Đáp án chuyên đề: Phương trình và bất phương trình quy về ... fileTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đáp án chuyên đề:

Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai - Đại số 10

Bài 4.113: a) Ta thấy 2x 2x 3 0 x + + nên phương trình đã cho

2 2

2 2

x 2x 3 3x 2 x x 5 0 5 21x

2x 2x 3 3x 2 x 5x 1 0

+ + = − − + = − = + + = − + + + =

.

b) Phương trình 2 2

2 2

x 2 0 x 2

2x 7x 2 x 2 2x 8x 0

2x 7x 2 x 2 2x 6x 4 0

+ − − + = + − = − + = − − − + =

Phương trình đã cho có bốn nghiệm 0; 1; 2; 4x x x x= = = = .

c) 4, 0x x= − =

d) ĐKXĐ: 1x . Với ĐK đó:

PT2

2 2 2 2 1.

1 1 1 11

x x x x

x x x xx

2 11 0

1 12

01

x

x xx

x

hoặc

2 11 0

1 12

01

x

x xx

x

Giải ra ta có nghiệm của phương trình là 0x và 2x .

Bài 4.114: a) * Nếu x 2 0 x 2 bpt− luôn đúng.

* Nếu x 2

2

2

x 5x 4 x 2bpt

x 5x 4 x 2

− + − − + − +

2

2

x 6x 6 0

x 4x 2 0

− + − +

x 3 3 V x 3 3

2 2 x 2 2

− +

− +

.

Kết hợp với x 2 ta có: 2 x 2 2 V x 3 3 + + .

Vậy nghiệm của bất phương trình : 2 x 2 2

x 3 3

+

+

.

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



b) Bất phương trình 22

2

x 0x 0

x 2x 6 0x x x 6 x

x 6 0

− − − − −

−

6 x 1 7 + .

Vậy nghiệm bất phương trình : 6 x 1 7 + .

c) ( )1

; 5;5

T

= − +

d) 3

0;2

T

=

e) Đặt 2

3 2

3 2

1 1 1 1 1 1, 0 1 3t x t x x x x x

x x x x x x

= − − = − + + = − − +

Đáp số: 1, 0 1x x −

Bài 4.115: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường thẳng y 5m 3= − và đồ thị (C) :

2y x 1 x 3x 2= − − − +

Ta có:

2

2

2

x 4x 3 khi x 2

y x 2x 1 khi 1 x 2

x 2x 1 khi x 1

− + −

= − + − + −

Lập bảng biến thiên ta có

• Nếu 4

5m 3 1 m5

− phương trình vô nghiệm.

• Nếu 4

m5

= phương trình có một nghiệm.

• Nếu 4

m5

phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4.116: PT2 22x 10x 8 x 5x m − + − + =

Xét hàm số ( )( )

( )

22 2

2

x 5x 8 khi x ;1 4;f x 2x 10x 8 x 5x

3x 15x 8 khi x 1;4

− + − += − + − + =

− + −

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Đồ thị hàm số ( ) 2 2f x 2x 10x 8 x 5x= − + − + cắt

đường thẳng y m=43

4 m4

.




Bài 4.117: Bất phương trình 2 22x 3x 2 8x 2x 5m − − + + .

Xét hàm số

)2 14x 5x 2 khi x ; 2;

2y f (x)

111x 2 khi x ;2

2

+ − − − +

= =

+ −

.

Lập bảng biến thiên của hàm số

)2 14x 5x 2 khi x ; 2;

2y f (x)

111x 2 khi x ;2

2

+ − − − +

= =

+ −

Ta có 57

min16

y = − suy ra yêu cầu bài toán 57 57

516 80

m m − −

Bài 4.118: Đặt t x 2 , t 0= − ta có phương trình: 2t 3t 2m 6 0− + − = (*)

a) 2, 6x x= − =

b) Yêu cầu bài toán (* ) có hai nghiệm dương phân biệt

27 8m 0 273 m

2m 6 0 8

= −

− .

Bài 4.119: a) 2, 0x x b) 1m .

