Ricardo Alejos Matemticas

ParbolasDefinicinUna parbola es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. El punto que est exactamente en medio de la directriz y el foco se llama vrtice. Y la recta que pasa por el foco y el vrtice se llama eje. Consideremos una parbola cuyo vrtice est en el punto da en siendo focal). Vea la Ilustracin 1. y cuya directriz est ubica-

la distancia del vrtice al foco (llamada con frecuencia distancia

Ilustracin 1. Parbola con vrtice en

y directriz

.

Lo que haremos ahora ser encontrar la expresin matemtica que nos permitir calcular cualquier punto de la parbola listo(a)?

Nota entonces que de acuerdo a la definicin que dimos de la parbola, la distancia desde el punto hasta el foco (ubicado en el punto ) es la misma distancia que la que hay entre el punto al punto ubicado en la directriz. Utilizando la frmula para medir distancias entre dos puntos dados y lo descrito en el prrafo anterior podemos armar la ecuacin (3). (1) Y de aqu partimos nuestro proceso algebraico por encontrar la ecuacin cannica de la parbola, que est escrita en la ecuacin (3).

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(2) Con un procedimiento muy parecido podemos llegar tambin a la ecuacin que describe a la parbola con eje horizontal con vrtice en al que se debe llegar se muestra en la ecuacin (3). (3) y con directriz en . El resultado

El lado rectoOtro aspecto de la parbola al que se suele recurrir es a su lado recto. El lado recto es el segmento de recta que va desde un punto de la parbola hasta otro pasando por el foco y siendo adems perpendicular al eje de dicha parbola.

Ilustracin 2. El lado recto de la parbola

.

Considerando una parbola de eje vertical con vrtice en

, haremos el clculo de la

longitud del lado recto . Esto lo haremos recurriendo a la ecuacin (2), pues de ah podremos despejar tras hacer la sustitucin .

2

Ricardo Alejos Matemticas Por lo tanto, el lado recto mide el cuatro veces ms que la distancia focal, es decir .

AplicacinLas parbolas se suelen utilizar como superficies de reflexin pues adems tienen la propiedad (estudiados desde la ptica geomtrica) de reflejar directamente hacia el foco todos los rayos paralelos al eje que impacten sobre la superficie parablica. Y tambin viceversa, todos los rayos de una fuente de rayos colocada en el foco de la parbola al ser reflejados sobre una superficie parablica sern re-dirigidos hacia donde est abierta la parbola y paralelos al eje de la misma. Vea la Ilustracin 3.

Ilustracin 3. Aplicacin de ptica geomtrica de la parbola.

Con este mismo principio funcionan la mayora de las lmparas de mano (tienen una superficie parablica reflejante para aprovechar al mximo toda la luz radiada por el foco) y las antenas parablicas (que reciben seales desde distancias muy lejanas y las reflejan hacia el receptor colocado en el foco de la parbola). Las parbolas tambin sirven para describir la trayectoria de cuerpos que han sido lanzados en alguna direccin que no sea vertical o para describir trayectorias de proyectiles entre muchas otras aplicaciones.

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