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OTIMIZAÇÃO DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 2D COM
MULTIGRID GEOMÉTRICO, COM E SEM ANISOTROPIA GEOMÉTRICA
DOUTORANDA: Fabiane de Oliveira, M.Sc.ORIENTADOR: Carlos Henrique Marchi, Dr. Eng.CO-ORIENTADOR: Marcio Augusto Villela Pinto, Dr. Sc.
Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica PG-MEC - UFPRCuritiba – 17/04/2008
1º SEMINÁRIO DO PROJETO MULTIGRID
OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO MULTIGRID PARA PROBLEMAS DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
2
DADOS COMPUTACIONAIS
Hardware:Máquina: CFD7 do LENA 1;Processador Core2 Duo;2.66 GHz e 8 GB de RAM;
Software:Linguagem: FORTRAN/95;Versão 9.1 INTEL;Projeto console – releasePrecisão dupla, Windows xp 64 bits;
3
DADOS DO MODELO MATEMÁTICO E NUMÉRICO
Equação de Laplace;Condições de contorno de Dirichlet; Discretização: Método das diferenças finitas; Aproximação: CDS.
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DADOS DO MULTIGRID
Algoritmo: Full Approximation Scheme (FAS);Restrição: Injeção, meia ponderação, ponderação
completa;Prolongação: Interpolação bilinear;Solver: MSI, Gauss-Seidel e ADI;Malhas uniformes e malhas anisotrópicas;Razão de engrossamento: r = 2;Razões de aspecto: 4, 16, 1024, 4096, 16384 entre
outras.
5
EQUAÇÃO GOVERNANTE
Equação de Laplace 2D
yx CyCxy
T
x
T
0e0,02
2
2
2
0),0(),()0,(,),(
yTyCTCT
C
xsenCxT xx
xy
6
OTIMIZAÇÃO DO ITI E DOS ROTEIROS
Malhas uniformes;Roteiros:
ITI totalmente constante;ITI dinâmico;ITI constante na restrição e na prolongação;Dente-de-serra;Hortmann.
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ITI TOTALMENTE CONSTANTE
Figura: ITI totalmente constante para ITI = 4 e L = 6
8
ITI TOTALMENTE CONSTANTE
O número ótimo de iterações internas é igual a 3; Dado um N, o uso de poucos níveis conduz a
um maior tempo de CPU; O número ótimo de níveis é igual ao número
máximo; Um padrão de comportamento nos parâmetros
estudados (número de iterações internas e número de níveis) pode ser determinado somente a partir de problemas de tamanho 129x129;
Recomenda-se usar ITI = 3 e L = Lmax.
9
ITI DINÂMICO
Figura: ITI dinâmico para L = 6
10
ITI DINÂMICO
O número de iterações internas é maior na restrição do que na prolongação;
O número de iterações internas na prolongação varia entre 1, 2 e 3;
Na malha mais grossa o número de iterações internas é igual a 1;
O cálculo do resíduo demanda muito tempo de CPU;O melhor algoritmo obtido para iti dinâmico foi com o
uso de uma tolerância interna de 0,01. Tolerâncias internas muito pequenas fazem com que o número de iterações internas seja muito alto e em conseqüência aumente o tempo de CPU, por outro lado tolerâncias internas grandes reduzem demasiadamente o número de iterações internas, aumentando o número de ciclos e consequentemente também o tempo computacional.
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ITI DINÂMICO X ITI CONSTANTE
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
0,1
1
10
100
Tol_d=0,01 Tol_d=0,1 Told_=0,2 ITI totalmente constante
Tem
po d
e C
PU
N
12
ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA PROLONGAÇÃO
Figura: ITI totalmente constante na restrição e na prolongação
13
ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA PROLONGAÇÃO
Para os problemas testados a soma do número de iterações internas para a restrição e prolongação é igual a 6;
Iti_p = 3 com iti_r = 3 é melhor entre os algoritmos de iti_p e iti_r fixos.
ALGORITMO DE HORTMANN
E
SUAS VARIAÇÕES
15
HORTMANN
Figura: Hortmann para L = 6
16
HORTMANN MODIFICADO
Figura: Hortmann modificado para L = 6
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HORTMANN MODIFICADO INVERSO
Figura: Hortmann modificado para L = 6
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HORTMANN MODIFICADO COM ITI_P CONSTANTE
Figura: Hortmann modificado variando iti_p para L = 6
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HORTMANN E SUAS VARIAÇÕES
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
0,1
1
10
100
Hortmann Hortmann modificado Hortmann modificado inverso Hortmann modificado inverso com iti_p=3
Tem
po d
e C
PU
N
DENTE DE SERRA
E
SUAS VARIAÇÕES
21
DENTE DE SERRA TIPO I
Figura: Dente-de-serra (tipo I) para L = 6
22
DENTE DE SERRA TIPO II
Figura: Dente-de-serra (tipo II) para L = 6
23
DENTE DE SERRA TIPO II MODIFICADO
Figura: Dente-de-serra (tipo II) modificado para L = 6
24
COMPARAÇÕES ENTRE OS ALGORTIMOS
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
0,1
1
10
100
Dente-de-serra tipo II modificado Hortmann modificado ITI_p = 3 ITI dinâmico com tol = 0,01 ITI totlamente constante
Tem
po d
e C
PU
N
25
COMPARAÇÕES ENTRE OS ALGORTIMOS
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
10-1
100
101
Dente-de-serra tipo II modificado Hortmann modificado ITI_p =3 ITI toalmente constante
Tem
po d
e C
PU
N
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ITI TOTALMENTE CONSTANTESOLVERS
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
0,1
1
10
100
MSI Gauss-Seidel ADI
Tem
po d
e C
PU
N
27
ITI TOTALMENTE CONSTANTETIPOS DE RESTRIÇÃO
Figura : Tempo de CPU x N
104 105 106
0,1
1
10
Injeção Meia ponderação Ponderação completa
Tem
po d
e C
PU
N
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ANISOTROPIA
Analisar diversos tipos de anisotropia geométrica;
Propor um método que otimize a convergência do multigrid em problemas anisotrópicos.
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ALGORITMOS
Engrossamento padrão para o problema isotrópico;
Engrossamento padrão para o problema anisotrópico;
Semi-engrossamento (MULDER, 1989);
Semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (ZHANG, 2002).
30
ANISOTROPIA TIPO I
yhxh
yNxN
yCxC Figura: Anisotropia Tipo I
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ANISOTROPIA TIPO II
yNxN
yCxC
yhxh
Figura: Anisotropia Tipo II
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ANISOTROPIA TIPO III
yNxN
yCxC
yhxh
Figura: Anisotropia Tipo III
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ANISOTROPIA TIPO IV
yNxN
yCxC
yhxh
Figura: Anisotropia Tipo IV
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RESULTADOS ESPERADOS
Reduzir significativamente o tempo de CPU necessário para resolver a equação de Laplace bidimensional em malhas estruturadas uniformes e uniformes por direção com alta razão de aspecto;
Estabelecer um procedimento com o intuito de aumentar a taxa de convergência em problemas com anisotropia geométrica, diminuindo desta forma o tempo de CPU.