Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 7 No. 3 Tahun 2019 ISSN 2301-9115
236
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
Muhammad Imam Sukro Aribowo
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
Manuharawati
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
Abstrak
Ruang semimetrik (๐ธ, ๐๐ ) disebut ruang semimetrik subordinat jika terdapat fungsi ฮถ: [0, โ] โ
[0, โ] dimana ํ merupakan fungsi tak-turun dengan lim๐ฅโ0
ํ(๐ฅ) = 0 dan terdapat (๐ฅ๐) barisan ๐๐ โCauchy
tak hingga pada ๐ธ dan ๐๐ โkonvergen ke ๐ฅ โ ๐ธ sedemikian hingga untuk setiap ๐ฆ โ E berlaku ๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ) โค
ฮถ (lim
sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฆ)). Titik ๐ฅ โ ๐ธ disebut titik tetap pada fungsi ๐: ๐ธ โ ๐ธ jika dan hanya jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ.
Hasil penelitian menjelaskan mengenai konsep dari ruang semimetrik subordinat, sifat-sifatnya, serta
teorema titik tetap pada ruang semimetrik subordinat lengkap.
Kata Kunci: teorema titik tetap, ๐๐ โCauchy, ๐๐ โkonvergen, ruang semimetrik, ruang semimetrik subordinat.
Abstract
A semimetric space (๐ธ, ๐๐ ) is said to be a subordinate semimetric space if exist function ํ โถ
[0, โ] โ [0, โ] such that ํ is a nondecreasing function with lim๐ฅโ0
ฮถ(x) = 0 and exist (๐ฅ๐) is an
๐๐ โCauchy sequence is infinite at ๐ธ and ๐๐ โconvergence sequence to ๐ฅ โ ๐ธ, for each ๐ฆ โ ๐ธ such that
๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ) โค ฮถ (lim
sup ๐๐ (๐ฅ๐, ๐ฆ)). The point ๐ฅ โ ๐ธ is said to be a fixed point of function ๐: ๐ธ โ ๐ธ if and
only if ๐ (๐ฅ) = ๐ฅ. This study explain the concept of subordinate semimetric spaces, properties, and a
fixed point theorem in complete subordinate semimetric space.
Keywords: fixed point theorem, ๐๐ โCauchy, ๐๐ โconvergence, semimetric space, subordinate semimetric space.
1. PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu yang mendasari
berbagai bidang ilmu. Matematika dikenal sebagai
Mother Of Science dan terdiri dari berbagai topik seperti
Aljabar, Statistika, Matematika Terapan, Komputasi, dan
Analisis (Pramitasari, 2013). Pada tahun 1906, Mourice
Frechet memperkenalkan ruang metrik (Kreyszig,1978).
Perluasan analisis fungsional pada konsep ruang metrik
sudah banyak dikembangkan, di antaranya pada tahun
1931, W.A Wilson memperkenalkan ruang kuasi metrik
melalui artikelnya yang berjudul On quasi-metric spaces
(W. A. Wilson, 1931). Pada tahun 1959, H. Nakano
memperkenalkan metrik modular melalui artikelnya yang
berjudul Modular Semi-Ordered Spaces (H. Nakano,
1959). Pada tahun 1993, S. Czerwik memperkenalkan
konsep ruang b-metrik melalui artikelnya yang berjudul
Contraction mapping in b-metric spaces (S. Czerwik,
1993).
Salah satu topik yang juga dibahas dalam analisis
adalah teorema titik tetap. Teorema titik tetap pertama
kali diperkenalkan oleh ahli matematika Polandia Stefan
Banach yang dikenal sebagai Banach Contraction
Principle (BCP) pada tahun 1920 (Kreyzig,1978).
