OtimizacaoONS-parte1

Celso Carneiro Ribeiro

Introduo aos Modelos e Mtodos de Otimizao em Pesquisa Operacional

Parte I Programao Linear

2004

Abril-agosto 2004 Modelos e mtodos de otimizao ONS 2

Organizao

Parte I: Programao linear (5 aulas) Parte II: Programao inteira (5 aulas) Parte III: Heursticas (4 aulas) Parte IV: Programao dinmica (2 aulas)


Parte I Programao linear Origens Motivao Formulao de problemas Soluo grfica Forma cannica Geometria da PL Mtodo Simplex Dualidade Anlise de sensibilidade Laboratrio de programao linear


Origens

Fourier (1827): mtodo para resolver sistemas de inequaes lineares considerado como o primeiro estudo de programao linear Kantorovich (1939): formulao de problemas de

programao linear em alocao tima de recursos em economias centralizadas Koopmans (1957): formulao de problemas de

programao linear em economia Kantorovich e Koopmans receberam o prmio Nobel de

Economia em 1975.


Origens

von Neumann (1928): relao entre teoria dos jogos e dualidade em programao linear II Guerra Mundial: formulao e soluo de modelos de

programao linear em problemas de planejamento de operaes militares, envolvendo aprovisionamento de suprimentos, programao de manuteno e treinamento de pilotos, distribuio de navios pelas foras no Pacfico, localizao de radares na costa da Inglaterra e a estratgia de caa aos U-boats no Mar Bltico Pesquisa Operacional: Operations Research


Origens

Dantzig (1947): descoberta do mtodo Simplex para a soluo de problemas de programao linear, coincidindo com o aparecimento dos primeiros computadores e viabilizando sua aplicao a problemas reais Hitchcock (1941): problema de transporte Kachian (1979): mtodo do elipside (polinomial) Karmarkar (1984): mtodo de pontos interiores


Origens

Ford e Fulkerson, anos 50: fluxos em redes Problema do caminho mais curto: dados um grafo (rede) e

distncias associadas a seus arcos, encontrar o caminho mais curto entre dois ns especficos (Dijkstra, Floyd, Belmann)

Problema do fluxo mximo: dados um grafo (rede) e capacidades associadas a seus arcos, encontrar o maior fluxo que pode ser enviado de um n a outro

Problema de fluxo mnimo: dados um grafo (rede), capacidades e custos associados a seus arcos e ofertas e demandas associadas a seus ns, encontrar um fluxo de custo mnimo que satisfaa ofertas, demandas e restries de capacidade


Origens

Primeira tentativa de resolver o problema do caixeiro viajante (Dantzig, 1954): 49 cidades (Simplex + cortes) Gomory, anos 60: problemas de programao linear

inteira (as variveis s podem assumir valores inteiros) Anos 60: primeiros resolvedores de programao linear Atuais resolvedores podem tratar de forma exata

problemas com algumas centenas de milhares de variveis e restries: XPRESS, CPLEX, LINDO, EXCEL, etc. Maior TSP resolvido atualmente: 15.112 cidades

(110 processadores, 26 anos de processamento) http://www.math.princeton.edu/tsp/d15sol/


Bibliografia

G. Dantzig, Linear programming and extensions, 1963 V. Chvatal, Linear progamming, 1983 M. Bazaraa, J. Jarvis e H. Sherali, Linear programming

and network flows, 1990 D. Bertsimas e J. Tsitsiklis, Introduction to Linear

Optimization, 1997 Transparncias disponveis em:

http://www.inf.puc-rio.br/~celso/grupo_de_pesquisa.htm


Motivao

Uma empresa produz dois tipos de fsforos. Esta empresa tem um lucro de 3 (x100 u.m.) em cada caixa de fsforos longos e de 2 (x100 u.m.) em cada caixa de fsforos curtos. Fsforos dos dois tipos so feitos por uma nica mquina, que pode produzir 9 (x100.000) caixas de fsforos por ano. Para produzir e vender os fsforos, a empresa precisa de madeira e de caixas. So necessrios 3 m3 de madeira para cada caixa de fsforos longos e 1 m3

de madeira para cada caixa de fsforos curtos.


Motivao

A empresa possui 18 (x100.000) m3 de madeira para usar durante o prximo ano. Dispe ainda de 7 (x100.000) caixas para fsforos longos e 6 (x100.000) caixas para fsforos curtos. A empresa deseja maximizar seus lucros com a venda de fsforos no prximo ano, sabendo que toda sua produo pode ser vendida. Como formular e resolver este problema atravs de um

modelo matemtico?


Motivao

Variveis de deciso:x1: nmero de caixas (x100.000) de fsforos longosx2: nmero de caixas (x100.000) de fsforos curtos


Motivao

Objetivo da empresa:

funo objetivo

Lucro em uma caixa de fsforos longos = 3 (x100)Lucro em x1 caixas de fsforos longos = 3 x1 (x100)Lucro em x2 caixas de fsforos curtos = 2 x2 (x100)Lucro total a ser maximizado = 3 x1 + 2 x2

A funo objetivo sozinha define a programao da produo?


Motivao

Restries:

Quantidade de madeira disponvel:

Capacidade mxima anual de produo da mquina:x1 + x2 9 (x100.000)

3x1 + x2 18 (x100.000)Nmero mximo de caixas disponveis:

x1 7 (x100.000)x2 6 (x100.000)

No-negatividade: x1 0 e x2 0


Motivao

Problema de programao linear:

0,67

1839

23

21

2

1

21

21

21

++

+

xxxx

xxxx

xx:a sujeito

maximizar

Programao linear: todas as relaes entre variveis so lineares (funo objetivo e restries)

restrio (1)

restrio (2)

restrio (3)

restrio (4)


Motivao

Como representar no plano uma desigualdade?

x1

x2 x1 0


Motivao


x1

x2

x2 11


Motivao

Como representar no plano uma igualdade?

x1

x2

x1 + x2 = 11

1


Motivao

x1

x2


1

1

x1 + x2 1


Motivao

Como resolver aquele problema de programao linear? Resolver: determinar os valores timos das variveis de

deciso Soluo grfica: mtodo mais simples para problemas com

duas variveis apenas Representar e tratar o problema no plano


Motivao

Restries de no-negatividade:


Motivao

No-negatividade e restries (1) a (4): regio vivel

A restrio (3) desnecessria ou redundante.

0,67

1839

23

21

2

1

21

21

21

++

+

xxxx

xxxx

xx:a sujeito

maximizar

restrio (1)

restrio (2)

restrio (3)

restrio (4)


Motivao

Maximizao da funo objetivo:

21 23 xx +maximizar

normal=(3,2)


Motivao

Maximizao da funo objetivo:

21 23 xx +maximizar

023 21 =+ xx

1223 21 =+ xx

5,2223 21 =+ xx

5,421 == xx(mximo)

021 == xx(mnimo)


Motivao

Visualizao do modelo em trs dimenses:

21 23 xx +=z


Motivao

Extenso do modelo com uma restrio adicional: devido a restries contratuais, a empresa deve fornecer um mnimo de 5 (x100.000) caixas de fsforos no prximo ano.

x1 + x2 5 (x100.000)


Motivao

Novo modelo de programao linear:

0,5

67

1839

23

21

21

2

1

21

21

21

+

++

+

xxxx

xx

xxxx

xx:a sujeito

maximizar

restrio (1)

restrio (2)

restrio (3)

restrio (4)

restrio (5)


Motivao

Nova regio vivel:

0,5

67

1839

23

21

21

2

1

21

21

21

+

++

+

xxxx

xx

xxxx

xx:a sujeito

maximizar

restrio (1)

restrio (2)

restrio (3)

restrio (4)

restrio (5)


Formulao de problemas

Princpios bsicos da programao linear: Proporcionalidade: se o valor de uma varivel multiplicado por

uma constante, sua contribuio para a funo objetivo e para cada restrio tambm multiplicada por esta mesmaconstante.

Aditividade: o custo total a soma dos custos individuais, assim como o valor total de uma restrio a soma dos valores individuais de cada atividade.

Divisibilidade: o valor de cada varivel pode assumir qualquer valor fracionrio.



(I) Problema das ligas metlicas: Uma metalrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela a seguir ilustra a proporo de cada material na mistura para a obteno das ligas passveis de fabricao, assim como a disponibilidade de cada matria prima (em toneladas) e os preos de venda por tonelada de cada liga. Qual deve ser a quantidade produzida de cada liga?



5.0003.000Preo

15 ton.0,50,25Chumbo

11 ton.0,30,25Zinco

16 ton.0,20,5Cobre

DisponibilidadeLiga 2Liga 1



Variveis de deciso:x1: quantidade produzida da liga 1 (em toneladas)x2: quantidade produzida da liga 2 (em toneladas)



Funo objetivo:maximizar 3.000 x1 + 5.000 x2 Disponibilidade das matrias primas:

0,5 x1 + 0,2 x2 16 cobre0,25 x1 + 0,3 x2 11 zinco 0,25 x1 + 0,5 x2 15 chumbo Todas as quantidades produzidas so no-negativas:

x1, x2 0



(II) Problema da dieta: Este problema tem diversas verses, aborda-se aqui a mais simples. Suponha que uma dieta alimentar est restrita a leite desnatado, carne magra, peixe e salada verde. Os requisitos nutricionais so expressos em quantidades mnimas (em miligramas) das vitaminas A, C e D. A tabela a seguir resume a quantidade disponvel de cada vitamina em cada alimento, a necessidade diria de cada vitamina e o custo de cada alimento. Determine uma dieta de custo mnimo que satisfaa as necessidades alimentares.



