CHAPITRE VI

OSCILLATIONS AUTO-ENTRETENUES

I- GENERALITES

Les oscillateurs auto-entretenus sont des systèmes qui engendrent des oscillations

périodiques de durées illimitées en empruntant l’énergie nécessaire à des sources

continues selon leur propre rythme contrairement aux oscillateurs forcés qui

reçoivent périodiquement l’énergie avec une période qui peut être très différente

de leur période propre. Ce sont de véritables générateurs d’énergie à variations

alternatives.

On a des oscillations auto-entretenues dans une montre, dans une sonnerie

électrique, un générateur à lampe d’oscillation électromagnétique, une horloge

balancier, une machine, le muscle cardiaque etc.

Dans une vibration auto-entretenue la force alternative qui maintient le mouvement

est créée et gouvernée par le mouvement lui-même. Quand la vibration cesse, la

force alternative disparait.

Dans une vibration forcée, la force alternative existe indépendamment du

mouvement et elle existe même si l’on supprime le mouvement vibratoire.

On peut aussi regarder une oscillation auto-entretenue comme une vibration libre

avec une résistance négative. La force due à une résistance visqueuse ordinaire est

proportionnelle à la vitesse et dirigée en sens inverse. La force résistante négative

est aussi proportionnelle à la vitesse, mais dirigée dans le même sens. Au lieu de

diminuer l’amplitude de la vibration, la résistance négative l’augmentera. Cette

seconde définition ne contredit pas la première puisque la force résistante, qu’elle

soit positive ou négative disparait quand le mouvement s’arrête.

L’équation différentielle d’un système à un degré de liberté à résistance négative

est :

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2− 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0

La solution est : 𝑥 = 𝑒𝐶𝑡

2𝑚 (Acost + Bsint)

qui est une vibration dont l’amplitude augmente suivant une exponentielle (figure

(b)) ci-dessous :

- Mouvement libre d’un système statiquement instable (a), statiquement

stable et dynamiquement instable (b), statiquement et dynamiquement

stable (c).

On dit souvent qu’un système avec résistance positive est dynamiquement stable

(figure(c)) tandis qu’un système à résistance négative est dynamiquement instable

(figure (b)). Il ya une différence entre stabilité dynamique et stabilité statique. Un

système mécanique est statiquement stable si un déplacement à partir de la position

d’équilibre donne naissance à une force (ou un couple) qui tend à le ramener à sa

position d’équilibre. Il est statiquement instable si la force ainsi créée tend à

l’éloigner d’avantage de sa position d’équilibre.

La figure ci-dessus représente un système dans les trois cas de stabilité. Il est à noter

que la stabilité dynamique présuppose la stabilité statique (figure (c)) mais que

l’inverse n’est pas vrai : un système statiquement stable peut être dynamiquement

instable (figure (b)).

Au point de vue des fréquences, dans la plupart des cas des vibrations auto-

entretenues, la force résistante négative est très faible par rapport aux forces

élastiques et d’inertie du système. Si elle était nulle, la fréquence serait la

fréquence naturelle. Une force résistante, positive ou négative, diminue la

fréquence propre. Cependant, dans la plupart des applications industrielles, cette

diminution est négligeable, si bien que l’on peut admettre que la fréquence d’une

vibration auto-entretenue est la fréquence propre du système.

C’est lorsque la force résistante négative est grande par rapport à celle élastique ou

d’inertie que la fréquence diffère d’une façon appréciable de la fréquence propre.

De tels cas sont connus sous le nom d’oscillations de relaxations.

Au point de vue des énergies, si la résistance est négative le travail effectué par la

force résistante est positif. Il donne une énergie cinétique supplémentaire, et la

vibration augmente.

Une vibration auto-entretenue ne peut exister qu’autant qu’il existe une source

extérieure d’énergie. Dans la plupart des applications industrielles, cette source ne

possède aucun caractère oscillatoire ; c’est le cas par exemple d’un réservoir d’eau

ou de vapeur sous pression, d’un vent constant etc. mais il ya des cas ou la source

est effectivement oscillatoire avec une fréquence très supérieure à celle de la

vibration qu’elle excite.

Pour un système réellement linéaire à vibrations auto-entretenues l’amplitude

deviendra infiniment grande avec le temps, puisqu’à chaque cycle, le système reçoit

un peu plus d’énergie. En pratique, tout système est simultanément soumis à des

résistances négatives et positives, si bien que l’amplitude ne peut devenir infinie.

