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Segundo examen parcialGeometra y Algebra Lineal 1

2 de julio de 2015

NOMBRE:

C.I.:

Este parcial tiene ocho ejercicios de tipo verdadero/falso y seisejercicios de tipo multiple opcion. Lo unico que sera tenido encuenta para la evaluacion son las respuestas ingresadas en las casillascorrespondientes.

La duracion del parcial es de tres horas y no se permite usar ni calculadorani material de consulta. La comprension de las preguntas es parte de la prueba.

En la siguiente tabla, llenar cada casilla con las respuestas V (verdadero)o F (falso), segun corresponda. Cada respuesta correcta vale 3 puntos, y cadarespuesta incorrecta vale -3 puntos. Las preguntas no contestadas no tendranpuntos.

Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falsoEj 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8

En la siguiente tabla, llenar cada casilla con las respuestas A, B, C o Dsegun corresponda. Cada respuesta correcta vale 6 puntos, y cada respuestaincorrecta vale -2 puntos. Las preguntas no contestadas no tendran puntos.

Respuesta a los ejercicios de tipo multiple opcionEj 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6

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1 Ejercicios de tipo verdadero/falso

1. Todo espacio vectorial V 6= {0} tiene un subconjunto linealmente depen-diente con dos elementos

2. Sea S : V V una transformacion lineal. Entonces T : V V Vdefinida como T (u) = (S(2u) 3u, S(S(u))) es una transformacion lineal.

3. Existe T : P4 M22(R) transformacion lineal inyectiva. (P4 es elespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 4 concoeficientes reales.)

4. Sea M M33(R) y TM :M33(R)M33(R) tal que TM (A) = AM .Entonces M es la matriz asociada a TM en algun par de bases de M33.

5. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto B V es una base de V si y solosi todo elemento de V se escribe en forma unica como combinacion linealde elementos de B.

6. Si T : V W es una transformacion lineal inyectiva y {v1, v2, v3} V eslinealmente independiente, entonces {2T (v1)+T (v2),2T (v3+v1), T (v1)}es linealmente independiente.

7. La transformacion lineal T : P3 M22(R) dada por

T (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) =

(a0 a1 a0 + a1 + 2a3a2 a3 a2 + a3

)tiene nucleo de dimension uno e imagen de dimension tres. (P3 es elespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 concoeficientes reales.)

8. EnM33(R) existen subespacios S1 y S2 tales que dim(S1) = 5, dim(S2) =4 y S1 S2 = {0}.

2 Ejercicios de tipo multiple opcion

Ejercicio 1 Consideremos la funcion T : R3 R3 dada por

T (a, b, c) =

1 0 00 1 a0 0 1

abc

.(A) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (1, 0, 1) = (1, 1, 1),

T es una transformacion lineal sobreyectiva.

(B) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (1, 1, 0) = (1, 1, 0),T es una transformacion lineal y dim Im(T ) 6= 3.

(C) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (0, 0, 1) = (0, 0, 1),T es una transformacion lineal y dim Im(T ) = 3.

(D) Si S = {(x, y, z) R3 : x = 0}, la restriccion de T a S es unatransformacion lineal.

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Ejercicio 2 Sea V un espacio vectorial con base A = {v1, v2, v3, v4}. Consideremos losconjuntos B = {v1 v2, v1 + v2 + v3, v3 v4, v1 + v4} yC = {v1 v2, v1 + v2 + v3, v3 v4, 2v1 + v4}. Entonces:(A) B es linealmente independiente y C no.

(B) Tanto B como C son bases de V .

(C) C es generador de V y B no.

(D) Ni B ni C son bases de V .

Ejercicio 3 Consideremos las siguientes transformaciones lineales del espacio de poli-nomios de grado menor o igual a dos en R2:

T : P2 R2 dada por T (p) = (p(1), p(1)) yS : P2 R2 dada por S(p) = (p(0), p(1)).

Sean V1 = N(T ), V2 = N(S) y V = V1 + V2. Entonces

(A) La suma V1 + V2 no es directa y V = P2.(B) La suma V1 + V2 no es directa y V 6= P2.(C) V = V1 V2 = P2.(D) V = V1 V2 y V 6= P2.

Ejercicio 4 Sean B = {(3, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 0)} y A = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}bases de R3. Sea T : R3 R3 una transformacion lineal tal que

A[T ]B =

1 0 10 1 11 2 1

Si v = (2, 1, 3) entonces

(A) T (v) = (5, 4, 7).

(B) T (v) = (0, 0, 2).

(C) T (v) = (2, 3, 4).

(D) T (v) = (2, 0, 2).

Ejercicio 5 En R3, consideramos los subespacios S1 = {(x, y, z) R3 : x+ y+ z = 0}y S2 = {(1, 1,1), (1,1,1), (3,1,3)}. (Se recuerda que A es elsubespacio generado por el conjunto A.)

(A) S1 y S2 no tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 0.(B) S1 y S2 tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 0.(C) S1 y S2 no tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 1.(D) S1 y S2 tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 1.

Ejercicio 6 Sea A Mnn(R) una matriz cuyo rango es 1. Supongamos que n 3 yconsideramos la siguiente transformacion lineal

T :Mnn(R)Mnn(R) dada por T (M) = M AEntonces

3

(A) dim(N(T )) no se puede determinar a partir de los datos dados.

(B) dim(N(T )) = n(n 1).(C) dim(N(T )) = n2 1.(D) dim(N(T )) = n2 3.

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