5
ˆ y = b · x a . (1) b > 0 a = 0 a = 0 ˆ y = b a R f (x)= x a 0, +x a b ˆ y = b x = 1. (2) b y x = 1 a p > 100 x p% y s = 100 · 1 + p 100 a 1 %. (3) x 1 x y ˆ y 1 = b · x a 1 . (4) xy

p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

���������� ���������� ������������ ��� ����������

"������� #�������� $����!������ "������ ��!���

� !���� ������� ���

� ������ � �� ������� �

"�# $�� %∗

%�� ��� ��������� ��� ���� � ���� � ������ � ��

���� ,

y = b · xa. (1)

3����� � ��� �� �� ��� � � �� � � b > 0 �a �= 0 �� ���

� � �� � ����3��� ���� � �� ��� � � �� a = 0 � ������

������������ ���� ������ y = b�

3��� ��� � �� ���� � �������� ��� ��E����� ��� �� �

���a ∈ R��� ��� ������ f (x) = xa �� ���� �����

���������� � ���� � ������� � ������ �E�����

� ��� 〈 0,+∞〉 � � � /� �� ����� �� � �� � ����

������ �� ���� ���� � � � �����0 ����������� �

��� �� x � ��� � ���������� � ���������� ���������

� � ���� � � �� �������� ����� ��� �� � � �� � �� �� a �

b�D� /90 �� �� �����

y = b � �� �� � � � � �� x = 1. (2)

%���� � � � �� � �� � b ����� ����� �� � ������� ��

���������� ��� �� y �� x = 1�

D���� ��� ��� � � �� � ��� a � ������ ���� ����� � ���

� �����,

����������� �� ��� p > −100 � �������� ��

� ��E����� ��� �� ����� 2�� � ���������� ��� ��

x � ��� ����� p%�������� �� � ��� ���� ��� �����

� ��� �� ����������� ��� �� y ������

s ={

100 ·[(

1 +p

100

)a− 1

]}%. (3)

������ ��� x1 � ������ ���������� ��� �� x�3��� � ��� ������� �� ���������� ��� �� y ��� ��

,

y1 = b · xa1. (4)

∗ @���*� (� ��*!� ����� � � �!�* ��� !�*��� &� �*�� � ��A �* ��������"���� �* �� �� ����� � �*�� / �*�**�(� � ������� �B��!�� �*�A��� �� (/ ��*�� �� ��� � �*�� C������� � ��������� D / ���*!�* � !���*��*� �* � ������������ � �*�� C���7*��� � �*�� ����� �� ������� � �*�� � � �� � �*��*����� ��* ��*� ��* �*��*��*D ���*������ ��� ��� x y / ��� ������ (� � ���� ��� � ��

���

Page 2: p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

����� ���� ���&����

2�� � ��������x1 � ��� ����� p%����� �����

������ ��� �� x �����,

x2 = x1 +p

100· x1 =

(1 +

p100

)· x1. (5)

3��� � ��� ������� �� ���������� ��� �� y ��� ��

,

y2 = b · xa2 = b ·

[(1 +

p100

)· x1

]a

= b ·(1 +

p100

)a· xa

1

=(1 +

p100

)a· y1,

(6)

� � ��� ����� � ��� �� ����������� ��� �� y ������

s =y2 − y1

y1=

(1 +

p100

)a· y1 − y1

y1

=y1 ·

[(1 +

p100

)a− 1

]y1

=(1 +

p100

)a− 1.