11,542Custo

250 mg80 mg10 mg70 mg80 mgD

70 mg30 mg10 mg20 mg50 mgC

11 mg20 mg10 mg2 mg2 mgA

Requisito mnimo

Salada (100g)

Peixe (kg)

Carne (kg)

Leite (litro)

Vitamina

(slide 178)



Variveis de deciso:xi: quantidade ingerida do alimento i {l, c, p, s} Funo objetivo:

minimizar 2 xl + 4 xc + 1,5 xp + xs Restries:

2 xl + 2 xc + 10 xp + 20 xs 1150 xl + 20 xc + 10 xp + 30 xs 7080 xl + 70 xc + 10 xp + 80 xs 250xl, xc, xp, xs 0



(III) Problema de capitalizao de investimentos: Um projeto de construo estadual exige recursos financeiros ao longo dos prximos quatro anos de 2 milhes, 4 milhes, 8 milhes e 5 milhes, respectivamente. Assume-se que todos os recursos so necessrios e recebidos no incio do ano. A administrao estadual decide vender bnus para cobrir as demandas anuais de recursos. Todos estes bnus sero resgatados numa certa data futura distante, independentemente da data de sua emisso. As taxas anuais de juros projetadas para os prximos quatro anos so 7%, 6%, 6,5% e 7,5%, respectivamente.



O pagamento dos juros comea um ano aps o fim do projeto e continua ao longo de 20 anos, quando os bnus so resgatados. Durante este perodo, as taxas de juros a curto prazo (o que a administrao pode receber sobre depsitos) so estimadas em 6%, 5,5% e 4,5% (a administrao no pretende investir em depsitos de curto prazo ao longo do quarto ano). Qual deve ser a estratgia tima da administrao para vender bnus e fazer depsitos de curto prazo para poder completar seu projeto de construo?



Variveis de deciso:xi: valor dos bnus vendidos no incio do ano i=1,...,4Quando bnus so vendidos, uma parte dos recursos apurados so aplicados em depsitos de curto prazo para serem usados nos anos seguintes, enquanto o restante usado no projeto de construo.yi: valor aplicado em depsito de curto prazo no incio do ano i=1,...,3



Restries:A diferena entre o valor apurado com a venda de bnus no ano 1 e o valor aplicado em depsito de curto pazo neste ano deve ser suficiente para cobrir os recursos necessrios para o projeto neste ano:

x1 y1 2Esta restrio equivalente igualdade

x1 y1 = 2,j que sobras de recursos sero sempre aplicadas em depsitos de curto prazo.



Considera-se agora o incio do segundo ano. Alm dos bnus vendidos e dos depsitos de curto prazo efetuados, deve-se considerar o resgate e os juros do depsito de curto prazo efetuado no ano 1:

1,06y1 + x2 y2 = 4Nos anos seguintes:

1,055y2 + x3 y3 = 81,045y3 + x4 = 5

Restries de no-negatividade: x1, x2, x3, x4, y1, y2 0



Objetivo da administrao: desconsiderando-se a taxa de inflao a cada ano, minimizar o valor total pago de juros ao longo dos 20 anos subseqentes a cada venda de bnus

Juros dos bnus vendidos no ano 1: 20 x 0,07 x1Juros dos bnus vendidos no ano 2: 20 x 0,06 x2Juros dos bnus vendidos no ano 3: 20 x 0,065 x3Juros dos bnus vendidos no ano 4: 20 x 0,075 x4



Modelo de programao linear completo:

0,,,,,,5045,1

8055,1406,1

2

)075,0(20)065,0(20)06,0(20)07,0(20

3214321

43

332

221

11

4321

=+

=+=+

=

+++

yyyxxxxxy

yxyyxy

yx

xxxx:a sujeito

minimizar



(IV) Problema de planejamento da produo: Uma empresa fabrica n produtos usando m matrias primas. Seja bi a quantidade disponvel da matria prima i=1,...,m. Cada unidade do produto j=1,...,n requer aij unidades da matria prima i=1,...,m para sua produo e resulta em um lucro cjpor unidade produzida. Qual deve ser a quantidade produzida de cada produto de forma a maximizar o lucro da empresa? Variveis de deciso:

xj: quantidade produzida do produto j=1,,n



Modelo:

0,...,,...

.........

...

21

221

222221

112121

2211

+++

++++++

+++

n

mnmnm

nn

nn

nn

xxxbxaxax

bxaxaxbxaxax

xcxcxc

m

21

11

a

a

a

: a sujeito

maximizar



(V) Problema de transporte: Uma empresa produz um determinado produto em m fbricas distintas e afastadas, para atender a demanda de n cidades diferentes. A capacidade de produo da fbrica i no mximo igual a ai, i=1,...,m. A demanda da cidade j igual a bj, j=1,..,n. Sabendo-se que o custo de envio de uma unidade do produto da fbrica i para a cidade j igual a cij, determinar a quantidade que deve ser enviada de cada fbrica para cada cidade, de modo a minimizar os custos de transporte desta empresa.



1

m

2

a1

a2

am

1

n

2

b1

b2

bn

11

cmn

c

Variveis de deciso:xij: quantidade enviada da fbrica i para a cidade j



Modelo:

njmixbxxx

bxxx

axxx

axxx

xcxcxcxc

ij

nmnnn

m

mmnm

n

mnmnmmnn

,...,1;,...,10...

......

......

......

.........

21

112111

2

111211

11111111

===+++

=+++

+++

+++

++++++

: a sujeito

minimizar

m1



(VI) Problema de planejamento de capacidade: Um estado deseja fazer seu planejamento de capacidade instalada. A previso de demanda de capacidade igual a dt MW para cada ano t=1,...,T. A capacidade existente em usinas a leo e que estar disponvel em cada ano t=1,...,T igual a et. H duas alternativas possveis para a expanso de capacidade: usinas nucleares e usinas a carvo. H um custo de capital igual a ct por MW de usinas a carvo que tornam-se disponveis no ano t. O custo de capital correspondente para usinas nucleares nt. A capacidade



em usinas nucleares no pode ser superior a 20% da capacidade total instalada. Usinas a carvo tm vida til de 20 anos, enquanto usinas nucleares tm vida tl de 15 anos. Deseja-se planejar a expanso de custo mnimo. Variveis de deciso:

xt: capacidade instalada em usinas a carvo disponibilizada no incio do ano tyt: capacidade instalada em usinas nucleares disponibilizada no incio do ano t



Funo objetivo: custo da expanso de capacidade:

Capacidade instalada em usinas a carvo disponibilizada no incio do ano t=1,...,T:

Capacidade instalada em usinas nucleares disponibilizadano incio do ano t=1,,T:

=

+T

ttttt ynxc

1)(minimizar

=

=t

tsst xw

}19,1max{

=

=t

tsst yz

}14,1max{



Atendimento demanda no ano t=1,...,T:

Frao da capacidade instalada em nucleares no ano t=1,...,T:

tttt dezw ++

2,0++ tttt

ezwz

02,02,08,0 ttt ewz



0,2,02,08,0

0

0

)(

}14,1max{

}19,1max{

1

+=

=

+

=

=

=

tt

ttt

tttt

t

tsst

t

tsst

T

ttttt

yxewz

edzw

yz

xw

ynxcminimizar

Tt ,...,1=

Tt ,...,1=

Tt ,...,1=Tt ,...,1=Tt ,...,1=

Modelo:



(VII) Problema de plantio: Uma cooperativa agrcola opera trs fazendas. A produo total de cada fazenda depende da rea disponvel para o plantio e da gua para irrigao. A cooperativa procura diversificar sua produo e vai plantar este ano trs culturas em cada fazenda: milho, arroz e feijo. Cada cultura demanda uma certa quantidade de gua. So estabelecidos limites de rea plantada para cada cultura. Para evitar concorrncia entre os cooperados, acordou-se que a proporo de rea cultivada seja a mesma para cada fazenda. Determinar a rea plantada de cada cultura em cada fazenda de modo a otimizar o lucro da cooperativa.