Seiring perkembangan waktu, muncul ide-ide baru
mengenai konsep ruang serta teorema titik tetap di
dalamnya dari berbagai peneliti, diantaranya Mohamed
Jleli dan Bessem Samet yang memperkenalkan konsep
ruang metrik umum pada tahun 2015 (Jleli dan Samet,
2015) dan Jose Villa-Morales yang memperkenalkan
konsep ruang semimetrik subordinat pada tahun 2018
(Josรฉ Villa-Morales 2018). Hasil dari penelitian Josรฉ Villa-Morales tahun 2018
akan dibahas lebih rinci dalam paper yang berjudul
โTeorema Titik Tetap pada Ruang Semimetrik
Subordinatโ. Dalam paper ini dibahas ketunggalan titik
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
237
tetap Matkowski pada ruang semimetrik subordinat
lengkap dan ketunggalan titik tetap Kannan-Ciric untuk
fungsi q-kontraktif pada ruang semimetrik subordinat
lengkap. Untuk itu, sebelum menganalisis ketunggalan
titik tetapnya diperlukan pemahaman mengenai
kekonvergenan suatu barisan, barisan Cauchy, dan
kelengkapan pada ruang semimetrik subordinat.
2. KAJIAN TEORI
Definisi 2.1 Diberikan ๐ด โ โ, fungsi ๐: ๐ด โ โ dikatakan
tak-turun jika untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ด, ๐ฅ < ๐ฆ berlaku
๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฆ). (Parzynsky, 1982)
Definisi 2.2 Diberikan ๐ himpunan tak kosong. Fungsi
๐: ๐ ร ๐ โ โ disebut metrik jika untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ
๐ berlaku:
(๐1) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0 dan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0 โบ ๐ฅ = ๐ฆ
(๐2) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ)
(๐3) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ง) + ๐(๐ง, ๐ฆ)
Pasangan (๐, ๐) disebut ruang metrik.
(Ghozali, 2010)
Definisi 2.3 Barisan pada ruang metrik (๐, ๐) adalah
fungsi yang didefinisikan pada โ = {1, 2, 3, โฆ } dan ๐
sebagai kodomainnya. Barisan dinotasikan dengan (๐ฅ๐).
(Bartle & Sherbert, 2000)
Jika ๐: โ โ โ suatu barisan maka nilai titik ๐ oleh ๐
dinyatakan dengan ๐(๐) atau ๐ฅ๐ yang disebut unsur ke-๐
dari barisan ๐. Selanjutnya barisan tersebut biasa ditulis
sebagai
๐ = (๐ฅ๐) atau (๐ฅ๐) atau (๐ฅ๐: ๐ โ โ).
Adapun range dari ๐ adalah {๐ฅ๐: ๐ โ โ}.
Definisi 2.4 Diberikan barisan bilangan real ๐ = (๐ฅ๐)
pada ruang metrik (๐, ๐) dan bilangan asli
๐1, ๐2, ๐3, โฆ , ๐๐ , โฆ dengan ๐1 < ๐2 < ๐3 < โฏ < ๐๐ < โฏ .
Barisan bilangan real ๐โฒ = (๐ฅ๐1, ๐ฅ๐2
, ๐ฅ๐3, โฆ , ๐ฅ๐๐
, โฆ )
disebut subbarisan dari ๐ jika ๐ฅ๐๐ merupakan unsur barisan
๐.
(Manuharawati, 2003)
Definisi 2.5 Diketahui barisan bilangan real ๐ = (๐ฅ๐) dan
๐ โ โ. Ekor ke-๐ dari barisan ๐ dinotasikan dengan ๐๐
didefinisikan sebagai
๐๐ = (๐ฅ๐+๐) = (๐ฅ๐+1 , ๐ฅ๐+2, ๐ฅ๐+3, โฆ ). (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.6 Diketahui ๐ โ โ dengan ๐ tak kosong.
