Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA
Slično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ...
- sa a obeležavamo dužinu osnovne ivice
- sa H obeležavamo dužinu visine piramide
- sa h obeležavamo dužinu visine bočne strane ( apotema)
- sa s obeležavamo dužinu bočne ivice
- sa B obeležavamo površinu osnove (baze)
- sa M obeležavamo površinu omotača
- omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotaču
ima 3 takve strane, četvorostrana - 4 itd.
- ako u tekstu zadatka kaže jednakoivična piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bočna ivica jednake , to
jest : a = s
- ako u tekstu zadatka ima reč prava – to znači da je visina piramide normalna na ravan osnove ili ti ,
jednostavnije rečeno , piramida nije kriva
- ako u tekstu zadatka ima reč pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao:
jednakostraničan trougao, kvadrat, itd.
Dve najvažnije formule za izračunavanje površine i zapremine su:
P B M za površinu i
V 1
BH za zapreminu 3
2
BB1
B1 H
B B1
a s
PRAVA PRAVILNA TROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
P = B+B1+ M B=
4
a
a 2
B1= 1
4 M = 3 a a1 h
2
V= H
(B+B1+ ) ili V = 3H
( a2+a 2+ aa )
3 12 1 1
a 2
a a 2
a
((a a1
) 3 )2 H
2 s2
a
((a a1) 3
)2 H
2 h
2
1 + h2= s2 3 6 2
Visina dopunske piramide je: x= a
a1
a1
a1
1
a 2
a1 1
-a
a s
1
r a o 1 1
H H
3
PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
a
P = B+B1+ M B=a2 B1= a12 M = 4
a a1 h 2
= 2(a+a1)h
V= H
(B+B1+ 3
) V= H
(a2+a12+ aa1)
3
a1
a
( a a
1 )2 h2 s2 2
osni presek: a1
a
(a a1 )2 H 2 h2
2
a
( d d1 )2 H 2 s2
2
a
dijagonalni presek: d1
d d1
2
Ako sa x obeležimo visinu dopunske piramide , onda je x=
= a1 H
a a1
-a
a1
-a
-2
H
BB1
-a
a1
-a
B1 H
B B1
4
PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
a
6a 2
a a P = B+B1+ M B=
4 B1= 1
4 M = 6 1 h =3(a+a1)h
2
V= H
(B+B1+ 3
) ili V= H 3
( a2+a12+ aa1)
2
a
( a a
1 )2 h2 s2 2
a
(a a )2 H 2 s2
a
( (a a
1 ) 3
)2 H 2 h2 2
Visina dopunske piramide je i ovde: x=
a 3
a 3
6a 2 3
BB1
B1 H
B B1
5
a/2
Zadaci
1) Date su osnovna ivica a 10cm i visina H 12cm pravilne četvorostrane
piramide. Odrediti njenu površinu i zapreminu.
Rešenje:
a 10cm
H 12cm
P ?
V ?
a
Prvo ćemo naći visinu h :
a
2
h2 H 2 2
h2 122 52
h2 169
P B M
P a2 2ah
P 102 2 10 13
P 100 260
V
BH
3 a2H
V 3
102 12 V
3 V 100 4
h 13cm
P 360cm2 V 400cm3
6
2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odrediti zapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 12,5cm.
Rešenje:
a 12cm
b 9cm
s 12,5cm
V ?
Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze)
d 2 a2 b2
d 2 122 92
d 2 144 81
d 2 225
d 15cm
Sada ćemo naći visinu H iz trougla.
d
2
H 2 s2 2
H 2 12, 52 7, 52
H 2 100
H 10cm
V
1 BH
3
V 1
abH 3
V 1
12 9 10 3
V 360cm2
7
21 7 8 6
hb
b
3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivica naspram srednje po veličini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je 16cm. Izračunati površinu i zapreminu piramide.