9503503

2.2006502

1.8004001

gua (litros)rea (acres)Fazenda

1.8003,5400Feijo

4.0004880Arroz

5.0005,5660Milho

Lucro (por acre)Agua (litros por acre)rea mx. (acres)Cultura



Variveis de deciso:xij: rea da fazenda i=1,2,3 destinada ao plantio da cultura j {m, a, f} Funo objetivo:

maximizar 5.000 (x1m + x2m + x3m) + 4.000 (x1a + x2a + x3a) + 1.800 (x1f + x2f + x3f) Restries de no-negatividade:

xim, xia, xif 0, i=1,2,3



Restries associadas rea de cultivo:x1m + x1a + x1f 400x2m + x2a + x2f 650x3m + x3a + x3f 350 Restries associadas ao consumo de gua:

5,5 x1m + 4 x1a + 3,5 x1f 1.8005,5 x2m + 4 x2a + 3,5 x2f 2.2005,5 x3m + 4 x3a + 3,5 x3f 950



Restries associadas ao plantio por cultura:x1m + x2m + x3m 660x1a + x2a + x3a 880x1f + x2f + x3f 400 Restries associadas proporo de rea cultivada:

(x1m + x1a + xif)/400 = (x2m + x2a + x2f)/650 (x2m + x2a + x2f)/650 = (x3m + x3a + x3f)/350



(VIII) Problema da mistura de petrleos: Uma refinaria processa vrios tipos de petrleo. Cada tipo de petrleo possui uma planilha de custos diferentes, expressando condies de transporte e preos na origem. Cada tipo de petrleo representa uma configurao diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que cada tipo de petrleo utilizado na mistura para produo de gasolina, possvel programar a octanagem e outros requisitos de cada tipo de gasolina produzida. Estes requisitos definem o tipo de gasolina obtida.



Supondo-se que a refinaria utiliza quatro tipos de petrleo e deseja produzir trs tipos de gasolina (amarela, azul e super), programar a mistura dos tipos de petrleo de modo a maximizar o lucro obtido (diferena entre as vendas e o custo de petrleo). Variveis de deciso:

xij: quantidade de barris de petrleo do tipo j=1,2,3,4 destinados produo de gasolina do tipo i=1,2,3



271.8004204.2003242.2002193.5001

Custo (barril/dia)Disponibilidade (barris/dia)Petrleo



22No mais que 70% do petrleo (1)Amarela (3)

28No mais que 30% do petrleo (1)No menos que 10% do petrleo (2)

Azul (2)

35No mais que 30% do petrleo (1)No menos que 40% do petrleo (2)No mais que 50% do petrleo (3)

Super (1)Preo (por barril)EspecificaesGasolina



Funo objetivo:maximizar 35 (x11 + x12 + x13 + x14) + 28 (x21 + x22 + x23 + x24) + 22 (x31 + x32 + x33 + x34) 19 (x11 + x21+x31) 24 (x12 + x22 + x32) 20 (x13 + x23 + x33) 27 (x14 + x24 + x34) Restries associadas quantidade de petrleo disponvel:

x11 + x21 + x31 3.500x12 + x22 + x32 2.200x13 + x23 + x33 4.200x14 + x24 + x34 1.800



Restries associadas s especificaes da mistura:x11 0.3 (x11 + x12 + x13 + x14) gasolina superx12 0.4 (x11 + x12 + x13 + x14)x13 0.5 (x11 + x12 + x13 + x14)x21 0.3 (x21 + x22 + x23 + x24) gasolina azulx22 0.1 (x21 + x22 + x23 + x24)x31 0.7 (x31 + x32 + x33 + x34) gasolina amarela Restries de no-negatividade:

xij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4



O que muda na formulao do problema anterior se a obteno de gasolina no tratar-se simplesmente de uma mistura, mas que ainda exista um fator tecnolgico aij que indique o nmero de barris de gasolina do tipo i=1,2,3 obtidos a partir de cada barril de petrleo do tipo j=1,2,3,4 utilizado na mistura? Funo objetivo:

maximizar 35 (a11x11 + a12x12 + a13x13 + a14x14) + 28 (a21x21 + a22x22 + a23x23 + a24x24) + 22 (a31x31 + a32x32 + a33x33 + a34x34) 19 (x11 + x21+x31) 24 (x12 + x22 + x32) 20 (x13 + x23 + x33) 27 (x14 + x24 + x34)



(IX) Problema de corte linear: Uma fbrica necessita cortar uma fita de ao de 12 cm de largura em tiras de 2,4 cm, 3,4 cm e 4,5 cm de largura. As necessidades globais de tiras de cada comprimento so as seguintes:

80004,53

45003,42

25002,41

Demanda (m)Largura (cm)Tipo



Formule um modelo que permita otimizar o consumo da fita a ser cortada, minimizando a perda de material.

0,712071,803060,620150,402240,310331,4013200051

Perda (cm)Tiras 3Tiras 2Tiras 1Padro



Exemplo: Padro 5

Perda = 0,6cm

4,5cm 2,4cm(3)

4,5cm(3) (1)



Variveis de deciso:xi: comprimento cortado segundo o padro i=1,...,7 Restries de demanda por tipo de fita:

5 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x4 + x5 2500 tipo 1x2 + 2 x4 + 3 x6 + 2 x7 4500 tipo 2x3 + 2 x5 + x7 8000 tipo 3



Funo objetivo:perdas por sobras + perdas por fitas desnecessriasminimizar 1,4 x2 + 0,3 x3 + 0,4 x4 + 0,6 x5 + 1,8 x6 + 0,7 x7 ++ 2,4 (5 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x4 + x5 - 2500) + + 3,4 (x2 + 2 x4 + 3 x6 + 2 x7 - 4500) ++ 4,5 (x3 + 2 x5 + x7 - 8000)ou comprimento total cortadominimizar x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7



(X) Problema de escalonamento de horrios: Um hospital deseja planejar os horrios das enfermeiras de seu turno da noite. A demanda por enfermeiras no turno da noite no dia j=1,...,7 da semana um nmero inteiro dj. Cada enfermeira trabalha cinco dias consecutivos e descansa nos dois dias seguintes. O objetivo consiste em minimizar o nmero de enfermeiras contratadas. Variveis de deciso:

xj: nmero de enfermeiras que comeam seu horrio no dia j=1,...,7



Modelo:

0,,,,,, 7654321776543

665432

554321

474321

376321

276521

176541

7654321

++++++++++++++++++++++++++++

++++++

xxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxx

xxxxxxx:a sujeito

minimizar

inteiros 7654321 ,,,,,, xxxxxxx

Problema de programao linear inteira: seu valor timo superior ao do problema linear associado, pois contm restries adicionais (todas as variveis devem assumir valores inteiros).

O nmero de enfermeiras nunca pode ser fracionrio!



(XI) Problema da mochila: Um viajante dispe de n itens que deve selecionar para colocar em uma mochila que est sendo preparada para uma viagem. O peso do item j igual aj e o lucro obtido caso ele seja selecionado e colocado na mochila igual a cj, para j=1,,n. Quais itens devem ser selecionados, sabendo-se que o peso mximo que o viajante pode carregar na mochila igual a b? Variveis de deciso:

xj: quantidade selecionada do item j



Caso (1): os itens podem ser fracionados e no h limite na quantidade selecionada

njx

bxa

xc

j

jj

j

n

jj

,...,1,0

1

=

=

=

: a sujeito

maximizar

n

1j

Problema de programao linear Soluo trivial? Selecionar o item j* cuja razo cj/aj mxima e fazer

xj*=b/aj*, xj = 0 para os demais.



Caso (2): os itens podem ser fracionados e no mximo uma unidade de cada item pode ser selecionada

njx

bxa

xc

j

jj

j

n

jj

,...,1,01

1

=

=

=

: a sujeito

maximizar

n

1j Problema de programao linear Soluo trivial? Ordenar os itens pela razo cj/aj e fazer xj=1 enquanto

couber, fracionar o objeto seguinte e fazer xj = 0 para os demais.



Exemplo:

1,2,3,4j

:a sujeito

6maximizar

=+++

+++

,01422

48

4321

4321

jxxxxxxxxx

Maior razo: c1/a1= 6/1= 6 x1=1 Segunda maior razo: c2/a2 = 8/2 = 4 x2=1 Terceira maior razo: c3/a3 = 4/2 = 2 x3=0,5 x4 = 0



Caso (3): os itens no podem ser fracionados e no mximo uma unidade de cada item pode ser selecionada

{ } njxbxa

xc

j

jj

j

n

jj

,...,1,1,0

1

=

=

=

: a sujeito

maximizar

n

1j

Problema de programao inteira Soluo trivial?

No!!!



Exemplo:

{ } 1,2,3j 3 :a sujeito

12maximizar

=++

++

,1,0422

67

321

321

jxxxxxxx

Maior razo: c1/a1= 12/3 = 4 x1=1 x2 = x3 = 0 Esta soluo tima?

No, o problema de programao inteira mais difcil!!!(lucro = 12) Soluo tima: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 (lucro = 13)


Soluo grfica

00

1826

52

2

1

21

21

21

+

+

xx

xxxx

xxminimizar


Soluo grfica

A normal c=(c1,c2) da funo objetivo sempre aponta para a direo de crescimento da funo.


Soluo grfica

0,82

63

21

21

21

21

+

+

xxxx

xxxxminimizar



Soluo grfica

0,3232

21

21

21

21

++

xxxxxx

xxminimizar



Soluo grfica

0,,111

321

3

2

1

321

xxxxxx

xxxminimizar

A normal c=(c1,c2 ,c3) da funo objetivo sempre aponta para a direo de crescimento da funo.


