1

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena buku ini akhirnya

dapat diselesaikan. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika

sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul

karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa

yang sulit dipahami.

Setelah mempelajari materi pada buku ajar ini, siswa diharapkan memahami

materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku ajar

Mudah Belajar Pangkat dan Akar untuk Kelas IX Sekolah Menengah

Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan

menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ajar ini juga memiliki

tampilan yang menarik sehingga siswa tidak merasa bosan.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah

membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan

panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah

dan menyenangkan. Selamat belajar.

Penulis

Prakata

2

Prakata ............................................................................................. 1

Daftar isi ......................................................................................... 2

Kata Motivasi ................................................................................... 3

Tujuan Pembelajaran ........................................................................ 4

Peta Konsep ...................................................................................... 4

Pangkat dan Akar ............................................................................ 5

1.1 Bilangan Berpangka................................................................. 5

1.2 Menyelesaikan Operasi Pangkat Tak Sebenarnya .................. 11

1.3 Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari ..................................... 21

1.4 Rangkuman ............................................................................. 23

1.5 Latihan ..................................................................................... 25

Daftar Pustaka .................................................................................. 27

Pembahasan ...................................................................................... 28

Petunjuk Quiz Maker Pangkat dan Akar .......................................... 33

Biografi Penulis ................................................................................ 35

Daftar Isi

3

Kata Motivasi

“Jika seseorang bepergian dengan

tujuan mencari ilmu, maka Allah

akan menjadikan perjalanannya

seperti perjalanan menuju surga”

– Nabi Muhammad SAW

“Orang-orang yang berhenti

belajar akan menjadi pemilik masa

lalu. Orang-orang yang masih terus

belajar, akan menjadi pemilik

masa depan” – Mario Teguh

4

Standar Kompetensi:

Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta

penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana

Kompetensi Dasar

1.1 Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar

1.2 Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkatdan

bentuk akar

Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan

berpangkatdan bentuk akar

Peta konsep

Tujuan Pembelajaran

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Mempelajari

Bilangan berpangkat

Sifat Operasi

meliputi

Bentuk akar

meliputi

Merasionalkan Operasi Sifat

5

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering

menemui perkalian bilangan-bilangan

dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan

kita temui perkalian bilangan-bilangan

sebagai berikut.

4 x 2 = 2 × 2 × 2

9 x 3 = 3 × 3 × 3

6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6

Perkalian bilangan-bilangan dengan

faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang.

Pangkat dan Akar

Seorang peneliti ingin

mengetahui luas suatu danau

pada beberapa tahun

mendatang. Luas sebuah danau

setiap tahunnya menyusut 5%.

Pada tahun 2010 luas danau

tersebut 100 km2 . Berapakah

luas danau itu pada tahun 2014?

Jawaban dari masalah dapat

diketehui, jika kita mengerti

tentang pangkat tak sebenarnya.

BILANGAN BERPANGKAT 1 . 1

Pengertian Perpangkatan A.

6

Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan

notasi bilangan berpangkat.

Secara umum perpangkatan dapat ditulis dengan an , a merupakan

bilangan pokok dan n merupakan pangkat. Pada perpangkatan, pangkat atau

eksponen tidak hanya berupa bilangan bulat positif tetapi dapat pula berupa

pecahan atau desimal, bilangan nol dan bilangan bulat negatif

Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:

2 × 2 × 2 = 23 (dibaca 2 pangkat 3)

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 (dibaca 3 pangkat 5)

6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 66 (dibaca 6 pangkat 6)

Bilangan 23, 3

5, 6

6 disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-

bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang.

Secara umum jika a R (bilangan real) dan n bilangan bulat positif maka:

Pangkat Bilangan Bulat Positif B.

Contoh 1

32 = 3 x 3 = 9

54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8

(-6)4 = (-6) x (-6) x (-6) x (-6) = 1.296

an = a x a x .... x an

n faktor

7

Bilangan bulat yang berpangkat negatif dapat digunakan formula

berikut ini :

Contohnya :

3-2

(baca : tiga pangkat negatif dua), berarti (3-1

) x (3-1

),

Pangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol C.

Tuliskan bilangan-bilangan dibawah ini dalam

bentuk bilangan bulat berpangkat bulat positif

a. 256

b. -16.807

Jawab

MELIHAT ANGKA

SATUAN SEBUAH

BILANGAN

BERPANGKAT

30 = angka satuan = 1

31 = angka satuan = 3

32 = angka satuan = 9

33 = angka satuan = 7

34 = angka satuan = 1

Setiap pangkat dari

bilangan 3 bertambah

4, angka satuannya

pasti sama, yaitu

angka satuan dari:

30 = 3

4 = 3

8 = ..... = 1

31 = 3

5 = 3

9 = ..... = 3

32 = 3

6 = 3

10 = .... = 9

33 = 3

7 = 3

11 = .... = 7

Coba terka

berapa angka?

