Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 7 No.2 Tahun 2019 ISSN 2301-9115
76
KONEKTIVITAS-TITIK HASIL KALI KRONECKER DUA GRAF
Evi Anggraini
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
I Ketut Budayasa
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
Abstrak
Misalkan ๐บ1 dan ๐บ2 dua buah graf. Hasil kali kronecker ๐บ1dan ๐บ2, dilambangkan dengan ๐บ1 โ ๐บ2,
adalah graf dengan himpunan titik ๐(๐บ1 โ ๐บ2) = ๐(๐บ1) ร ๐(๐บ2) dan himpunan sisi ๐ธ(๐บ1 โ ๐บ2) =
{(๐ข1, ๐ฃ1)(๐ข2, ๐ฃ2) / ๐ข1๐ข2 โ ๐ธ(๐บ1) dan ๐ฃ1๐ฃ2 โ ๐ธ(๐บ2)} . Konektivitas-titik graf ๐บ atau ๐ (๐บ) adalah minimum
banyaknya titik ๐บ yang harus dihapus agar graf yang baru tak terhubung atau graf trivial. Konektivitas-titik super
dari graf ๐บ, dilambangkan dengan ๐ ๐ (๐บ), adalah minimum banyak titik yang dihapus agar graf yang baru tak
terhubung dan tidak memuat titik terasing. Jelas bahwa jika graf ๐บ tak terhubung, maka ๐ (๐บ) = 0. Penentuan
nilai eksak konektivitas-titik dan konektivitas-titik super hasil kali kronecker dua graf secara umum merupakan
permasalahan yang sulit. Dalam artikel ini akan ditunjukkan bahwa ๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)(๐ โ 1), jika ๐ โฅ
๐ โฅ 2 dan ๐ โฅ 3. Begitu juga, akan ditunjukan ๐ (๐บ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ), jika ๐บ graf bipartit dengan ๐ (๐บ) =
๐ฟ(๐บ) dan ๐ โฅ 3. Dan ditunjukan juga bahwa ๐ ๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = ๐๐ โ 4, jika ๐ โฅ ๐ โฅ 2 dan ๐ โฅ 3. Akhirnya,
dibuktikan bahwa ๐ ๐ (๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 2)(๐ + ๐) , jika ๐ โฅ 3, ๐ โฅ 1, dan ๐ โฅ 1. Pembahasan ini akan
diawali dengan pembuktian bahwa perkalian kronecker dua graf terhubung merupakan graf terhubung jika dan
hanya jika salah satu dari kedua graf tersebut memuat sikel ganjil.
Kata Kunci: konektivitas-titik hasil kali kronecker dua graf, konektivitas-titik super hasil kali kronecker dua graf untuk
beberapa kelas graf tertentu.
Abstract
Let ๐บ1 and ๐บ2 be two graphs. Kronecker product of ๐บ1 and ๐บ2, denoted by ๐บ1 โ ๐บ2, is a graph with a set
of vertex ๐(๐บ1 โ ๐บ2) = ๐(๐บ1) ร ๐(๐บ2) and a set of edge ๐ธ(๐บ1 โ ๐บ2) = {(๐ข1, ๐ฃ1)(๐ข2, ๐ฃ2) / ๐ข1๐ข2 โ ๐ธ(๐บ1)
dan ๐ฃ1๐ฃ2 โ ๐ธ(๐บ2)}. The vertex-connectivity of graph ๐บ atau ๐ (๐บ) is the minimum number of vertex ๐บ that must
be removed so that a new graph is disconnected or a trivial graph. The super connectivity-vertex of graph G,
denoted by ๐ ๐ (๐บ), are the minimum number of vertex removed so that the new graph is disconnected and does
not contain isolated vertexs. It is clear that if graph ๐บ is disconnected, then ๐ (๐บ) = 0. Determining the exact
value of connectivity-vertex and super connectivity-vertex kronecker products of two graphs is generally a
difficult problem. In this paper it will be shown that ๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)(๐ โ 1), if ๐ โฅ ๐ โฅ 2 and ๐ โฅ 3.
Likewise, it will be shown ๐ (๐บ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ), if ๐บ bipartite graphs with ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ) and ๐ โฅ 3.
Finally, it is proved that ๐ ๐ (๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 2)(๐ + ๐), if ๐ โฅ 3, ๐ โฅ 1 and ๐ โฅ 1. This discussion will
begin with proof that the kronecker product of two connected graphs is a connected graph if and only if one of
the two graphs contains an odd cycle.