Barisan (๐ฅ๐) pada ๐ dikatakan hingga jika terdapat
ekor barisan ke-๐ sedemikian hingga untuk setiap
๐, ๐ โ โ , ๐, ๐ โฅ ๐ + 1 berlaku ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐ . Barisan (๐ฅ๐)
pada ๐ dikatakan tak hingga jika terdapat ekor barisan
ke-๐ sedemikian hingga untuk setiap ๐, ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ +
1, ๐ โฅ ๐ + 1, ๐ โ ๐ berlaku ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐.
(Hierroa dan Shahzad, 2016)
Definisi 2.7 Diketahui ๐ด โ โ. ๐ข โ โ disebut batas atas ๐ด
jika untuk setiap ๐ โ ๐ด berlaku ๐ โค ๐ข.
(Manuharawati, 2003)
Definisi 2.8 Diketahui ๐ด โ โ. ๐ก โ โ disebut batas bawah
๐ด jika untuk setiap ๐ โ ๐ด berlaku ๐ก โค ๐. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.9 Diketahui ๐ด โ โ. ๐ผ ๐ โ disebut batas atas
terkecil (supremum) ๐ด dan dinotasikan dengan ๐ผ =
sup ๐ด jika memenuhi:
(๐ด1) untuk setiap ๐ โ ๐ด berlaku ๐ โค ๐ผ
(๐ด2) jika ๐ข sebarang batas atas ๐ด maka ๐ผ โค ๐ข. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.10 Diketahui ๐ด โ โ. ๐ฝ ๐ โ disebut batas
bawah terbesar (infimum) ๐ด dan dinotasikan dengan ๐ฝ =
inf ๐ด jika memenuhi:
(๐ต1) untuk setiap ๐ โ ๐ด berlaku ๐ โค ๐ฝ
(๐ต2) jika ๐ก sebarang batas bawah ๐ด maka ๐ก โค ๐ฝ. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.11 Diketahui barisan ๐ = (๐ฅ๐) dan ๐๐
adalah subbarisan ๐ . Limit supremum dari barisan ๐
dinotasikan lim sup ๐ didefinisikan sebagai
lim sup (๐ฅ๐) = inf {sup ๐๐: ๐
โ {๐, ๐ + 1, ๐ + 2, โฆ }: ๐ โ โ}
= โ ( โ ๐๐
โ
๐=๐
)
โ
๐=1
(Hazewinkel, 2001).
Definisi 2.12 Diberikan fungsi ๐: ๐ โ ๐ , titik ๐ฅ โ ๐
disebut titik tetap ๐ jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ.
(Shapiro, 2016)
3. PEMBAHASAN Definisi 3.1 Diberikan ๐ธ himpunan tak kosong. Fungsi
๐๐ โถ ๐ธ ร E โ [0, โ] disebut semimetrik jika untuk
setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ธ memenuhi syarat:
(๐1) jika ๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = 0 maka ๐ฅ = ๐ฆ
(๐2) ๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐ (๐ฆ, ๐ฅ)
Jika fungsi ๐๐ adalah semimetrik, maka pasangan
(๐ธ, ๐๐ ) disebut ruang semimetrik.
(Josรฉ Villa-Morales 2018).
Volume 7 No. 3 Tahun 2019, Hal 236-241
238
Definisi 3.2 Diketahui (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik. Barisan
(๐ฅ๐) pada E disebut ๐๐ โ konvergen ke ๐ฅ โ ๐ธ jika
lim
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ) = 0.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.3 Diketahui (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik. Barisan
(๐ฅ๐) pada ๐ธ disebut ๐๐ โCauchy jika
lim
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) = 0.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.4 Ruang semimetrik. (๐ธ, ๐๐ ) dikatakan
lengkap jika setiap barisan ๐๐ โCauchy pada ๐ธ adalah
๐๐ โkonvergen.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.5 Ruang semimetrik (๐ธ, ๐๐ ) disebut ruang
semimetrik subordinat jika terdapat fungsi ํ โถ [0, โ] โ
[0, โ] yang memenuhi syarat berikut.
