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Otimização de uma CalhaProf. Lúcio Fassarella
Maio/2014
Problema
Problema: Uma longa folha de metal galvanizado de largura w polegadas deve ser dobrada
para fazer uma calha trapezoidal simétrica com seção transversal na forma “\_/”. Determine a
forma da seção transversal da calha (comprimento da base e ângulo entre as laterais e a linha
horizontal) para a qual a seção transversal da calha tem área máxima. Para fazer uma calha,
você acha melhor que a seção transversal tenha a forma ótima obtida ou que ela seja semicircu-
lar?
[Adaptação de: J. Stewart: Cálculo Vol.II. Pioneira Thompson Learning: São Paulo, 2004: p.964.]
Resolução
Variáveis e funções
- “x” = comprimento da base da seção reta da calha, sendo 0 < x < w;
- “Θ” = ângulo entre a lateral da seção reta da calha e a linha horizontal, sendo 0 < Θ < Π;
- “A(x,Θ)” = área da seção reta da calha, sento A(x,Θ) = x(w-x)sin(Θ)/2+((w-x)^2)sin(Θ)cos(Θ)/4.
Estratégia analítica
i) Para cada Θ fixado, determinar o correspondente x(Θ) que torna a área A máxima e exprimir essa
área como função de Θ apenas: B(Θ)=A(x(Θ),Θ);
ii) Determinar o valor de Θ que torna a nova função A(Θ) máxima.
Função área (com duas variáveis, x e Θ)
In[1]:= A@x_, Θ_D = x * Hw - xL * Sin@ΘD � 2 + HHw - xL^2L * Sin@ΘD * Cos@ΘD � 4
Out[1]=
1
2
Hw - xL x Sin@ΘD +
1
4
Hw - xL2Cos@ΘD Sin@ΘD
Plotagem de A[x,Θ] para w=1
In[16]:= Plot3D@x * H1 - xL * Sin@ΘD � 2 + HH1 - xL^2L * Sin@ΘD * Cos@ΘD � 4,
8x, 0, 1<, 8Θ, 0, Π<, AxesLabel ® AutomaticD
Out[16]=
0.0
0.5
1.0
x
0
1
2
3Θ
-0.1
0.0
0.1
Na sequência, desenvolvemos a estratégia para resolver o problema (cuja solução pode ser esti-
mada pela análise do gráfico da função A[x,Θ]...)
Ponto crítico de A[x,Θ] em relação a x:
In[2]:= Solve@¶x HA@x, ΘDL � 0, xD
Out[2]= ::x ®
-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD
>>
Comprimento ótimo do fundo da calha para Θ dado:
In[3]:= X@Θ_D =
-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD
Out[3]=
-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD
Área em função de Θ:
In[4]:= B1@Θ_D = A@X@ΘD, ΘD
Out[4]=
H-w + w Cos@ΘDL Jw --w+w Cos@ΘD-2+Cos@ΘD N Sin@ΘD
2 H-2 + Cos@ΘDL+
1
4
Cos@ΘD w -
-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD
2
Sin@ΘD
In[5]:= SimplifyBH-w + w Cos@ΘDL Jw -
-w+w Cos@ΘD-2+Cos@ΘD N Sin@ΘD
2 H-2 + Cos@ΘDL+
1
4
Cos@ΘD w -
-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD
2
Sin@ΘDF
Out[5]=
w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD
In[6]:= B2@Θ_D =
w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD
Out[6]=
w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD
Ponto crítico de B2 em relação a Θ:
In[7]:= Solve@¶Θ HB2@ΘDL == 0, ΘD
Out[7]= ::Θ ® ConditionalExpressionB-
Π
3
+ 2 Π C@1D, C@1D Î IntegersF>,
:Θ ® ConditionalExpressionBΠ
3
+ 2 Π C@1D, C@1D Î IntegersF>>
X@Π � 3D
w
3
Área da seção transversal ótima:
In[9]:= A@w � 3, Π � 3D
Out[9]=
w2
4 3
Área da seção transversal semicircular:
In[10]:= Ac = H1 � 2L * Π * Hw � ΠL^2
Out[10]=
w2
2 Π
2 problema-otimizacao_calha.nb
Comparação:
In[11]:= N@A@w � 3, Π � 3D - AcD
Out[11]= -0.0148174 w2
Resposta
A calha trapezoidal ótima tem fundo com comprimento x = w/3 e laterais com ângulo Θ = Π/3 em
relação a linha horizontal.
Agora, a calha semicircular tem seção reta com área maior do que a área da seção reta da calha
trapezoidal ótima; considerando somente esse aspecto, é, portanto, melhor escolher a calha com
seção reta semicircular.
problema-otimizacao_calha.nb 3