Keywords: connectivity-vertex of two graphs, super connectivity-vertex kronecker products of two graphs for some
classes of graph.
1. PENDAHULUAN
Penentuan keterhubungan (konektivitas) pada graf
memegang peranan penting dalam merancang suatu
jaringan (network), karena konektivitas ini menunjukkan
reliabilitas atau keajegan dari suatu jaringan. Misalnya
pengaplikasian konektivitas dalam kehidupan sehari-hari
yaitu pada suatu jaringan komunikasi. Pusat (sentra atau
stasiun) komunikasi berkorespondensi dengan titik pada
graf. Sehingga, konektivitas-titik pada graf menyatakan
banyaknya sentra yang harus dihancurkan untuk memutus
jaringan komunikasi tersebut. Terdapat dua jenis
KONEKTIVITAS-TITIK HASIL KALI KRONECKER DUA GRAF
77
konektivitas dalam teori graf yaitu konektivitas-titik dan
konektivitas-sisi (Budayasa, 2007).
Perkalian dua graf telah banyak diteliti. Pada tahun
1962, P.M. Weichsel tertarik mempelajari konektivitas
perkalian kronecker dari dua graf yang terhubung. Marmut
dan Vumar (2008) menentukan beberapa parameter
kerentanan titik perkalian kronecker dari graf komplet. Guji
dan Vumar (2009) mempelajari konektivitas perkalian
kronecker dari graf bipartit dan graf komplet. Ada beberapa
jenis perkalian dua graf yaitu, perkalian kartesius, perkalian
kuat, perkalian leksikografik, dan perkalian kronecker dua
graf. Hasil kali kronecker dari dua graf ๐บ dan graf ๐ป ,
dilambangkan dengan ๐บ โ ๐ป , adalah graf dengan
himpunan titik ๐(๐บ โ ๐ป) = ๐(๐บ) ร ๐(๐ป) dan himpunan
sisi ๐ธ(๐บ โ ๐ป) = {(๐, ๐)(๐, ๐ )| ๐๐ โ ๐ธ(๐บ) dan ๐๐ โ
๐ธ(๐ป)} (Ekinci & Kฤฑrlangiรง, 2015). Dalam penentuaan nilai
eksak konektivitas-titik dan konektivitas-titik super
perkalian kronecker dua graf secara umum merupakan
permasalahan yang sulit. Dalam skripsi ini akan dibahas
konektivitas-titik dan konektivitas-titik super hasil kali
kronecker dua graf untuk beberapa kelas graf tertentu.
2. KAJIAN TEORI
A. Konektivitas-Titik Hasil Kali Kroneker Dua Graf
Definisi 2.1
Misalkan ๐บ graf terhubung dan ๐1 โ ๐(๐บ) .
Himpunan ๐1 disebut himpunan-titik-pemutus ๐บ , jika ๐บ โ
๐1 menjadi graf tak terhubung atau graf trivial (๐พ1) .
Minimum |๐1| sedemikian hingga ๐1 himpunan-titik-
pemutus ๐บ disebut konektivitas-titik ๐ฎ , disimbolkan
dengan ๐ (๐บ). Dengan kata lain, konektivitas-titik graf ๐บ
atau ๐ (๐บ) adalah minimum banyaknya titik ๐บ yang harus
dihapus agar graf yang baru tak terhubung atau graf trivial.
Jelas bahwa jika graf ๐บ tak terhubung, maka ๐ (๐บ) = 0 . Graf ๐บ disebut terhubung-titik-k, jika penghapusan
sebanyak kurang dari ๐ titik ๐บ , menghasilkan graf baru
yang tetap terhubung. Jadi setiap graf terhubung adalah graf
terhubung-titik-1. Kiranya jelas bahwa graf ๐บ terhubung-
titik-k jika dan hanya jika ๐ (๐บ) โฅ ๐ (Budayasa, 2007).