Soluo grfica

Em todos os exemplos anteriores, a regio vivel era limitada e a soluo tima era nica: correspondia a um ponto extremo da regio vivel e seu valor era finito. Ser que isto ocorre sempre?

No!!! Outras situaes possveis:

Problemas com mltiplas solues timas Problemas com soluo ilimitada Problemas inviveis


Soluo grfica

0,1

21

21

221

+

+

xxxx

xcx1cminimizar

z

c=(1,1): soluo tima nica (0,0) c=(1,0): conjunto limitado com mltiplas

solues timas c=(0,1): conjunto ilimitado com mltiplas

solues timas c=(-1,-1): soluo tima ilimitada restrio adicional x1+ x2 -2: problema

invivelA normal c=(c1,c2) aponta para a direo de crescimento


Soluo grfica

Soluo tima finita nica:

Regio vivel limitada Regio vivel no-limitada


Soluo grfica

Solues timas finitas alternativas:



Soluo grfica

Valor timo ilimitado:


Soluo grfica

Em trs dimenses:

Generalizao: mtodo Simplex

Visitar os vrtices do politopo que representa a regio vivel at chegar a um

vrtice timo


Forma cannica de um PPL

0,...,,...

.........

...

21

221

222221

112121

2211

=+++

=+++=+++

+++

n

mnmnm

nn

nn

nn

xxxbxaxax

bxaxaxbxaxax

xcxcxc

m

21

11

a

a

a

: a sujeito

minimizar



Variveis:Dados:

1

2

1

21

22221

112

121

...

...............

...

...),...,,

=

=

=

mm

nmmnmm

n

n

nn

b

bb

b

aaa

aaaaaa

A

cccc

11

(

1

2

1

...

=

nnx

xx

x

Modelo:

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc



Variveis irrestritas ou livres: qualquer nmero real pode ser escrito com a diferena entre dois nmeros positivos Transformar a varivel em: sinal em irrestrita jx

0

0

=

+

+

j

j

jjj

x

x

xxx



Eliminao de desigualdades: dada uma desigualdade do tipo , transform-la em:

Eliminao de desigualdades: dada uma desigualdade do tipo , transform-la em:

Em ambos os casos, chamada de varivel de folga.

in

j jijbxa =1

01

=+ =

i

in

j jij

s

bsxa

in

j jijbxa =1

01

= =

i

in

j jij

s

bsxa

is

i

i



Uma igualdade pode ser transformada em duas desigualdades:

in

j jijbxa =1inj jij bxa = =1 equivalente ai

n

j jijbxa =1i

n

j jijbxa =1

in

j jijbxa =1 )(

ou ainda a



Um problema de minimizao equivalente a um de maximizao:

x*

f(x)

-f(x)

-f(x*)

f(x*)

min f(x) = max {f(x)}Ento:



Valores absolutos na funo objetivo (custos positivos):

Por definio, |xj| o menor nmero positivo zj tal que xj zj e xj zj. Ento, o problema acima equivale a:

:a sujeito

minimizar n

1j

bxA

xc jj

=.

njzxnjzx

bxA

zc

jj

jj

jj

,...,1

,...,1.

==

=

:a sujeito

minimizar n

1j

jc



Valores absolutos na funo objetivo (custos positivos):

Alternativamente, inicialmente substituir a varivelirrestrita por:

:a sujeito

minimizar n

1j

bxA

xc jj

=.jc

0

0

=

+

+

j

j

jjj

x

x

xxxjx



A idia garantir que ou , dependendo do valor de ser positivo ou negativo. Em seguida, substituir por Ento, alternativamente o problema anterior equivale a:

jx .+ + jj xx

+= jj xx = jj xxjx

njxxbxAxA

xxc

jj

jjj

,...,10,..

)(

=

+

+

+=

+

:a sujeito

minimizar n

1jIsto porque em uma soluo vivel tima necessariamente pelo menos uma das componentes ou ser nula.

+jx

jx



Qualquer problema de programao linear, envolvendo igualdades ou desigualdades variveis restritas ou irrestritas em sinal minimizao ou maximizao valores absolutos funes lineares por partes

pode ser reformulado e colocado na forma cannica.


Geometria da PL

Um poliedro um conjunto que pode ser descrito da forma {x Rn: A.xb}, onde A uma matrix mxn e b um vetor mx1. O conjunto das solues viveis de um PPL pode ser

descrito por restries da forma A.xb e portanto um poliedro (mesmo na forma cannica A.x=b e x0). Seja a um vetor nx1 no-nulo. Ento,

O conjunto {x Rn: a.x=b} um hiperplano. O conjunto {x Rn: a.x b} um semi-espao.


Geometria da PL

Exemplo: hiperplano em R2

x1

x2

x1 + x2 = 11

1

normal (1,1)

x1 + x2 > 1x1 + x2 < 1


Geometria da PL

x1

x2

Exemplo: semi-espao em R2

1

1

x1 + x2 1equivalente a -x1 -x2 -1


Geometria da PL

Um conjunto S convexo se para qualquer par de elementos x,y S e qualquer [0,1], ento .x+(1- ).y S.

No-convexo

x

y

Convexox

y


Geometria da PL

A regio vivel de um problema de programao linear um conjunto convexo.

a 1.x=

b 1

a2.x=b2

a 3.x=

b 3

a4 .x=b

4

a.x=b

a.xb


Geometria da PL

Dados os vetores x1, x2, ..., xk Rn e nmeros escalares no-negativos satisfazendo 1 + 2 + ... + k = 1, diz-se que o vetor 1.x1 + 2.x2 + ... + k.xk uma combinao linear convexa de x1, x2, ..., xk. A envoltria convexa dos vetores x1, x2, ..., xk o conjunto

formado por todas suas combinaes convexas:

x1

x3

x2


Geometria da PL

Um vetor x P um ponto extremo do poliedro P se no existem dois vetores y,z P diferentes de x tais que x seja uma combinao linear de y e z.

x1

x2 x3

x4

Pw

w no ponto extremo


Geometria da PL

O conjunto das solues viveis de um PPL corresponde envoltria convexa de seus pontos extremos:

a 1.x=

b 1

a2.x=b2

a 3.x=

b 3

a4 .x=b

4

x1

x2 x3

x4


Geometria da PL

Um vetor x P um vrtice do poliedro P se existe um vetor c de dimenso 1xn tal que c.x < c.y para qualquery P diferente de x.

x1

x2 x3

x4

Pw w no vrtice, pois

qualquer hiperplano passando por w intercepta o poliedro em outros pontos.

x1 vrtice, pois existe um hiperplano passando por x1

que no intercepta o poliedro em outros pontos.


Geometria da PL

vrtice


Geometria da PL

Seja um poliedro P Rn associado a um problema de programao linear definido em termos de restries lineares de igualdade e de desigualdade:

Os conjuntos M1, M2 e M3 so conjuntos finitos de ndices.

3

2

1

,.,.,.

MibxaMibxaMibxa

ii

ii

ii

=


Geometria da PL

Se um vetor (isto , uma soluo do PPL) x* satisfaz ai.x* = bi para algum i em M1, M2 ou M3, diz-se ento que a restrio correspondente est ativa em x*. Seja x* Rn e I = {i M1 M2 M3: ai.x* = bi} o

conjunto de restries ativas em x*. Ento: H n vetores independentes no conjunto {ai: i I} (isto , h n

restries linearmente independentes ativas em x*). Qualquer vetor de Rn pode ser expresso como combinao linear

dos vetores em {ai: i I}. O sistema de equaes ai.x=bi, i I, tem soluo nica.


Geometria da PL

Diz-se que os vetores x1, x2, ..., xk de Rn so linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido como uma combinao linear dos demais, isto :1.x1 + 2.x2 + ... + k.xk = 0 1= 2= ... = k = 0

Definio algbrica de ponto extremo: uma soluo vivel do problema na qual h n restries ativas linearmente independentes.


Geometria da PL

Sejam um poliedro P definido por restries lineares de igualdade e de desigualdade e x* Rn: (a) O vetor x* uma soluo bsica se todas as restries de

igualdade esto ativas e se h n restries linearmente independentes ativas em x*.

(b) Se x* uma soluo bsica que satisfaz todas as restries,ento diz-se que x* uma soluo bsica vivel.


Geometria da PL

x3

P

A

B

C

D

E

P={(x1,x2,x3): x1+x2+x3=1, x10, x20, x30}

H 3 restries ativas nos pontos A, B, C e D.

H apenas 2 restries ativas no ponto (vivel) E.

A, B e C: soluesbsicas viveis

x2

x1


Geometria da PL

A, B, C, D, E e F so solues bsicas (duas restries ativaslinearmente independentes em cada).

C, D, E e F so solues bsicas viveis (satisfazem todas as restries).

A

BC

DE

FP


Geometria da PL

0,5

67

1839

23

21

21

2

1

21

21

21

+

++

+

xxxx

xx

xxxx

xx:a sujeito

maximizar


Geometria da PL

Sejam um poliedro P no-vazio e x* P. Ento, as seguintes afirmaes so equivalentes: x* um vrtice. x* um ponto extremo. x* uma soluo bsica vivel.

