P9 1 Conduction Et Convection

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MP Cours de physique

Jean Le Hir, 6 janvier 2008 Page 1 sur 17

TRANSFERTS THERMIQUES

Chapitre 1

Conduction et convection

En thermodynamique, le terme de chaleur dsigne une quantit dnergie caractrise par son modede transfert, sans aucun dplacement macroscopique, par opposition au travail . Lexpression

transfert thermique prconise par les programmes de physique des classes prparatoires est strictement quivalente au terme de chaleur. Cette expression nous vitera bien des confusions. Lachaleur nest pas une forme dnergie, mais un mode de transfert de lnergie : le transfert thermique.

Une bonne connaissance du premier et du second principe de la thermodynamique est indispensable pouraborder ce chapitre. Cf. THERMODYNAMIQUE DU CORPS PUR, chapitre1 : Les principes de lathermodynamique.

1.1. Diffrents modes de transfert thermique

Conduction, ou diffusion

Si, du point de vue microscopique, lnergie est transmise de proche en proche sans dplacementmacroscopique de matire, il sagit du phnomne de diffusion ou conduction thermique.

Convection

Dans un fluide, la conduction saccompagne dun processus de transfert thermique gnralement plusefficace : la convection. Lnergie est alors transporte par dplacement macroscopique de matire. Les

processus convectifs sont souvent coupls aux changes thermiques par conduction au contact de solides.

Exemple : au contact du radiateur, lair se rchauffe et slve du fait de sa plus faible densit. Il se creainsi un courant de convection qui fait que lair de la pice est chauff dans son ensemble avec une plusgrande efficacit.

radiateur

air chaud

air froid

Pice chauffer

haut

bas


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TRANSFERTS THERMIQUES Chapitre 1 Conduction et convection

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Loi phnomnologique de Fourier

Fourier constata exprimentalement la proportionnalit du vecteur densit de courant thermique avec legradient de temprature et posa la loi phnomnologique suivante, que nous appelons loi de Fourier :

th gradj T=

Le coefficient de proportionnalit sappelle la conductivit thermique et se mesure, dans le Systmeinternational, en watt par mtre et par kelvin ( )1 1W m K . La conductivit thermique est positive, lesigne moins prsent dans la formule de Fourier exprime le fait que le transport thermique,conformment au second principe de la thermodynamique, se produit dans le sens des tempraturesdcroissantes, du plus chaud vers le plus froid.

Analogie de la loi dOhm avec la loi de Fourier

Nous constatons lanalogie formelle existant entre la loi de Fourier relative la conduction thermique etla loi dOhm locale relative la conduction lectrique, dans le cadre de lapproximation des rgimes quasi

stationnaires. Le vecteur densit de courant lectrique correspond au vecteur densit de flux thermique,tandis que le potentiel lectrique et la temprature jouent des rles correspondants.

gradj E V = =

La loi dOhm fut tablie par analogie avec la loi de Fourier. Rendons hommage Fourier en luireconnaissant lantriorit historique. Ohm ne publia sa loi quen 1827 dans son tude mathmatique dela chane galvanique . Il fait rfrence de faon explicite aux travaux de Joseph Fourier et introduit lanotion de rsistance lectrique partir dune analogie avec la conduction thermique en rgime continuforc, telle que nous ltudierons plus loin.

De fait, la conductivit lectrique et la conductivit thermique ne sont pas sans rapport. Nous constatons

que les matriaux bons conducteurs de llectricit sont aussi de bons conducteurs thermiques, tandis queles isolants lectriques sont de bien pitres conducteurs thermiques.

Limites de validit de la loi de Fourier

Limite de causalit

La loi de Fourier, comme la loi dOhm, affirme une relation causale instantane. Si lon modifie legradient de temprature, cela a pour effet immdiat de modifier le courant de diffusion thermique. Ceci ne

peut tre acceptable que dans la mesure o le temps de propagation des causes est suffisamment bref.Dans le cas de rgimes statiques ou lentement variables, il ny aura pas de problme, mais dans le cas de

rgimes variables des frquences trop leves, les retards entre les causes et les effets se font sentir et laloi de Fourier cesse dtre vrifie.

Dfaut disotropie

En tout tat de cause, la loi de Fourier est une loi phnomnologique exprimant un phnomne physiquedans un milieu suppos isotrope. Il existe des milieux anisotropes dans lesquels la conduction thermiquene se manifeste pas de la mme faon dans toutes les directions de lespace. Par exemple, un matriauligneux comme le bois est meilleur conducteur thermique dans la direction des fibres que dans unedirection orthogonale.

Dfaut de linarit

La loi de Fourier exprime un phnomne physique dans le cadre de son approximation linaire. Comme bien souvent, la linarit cessera dtre une approximation satisfaisante si lamplitude du phnomnephysique devient trop grande. Le dsquilibre thermique ne doit pas tre trop important, un gradient de


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temprature trop lev pouvant avoir pour consquence une non-linarit qui peut aller, dans desconditions de dsquilibre thermique extrme, jusqu limpossibilit de dfinir localement latemprature.

