Parametarske krive Bezier B-spline.ppt

7/24/2019 Parametarske krive Bezier B-spline.ppt

1/30

RaunarskaRaunarska

grafikagrafika

predavanjapredavanjadoc.dr. Samir Lemedoc.dr. Samir [email protected]@mf.unze.ba


2/30

26.26. Paramearske kriveParamearske krive

!!""zierzier krivuljekrivulje!!""zierzier funkcije mijeanjafunkcije mijeanja

#niform#niformnini!$!$ssplplajnoviajnovi%%e#e#niformniformnini&& RRaaccionalionalnini

!$!$SplajnoviSplajnovi '%#R!S('%#R!S(

))onveronverzijazijaizme*uizme*ussplplajnovaajnovaRRaserizacija splajnovaaserizacija splajnova


3/30

SplSplajnoviajnovi$$ ++isorisorijaija

)oninuirane krivulje)oninuirane krivulje''splinessplines( koje( kojeprolaze kroz zadaneprolaze kroz zadanekonrolne akekonrolne ake

)oninuie drugog)oninuie drugogreda 'zajednikereda 'zajednike

ake& angeneake& angene'prvi( i drugi izvodi'prvi( i drugi izvodi


4/30

!!""zierzier krivuljekrivulje

!!""zierzier krivuljekrivuljese mogu posmarai kaose mogu posmarai kaoproirenje linearne inerpolacijeproirenje linearne inerpolacijeinerpolacijom vieg redainerpolacijom vieg reda

p0

p1

p0

p1p2

p0

p1

p2

p3


5/30


SlineSline,ermi,ermiovimovim&& ali imaju inuiivnijuali imaju inuiivnijudefiniciju izvoda krajnji+ aakadefiniciju izvoda krajnji+ aaka

-eiri konrolne-eiri konrolneake& od koji+ake& od koji+su dvije vorovisu dvije vorovi "oslonac"

"tetiva"


6/30


rijednosi izvodarijednosi izvoda !ezier!ezier krivulje ukrivulje uvorovima zavise od susjedni+ aakavorovima zavise od susjedni+ aaka

SkSkalar /alar /je izabran samo za ovu krivuje izabran samo za ovu krivu


7/30

0snovna marica0snovna marica !!""zierzier krivuljekrivulje

1ari1arinanafformormaa

11!ezier!ezierje dobra osnovna marica jer ima dosa .je dobra osnovna marica jer ima dosa .


8/30

!!""zierzier funkcije mijeanjafunkcije mijeanja

3unkcija mijeanja definie ujecaj konrolne ake na3unkcija mijeanja definie ujecaj konrolne ake nasvaku aku krivulje.svaku aku krivulje.

rijednos znai da konrolna aka nema ujecaja narijednos znai da konrolna aka nema ujecaja naaku krivulje.aku krivulje.

4ko funkcija mijeanja ima vrijednos 5& krivulja sijee4ko funkcija mijeanja ima vrijednos 5& krivulja sijeekonrolnu aku.konrolnu aku.

0va familija polinoma0va familija polinomase nazivase naziva !ernsein!ernsein

ppololiinominomima /. redama /. reda '/& k( '/& k( kk'5$('5$(/$k/$k7 89 k 89 /7 89 k 89 / Svi su poziivni na inervaluSvi su poziivni na inervalu:&5;:&5; %ji+ov zbir iznosi%ji+ov zbir iznosi 55


9/30

!!""zierzier funkcije mijeanjafunkcije mijeanja

Svaka aka na krivojSvaka aka na krivojjejelinearlinearnanakkombinaombinacijacijakkonrolonrolni+ aakani+ aaka

Sve vrijednosiSve vrijednosikombinacija su poziivnekombinacija su poziivne


10/30

)onveksna kombinacija konrolni+)onveksna kombinacija konrolni+aakaaaka

#vijek osaje unuar graninog regiona#vijek osaje unuar graninog regiona''kkonveonveksnaksnaljuskaljuska( defin( definisanogisanogkkonrolonrolnimnimakamaakama