Bài 4.120: a) Bpt2 2

12 1 0 2

3 0 3

3 (2 1) 4 5 4 0

xx

x x

x x x x

3x

b) Bpt

2

2 2

1 08

3 07

1 ( 3)

x x

x x

x x x

c) Bpt 2

4 3 04 3 0

3 2 0 3 2 (4 3)

xx

x x x

2 323 4 1

3 314

xx

x




d) Bpt

2

2 2

1 0 43 4 0 3

1 0 1 41

43 4 ( 1)

xxx x

xx

x x x

Bài 4.121: a) Ta xét hai trường hợp

TH 1: 2 12 3 2 0 2,

2x x x x . Khi đó BPT luôn đúng

TH 2:

2

2

12 3 2 0 1 V 2Bpt V 323 0 20 V 3

x x xx x

x x x x.

Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: 1

( ; ] {2} [3; )2

T .

b) ĐK: 1x

* Với 0x ta thấy Bpt luôn đúng

* Với 0 1 1 0x x . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được

2 22

2 2

(1 1)4 (1 1) 4 1 3 8

(1 1) (1 1)

x xx x x x x

x x

Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: [ 1;8)T .

c) Bất phương trình 2( 3) ( 3) 1 1 0x x x x

2 2 2 2( 3)( 1) ( 1) 0x x x x x

2 21 1 3 0x x x (*)

Do 2 21 0x x x x x x

2 2(*) 1 3 8 2 2 2 2x x x .

Vậy 2 2 2 2x là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bài 4.122: a) 2 2

88 0

1 12 1 0 5

2 22 1 (8 ) 18 65 0

xx

bpt x x x

x x x x

b) 22

2 02 6 1 2

2 6 1 0

xbpt x x x

x x




hoặc 22

2 0

2 6 1 2

x

x x x

2

3 7

23 7

2

x

x

x

hoặc 2

323 72 3 0

2

xx

x x x

c) ĐS: 3 5x

d) ĐKXĐ:

3 0

2 8 0 4 7

7 0

x

x x

x

2

2

2

3 2 8 7 3 1 2 2 8 7

2 2 8 7 4 2 22 56

511 30 0

6

bpt x x x x x

x x x x

xx x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 4 5

6 7

x

x

e) ĐKXĐ :

2 0

1 0 0

0

x

x x

x

2 1 2 2 1 2 ( 1)bpt x x x x x x x

1 01 2 ( 1)

0

xx x x

x hoặc 2

1 0

1 4 ( 1)

x

x x x

3 2 3

33 2 3

3

x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 3 2 3

3x




f) ĐKXĐ :

99 2 02

3 9 2 0 0

x x

x x

22

2

2 3 9 2 721 9 2 4

24

x xbpt x x x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là

9 7

2 20

x

x

Bài 4.123: a) ĐKXĐ :4

13

0

x

x:

Với 4

03

x :2

23 4 22 3 4 2 2

x xBPT x x x

x

2 22

2 2 0 1 97 9 0 73 4 2 2

x xx

x xx x x

Suy ra nghiệm của bất phương trình là 9 4

7 3x

Với 1 0 :x bpt luôn đúng

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là

1 0

9 4

7 3

x

x

b) ĐKXĐ:

2

2

2

3 2 04

4 3 01

5 4 0

x xx

x xx

x x

1 2 1 3 2 1 4bpt x x x x x x

Dễ thấy 1x là nghiệm của bpt.

+ Với 1x : Bpt 1 2 1 3 2 1 4x x x x x x

2 3 2 4x x x

Ta có : 2 3 4 4 2 4x x x x x

Suy ra 1x bpt vô nghiệm .

+) Với 4 :x 2 3 2 4bpt x x x




Ta có : 2 3 4 4 2 4, , 4x x x x x x x

Suy ra : 4x bất pt luôn đúng .

