que el sistema entrega a la carga ()

(potencia de salida) a la potencia que el sistema recibe en (* (potencia de entrada). Empleando la

nomenclatura de la figura 3.6, la ganancia de potencia queda definida como:

3.6

Ganancia de voltaje

La ganancia de voltaje se define como la relación del voltaje que el sistema entrega a la carga () (voltaje de

salida) al voltaje que el sistema recibe en (* (voltaje de entrada). Empleando la nomenclatura de la figura

3.6, la ganancia de voltaje queda definida como:

3.7

Figura 3.6. Circuito bipuerto que representa un sistema lineal e invariante en el tiempo.

+ = &)&*

, = -)-*

Relación entre ganancias de potencia y voltaje

Primero se calcula la potencia de entrada al sistema en función del voltaje suministrado al mismo y de la

resistencia que representa el sistema para la fuente de señal.

3.8

Ahora, se calcula la potencia que el sistema entrega a la carga en función del voltaje suministrado y de la

carga misma.

3.9

Ahora se trabajan las ecuaciones 3.6 a 3.9 de la forma siguiente

, = -)-*

-) = &))()

-* = &*)(*

, =

&)) ().

&*) (*.= &))

&*)(*()

= +) (*()

, = +) (*()

En resume, la relación entre las ganancias de potencia y voltaje queda expresada como

3.10

-* = &*)(*

-) = &))()

, = +) (*()



11


Ganancia de potencia en bells

La ganancia de potencia en bells se expresa como:

3.11

El bell es una unidad demasiado grande para la mayoría de las aplicaciones, en consecuencia se opta por el

uso de un submúltiplo, el decibel, abreviado como ��%�

3.12

Acoplamiento de impedancias

En sistemas telefónicos, microondas y demás, se tiene el caso especial de que

3.13

Situación que se conoce como impedancias acopladas y que provee la ventaja de tener una máxima

transferencia de potencia.

Relación entre la ganancia de potencia y la ganancia de voltaje bajo impedancias

acopladas

Bajo impedancias acopladas se tiene que la ecuación 3.10 puede reescribirse de la forma siguiente

3.14

Si ahora tomamos logaritmos

3.15

,′ = 012 -)-*

�%�

,′ = 10012 -)-*

��%�

(' = (* = () = (3

, = +)

,4 = 20 log + ��%�

Ganancia de voltaje en bells

Debido a que es más fácil medir voltaje que potencia, la ganancia de voltaje llegó a ser más empleada que la

ganancia de potencia. En consecuencia, la ganancia de voltaje en bells se define como:

3.16

De tal forma, la ganancia de voltaje, en bells, es numéricamente igual a la ganancia de potencia, también en

bells. Esta relación queda expresada como:

3.17

Propiedad aditiva de las ganancias en bells

Sea el sistema de comunicación de etapas en cascada en la figura 3.7.

La ganancia total de ambas etapas del sistema es:

3.18

Si ahora expresamos la ganancia total del sistema en bells, tendremos la siguiente ecuación

3.19

Aplicando propiedades de logaritmos:

+4 = 20 log + ��%�

,4 = +′

,8 = ,*,) = 126 × 250 = 31500

,′8 = 10 log ,*,)

Figura 3.7. Sistema de etapas en cascada. La ganancia total del sistema se obtiene multiplicando las ganancias

individuales de cada etapa.



13


,′8 = 10 log ,*,)

= 10 log ,* + 10 log ,)

= ,′* + ,′)

En conclusión, la ganancia total del sistema en bells es:

3.20

Ahora, se reacondiciona el sistema de etapas en cascada de la figura 3.7 para que las ganancias se expresen

en bells: figura 3.8.

La ganancia del sistema ahora se expresa como

3.21

,′8 = ,′* + ,′)

Figura 3.8.