Dado um nmero finito m de desigualdades lineares, pode haver apenas um nmero finito de solues bsicas viveis. m desigualdades lineares, n restries ativas em qualquer soluo

bsica: nmero de solues bsicas limitado pelo nmero de maneiras que se pode escolher n restries dentre m.


Geometria da PL

Embora o nmero de solues bsicas (viveis) seja finito, ele pode ser muito grande: {x Rn: 0 xi 1, i=1,...,n} Nmero de restries? Nmero de solues bsicas viveis?

n2n

nn

22 =


Geometria da PL

A, B, C, D, E e F so solues bsicas (duas restries ativaslinearmente independentes em cada).

A

BC

DE

FP


Geometria da PL

Duas solues bsicas so adjacentes se h n-1 restries linearmente independentes comuns ativas em ambas. Se duas solues bsicas adjacentes so viveis, diz-se que

o segmento de reta que as conecta uma aresta do conjunto vivel.

B e E so adjacentes a D.

C-F uma aresta.

A

BC

DE

FP

D e E so adjacentes a B.


Geometria da PL

Considera-se agora um problema de programao linear formulado na forma cannica e P = {x Rn: A.x = b, x0} o poliedro associado s suas restries. A tem dimenso mxn, onde m o nmero de restries de

igualdade. Hiptese simplificadora: as m restries so linearmente

independentes. Logo, n m. Linhas linearmente dependentes de A

correspondem a restries redundantes que podem ser descartadas.


Geometria da PL

Em toda soluo bsica h n restries ativas linearmente independentes. Toda soluo bsica satisfaz as m restries de igualdade

A.x = b, o que prov m restries ativas. Para totalizar as n restries ativas linearmente

independentes, necessrio tornar ativas n-m restries de no-negatividade xi 0, fixando em 0 as variveis correspondentes. Entretanto, para que as n restries ativas sejam

linearmente independentes, esta escolha no pode ser totalmente arbitrria.


Geometria da PL

Teorema: Sejam as restries A.x = b e x 0. Assume-se que a matriz A de dimenses mxn tenha suas linhas linearmente independentes. Ento, um vetor x Rn uma soluo bsica se e somente se A.x = b e se existem ndices B(1), ..., B(m) tais que:(a) as colunas AB(1), ..., AB(m) so linearmente independentes. (b) se i B(1), ..., B(m), ento xi = 0.


Geometria da PL

Procedimento para construir solues bsicas: (1) Escolher m colunas linearmente independentes AB(1), ..., AB(m). (2) Fazer xi = 0 para todo i B(1), ..., B(m). (3) Resolver o sistema de m equaes A.x = b para calcular as

variveis xB(1), ..., xB(m).

Se todas estas variveis so no-negativas, ento trata-se de uma soluo bsica vivel.


Geometria da PL

Se x uma soluo bsica, as variveis xB(1), ..., xB(m) so chamadas de variveis bsicas. Neste caso, as colunas AB(1), ..., AB(m) so chamadas de

bsicas e como so linearmente independentes formam uma base para Rm. Colocando-se as m colunas bsicas lado a lado, obtm-se

uma matriz bsica B de dimenso mxm. Como as colunas da base so linearmente independentes, a

matriz bsica inversvel.


Geometria da PL

=

N

B

xx

x[ ]NBA =

=

)(

)2(

)1(

...

mB

B

B

B

x

xx

x

=

)(

)2(

)1(

...

mB

B

B

B

x

xx

x[ ])()2()1( ... mBBB AAAB = A soluo bsica determinada resolvendo-se a equao

B.xB = b, cuja soluo nica xB = B-1.b.


Geometria da PL

Sistema A.x = b da forma:

Colunas bsicas A4, A5, A6 e A7 so linearmente independentes.

=

64

128

.

1000010010000100106100001211

x


Geometria da PL

=

64

128

.

1000010010000100106100001211

x Soluo bsica vivel, pois todas as variveis bsicas so no-negativas.

Matriz bsica:

=

==

=

64

128

64

128

.

1000010000100001

.1

7

6

5

4

bB

xxxx

xB

=

1000010000100001

B


Geometria da PL

Considerando-se o mesmo sistema A.x = b:

Colunas bsicas A3, A5, A6 e A7 tambm so linearmente independentes.

=

64

128

.

1000010010000100106100001211

x


Geometria da PL

=

64

128

.

1000010010000100106100001211

x Soluo bsica no-vivel, pois uma varivel bsica negativa.

Matriz bsica:

=

==

=

64124

64

128

.

1000010000130002/1

.1

7

6

5

3

bB

xxxx

xB

=

1000010000160002

B


Geometria da PL

Solues bsicas adjacentes e bases adjacentes: Duas solues bsicas so adjacentes se existem n-1 restries

linearmente independentes ativas em ambas. Duas bases so adjacentes se possuem todas as colunas bsicas

em comum, exceto uma. As bases {A3, A5, A6, A7} e {A4, A5, A6, A7} do exemplo anterior

so adjacentes.


Geometria da PL

Degenerao: uma soluo bsica x Rn degenerada se h mais de n restries ativas em x. Exemplo: x1 + x2 + 2x3 8

x2 + 6x3 12x1 4

x2 6x1, x2, x3 0

x = (2,6,0) soluo bsica vivel no-degenerada (3 ativas) x = (4,0,2) soluo bsica vivel degenerada (4 ativas)


Geometria da PL

A

BC

DE

FP

B: soluo bsica degenerada

F: soluo bsica vivel no-degenerada

G

E: soluo bsica vivel degeneradaH

A: soluo bsica


Geometria da PL

Degenerao na forma cannica:

0,,64

12682

321

2

1

32

321

+++

xxxxx

xxxxx


Geometria da PL

Inserindo-se variveis de folga:

0,,,,,,64

12682

7654321

72

61

532

4321

=+=+

=++=+++

xxxxxxxxxxx

xxxxxxx


Geometria da PL

=

64

128

.

1000010010000100106100001211

x

Base formada pelas colunas A1, A2, A3 e A7:Fazer x4 = x5 = x6 = 0.Resolvendo-se o sistema B.xB = b para as demais variveis:x1 = 4, x2 = 0, x3 = 2, x7 = 6Base degenerada: quatro varives nulas, e no apenas trs.


Geometria da PL

Considera-se um problema de programao linear formulado na forma cannica e P = {x Rn: A.x = b, x0} o poliedro associado s suas restries. Sejam x uma soluo bsica e m o nmero de linhas de A. O vetor x uma soluo bsica degenerada se mais de n-m de suas componentes so nulas. Mltiplas bases correspondem mesma soluo bsica

degenerada. No exemplo anterior, as bases {A1,A2,A3,A7}, {A1,A4,A3,A7 }, {A1,A5,A3,A7 } e {A1,A6,A3,A7 } correspondem mesma soluo bsica degenerada x1 = 4, x3 = 2, x7 = 6, x2 = x4 = x5 = x6 = 0.


Geometria da PL

A degenerao tem conseqncias importantes na queda de desempenho dos resolvedores de problemas de programao linear.


Geometria da PL

Nem todo poliedro tem um ponto extremo: x1+x2 1em R2 A existncia de um ponto extremo depende do poliedro

conter ou no uma reta infinita. Diz-se que um poliedro P Rn contm uma reta se

existem um vetor x P e um vetor no-nulo d Rn tal que x + .d P para qualquer escalar .


Geometria da PL

Teorema: Suponha-se que o poliedro P = {x Rn: ai.x bi, i=1,...,m} seja no vazio. Ento, as afirmaes abaixo so equivalentes: O poliedro P tem pelo menos um ponto extremo. O poliedro P no contm uma reta. H n vetores da famlia a1, a2, ..., am que so linearmente

independentes.


Geometria da PL

Um poliedro limitado no pode conter uma reta. O conjunto {x Rn: x 0} limitado, logo no contm

uma reta. Como um poliedro na forma cannica est contido em

{x Rn: x 0}, ele no pode conter uma reta. Qualquer poliedro limitado no-vazio e qualquer poliedro

no-vazio na forma cannica contm pelo menos um ponto extremo, ou seja, uma soluo bsica vivel.


Geometria da PL

Teorema da otimalidade: Considera-se o problema de programao linear de minimizar a funo objetivo c.x sobre um poliedro P. Suponha-se que P tenha pelo menos um ponto extremo e que exista uma soluo tima. Ento, existe pelo menos uma soluo tima que um ponto extremo de P.


Geometria da PL

Soluo tima finita nica:



Geometria da PL

Solues timas finitas alternativas:



Geometria da PL

Valor timo ilimitado: No existe soluo tima, pois o valor timo ilimitado


Geometria da PL

Teorema da otimalidade: Considera-se o problema de programao linear de minimizar a funo objetivo c.x sobre um poliedro P no-vazio. Ento, ou o custo timo igual a - (valor ilimitado) ou existe uma soluo tima (em um ponto extremo).


Geometria da PL

Resumindo... (a) Se o conjunto de solues viveis no-vazio e

limitado, ento existe uma soluo tima. Alm disso, existe uma soluo tima que um ponto extremo. (b) Se o conjunto de solues viveis ilimitado, ento

existe uma soluo tima que um ponto extremo ou o valor timo -.


