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“INTRODUZIONE ALLA FISICA”
PROF. FRANCESCO DE PALMA
Università Telematica Pegaso Introduzione alla Fisica
Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente
vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore
(L. 22.04.1941/n. 633)
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Sommario
GRANDEZZE FISICHE .................................................................................................................................................. 3
UNITÀ DI MISURA ............................................................................................................................................................ 3 PREFISSI .......................................................................................................................................................................... 5 ANALISI DIMENSIONALE ................................................................................................................................................. 5 CONVERSIONI DI UNITÀ .................................................................................................................................................. 6
SISTEMI DI COORDINATE .......................................................................................................................................... 7
I VETTORI ....................................................................................................................................................................... 8
DEFINIZIONE DELLE QUANTITÀ VETTORIALI ................................................................................................................... 8 PROPRIETÀ DEI VETTORI ................................................................................................................................................. 8
PRODOTTI TRA VETTORI ........................................................................................................................................ 10
PRODOTTO TRA UNO SCALARE ED UN VETTORE ............................................................................................................ 10 PRODOTTO SCALARE ..................................................................................................................................................... 10 PRODOTTO VETTORIALE ............................................................................................................................................... 11 ESEMPIO 1 .................................................................................................................................................................... 12 ESEMPIO 2 .................................................................................................................................................................... 12
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................ 14
Università Telematica Pegaso Introduzione alla Fisica
Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente
vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore
(L. 22.04.1941/n. 633)
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Grandezze Fisiche Unità di misura
La misura in fisica e ingegneria è la base di ogni descrizione ed analisi della natura, poiché
grazie ad essa è possibile attribuire ad alcune caratteristiche dei corpi, dei valori numerici. In tal
modo è possibile applicare le conoscenze matematiche per risolvere problemi complessi o
semplicemente trasmettere tali informazioni ad altri.
Affinché ciò avvenga è necessario definire delle grandezze di base con delle unità di misura
standard. Dagli anni ‘60 esiste il Sistema Internazionale (SI), nel quale ad alcune grandezze
fondamentali sono associate unità di misura di base e simboli, come quelle elencate nella Tabella 1.
Tabella 1: Alcune grandezze fondamentali nel SI.
Quantità Unità di misura Simbolo
Lunghezza Metro m
Tempo Secondo s
Massa Kilogrammo Kg
Molte altre variabili che vedremo in seguito sono quantità derivate da queste o da altre
grandezze fondamentali. La scelta di quali siano le grandezze fondamentali e quali siano quelle
derivate è arbitraria ed è generalmente motivata da ragioni storiche o di semplicità.
Sebbene storicamente i valori delle unità di misura fossero valutati in modo differenti (ad
esempio la lunghezza era collegata al diametro terrestre) ad ora i loro valori sono:
un kg è pari al peso di un kg campione conservato a Parigi (link del BIPM
ufficiale)
un metro è lo spazio percorso in 1/299 792 458 di secondo dalla luce, (link
del BIPM ufficiale)
un secondo è pari a 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente
alla transizione tra due livelli iperfini, dello stato fondamentale dell'atomo di
cesio-133 (link del BIPM ufficiale).
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Le definizioni ufficiali sono mantenute sul sito dell’agenzia internazionale dei pesi e misure
(BIPM).
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Prefissi
Nel caso in cui si vogliano indicare valori molto distanti dall’unità nel SI esistono prefissi
che consentono di variare notevolmente il valore indicato.
Nella Tabella 2 sono indicati i più comuni.
Tabella 2:Prefissi.
Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo
109 giga- G 10
-3 milli- m
106 mega- M 10
-6 micro-
103 kilo- k 10
-9 nano- n
10-2
centi- c 10-12
pico- p
Esempio:
Va fatta particolare attenzione nella conversione se stiamo considerando grandezze derivate,
ad esempio per una superfice di area pari a un millimetro quadro, si ha:
Analisi dimensionale
Le dimensioni delle grandezze sono anche molto importanti per verificare se un’equazione è
corretta, tramite l’analisi dimensionale. Entrambi i termini di un equazione devono avere la stessa
unità di misura. Ad esempio, vedremo che la seguente formula esprime uno spostamento ed è
dimensionalmente corretta:
Poiché vedremo che l’accelerazione è una lunghezza divisa un tempo al quadrato
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Conversioni di unità
Può essere necessario variare le unità di misura date in un determinato problema affinché
siano compatibili, ad esempio nel caso si abbiano valori di una stessa quantità (ad esempio un
tempo) in unità di misura di diversi sistemi (ad esempio SI e non). Ciò si può fare moltiplicando il
valore per un fattore di conversione. Per un intervallo di tempo ad esempio, si ha che il fattore di
conversione tra minuti e secondi risulta:
Ovviamente tali rapporti differiscono dai semplici rapporti 1/60 o 60/1 poiché hanno
associate delle unità di misura.
Ad esempio:
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Sistemi di coordinate
Figura 1: Coordinate cartesiane
Per descrivere la posizione di un punto nello spazio è opportuno introdurre il concetto di
sistema di coordinate. In 2 dimensioni il sistema di coordinate cartesiane (x,y) associa
univocamente ad ogni punto del piano una coppia ordinata (quindi in genere il punto di coordinate
) di numeri che lo individuano su due assi perpendicolari x e y, vedi Figura 1.
Le coordinate cartesiane non sono le uniche che è possibile utilizzare per descrivere i punti
in un piano, ad esempio, esistono anche le coordinate polari (Figura 2). In tale sistema di
riferimento a ciascun punto corrisponde una coppia ordinata di valori ; dove r è la distanza dal
polo O e è l’angolo formato dalla congiungente del punto con O e l’asse x. L’angolo è positivo
se misurato in verso antiorario dal semi-asse positivo delle x.
Le relazioni tra le coordinate cartesiane di un punto e le sue coordinate polari sono espresse
nelle equazioni seguenti:
Figura 2: Coordinate polari
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Le coordinate cartesiane possono essere generalizzate al caso in 3 dimensioni, aggiungendo
un ulteriore asse perpendicolare al piano su cui giacciono x e y. In tal caso ciascun punto è
individuato univocamente da una terna ordinata (x,y,z).
Le coordinate polari possono essere generalizzate in 3 dimensioni o aggiungendo la distanza
dal polo lungo un asse z perpendicolare al piano su cui giacciono x e y, in tal modo sono dette
coordinate cilindriche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna . Altrimenti
aggiungendo l’angolo formato dalla congiungente del punto con O e l’asse z, in tal modo sono dette
coordinate sferiche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna .
I vettori Definizione delle quantità vettoriali
Le quantità osservabili in fisica possono essere distinte in scalari o vettoriali. Una quantità è
scalare se è descritta completamente dalla suo valore e dalla sua unità di misura (esempio
).
Una quantità è, invece, vettoriale se è descritta da un modulo, da una direzione e da un
verso, vedi Figura 3. Le componenti di un vettore lungo gli assi x e y risultano pari a:
dove è il modulo del vettore, pari alla sua lunghezza, ed in alcuni casi può
essere indicato semplicemente con .
Figura 3: Esempio di vettore in un piano e sue componenti lungo gli assi.
Proprietà dei vettori
Abbiamo visto che scalari e vettori sono due tipi di quantità differenti, ora vogliamo vedere
alcune proprietà dei vettori e delle loro operazioni.
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Due vettori si dicono uguali se hanno stessa direzione, verso e modulo.
La somma dei vettori è:
sia commutativa:
che associativa:
Il metodo grafico della somma di due vettori consiste nel posizionare il secondo vettore al
termine del primo, il vettore somma è pari al vettore congiungente l’inizio del primo vettore con la
fine del secondo come illustrato in Figura 4.