Contoh 2.1:
Gambar 1. Graf ๐บ dengan ๐ (๐บ) = 3
Misalkan ๐บ sebuah graf tanpa gelung dan ๐ฃ adalah
sebuah titik ๐บ dengan ๐(๐ฃ) = ๐ฟ(๐บ) . Misalkan ๐๐บ(๐ฃ)
adalah himpunan titik ๐บ yang berhubungan langsung
dengan ๐ฃ di ๐บ. Selanjutnya, ๐๐บ(๐ฃ) disebut persekitaran
titik ๐ฃ di graf ๐บ . Maka pada graf ๐บ โ ๐๐บ(๐ฃ) titik ๐ฃ
merupakan titik terasing (titik dengan derajat nol) atau
graf ๐บ โ ๐๐บ(๐ฃ) tak terhubung, maka diperoleh lemma
berikut:
Lemma 2.1
Jika ๐บ graf terhubung, maka
1 โค ๐ (๐บ) โค ๐ฟ(๐บ) โ
(Budayasa, 2007).
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
A.Hasil Kali Kronecker Dua Graf dan Sifat-
Sifatnya
Pembahasan pada bab ini akan diawali dengan
pengertian tentang hasil kali kronecker dua graf.
Definisi 3.1
Misalkan ๐บ1 dan ๐บ2 dua graf sederhana. Hasil kali
kronecker ๐บ1 dan ๐บ2 , dilambangkan dengan ๐บ1 โ ๐บ2 ,
adalah graf dengan himpunan titik ๐(๐บ1 โ ๐บ2) =
๐(๐บ1) ร ๐(๐บ2) dan himpunan sisi ๐ธ(๐บ1 โ ๐บ2) =
{(๐ข1, ๐ฃ1)(๐ข2, ๐ฃ2) / ๐ข1๐ข2 โ ๐ธ(๐บ1) dan ๐ฃ1๐ฃ2 โ ๐ธ(๐บ2)}
(Ekinci & Kฤฑrlangiรง, 2015)
Contoh 3.1:
Diberikan graf ๐บ1, ๐บ2, dan ๐บ3 seperti pada gambar
berikut:
(a)
Hasil kali kronecker dari graf ๐บ1 dan ๐บ2 dapat dilihat
pada Gambar 2(b), sedangkan hasil kali kronercker dari
๐บ2 dan ๐บ3 dapat dilihat pada Gambar 2(c).
(b) (c)
Gambar 2. (a) Tiga graf ๐บ1, ๐บ2, ๐บ3 ; (b) Graf ๐บ1 โ ๐บ2 ;
(c) Graf ๐บ2 โ ๐บ3
Volume 7 No.2 Tahun 2019, Hal 76-82
78
Sebagai akibat langsung dari Definisi 3.1, diperoleh
hasil berikut:
Lemma 3.1
Jika ๐บ1 dan ๐บ2 adalah buah graf terhubung, maka
i. |๐(๐บ1 โ ๐บ2)| = |๐(๐บ1)| . |๐(๐บ2)|
ii. |๐ธ(๐บ1 โ ๐บ2)| = |๐ธ(๐บ1)| . |๐ธ(๐บ2)| . 2
iii. Untuk setiap (๐ข, ๐ฃ) โ ๐(๐บ1 โ ๐บ2) ,
๐๐บ1ร๐บ2((๐ข, ๐ฃ)) = ๐๐บ1
(๐ข) . ๐๐บ2(๐ฃ)
(Bottreau & Metivier *, 1998).
Dari Contoh 3.1 di atas, terlihat bahwa hasil kali
kronecker dari dua graf terhubung bisa merupakan graf
terhubung, seperti Gambar 2(b), dan bisa juga merupakan
graf tak terhubung, seperti Gambar 2(c).
Sebuah jejak di graf ๐บ dari titik ๐ฃ๐ ke titik ๐ฃ๐ ,
dilambangkan dengan ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐. Sedangkan banyaknya sisi
pada jejak ๐ฃ1 โ ๐ฃ๐ , dilambangkan dengan ๐(๐ฃ1 โ ๐ฃ๐) .
Selanjutnya kita buktikan teorema berikut:
Teorema 3.2
Misalkan ๐บ1 dan ๐บ2 dua graf dengan himpunan titik
๐บ1 adalah {๐ฃ๐} dan himpunan titik ๐บ2 adalah {๐ค๐} . Jika
(๐ฃ1, ๐ค1) dan (๐ฃ2, ๐ค2) dua titik pada ๐บ1 โ ๐บ2 dan jika
terdapat jejak ๐ฃ1 โ ๐ฃ2 di ๐บ1 dan jejak ๐ค1 โ ๐ค2 di ๐บ2
sedemikian sehingga ๐(๐ฃ1 โ ๐ฃ2) + ๐(๐ค1 โ ๐ค2) genap,
maka terdapat jejak (๐ฃ1, ๐ค1) โ (๐ฃ2, ๐ค2) di graf ๐บ1 โ ๐บ2.