Geometria da PL

Resumindo... Supe-se que o valor timo seja finito e que o conjunto de

solues viveis contenha pelo menos um ponto extremo. Como h um nmero finito de pontos extremos, o PPL pode ser resolvido em um nmero finito (embora eventualmente muito grande) de passos por enumerao. Mtodo Simplex: procedimento sistemtico que se move

de um ponto extremo para outro, sem necessitar enumerar todos.


Geometria da PL

Resumindo... Pontos extremos esto associados a solues bsicas

viveis. H n restries ativas (todas as m de igualdade e n-m de

desigualdade) em cada ponto extremo. Considerando-se o PPL na forma cannica, cada soluo

bsica obtida fixando-se (n-m) variveis (no-bsicas) em zero e calculando-se as demais resolvendo o sistema B.xB = b, cuja soluo xB = B-1.b, onde B a matriz formada pelas colunas associadas s variveis bsicas.


Mtodo Simplex

Variveis:Dados:

1

2

1

21

22221

112

121

...

...............

...

...),...,,

=

=

=

mm

nmmnmm

n

n

nn

b

bb

b

aaa

aaaaaa

A

cccc

11

(

1

2

1

...

=

nnx

xx

x

Problema na forma cannica:

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc


Mtodo Simplex

Se um PPL na forma cannica tem uma soluo tima, ento existe uma soluo bsica vivel (ponto extremo) que tima. O mtodo Simplex procura a soluo tima movendo-se

de uma soluo bsica vivel para outra atravs das arestas da regio vivel, sempre diminuindo o valor da funo objetivo. O algoritmo termina ao chegar numa soluo bsica vivel

onde todas arestas levam a aumento de custo.


Mtodo Simplex

Mtodos de busca local: partem de uma soluo vivel, procuram sempre por uma soluo vizinha de menor custo e terminam quando tal soluo vizinha inexiste timo local PPL: solues bsicas viveis adjacentes so vizinhas. PPL: timo local tambm timo global Problema: como encontrar uma uma direo (aresta) de

diminuio de custo na vizinhana de uma dada soluo?


Mtodo Simplex

Seja x P: ento, um vetor d Rn uma direo vivelem x se existe um escalar tal que x + .d P.


Mtodo Simplex

Seja x uma soluo bsica e B(1), ..., B(m) os ndices das variveis bsicas. Seja ainda

a matriz bsica correspondente. Ento, xi = 0 para qualquer varivel no-bsica e o vetor de variveis bsicas dado por

[ ])()2()1( ... mBBB AAAB =

bB

x

xx

x

mB

B

B

B ....1

)(

)2(

)1(

=

=


Mtodo Simplex

Considera-se a possibilidade de mover de x para uma nova soluo x + .d selecionando-se uma varivel no-bsica xj(at ento igual a zero) e aumentando-a at um valor , mantendo todas as demais variveis no-bsicas iguais a zero. Ento, dj = 1 e di = 0 para qualquer outra varivel

no-bsica xi diferente de xj. O novo vetor de variveis bsicas passa a ser xB + .dB.


Mtodo Simplex

Como s nos interessam as solues viveis, ento exige-se que A.(x + .d) = b. Como x vivel, A.x = b. Logo, para que as restries de igualdade sejam satisfeitas

para > 0, necessrio que A.d = 0:

Como a matriz B inversvel, ento a direo dB = -B-1.Aj. = = +=+=== ni mi jBjiBiBii AdBAdAdAdA 1 1 )()( ....0


Mtodo Simplex

A direo d assim construda chamada de direo bsica j. Mostramos que as restries de igualdade so respeitadas

quando se move ao longo desta direo d. Mas o que acontece com as restries de no-negatividade? As demais variveis no-bsicas diferentes de xj no so

afetadas, continuando portanto nulas. Seja x uma soluo bsica no-degenerada. Como xB > 0,

ento xB + .d > 0 para suficientemente pequeno.


Mtodo Simplex

Como varia o custo da soluo a medida em que se desloca ao longo de uma direo bsica? Se d a j-sima direo bsica, a variao no custo da

soluo obtida aps um deslocamento de valor ao longo de d igual a cB.(xB + .dB) + cj. - cB.xB.= .(cB.dB + cj). Como dB = -B-1.Aj, a taxa de variao do custo por unidade

da varivel j ao longo da j-sima direo bsica ento igual a cj - cB.B-1.Aj.


Mtodo Simplex

A taxa de variao do custo ao longo da j-sima direo bsica ento igual a cj - cB.B-1.Aj. Interpretao: cj o custo por incremento unitrio na

varivel xj, enquanto o termo -cB.B-1.Aj. reflete as compensaes necessrias para manter as restries A.x = b viveis com o aumento de xj. Definio: sejam x uma soluo bsica, B a matriz bsica

associada e cB o vetor de custos das variveis bsicas. Define-se o custo reduzido cj da varivel xj como: cj = cj (cB.B-1).Aj


Mtodo Simplex

Qual o custo reduzido de uma varivel bsica xB(i)? cB(i) = cB(i) cB.B-1.AB(i) = cB(i) cB.ei = cB(i) cB(i) = 0,pois B-1.AB(i) igual ao produto da inversa da matriz bsica pela i-sima coluna da base, que igual coluna i da matriz identidade. Resumindo:

cj = cj - cB.B-1.Aj, se xj uma varivel no-bsicacj = 0, se xj uma varivel bsica


Mtodo Simplex

Repetindo:cj = cj - cB.B-1.Aj, se xj uma varivel no-bsicacj = 0, se xj uma varivel bsica Se x no uma soluo tima, como devemos escolher a

varivel que ter seu valor aumentado? Deve-se aumentar uma varivel xj cujo custo reduzido seja

negativo!


Mtodo Simplex

Teorema: Seja uma soluo bsica vivel associada com uma matriz bsica B e c o vetor correspondente de custos reduzidos.(a) se c 0, ento x uma soluo tima.(b) se x tima e no-degenerada, ento c 0. A matriz bsica B tima se:

(a) B-1.b 0, isto , se todas as variveis bsicas so no-negativas (e satisfazem as restries do problema).(b) c = c (cB.B-1).A 0, isto , no possvel reduzir o custo da soluo bsica correspondente.


Mtodo Simplex

Hipteses para o desenvolvimento final do Simplex: Toda soluo bsica no degenerada. Soluo bsica x com todos os custos reduzidos c das variveis

no-bsicas j calculados. Se todos os custos reduzidos so positivos ou nulos, trata-se da

soluo tima e o algoritmo pode ser parado. Se existe uma varivel xj de custo reduzido cj < 0 , ento a

j-sima direo bsica d uma direo de reduo de custo. Ao longo desta direo, apenas a varivel no-bsica xj torna-se

positiva e entra na base.


Mtodo Simplex

Quando se move a partir de x ao longo da direo d, so obtidos pontos da forma x + .d com > 0. Como o custo da soluo diminui ao longo desta direo,

deve-se fazer o maior deslocamento possvel, que dado por * = max { 0: x + .d P}. A reduo no custo dada por *.cj. Mostrou-se que A.d = 0 e que as restries de igualdade

no sero violadas. Ento, x + .d s pode se tornar invivel se uma das

restries de no-negatividade passar a ser violada.


Mtodo Simplex

(a) Se d 0, ento x + .d 0 para qualquer 0. A soluo nunca se torna invivel e faz-se * = +: soluo tima ilimitada. (b) Se di < 0 para alguma varivel xi, a restrio

xi + .di 0 equivale a -xi/di. Esta restrio deve ser satisfeita para todas os ndices i com di < 0. Assim, o maior valor possvel de dado por

=

=


Mtodo Simplex

Uma vez o valor de * determinado, e assumindo-se que seja finito, move-se para a nova soluo vivel y = x + *.d. Como xj = 0 (varivel no-bsica) e dj = 1, obtem-se yj = *

na nova soluo: a varivel de ndice j torna-se bsica. Seja r o ndice da varivel bsica que definiu *:

Como dB(r) < 0, ento xB(r) + *.dB(r) = 0: a varivel de ndice r sai da base.

)(

)(

)(

)(}0:,...,1{ )(

minrB

rB

iB

iBdmi d

xdx

iB=

=


Mtodo Simplex

O mtodo simplex iniciado com uma soluo bsica vivel (ponto extremo, cuja existncia j foi provada).

- Soluo bsica inicial x = 0 e y = b.- Resolver o novo problema.- y* = 0, problema vivel e base inicial.- y* > 0, problema invivel.

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc

:a sujeito

yminimizar n

1j

m

1i i

0,

1,.

==+

=

=

yx

,...,mibyxa iijij

- Criar problema com variveis artificiais.


Mtodo Simplex

Cada iterao corresponde aos seguintes passos:1. Iniciar com uma base formada pelas colunas bsicas

AB(1), , AB(m) e com uma soluo bsica vivel x.2. Calcular os custos reduzidos cj = cj (cB.B-1).Aj para

todas as variveis no bsicas j. Se todos so positivos, a soluo corrente tima, seno escolher algum j comcj < 0.