,′8 = ,′* + ,′)

= 21 + 24

45

Expresar voltaje y potencia en [dB]

Para poder aplicar una ganancia en bells al voltaje y a la potencia suministrados por una fuente de señal,

debemos expresar ese voltaje y esa potencia en bells. Ahora bien, considere que los bells son unidades de

ganancia pero no de magnitud física, es decir, realmente no podemos expresar voltaj y potencia en dB. A

consecuencia empleamos el siguiente lema:

Definición 3: Lema de equivalencia ganancia-magnitud física. Lo que se expresa en bells no es la magnitud

física sino la ganancia de un amplificador, la cual es numéricamente igual a mi magnitud física y que es

alimentado con una unidad de tal magnitud.

Potencia en watts a bells

Suponga que se desea expresar -3�=� a ��%�, entonces alimentamos 1�=� a un amplificador tal como se

indica en la figura 3.9.

La ganancia del amplificador se expresa como

,′8 = 10 log ->�=�-?�=� = 10 log ->�=�

1�=�

Ahora bien, si aplicamos el lema de equivalencia ganancia-magnitud física podemos escribir

3.22

Figura 3.9.

-′3 = 10 log ->�=�1�=� ��%@�



15


Potencia en miliwatts a bells

Suponga que se desea expresa -3�A=� a ��%�, entonces alimentamos 1�A=� a un amplificador tal como

se indica en la figura 3.10.


,′8 = 10 log ->�A=�-?�A=� = 10 log ->�A=�

1�A=�


3.23

Voltaje en volts a bells

Suponga que se desea expresa -3�=� a ��%�, entonces alimentamos 1�=� a un amplificador tal como se

indica en la figura 3.11.

Figura 3.11.

Figura 3.10.

-′3 = 10 log ->�A=�1�A=� ��% �


+′8 = 10 log &>�&�&?�&� = 10 log &>�&�

1�&�


3.24

Relación señal a ruido (RSR) (de Wayne Tomasi)

Definición 4. Relación señal a ruido. Es una relación matemática que indica la calidad de la señal frente al

ruido. Con normalidad, esta relación es el parámetro más importante de un circuito amplificador dentro de

un sistema.

3.25

3.26

3.27

Con frecuencia, la RSR se suele expresar en bells

3.28

3.29

+′3 = 10 log &>�&�1�&� ��%B�

(C(B = &10�DEF �F #FñD0�&�&10�DEF �F0 HIJ�1�&� = &3

&K

(C(@ = -1�FLMJD �F #FñD0�=�-1�FLMJD �F0 HIJ�1�=� = -3

-K

(C( = -1�FLMJD �F #FñD0�A=�-1�FLMJD �F0 HIJ�1�A=� = -3

-K

(C(′B = 20 log &3&K

��%B�

(C(′@ = 10 log -3-K

��%@�



17


3.30

También hay que hacer nota que las relaciones indicadas en las ecuaciones 3.28 a 3.29 son numéricamente

iguales bajo impedancias acopladas.

Factor de ruido (F) y figura de ruido (NF) (de Wayne Tomasi)

Definición 4. Factor de ruido y figura de ruido. El factor de ruido y la figura de ruido (índice de ruido) son

parámetros que nos indican la degradación que sufre una señal se propaga por una etapa de un sistema de

comunicaciones. Esta relación se puede expresar de las formas que indican las ecuaciones siguientes:

3.31

3.32

3.33

Con frecuencia el factor de ruido suele expresarse en bells. Bajo esta unidad, el factor de ruido cambia su

nombre a figura de ruido.

3.34

(C(′ = 10 log -3-K

��% �

�B = (C(B_?OPQ!R!(C(B_>!STR!

�@ = (C(@_?OPQ!R!(C(@_>!STR!

� = (C( _?OPQ!R!(C( _>!STR!

U�B = 20 log (C(B_?OPQ!R!(C(B_>!STR!