(๐1) ฮถ adalah fungsi tak-turun dengan lim ๐ฅโ0
ฮถ(๐ฅ) = 0
(๐2) terdapat barisan ๐๐ โCauchy tak hingga (๐ฅ๐)
pada ๐ธ dan ๐๐ โ konvergen ke ๐ฅ โ ๐ธ
sedemikian hingga untuk setiap ๐ฆ โ E berlaku
๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ) โค ฮถ (lim
sup ๐๐ (๐ฅ๐, ๐ฆ)).
(J. Villa-Morales, 2018)
Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa ruang
semimetrik (๐ธ, ๐๐ ) adalah subordinat relatif untuk fungsi
ํ.
Definisi 3.6 Ruang semimetrik subordinat (๐ธ, ๐๐ )
dikatakan lengkap jika setiap barisan ๐๐ โCauchy pada
๐ธ adalah ๐๐ โkonvergen.
(J. Villa-Morales, 2018)
Sebelum membahas teorema titik tetap pada ruang
semimetrik subordinat, terlebih dahulu akan
didefinisikan suatu fungsi ๐-kontraktif sebagai berikut.
Definisi 3.7 Diberikan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik
subordinat dan ๐ โ โ, fungsi ๐ โถ ๐ธ โ E dikatakan ๐ -
kontraktif jika untuk setiap (๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ธ ร E berlaku
๐๐ (๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๐ max {๐๐ (๐ฅ, ๐(๐ฅ)), ๐๐ (๐ฆ, ๐(๐ฆ))},
untuk suatu ๐ โ (0, 1). (J. Villa-Morales, 2018)
Diberikan ๐ธhimpunan tak kosong dan fungsi ๐ โถ ๐ธ โ
E . Untuk setiap ๐ฅ โ ๐ธ , didefinisikan ๐[๐](๐ฅ) rekursif
dengan ๐[0](๐ฅ) = ๐ฅ dan ๐[๐+1](๐ฅ) = ๐(๐[๐](๐ฅ) ) . Dari
kasus ini, diperoleh sebuah teorema titik tetap Kannan-
Ciric berikut.
Teorema 3.1 Diberikan fungsi ๐ -kontraktif ๐ โถ ๐ธ โ E
pada ruang semimetrik lengkap (๐ธ, ๐๐ ).
i. Jika ada ๐ฅ0 โ ๐ธ sedemikian hingga
lim sup ๐๐ (๐[๐](๐ฅ0), ๐[๐+1](๐ฅ0)) < โ,
maka (๐[๐](๐ฅ0)) ๐๐ โkonvergen ke suatu ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ.
ii. Misalkan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik subordinat dan
ํ(๐ก) < ๐ก
๐, untuk semua 0 < ๐ก < โ.
Jika ๐๐ (๐ฅ,ฬ ๐(๐ฅ)) < โ, maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap tunggal
๐.
Bukti.
i). Bentuk barisan (๐ฅ๐) melalui rumus rekursif. Ambil
๐ฅ0 โ ๐ธ, ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0), dengan ๐๐ adalah fungsi
komposit sebanyak n kali. Karena fungsi ๐ adalah ๐ -
kontraktif, maka diperoleh:
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)
= lim sup ๐๐ (๐(๐ฅ๐โ1), ๐(๐ฅ๐))
โค lim sup ๐ max {๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1)), ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐(๐ฅ๐))}
= ๐ lim sup max {๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1)), ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)}
โค ๐ lim sup ๐๐ (๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1).
Karena 0 โค lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค๐ lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) dengan ๐ โ (0,1) dan diketahui
bahwa
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) < โ, maka akan dibuktikan bahwa
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0.
Andaikan
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โ 0, berarti
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) > 0. Karena ๐ โ (0,1), maka jelas bahwa
๐ lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) < lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1). Kontradiksi dengan yang diketahui (pengandaian salah).