3. Calcular dB = -B-1.Aj. Se todos as componentes de dBforem positivas, ento * = +, o valor timo - e o algoritmo termina.


Mtodo Simplex

4. Se alguma componente de dB = -B-1.Aj for negativa, calcular

5. Formar uma nova base substituindo a coluna AB(r) pela coluna Aj. Na nova soluo bsica vivel y obtida aps esta mudana de base, os valores das variveis bsicas so yj = * e yB(i) = xB(i) + *.dB(i) para qualquer i r.

)(

)(

)(

)(}0:,...,1{ )(

minrB

rB

iB

iBdmi d

xdx

iB=

=


Mtodo Simplex

Supondo-se que o PPL seja vivel, o mtodo Simplex termina aps um nmero finito de iteraes com uma soluo bsica vivel tima ou mostrando que o custo timo -. Implementao simples, mas requer muitos cuidados

para ser eficiente (soluo inicial, degenerao, tratamento de matrizes esparsas, determinantes prximos de zero, atualizao rpida da base e de sua inversa, etc.). Criador do mtodo Simplex: Dantzig (1947)


Mtodo Simplex

Complexidade de pior caso: proporcional a 2n. Na mdia, o nmero de iteraes cresce linearmente. Excelente desempenho mdio. Resolvedores: MPSX, XMP, ..., OSL, ..., LINDO, CPLEX,

XPRESS, GLPK, ..., EXCEL Mtodos de pontos interiores: percorrem o interior do

poliedro, e no vrtices e arestas. Karmarkar (1984) To bons ou melhores que o Simplex para muitas classes de

problemas.


Dualidade

O problema dual de um PPL outro PPL satisfazendo:

= cjlivre

restries cj 0variveis cj 0livre= bi

variveis 0 birestries 0 bi

DUALmaximizarminimizarPRIMAL


Dualidade

Problema PRIMAL na forma cannica:

Problema DUAL:

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc

cAubu

..

:a sujeito

maximizar


Dualidade

Problema DUAL:

Problema DUAL do DUAL:

O DUAL do DUAL o prprio problema PRIMAL.

cAubu

..

:a sujeito

maximizar

:a sujeito

minimizar

0..

=

ybyA

yc


Dualidade

Teorema fraco da dualidade: se x uma soluo vivel do primal e u uma soluo vivel do dual, ento u.b c.x. Teorema forte da dualidade: se x* uma soluo tima do

primal e u* uma soluo tima do dual, ento u*.b = c.x*. simples provar que se B a base tima do primal (com

x*B = B-1.b e c.x* = cB.B-1.b), ento u* = cB.B-1. Se a soluo tima do primal (resp. dual) ilimitada, ento

o dual (resp. primal) invivel.


Dualidade

Teorema das folgas complementares: sejam x e u solues viveis para os problemas primal e dual, respectivamente. Estas solues so timas se e somente se:(a) ui.(ai.x bi) = 0, i(b) (cj u.Aj).xj = 0, j


Dualidade

Variveis duais como custos marginais:- base B tima no-degenerada- soluo tima x*B = B-1.b > 0- custo timo = cB .B-1.b = u*.b

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc

Problema perturbado (d pequeno):

:a sujeito

minimizar

0..

+=

xdbxA

xc - mesma base B tima: B-1.(b+d) > 0- custo timo = cB .B-1.(b+d) = u*(b+d)- variao no custo: u*.d- u*: custos marginais dos recursos!


Dualidade

Interpretao econmica do dual: problema da dieta Coluna Aj: contedos nutricionais do alimento j (slide 36). Vetor b: contedo nutricional ideal que se deseja atingir. ui: preo justo que se desejaria pagar pelo nutriente i. Uma unidade do alimento j tem valor cj no mercado de

alimentos, mas tem valor u.Aj se cotada no mercado de nutrientes. Folgas complementares asseguram que todo alimento

usado para sintetizar o nutriente ideal deve estar cotado consistentemente nos dois mercados: xj > 0 cj = u.Aj


Dualidade

A dualidade relaciona as duas maneiras alternativas de contabilizar custos. O valor do alimento ideal calculado pelo mercado de

alimentos c.x* (onde x* a soluo tima do primal). O valor do alimento ideal calculado pelo mercado de

nutrientes u*.b (onde u* so os preos ideais). A relao de dualidade c.x* = u*.b garante que quando os

preos esto corretos, os dois mtodos de contabilizao dos custos do os mesmos resultados.


Anlise de sensibilidade

PPL na forma cannica:

Como afetada a soluo de um PPL devido a modificaes simples na sua formulao? Como recalcular a soluo tima aps estas modificaes? Diversos casos podem ser tratados diretamente usando

dualidade e os conceitos j estudados.

:a sujeito

minimizar

0..

=

xbxA

xc


Anlise de sensibilidade

(1) Uma base tima continua tima aps a adio de uma nova varivel xn+1? Como reotimizar um problema aps a adio desta nova varivel? (2) Como criar uma nova base e reotimizar o problema

aps a incluso de uma nova restrio de igualdade? (3) Qual a faixa de variao do vetor de recursos b que

mantm a base tima inalterada? (4) Qual a faixa de variao dos custos c que mantm a

base tima inalterada? (5) Como mudanas em uma coluna afetam a soluo?


Extenses

Sistemas de grande porte Decomposio: gerao de colunas, Dantzig-Wolfe,

Benders Programao estocstica (cenrios) Problemas de fluxos em redes Mtodos de pontos interiores: percorrem o interior

do poliedro, e no os vrtices e arestas. Programao inteira


Resolvedores de PL

CPLEX Empresa: ILOG Resolvedor lider no mercado Programao linear, linear inteira, quadrtica Alto desempenho Muito flexivel Resolve problemas com milhes de variveis e restries Parte de um solver mais geral que inclui e.g. programao por

restries e linguagem de modelagem http://www.ilog.com/products/cplex/


Resolvedores de PL

Xpress-MP Empresa: Dash Optimization Compete com o CPLEX Programao linear, linear inteira, quadrtica Alto desempenho Muito flexvel Resolve problemas com milhes de variveis e restries Tambm possui uma linguagem de modelagem (AMPL) http://www.dashoptimization.com


Resolvedores de PL

LINDO Empresa: LINDO Systems Inc. Programao linear, linear inteira, quadrtica Muito simples de instalar e usar http://www.lindo.com


Resolvedores de PL

GLPK Software livre Cdigo em ANSI C disponvel na web Programao linear e linear inteira http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html


Resolvedores de PL

Survey atualizado disponvel em: http://www.lionhrtpub.com/orms/surveys/LP/LP-survey.html


Resolvendo problemas

Digitar o modelo diretamente na interface Forma mais direta de resolver problemas simples. Invivel para problemas de tamanho mdio

Criar um arquivo com o modelo do problema Necessrio programar (C, Basic, Java) para gerar o modelo. Permite tratar problemas grandes. No flexivel.

Chamar funes do resolvedor atravs de bibliotecas. a forma mais flexivel. Permite interagir com o resolvedor enquanto o modelo resolvido.


Sintaxe do Lindo

Funo objetivo: MAX 10 STD + 15 DLX

Sujeito a: {subject to, such that, S.T., ST}

Restries: STD + 2 DLX


Escalonamento de funcionrios

Uma loja quer contratar funcionrios para atendimento ao pblico durante os sete dias da semana. Cada funcionrio ganha R$ 300 por semana, mais um extra

de R$ 25 por trabalhar no sbado e de R$ 35 por trabalhar no domingo.

Os funcionrios trabalham cinco dias consecutivos e descansam dois.

Existem requisitos mnimos de funcionrios por dia:

D S T Q Q S S

20 20 13 10 12 16 18


Escalonamento de funcionrios

Objetivo: minimizar o custo de pessoal sujeito ao cumprimento das necessidades de atendimento.


Soluo Variveis de deciso DOM: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nos

domingos. SEG: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nas

segundas feiras. TER: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nas

teras feiras. QUA: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nas

quartas feiras. QUI: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nas

quintas feiras domingos. SEX: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nas

sextas feiras. SAB: Quantidade de funcionrios que comeam a trabalhar nos

sbados.


Soluo - Funo objetivo

MIN 335 DOM + 300 SEG + 325 TER + 360 QUA + 360 QUI + 360 SEX + 360 SAB


Soluo - Restries

RDOM) DOM + QUA + QUI + SEX + SAB >= 20RSEG) DOM + SEG + QUI + SEX +SAB >= 20RTER) DOM + SEG + TER + SEX + SAB >= 13RQUA) DOM + SEG + TER + QUA + SAB >= 10RQUI) DOM + SEG + TER + QUA + QUI >= 12RSEX) SEG + TER + QUA + QUI + SEX >= 16RSAB) TER + QUA + QUI + SEX + SAB >= 18

Alm destas, restries de no-negatividade.