11/30

PodjelaPodjela!!""zierzier krivuljakrivulja

P0

P1 P2

P3

M01

M12

M23

M012M123

M0123


12/30

PodjelaPodjela!!""zierzier krivuljakrivulja

P0

P1 P2

P3


13/30

de asede asellijevllijevaalgorilgoriaamm

1o=e se na>i aka na1o=e se na>i aka na !!""zierzier krivulji za svaku vrijednoskrivulji za svaku vrijednospparamearamerarattslinimslinim algorialgorimommom

4ko se npr$ =eli4ko se npr$ =elit=0.25t=0.25&& umjeso da se uzmu srednje ake&umjeso da se uzmu srednje ake&uzimaju se ake nauzimaju se ake na.2?.2?du=inedu=ine

P0

P1P2

P3

M01

M12

M23

t=0.25


14/30


15/30

!$Spl!$Splajnajnkrivekrive''kkububneneperiodiperiodinene((

Polazi se od niza konrolni+ aakaPolazi se od niza konrolni+ aaka Bzaberu se C ake od sredine nizaBzaberu se C ake od sredine niza

'p'pi$2i$2& p& pi$5i$5& p& pii& p& piD5iD5(( dd!!""zierzier ii,ermie,ermie idu izme*uidu izme*uppi$2i$2iippiD5iD5!$Spl!$Splajnajnnene inerpolinerpoliraira''ne dodirujene dodiruje(( nijednu odnijednu od

nji+ ali aproksimira prolaze>i kroznji+ ali aproksimira prolaze>i krozppi$5i$5iippii

pp00

pp44

pp22pp11

pp33

pp55

pp66

QQ33

QQ44QQ55

QQ66

tt33

tt44 tt55tt66

tt77


16/30

#niform#niformnini!$!$ssplplajnoviajnovi

AproAproksksimimirajuiirajuissplplajnoviajnovi4pro4proksksimimirajuirajunD5nD5 kkonrolonrolni+ aakani+ aaka PP& P& P55& A& P& A& Pnn& n& n //

)rivulja se sasoji od)rivulja se sasoji od n E2n E2 segmenaasegmenaakkububni+ni+polpoliinomnomaaFF//& F& FCC& A F& A Fnn

se mijenja du=se mijenja du= !$spl!$splajnaajnakaokaoFFiiG G ii89 8 89 8 iD5iD5 ii'i 9'i 9 cijeli brojcijeli broj(( susuvorne akevorne akekoje spajajukoje spajaju

segmen Fsegmen Fiisa segmenomsa segmenomFFiD5iD5 )riva je)riva je uniforuniformnamnajer se vorovi nalaze najer se vorovi nalaze na

jednakim inervalima paramera jednakim inervalima paramera


17/30

#niform#niformnini!$!$ssplplajnoviajnovi

PrviPrvisegmensegmenkrivuljekrivulje& F& F//&&jejedefindefinisanisanpomo>u prve C konrolne akepomo>u prve C konrolne ake

PosljednjiPosljednji segmensegmenkrivuljekrivulje& F& Fmm

&&jejedefindefinisan pomo>u posljednje C konrolneisan pomo>u posljednje C konrolneakeake& P& Pm$/m$/& P& Pm$2m$2& P& Pm$5m$5& P& Pmm

Svaka kSvaka konrolonrolnanaaka ujee na Caka ujee na Csegmena krivuljesegmena krivulje


18/30

0snovna marica0snovna marica !$spl!$splajnaajna

3ormul3ormulisaiisai5656jednainajednainada se na*eda se na*e 5656nepoznai+nepoznai+

5656jednaina forsirajujednaina forsiraju& & 55&& ii22kkoninuioninuieeizme*u susjedni+ segmenaaizme*u susjedni+ segmenaaFF

