Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
���������� ���������� ������������ ��� ����������
"������� #�������� $����!������ "������ ��!���
� !���� ������� ���
� ������ � �� ������� �
"�# $�� %∗
%�� ��� ��������� ��� ���� � ���� � ������ � ��
���� ,
y = b · xa. (1)
3����� � ��� �� �� ��� � � �� � � b > 0 �a �= 0 �� ���
� � �� � ����3��� ���� � �� ��� � � �� a = 0 � ������
������������ ���� ������ y = b�
3��� ��� � �� ���� � �������� ��� ��E����� ��� �� �
���a ∈ R��� ��� ������ f (x) = xa �� ���� �����
���������� � ���� � ������� � ������ �E�����
� ��� 〈 0,+∞〉 � � � /� �� ����� �� � �� � ����
������ �� ���� ���� � � � �����0 ����������� �
��� �� x � ��� � ���������� � ���������� ���������
� � ���� � � �� �������� ����� ��� �� � � �� � �� �� a �
b�D� /90 �� �� �����
y = b � �� �� � � � � �� x = 1. (2)
%���� � � � �� � �� � b ����� ����� �� � ������� ��
���������� ��� �� y �� x = 1�
D���� ��� ��� � � �� � ��� a � ������ ���� ����� � ���
� �����,
����������� �� ��� p > −100 � �������� ��
� ��E����� ��� �� ����� 2�� � ���������� ��� ��
x � ��� ����� p%�������� �� � ��� ���� ��� �����
� ��� �� ����������� ��� �� y ������
s ={
100 ·[(
1 +p
100
)a− 1
]}%. (3)
������ ��� x1 � ������ ���������� ��� �� x�3��� � ��� ������� �� ���������� ��� �� y ��� ��
,
y1 = b · xa1. (4)
∗ @���*� (� ��*!� ����� � � �!�* ��� !�*��� &� �*�� � ��A �* ��������"���� �* �� �� ����� � �*�� / �*�**�(� � ������� �B��!�� �*�A��� �� (/ ��*�� �� ��� � �*�� C������� � ��������� D / ���*!�* � !���*��*� �* � ������������ � �*�� C���7*��� � �*�� ����� �� ������� � �*�� � � �� � �*��*����� ��* ��*� ��* �*��*��*D ���*������ ��� ��� x y / ��� ������ (� � ���� ��� � ��
���
����� ���� ���&����
2�� � ��������x1 � ��� ����� p%����� �����
������ ��� �� x �����,
x2 = x1 +p
100· x1 =
(1 +
p100
)· x1. (5)
3��� � ��� ������� �� ���������� ��� �� y ��� ��
,
y2 = b · xa2 = b ·
[(1 +
p100
)· x1
]a
= b ·(1 +
p100
)a· xa
1
=(1 +
p100
)a· y1,
(6)
� � ��� ����� � ��� �� ����������� ��� �� y ������
s =y2 − y1
y1=
(1 +
p100
)a· y1 − y1
y1
=y1 ·
[(1 +
p100
)a− 1
]y1
=(1 +
p100
)a− 1.
(7)D� �� ��� � ���� � ��� �� � � �� ������ � ��������� �,
s ={
100 ·[(
1 +p
100
)a− 1
]}%, (8)
�� �� ����� �� � ��� �� ���
������� �� ����������� ���� ����� ����
(1 +
p100
)a= 1+
p100
·a+a · (a − 1)
2· p2
10000
+a · (a − 1) · (a − 2)
6· p3
1000000+ . . . , (9)
� ��� �� � �� �� ��� ����� � � � �������������
p /�� ��p ∈ [−1, 1]0 ������ � ������ � ��� ,(1 +
p100
)a≈ 1 +
p100
· a. (10)
���������� � ������ � ��� /980 ������ � ������ � ��
������ 3��� ����� 9�
���� �� �� 2�� ����������� ��� ��x � ��� �����
p%�� ����� � p ∈ [−1, 1]�������� �� � ��� ����
��� ����� � ��� �� ����������� ��� �� y ������� ���
������� (p · a)%�3�������� p = ±1 �� � ��� ��
������±a%�
������� �� A ��� ���������� � � 3��� ������9�
������� �� 9�� �� ��� �� �� ����� � �� ������ ����
� � � � �� ����� � � � ���� ��� � � ������� � �����
���� ��� �
3������� ��� ���� � �� � ��� a ������� � ���� � p =1� D� �� ���� � �� � ����� � ��� � �� ���� � � �� �� �
��� ��� ���������p �� ������ �� ������������ ����
������� �� ���� �� ��� �� � ������ �� ��� �����
�� ��� ����$�� ��� ��� � ��� � �� ���� F9G���F<G�
3��� ���� � � ��� �� ����� � ���� �� � ��� ���
������� �� 5� ������� ������������ �� � ��������
�� ���� ������ � �������� ����� ����� �� �%�� � 6 ��
� � �� ������ �� ������� �� �� � �� � ���� �� ���
������ � � � � � ��������� � ������ � �������
��� �� �� � � ��� ������ ���������� � � � � � �3��� ���
�� � �� ���� ��� � ����� ������ � ���
������ ������
� ��� ���!���������! �"���� ��������� #$$$ ��%
� ��� ���!����������� #$$$ ��%
788 :7
7:8 ::
:@8 :@
988 7?