Harusnya
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0. Karena lim sup ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0, maka berdasarkan
definisi limit supremum diperoleh ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค 0. Karena
0 โค ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค 0, maka diperoleh
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0. Jika diberikan ํ > 0 , maka terdapat ๐ โ โ sedemikian
hingga
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) < ๐,
untuk semua ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐. Misal diberikan ๐, ๐ โฅ ๐ + 1, maka berlaku
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) = ๐๐ (๐(๐ฅ๐โ1), ๐(๐ฅ๐โ1))
โค ๐ max {๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1)), ๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1))}
= ๐ max {๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐), ๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)}
< ๐ (๐
) = ํ.
Diperoleh ๐๐ (๐ฅ๐, ๐ฅ๐) < ํ. Berdasarkan Definisi 3.3,
maka (๐ฅ๐) adalah barisan ๐๐ โ Cauchy. Karena (๐ฅ๐)
barisan ๐๐ โ Cauchy pada ruang semimetrik lengkap,
maka berdasarkan Definisi 3.5, (๐ฅ๐) merupakan barisan
๐๐ โkonvergen ke suatu ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ.
ii). Akan dibuktikan bahwa ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap untuk ๐.
Jika barisan (๐ฅ๐) hingga atau konstan, maka ada ๐0 โ โ
sedemikian hingga ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐0= ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, untuk semua ๐ โฅ ๐0
dan berlaku
๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = ๐(๐ฅ๐0) = ๐ฅ๐0+1 = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
239
Di sisi lain, jika barisan (๐ฅ๐ ) tak hingga maka berdasarkan
Definisi 2.6, terdapat subbarisan ๐๐ โCauchy tak hingga
(๐ฅ๐๐) pada (๐ฅ๐) sedemikian hingga (๐ฅ๐๐
) merupakan
barisan ๐๐ โkonvergen ke ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ, atau dinotasikan
lim ๐๐ (๐ฅ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = 0.
Andaikan ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) > 0. Karena 0 < ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) < โ,
maka berdasarkan teorema pada sistem bilangan real,
diperoleh 1
2๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) > 0. Berdasarkan teorema pada
sistem bilangan real, maka untuk 1
2๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) > 0
terdapat ๐0 โ โ sedemikian hingga
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) โค1
2๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)),
untuk semua ๐, ๐ โฅ ๐0.
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 3.4 (๐2), berlaku
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค ฮถ (lim sup ๐๐ (๐ฅ๐๐, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))
= ฮถ (lim sup ๐๐ (๐(๐ฅ๐๐โ1), ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))
โค ฮถ (๐ lim sup max {๐๐ (๐ฅ๐๐โ1, ๐(๐ฅ๐๐โ1)) , ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))})
= ฮถ (๐ lim sup max {๐๐ (๐ฅ๐๐โ1, ๐ฅ๐๐) , ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))})
โค ฮถ (๐ max {1
2๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)), ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))})
โค ฮถ (๐ ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))).
Dari perhitungan diatas, diperoleh
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค ฮถ (๐ ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))).
Jika kedua ruas dikalikan dengan ๐, maka diperoleh
๐ ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค ๐ (ฮถ (๐ ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))). (3)
Jika ๐ก โถ= ๐ ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)), maka (3) menjadi ๐ก โค ๐ ฮถ(t).
Karena ๐ก โค ๐ ฮถ(t), maka ๐ก yang memenuhi adalah ๐ก = 0
atau ๐ก = โ yang berakibat
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) = 0 atau ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) = โ.
Hal ini tidaklah mungkin, karena 0 < ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) < โ.
Jadi, pengandaian salah. Harusnya ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) = 0 atau
๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ. Artinya ๏ฟฝฬ๏ฟฝ merupakan titik tetap dari fungsi ๐.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah tunggal.
Jika ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap lainnya, maka
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = ๐๐ (๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ), ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))
โค ๐ max {๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)), ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ))} = 0.