=

0141

0303

0363

1331

6

1splineBM


19/30

!$!$ssplplajnajn

Hake du=Hake du= !$!$splajna se izraunavaju kao isplajna se izraunavaju kao ikodkod !!""zierzier krivuljekrivulje

( ) PUMtQ SplineBi =

( ) [ ]

=

+

+

+

3

2

123

0141

0303

0363

1331

6

11

i

i

i

i

i

p

p

p

p

ttttQ


20/30

!$!$splajnsplajn


21/30

%%e#e#niformniformnini&& RRaaccionalionalnini

!$!$SplajnoviSplajnovi '%#R!S('%#R!S(0snovni0snovni elemenelemen geomerije u /Igeomerije u /Iprogramuprogramu1aJa1aJa

1odel1odeli se sasoje od povrina definisani+i se sasoje od povrina definisani+pomo>upomo>u%#R!S%#R!S$a$a&& a ne poligonaa ne poligona

%#R!S%#R!S su glakisu glaki

%#R!S%#R!S za+ijevaju poseban napor da biza+ijevaju poseban napor da bise posiglo da ne budu glakise posiglo da ne budu glaki


22/30

%%e#e#niformniformnini&& RRaaccionalionalnini

!$!$SplajnoviSplajnovi '%#R!S('%#R!S(


23/30

))onveronverzijazijaizme*uizme*ussplplajnovaajnova

Posmaraju se dvije osnovne formulacijePosmaraju se dvije osnovne formulacijesplajnova za dvije vrse splajnovasplajnova za dvije vrse splajnova


24/30


1ogu>e je1ogu>e je ransformransformisaiisaikkonrolonrolne akene akeiz jedne osnove splajna u druguiz jedne osnove splajna u drugu


25/30


0vom k0vom konveronverzijomzijom&& mo=e se kmo=e se konveronverovaiovai!$!$ssplplajn uajn u!!""zierzier ssplplajnajn

!!""zierzier splajnovi su laki za raserizacijusplajnovi su laki za raserizaciju'renderovanje( od !$splajnova'renderovanje( od !$splajnova


26/30

RRaserizacija splajnovaaserizacija splajnova

,orner,ornerov meodov meod BnBnkkremenalremenalninimeodmeod '3orKard Iifference('3orKard Iifference(

1eod podjele na podsegmene1eod podjele na podsegmene


27/30

,orner,ornerovovmmeodeod

%umeriki meod za pribli=no raunanje%umeriki meod za pribli=no raunanjekorijena polinoma.korijena polinoma.

Hri mno=enjaHri mno=enjaHri sabiranjaHri sabiranja

xxxx

xxxx

dtctbtatx

dtctbtatx

+++=

+++=

])[()(

)( 23


28/30

3orKard Iifference3orKard Iifference


29/30

1eod podjele na podsegmene1eod podjele na podsegmene

Prije

podjele

Nakon

podjele


30/30

RRaserizacijaaserizacija!!""zierzier splajnasplajna

public void spline(ControlPoint p0, ControlPoint p1,

ControlPoint p2, ControlPoint p3, int pix) {

flot len ! ControlPoint"dist(p0,p1) # ControlPoint"dist(p1,p2)

# ControlPoint"dist(p2,p3)$

flot c%ord ! ControlPoint"dist(p0,p3)$

if (&t%"bs(len ' c%ord) 0"2f) return$ ftPixel(pix, p0"x, p0"*)$

ControlPoint p11 ! ControlPoint"+idpoint(p0, p1)$

ControlPoint t+p ! ControlPoint"+idpoint(p1, p2)$

ControlPoint p12 ! ControlPoint"+idpoint(p11, t+p)$

ControlPoint p22 ! ControlPoint"+idpoint(p2, p3)$

ControlPoint p21 ! ControlPoint"+idpoint(p22, t+p)$ ControlPoint p20 ! ControlPoint"+idpoint(p12, p21)$

spline(p20, p12, p11, p0, pix)$

spline(p3, p22, p21, p20, pix)$

Documents

Parametarske krive Bezier B-spline.ppt