Menggunakan Teorema 2, dibuktikan karakterisasi
hasil kali kronecker dua graf merupakan graf terhubung
seperti berikut:
Teorema 3.3
Misalkan ๐บ1 dan ๐บ2 dua graf terhubung. Graf ๐บ1 โ ๐บ2
terhubung jika dan hanya jika ๐บ1 atau ๐บ2 memuat sikel
ganjil.
Teorema 3.4
Misalkan ๐บ1 dan ๐บ2 adalah dua graf terhubung. Jika ๐บ1
dan ๐บ2 tidak memuat sikel ganjil, maka ๐บ1 โ ๐บ2
merupakan graf tak terhubung dan memiliki tepat dua
komponen.
Sebagai akibat dari Teorema 3.4 dan Definisi 3.1,
diperoleh hasil berikut:
Akibat 3.5
Misalkan ๐บ graf terhubung dan ๐บ tidak memiliki sikel
ganjil, maka ๐บ โ ๐พ2 mempuyai dua komponen, masing-
masing isomorfik dengan ๐บ.
B. Konektivitas-Titik Hasil Kali Kronecker Dua Graf
Perhatikan bahwa Teorema 3.3, merupakan syarat perlu
dan syarat cukup agar graf ๐บ1 โ ๐บ2 merupakan graf
terhubung. Berdasarkan Lemma 2.1, jika ๐บ1 โ ๐บ2 terhubung,
maka 1 โค ๐ (๐บ1 โ ๐บ2) โค ๐ฟ(๐บ1 โ ๐บ2) . Selanjutnya dari
Lemma 3.1 (iii), ๐๐บ1ร๐บ2((๐ข, ๐ฃ)) = ๐๐บ1
(๐ข) . ๐๐บ2(๐ฃ) dengan
demikian,
๐ฟ(๐บ1 โ ๐บ2) = min{๐๐บ1โ๐บ2(๐ข, ๐ฃ) |๐ข๐ฃ โ ๐(๐บ1 โ ๐บ2)}
= min{๐๐บ1(๐ข) . ๐๐บ2
(๐ฃ) |๐ข โ ๐บ1 dan ๐ฃ โ ๐บ2}
= min{๐๐บ1(๐ข) |๐ข โ ๐บ1} . min{๐๐บ2
(๐ฃ) |๐ฃ โ ๐บ2}
= ๐ฟ(๐บ1) ร ๐ฟ(๐บ2)
Sehingga diperoleh lemma berikut.
Lemma 3.6
Jika graf ๐บ1 โ ๐บ2 terhubung, maka
1 โค ๐ (๐บ1 โ ๐บ2) โค ๐ฟ(๐บ1) ร ๐ฟ(๐บ2)
Secara umum menentukan formula konektivitas
dari ๐บ1 โ ๐บ2 merupakan persoalan yang sulit. Berikut akan
ditentukan nilai ๐ (๐บ1 โ ๐บ2) untuk graf ๐บ1 dan ๐บ2 tertentu.
Selanjutnya akan ditunjukkan jika ๐บ1 dan ๐บ2 masing-
masing merupakan graf komplet, maka batas atas dari
๐ (๐บ1 โ ๐บ2) dalam Lemma 6 dicapai. Untuk itu diperlukan
terminologi berikut :
Misalkan ๐(๐พ๐) = ๐1 = {๐ข1, ๐ข2, โฆ , ๐ข๐} dan ๐(๐พ๐) =
๐2 = {๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐} dan himpunan ๐๐ = {๐ข๐} ร ๐2, ๐ =
1, โฆ , ๐. Selanjutnya (๐ข๐ , ๐ฃ๐) ditulis ๐ค๐๐ untuk ๐ = 1, โฆ , ๐
dan ๐ = 1, โฆ , ๐ . Sehingga ๐๐ = {๐ค๐1, ๐ค๐2 , โฆ , ๐ค๐๐}, ๐ =
1, โฆ , ๐ adalah sebuah himpunan titik-titik independen di
๐พ๐ โ ๐พ๐ dan ๐(๐พ๐ โ ๐พ๐) mempunyai sebuah partisi
๐1 ร ๐2 = ๐1 โช ๐2 โช โฆ โช ๐๐. Untuk dua titik ๐ข dan ๐ฃ di
graf ๐บ , kita tulis ๐ข โผ ๐ฃ jika ๐ข๐ฃ โ ๐ธ(๐บ) , dan ๐ข โ ๐ฃ jika
๐ข๐ฃ โ ๐ธ(๐บ).
