Osilator Harmonik

Osilator harmonik : gerak bolak-balik yang terjadi di sekitar titik kesetimbangan.

Salah satu contoh dari osilator harmonik yang sering kita jumpai adalah dalam sistem

pegas, bandul yang diayunkan dan masih banyak lagi. Untuk lebih mempermudah,

maka pembahasan dari osilator harmonik difokuskan pada sistem pegas.

Misalkan ada sebuah benda bermassa m yang diikatkan pada pegas ideal dengan

konstanta gaya k dan bebas bergerak di atas permukaan horizontal yang licin (tanpa

gesekan), merupakan contoh dari osilator harmonik.

Gaya pemulih pada balok pegas,

F = - k x , Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya disini berlawanan dengan arah

perpanjangan pegas (x)

F = - k x

F = 0

F = - k x

x

x

Titik setimbang (x = 0)

Berdasarkan hukum Newton II, diketahui bahwa F = m a , sehingga :

F = m a

- k x = mx

mx + k x = 0

x+ km

x = 0

x+ω2x = 0 , dimana ω=√ km

Operator pada persamaan fisika kuantum dapat dituliskan sebagai berikut :

Ĥ Ѱ (x ) = E ѱ (x )

Dimana :

Ĥ : (operator energi / Hamiltonian)

Ѱ (x) , ѱ (x ) : fungsi gelombang

E : nilai eigen energi

Tinjau osilator harmonik untuk satu dimensi :

E = 12

m vx2+

12

k x2

Dalam mekanika kuantum, operator Hamiltonian (operator energi total) dapat

dirumuskan sebagai berikut :

Ĥ = T+ V

H = P2

2m+1

2k x2 , k=ω2m

H = P

2m+1

2mω2 x2 ………………………………………………………………… (1)

E = K + P , K = energi kinetik = 12

m v2

P = energi potensial pegas = 12

k x2

Ĥ = (−iħddx

)2 1

2 m +

12

mω2 x2

Ĥ = (−iħddx

)(−iħddx

) 12m

+ 12

mω2 x2

Ĥ =−ħ2

2m

d2

dx2 + 12

mω2 x2

Ĥ =−ħ2

2m

d2

dx2 + 12

mω2 x2

Ĥ Ѱ (x) = −ħ2

2m

d2

dx2 ѱ (x ) + 12

mω2 x2 ѱ (x ) = E ѱ ( x ) …………………………… (2)

Persamaan (2) ini yang disebut sebagai persamaan Schrӧdinger time-independent

E ѱ (x ) =−ħ2

2m

d2

dx2 Ѱ (x ) + 12

ω2m x2 ѱ (x )………………………………………... (3)

Persamaan Schrӧdinger pada persamaan (3) membutuhkan solusi penyelesaian, yang

mana solusi yang diharapkan ini berupa tingkat energinya. Sehingga persamaan (3)

dapat dituliskan menjadi :

E ѱ (x ) = (−ħ2

2m

d2

dx2 + 12

mω2 x2)ѱ (x )

E ѱ (x ) = 1

2m (−ħ2

d2

dx2 + m2 ω2 x2)ѱ (x ) , jika p=−iħddx

E ѱ (x ) = 1

2m ( p2 + m2 ω2 x2)ѱ (x )

E ѱ (x ) = 1

2m [( p)2+(mω x )2 ] ѱ (x) …………………………………………….. (4)

Dengan menggunakan sifat aljabar yang menyatakan bahwa :

a2+b2 = (ia+b)(−ia+b)

Sehingga persamaan (4) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor, yaitu

E ѱ (x ) = 1

2m [(i p+mω x)(−i p+mω x)] ѱ (x) ,

12m

= 12

(√2m)2 = (

1

√2 m¿ (

1

√2 m¿

E ѱ (x ) = (1

√2 m¿ (

1

√2 m¿ [(mω x+i p)(mω x−i p)] ѱ (x )

E ѱ (x ) = [ 1

√2m(mω x+i p) 1

√2 m(mω x−i p)]ѱ (x )……………………………… (5)

Jika diketahui bahwa a−¿¿dan a+¿¿ adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai

berikut :

a± ≡1

√2 m(mω x∓ i p )

Maka persamaan (5) akan menjadi :

E ѱ (x ) = ¿ ………………………………………………………... (6)

a−¿ a+¿¿ ¿ adalah operator, bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator tidak bersifat

komut (aop bop≠ bop aop) sehingga perlu dicek hasil dari a−¿ a+¿¿ ¿ dan a+¿ a−¿ ¿¿

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ [ 1

√2m(mω x+i p ) 1

√2m(mω x−i p )]

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 1

2m[ (m2ω2 x2−imω x p+ imω p x−i2 p2 ) ]

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 1

2m[ (m2ω2 x2−imω x p+ imω p x+ p2 ) ]

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 1

2m¿ …………..……………………… (7)

Pada mekanika kuantum, hubungan komutator antara x dan p ditunjukkan oleh :

[ x , p ]=¿ x p− p x=iħ

Sehingga persamaan (7) menjadi

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 1

2m¿

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 1

2m[ (m2ω2 x2+ p2+ħ mω ) ]

a−¿ a+¿=¿ ¿¿ 12

m ω2 x2+ 12m

p2

+ ħ ω2

12

m ω2 x2+ 12 m

p2

=a−¿ a+¿− ħω

2¿¿ ………………………………………………….. (8)

Diketahui bahwa H = P

2m+1

2mω2 x2 , sehingga akan diperoleh bentuk persamaan

Schrӧdinger baru, yaitu

H Ѱ (x )=¿ …………………………………………………… (9)

Persamaan (9) adalah salah satu bentuk dari operator Hamiltonian untuk osilator

harmonik. Persamaan (9) juga dapat dinyatakan dalam bentuk

E ѱ (x ) = a−¿ a+¿ѱ( x)−

ħ ω2 ѱ( x)¿

¿

a−¿ a+¿ѱ (x )=¿ ¿¿ Eѱ ( x )+ ħω2

ѱ (x)

a−¿ a+¿ѱ (x )=¿ ¿¿ (E+ ħ ω2 )ѱ (x) …………………………………………………... (10)

Dengan cara yang sama untuk mendapatkan hasil dari a−¿ a+¿¿ ¿ , digunakan untuk

mendapatkan hasil dari a+¿ a−¿ ¿¿ yaitu

a+¿ a−¿=[ 1

√ 2m(mω x−i p) 1

√ 2m(mω x+ i p) ]¿¿

a+¿ a−¿=

12 m [ (m2 ω2x2+ imω x p−imω p x−i2p2 ) ] ¿

¿

a+¿ a−¿=¿¿ ¿ 1

2m[ (m2ω2 x2+imω x p−imω p x+ p2 ) ]

a+¿ a−¿=¿¿ ¿ 1

2m¿ , [ x , p ]=¿ x p− p x=iħ

a+¿ a−¿=¿¿ ¿ 1

2m¿

a+¿ a−¿=¿¿ ¿ 1

2m[ (m2ω2 x2+ p2−ħ mω ) ]

a+¿ a−¿=¿¿ ¿ 12

m ω2 x2+ 12m

p2

−ħω2

12

m ω2 x2+ 12 m

p2

=a−¿ a+¿+ħω

2¿¿ ……………………………………………….... (11)

H Ѱ (x )=¿ ………………………………………………….. (12)

Persamaan (12) adalah salah bentuk kedua dari operator Hamiltonian untuk osilator

harmonik. Persamaan (12) juga dapat dinyatakan dalam bentuk

E ѱ (x ) = a+¿ a−¿ ѱ ( x )+

ħω2 ѱ(x) ¿

¿

a+¿ a−¿ ѱ ( x )=¿¿ ¿ E ѱ ( x )−ħω2

ѱ (x)

a+¿ a−¿ ѱ ( x )=¿¿ ¿ (E−ħ ω2 )ѱ (x ) …………………………………………………... (13)

Untuk mengetahui sifat dari operator a−¿¿ jika bekerja pada suatu fungsi eigen ѱ (x ).

Misalkan suatu fungsi Ѱ (x)≡a−¿ѱ (x)¿. Jika H bekerja pada Ѱ (x) , dengan

H=¿ akan menghasilkan

H Ѱ ( x )=H a−¿ѱ (x)¿

H Ѱ ( x )=¿

H Ѱ ( x )=a−¿ a+¿ a−¿ѱ( x )−ħω

2a−¿ѱ( x) ¿ ¿

¿¿

H Ѱ ( x )=a−¿(E−ħ ω

2 ) ѱ ( x )−ħ ω2

a−¿ ѱ(x) ¿¿

H Ѱ ( x )=(E−ħω2

−ħ ω2 ) a−¿ ѱ ( x )¿

H Ѱ ( x )=( E−ħω) a−¿ѱ ( x ) ¿

H Ѱ ( x )=( E−ħ ω) ѱ ( x )………………………………………………………… (14)

Persamaan (14) menunjukkan bahwa operator a−¿¿ akan menurunkan energi sebesar

ħ ω. Demikian juga jika operator a−¿ a−¿¿¿ bekerja pada ѱ ( x ) maka akan menurunkan

energi sebesar 2 ħω , dan seterusnya.

Jika

Ѱ ( x )= a−¿ a−¿ a−¿ a−¿…a−¿ѱ( x ) ¿ ¿ ¿¿¿

Ѱ ( x )= a−¿n ѱ ( x ) ¿

Maka

H Ѱ ( x )=( E−nħ ω) ѱ ( x )……………………………………………...………… (15)

Sifat dari operator a+¿¿ jika bekerja pada suatu fungsi eigen ѱ (x ). Misalkan suatu

fungsi Ѱ (x)≡a+¿ѱ (x)¿. Jika H bekerja pada Ѱ (x) , dengan H=¿ akan menghasilkan

H Ѱ ( x )=H a+¿ ѱ (x)¿

H Ѱ ( x )=¿

H Ѱ ( x )=a+¿ a−¿ a+¿ѱ( x ) + ħω

2a+¿ѱ( x )¿ ¿

¿ ¿

H Ѱ ( x )=a+¿(E+ħ ω

2 )ѱ ( x )+ħ ω2

a−¿ѱ (x) ¿¿

H Ѱ ( x )=(E+ ħ ω2

+ ħ ω2 ) a+¿ ѱ ( x )¿

H Ѱ ( x )=( E+ħ ω) a+¿ ѱ ( x ) ¿

H Ѱ ( x )=( E+ħ ω) ѱ (x )…………………………………………………………. (16)

Persamaan (15) menunjukkan bahwa operator a+¿¿ akan menaikkan energi sebesar ħ ω

. Demikian juga jika operator a+¿ a+¿¿¿ bekerja pada ѱ ( x ) maka akan menaikkan energi

sebesar 2 ħω , dan seterusnya.

Jika

Ѱ ( x )= a+¿ a+¿ a+¿ a+¿… a+¿ѱ ( x ) ¿ ¿¿¿¿

Ѱ ( x )= a+¿n ѱ ( x ) ¿

Maka

H Ѱ ( x )=( E+nħ ω) ѱ (x )…………………………………………………….….. (17)

Jika a−¿¿ dioperasikan berkali-kali pada ѱ ( x ) maka suatu saat akan tercapai suatu

kedaan yang memiliki energi terendah. Keadaan dengan energi terendah biasa disebut

dengan keadaan dasar (ground state). Misalkan ѱ0 ( x ) adalah solusi untuk keadaan

dasar, maka pengoperasian operator a−¿¿ pada ѱ0 ( x ) akan menghasilkan nilai nol

karena tidak ada lagi keadaan dengan energi lebih rendah.

a−¿ѱ 0 ( x )=0¿

Untuk menentukan nilai energi osilator harmonik pada keadaan dasar, persamaan

energi E ѱ (x ) = a+¿ a−¿ ѱ ( x )+

ħω2 ѱ(x) ¿

¿ untuk nilai ѱ ( x )=ѱ 0 ( x ) , maka nilai energinya sama

dengan E0

E0 ѱ0 ( x ) = a+¿ a−¿ ѱ0

( x )+ħ ω

2 ѱ0(x )¿

¿ , a−¿ѱ 0 ( x )=0¿

E0 ѱ0 ( x ) = a+¿(0 )+ħ ω2

ѱ 0 (x )¿

E0 ѱ0 ( x ) = ħ ω2

ѱ0 (x )

E0 = ħ ω2

,

energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik tidak sama dengan nol. Untuk

mendapatkan nilai energi pada keadaan tereksitasi ke-n , En dapat diturunkan dari

persamaan En ѱ ( x )= ( E+nħ ω) ѱ (x )

En ¿ E+nħ ω , E = E0

En ¿ħ ω2

+nħ ω

En = ħ ω (n+ 12) …………………………………………………………………… (18)

Persamaan (18) merupakan solusi untuk tingkatan energi dari osilator harmonik.

Fungsi partisi dapat dinyatakan sebagai berikut :

Z = ∑k

exp ¿¿k)

Fungsi partisi untuk osiltor harmonik dapat dinyatakan persamaan berikut :

Z = ∑n=0

exp ¿¿( n + 12

)ħω)

= ∑n=0

exp ¿¿ + (

−β ħω2

))

= ∑n=0

exp ¿¿)exp(−β ħω

2)

=exp(−β ħω

2)∑

n=0

exp ¿¿)…………………...………………………… (19)

Untuk menentukan nilai ∑n=0

exp (−β¿n ħω)¿ , digunakan penjumlahan deret geometri

yaitu

∑n=0

xn= 1

1−x …………………………….…………………………………...… (20)

Berlaku untuk |x| <1

Jika persamaan (20) disubstitusikan ke dalam persamaan (19) , persamaannya menjadi

Z = exp(−β ħω

2)

11−exp (−βn ħω)