Figura 4: rappresentazione grafica della somma di due vettori
Se i vettori sono espressi nelle loro componenti lungo gli assi x e y avremo la seguente
relazione tra le componenti dei vettori sommati ed il vettore somma:
L’opposto di un vettore è un vettore con lo stesso modulo e direzione ma verso opposto, che
verifica ovviamente la relazione , come espresso in Figura 5.
Figura 5:Vettore opposto
I vettori di modulo uguale a uno sono anche detti versori o vettori unitari, e spesso sono
indicati con un , pertanto si ha
La differenza tra due vettori è pari alla somma tra un vettore e l’inverso del secondo, ovvero
. Graficamente si può ottenere il vettore differenza ponendo l’origine di
entrambi i vettori nello stesso punto ed unendo la fine del secondo vettore con il primo, come
evidenziato in Figura 6.
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Figura 6: rappresentazione grafica della differenza di due vettori
Prodotti tra vettori Prodotto tra uno scalare ed un vettore
Oltre alle operazioni di somma e sottrazione tra vettori è possibile avere un prodotto misto
tra un vettore ed uno scalare. Moltiplicando uno scalare per un vettore, il vettore risultante avrà la
direzione del vettore e il modulo dato dal prodotto del modulo del vettore per lo scalare. Il verso
sarà concorde al vettore se lo scalare è positivo, altrimenti sarà discorde. Si ha quindi:
In Figura 7 ci sono alcuni esempi grafici, per diversi valori dello scalare .
Figura 7: Rappresentazione del prodotto tra un vettore e uno scalare
Prodotto scalare
Esistono due tipi di prodotto tra due vettori:
Il prodotto scalare: il cui risultato è uno scalare
Il prodotto vettoriale: il cui risultato è un vettore
Il prodotto scalare di due vettori risulta pari a
dove è l’angolo compreso trai i due vettori come indicato in Figura 8.
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Il prodotto scalare rappresenta il prodotto del modulo di un vettore per la proiezione
dell’altro vettore sulla sua direzione; se l’angolo è zero la proiezione è massima poiché
, altrimenti se l’angolo è di 90° la proiezione e zero poiché . In modo analogo varia il
prodotto scalare.
Chiamando , rispettivamente i versori degli assi x e y, le componenti di un vettore
possono essere espresse tramite dei prodotti scalari:
Figura 8: rappresentazione grafica di due vettori e dell’angolo tra loro compreo
Prodotto vettoriale
Dati due vettori e il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale si indica:
Il modulo del vettore risulta pari a:
con angolo pari all’angolo minore tra i due vettori (a differenza del prodotto scalare in tal
caso è importante quale angolo si considera, poiché ). Tale modulo è
massimo per =90° e nullo per =0°.
La direzione del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale è perpendicolare al piano che
contiene i vettori (pertanto risulterà ortogonale ad entrambi), il verso lo si ottiene con la
regola della mano destra. Allineate l’indice con il vettore ed il medio con il pollice vi
indicherà il verso di .
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Va prestata attenzione all’ordine dei vettori, nel valutare il verso del vettore finale, poiché, il
prodotto vettoriale non è commutativo. Infatti si ha:
Esempio 1
Dati i vettori e di moduli e tra cui vi è l’angolo valutare i
vettori e
In entrambi i casi il modulo del vettore risultante sarà:
Assumendo che i due vettori e giacciano sul piano x-y possiamo rappresentare i vettori
prodotto come rappresentato nella Figura 9.
Figura 9: rappresentazione grafica dei vettori dell’esercizio 1
Esempio 2
Dati due vettori di modulo 3 e 5 per quali angoli il prodotto scalare risulta 7,5 e 12,99?
Per quali angoli tali valori sono pari al modulo del prodotto vettoriale?
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Il prodotto scalare risulta pari al valore dato per i seguenti valori di :
Il modulo del prodotto vettoriale risulta pari al valore dato per i seguenti valori di :
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Bibliografia
P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA
Agenzia internazionale dei pesi e delle misure, http://www.bipm.org/