Teorema 3.7
Jika ๐พ๐ dan ๐พ๐dua graf komplet dengan ๐ โฅ ๐ โฅ 2
dan ๐ โฅ 3, maka
๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)(๐ โ 1).
Contoh 3.2:
Diberikan graf ๐พ4 dan ๐พ3 seperti gambar berikut:
(a)
KONEKTIVITAS-TITIK HASIL KALI KRONECKER DUA GRAF
79
Hasil kali kronecker dari graf ๐พ4 dan graf ๐พ3 dapat dilihat
pada Gambar 3(b).
(b)
Gambar 3. (a) Graf ๐ฒ๐ dan graf ๐ฒ๐; (b) Graf ๐ฒ๐ โ ๐ฒ๐
dengan ๐ฟ(๐ฒ๐ โ ๐ฒ๐) = ๐
Perhatikan bahwa:
๐1 = {(๐ข2, ๐ฃ2), (๐ข2, ๐ฃ3), (๐ข3, ๐ฃ2)(๐ข3, ๐ฃ3), (๐ข4, ๐ฃ2), (๐ข4, ๐ฃ3)}
sebuah himpunan titik-pemutus dengan kardinalitas
minimum pada graf ๐พ4 โ ๐พ3.
Selanjutnya akan dicari konektivitas-titik hasil kali
kronecker graf bipartit dan graf komplet. Untuk itu
diperlukan terminologi berikut :
Misalkan ๐บ graf bipartit dengan bipartisi (๐, ๐) dan
๐พ๐ (๐ โฅ 3). Misalkan ๐(๐บ) = ๐1 = {๐ข1, โฆ , ๐ข๐}, ๐(๐พ๐) =
๐2 = {๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐}, dan himpunan ๐๐ = ๐1 ร {๐ฃ๐}, ๐๐ = ๐ ร
{๐ฃ๐}, ๐๐ = ๐ ร {๐ฃ๐}, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐. Sehingga diperoleh ๐๐ =
๐๐ โช ๐๐ . Seperti sebelumnya, titik (๐ข๐ , ๐ฃ๐) di graf ๐บ โ ๐พ๐
dilambangkan dengan ๐ค๐๐ , untuk ๐ = 1, 2, โฆ , ๐ dan ๐ =
1, 2, โฆ , ๐ . maka ๐๐ = {๐ค1๐ , ๐ค2๐ , โฆ , ๐ค๐๐} , ๐ = 1, 2, โฆ , ๐ ,
adalah sebuah himpunan titik independen di ๐บ โ ๐พ๐, dan
๐(๐บ โ ๐พ๐) mempunyai partisi ๐1 ร ๐2 = ๐1 โช ๐2 โช โฆ โช
๐๐.
Konektivitas hasil kali kronecker antara graf bipartit
dan graf komplet diperoleh hasil sebagai berikut:
Teorema 3.8
Jika ๐บ adalah graf bipartit dan ๐ โฅ 3, maka ๐ (๐บ โ
๐พ๐) = min{๐๐ (๐บ), (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ)}.
Jika ๐บ graf bipartit dengan ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ) , maka min
{๐๐ (๐บ), (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ)} = min {๐๐ฟ(๐บ), (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ)}
= (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ)
Sehingga akibat langsung dari Teorema 3.8, diperoleh
hasil sebagai berikut:
Akibat 3.9
Jika ๐บ graf bipartit dengan ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ) dan ๐ โฅ 3,
maka
๐ (๐บ โ ๐พ๐) = ๐ฟ(๐บ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ).
Contoh 3.3:
(a)
Hasil kali kronecker dari graf ๐บ dan graf ๐พ3 dapat dilihat
pada Gambar 4(b).
(b)
Gambar 4. (a) Graf ๐ฎ dan Graf ๐ฒ๐; (b) Graf ๐ฎ โ ๐ฒ๐
dengan ๐ฟ(๐ฎ โ ๐ฒ๐) = ๐
Dalam hal ini ๐ฟ(๐บ) = 2 dan ๐ = 3 , berdasarkan
Akibat 3.9, ๐ (๐บ โ ๐พ3) = (3 โ 1). 2 = 4 . Perhatikan
bahwa ๐ = {(๐ข1, ๐ฃ2), (๐ข1, ๐ฃ3), (๐ข2, ๐ฃ2), (๐ข2, ๐ฃ3)} adalah
sebuah himpunan titik-pemutus minimum pada graf ๐บ โ
๐พ3.
C.Konektivitas-Titik Super Hasil Kali Kronecker Dua
Graf
Definisi 3.3
Sebuah himpunan-titik-pemutus ๐ di graf ๐บ disebut
himpunan-titik-pemutus super (๐ โSuper), jika ๐บ โ ๐ tak
terhubung dan tidak memuat titik terasing. Definisi ini
berakibat bahwa setiap titik ๐ข โ ๐(๐บ โ ๐), maka ๐๐บ(๐ข) โ
๐. Konektivitas-titik super dari graf ๐บ disimbolkan dengan
๐ ๐ (๐บ) didefinisikan sebagai berikut :
๐ ๐ (๐บ) = min {|๐|: ๐ โ ๐(๐บ) adalah himpunan-
titik-pemutus super dari ๐บ}.
Volume 7 No.2 Tahun 2019, Hal 76-82
80
Contoh 3.4:
Perhatikan graf ๐บ pada gambar berikut.
Gambar 5. Graf ๐ฎ terhubung
Jika ๐1 = {๐ฃ3, ๐ฃ4, ๐ฃ5} maka ๐บ โ ๐1 Graf tak terhubung
dengan dua komponen seperti berikut:
(a)
Sehingga ๐1 adalah sebuah himpunan titik-pemutus di
๐บ . Tetapi ๐1 bukan himpunan titik-pemutus super di ๐บ
karena ๐บ โ ๐1 memuat titik terasing yaitu ๐ฃ6.
Jika ๐2 = {๐ฃ1, ๐ฃ3} maka ๐บ โ ๐2 Graf tak terhubung
dengan dua komponen berikut:
(b)
Sehingga ๐2 adalah sebuah himpunan titik-pemutus
dari ๐บ. Tetapi ๐2 bukan himpunan titik-pemutus super di ๐บ
karena ๐บ โ ๐2 memuat titik terasing yaitu ๐ฃ2.
Jika ๐บ๐ = {๐๐, ๐๐} maka ๐ฎ โ ๐บ๐ Graf tak terhubung
dengan dua komponen
(c)
Gambar 6. (a) ๐ฎ โ ๐บ๐; (b) ๐ฎ โ ๐บ๐; (c) ๐ฎ โ ๐บ๐
Sehingga ๐3 adalah sebuah himpunan titik-pemutus di
๐บ dan ๐3 himpunan titik-pemutus super di ๐บ karena ๐บ โ ๐3
tidak memuat titik terasing.
Mudah diamati bahwa tidak ada himpunan titik-
pemutus super dari ๐ฎ yang mempunyai kardinalitas kurang
dari dua. Sehingga konektivitas-titik super dari ๐ฎ adalah
dua, atau ๐ฟ๐(๐ฎ) = ๐.
Baru-baru ini, Guo et al mempelajari konektivitas
super hasil kali kronecker dari graf bipartit dan graf komplet
bahwa ๐บ โ ๐พ๐ (๐ โฅ 3) adalah ๐ -super untuk graf bipartit
dengan ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ).
Teorema 3.10
Jika ๐บ sebuah graf bipartit dengan ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ) dan
๐ โฅ 3, maka ๐บ โ ๐พ๐ ๐ -super.
Contoh 3.5:
Diberikan graf ๐บ dan graf ๐พ4 seperti pada gambar berikut :
(a)
KONEKTIVITAS-TITIK HASIL KALI KRONECKER DUA GRAF
81
Hasil kali kronecker dari graf ๐ฎ dan graf ๐ฒ๐ dapat dilihat
pada Gambar 7(b).
(b)
(c)
Gambar 7. (a) Graf ๐ฎ dan Graf ๐ฒ๐; (b)Graf ๐ฎ โ ๐ฒ๐
dengan ๐ฟ๐(๐ฎ โ ๐ฒ๐) = ๐; (c) Graf (๐ฎ โ ๐ฒ๐) โ ๐บ
Dengan memperhatikan graf ๐บ โ ๐พ4 pada Gambar
7(b), terlihat bahwa:
๐ = (๐ข1, ๐ฃ3), (๐ข1, ๐ฃ4), (๐ข2, ๐ฃ3)(๐ข2, ๐ฃ4), (๐ข3, ๐ฃ3), (๐ข3, ๐ฃ4)
sebagai himpunan-titik-pemutus super pada graf ๐บ โ ๐พ4.
Perhatikan bahwa graf (๐บ โ ๐พ4) โ ๐ pada Gambar 7(c)
merupakan graf tak terhubung dengan dua komponen.
Lemma 3.11
Jika ๐ โฅ 3, ๐ โฅ 1 dan ๐ โฅ 1 , maka ๐ ๐ (๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) โค
(๐ โ 2)(๐ + ๐).
Lemma 3.12
Misalkan ๐ himpunan bagian dari ๐(๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) dan
๐๐ โ ๐ โ โ untuk paling sedikit tiga ๐ yang berbeda ๐ โ
{1,2, โฆ , ๐}.
Jika (๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) โ ๐ tidak mempunyai titik terasing
, maka (๐พ๐,๐ โ ๐พ๐) โ ๐ graf terhubung.
Contoh 3.6:
Perhatikan hasil kali kronecker dari graf ๐พ1,2 dengan
graf ๐พ4 pada Gambar 7.
Misalkan ๐ = {(๐ข2, ๐ฃ3), (๐ข2, ๐ฃ4), (๐ข3, ๐ฃ3), (๐ข3, ๐ฃ4)}.
Maka,
๐1 โ ๐ = ๐1 โ โ
๐2 โ ๐ = ๐2 โ โ
๐3 โ ๐ = {(๐ข1, ๐ฃ3)} โ โ
Dan graf (๐พ1,2 โ ๐พ4) โ ๐ dapat dilihat pada gambar
berikut:
Gambar 8. Graf (๐พ1,2 โ ๐พ4) โ ๐
Graf (๐พ1,2 โ ๐พ4) โ ๐ tidak mempunyai titik terasing dan
perhatikan bahwa graf ini terhubung.
Teorema 3.13
Jika ๐ โฅ 3, ๐ โฅ 1 dan ๐ โฅ 1 , maka ๐ ๐ (๐พ๐,๐ โ
๐พ๐) = (๐ โ 2)(๐ + ๐).
Lemma berikut diperlukan untuk membuktikan lemma
selanjutnya.
Lemma 3.14
Jika ๐ โฅ ๐, maka max {๐, ๐} = ๐ . Jelas ๐ผ(๐พ๐ โ ๐พ๐) =
๐.
Contoh 3.7:
Perhatikan pada Gambar 9, titik independen pada graf ๐พ3
dan graf ๐พ4.
Gambar 9. ๐ถ(๐ฒ๐) = ๐, ๐ถ(๐ฒ๐) = ๐
Sehingga,
๐ผ(๐พ๐ โ ๐พ๐) = ๐.
Volume 7 No.2 Tahun 2019, Hal 76-82
82
Selanjutnya akan dibahas konektivitas-super hasil
kali kronecker dua graf komplet. Marmut dan Vumar
mempelajari beberapa parameter kerentanan titik perkalian
kronecker dari graf komplet ๐พ๐ โ ๐พ๐ untuk ๐ โฅ ๐ โฅ 2
dan ๐ โฅ 3. Dalam penelitiannya, ๐(๐บ โ ๐) dilambangkan
banyak komponen dari graf ๐บ โ ๐ dan salah satu hasil
utama mereka adalah sebagai berikut.
Lemma 3.15
Misalkan ๐, ๐ bilangan bulat dengan ๐ โฅ ๐ โฅ 2 dan
๐ โฅ 3, dan ๐ adalah sebuah himpunan titik-pemutus dari ๐บ
= ๐พ๐ โ ๐พ๐.
a. Jika ๐(๐บ โ ๐) = 2 dan ๐บ1 dan ๐บ2 adalah komponen-
komponen dari ๐บ โ ๐ , maka |๐(๐บ1)| = |๐(๐บ2)| = 2
atau min{|๐(๐บ1)|, |๐(๐บ2)|} = 1.
b. Jika ๐(๐บ โ ๐) โฅ 3 , maka setiap komponen ๐บ โ ๐
adalah sebuah titik terasing dan |๐| โฅ ๐๐ โ ๐.
Teorema 3.16
Jika ๐ โฅ ๐ โฅ 2 dan ๐ โฅ 3 , maka ๐ ๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = ๐๐ โ
4.
Contoh 3.8:
Dengan memperhatikan graf ๐พ4 โ ๐พ3 pada Gambar
3, terlihat bahwa:
๐ = {(๐ข1, ๐ฃ1), (๐ข2, ๐ฃ1), (๐ข3, ๐ฃ1), (๐ข3, ๐ฃ2), (๐ข3, ๐ฃ3),
(๐ข4, ๐ฃ1), (๐ข4, ๐ฃ2), (๐ข4, ๐ฃ3)}
sebagai himpunan titik-pemutus super pada graf ๐พ4 โ ๐พ3.
Perhatikan bahwa (๐พ4 โ ๐พ3) โ ๐ merupakan graf tak
terhubung dengan dua komponen merupakan graf ๐พ2
seperti gambar berikut :
Gambar 10. Graf (๐ฒ๐ โ ๐ฒ๐) โ ๐บ
4. PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan pembahasan dapat diambil beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Syarat perlu dan cukup hasil kali kronecker dua graf
merupakan graf terhubung, yaitu salah satu dari kedua
graf tersebut memuat sebuah sikel ganjil.
2. Konektivitas-titik hasil kali kronecker dua graf, yaitu :
a. Jika graf ๐บ1 โ ๐บ2 terhubung, maka
1 โค ๐ (๐บ1 โ ๐บ2) โค ๐ฟ(๐บ1) ร ๐ฟ(๐บ2)
b. Jika ๐พ๐ dan ๐พ๐ dua graf komplet dengan ๐ โฅ ๐ โฅ
2 dan ๐ โฅ 3, maka
๐ (๐พ๐ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)(๐ โ 1)
c. Jika ๐บ adalah graf bipartit dan ๐ โฅ 3, maka
๐ (๐บ โ ๐พ๐) = min{๐๐ (๐บ), (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ)}
d. Jika ๐บ graf bipartit dengan ๐ (๐บ) = ๐ฟ(๐บ) dan
๐ โฅ 3, maka
๐ (๐บ โ ๐พ๐) = ๐ฟ(๐บ โ ๐พ๐) = (๐ โ 1)๐ฟ(๐บ).
3. Konektivitas-titik super hasil kali kronecker dua graf,
yaitu:
a. Jika ๐ โฅ 3, ๐ โฅ 1 dan ๐ โฅ 1, maka ๐ ๐ (๐พ๐,๐ โ
๐พ๐) = (๐ โ 2)(๐ + ๐)
b. Jika ๐ โฅ ๐ โฅ 2 dan ๐ โฅ 3, maka ๐ ๐ (๐พ๐ โ
๐พ๐) = ๐๐ โ 4.
Saran
Hasil yang diperoleh hanya sebatas hasil kali
kronecker dari graf komplet dengan graf komplet dan graf
bipartit dengan graf komplet. Jika graf ๐บ1 dan ๐บ2 bukan
graf-graf komplet maupun graf bipartit komplet, maka
penentuan nilai ๐ (๐บ1 โ ๐บ2) maupun nilai ๐ ๐ (๐บ1 โ ๐บ2)
masing-masing merupakan persoalan yang sulit. Untuk itu
diberikan saran kepada pembaca agar dapat
mengembangkan pembahasan konektivitas-titik hasil kali
kronecker dua graf.
DAFTAR PUSTAKA
Bottreau, A., & Metivier *, Y. (1998). Some remarks on the
Kronecker product of graphs. Information
Processing Letters 68, 55-61.
Budayasa, I. K. (2007). Teori Graf dan Aplikasinya.
Surabaya : Unesa University Surabaya Press.
Ekinci*, G. B., & Kฤฑrlangiรง, A. (2015). Super connectivity
of Kronecker product of complete. Discrete
Mathematics 339 , 1950-1953.
Guji, R., & Vumar, E. (2009). A note on the connectivity of
Kronecker products of graphs. Applied
Mathematics Letters 22 , 1360-1363.
Mamut, A., & Vumar*, E. (2008). Vertex vulnerability
parameters of Kronecker products of complete
graphs. Information Processing Letters 106, 258-
262.
WEICHSEL, P. M. (1962). THE KRONECKER
PRODUCT OF GRAF. 47-52.