Karena ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = 0, berdasarkan Definisi 3.1 (๐1) maka
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ฆ.ฬ โ
Selanjutnya, dipaparkan teorema titik tetap
Matkowski dalam ruang semimetrik subordinat lengkap
sebagai berikut.
Teorema 3.2 Diberikan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik
subordinat lengkap dan fungsi ๐ โถ ๐ธ โ ๐ธ. Misalkan
terdapat fungsi tak-turun ๐: [0, โ] โ [0, โ] sedemikian
hingga lim ๐[๐](๐ก) = 0 untuk semua ๐ก โ [0, โ) dan
๐๐ (๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๐(๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ)) untuk semua ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ธ.
Jika ada ๐ฅ0 โ ๐ธ,
๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0) โถ= sup {๐๐ (๐ฅ0, ๐[๐](๐ฅ0)) : ๐ โ โ} < โ
sedemikian hingga (๐๐(๐ฅ0)) ๐๐ โkonvergen ke suatu ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ
๐ธ, maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap tunggal ๐.
Bukti.
Ambil ๐ฅ0 โ ๐ธ, ๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ๐โ1). Misal m < ๐.
Karena diketahui bahwa ๐๐ (๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) < ๐(๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ))
dan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1), maka diperoleh
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) โค ๐(๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐โ1))
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) โค ๐[2](๐๐ (๐ฅ๐โ2, ๐ฅ๐โ2))
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) โค ๐[3](๐๐ (๐ฅ ๐โ3, ๐ฅ๐โ3))
dan seterusnya sampai iterasi ke ๐ sedemikian hingga
diperoleh
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) < ๐[๐](๐๐ (๐ฅ๐โ๐, ๐ฅ0)). Karena
๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0) โถ= sup {๐๐ (๐ฅ0, ๐[๐](๐ฅ0)) : ๐ โ โ} < โ,
maka berlaku
0 โค ๐๐ (๐ฅ๐, ๐ฅ๐) < ๐[๐](๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0)) < โ.
Jika disetiap ruas diatas nilai ๐, ๐ โ โ, maka diperoleh
0 โค lim ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) < lim ๐[๐](๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0)) < โ. (4)
Karena diketahui bahwa
lim ๐[๐](๐ก) = 0, untuk setiap ๐ก โ [0, โ), maka
lim ๐[๐](๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0)) = 0
sedemikian hingga (4) menjadi
0 โค lim ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) โค 0. Dengan demikian, lim ๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) = 0, artinya (๐ฅ๐)
adalah barisan ๐๐ โCauchy.
Karena (๐ฅ๐) barisan ๐๐ โCauchy pada ruang semimetrik
lengkap, maka berdasarkan Definisi 3.3, ada ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ
sedemikian hingga (๐ฅ๐) ๐๐ โkonvergen ke ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap
untuk ๐. Andaikan ada ๐0, ๐0 โ โ, ๐0 < ๐0, sedemikian hingga
๐ฅ๐0= ๐ฅ๐0
dan ๐ฅ๐0= ๐[๐0โ๐0](๐ฅ๐0
).
Dari pengandaian diatas, maka diperoleh
๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
))
= ๐๐ (๐[๐0โ๐0](๐ฅ๐0), ๐[๐0โ๐0] (๐(๐ฅ๐0
))) (5)
Karena diketahui bahwa
๐๐ (๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๐(๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ)), maka persamaan (5) menjadi
๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
)) โค ๐[๐0โ๐0] (๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
)))
< ๐[๐0โ๐0โ1] (๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
)))
โค ๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
)).
Tidak mungkin ๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
)) < ๐๐ (๐ฅ๐0, ๐(๐ฅ๐0
))
(pengandaian salah). Artinya setiap unsur dari barisan
(๐ฅ๐) berbeda ((๐ฅ๐) merupakan barisan tak hingga).
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 3.4 (๐2), maka berlaku
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค ํ(lim sup ๐๐ (๐ฅ๐, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))
= ํ(lim sup ๐๐ (๐(๐ฅ๐โ1), ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))
โค ํ(lim sup ๐(๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)))
โค ํ(lim sup ๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)).
โค ํ(0) (karena lim ๐๐ (๐ฅ๐โ1, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = 0)
= 0.
Volume 7 No. 3 Tahun 2019, Hal 236-241
240
Karena
0 โค ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค 0, maka
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) = 0 atau ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
Dengan demikian, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ merupakan titik tetap untuk fungsi
๐.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah tunggal.
Jika ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap lainnya, maka
๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = ๐๐ (๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ), ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) โค ๐ (๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)) = 0.
Karena 0 โค ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) โค 0, berarti ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = 0. Berdasarkan Definisi 3.1 (๐1), jika ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = 0, maka
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ. โ
Proposisi 3.1 Diberikan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik
subordinat dan (๐ฅ๐) barisan ๐๐ โCauchy tak hingga
pada (๐ธ, ๐๐ ). Jika terdapat suatu subbarisan (๐ฅ๐๐) dari
(๐ฅ๐) yang ๐๐ โ konvergen ke ๐ฅ โ ๐ธ , maka (๐ฅ๐)
๐๐ โkonvergen ke ๐ฅ.
Bukti.
Diketahui bahwa ํ adalah fungsi naik. Diberikan ํ โโ, ํ > 0, maka terdapat ๐ฟ โ โ, ๐ฟ > 0 sedemikian hingga
untuk setiap 0 < ๐ก < ๐ฟ, berlaku ํ(๐ก) < ํ.
Karena (๐ฅ๐) barisan ๐๐ โCauchy, berarti
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) = 0, untuk semua ๐, ๐ โ โ. Berdasarkan definisi barisan ๐๐ โCauchy, maka terdapat
๐0 โ โ sedemikian hingga untuk semua ๐, ๐ โฅ ๐0 ,
berlaku
๐๐ (๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) <๐ฟ
2 (6)
Karena (๐ฅ๐๐) merupakan subbarisan dari (๐ฅ๐), maka (6)
menjadi
lim sup ๐๐ (๐ฅ๐๐, ๐ฅ๐) โค
๐ฟ
2,
untuk semua ๐ โฅ ๐0.
Karena (๐ฅ๐๐) ๐๐ โKonvergen ke ๐ฅ dan ฮถ adalah fungsi
tak-turun, maka berdasarkan Definisi 3.4 (๐2), diperoleh
๐๐ (๐ฅ, ๐ฅ๐) โค ํ (lim sup ๐๐ (๐ฅ๐๐, ๐ฅ๐)),
untuk semua ๐ โฅ ๐0
๐๐ (๐ฅ, ๐ฅ๐) โค ํ (๐ฟ
2)
๐๐ (๐ฅ, ๐ฅ๐) < ํ
Jika ๐ โฅ ๐ โฅ ๐0, maka berlaku ๐๐ (๐ฅ, ๐ฅ๐) < ํ.
Jadi, terbukti bahwa (๐ฅ๐) adalah barisan ๐๐ โKonvergen
ke ๐ฅ. โ
4. PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan dari pembahasan yang telah diuraikan
dalam artikel ini, dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut: 1. Suatu ruang semimetrik merupakan perumuman dari
ruang metrik.
2. Diberikan fungsi ๐ โถ ๐ธ โ E yang ๐ -kontraksi pada
ruang semimetrik lengkap (๐ธ, ๐๐ ).
a. Jika ada ๐ฅ0 โ ๐ธ sedemikian hingga
lim sup ๐๐ (๐[๐](๐ฅ0), ๐[๐+1](๐ฅ0)) < โ,
maka (๐[๐](๐ฅ0)) ๐๐ -konvergen ke suatu ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ.
b. Misalkan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik subordinat
dan ํ(๐ก) < ๐ก
๐, untuk semua 0 < ๐ก < โ.
Jika ๐๐ (๐ฅ,ฬ ๐(๐ฅ)) < โ , maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap
tunggal ๐.
3. Diberikan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik subordinat
lengkap dan fungsi ๐ โถ ๐ธ โ ๐ธ Misalkan terdapat
fungsi naik ๐: [0, โ] โ [0, โ] sedemikian hingga
lim ๐[๐](๐ก) โ 0,
untuk semua ๐ก โ [0, โ) dan
๐๐ (๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๐(๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ)),
untuk semua ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ธ.
Jika ada ๐ฅ0 โ ๐ธ,
๐ฟ(๐๐ , ๐, ๐ฅ0) โถ= sup {๐๐ (๐ฅ0, ๐[๐](๐ฅ0)) : ๐ โ โ} < โ
sedemikian hingga (๐๐(๐ฅ0)) ๐๐ โkonvergen ke suatu
๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ธ, maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah titik tetap tunggal ๐.
4. Diberikan (๐ธ, ๐๐ ) ruang semimetrik subordinat dan
(๐ฅ๐) barisan ๐๐ โCauchy tak hingga pada (๐ธ, ๐๐ ) .
Jika terdapat suatu subbarisan (๐ฅ๐๐) dari (๐ฅ๐) yang
๐๐ โkonvergen ke ๐ฅ โ ๐ธ, maka (๐ฅ๐) ๐๐ โkonvergen
ke ๐ฅ.
Saran
Pada skripsi ini, hanya dibahas mengenai definisi
ruang semimetrik, ruang semimetrik subordinat, dan ruang
semimetrik subordinat lengkap, serta pembuktian teorema
titik tetap pada ruang semimetrik subordinat. Sehingga
dapat dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai sifat-sifat
lain yang berlaku pada ruang semimetrik subordinat dan
mungkin dapat ditemukan kondisi fungsi yang lain untuk
diteliti ketunggalan titik tetapnya.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2000). Introduction of
Real Analysis Third Edition. New York: John
Wiley & Sons Inc.
Bonsall, F. F. (1962). Lectures on Some Fixed Point
Theorems of Functional Analysis. Tata Institue of
Fundamental Research.
Ghozali, S. M. (2010). Pengantar Analisis Fungsional.
Bandung, Jawa Barat, Indonesia: Universitas
Pendidikan Indonesia.
Hazewinkel. (1986). Lebesgue Measure and Integration.
New Delhi, India: John Wiley & Sons.
Hierroa, Antonio Francisco Roldรกn Lรณpez de dan Naseer
Shahzad. 2018. Fixed point theorems by combining
Jleli and Samets, and Branciaris inequalities.
Journal of Nonlinear Sciences and Applications
09(06):3822โ49.
Jleli, Mohamed dan Bessem Samet. (2015). A generalized
metric space and related fixed point theorems.
Fixed Point Theory and Applications.
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
241
Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with
Application. New York: Wiley.
Manuharawati. (2003). Analisis Real 1. Surabaya:
Zifatama.
Pramitari. (2013). Multiplisitas Sikel Dari Graf Total Pada
Graf Sikel, Graf Path, Dan Graf Kipas. Skripsi,
Universitas Diponegoro Semarang.
P. Hitzler & A. K. Seda. (2000). Dislocated Topologies.
Journal of Electrical Engineering, vol. 51, no. 12,
pp. 3-7.
S. Czerwik. (1993). Contraction mapping in b-metric
spaces. Communications in Mathematics, vol. 1, pp.
5-11.
Villa-Morales, Josรฉ. (2018). A fixed point theorem and
some properties of v-generalized metric spaces.
Journal of Fixed Point Theory and Applications
20(1):1โ9.
Villa-Morales, Josรฉ. (2018). Subordinate Semimetric
Spaces and Fixed Point Theorems. Journal of
Mathematics, pp. 1โ5.
W. A. Wilson. (1931). On quasi-metric spaces. American
Journal of Mathematics, vol. 53, no. 3, pp. 675-
684.