:<8 :=
7=8 :<
7?8 :;
:;8 :=
9@8 :9
<78 :?
�� 3��� � ��� �� �� ���������� E����� ���� ���� ������ �
�� ����� ��� E����� � � � ��� E����� ���� ��
� ����� ���� ��
�� ( �������� ����� � ���� ������ �� � ����
��� � ����� ����� ��� �� ��� � ��� � ��� ��
�� ����������� ���� ��� ��� � � �� � �� �� �����
����� ������ ��� � ���� �
��� ������ ����� ������ �� ���� ��
�� 3��������� ����� ���������������� � ���
�� �� �� �� ��E����� ���� ��� ���
� � �� �� ������ �� �� � ���� �� ��� � �������,
�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� � � �
���� �� �� � � �� � ���� � � � ����������
��� �� �� � � ��� ������ � ����� �� ;H 1
�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� � � �
���� �� �� � � �� � ���� � � � ����������
��� �� �� � � ��� ������ � � � ���� ;H 1
�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� ���� � �
������� ��� �� �� � � ��� ������ �� �� �� � ���� �
�� � ����� �� �� �� � ����� �� 7H 1
"� ���� �� � ����� �� �� �� � �� � � � �����
� ��� ������ ������7;8888 ��1
&� ���� � �� ���������� ��� �� �� � � ��� ������ �
� ��� � ��� � ���� �� � � � � � �� ��� ��
�� ������� :8888 ���
����� �� '�� ��� � �� �/ � ��� �� ,�� �*� �
����� �� $�*��*����� ��* / ��*���� (* �*��*��* �� ,�� �*� �/ �/ � �� �*��*��� (� (������
���
����� ���� ���&����
A ����� � � �� �� ��� �� �� ���
�� �� ����������� � � ���� �� �� � � ���� ���
� ������ ������ ��� �� �� � � ��� ������ ��� E����
� ���� ��� � ��� ��� � �� �� ��� � �� � ���� �� ��� ��
�����9� ( � �� � �� ��� �� ���� �� ���� ��� ��� � �
���� �� ��� � ��� � ��� � �� ���� F:G�
�� & ��� ����� � ���� ������ �� � ������ � ��
������� ��� � � ��� � ���� �������� ��� ����
�� ������ ������ ( � �� � �� ��� �� ������ �� �
��� ���� � 5% 'I��� ������ ��� � �� � � ��� �
�� ���� F:G�
D���� ����� � � ���������� � �� � �� �� a �b � � ����
�� � �� ����� �� ��� ���x �y�
*�������b = 10.39 ��� ����� � � ��� � ��� �
� � � ��� ������ ���������� �� 9888 �������� � ���
������� ������ �� � ����� �� �� �� �� 98�:> �������
���� = 98:>8 ���
3� �� � �� � a ����� ����� � � ��������������� � 9�
( �� ���� � p = 1� ! � �� a = 0.2136 ��� �����
� �� � ����� ���� ���� � ������� ��� �� �� �
� ��� ������ � ����� �� 9H ����� �� � ���� �� � �
����� �� �� �� � ����� ���� � ��� ���� 8�79:=H �
�� ��E���� ���� ��� �� ��������� ������
� ���� � ���� R2 = 0.9942� !� ��� ����� �
� ��������� >>�<7H �� ������������ � � ���� �� �� �
� � ���� ��� � ������ ��� �� �� � � ��� ������
� ��� ��� ������ ����� ������ �� � ������ �
������� � ������������� ��� ������� �� �
����� ���� ��
�� � ��� ��� �/:0 ���� ��� � p = 5 �a = 0.2136�� � ����� �,
s ={
100 ·[(
1 +5
100
)0.2136− 1
]}≈ 1.05%.
(11)$� ��� � �� � ���� �� � ����� ��� �� � � � ���
� ������ � ����� �� ;H � ���� �� � ���� �� � �
����� �� �� �� ������� �� � ����� ���� � ��� ����
9�8;H �
�� � � � ������ � � � ���� ��� �� �� ������ �� ��
� ���� �� ��� ������� ���� �� � ���� �� � �����
�� �� �� ������� �� � � � ������ � ��� ���� 9�8;H �
5����� � �� ��� � ����� �� �� �� ������ � � ��
�� ��� � /:0 ���� ��� � p = −5 �a = 0.2136� � �
����� �,
s ={
100 ·[(
1 − 5100
)0.2136− 1
]}≈ −1.09%.