Soluo - Modelo

MIN 335 DOM + 300 SEG + 325 TER + 360 QUA + 360 QUI + 360 SEX + 360 SAB

STRDOM) DOM + QUA + QUI + SEX + SAB >= 20RSEG) DOM + SEG + QUI + SEX +SAB >= 20RTER) DOM + SEG + TER + SEX + SAB >= 13RQUA) DOM + SEG + TER + QUA + SAB >= 10RQUI) DOM + SEG + TER + QUA + QUI >= 12RSEX) SEG + TER + QUA + QUI + SEX >= 16RSAB) TER + QUA + QUI + SEX + SAB >= 18Restries de no-negatividade.END


Anlise dos resultados

Valor da funo objetivo: 7750 Valor das variveis:

DOM: 2, SEG: 2, TER: 0, QUA: 2, QUI: 7, SEX: 5, SAB: 4

Quando se altera esta soluo tima? Anlise de sensibilidade:

Coeficientes da funo objetivo Lado direito das restries (para variveis duais)


Anlise - Custos reduzidos

Variveis com valor nulo na soluo: De quanto deve se modificar o coeficiente da varivel na funo

objetivo para que ela possa deixar de ser nula?

Quando a varivel tem valor diferente de zero na soluo, seu custo reduzido nulo. Valor da varivel TER na soluo: 0 Custo reduzido da varivel TER: 100


Anlise - Custos reduzidos

O que acontece se o coeficiente de TER reduzido em 90? E em 110? Seu custo reduzido s se torna negativo se seu custo

diminuir de pelo menos 100 unidades. De quanto aumenta o valor da funo objetivo se a

seguinte restrio acrescentada?RTER2) TER >= 1


Anlises - Variveis de folga

H uma varivel de folga para cada restrio. Variveis de folga:

RQUI = 1

Isto quer dizer que na soluo encontrada a restrio RQUI cumprida com folga de uma unidade, ou seja, na quinta feira trabalham 13 funcionrios quando apenas 12 so necessrios.


Anlises - Variveis duais

H uma varivel dual para cada restrio. As variveis duais dizem de quanto a funo objetivo vai

melhorar se aumentamos de uma unidade o valor do lado direito da restrio. Em quanto piora a funo objetivo quando se aumenta de

20 para 21 a quantidade de funcionrios necessrios s segundas feiras?


Anlises - Variveis duais

A validez das variveis duais determinada pelo analise de sensibilidade. Aumentar o nmero de funcionrios necessrios s

segundas feiras para 22, 23 e 24. O que acontece quando aumenta para 24?


Problema de planejamento da produo

Uma fbrica de computadores fabrica os modelos GP1, GP2, GP3, WS1 e WS2.

10.0$ 15.000WS221.4$ 30.000WS120.0$ 30.000GP321.7$ 40.000GP240.3$ 60.000GP1

# placas # discosPreoSistema



Disponibilidade de CPUs: no mximo 7.000 unidades. Suprimento de discos: limitado a 3.000 unidades. Suprimento de placas de memria limitado a 8.000. Demandas mximas:

1800 para GP1, 300 para GP3 3800 para toda a famlia GP 3200 para toda a famlia WS

Pedidos j recebidos: 500 GP2 500 WS1, 400 WS2



Objetivo: maximizar o lucro da empresa.



Variveis:xi: quantidade de sistemas produzidos do tipo GPj, j=1,2,3x4: quantidade de sistemas produzidos do tipo WS1x5: quantidade de sistemas produzidos do tipo WS2



1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4

1

3

1 2 3

4 5

2

4

5

1 2 3 4 5

maximizar 60 40 30 30 15sujeito a:

70004 2 2 2 80000.3 1.7 1.4 3000

1800300

38003200

500500400

, , , , 0

x x x x x

x x x x xx x x x xx x x

xxx x xx xxxxx x x x x

+ + + +

+ + + + + + + +

+ + + + +

disponibilidade de CPUsdisponibilidade de placasdisponibilidade de discosdemanda mxima de GP-1demanda mxima de GP-3demanda mxima de GPdemanda mxima de WSdemanda mnima de GP-2demanda mnima de WS-1demanda mnima de WS-2



Analise a soluo e responda: Quais recursos esto limitando o lucro da empresa?CPUs?Placas?Discos?



Se no existirem outros custos a serem considerados: Comprar-se-ia discos a $ 15.000 para aumentar a produo? Comprar-se-ia placas a $ 5.000 para aumentar a produo?



A empresa quer avaliar outro modo de produo para economizar discos. Produzir todos os computadores GP1 sem discos Produzir todos os computadores GP2 com um disco Produzir todos os computadores WS1 com um disco

Como muda a formulao? Quanto ser o lucro?



0,,,,400500500

32003800

3001800

30004.17.13.080002224

7000 :a sujeito

1530304060 maximizar

54321

5

4

2

54

321

3

1

421

54321

54321

54321

+++

++++++

++++

++++

xxxxxxxx

xxxxx

xx

xxxxxxxx

xxxxx

xxxxx




0,,,,400500500

32003800

3001800

300080002224

7000 :a sujeito


54321

5

4

2

54

321

3

1

42

54321

54321

54321

+++

+++++

++++

++++

xxxxxxxx

xxxxx

xx

xxxxxxx

xxxxx

xxxxx




O fabricante poderia tratar a falta de placas de memria utilizando duas placas alternativas nos sistemas GP1, em vez de quatro placas comuns. 4000 placas alternativas se encontram disponiveis.

Como mudar o modelo para considerar esta posibilidade? Aumenta o lucro? Concluso do exmplo



0,,,,400500500

32003800

3001800

300080002224

7000 :a sujeito


54321

5

4

2

54

321

3

1

42

54321

54321

54321

+++

+++++

++++

++++

xxxxxxxx

xxxxx

xx

xxxxxxx

xxxxx

xxxxx




0,,,,400500500

32003800

3001800

300040002

80002227000

:a sujeito1530304060 maximizar

54321

5

4

2

54

321

3

1

42

1

5432

54321

54321

+++

+

+++++++

++++

xxxxxxxx

xxxxx

xx

xxx

xxxxxxxxx

xxxxx

disponibilidade de CPUsdisponibilidade de placas

disponibilidade de discosdemanda mxima de GP-1demanda mxima de GP-3demanda mxima de GPdemanda mxima de WSdemanda mnima de GP-2demanda mnima de WS-1demanda mnima de WS-2

disponibilidade de placas alt.


Caminho mais curto em uma rede

Dada uma rede com custos (ou comprimentos) associados s sua arestas, determinar o caminho mais curto entre dois ns especficos (ns 1 e 5 abaixo).

2

1 5

3

1

3

43

2

41

O problema equivale a enviar uma unidade de fluxo do n 1 ao n 5 a custo mnimo


Fluxo de uma unidade a custo mnimo

Dada uma determinada rede com custos nas arestas, transportar a custo mnimo uma unidade de fluxo entre os dois ns.

2

1 5

3

1

3

43

2

41


Caminho mais curto em uma rede

min 3 x12 + 2 x13 + x24 + 4 x25 + x34 + 3 x45str1) x12 + x13 = 1r5) x25 + x45 = 1r2) x12 - x24 - x25 = 0r3) x13 - x34 = 0r4) x24 + x34 - x45 = 0x12 >= 0x13 >= 0x24 >= 0x25 >= 0x34 >= 0x45 >= 0


Exerccio Avaliao

O grafo a seguir ilustra uma rede de distribuio: centros produtores, armazns e centros de consumo. Uma empresa produz trs tipos de produtos, que devem ser distribudos da seguinte maneira: Produto A: 50 unidades de produzidas em 1 devem ser enviadas

para 18 Produto B: 50 unidades de produzidas em 5 devem ser enviadas

para 14 Produto C: 40 unidades produzidas em 10 devem ser enviadas

para 9


Exerccio Avaliao

1

12

8

15

76

432

9

1716

11 13

5

10

18

14


Exerccio Avaliao

Os valores mnimo e mximo do fluxo total (isto , considerando-se os trs produtos) que pode transitar em cada arco da rede so dados a seguir: Arcos horizontais: capacidade mnima = 5, capacidade

mxima = 40, custo unitrio de transporte = 100 Arcos verticais: capacidade mnima = 0, capacidade

mxima = 20, custo unitrio de transporte = 200 Arcos inclinados: capacidade mnima = 0, capacidade

mxima = 30, custo unitrio de transporte = 300


Exerccio Avaliao

Existem ainda as seguintes restries adicionais: Os ns 6, 7, 12 e 13 so armazns e o fluxo total atravs

de cada um deles no pode ser superior a 60 unidades. Em nenhum arco horizontal podem passar mais de 30

unidades do produto A. Em nenhum arco inclinado podem passar mais de 10

unidades do produto B. Em nenhum arco vertical podem passar mais de 10

unidades do produto C.


Exerccio Avaliao

Determine o fluxo timo de cada produto a sertransportado em cada arco, de modo a minimizar o custototal de transporte, utilizando um modelo de programao linear. Apresente os resultados, fornecendo: O arquivo usado como entrada (impresso) para o LINDO. O arquivo de sada (impresso) com os resultados do LINDO. Os valores dos fluxos em cada arco sobre uma cpia da rede na

transparncia 220, indicando tambm o valor da soluo tima(custo total de

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OtimizacaoONS-parte1