Diffrents aspects de la diffusion thermique

Les processus de diffusion qui sont responsables du dplacement de lnergie interne, de proche enproche, dans la matire sont trs varis et nous nen ferons pas ici une tude microscopique. Nous allonssimplement rendre compte qualitativement, selon ltat de la matire, de quelques diffrents modesopratoires diffusifs.

Diffusion thermique dans les gaz

Dans un gaz, le transport dnergie interne se fait par lintermdiaire des chocs molculaires. Lesmolcules tendent se dplacer vers les lieux o leur concentration est la plus faible (loi de Fick). Leschocs molculaires tendent dplacer lnergie vers les endroits o la concentration dnergie interne estla plus faible, cest--dire l o la temprature est la plus basse. Nous nous attendons, par consquent, ceque le phnomne de diffusion thermique gazeuse obisse des lois ressemblant aux lois de la diffusionmolculaire dans les gaz.

Les conductivits thermiques de gaz sont des fonctions croissantes de la temprature et ne dpendent quetrs peu de la pression tout au moins tant que celle-ci est suffisante pour que le libre parcours moyendes molcules soit trs infrieur aux dimensions de lenceinte. Le graphe ci-dessous reproduit, titredexemple, les variations avec la temprature de la conductivit thermique de lair.

Pour les gaz aux pressions usuelles, ces processus de diffusion molculaire et de diffusion thermique sonttrs peu efficaces au regard des changes qui se produisent du fait des dplacements de matire parconvection et celle-ci est rarement vitable. Dans un champ de pesanteur, elle se produit naturellement duseul fait de la variation de densit du gaz avec la temprature. Une cellule msoscopique de gaz de

temprature plus leve est soumise une force ascendante et se met en mouvement.

Ce processus de convection se traduit, comme dans le cas de la conduction, par le dplacement delnergie interne vers les endroits o la temprature est la plus basse. Lefficacit des transferts convectifs

peut tre encore amliore en forant un rgime dcoulement du gaz. Ces phnomnes de convectionfont quil est tout fait exceptionnel dobserver exprimentalement la diffusion thermique gazeusecomme processus isol. Nous tudierons en exercice, titre dexemple, de quelle faon la convectiongazeuse autour dun solide peut conduire au refroidissement de ce dernier.

Diffusion thermique dans les liquides

Nous le savons, il ny a pas de diffrence qualitative entre les liquides et les gaz autre que lordre de

grandeur de la densit molculaire. Les mmes processus de conduction et de convection se produisentdans les liquides avec une efficacit accrue du fait de la plus grande concentration molculaire.

0,020

0,025

40 0 40 80 120

( )1 1air W m K

( )Ct


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Toutefois, dans les liquides, les molcules ou les atomes sont au contact. Cela a pour effet de rendre lesprocessus dchange nergtique plus efficaces. De plus, il peut se produire dans une phase condense,des phnomnes de conduction nayant pas pour origine le transfertdnergie de proche en proche par les atomes : dans le mercureliquide, par exemple, lexistence dlectrons libres responsables dela conduction lectrique, rend la conduction thermique

particulirement efficace.Le tableau ci-contre donne quelques exemples de conductivitthermique pour des liquides la temprature de 25 C .

Diffusion thermique dans les solides

Dans les solides, il ne saurait tre question de chocs entre atomes. Lnergie vibratoire des atomes sedplace de proche en proche par des processus dinteraction entre voisins. Ce phnomne concerne tousles solides quils soient conducteurs de llectricit ou non.

Dans le cas des matriaux conducteurs lectriques, le transfert de charge est rendu possible par lexistencedlectrons de conduction qui peuvent tre mis en mouvement par une excitation infime. Ces mmeslectrons vont participer la conduction thermique avec une efficacit toute particulire. Sans entrer dansles dtails, nous devons constater que les meilleurs conducteurs lectriques (largent, le cuivre et lor)sont aussi les meilleurs conducteurs thermiques. Dans les conditions usuelles, les conductivitsthermiques des mtaux ne dpendent que trs peu de la temprature. A la mme temprature, le rapportest du mme ordre de grandeur pour tous les mtaux. Le tableau suivant donne les valeurs de , et durapport / pour quelques mtaux usuels la temprature de 20 C .

Conductivit

thermique

( )1 1W m K

Conductivitlectrique

( )6 110 S m

rapport

( )6 110 W K Argent 429 63 6,8

Cuivre 401 60 6,7

Or 318 43 7,5

Aluminium 236 38 6,2

Zinc 116 17 6,9

Fer 80 10,3 7,8

Plomb 35 4,8 7,2

Les conductions thermiques des alliages sont gnralement infrieures celles des mtaux entrant dansleur composition. Ainsi, par exemple, le laiton alliage de cuivre et de zinc a une conductivit

thermique infrieure celle du zinc : 1 1laiton 110 W m K = .