256 2

128

2 64

2

2 32

2

16

2

8

4 2

2 2

1

7

7

7

7

7

16.80

7 2.401

343

49

7

1

a. 256 = 28

b. – 16.807 = (-7)5

(stop)

(stop)

Ingat perkalian tanda

(-) . (-) . (-) . (-) . (-)

= (-)5 = (-)

a-n = 1

𝑎𝑛 dengan a 0

8

3-3

(baca : tiga pangkat negatif tiga), berarti (3-1

) x (3-1

) x (3-1

),

3-4

(baca : tiga pangkat negatif empat), berarti (3-1

) x (3-1

) x (3-1

) x (3-1

),

Formula tersebut dapat digunakan untuk mengubah bilangan

bulat berpangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya

Khusus bilangan bulat tidak nol berpangkat nol

menggunakan formula:

Contoh :

a. 5-2

b. (-5)-3

Jawab :

untuk menghitung bilangan bulat negatif, kita gunakan

a-n = 1

𝑎𝑛 dengan a 0

a. (5) -2

= 1

52 =

1

25

b. (-5) -3

= 1

53 = −

1

125

a0 = 1 dengan a 0

Contoh:

a. 30

b. (-3)0

Jawab :

Berdasarkan formula a0 = 1 dengan a 0, diperoleh :

a. 30 = 1

b. (-3)0 = 1

9

(i). 𝑎

𝑏 𝑛

= 𝑎

𝑏 𝑥

𝑎

𝑏 𝑥 … . 𝑥

𝑎

𝑏=

𝑎𝑛

𝑏𝑛 , dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 , dan n > 0

(ii). 𝑎

𝑏 −𝑛

= 𝑏

𝑎 𝑥

𝑏

𝑎 𝑥… . 𝑥

𝑏

𝑎=

𝑏𝑛

𝑎𝑛 , dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 , dan n > 0

(iii). 𝑎

𝑏

0= 1, dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 .

Bilangan Bulat Berpangkat Pecahan D.

Sebanyak n buah

Sebanyak n buah

Contoh :

Uraikan dan hitunglah hasinya!

a. (0,2)3

b. (3

10)

4

c. (1

10)

-3

Jawab:

a. (0,2)3 = (

2

10)3 =

1

5

3=

1 𝑥 1 𝑥 1

5 𝑥 5 𝑥 5=

1

125

b. (3

10)

4 =

3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3

10 𝑥 10 𝑥 10 𝑥 10=

81

10000

c. (1

10)

-3 =

10 𝑥 10 𝑥 10

1 𝑥 1 𝑥 1= 1000

10

Secara umum dapat kita tuliskan

𝑎𝑛

𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ 𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

= ( 𝑎𝑛

)𝑚

𝑎𝑛𝑛

= 𝑎𝑛

𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

Contoh :

a. 161

2

Jawab:

a. 161

2 = 16

2 karena 16 = 4

2 . Jadi 16

1

2 = 4

b. (−16)1

2 tidak bisa, karena -16 < 0

c. 921

2 = 9

5

2 = ( 9

2 )5 = ( 322

)5 = 35 ,𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 9 = 32 . Jadi 921

2 = 243

Contoh :

Tentukan nilai dari

a. 27−1

3

b. (125)23

Jawab:

a. 27−1

3 = (33)−1

3 = 33(−1

3 ) = 3−1 =

1

3

b. 125 = 5 x 5 x 5 = 53

Sehingga (125)23= (53)23

= 563=

56

3 = 52 = 25

Bilangan Bulat Berpangkat Pecahan E.

11

Untuk sembarang bilangan real a dan b serta bilangan bulat m dan n

berlaku:

Operasi Perpangkatan B.

Operasi Perpangkatan

A.

Persamaan Eksponen dan Persamaan Bentuk Akar C.

MENYELESAIKAN OPERASI PANGKAT TAK

SEBENARNYA 1.2

(1) 𝑎0 = 1 dengan a 0

(2) 𝑎 −𝑛 = 1

𝑎𝑛 dengan a 0

(3) 𝑎𝑚 𝑥 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

(4) (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

(5) 𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 dengan m n , a 0

(6) (𝑎 𝑥 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 𝑥 𝑏𝑚

(7) (𝑎

𝑏)𝑚 =

𝑎𝑚

𝑏𝑚 dengan b ≠ 0

Sederhanakanlah masing-masing bentuk di bawah ini dan tuliskan

hasilnya dalam bentuk pangkat positif.

a. 𝑥5 .𝑥−1

b. (𝑎2𝑏−3)−4

c. (𝑥−2

𝑦3)−4

d. (4𝑚)0

e. (4

𝑥3)−2

f. (𝑚−4

𝑛3)−2

(𝑎

𝑏)−𝑛 = (

𝑏

𝑎)𝑛

12

1. Sifat – sifat perpangkatan dalam bentuk akar

Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku:

Jawab :

a. 𝑥5 . 𝑥−1 = 𝑥5−1 = 𝑥4

b. (𝑎2𝑏−3)−4 = (𝑎2)−4 . (𝑏−3)−4 = 𝑎−8 . 𝑏12 = 𝑏12

𝑎8

c. (𝑥−2

𝑦3)−4 =

𝑥8

𝑦−12= 𝑥8𝑦12

d. (4m)0 = 1

e. (4

𝑥3)−2 =

4−2

𝑥−6=

1

42 . 𝑥6 =

𝑥6

16

(𝑚−4

𝑛3)−2 =

(𝑚−4)−2

(𝑛3)−2=

𝑚8

𝑛−6= 𝑚8.𝑛6

= −2 −2 𝑎3 −2 𝑏−4 −2

5 −2 𝑎−5 −2 𝑏−6 −2=

−2 −2 𝑎−6 𝑏8

5 −2 𝑎10 𝑏12

= 52 𝑏8

−2 2 𝑎6 𝑎10 𝑏12 =

52 𝑏8

4 𝑎6 + 10 𝑏12

=25 𝑏8

4 𝑎16 𝑏12 =

25

4 𝑎16 𝑏12 𝑏−8

Sederhanakanlah !

1. (−2𝑎3 . 𝑏−4

5𝑎−5 . 𝑏−6)−2

Jawab :

1. −2𝑎3 . 𝑏−4

5𝑎−5 . 𝑏−6 −2

= −2𝑎3 −2 . 𝑏−4 −2

5𝑎−5 −2 . 𝑏−6 −2

= 25

4𝑎16𝑏12−8 =25

4𝑎16𝑏4

Bentuk Akar C.

13

(i). 𝑎𝑏𝑛

= 𝑎𝑛

. 𝑏𝑛

dengan a, b 0

(ii). 𝑎𝑛𝑚

= 𝑎𝑚𝑛

dengan a, b 0

(iii). 𝑎

𝑏

𝑛=

𝑎𝑛

𝑏𝑛 dengan a 0

2. Bentuk akar di dalam akar

Dengan sifat yang kita dapat menyederhanakan bentuk di dalam akar

menjadi sebuah bentuk akar dengan mengalikan antarindeks akar tersebut.

Contoh

Sederhanakanlah : 72 ke bentuk akar sederhana

Jawab :

Menyederhanakan bentuk akar kuadrat berarti kita menarik akar kuadrat.

Untuk menarik akar kuadrat,bilangan di bawah ini tanda akar harus bilangan

kuadrat

72 = 36 . 2

= 36 . 2 = 6 22

Memo

72 = 36 . 2

36 = bilangan kuadrat

64𝑎7. 𝑏84= 24. 22 . 𝑎4 . 𝑎3 . 𝑏4. 𝑏44

= 2 .𝑎 . 𝑏 . 𝑏 22𝑎34

= 2𝑎𝑏2 4𝑎34

Contoh : sederhanakanlah 64𝑎7. 𝑏84

Jawab:

Menyederhankanlah akar pangkat 4, berarti kita

menarik akar pangkat . untuk menarika akar

pangkat 4, bilangan atau huruf di dalam tanda akar

harus berpangkat 4.

14

3. Merasionalkan penyebut

Sebuah akar dapat disederhanakan dengan cara menghilangkan akar

bilangan atau akar huruf tunggal (non multinomial) dari penyebut. Proses ini

disebut merasionalkan penyebut, karena kita mengalikan pembilang dan

penyebut dengan bentuk akar yang akan kita hilangkan faktornya.

= 9𝑚2 . 2

= 9𝑚4

Sederhanakanlah

a. 4𝑥53

b. 3 𝑚

Jawab :

a. 4𝑥53

= 4𝑥3 . 5

= 4𝑥15

b. 3 𝑚 = 9𝑚

Memo:

Indeks 3 . 5 = 15

Karena 4x di dalam tanda akar terdalam

Memo:

Angka 3 tidak jadi satu dengan m, maka

harus diubah dulu menjadi 32 . m = 9m,

9m berada di dalam tanda akar terdalam

= 5 . 𝑎3. 𝑎3

4 . 𝑏33

= 𝑎 5𝑎

3

𝑏 43 .

23

23

=𝑎 10𝑎

3

2𝑏

Sederhanakanlah

a. 5𝑎

7

Jawab:

a. 5𝑎

7 =

5𝑎

7=

5𝑎

7 . 7

7=

35𝑎

7

b. 5𝑎4

4𝑏3

3

= 5𝑎43

4𝑏33

b. 5𝑎4

4𝑏3

3

Memo

Yang akan dihilangkan 7 ,

maka pembilang dikalikan

7

7 . 7 = 7

Memo

Yang akan dihilangkan 43

,

maka pembilang dan

penyebut dikalikan 33

43

. 23

= 233 = 2

15

4. Mereduksi Induk suatu akar

Mereduksi induk sebuah akar berarti mengubah bentuk akar ke bentuk yang

paling sederhana.

5. Bentuk akar Polinomial

Bentuk akar polinomial dapat disederhanakan apabila polinomial itu dapat

dituliskan dalam bentuk perpangkatan indeks akar atau kelipatannya

𝑎𝑚𝑛 . 𝑏

𝑝𝑛 = 𝑎𝑚𝑏𝑛

𝑛

Contoh :

a. 4𝑥26

Jawab :

a. 4𝑥26 = 2

2

6 .𝑥2

6

= 21

3 .𝑥1

3

= 2𝑥3

b. 81𝑦26

= 346 .𝑦

26

= 323 .𝑦

13

b. 81𝑦26 = 34 .𝑦26

= (32)1

3 .𝑦1

3

= 9𝑦3

3𝑥2 − 2𝑥 + 1

3=

9𝑥2 − 6𝑥 + 1

3

= 3𝑥 − 1 2

3

= 3𝑥 − 1 2

3

Contoh : sederhanakanlah bentuk akar polinomial berikut ini !

3𝑥2 − 2𝑥 + 1

3

Jawab:

= 3𝑥−1

3 . 3

3 =

(3𝑥−1)

3 3

Memo

9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 3𝑥 − 1 2,

lihat pembahasan operasi

aljabar di kelas 2 , Bab 1

16

6. Operasi bentuk akar

Penjumlahan dan pengurangan

(i). 𝑏 𝑎𝑚

+ 𝑐 𝑎𝑚

= (𝑎 + 𝑏) 𝑎𝑚

(ii). 𝑏 𝑎𝑚

− 𝑐 𝑎𝑚

= (𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑚

Perkalian

Operasi perkalian bentuk akar dapat digunakan sifat operasi bentuk akar

seperti di bawah ini:

4 8 + 5 18 = 4 4 . 2 + 5 9 .2

= 4.2 2 + 5.3 2

= 8 2 + 15 2

= 8 + 15 2

= 23 2

Contoh:

Hitunglah 4 8 + 5 18

Jawab:

8 = 4 . 2 = 2 2

18 = 9 . 2 = 3 2

Memo

8 dan 18 belum sejenis,

maka harus diubah ke bentuk

ke akar sejenis:

2 2 dan 3 2 sejenis

𝑎𝑛

. 𝑏𝑛

= 𝑎𝑏𝑎

2 3 5 – 6 7 = 2 3 . 5 − 2 3 . 6 7

= 2 3 . 15 − 2 . 6 3 . 7

= 2 15 − 12 21

Contoh

Sederhanakan bentuk perkalian berikut ini: 2 3 ( 5 − 6 7 )

Jawab:

17

Perkalian bentuk aakar dari indeks akar berbeda

Untuk melakukan perkalian bentuk akar dari indeks yang berbeda , kita

diharuskan mengubah bentuk akar ke bentuk bilangan berpangkat pecahan.

Pembagian

63

. 4𝑥 = 613 4𝑥

12

= 626 4𝑥

36

Contoh

Selesaikanlah 63

. 4𝑥

Jawab:

= 62 4𝑥 3 1

6 = 2.3 2. 22. 𝑥3 1

6

= 22. 32. 26. 𝑥36 = 2 36𝑥36

𝑎𝑛

𝑏𝑛 =

𝑎

𝑏

𝑛

Contoh

1. 42

7

2. 4 10𝑥

3 2𝑥2

3. Sederhanakanlah 𝑥− 3 𝑦

𝑥− 𝑦

Jawab:

1. 42

7 =

42

7= 6

2. 4 10𝑥

3 2𝑥2=

4

3

10 𝑥

2𝑥2 = 4

3

5

𝑥=

4 5 𝑥

3 𝑥 𝑥=

4 5𝑥

3𝑥

MEMO

Apabila menemukan

bentuk: 𝑎

𝑥 , pembilang dan

penyebut dikalikan dengan

𝑥 , diperoleh 𝑎 𝑥

𝑥

18

Persamaan eksponen dan persamaan bentuk akar untuk tingkat SMP yang

akan dibahas hanya dalam bentuk yang sederhana. Bentuk yang rumit akan

dipelajari di tingkat SMA.

𝑥 − 3 𝑦

𝑥 − 𝑦=

𝑥 − 3 𝑦

𝑥 − 𝑦 .

𝑥 + 𝑦

𝑥 + 𝑦

= 𝑥 − 3 𝑦 𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦=

𝑥2 + 𝑥𝑦 − 3 𝑥𝑦 − 3 𝑦2

𝑥 − 𝑦

=𝑥 − 2 𝑥𝑦 − 3𝑦

𝑥 − 𝑦

3. Untuk menjawab soal nomer tiga kita harus melakukan proses

rasionalisasi penyebut. Penyebut ( 𝑥 − 𝑦 ) dicari sekawannya yaitu (

𝑥 + 𝑦 ).

Persamaan Eksponen dan Persamaan Bentuk Akar E.

Contoh

Tentukan nilai x dari persamaan 9x + 1

= 273x – 4

.

Jawab:

9x + 1

= 273x – 4

(32)

x + 1 = (3

3)

3x – 4 3

2x + 2 = 3

9x – 12

2x + 2 = 9x – 12 2 + 12 = 9x – 2x 14 = 7x x = 2

Jadi, nilai x adalah 2.

Contoh :

1. Selesaikanlah

a. 3𝑥 − 4 – 5 = 0

b. 2𝑥 − 13

= 3

2. Tentukan HP dari variabel y yang memenuhi : 𝑦 − 1 + 2 = 𝑦 − 3

3. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan : 4𝑥+3 = 8𝑥+54

19

3𝑥 − 4 = 25

3𝑥 = 25 + 4

jadi nilai x adalah 29

3

2𝑥 − 1 = 27

2𝑥 = 27 + 1

2𝑥 = 28

1. a. 3𝑥 − 4 – 5 = 0 3𝑥 − 4 = 5

3𝑥 − 4 2

= 52

(kedua ruas dikuadratkan)

𝑥 = 29

3

b. 2𝑥 − 13

= 3

2𝑥 − 13

3

= 33

( kedua ruas dipangkatkan tiga)

𝑥 = 28

2= 14

Jadi nilai x adalah 14

3 29

3 − 4 − 5 = 0

25 − 5 = 0

5 − 5 = 0

0 = 0

MEMO

Periksa jawaban :

2𝑥 − 13

= 3

273

= 3

3 = 3

MEMO

Periksa jawaban :

𝑦 − 1 + 2 2

= 𝑦 − 3 2

𝑦 − 1 + 4 𝑦 − 1 + 4 = 𝑦 − 3

4 𝑦 − 1 = −6

4 𝑦 − 1 2

= −6 2

16 𝑦 − 1 = 36

16 𝑦 = 52, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑦 = 52

16=

13

4

2. 𝑦 − 1 + 2 = 𝑦 − 3

Setelah diperiksa jawabannya tidak cocok, hal ini berarti 𝑦 = 13

4

bukan jawabannya,

dan HP = { }.

13

4− 1 + 2 =

13

4− 3

3

2+ 2 ≠

1

2

MEMO

Periksa jawaban :

20

(22)𝑥+3 = 23 𝑥+5 14

22𝑥+6 = 23𝑥+15

4

8𝑥 + 24 = 3𝑥 + 15

8𝑥 – 3𝑥 = 15 − 24

5𝑥 = −9

𝑥 = −9

5 .

2

2= −

18

10= −1,8

3. 4𝑥+3 = 8𝑥+54

2𝑥 + 6 = 3𝑥+15

4 (kedua ruas dikalikan 4)

AYO MENCOBA

SOAL OSN

Diberikan:

𝑥 = 10+ 2

2 dan

𝑥 = 10− 2

2

Tentukanlah:

a) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2

b) 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2

𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 − 2

𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥 + 3

𝑥2 − 4𝑥 2

= 𝑥 + 3 2

𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9

−4𝑥 = 6𝑥 + 9

−4𝑥 − 6𝑥 = 9

−10𝑥 = 9

𝑥 = − 9

10= −0,9

Contoh :

Selesaikanlah : 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 − 2

Jawab:

Kedua ruas dikuatdratkan

Jadi nilai 𝑥 = − 9

10 atau 𝑥 = −0,9

21

Dengan menggunakan akar pangkat juga dapat digunakan pada kehidupan

sehari-hari seperti

1. Pada pekerjaan arsitek tersebut yang ingin mengetahui panjang rusuk dari

rumah yang di buatnya

Arsitektur yang sedang membuat rumah minimalis yang berbantuk

kubus,Pemilik rumah yang akan di buat itu menginginkan ukuran volume

rumah nya 343m3.Dan Arsitek ingin mengetahui berapa meter panjang

rusuk dari rumah tersebut untuk membuat pilar rumah tersebut. Berikut

penghitungannya menggunakan akar pangkat :

(menggunakan faktorisasi prima)

= 343:7=49,49:7=7

=343=7x7x7=73

= 7m

2. Petani mengetahui panjang sisi kebun tersebut dengan menggunakan akar

pangkat.

Seorang Petani ingin mengetahui

panjang sisi dari kebunnya yang

berbentuk persegi yang akan di beri

pagar di setiap pinggirnya. Diketahui

bahwa luas kebun tersebut adalah

55225m2 jadi cara mengetahui panjang

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari 1.3

22

sisi kebun tersebut dengan menggunakan

akar pangkat seperti berikut:

=55225m2= 𝑠 m x 𝑠 m

= 𝑠2

=235m x 235m

Jadi panjang sisi dari petani tersebut adalah 235m

3. Pada ilmu fisika mempelajari tentang panjang gelombang.

Penggunaan pangkat dalam panjang gelombang memudahkan kita dalam

menghitung panjang atau tidak nya panjang gelombang.

Faktor Awalan Simbol

10-18

Atto A

10-15

Femto F

10-12

Pico p

10-9

Nano n

10-6

Micro µ

10-3

Mili m

103 Kilo K

106 Mega M

109 Giga G

1012

Tera T

4. Pada biologi menghitung banyaknya bakteri membelah diri.

Bakteri E.coli memiliki lebar 10−3

milimeter.

Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter.

Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi

diameter jarum tersebut. Untuk menentukan

banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10−3

1

10−3= 103 = 1000.

Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000

bakteri.

23

Perpangkatan ditulis dengan an , dengan a merupakan bilangan pokok dan n

pangkat atau eksponen

Pangkat bilangan bulat positif

Secara umum jika a R (bilangan real) dan n bilangan bulat positif, maka

an = a x a x ..... x a

Pangkat bilangan bulat negatif

Bentuk tersebut sering digunakan untuk mengubah bilangan bulat berpangkat

positif menjadi negatif maupun sebaliknya.

Pangkat bilangan nol

a0 = 1 dengan a 0

Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat

(i). (𝑎

𝑏)𝑛 =

𝑎

𝑏 𝑥

𝑎

𝑏 𝑥 … . .

𝑎

𝑏=

𝑎𝑛

𝑏𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 0

(ii). (𝑎

𝑏)−𝑛 =

𝑏

𝑎 𝑥

𝑏

𝑎 𝑥 … . .

𝑏

𝑎=

𝑏𝑛

𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 0

(iii). (𝑎

𝑏)0 = 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0

Bilangan berpangkat pecahan

Bilangan 𝑎𝑚𝑛

merupakan bilangan real, maka :

𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

= ( 𝑎𝑛

)𝑚 dengan m dan n bilangan bulat serta n 0

𝑎𝑛𝑛

= 𝑎𝑛

𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

a-n =

1

𝑎𝑛 dengan a 0

Rangkuman 1.4

n faktor

Sebanyak n buah

Sebanyak n buah

24

Menyelesaikan operasi pangkat tak sebenarnya

Untuk sembarang bilangan real a dan b dan bilangan m dan n , berlaku :

1. a0 = 1 dengan a 0

2. a-n =

1

𝑎𝑛 dengan a 0

3. am x a

n = a

m+n

4. (an)

m = a

nm

5. 𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 dengan m n , a 0

6. 𝑎𝑚

𝑎𝑛=

1

𝑎𝑛−𝑚 dengan n m , a 0

7. (ab)m = a

m b

m

8. 𝑎

𝑏 𝑚

= 𝑎𝑚

𝑏𝑚

9. 𝑎𝑛𝑛

= 𝑎 ,𝑎 ≥ 0

10. 𝑎𝑏𝑛

= 𝑎𝑛

𝑥 𝑏𝑛

a,b 0

11. 𝑎𝑛𝑚

= 𝑎𝑛𝑚

, a 0

25

1. Hitunglah

a. (-3) x (-6)3

b. 33 + 6

3 - 5

3

2. Sederhanakan dan tuliskan dalam bentuk pangkat positif:

a. 3𝑚−1𝑝3

𝑚𝑛 𝑝−6

b. 3𝑥 .𝑦−2𝑧4

9𝑥−4𝑦−3

3. Sederhanakanlah! (𝑥−2𝑦

13)2

𝑥−

34 . 𝑧−2

4. Tuliskan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana

a. 27𝑥3 . 𝑦5

16𝑧5

5. Selesaikanlah

a. 3 8 + 5 18 − 3 72

b. 27 + 2 72 − 3 48

c. 125 − 20 − 45

6. Jabarkan dan sederhanakanlah:

a. (3 6 + 5)( 6 − 2 5)

b. (8 7𝑚 + 6 10𝑛)( 7𝑚 + 2 10𝑛 )

7. Rasionalkan bentuk akar di bawah ini

a. 2 𝑚− 𝑛

𝑚+ 𝑛

b. 𝑎 + 4 𝑏

𝑎 −4 𝑏

8. Sederhanakanlah 5𝑎4

𝑏5

3

9. Hitunglah 4𝑥53

Latihan 1.5

26

10. Sebuah trapesium memiliki luas 54a2. Jika panjang sisi sejajarnya berturut-

turut adalah 8a dan 10a, tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a.

11. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 7 cm. Jika tinggi kerucut tersebut 18 5

cm, tentukan volume kerucut tersebut.

12. Selesaikanlah persamaan di bawah ini:

a. 42x = 2

8

b. 2𝑥2+ 5𝑥 – 7 = 27+3𝑥+ 𝑥2

c. ( 52𝑥+33)2 = 1252𝑥−4

13. Tentukan HP dari masing-masing penyelesaian berikut ini:

a. 6 𝑥 = 12

b. 3𝑥 − 4 = 5

14. a. Apabila 𝑥 = 𝑦𝑎 , 𝑦 = 𝑧𝑏 ,𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑥𝑐 , maka tentukan nilai abc

b. jika m = ax , n = a

y , dan m

y . n

y = 𝑎

2

𝑧 , tentukan nilai xyz

Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak

jatuh bebas, yaitu h = 1/2

gt

2. Dalam hal ini h = ketinggian benda, g =

percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah

benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan

bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik. Jika percepatan

gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut?

27

Sukino dan S.Wilson, 2007, Matematika SMP jilid 3 untuk Kelas IX, Jakarta:

Erlangga

Sulaiman R., Yuli Eko S.Tatag., Nusantara Toto., Kusrini dan Ismail, 2008,

Contextual Teaching and Learning Matematika Sekolah Menengah

Pertama/Madrasah Tsanawiyah Kelas IX edisi 4, Jakarta: Pusat Perbukuan

Departement Pendidikan Nasional

Wagiyo A., Mulyono Sri., dan Susanto,2008, Pegangan Belajar MATEMATIKA

3 Untuk SMP/MTs Kelas IX, Jakarta: Pusat Perbukuan Departement Pendidikan

Nasional

Avianti Agus Nuniek, 2007, MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3

Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah, Jakarta :

Pusat Perbukuan Departement Pendidikan Nasional

Masduki dan Budi Utomo Ichwan, 2008, MATEMATIKA IX

Untuk SMP dan MTs Kelas IX, Jakarta: Pusat Perbukuan Departement

Pendidikan Nasional

http://magefrozen.blogspot.com/2013/08/penerapan-aljabarakar.html

Daftar Pustaka

28

1. 𝑎. −3 𝑥 −6 3 = −3 𝑥 −6 𝑥 −6 = − 108

𝑏. 33 + 6 3 − 53 = 27 + 216 − 125 = 118

2. 𝑎. 3𝑚−1𝑝3

𝑚𝑛 𝑝−6=

3 𝑝3𝑝6

𝑚 . 𝑚 . 𝑛=

3 𝑝9

𝑚2 𝑛

𝑏. 3𝑥 . 𝑦−2𝑧4

9𝑥−4𝑦−3=

1 𝑥. 𝑥4𝑦−2𝑦3𝑧4

3=

𝑥1+4𝑦−2+3𝑧4

3=

𝑥5 𝑦 𝑧4

3

3. 𝑥−2𝑦

13

2

𝑥−

34 . 𝑧−2

= 𝑥−2 2 𝑦

13

2

𝑥−

34 𝑧−2

= 𝑥−4 𝑥

34 𝑦

23

𝑧−2= 𝑥−4+

3

4 𝑦2

3 𝑧2

= 𝑥−54 𝑦

23 𝑧2 =

𝑦23 𝑧2

𝑥54

= 𝑦

23 𝑧2

𝑥 𝑥4

4. 27𝑥3 . 𝑦5

16 𝑧5=

33𝑥3𝑦5

42𝑧5 =

32 . 3. 𝑥2 . 𝑥 . 𝑦4 . 𝑦

42 .𝑧4 . 𝑧 =

3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦

4𝑧4 𝑧

Atau hasilnya bisa kita rasionalkan 3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦

4𝑧4 𝑧 .