(7)D� �� ��� � ���� � ��� �� � � �� ������ � ��������� �,

s ={

100 ·[(

1 +p

100

)a− 1

]}%, (8)

�� �� ����� �� � ��� �� ���

������� �� ����������� ���� ����� ����

(1 +

p100

)a= 1+

p100

·a+a · (a − 1)

2· p2

10000

+a · (a − 1) · (a − 2)

6· p3

1000000+ . . . , (9)

� ��� �� � �� �� ��� ����� � � � �������������

p /�� ��p ∈ [−1, 1]0 ������ � ������ � ��� ,(1 +

p100

)a≈ 1 +

p100

· a. (10)

���������� � ������ � ��� /980 ������ � ������ � ��

������ 3��� ����� 9�

���� �� �� 2�� ����������� ��� ��x � ��� �����

p%�� ����� � p ∈ [−1, 1]�������� �� � ��� ����

��� ����� � ��� �� ����������� ��� �� y ������� ���

������� (p · a)%�3�������� p = ±1 �� � ��� ��

������±a%�

������� �� A ��� ���������� � � 3��� ������9�

������� �� 9�� �� ��� �� �� ����� � �� ������ ����

� � � � �� ����� � � � ���� ��� � � ������� � �����

���� ��� �

3������� ��� ���� � �� � ��� a ������� � ���� � p =1� D� �� ���� � �� � ����� � ��� � �� ���� � � �� �� �

��� ��� ���������p �� ������ �� ������������ ����

������� �� ���� �� ��� �� � ������ �� ��� �����

�� ��� ����$�� ��� ��� � ��� � �� ���� F9G���F<G�

3��� ���� � � ��� �� ����� � ���� �� � ��� ���

������� �� 5� ������� ������������ �� � ��������

�� ���� ������ � �������� ����� ����� �� �%�� � 6 ��

� � �� ������ �� ������� �� �� � �� � ���� �� ���

������ � � � � � ��������� � ������ � �������

��� �� �� � � ��� ������ ���������� � � � � � �3��� ���

�� � �� ���� ��� � ����� ������ � ���

������ ������

� ��� ���!���������! �"���� ��������� #$$$ ��%

� ��� ���!����������� #$$$ ��%

788 :7

7:8 ::

:@8 :@

988 7?

:<8 :=

7=8 :<

7?8 :;

:;8 :=

9@8 :9

<78 :?

�� 3��� � ��� �� �� ���������� E����� ���� ���� ������ �

�� ����� ��� E����� � � � ��� E����� ���� ��

� ����� ���� ��

�� ( �������� ����� � ���� ������ �� � ����

��� � ����� ����� ��� �� ��� � ��� � ��� ��

�� ����������� ���� ��� ��� � � �� � �� �� �����

����� ������ ��� � ���� �

��� ������ ����� ������ �� ���� ��

Page 3: p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

�� 3��������� ����� ���������������� � ���

�� �� �� �� ��E����� ���� ��� ���

� � �� �� ������ �� �� � ���� �� ��� � �������,

�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� � � �

���� �� �� � � �� � ���� � � � ����������

��� �� �� � � ��� ������ � ����� �� ;H 1

�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� � � �

���� �� �� � � �� � ���� � � � ����������

��� �� �� � � ��� ������ � � � ���� ;H 1

�� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� ���� � �

������� ��� �� �� � � ��� ������ �� �� �� � ���� �

�� � ����� �� �� �� � ����� �� 7H 1

"� ���� �� � ����� �� �� �� � �� � � � �����

� ��� ������ ������7;8888 ��1

&� ���� � �� ���������� ��� �� �� � � ��� ������ �

� ��� � ��� � ���� �� � � � � � �� ��� ��

�� ������� :8888 ���

����� �� '�� ��� � �� �/ � ��� �� ,�� �*� �

����� �� $�*��*����� ��* / ��*���� (* �*��*��* �� ,�� �*� �/ �/ � �� �*��*��� (� (������

