PARALLELO DI DUE TRASFORMATORI - · • non si abbia circolazione di corrente nei secondari nel funzionamento a vuoto; ... trasformatore. Le condizioni c) e d) (stessa tensione di

Il trasformatore

PARALLELO DI DUE TRASFORMATORI

Il funzionamento in parallelo di due trasformatori, di uguale o differente potenza nominale, si verifica quando sono in parallelo sia i circuiti primari sia quelli secondari, ossia quando i trasformatori sono alimentati da una stessa linea primaria ed erogano energia alla stessa linea secondaria di utilizzazione.

V1

caricoV2

TA TB

I

Il trasformatorePARALLELO DI DUE TRASFORMATORI

RETE EQUIVALENTE SEMPLIFICATA (riferita a secondario)

e1B

I2B

V1

+ -

e2B

carico

+ -

Z2ccB

e1A

I2A

+ -

+ -e2A

Z2ccA

I2

V2

II


Lo scopo del parallelo di due trasformatori è di distribuire il carico totale in proporzione diretta alle potenze nominali dei singoli trasformatori.

Una corretta connessione in parallelo richiede che:

• non si abbia circolazione di corrente nei secondari nel funzionamento a vuoto;

• la corrente erogata dal carico si ripartisca tra i trasformatori in modo proporzionale alle rispettive potenze nominali, con correnti nei trasformatori in fase tra loro.

Tali condizioni sono soddisfatte se i trasformatori hanno:

a) stesso rapporto di trasformazione;

b) concordanza di fase delle tensioni secondarie a vuoto (stessa polarità);

c) stessa tensione di corto circuito

d) stesso fattore di potenza di corto circuito.III


La condizione a) (stesso rapporto di trasformazione) porta ad avere tensioni indotte di valore uguale in ogni secondario (e2A = e2B).

Se sussiste anche la condizione b) (concordanza di fase delle tensioni secondarie a vuoto) nella maglia costituita dai due secondari si ha una tensione indotta risultante nulla (e2A - e2B = 0).

è nulla la corrente di circolazione nella maglia costituita dai due secondari, e quindi è nulla la corrente nell’avvolgimento secondario di ciascun trasformatore.

Le condizioni c) e d) (stessa tensione di corto circuito e stesso fattore di potenza di corto circuito) permettono la ripartizione del carico totale in proporzione diretta alle potenze nominali dei singoli trasformatori.

IV


Il parallelo di due trasformatori consente di:

1) impiegare più trasformatori di potenza inferiore rispetto a quella corrispondente al carico totale, nel caso in cui non convenga installare un solo trasformatore.

2) potenziare l’impianto di trasformazione preesistente, aggiungendo un nuovo trasformatore.

3) realizzare una trasformazione a rendimento elevato, perché è possibile ridurre il numero di trasformatori in funzionamento quando il carico si riduce di potenza e viceversa. Quando il carico si riduce notevolmente, si manterrà in funzione un solo trasformatore (quello con minori perdite).

4) considerare uno dei due trasformatori in parallelo come riserva, per realizzare la continuità di esercizio nel caso di guasto di un trasformatore.

V

Esercitazioni sul trasformatore

FUNZIONAMENTO IN PARALLELO DI DUE TRASFORMATORI

Due trasformatori monofase, funzionanti a 50 Hz, sono collegati in parallelo per alimentare un carico induttivo, con fattore di potenza cosϕcarico = 0,8, da una sorgente a 11000 V.Si determini la potenza massima che i trasformatori possono fornire senza che la tensione sul carico scenda al di sotto di 2250 V.Si calcoli la potenza fornita dai due trasformatori in questa condizione.Dati:Trasformatore A Trasformatore Be1n = 11000 V e1n = 11000 Ve2n = 2300 V e2n = 2300 VSnA = 100 kVA SnB = 500 kVAVccA = 275 V VccB = 345 VInAmis = 9,2 A InBmis = 45,5 APccA = 1000 W PccB = 3370 W

Dati provenienti dalla prova di corto circuito

1

Esercitazioni sul trasformatoreFUNZIONAMENTO IN PARALLELO DI DUE TRASFORMATORI

Per utilizzare correttamente i dati a disposizione, per prima cosa dobbiamo capire se la prova di corto circuito è stata effettuata cortocircuitando il primario oppure il secondario dei due trasformatori.Per capirlo, calcoliamo le correnti nominali riferite a entrambi i lati dei trasformatori e confrontiamole con le correnti misurate.

[ ][ ] [ ]nA

1nA1n

100000 V ASI 9, 09 Ae 11000 V

= =

[ ][ ] [ ]nA

2 nA2 n

100000 V ASI 43, 48 Ae 2300 V

= =

A

2

[ ][ ] [ ]nB

1nB1n

500000 V ASI 45, 45 Ae 11000 V

= =

[ ][ ] [ ]nB

2 nB2 n

500000 V ASI 217, 39 Ae 2300 V

= =

B


Osserviamo che le correnti nominali uguali (o quasi) a quelle misurate durante la prova di corto circuito sono quelle relative al primario.Questo significa che nella prova sono stati cortocircuitati i secondari e quindi le grandezze misurate sono relative ai primari (cioè ai lati a 11000 V).La rete equivalente semplificata corrispondente è riferita ai primari:

3

ZccBZccA

e1n

carico

IC

VC

e1n

e2n e2n


Calcoliamo le impedenze di corto circuito riferite ai primari:

[ ][ ] [ ]ccA

ccAnA m is

275 VVZ 29, 89I 9, 2 A

= = ΩA

[ ] [ ]ccAccA 2 2 2

nA m is

1000 WPR 11, 81I 9, 2 A

= = Ω

[ ]2 2 2 2ccA ccA ccAX Z R 29, 89 11, 81 27, 46= − = − Ω

[ ]ccAZ 11, 81 j 27 , 46= + Ω

4


[ ][ ] [ ]ccB

ccBnB m is

345 VVZ 7, 58I 45, 5 A

= = ΩB

[ ] [ ]ccBccB 2 2 2

nB m is

3370 WPR 1, 63I 45, 5 A

= = Ω

[ ]2 2 2 2ccB ccB ccBX Z R 7, 58 1, 63 7, 40= − = − Ω

[ ]ccBZ 1, 63 j 7 , 40= + Ω

5


Riportiamo le impedenze di corto circuito ai secondari, con il rapporto di trasformazione:

[ ][ ]

1n

2 n

11000 Vek 4, 78e 2300 V

= =

A [ ] [ ]ccA2 ccA 2 2

11, 81RR 0, 517k 4, 78

Ω= = Ω

[ ]2 ccAZ 0, 517 j1, 200= + Ω

[ ] [ ]ccA2 ccA 2 2

27 , 46XX 1, 200k 4, 78

Ω= = Ω

6


B [ ] [ ]ccB2 ccB 2 2

1, 63RR 0, 071k 4, 78

Ω= = Ω

[ ]2 ccBZ 0, 071 j 0, 324= + Ω

[ ] [ ]ccB2 ccB 2 2

7 , 40XX 0, 324k 4, 78

Ω= = Ω

Calcoliamo ora il modulo e la fase di Z2ccA e Z2ccB:

[ ]2 2 2 22 ccA 2 ccA 2 ccAZ R X 0, 517 1, 200 1, 307= + = + Ω

2 ccA2 ccA

2 ccA

XZ arctan 66, 7R

= °

A

7


[ ]j66 ,72 ccAZ 1, 307 e °= Ω

B [ ]2 2 2 22 ccB 2 ccB 2 ccBZ R X 0, 071 0, 324 0, 331= + = + Ω

2 ccB2 ccB

2 ccB

XZ arctan 77, 6R

= °

[ ]j77 ,62 ccBZ 0, 331e °= Ω

8


A questo punto possiamo far riferimento a una rete equivalente semplificata riferita ai secondari:

9

carico

1ne1ne

2 ne 2 ne

2 ccAZ 2 ccBZ

CI2 BI2 AI

CV


Possiamo schematizzare la rete equivalente semplificata riferita ai secondari nel seguente modo:

10

carico

2 BI2 AICI

2 ccBZ2 ccAZ

CV

2 ne 2 ne

( ) ( ) j36 ,87C C carico carico C CI I cos j sin I 0, 8 j 0, 6 I e − °= ϕ − ϕ = − =


Calcoliamo l’impedenza equivalente al parallelo delle impedenze dei due trasformatori:

11

carico

CI

eqZ2 ccA 2 ccB

eq2 ccA 2 ccB

Z ZZZ Z

∗=

+CV

2 ne

( ) ( ) j36 ,87C C carico carico C CI I cos j sin I 0, 8 j 0, 6 I e − °= ϕ − ϕ = − =


Calcoliamo prima separatamente numeratore e denominatore di:

2 ccA 2 ccBeq

2 ccA 2 ccB

Z ZZZ Z

∗=

+

numeratore[ ]2 ccA 2 ccBZ Z 1, 307 0, 331 0, 433∗ = ∗ = Ω

( )2 ccA 2 ccBZ Z 66, 7 77, 6 144, 3∗ = ° + ° = ° denominatore

12

( ) [ ]2 ccA 2 ccB 2 ccA 2 ccBRe Z Z R R 0, 517 0, 071 0, 588+ = + = + = Ω

( ) [ ]2 ccA 2 ccB 2 ccA 2 ccBIm Z Z X X 1, 200 0, 324 1, 524+ = + = + = Ω

[ ]2 22 ccA 2 ccBZ Z 0, 588 1, 524 1, 634+ = + = Ω

( )2 ccA 2 ccB1, 524Z Z arctan 68, 90, 588

+ = °


[ ]eq0, 433Z 0, 2651, 634

= = Ω

eqZ 144, 3 68, 9 75, 4= ° − ° = °

[ ]j75 ,4eqZ 0, 265e °= Ω

13

( ) ( ) [ ]eqRe Z 0, 265 cos 75, 4 0, 067= ° = Ω

( ) ( ) [ ]eqIm Z 0, 265 sin 75, 4 0, 257= ° = Ω

[ ]eqZ 0, 067 j 0, 257= + Ω


Riprendiamo il circuito equivalente, fissiamo ad arbitrio la fase della tensione sul carico pari a 0° e calcoliamo la fase ϕ della tensione 2 ne

14

carico

j75 ,4eqZ 0, 265e °=

j36 ,87C CI I e − °=

j0CV 2250e °=

j2 ne 2300e ϕ=

Scriviamo l’equazione alla maglia: 2 n eq C Ce Z I V− =

( )j 75 ,4 36 ,87j j0C2300e 0, 265I e 2250e− °ϕ °− =

j j38 ,54 j0C2300e 0, 265I e 2250eϕ ° °− =


L’equazione alla maglia:

j j38 ,54 j0C2300e 0, 265I e 2250eϕ ° °− =

è un’equazione vettoriale, pertanto può essere scomposta in due equazioni scalari ed è risolubile nelle due incognite ϕ e IC :

( )C2300 cos 0, 265I cos 38, 54 2250ϕ − ° =

( )C2300 sin 0, 265I sin 38, 54 0ϕ − ° =

cos 1ϕ =

sin ϕ = ϕ

Nell’ipotesi di ϕ molto piccolo, avremo:(soluzione approssimata)

( )C2300 0, 265I cos 38, 54 2250− ° =

( )C2300 0, 265I sin 38, 54 0ϕ − ° =

15


( ) [ ]C2300 2250I 241, 04 A

0, 265 cos 38, 54−

=°

( ) [ ]0, 265 241, 04 sin 38, 540, 017 rad 0, 992

2300∗ ∗ °

ϕ = °

Osserviamo che l’ipotesi di ϕ molto piccolo è verificata.

La soluzione rigorosa si ottiene nel seguente modo:

j j38 ,54 j0C2300e 0, 265I e 2250eϕ ° °= +

( ) ( )C2300 cos jsin 0, 265I cos 38, 54 jsin 38, 54 2250ϕ + ϕ = + +

( ) ( )C C2300 cos j sin 0, 207 I 2250 j0,165Iϕ + ϕ = + +

16


Passando ai moduli:2 2 2 2

C C C2300 0, 043I 2250 933, 5I 0, 027 I= + + +

2C C0, 07 I 933, 5I 227500 0+ − =

2 2

Cb b 4ac 933, 5 933, 5 4 0, 07 227500I

2a 2 * 0, 07− ± − − ± + ∗ ∗

= = =

2

C933, 5 933, 5 4 0, 07 227500 933, 5 967,1I

2 * 0, 07 0,14− ± + ∗ ∗ − ±

= = =

CI =240, 5[A ]+

13575, 6 [A ]−

(il valore corretto è quello positivo, perché è un modulo)

17


Per calcolare ϕ considero la parte immaginaria dell’equazione:

( ) ( )C C2300 cos j sin 0, 207 I 2250 j0,165Iϕ + ϕ = + +

C2300 sin 0,165Iϕ =

0,165 240, 5sin 0, 01722300∗

ϕ = =

0, 990ϕ = °

In questo caso i risultati ottenuti con la soluzione rigorosa sono quasi identici a quelli ottenuti con la soluzione approssimata, perché in effetti ϕ è molto piccolo.

18


A questo punto possiamo calcolare la potenza fornita dai due trasformatori:

j36 ,87 j0 j36 ,87C CA I V 240, 5e 2250e 541e [kV A ]− ° ° − °= = ∗

Ora dovremmo verificare quale è la potenza fornita da ciascuno dei due trasformatori.Prima calcoliamo la corrente fornita da ciascun trasformatore:

eq C2 B

2 ccB

Z II

Z=eq C

2 A2 ccA

Z II

Z=

2 A0, 265 75, 4 240, 5 36, 87I 48, 81 28,18 A

1, 307 66, 7° − °

= = − °°

i

2 B0, 265 75, 4 240, 5 36, 87I 192, 41 39, 07 A

0, 331 77, 6° − °

= = − °°

i

19


Si osserva che la somma dei moduli delle correnti nei due trasformatori è maggiore del modulo della corrente nel carico. Questo accade perché la corrente nel carico è data dalla somma vettoriale delle correnti nei due trasformatori, le quali hanno fase diversa l’una dall’altra.Il grado di carico dei due trasformatori è:

2 AA

2 A n

I 48, 81 1,12I 43, 48

α = = ≅ il trasformatore A è sovraccaricato

2 BB

2 B n

I 192, 41 0, 89I 217, 39

α = = ≅

La potenza fornita da ciascun trasformatore è:

A C 2 AA V I 2250 0 48, 81 28, 81= = ° − °i AA 110 kV A≅

BA 433 kV A≅B C 2 BA V I 2250 0 192, 41 39, 07= = ° −i

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