Vậy nghiệm của bpt là :1

4

x

x

c) ĐS: 17

5, 3, 53

x x x

d) ĐKXĐ:1 0

1 11 0

xx

x:

Khi đó :4

2 21 1 2 1 416

xbpt x x x x

42 21 2 1 1 0

16

xx x

4221 1 0

16

xx (luôn đúng)

Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x

Bài 4.124: a) 2

24( 1) 1 3 2 2 10 0bpt x x x

ĐS: 1, 3x x

b) 0 1x c) 0 5x d) 45

08

x

e) 9 4

1 0,7 3

x x f) 35

x4

g) 17

3x

h) 2 3 2 29 16 2 23 2 4 )2x xbpt x x x

Chia hai trường hợp và giải ta được 2 4 2

2 , 23 3

x x

Bài 4.125: a) Đặt : 2

2 2 43 6 4, 0 2

3

tt x x t x x

Bất phương trình trở thành 2 4

23

tt

2 3 10 0 0 2( 0)t t t t

Ta có 2 23 6 4 2 3 6 4 4x x x x 23 6 0 2 0x x x




Vậy nghiệm bpt là 2 0x .

b) ĐKXĐ: 3 1x

Đặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3t x x t t x x x x t

Bất phương trình trở thành 22 3 3 1t t

2 52 3 5 0 0 ( 0)

2t t t dot

Ta có 2 53 2

2x x

2

3 13 125

3 24

xx

x x

Vậy nghiệm bpt là 3 1x 2 0x .

c) ĐKXĐ:

2

31

x

x

Đặt 2 2 23 5 2, 0 3 5 2t x x t x x t

Bất phương trình trở thành 2 5 1t t 22 25 1 5 1 2t t t t t

Ta có

2

22

3 5 2 03 5 2 2

3 5 2 4

x xx x

x x

22 13

1 2 11 3 323

xx

xx

x

d) ĐKXĐ: 1x

2 2 31 1 1 1

2bpt x x

31 1 1 1

2x x

Đặt 1, 0t x t

Bất phương trình trở thành 3

1 12

t t (*)




+) Với 1t ta có 3 3

(*) 22 4

t t

Suy ra nghiệm bpt(*) là 1t do đó 1 1 2x x

+) Với 0 1t ta có 3

(*) 22

đúng mọi t

Do đó1

0 1 12

xx

x

Vậy nghiệm bpt là 1x

e) ĐKXĐ : 0x

1 15 2 4

22bpt x x

xx

Đặt 21 1 12 . 2, 2 1

42 2t x x t x t

xx x

Bất phương trình trở thành 2 2

15 2 1 4 2 5 2 0 2

2

tt t t t

t

Vì 2 2t t ta có 1

2 2 4 1 02

x x xx

2 2 3 2 20 0

2 22 2 3 2 2

2 2

x x

x x

Vậy nghiệm bpt là 3 2 2

02

x và 3 2 2

2x .

f) ĐKXĐ: 1, 0x x

Đặt:2

1 1, 0

1

x xt t

x x t

Ta được : 3 2 2

2

12 3 2 3 1 0 1 2 1 0t t t t t t

t

10

2t (vì 0t )




Ta có 1 1 4

0 12 3

xx

x

Vậy nghiệm bpt là 4

13x .

g) ĐKXĐ: 21

1 01

xx

x

+) Với 1x : bpt VN

+) Với 1x :2 2

2

2 2

12252.

1441 1

x xbpt x

x x

4 2

2 2

12252. 0

1441 1

x x

x x

Đặt : 2

2, 0

1

xt t

x, bất phương trình trở thành

2 1225 252 0 ( 0)

144 12t t t dot

Do đó ta có 2

4 2

2

25144 625 625

121

xx x

x

2

4 2

2

25 50 1

16 4144 625 625 0 ( ox 1)25 5

9 3

x xx x d

x x

Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1 7x .

Ta có: PT 1 2 7 2 1 7 1 0x x x x x

1 1 2 7 1 2 0x x x x

1 2 1 7 0x x x

1 2 5

41 7

x x

xx x.

b) ĐKXĐ: 1 3

2 2x

Phương trình đã cho 2 22 (4 4 1)

2 1 3 24

x xx x




2 22 (4 4 1)

4 2 4 4 34

x xx x .

Đặt 2 24 4 3= 4 (2 1) 0 2t x x x t . Ta có phương trình :

2 2 4 2 316 8 (4 ) 8 8 0 ( 8 8) 0t t t t t t t t

20 (n)

( 2)( 2 4) 01 5 (l)

tt t t t

t.

2 2

1

20 4 4 3 0 4 4 3 03

2

xt x x x x

x.

Vậy 1 3;

2 2x x là nghiệm của phương trình đã cho.

c) ĐKXĐ: 5

3x .