���

Page 4: p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

����� ���� ���&����

A ����� � � �� �� ��� �� �� ���

�� �� ����������� � � ���� �� �� � � ���� ���

� ������ ������ ��� �� �� � � ��� ������ ��� E����

� ���� ��� � ��� ��� � �� �� ��� � �� � ���� �� ��� ��

�����9� ( � �� � �� ��� �� ���� �� ���� ��� ��� � �

���� �� ��� � ��� � ��� � �� ���� F:G�

�� & ��� ����� � ���� ������ �� � ������ � ��

������� ��� � � ��� � ���� �������� ��� ����

�� ������ ������ ( � �� � �� ��� �� ������ �� �

��� ���� � 5% 'I��� ������ ��� � �� � � ��� �

�� ���� F:G�

D���� ����� � � ���������� � �� � �� �� a �b � � ����

�� � �� ����� �� ��� ���x �y�

*�������b = 10.39 ��� ����� � � ��� � ��� �

� � � ��� ������ ���������� �� 9888 �������� � ���

������� ������ �� � ����� �� �� �� �� 98�:> �������

���� = 98:>8 ���

3� �� � �� � a ����� ����� � � ��������������� � 9�

( �� ���� � p = 1� ! � �� a = 0.2136 ��� �����

� �� � ����� ���� ���� � ������� ��� �� �� �

� ��� ������ � ����� �� 9H ����� �� � ���� �� � �

����� �� �� �� � ����� ���� � ��� ���� 8�79:=H �

�� ��E���� ���� ��� �� ��������� ������

� ���� � ���� R2 = 0.9942� !� ��� ����� �

� ��������� >>�<7H �� ������������ � � ���� �� �� �

� � ���� ��� � ������ ��� �� �� � � ��� ������

� ��� ��� ������ ����� ������ �� � ������ �

������� � ������������� ��� ������� �� �

����� ���� ��

�� � ��� ��� �/:0 ���� ��� � p = 5 �a = 0.2136�� � ����� �,

s ={

100 ·[(

1 +5

100

)0.2136− 1

]}≈ 1.05%.

(11)$� ��� � �� � ���� �� � ����� ��� �� � � � ���

� ������ � ����� �� ;H � ���� �� � ���� �� � �

����� �� �� �� ������� �� � ����� ���� � ��� ����

9�8;H �

�� � � � ������ � � � ���� ��� �� �� ������ �� ��

� ���� �� ��� ������� ���� �� � ���� �� � �����

�� �� �� ������� �� � � � ������ � ��� ���� 9�8;H �

5����� � �� ��� � ����� �� �� �� ������ � � ��

�� ��� � /:0 ���� ��� � p = −5 �a = 0.2136� � �

����� �,

s ={

100 ·[(

1 − 5100

)0.2136− 1

]}≈ −1.09%.

(12)$� ��� � �� � ���� �� � ����� ��� �� � � � ���

� ������ � � � ���� ;H � ���� �� � ���� �� � �

����� �� �� �� ������� �� � � � ������ � ��� ����

9�8>H � �� ��� ����� ���� ����������� ��� �� x/�� ��x = 1090 �� ����� �� 8�8<H �� �� �� � ���� �� �

���� ���� ���������������� � ������

�� D� ��� ��� ��/:0 ���� ��� � �� ��� ��� p,

s = 100 ·[(

1 +p

100

)a− 1

]s

100=

(1 +

p100

)a− 1(

1 +p

100

)a= 1 +

s100

/1a

[(1 +

p100

)a] 1a

=(1 +

s100

) 1a

1 +p

100=

(1 +

s100

) 1a

p100

=(1 +

s100

) 1a − 1

p ={[( s

100+ 1

) 1a − 1

]· 100

}%.

(13)

���� ��� � ��s = 2 �a = 0.2136��������� �,

p =[(

1 +2

100

) 10.2136 − 1

]· 100 ≈ 9.71%.

(14)$� ��� �� � ���� �� � ����� �� �� �� � �����

�� 7H � ����� ���� ���� � ������� ��� �� �� �

� ��� ������ ������� �� ���� � ����� ���� � ��� ����

>�@9H�

"� � ��� �� � ����� �� �� ��� � �� � � � �����

� ��� ������ ������7;8888 ���� ���������� � �� ��

�� � ������� ��� ����� � ���� ������ �� � ��

����� � �����

y = 10.39 · x0.2136 (15)

��� ������ ����� ������ �� ���� ��

Page 5: p y b x b x p b 1 100 - mr.sc. Bojan Kovacic · 2 x 1 p% x , x 2 = x 1 + p 100 ·x 1 = 1+ p 100 ·x 1. (5) 3 y , yˆ 2= b·xa = b· p 1+ p 100 ·x 1 a = b· 1+ p 100 a ·xa 1 = 1+

���� ��� � x = 250 /�� �� �� � � ���� ������ � � �

���� ����� �������� ��� �� � ����� � ��� � � �� 0,

y = 10.39 · 2500.2136 ≈ 33.79213. (16)

$� ��� ��� ��������� ::�@>79: ������� ����

= ::@>7�9: ���

&� ! �� ��������� ���� ����� � ��� � �� �� �� �� ����

��� � ��� ���� /9;0 ���� ��� � �� ��� ��� x�D� � � �

���� ,

y = 10.39 · x0.2136

x0.2136 =y

10.39/

10.2136

x =( y

10.39

) 10.2136

(17)

� ��� ��� ��/9@0 � � � �� � ��� � �� � ��x �� ��� � �

�� ��� ������ ���� � � ������������������ ���

� �� x� � ��� ��� �/9@0 ���� ��� � y = 30 /�� �

�� �� �� � � ���� ������ � � ����� �������������

�� ��� �� x � �������� ��� �� � ����� � ��� � � �� 0,

x =( 30

10.39

) 10.2136 ≈ 143.19426. (18)

$� ��� ��� ��������� 9<:�9><7= ������� ����

= 9<:9><�7= ���

������� '� 3���� �� �� � &� � ����� ��������

�� �� �� � �������� �����

30 = 10.39 · x0.2136. (19)

6 ��� ���� ��� � � ���� ��� ����� /� � �� ��98���� � �� ��

e0������� � �,

log 30 = log(10.39 · x0.2136)

log 30 = log 10.39 + log(x0.2136)

log 30 = log 10.39 + 0.2136 · log x

log x =log 30 − log 10.39

0.2136

x = 10log 30−log 10.39

0.2136 ≈ 143.19426. (20)

3��� ���� � �� � � ��� ��� � � /9?0 �/780 � �������

���� ����� � �� ���� � �������� ���������� � ��� ���

/9?0 �� � � � ���� ���������� ���� � ��������� ����������

� � ��� ���/780 ���� ���������� ������� � ��������� ����

�������� � � ��� � �� �� �� �� ��� ��� � ��� �����

��� ��� /9?0�

�� ������� ���� � � �� ������ � ��� �� �� � ����

���� ��������� ��� ����� ���� ��� �� �����

���� � �� ��� � �� � ����������� ��� ������ � � ���

��� ����� � ��� �� ���� � � � � � � �� ������

� ���� ��� �� � �� �� � � �� � ��� � �������� �� ���

�� � ��� �� ��� � ���� � ��� �� ������� �� � ��

�� �� � ����� �� � � ������ � �� ���� �� �� �������

�� ����� �� � � � �� � ������ ��������� �� � � ���

� ��� � ����� ������ � ��� �� ���� � �� ������

�� � �� ���� �� �� ������� �� �� ����� ��� �� � �� ��

�� �� ������ �� �� � �� � � � �� �� ��� �� � �� �� ��

� �� ����� � ��� ����������� ��� �

- �> @: )> B : )

���!"�!���&+�"*�� �� ���� � ������ �& !"(��� (� (���� &

2� ��*�&�����

����!"�!���� �������� ������ �& !"(��� (� (���� & 2� �?

�*�&�����

��$�,� / ����������� ������ � � �� ������&# � (�� �

2 : &2� ��*�&�� ��

��$�+�(!�*���& $�,� / ��� ��������� ���������� ���

����� �� �������� �& 3 ��*�?� � �(*���& 2� ��*�&

�����

���