Toujours est-il qu’elle augmente jusqu’à une valeur importante.

.Exemple de système auto-entretenu: la sonnerie électrique

L’oscillateur est une plaque de fer (L) portée par une lampe métallique élastique

(AB) fixée en B et placée devant le noyau de fer (N) d’un électroaimant (E).

. Dans la position d’équilibre il existe un contact électrique souple en C entre

la plaquette (L) et le circuit de la pile (P) ;

. Si (K) est fermé, le courant aimante (N) qui attire (L) et le circuit s’ouvre en

(c) ;

. Le circuit étant ouvert, (N) se désaimante et (L) rappelé élastiquement par

(AB) revient toucher (C) ;

. Le circuit étant fermé à nouveau, (N) est réaimanté et le cycle reprend.

Il faut noter que par auto-induction, l’intensité du courant à augmenté quand (L)

revient vers la gauche ; ainsi pour une même position x, l’attraction sur (L) est plus

grande quand (L) se rapproche de (N) que lorsqu’elle s’en éloigne. Le travail fourni

au vibreur durant une période par la force d’attraction F est représenté par

l’intégrale de 𝐹𝑑x au cours du cycle ; il est positif.

C’est le mouvement de l’oscillateur qui commande le débit d’énergie de la pile (P).

L’entretien est possible car la force n’est pas une fonction univoque du déplacement.

S’il n’en était pas ainsi, travail moteur et travail résistant seraient égaux dans une

période et l’énergie fournie serait nulle.

II- RESISTANCE NEGATIVE – ENTRETIEN D’UN CIRCUIT OSCILLANT

Soit l’équation d’un oscillateur sinusoïdale amorti :

�̈� + 2𝛼𝜔0�̇� + 𝜔02𝑥 = 0

Si l’on parvenait à annuler à chaque instant le terme 2𝛼𝜔0�̇� en introduisant dans le

système oscillant un terme résistant négatif −2𝛼𝜔0�̇�, l’équation deviendrait celle

d’un oscillateur harmonique et l’on obtiendrait l’entretien de l’oscillateur. Cette

condition peut être réalisée pour des systèmes mécaniques, électriques ou autres.

Pour comprendre le mécanisme des oscillations auto-entretenues, nous allons

étudier un circuit électrique oscillant r, L, C branché aux bornes d’un amplificateur

opérationnel.

1- Dispositif et description du phénomène

Soit le montage ci-dessous comportant un circuit r, L, C et un amplificateur

opérationnel (A.O) entre les bornes A et S. un oscilloscope (𝑌1) visualise la tension

𝑈𝐴𝑀 = 𝑅2𝑖 c'est-à-dire l’intensité i du courant qui traverse à la fois le dipôle (L, C)

dans la mesure où 𝑖+ = 0.

A.O parfait 𝑖+ = 𝑖− = 0

En fonctionnement linéaire 𝜀 = 0

-pour des valeurs faibles de 𝑅1, aucune oscillation n’est observée.

-si on augmente progressivement la valeur de 𝑅1, des oscillations non

amorties, quasi sinusoïdales, de période égale à la période propre du dipôle (L, C)

prennent naissance dans le circuit.

-si on observe des oscillations dès la fermeture du circuit, leur amplitude croit

et l’on se stabilise.

-si l’on continue d’augmenter 𝑅1 les oscillations ne sont plus sinusoïdales.

2- Interprétation

Lorsque l’A.O fonctionne en régime linéaire 𝜀 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 0 , d’où on a :

𝑉𝐴 − 𝑉𝑀 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑀 car 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵

Sachant que 𝑉𝐴 − 𝑉𝑀 = 2𝑅2𝑖 et 𝑉𝐵 − 𝑉𝑀 = 2𝑅𝑖′,

On a 𝑅2𝑖′ = 𝑅2𝑖 ⇒ 𝑖 = 𝑖′

Par conséquent, 𝑉𝐴 − 𝑉𝑆 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑆 = −𝑅1𝑖′ = −𝑅1𝑖

Le dipôle (A, S) contenant l’A.O est donc équivalent à un générateur délivrant une

tension 𝑈𝐺 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝑆 proportionnelle à l’intensité i du courant qui le traverse ; on a :

𝑉𝐴 − 𝑉𝑆 = 𝑈𝐺 = −𝑅1𝑖

Le montage étudié est donc équivalent au circuit ci-dessous :

On parle ainsi d’un montage à résistance négative car la tension entre la borne

d’entrée A et de sortie S du courant dans ce dipôle s’écrit :

𝑈𝐴𝑆 = −𝑅1𝑖 .