Phương trình 10 1 9 4 3 5 2 2 0x x x x

3 30

10 1 9 4 3 5 2 2

x x

x x x x

1 1( 3) 0 3

10 1 9 4 3 5 2 2x x

x x x x (thỏa điều kiện).

Vây 3x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

d) PT 3 21 2 9 0x x x x

22( 2)( 4) 0

1 1

xx x x

x

21( 2) 4 0 2

1 1x x x x

x

Bài 4.127: a) Theo côsi ta có: 2

2 2 12

2

x xx x ;

22 2 3 3

1 3 32

x xx x

Suy ra 2

2 2 2 32 1 3 3

2

x xx x x x

Mà 2 2 3

2.2

x x




Dấu bằng xảy ra <=>x=1. Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1.

b) ĐKXĐ: 2 2 1 0x x

Do 2 2 1 0x x nên 3 314 2x x

3 2 3 214 8 12 6 2 1 0x x x x x x

Suy ra phương trình có nghiệm thì 2 2 1 0 1 2x x x

Thử lại ta thấy phương trình cso nghiệm duy nhất 1 2x .

c) ĐK: 0x . Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: 2

1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3x x x x

Suy ra 2 2

2 1 3 2 1 5x x xx x

.

Đẳng thức xảy ra khi 1x và đó cũng là nghiệm của phương trình.

Bài 4.128: ĐKXĐ: 2

2 3 0

1 0 511 33 0 3

3 5 0

x

xx

x x

x

Phương trình tương đương với 2 22 2 3 1 11 24 2 11 33 3 5x x x x x x x

2 22 2 3 1 11 33 3 5 11 24x x x x x x x

32

2

3 40 149 1682 11 24

2 3 1 11 33 3 5

x x xx x

x x x x x

2

2

2

3x 7 11 242 11 24

2 3 1 11 33 3 5

x xx x

x x x x x

2

2

2 3 711 24 1 0

2 3 1 11 33 3 5

xx x

x x x x x

23

11 24 08

xx x

x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là 3x và 8x .




Bài 4.129: Phương trình (1) ( ) ( ) ( )

22 2

1 0

x 2 1 1 2

x

m x m m x

−

− + + + = −

Đặt 1t x= − , vì 1 0x− nên ta có điều kiện 0t , thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

( ) ( )2 22 1 0 3t m t m m− − + − =

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 0t

TH1: Phương trình (3) có nghiệm 2

1 20 0 0 0 1t t P m m m − .


1 2

1 0' 0

0 0 0 1

0 1 0

m

t t P m m m

S m

−

− = −

.

Kết luận: Với 0;1m thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm

2

1 2

1 00

0 0 0

0 1 0

m

t t P m m

S m

−

− −

(vô nghiệm)

Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 0t


1 20 0 0 0 1t t P m m m − .


1 2

1 00

0 0 0 0

0 1 0

m

t t P m m m

S m

−

= = − = = −

.

TH3: Phương trình (3) có nghiệm 1 2

0 1 00 1

0 1 0

mt t m

S m

= − = = =

− .

Kết luận: Với 0;1m thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 4.130. ĐK x R . Đặt 2 1 1 0t x t suy ra 22 1 1x t , thay vào phương trình (1)

ta được phương trình: 2 2 3 2 0 2t m t m

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 0t

TH1: Phương trình (2) có nghiệm 1 2

20 0 3 2 0

3t t P m m .




TH2: Phương trình (2) có nghiệm

2

1 2

0 16 4 0

0 0 3 2 0 8 68

0 2 0

m m

t t P m m

S m

Kết luận: với 2

; 8 68;3

m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

2

1 2

0 16 4 0

0 0 3 2 0 8 68

0 2 0

m m

t t P m m

S m

Kết luận: Với 8 68;m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:


2

1 2

0 16 4 02

0 0 3 2 03

0 2 0

m m

t t P m m

S m

.


2

1 2

0 16 4 00

0 2 0

m mt t

S m (vô nghiệm)

Kết luận: với 2

3m thì pt (1) có nghiệm duy nhất.


Documents

Đáp án chuyên đề: Phương trình và bất phương trình quy về ... fileTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí