Podstawyautomatyki i robotyki

EnergetykaSem. VWykład 14

Sem. 1-2017/18Hossein Ghaemi

Kryteria stabilności układu sterowania

Wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego stwarza pewne trudności w przypadku układów wyższych rzędów, dlatego stosujemy kryteria stabilności (Hermit 1854, Routh 1877, Hurwitz 1895).

1. Kryterium analityczno-algebraiczne Hurwitz’a

0)( 012

21

1

asasasasasM n

nn

nn

n

Równanie charakterystyczne:

Układ jest stabilny, jeżeli spełnione są dwa następujące warunki:

1. Warunek konieczny: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są jednakowego znaku:

2. Warunek wystarczający: macierz Hurwitz’a, H, jest dodatnio określona.

0;,1np. iani

0

1

2

31

42

531

0

0

0

000

00

00

0

0

0

0

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

aaa

n

n

nn

nn

nnn

nnn

H

H jest dodatnio określona jeżeli spełnione są kryterium Sylwestr’a:

0,,1 ini

Element opóźniający

sTesFTtfL 0)()( 0

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 10 20 30 400

2

4

6

8

10

sess

sG 52 31924

30)(

31924

30)(

2

sssG

Wstęp

2. Kryterium analityczno-algebraiczne Nyquist’a

)(

)(

)(

)()()()(0 sM

sL

sM

sLsGsGsG

S

S

R

RSR

)()()()(

)()(

)()()()(

1

)()(

)()(

)(1

)()(

0

0

sMsMsLsL

sLsL

sMsMsLsLsMsM

sLsL

sG

sGsG

SRSR

SR

SR

SR

SR

SR

)()(

)()()()(

)()(

)()(1)(1 0 sMsM

sMsMsLsL

sMsM

sLsLsG

SR

SRSR

SR

SR

Bieguny biegunyZera bieguny

)(1 0 sG )(0 sG )(1 0 sG )(sG

1 Zera i bieguny

2 Rzutowanie

j

1z

V

)()( 1zssF

Im

Re

RVR

Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’

j

1b

V

)(

1)(

1bssF

Im

Re

RV

R1

Płaszczyzna ‘s’

Płaszczyzna ‘F’

Granica A Granica B

2 Rzutowanie

j

1z

V)()( 1zssF

Im

ReRVR

Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’

Granica AGranica B

j

1b

V

)(

1)(

1bssF

Im

Re

R VR

1

Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’

Granica A Granica B

j

1b

2V

)(

)()(

1

1

bs

zssF

Im

ReR

2

1

V

VR

Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’

Granica A Granica B

1V

1z

j

1b)(1)( 0 sGsF

Im

ReR

543

21

VVV

VVR

Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘1+G0’

Granica B1V

2V

3V

4V

5V

Granica AQ

Wnioski: Gdy punkt Q obraca się na granicy A, każdy wektor wewnątrz obszaru

A obraca się o 360 stopni, a każdy punkt znajdujący się poza granicami A oscyluje i wraca do pozycji początkowej.

Gdy poruszamy się na granicy A zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówki zegara każde „zero” wewnątrz obszaru A powoduje obrót w tym samym kierunku, a każdy „biegun” wewnątrz obszaru A powoduje obrót w przeciwnym kierunku (z tej racji, że biegun to miejsce zerowe dla mianownika).

ZPN

Liczba obrotówgranicy B w kierunku przeciwnym ruchu wskazówki zegara(wokół środka układu współrzędnych geometrycznych)

Liczba biegunów1+G0 znajdujących się

wewnątrz A

Liczba zer1+G0 znajdujących się wewnątrz A

Bieguny biegunyZera bieguny

)(1 0 sG )(0 sG )(1 0 sG )(sG

ZPN

NPZ

Liczba biegunów układu zamkniętego po prawej stronie półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej ‘s’

Liczba biegunów układu otwartego po prawej stronie półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej ‘s’

Liczba obrotóww kierunku zgodnym z ruchem wskazówki zegara na granicy B (wokół środka układu współrzędnych geometrycznych)

Wszystkie zera i bieguny układu otwartego są znane Bieguny układu zamkniętego nie są znane

W poprzednich rozważaniach funkcja transformacji (rzutowania) była ”1+G0 ”. Jeżeli funkcja ta jest „G0 ”, granica „B” jest taka sama z wyjątkiem to, że jest przesunięta o jedną jednostkę w lewo. W rezultacie, aby wyznaczyć liczbę „N” należy brać pod uwagę liczbę obrotów „G0 ” wokół punktu „-1”.

Dla stabilnego układu sterowania zamkniętego liczba Z jest równa zeru.

Kryterium stabilności Nyquist’a:Zamknięty układu sterowania jest stabilny

asymptotyczny, jeżeli:

NP

Dla układu ze stabilnym obiektem, liczba P jest równa zeru, a wówczas układ zamknięty jest stabilny jeżeli

0N

Kryterium stabilności Nyquist’a nazwane jest, także jako „kryterium lewej strony”, a jego interpretacja graficzna jest następująca:Gdy obserwator porusza się na granicy „G0 ” zgodnie z kierunkiem rosnących wartości zmiennej , punkt krytyczny musi znaleźć się po lewej stronie jego drogi. W przeciwnym razie, układ zamknięty nie jest stabilny asymptotyczny.

)(Im 0 sG

)(Re 0 jG

Punkt krytyczny (-1,0)

Granica )(0 jGUkład zamknięty jest

stabilny asymptotyczny

)(Im 0 sG

)(Re 0 jG

Punkt krytyczny (-1,0)

Granica )(0 jG

)(Im 0 sG

)(Re 0 jGPunkt krytyczny (-1,0)

Granica )(0 jG

Układ zamknięty jest niestabilny

Układ zamknięty jest na granicy stabilności

Zapas stabilności

)(Im 0 jG

)(Re 0 jGPunkt krytyczny (-1,0)

Granica )(0 jG0

0

Zapas amplitudy:

Zapas fazy:

210 300

1 1

22

020

20

10

010

10

010

)(arg

1)(

)(arg

)(

0)(Im

)(Re

jG

jG

jG

jG

jG

jG