��%B�

3.35

3.36

Cabe aclarar que las relaciones indicadas en las ecuaciones 3.34 a 3.36 son numéricamente iguales bajo

impedancias acopladas

Significado de la figura de ruido

Ahora bien, se debe tener en consideración el significado numérico de la figura de ruido:

• ¿Qué pasa si � > 1? La etapa perjudica la S/N

• ¿Qué pasa si � < 1? La etapa mejora la S/N

[ ]dBRSR

RSRLogNF

=

Salida

Entrada10

U�@ = 10 log (C(@_?OPQ!R!(C(@_>!STR!

��%@�

U� = 10 log (C( _?OPQ!R!(C( _>!STR!

��% �



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Ejercicios

1) Encuentre el ancho de banda de los sistemas caracterizados por las siguientes funciones de

transferencia:

��#� = 6.978[*)#\ + 2.677[]#) + 7.005[^# + 6.978[*)

��#� = 1.772[_#)#] + 5.016[]#\ + 2.067[_#) + 4.753[*)# + 8.977[*`

2) Dado el siguiente sistema de comunicación, calcule el nivel de la señal en dBm a la entrada del

receptor

3) Para el amplificador mostrado en la figura siguiente

Se tienen los siguientes parámetros

• Voltaje de la señal de entrada [ ]V3101.0 −×

• Potencia de la señal de entrada [ ]W10100..2 −

×

• Voltaje de ruido de entrada [ ]V61001.0 −

×

• Potencia de ruido de entrada [ ]W18100.2 −×

• Ganancia de voltaje 1000

• Ganancia de potencia 1'000,000

• Ruido interno del amplificador (voltaje) [ ]V5100.1 −×

• Ruido interno del amplificador (potencia) [ ]W12100.6 −×

Así que determine:

a) La relación S/N de entrada para voltaje y potencia

b) La relación S/N de salida para voltaje y potencia

c) Factor de ruido y el índice de ruido.

Solución de a)

En voltajes

[ ][ ]

000,1001.0

1.0

_

_

_ ===V

mV

V

VRSR

EntradaN

EntradaS

EntradaVoltajeµ



21


Ahora en dB

[ ][ ]

[ ]dBV

mV

V

VRSR

EntradaN

EntradaS

EntradaVoltaje 8001.0

1.0log20log20

_

_

_ ===µ

En potencias

[ ][ ]

8

18

10

_

_

_ 101102

102×=

×

×==

−

−

W

W

P

PRSR

EntradaN

EntradaS

EntradaPotencia

Ahora en dB

[ ][ ]

[ ]dBW

W

P

PRSR

EntradaN

EntradaS

EntradaPotencia 80102

102log10log10

18

10

_

_

_ =×

×==

−

−

Solución de b)

En voltajes

( )( )( )( )5000

1001.01000

1.01000

__

_

_

_

_

=

+=

+×

×=

=

VV

mV

VVA

VA

V

VRSR

InternoNEntradaN

EntradaS

SalidaN

SalidaS

SalidaVoltaje

µµ

Ahora en dB

dBV

VRSR

SalidaN

SalidaS

SalidaVoltaje 74log20_

_

_ ==

En potencia

( )( )( )( ) ( )

6

12186

106

__

_

_

_

_

1025

106102101

102101

×=

×+××

××=

+×

×=

=

−−

−

WW

W

PPG

PG

P

PRSR

InternoNEntradaN

EntradaS

SalidaN

SalidaS

SalidaPotencia

Ahora en dB

dBP

PRSR

SalidaN

SalidaS

SalidaPotencia 74log10_

_

_ ==

Solución de c)

4

1025

1016

8

_

_

=

×

×=

=SalidaPotencia

EntradaPotencia

RSR

RSRF

En dB



23


dB

RSR

RSRF

SalidaPotencia

EntradaPotencia

6

1025

101log10

log10

6

8

_

_

=

×

×=

=

Un índice de ruido de 6dB indica que la RSR disminuyó por un factor de 4 con forme se propagó de la

entrada a la salida del amplificador.

Para mayor información, consulte el Wayne Tomasi

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