De mme, les diffrentes sortes de fonte et dacier ont desconductivits thermiques infrieures celle du fer. Pour lacier inox,

par exemple : 1 1inox 16 W m K = ).

Voici enfin, dans un dernier tableau, les valeurs de conductivit

thermique de quelques matriaux isolants dans leurs conditionsusuelles dutilisation.

( )1 1W m K

tolune 0,14

thanol 0,17

eau 0,59

mercure 8,30

( )1 1W m K

marbre 3,3

Bois drable 0,16

verre 1,2

Laine de verre 0,040


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1.3. Rgimes permanents de diffusion

Rgimes forcs, prsence de thermostats

La diffusion, nous lavons vu, conduit inexorablement une uniformisation des tempratures. De ce fait,pour un systme isol, il ne peut exister de solution de diffusion stationnaire.

Toutefois, si nous envisageons lexistence de thermostats, qui sont des sources dnergie, le systmevolue vers un rgime stationnaire dcoulement de lnergie, sous forme de chaleur, des thermostats les

plus chauds vers les thermostats les plus froids. Nous pouvons tudier quelles sont les rpartitionsstationnaires de temprature dans un milieu conducteur soumis de telles conditions aux limites.

Nous savons que la temprature est alors solution dune quation formellement identique lquation dePoisson en lectrostatique :

0T =

Dans certaines circonstances particulires prsentant un degr de symtrie suffisant, nous sauronsrsoudre cette quation. Toute analogie avec des problmes quivalents de potentiels statiques (ou quasi

stationnaires) dj tudis en lectricit sera la bienvenue pour ces tudes.

Rgime forc continu dcoulement thermique

Nous mettrons ainsi en vidence lexistence de surfaces isothermes (les surfaces des thermostats sont decette nature) et de lignes de courants thermiques, orthogonales aux surfaces isothermes, de la mme faonquen lectrostatique ou en lectrocintique quasi stationnaire les lignes de champ lectrique sontorthogonales aux surfaces quipotentielles.

Rsistance thermique

Cas gnral

Considrons un coulement thermique quelconque entre deux thermostats. Le flux thermique total(homogne une puissance) est proportionnel la diffrence de temprature entre les deux thermostats.

lignes decourantthermique

Surfaces

isothermes

2 1T T

et, selon lquation de la chaleur, dans une telle rgion despace, la fonction

( ),T x t est une fonction croissante du temps :2

20

T TD

t x

= >


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Lvolution irrversible due la diffusion thermique ramne systmatiquement la distribution detemprature vers un gradient uniforme auquel correspond un transfert dnergie interne des lieux o latemprature est la plus leve vers les lieux o la temprature est la plus basse. Nous retrouvons toutnaturellement lnonc de Clausius du second principe de la thermodynamique.

Analyse dimensionnelle

Introduisons deux variables rduitest

=

t t et =

x et supposons ( ),T x t solution de lquation de la

chaleur pour des conditions aux limites particulires :

2 2

2 2 2

1 1 10 0

T T T T

D t Dx

= =

tx

Si nous choisissons et tels que2

D=

, alors la fonction ( ),T x t est solution dune quation

diffrentielle canonique, indpendante du milieu matriel dans lequel a lieu la diffusion :2

20T T

=

tx

Nous pouvons interprter ceci aussi bien en disant que les temps de diffusion sont proportionnels auxcarrs des distances parcourues et inversement proportionnels aux diffusivits thermiques ou en disantque, pour une dure donne, les profondeurs de pntration sont proportionnelles la racine carre du

produit de cette dure par la diffusivit thermique.

tude dune galisation thermique : le problme de lanneau dancrage

Joseph Fourier tudie la propagation thermique dans un anneau dancrage de navire. Lanneau de fer estinitialement chauff au rouge sur une moiti avant dtre enfoui dans du sable o lon mesure lvolutionde la temprature du mtal. Le sable constitue un excellent isolant permettant de minimiser les pertesthermiques. Nous ferons lhypothse, dans cette tude, que ces pertes sont ngligeables dans le tempsdobservation.

En premire approximation, nous pouvons considrer que le problme est unidimensionnel seuleintervient labscisse curvilignex sur lanneau et que les conditions initiales correspondent un crneaude temprature, 1T tant la temprature uniforme de la moiti de lanneau qui a t chauffe et 2T la

temprature uniforme de lautre moiti de lanneau.

Nul ne savait, lpoque de Fourier, rsoudre lquation de la chaleur avec une telle symtrie et de telles

conditions initiales. Toutefois, cette quation admet des solutions simples dans le cas o les conditionsinitiales correspondent une distribution sinusodale de temprature.

concavitvers le haut

x0 x0

concavitvers le bas

2

20T

x >

2

20

T

x

0Tt

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