Rešenje:
Nadjimo najpre površinu baze preko Heronovog obrasca.
a 13cm
b 14cm s a b c
13 14 15
21
c 15cm
B
2 2
84cm2
Nama treba dužina srednje po veličini visine ( hb ) osnove.
C
P b hb
2
A B
84 14 hb
2 84 7hb
hb 12cm
Naći ćemo dalje visinu bočne strane h .
H=16cm h
c
hb b a
h2 H 2 h
h2 162 122
h2 256 144
h2 400
h 20cm
Površina piramide je jednaka zbiru površina ova četiri trougla!
P B a H
c H
bh V
1 BH
2 2 2 3
P 84 1316
15 16
14 20 V
1 84 16
2 2 2 3 P 84 104 120 140
P 448cm2
V 448cm3
s(s a)(s b)(s c)
8
1 a2 3
18 9 2
4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice a
Rešenje:
Tetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida.
V 1
BH 3
H Izvucimo trougao:
r a 3
3 a 3
2 a 2 3 9a 2 3a 2 6a 2
H 2 a 2 a 2
3 9 9 9
Dakle:
H
V
3
V
V
36
V 12
PAZI: 3
r0
a 6
a 6
3 4
a3 18
36
a3 3 2
a3 2
9
a3
12V
3 6 2V
a 6
5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V.
Rešenje:
Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka
V i izraziti a 12
a3 12V
2
a3
a3 6 2V
a
a
Kako je
H to je
H 3
H
3
H 3 3
H 26 35 3
V 3
3 6 6 2 3 V 6
a
a H
a
a
10
6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 7m i 5m i dijagonala 9m.
Rešenje:
a 7m
a1 5m
D 9m
V ?
a
Da bi našli visinu H moramo uočiti dijagonalni presek.
a 1 2
x a
x 7
x 6
2 a1 2
2
2 5 2
2
2m
D2 H 2 x2
H 2 D2 x2 H 2 92 6 2
2
H
H 2 81 72 2
V 3
V H
B B1
a2 a2 aa H 9 3
1 1
H 3m V
3 72 52 7 5 3
V 109m3
BB1
a1 1
11
BB1
7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 2m i 1m i bočna ivica 2m
Rešenje:
a 2m a1
a1 1m
H 2 s2 (a a )2 s 2m
H
a
V H B B
a a1
H 2 22 12
H 2 3
H
3 1
H 6a2 3 6a2 6aa V 1 1
3 4 4 4
V 3
6 3
22 12 2 1 3 4
V 3
7 2
V 21
2
V 10, 5m3
12
a 3
6 3
a1 3
8) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bočna strana nagnuta je prema većoj osnovi pod uglom od 60o . Izračunati zapreminu te
piramide.
Rešenje:
a 6cm
a1 2cm
PAZI: Kad se u zadatku kaže bočna strana pod nekim uglom, to je ugao izmedju visina bočne strane i visine osnove!
Izvucimo ''na stranu'' trapez (pravougli)
6
H H
a 3 x 6
60o
x 2 3
4 3
6 6
tg60o H
H x tg60o 2 3
x 3
V 2 3 62 22 6 2
2cm
3 4
V 3 36 4 12
6
V 3
52 6
V 26
3
3 m3
a1 3
2 3
1
ru
13
H a 2 3 b2 ab 3
9) Bočne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom α. Osnovne ivice piramide su a i b
piramide.
Rešenje:
(a b) . Odrediti zapreminu
Izvucimo obeleženi trapez, iz njega ćemo naći visinu!
s
H
a b 3
a 3
H H
x
a 3
3
x a
3
b
3
3
(a b) 3
3 3
tg H
x
H xtg (a b)
3
3
tg
V 3 4 4 4
V 1 (a b) 3
tg 3
(a 2 b2 ab) 3 3 4
V (a b)tg
(a 2 b2 ab) 12
Kako je (a b)(a2 b2 ab) a3 b3
V (a3 b3)tg
12