𝑧

𝑧=

3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦𝑧

4𝑧5

5. a. 3 8 + 5 18 − 3 72

= 3 𝑥 2 2 + 5 𝑥 3 2 − 3𝑥 6 2

= 6 2 + 15 2 − 18 2

= 6 + 15 − 18 2 = 3 2

b. 27 + 2 72 − 3 48

= 3 2 + 2 𝑥 6 2 − 3 𝑥 4 3

= 3 2 + 12 2 − 12 3 = 15 2 − 12 3

c. 125 − 20 − 45

= 5 5 − 2 5 − 3 5

= 5 − 2 − 3 5 = − 5

Pembahasan soal

29

6. a. (3 6 + 5)( 6 − 2 5)

= 3 6 𝑥 6 − 3 6 𝑥 2 5 + 5 𝑥 6 − 5𝑥 2 5

= 18 − 6 30 + 30 − 10 = 8 − 5 30

b. (8 7𝑚 + 6 10𝑛)( 7𝑚 + 2 10𝑛 )

= 8 7𝑚 𝑥 7𝑚 + 8 7𝑚 𝑥 2 10𝑛 + 6 10𝑛 𝑥 7𝑚 +

6 10𝑛 𝑥2 10𝑛

= 56𝑚 + 16 70 𝑚𝑛 + 6 70 𝑚𝑛 + 120𝑛

= 56𝑚 + 22 70 𝑚𝑛 + 120𝑛

7. a. 2 𝑚− 𝑛

𝑚+ 𝑛

= 2 𝑚− 𝑛

𝑚+ 𝑛 𝑥

𝑚− 𝑛

𝑚− 𝑛 =

2 𝑚− 𝑛 2

𝑚− 𝑛

= 2 𝑚 − 2 𝑚𝑛 + 𝑛

𝑚 − 𝑛

= 2𝑚− 4 𝑚𝑛 + 2𝑛

𝑚 − 𝑛

= 2 𝑚 − 𝑛 − 4 𝑚𝑛

𝑚 − 𝑛

= 2 𝑚 − 𝑛

𝑚 − 𝑛 −

4 𝑚𝑛

𝑚 − 𝑛

8. 5𝑎4

𝑏5

3

= 5𝑎43

𝑏53 = 𝑎 5𝑎

3

𝑏 𝑏23

9. 4𝑥53

= 4𝑥3 . 5

= 4𝑥15

10. Dik ∶ luas trapesium 54a2. panjang sisi sejajarnya berturut −

turut adalah 8a dan 10a.

Dit ∶ Tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a

Jawab :

𝐿 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

2

b. . 𝑎 + 4 𝑏

𝑎 −4 𝑏

= 𝑎 + 4 𝑏

𝑎 −4 𝑏 𝑥

𝑎 + 4 𝑏

𝑎 + 4 𝑏

= 𝑎 + 4 𝑏

2

𝑎−16 𝑏

= 𝑎+16 𝑏+8 𝑎𝑏

𝑎−16 𝑏

= 𝑎+16 𝑏 +8 𝑎𝑏

𝑎−16 𝑏

30

54𝑎2 = 8𝑎 + 10𝑎 𝑥 𝑡

2

108𝑎2 = 8𝑎 + 10𝑎 𝑥 𝑡

𝑡 = 108𝑎2

16𝑎= 6,75 𝑎

11. Dik ∶ jari − jari kerucut 7 cm. tinggi kerucut 18 5 cm

Dit ∶ Tentukan volume kerucut tersebut.

Jawab:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 1

3 𝑥 π𝑟2 𝑥 𝑡 𝑥 𝜋𝑟2 𝑥 𝑡

𝑉 =1

3 𝑥

22

7 𝑥 72 𝑥 18 5

𝑉 = 22 𝑥 7 𝑥 6 5

𝑉 = 924 5 𝑐𝑚2

12. a. 42x

= 28

22 2𝑥 = 28

24𝑥 = 28

4𝑥 = 8

𝑥 = 2

b. 2𝑥2+ 5𝑥 – 7 = 27+3𝑥+𝑥2

𝑥2 + 5𝑥 – 7 = 7 + 3𝑥+𝑥2

0 = 0

𝑥 = 0

13. a. 6 𝑥 = 12

6 𝑥 = 12 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛

6 𝑥 2

= 122

36 𝑥 = 144

𝑥 = 4

b. 3𝑥 − 4 − 5 = 0

𝑐. ( 52𝑥+33)2 = 1252𝑥−4

𝑥 = 3

((52𝑥+3)1

3)2 = (53) 2𝑥−4

52𝑥+3 2

3 = (53) 2𝑥−4

2

3 2𝑥 + 3 = 3 2𝑥 − 4

2 2𝑥 + 3 = 9 2𝑥 − 4

4𝑥 + 6 = 18𝑥 − 36

18𝑥 − 4𝑥 = 36 + 6

14 𝑥 = 42

31

3𝑥 − 4 − 5 = 0

3𝑥 − 4 = 5 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛

3𝑥 − 4 2

= 52

3𝑥 − 4 = 25

3𝑥 = 29

𝑥 = 29

3

14. a. Apabila 𝑥 = 𝑦𝑎 ,𝑦 = 𝑧𝑏 ,𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑥𝑐 , maka tentukan nilai abc.

𝑥 = 𝑦𝑎

𝑥 = 𝑧𝑏 𝑎

𝑥 = 𝑧𝑎𝑏

𝑥 = 𝑥𝑐 𝑎𝑏

𝑥 = 𝑥𝑎𝑏𝑐

𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑎𝑏𝑐 = 1

b. jika m = ax , n = a

y , dan m

y . n

y = 𝑎

2

𝑧 , tentukan nilai xyz

my . n

y = 𝑎

2

𝑧

(𝑎𝑥)𝑦(𝑎𝑦)𝑦 = 𝑎2𝑧

𝑎𝑥𝑦𝑎𝑦2

= 𝑎2𝑧

𝑥𝑦 + 𝑦2 = 2

𝑧

2 = 𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦2

2 = 𝑧 𝑥𝑦 1 + 𝑦

𝑧𝑥𝑦 = 2 − 𝑧𝑦

15. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak

jatuh bebas, yaitu h = 1/2

gt

2. Dalam hal ini h = ketinggian benda, g =

percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah.

Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran

32

menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik.

Jika percepatan gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det2, berapa meterkah

tinggi gedung tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2

Ditanyakan: h = ?

h = 1/2

gt

2

= 1/2

× 9,8 × (4,9)

2

= 4,9 × (4,9)2

= (4,9)1+2

= (4,9)3 = 117,649

Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter

33

Berikut ini adalah langkah-langkah penggunaan quiz

maker kelompok Pangkat dan akar:

1. Langkah yang pertama adalah buku Quiz Maker

dengan password “E55CE”. Judul dari Quiz Maker ini

adalah Mudah Belajar Pangkat dan Akar

2. Langkah kedua silahkan klik Continue atau Start

yang berada di bagian tengah bawah. Pada Quiz

Maker ini terdapat 30 soal yang berisikan pilihan

ganda, memasangkan, benar atau salah, banyak

pilihan beserta pembahasannya dari setiap soal.

3. Langkah yang ketiga silahkan Anda menjawab soal-

soal yang telah disediakan dengan jawaban yang

menurut Anda benar. Waktu yang tersedia untuk

semua soal adalah 90 menit dengan passing rate 80.

Format Quiz ini adalah Anda harus menjawab semua

soal terlebih dahulu baru Anda dapat mengetahui

apakah jawaban Anda benar atau salah.

4. Langkah keempat jika sudah menjawab semua soal

Anda dapat mengklik Submit yang berada di sebelah

kiri bawah.

5. Langkah kelima silahkan Anda mengklik Review

6. Langkah keenam setelah Anda mengkilk Review

silahkan Anda klik Feedback. Disini Anda dapat

mengetahui jawaban dan pembahasan dari setiap

soal.

Petunjuk Penggunaan Quiz Maker

34

7. Langkah ketujuh setelah selesai silakan Anda

mengklik Close

8. Terimakasih Anda sudah berkunjung di Quiz Maker

Mudah Belajar Pangkat dan Akar.

35

Syukur alhamdulillah kepada Allah SWT karena izin-Nya kami

dapat menyelesaikan buku ajar “Mudah Belajar Pangkat dan

Akar”.

“Mudah Belajar Pangkat dan Akar” adalah tugas pengganti

UTS, pada saat proses pembuatan kami sangat bingung dan lagi-

lagi salah. Lalu akhirnya kami mengumpulkan informasi dan

bertekad bulat dalam pembuatan buku ajar ini.

Buku ajar ini dikerjakan oleh dua orang, yang pertama Rhetna

Sari sebagai pembuat materi dan buku ajar ini, dan yang kedua

Fariza Azmi dalam pembuatan desainnya. Kami masih kuliah di

Unswagati jurusan Pendidikan Matematika . Berikut data diri

penulis

Rhetna Sari Fariza Azmi Cirebon, 27 Desember 1993 Cirebon, 2 Januari 1994 SDN 2 Lurah SMPN 1 Plumbon SMAN 4 Kota Cirebon

SDN V Arjawinangun MTsN 1 Arjawinangun SMAN 1 Arjawinangun

Hobi : jalan-jalan, cari-cari kuliner yang murah

Hobi : dengerin music.

Biografi penulis

36

Hal yang sangat terkesan adalah candaan kami ketika kami

sedang mengerjakan, mungkin karena terlalu ribet otak juga

kadang telat mikir, Tapi jangan khawatir insya allah buku ajar ini

bermanfaat untuk pembacanya, karena kami bersungguh-sungguh

mengerjakan sebuah karya ini bukan sebuah tugas melainkan

keinginan dari kami yang sangat ingin membuat buku ajar untuk

menunjang dan mempermudah siswa SMP dalam memahami

Pangkat dan Akar.

Dalam buku ini tentunya terdapat kekurangan untuk itu,

kami sangat menantikan kritik dan sarannya ke

rhetna_clinxz@yahoo.com dan azmi.love@yahoo.co.id

Tidak lupa juga kami ucapkan terimakasih kepada semua

pihak yang membantu dalam pembuatan buku ajar, terimakasih

kepada dosen kami, Dede Trie Kurniawan, S.Si., M.Pd ,

terimakasih sahabatku, yang bersedia menjadi tuan rumah (ngasih

makan+ minum gratiss), orang tua, dan juga teman-teman sekalian.

Untuk itu kami mengucapkan Alhamdullillah dan Terimakasih.