Paralelismo, retas paralelas cortadas por uma transversal

Retas concorrentes: duas retas distintas no plano que possuem um único

ponto em comum.

Retas paralelas: duas retas distintas no plano que não possuem pontos em

comum.

r//s (essa notação “//” mostra que as retas r e s são paralelas)

Dados um ponto P e uma reta r, existe uma única reta que passa por P e é

paralela a r. (versão de Playfair)

r//s

Se r e s são a mesma reta, dizemos que elas são coincidentes.

Essas retas coincidentes possuem, no mínimo 2 pontos em comum. Pois, se

tiverem 2 pontos em comum, todos os outros serão comuns também.

Retas cortadas por transversal

Ângulos opostos pelo vértice:

1 e 3

2 e 4

5 e 7

6 e 8

Ângulos correspondentes:

1 e 5

2 e 6

3 e 7

4 e 8

Ângulos colaterais:

- externos:

2 e 7

1 e 8

- internos:

4 e 5

3 e 6

Ângulos alternos (IMPORTANTE)

- externos:

2 e 8

1 e 7

- internos:

3 e 5

4 e 6

Retas PARALELAS cortadas por transversal

Teorema: (IMPORTANTE) Sejam r e s duas retas cortadas por uma

transversal t. As retas r e s são paralelas quando elas determinam com a

reta t ângulos correspondentes (ou ângulos alternos internos) de mesma

medida.

1̂ = 5̂

2̂ = 6̂

3̂ = 7̂

4̂ = 8̂

Teorema dos Bicos: Sejam r e s duas retas paralelas, e dada uma poligonal

(como na figura), a soma ângulos dos bicos de um lado é igual à soma dos

ângulos que tem bico para o outro lado.

Exemplo:

Soma dos ângulos internos de um triângulo

Agora que vimos esse estudo de paralelismo, podemos demonstrar que a soma

dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Demonstração: Seja ΔABC um triângulo qualquer, com os ângulos internos a, b

e c, como ilustrado na figura a seguir.

Traçando pelo vértice C a reta paralela ao segmento AB, identificamos os

ângulos alternos internos de medida b e também identificamos os ângulos

alternos internos de medida a, como indicado na figura a seguir.

Fazendo esta construção, obtemos no vértice C um ângulo raso que é igual à

soma dos ângulos adjacentes a, b e c. Isto significa que a+b+c=180° e, portanto

concluímos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

Exemplo 1. Em cada uma das figuras a seguir, observando os ângulos entre as

retas paralelas r e s com a transversal t, calcule as medidas dos ângulos

indicados por letras.

Exemplo 2. Na figura a seguir, os pontos A, F, E e D estão alinhados assim como

os pontos A, B e C também estão alinhados. As retas CE e BF são paralelas?

Exemplo 3. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Qual é a medida do

ângulo x?

Exercícios

1. Observando a figura, em cada item classifique os pares de ângulos como:

ângulos correspondentes, ângulos alternos internos, ângulos alternos

externos, ângulos colaterais internos ou colaterais externos.

(a) ângulos 4 e 5.

(b) ângulos 3 e 7.

(c) ângulos 2 e 8.

(d) ângulos 4 e 6.

(e) ângulos 1 e 8.

2. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Se AB = CB, determine a

medida do ângulo x.

3. Em cada figura, determine a medida do ângulo x sabendo que as retas r

e s são paralelas.