(12)$� ��� � �� � ���� �� � ����� ��� �� � � � ���
� ������ � � � ���� ;H � ���� �� � ���� �� � �
����� �� �� �� ������� �� � � � ������ � ��� ����
9�8>H � �� ��� ����� ���� ����������� ��� �� x/�� ��x = 1090 �� ����� �� 8�8<H �� �� �� � ���� �� �
���� ���� ���������������� � ������
�� D� ��� ��� ��/:0 ���� ��� � �� ��� ��� p,
s = 100 ·[(
1 +p
100
)a− 1
]s
100=
(1 +
p100
)a− 1(
1 +p
100
)a= 1 +
s100
/1a
[(1 +
p100
)a] 1a
=(1 +
s100
) 1a
1 +p
100=
(1 +
s100
) 1a
p100
=(1 +
s100
) 1a − 1
p ={[( s
100+ 1
) 1a − 1
]· 100
}%.
(13)
���� ��� � ��s = 2 �a = 0.2136��������� �,
p =[(
1 +2
100
) 10.2136 − 1
]· 100 ≈ 9.71%.
(14)$� ��� �� � ���� �� � ����� �� �� �� � �����
�� 7H � ����� ���� ���� � ������� ��� �� �� �
� ��� ������ ������� �� ���� � ����� ���� � ��� ����
>�@9H�
"� � ��� �� � ����� �� �� ��� � �� � � � �����
� ��� ������ ������7;8888 ���� ���������� � �� ��
�� � ������� ��� ����� � ���� ������ �� � ��
����� � �����
y = 10.39 · x0.2136 (15)
��� ������ ����� ������ �� ���� ��
���� ��� � x = 250 /�� �� �� � � ���� ������ � � �
���� ����� �������� ��� �� � ����� � ��� � � �� 0,
y = 10.39 · 2500.2136 ≈ 33.79213. (16)
$� ��� ��� ��������� ::�@>79: ������� ����
= ::@>7�9: ���
&� ! �� ��������� ���� ����� � ��� � �� �� �� �� ����
��� � ��� ���� /9;0 ���� ��� � �� ��� ��� x�D� � � �
���� ,
y = 10.39 · x0.2136
x0.2136 =y
10.39/
10.2136
x =( y
10.39
) 10.2136
(17)
� ��� ��� ��/9@0 � � � �� � ��� � �� � ��x �� ��� � �
�� ��� ������ ���� � � ������������������ ���
� �� x� � ��� ��� �/9@0 ���� ��� � y = 30 /�� �
�� �� �� � � ���� ������ � � ����� �������������
�� ��� �� x � �������� ��� �� � ����� � ��� � � �� 0,
x =( 30
10.39
) 10.2136 ≈ 143.19426. (18)
$� ��� ��� ��������� 9<:�9><7= ������� ����
= 9<:9><�7= ���
������� '� 3���� �� �� � &� � ����� ��������
�� �� �� � �������� �����
30 = 10.39 · x0.2136. (19)
6 ��� ���� ��� � � ���� ��� ����� /� � �� ��98���� � �� ��
e0������� � �,
log 30 = log(10.39 · x0.2136)
log 30 = log 10.39 + log(x0.2136)
log 30 = log 10.39 + 0.2136 · log x
log x =log 30 − log 10.39
0.2136
x = 10log 30−log 10.39
0.2136 ≈ 143.19426. (20)
3��� ���� � �� � � ��� ��� � � /9?0 �/780 � �������
���� ����� � �� ���� � �������� ���������� � ��� ���
/9?0 �� � � � ���� ���������� ���� � ��������� ����������
� � ��� ���/780 ���� ���������� ������� � ��������� ����
�������� � � ��� � �� �� �� �� ��� ��� � ��� �����
��� ��� /9?0�
�� ������� ���� � � �� ������ � ��� �� �� � ����
���� ��������� ��� ����� ���� ��� �� �����
���� � �� ��� � �� � ����������� ��� ������ � � ���
��� ����� � ��� �� ���� � � � � � � �� ������
� ���� ��� �� � �� �� � � �� � ��� � �������� �� ���
�� � ��� �� ��� � ���� � ��� �� ������� �� � ��
�� �� � ����� �� � � ������ � �� ���� �� �� �������
�� ����� �� � � � �� � ������ ��������� �� � � ���
� ��� � ����� ������ � ��� �� ���� � �� ������
�� � �� ���� �� �� ������� �� �� ����� ��� �� � �� ��
�� �� ������ �� �� � �� � � � �� �� ��� �� � �� �� ��
� �� ����� � ��� ����������� ��� �
- �> @: )> B : )
���!"�!���&+�"*�� �� ���� � ������ �& !"(��� (� (���� &
2� ��*�&�����
����!"�!���� �������� ������ �& !"(��� (� (���� & 2� �?
�*�&�����
��$�,� / ����������� ������ � � �� ������&# � (�� �
2 : &2� ��*�&�� ��
��$�+�(!�*���& $�,� / ��� ��������� ���������� ���
����� �� �������� �& 3 ��*�?� � �(*���& 2� ��*�&
�����
���