Notons qu’aux bornes d’un conducteur ohmique, la tension s’écrirait

𝑈𝐴𝑆 = 𝑅1𝑖

avec i de A vers S.

La résistance totale du circuit est donc égale 𝑟 − 𝑅1. Si l’on choisit 𝑟 = 𝑅1,

condition dite d’accrochage, cette résistance totale est nulle et on observe des

oscillations libres non amorties de périodes 𝑇0 = 2𝜋√𝐿𝐶.

Notons que l’oscillateur n’a pas été lancé ; ce sont des sources extérieures

(±15𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠) alimentent l’A.O qui fournissent l’énergie nécessaire à l’établissement

des oscillations, puis leur entretien.

C’est un oscillateur auto-entretenu car il puise l’énergie d’une source selon son

propre rythme.

Ainsi un montage avec un A.O dit à résistance négative permet d’initier, puis

d’entretenir les oscillations d’un dipôle oscillant en conservant la période propre.

3- Mise en équation

La loi d’additivité des tensions aux bornes du dipôle (r, L, C) donne :

𝑉𝑆 − 𝑉𝐴 = 𝑈𝐴𝑆 = 𝑈𝐶 + 𝑈𝐿 (1)

Avec 𝑈𝐶 =𝑞

𝐶 (2) et 𝑈𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑟𝑖 (3)

Ou q désigne la charge de l’armature reliée à S.

Or le dipôle comprenant l’A.O impose une ddp :

𝑈𝐴𝑆 = −𝑅1𝑖 soit 𝑈𝐴𝑆 = 𝑅1𝑖 (4)

Ainsi d’après (2), (3) et (4) l’équation (1) s’écrit :

𝑞

𝐶+ 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑟𝑖 = 𝑅1𝑖 (5)

qui est l’équation différentielle régissant l’intensité du courant dans le circuit. Avec

𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡= �̇� (compte tenu de l’orientation du circuit), (5) s’écrit :

𝐿�̈� + (𝑟 − 𝑅1)�̇� +𝑞

𝐶= 0 (6)

4- Aspect énergétique et entretien des oscillations

La puissance échangée par le circuit par le circuit (r, L, C) avec le dipôle de l’A.O et

l’environnement est :

𝑑𝐸𝑒𝑚

𝑑𝑡= (𝑟 − 𝑅1)𝑖2

où 𝐸𝑒𝑚 est l’énergie électromagnétique. Selon le signe de (𝑟 − 𝑅1), l’énergie sera

reçue ou dissipée.

Si l’on ajuste 𝑅1 de telle sorte que 𝑅1 ≈ 𝑟, le terme d’amortissement s’annule et l’on

a des oscillations non amorties de sorte que :

𝑑𝐸𝑒𝑚

𝑑𝑡= 0

L’énergie de l’oscillateur se conserve au cours du temps et la puissance 𝑟𝑖2 perdue

par effet joule se compense pratiquement par la puissance 𝑅1𝑖2 fournie au circuit

par le dipôle contenant l’A.O.

5- Naissance des oscillations

Considérons le cas où 𝑅1 > 𝑟 c’est-à-dire 𝑟 − 𝑅1 < 0, l’équation (6) peut se mettre

sous la forme :

�̈� + 𝐴�̇� + 𝜔02𝑞 = 0 avec 𝐴 =

𝑟−𝑅1

𝐿 et 𝜔0

2 =1

𝐿𝐶

Il suffit d’une charge infime due à l’agitation thermique des électrons dans les

armatures pour amorcer des oscillations dont on a la représentation ci-dessous :

L’amplitude de l’oscillation croit de façon exponentielle et l’on a 𝑑𝐸𝑒𝑚

𝑑𝑡> 0 : le

système reçoit de l’énergie du dipôle.

6- Stabilisation des oscillations

∗ Nécessité d’une non linéarité dans le dispositif oscillant

Comment les oscillations qui croissent pour un coefficient A<0 peuvent-elles se

stabiliser ?

−Si A restait toujours négatif, l’amplitude continuerait de croitre jusqu’à

détérioration du système oscillant.

−La stabilisation ne peut se produire que dans la mesure où A change de signe

tel que A soit positif (𝐴 > 0). Dans ce cas le système oscillant s’amortit en perdant

de l’énergie et l’amplitude des oscillations cesse de croitre.

Ainsi pour stabiliser les oscillations, A doit nécessairement varier au cours du temps

en prenant périodiquement les valeurs positives ou négatives. Comme A ne garde pas

une valeur constante le régime est par conséquent non linéaire. Il en résulte donc

que les oscillations ne sont pas sinusoïdales.

∗ Stabilisation des oscillations dans les oscillateurs électronique

Lorsque la valeur absolue de la charge q du condensateur atteint une certaine valeur

𝑞0 l’A.O change de régime de fonctionnement en entrant en saturation avec une

tension de sortie 𝑈𝑆 = ±𝑉𝑠𝑎𝑡.

Le dipôle contenant l’A.O n’est donc plus équivalent à une "résistance négative" et

l’équation vérifiée par la charge est du type :

�̈� + 𝐴�̇� + 𝜔02𝑞 = 0 avec cette fois 𝐴 > 0.

Il en résulte alors un amortissement des oscillations. Comme déjà indiqué, le régime

des oscillations n’est pas sinusoïdal et il s’en écarte notablement lorsque 𝑅1 est

nettement supérieur à r ; on obtient alors des oscillations qui se rapprochent des

oscillations de relaxation.

∗ Modélisation de Van der pohl

Pour expliquer la stabilisation des oscillations, Van der pohl a proposé une équation

différentielle de la forme :

�̈� + 𝜔 (−1 +𝑍2

𝑎2) �̇� + 𝜔02𝑍 = 0

où 𝑎2 𝑒𝑡 𝜀 sont des constantes positives.

La représentation de Z en fonction du temps, pour des conditions initiales 𝑍0 = 0 et

�̇� petit est donnée par la figure ci-dessous :

L’observation des courbes montre que les oscillations croissent et finissent par se

stabiliser. L’analyse de l’équation de Van der pohl permet de comprendre ce

résultat :

−Si|𝑍| < 𝑎, le coefficient 𝐴 = 𝜀(−1 +𝑍2

𝑎2) est négatif : les oscillations ont une

amplitude croissante ;

−Si |𝑍| > 𝑎 le coefficient A devient positif : les oscillations se stabilisent.

CHAPITRE VII

OSCILLATIONS DE RELAXATION

I- GENERALITES

Il s’agit d’une classe d’oscillations non linéaires qu’on peut placer dans les

oscillations auto-entretenues pour lesquelles il n’ya pas d’état d’équilibre mais un

va-et-vient entre les deux extrêmes.

Le fonctionnement de ces oscillations d’un type un peu particulier exige une source

extérieure d’énergie continue.

Des exemples de courbes de variations sont le créneau et la dent de scie.

II- EXEMPLES D’OSCILLATEURS DE RELAXATION

1- Vase culbuteur

Il s’agit d’un vase à deux compartiments 𝐶 𝑒𝑡 𝐶′ qui peut tourner autour d’un axe

horizontal de trace O. a vide, il ya deux positions d’équilibre, équivalents par

symétrie fixées par les butées 𝐵 𝑒𝑡 𝐵′.

Une source d’eau (robinet ou entonnoir exposé à la pluie) emplit lentement le

compartiment C. lorsque le niveau est assez haut pour que le centre de gravité

viennent au dessus de O, le vase bascule, C se vide brusquement tandis que 𝐶′

commence à s’emplir.

Une application de ce dispositif se trouve dans le pluviomètre à augets basculeurs

utilisé pour mesurer la hauteur de la pluie.

2- Le vase de tantale

C’est un récipient muni d’un siphon de grande sélection branchée à la cote ℎ1 et

remontant jusqu’à la cote d’amorçage ℎ2. Le récipient est alimenté en eau par un

robinet R.

Lorsque l’eau atteint le niveau ℎ2, le siphon s’amorce et le récipient se vide

brutalement jusqu’au niveau ℎ1 et le remplissage reprend.

Les figures ci-dessous représentent la fonction h(t) qui est périodique, mais qui n’a

rien de sinusoïdale et la fonction q(t) qui représente le débit dans le siphon.

h(t) a la forme de dents de scie quand q(t) revêt la forme d’impulsions plus ou moins

brèves.

3- Etude d’une décharge oscillante dans un tube au néon

Un générateur de tension continue E charge un condensateur C à travers une

résistance R. une lampe au néon L est placé en parallèle sur le condensateur.

La lampe étant éteinte au départ, sa résistance interne est infinie. Le

condensateur se charge à travers R et la tension V aux bornes de la

lampe augmente jusqu’à une tension d’allumage 𝑉𝑎 où la lampe

s’allume.

La lampe allumée possède une résistance interne 𝜌 finie (nulle à la

limite) ; le condensateur se décharge alors à travers 𝜌. La tension aux

bornes de C (et donc de L) diminue jusqu’à la tension d’extinction 𝑉𝑒 ou

la lampe s’éteint.

Le condensateur recommence à se charger à travers R et un nouveau

cycle commence : on a ainsi la naissance d’oscillation de relaxation.

a- Equations

Loi de charge du condensateur

L’équation électrique peut s’écrire :

E = Ri + V (1)

Avec 𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡 (𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒) et 𝑉 =

𝑞

𝑐

On a l’équation différentielle : 𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡+

𝑞

𝑐= 𝐸 (2)

Soit encore : 𝑅𝐶𝑑𝑉

𝑑𝑡+ 𝑉 = 𝐸 (3)

On a: 𝑅𝐶𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐸 − 𝑉 soit

𝑑𝑉

𝐸−𝑉=

𝑑𝑡

𝑅𝐶 (séparation de variables)

L’intégration donne : ln (𝑉−𝐸

𝐾) = −

𝑡

𝑅𝐶 soit 𝑉 − 𝐸 = 𝐾𝑒−

𝑡

𝑅𝐶

On obtient : 𝑉 = 𝐸 + 𝐾𝑒− 𝑡

𝑅𝐶 (4)

K sera déterminé par les conditions initiales telles que :

A t = 0 ; q = 0

On a ainsi 𝑉(0) = 0 = 𝐸 + 𝐾 , soit 𝐾 = −𝐸

On a finalement : 𝑉 = 𝐸(1 − 𝐾𝑒−𝑡

𝑅𝐶) (5)

a- Période des oscillations

Si 𝑡𝑎 est le temps d’allumage, on a :

𝑉𝑎 = 𝑉( 𝑡𝑎) = 𝑉 = 𝐸(1 − 𝐾𝑒−𝑡𝑎𝑅𝐶)

Soit 𝑡𝑎 = 𝑅𝐶𝑙𝑛(𝐸

𝐸−𝑉𝑎) (6)

𝑡𝑒 étant l’instant où 𝑉𝑒 est atteinte la 1𝑒𝑟𝑒 fois, on a :

𝑉𝑒 = 𝑉( 𝑡𝑒) = 𝑉 = 𝐸(1 − 𝐾𝑒−𝑡𝑒𝑅𝐶)

Soit 𝑡𝑒 = 𝑅𝐶𝑙𝑛(𝐸

𝐸−𝑉𝑒) (7)

La figure ci-dessus montre que la période est :

𝑇 = 𝑡′𝑒 − 𝑡𝑒 = 𝑇𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 + 𝑇𝑑é𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 (8)

De manière générale, la résistance interne est négligeable et la décharge est

pratiquement instantanée ; on a alors :

𝑇𝑑é𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 ≪ 𝑇𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 soit 𝑇 ≈ 𝑇𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒

Or 𝑇𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑡𝑎 − 𝑡𝑒 (9)

On a donc:

𝑇 ≈ 𝑡𝑎 − 𝑡𝑒 = 𝑅𝐶𝑙𝑛(𝐸−𝑉𝑒

𝐸−𝑉𝑎) (10)

4- Les geysers

Il s’agit des jaillisseurs (mot islandais). Un geyser est une source chaude jaillissant

par intermittence. L’eau amassée dans les profondes fissures souterraines se

réchauffe au voisinage des laves volcaniques. Elle est portée à ébullition et se trouve

projetée en l’air grâce à la forte pression des gaz ainsi formé, ainsi par

intermittence. Aux USA le grand geyser projette de l’eau à 50 m avec une période

de 65 mn.

5- La réaction de BELOUSSOW-ZHABOTINSKI

Il s’agit d’une réaction de sel de cérium III avec de l’acide malonique CH2(COOH)2 et

du bromate de potassium KBrO3.

Dans certaines conditions, il s’établit un équilibre chimique ; dans d’autres, la

présence de férroine permet d’observer un changement de couleur tantôt rouge

(excès de Fe2+), tantôt bleu (excès de Fe3+) avec une périodicité parfaite de l’ordre

de quelques minutes.

CHAPITRE VIII

LA MODULATION

I- DEFINITIONS

En communication, il est d’usage de transmettre à distance des messages pouvant

prendre diverses formes : voix humaine ou music, photocopie ou film, séquences de

lettres ou chiffres.

La transmission des informations peut se faire par câble, par voie hertzienne ou

satellite. Dans les applications, les signaux qu’on désire transmettre ont des

fréquences allant de quelques hertz (Hz) à quelques mégahertz (MHz). On a de

manière générale les bandes suivantes :

0 – 120 Hz pour la télégraphie,

200 – 3000 Hz pour la téléphonie,

40 – 15000 Hz pour la radiophonie,

30000 Hz – 10 MHz pour la télévision.

Les signaux téléphoniques et télégraphiques peuvent être transmis

directement sur de longues distances par un câble conducteur reliant

l’émetteur au récepteur car, aux basses fréquences les pertes sont faibles. Il

faut cependant remarquer que, seule, une conversation peut se passer dans

les câbles.

Les signaux radio et télé se transmettre généralement par voie hertzienne (la

transmission possibles par câbles coaxiaux étant très affaiblis sur de longues

distances). Cela nécessite l’emploi d’une antenne assurant le couplage entre

le circuit électrique générateur du signal et l’espace (atmosphère) ou

s’effectue la propagation.

Or les dimensions de l’antenne doivent être de l’ordre de grandeur de la

longueur d’onde du signal à transmettre. Il est donc impossible, aussi bien

pour des questions d’encombrement que de largeur de bande, d’émettre

directement un signal basse fréquence (BF). Il est nécessaire de transposer les

informations BF dans une zone étroite de fréquence située autour de la

fréquence d’accord de l’antenne. Cela signifie qu’une onde haute fréquence

(HF) va servir de support au signal (BF) à transmettre. C’est l’opération de

modulation. L’onde HF est dite onde porteuse et l’onde BF est dite onde

modulante. Le signal émis est dite Onde modulée. Une fois captée le signal

modulé devra être démodulé c’est-à-dire démuni de sa porteuse ; c’est la

démodulation ou détection que nous ne traiterons pas ici.

Si 𝑒1 = 𝐸1 cos(𝛺𝑡 + 𝛷) est de l’onde porteuse fournie par un oscillateur, l’information

à transmettre doit être utilisée pour modifier l’un des paramètres caractérisant. On

a :

- La modulation d’amplitude lorsque E1 varie en fonction du temps au

rythme de la BF à transmettre ;

- La modulation de fréquence lorsque la fréquence F varie au rythme Du

signal BF ;

- La modulation de phase lorsque la phase est modifiée.

La modulation d’amplitude est dite linéaire et les modulations de fréquence et de

phase sont dites non linéaires.

Notons qu’il existe la modulation continue ou un signal sinusoïdal est utilisé comme

onde porteuse et la modulation par impulsions ou un train d’impulsions

rectangulaires pourra être considéré comme onde porteuse.

On appelle fréquence porteuse, 𝐹 = 𝛺 2𝜋⁄ de l’oscillateur. C’est par exemple celle

qui produit le petit bruit de souffle dans un récepteur lorsque le speaker ne parle

pas.

Avantage de la modulation

-Si la porteuse est de fréquence élevée, une puissance faible suffira pour

obtenir une portée importante avec une antenne à faibles dimensions.

-On peut acheminer sur le même fil ou canal hertzien plusieurs porteuses

modulées par des signaux BF différents : elles seront à la réception, isolées par un

filtrage. C’est le multiplexage des fréquences.

II- la modulation d’amplitude (M.A)

1- Soit l’onde porteuse HF non modulée représentée par :

𝑒1 = 𝐸1 cos(𝛺𝑡 + 𝛷) (1)

et l’onde BF, prise sinusoïdale, telle que :

𝑒2 = 𝐸2 cos 𝜔𝑡 (2) avec 𝜔 = 2𝜋𝑓

Dans la M.A on fait varier E1 par addition de e2 ; à chaque instant e1 devient :

𝑒1 = (𝐸1 +e2)cos(𝛺𝑡 + 𝛷)

Soit 𝑒1 = (𝐸1 +𝐸2 cos 𝜔𝑡)cos(𝛺𝑡 + 𝛷) (3)

On peut écrire 𝑒1 = 𝐸1(1 +𝐸2

𝐸1cos 𝜔𝑡) cos(𝛺𝑡 + 𝛷)

Soit 𝑒1 = 𝐸1(1 + 𝑚 cos 𝜔𝑡) cos(𝛺𝑡 + 𝛷) (4)

où m est le taux de modulation (varie pratiquement de 30% à 70%) :

On a 𝑚 =𝐸2

𝐸1 (5)

En développant et en utilisant la relation trigonométrique telle que :

cos 𝑎 cos 𝑏 =1

2[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]

On aboutit à :

𝑒1 = 𝐸1 cos(𝛺𝑡 + 𝛷) +𝑚𝐸1

2cos[(𝛺 − 𝜔) + 𝜙] +

𝑚𝐸1

2cos[(𝛺 + 𝜔) + 𝜙] (6)

Cette forme indique que le spectre d’une onde modulée en amplitude, par un signal

sinusoïdal, contient 3 composantes distinctes :

- La porteuse 𝐸1 cos(𝛺𝑡 + 𝛷)

- La composante latérale d’amplitude 𝑚𝐸1

2 et de pulsation (𝛺 − 𝜔)

- La composante latérale d’amplitude 𝑚𝐸1

2 et de pulsation (𝛺 + 𝜔)

La largeur totle du spectre est : (Ω + ω) − (Ω − ω) = 2ω.

Les composantes latérales sont distantes de 𝜔 par rapport à la porteuse et

transportent chacune la moitié de la puissance BF.

Plus la fréquence BF est élevée, (son aigu) et plus les ondes latérales sont

éloignées de l’onde porteuse F.

Représentation en fonction du temps du signal modulé

L’amplitude de la tension crête est : 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸1 + 𝐸2

L’amplitude en creux de modulation est : 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 𝐸1 − 𝐸2

On a 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸1 + 𝑚𝐸1 = 𝐸1(1 + 𝑚) (7)

𝐸𝑚𝑖𝑛 = 𝐸1 − 𝑚𝐸1 = 𝐸1(1 − 𝑚) (8)

(7)+ (8) ⇒ 𝐸𝑚𝑎𝑥 + 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 2𝐸1

(7)- (8) ⇒ 𝐸𝑚𝑎𝑥 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 2𝑚𝐸1

Soit 𝑚 =𝐸𝑚𝑎𝑥−𝐸𝑚𝑖𝑛

𝐸𝑚𝑎𝑥+𝐸𝑚𝑖𝑛 (9) ;

L’expression (9) permet de mesurer le taux de modulation.

2- Puissance mise en jeu

L’onde porteuse ayant été modulée, l’émetteur se présente comme un générateur

fournissant une tension modulée en amplitude de la forme (6), débitant une

résistance R. On peut alors effectuer le bilan des puissances dissipées.

a- Puissance dissipée en régime porteuse

On est en régime de porteuse pure lorsque la modulation n’est pas appliquée à

l’émetteur (m = 0) et l’on retrouve la porteuse seule : 𝑒1 = 𝐸1 cos(𝛺𝑡 + 𝛷).

L’énergie dissipée dans R est alors :

𝑊𝑃 =(𝐸𝑒𝑓𝑓)2

𝑅 (10)

Mais 𝐸𝑒𝑓𝑓 =𝐸1

√2 ; donc 𝑤𝑝 =

(𝐸1)2

2𝑅 (11)

b- Puissance dissipée sur chaque bande latérale

Pour chaque bande latérale on a : 𝐸𝑒𝑓𝑓 =𝑚𝐸1

2

√2 donc :

𝑊𝐵 =(

𝑚𝐸12√2

)2

𝑅=

𝑚2𝐸12

8𝑅=

𝐸12

2𝑅(

𝑚2

4) (12)

D’où 𝑊𝐵 =𝑚2

4𝑊𝑃 (13)

La puissance dissipée des deux bandes est donc:

𝑊2𝐵 = 2𝑊𝐵 =𝑚2

2𝑊𝑃 (14)

c- Puissance totale dissipée

Il s’agit de la somme des puissances dissipées sur la porteuse et les deux bandes

soit :

𝑊𝑇 = 𝑊𝑃 + 𝑊2𝐵 = 𝑊𝑃 +𝑚2

2𝑊𝑃 ; On a: 𝑊𝑇 = 𝑊𝑃 (1 +

𝑚2

2) =

(𝐸1)2

2𝑅(1 +

𝑚2

2) (15)

N.B: Si 𝐸𝑚 est l’amplitude modulée, on peut écrire :

𝑊𝑇 =(𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓)2

𝑅=

(𝐸𝑚)2

2𝑅 ; On a:

𝐸𝑚2

2𝑅=

𝐸12

2𝑅(1 +

𝑚2

2)

Soit 𝐸𝑚2 = 𝐸1

2(1 +𝑚2

2) on obtient 𝐸𝑚 = 𝐸1√1 +

𝑚2

2 (tension modulée)

d- Puissance sur une bande latérale par rapport à une puissance totale dissipée

Ce rapport est donné par :

𝑊𝐵

𝑊𝑇=

𝑚2

4 𝑊𝑃

(1 +𝑚2

2 𝑊𝑃)=

𝑚2

2(2 + 𝑚2)

dans le cas ou m = 1 (Modulation à 100%) ; on a :

𝑊𝐵 =𝑊𝑇

6 (16)

Il apparait dans l’intérêt de l’émission à bande latérale unique (B.L.U) qui, en dehors

de l’avantage d’occuper un spectre moitié, n’exige que le 1/6 de la puissance requise

pour une modulation classique. En effet les bandes latérales transportent la même

information, et il est possible, pour réduire l’encombrement spectral, d’éliminer par

filtrage l’une de ces bandes (c’est la B.L.U).

e- Puissance en crête de modulation

Si le régime de crête de modulation était maintenu, nous aurions :

𝑊crête =𝐸𝑚𝑎𝑥

2

2𝑅 or 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸1(1 + 𝑚) donc 𝑊crête =

𝐸12

2𝑅(1 + 𝑚)2 = 𝑊𝑃(1 + 𝑚)2 (17)

Ainsi pour une modulation à 100%, (m = 1) la puissance dissipée en crête de

modulation est égale à 4 fois la puissance porteuse (𝑊crête = 4𝑊𝑃). Il faut tenir

compte de ce fait dans le choix des transistors de puissance.

3- Exemple de modulateur

Au vu du principe de modulation d’amplitude on peut dire qu’un modulateur est

essentiellement un multiplicateur de deux fonctions indépendantes du temps. Ce

type de circuit peut être réalisé par des montages électroniques à l’aide d’élément

non linéaire (diodes, transistors, etc).

Supposons un élément non linéaire dont la caractéristique à la forme :

I = I0 + aV + bV2 (On se limite volontairement au terme de second degré)

Appliquons-lui la tension : V = e1 + e2

Avec 𝑒1 = 𝐸1 cos 𝛺𝑡 (onde HF) et 𝑒2 = 𝐸2 cos 𝜔𝑡 (onde BF).

On a: I = I0 + a(𝑒1 + 𝑒2) + b(𝑒1 + 𝑒2)2

= I0 + a𝑒1 + a𝑒2 + b𝑒12 + 𝑏𝑒2

2+ 2b𝑒1𝑒2 (18)

Soit I = I0 + a𝐸1 cos 𝛺𝑡 + 𝑎𝐸2 cos 𝜔𝑡 + 𝑏𝐸12𝑐𝑜𝑠2𝛺𝑡 + 𝑏𝐸2

2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 +

2𝑏 𝐸1𝐸2 cos 𝛺𝑡cos 𝜔𝑡 (19)

En développant (linéarisation des produits de cosinus), on a :

I = (I0 +𝑏𝐸1

2

2+

𝑏𝐸22

2) + 𝑎(𝐸1 cos 𝛺𝑡 + 𝐸2 cos 𝜔𝑡) + 𝑏 (

𝐸12

2cos 2𝛺𝑡 +

𝐸22

2cos 𝜔𝑡) +

𝑏(𝐸1𝐸2 cos(𝛺 + 𝜔)𝑡 + 𝐸1𝐸2 cos(𝛺 − 𝜔)𝑡) (20)

Ce résultat contient 2 bandes latérales de pulsations (𝛺 + 𝜔)𝑒𝑡 (𝛺 − 𝜔) que l’on

pourra isoler par des astuces montages ou des filtres.

Pour cela, considérons le montage symétrique constitué de deux diodes identiques

appariées.

A l’aide d’un transformateur, on applique les tensions :

V = e1 + e2 à D1

V’= e1 + e2 à D2

Le courant dans une diode étant :

I = I0 + aV + bV2 + ⋯

On a I1 = I0 + a(𝑒1 + 𝑒2) + b(𝑒1 + 𝑒2)2

I2 = I0 + a(𝑒1 − 𝑒2) + b(𝑒1 − 𝑒2)2

La tension de sortie est U = R(I1 + I2) (21)

Le développement donne : U = R(2a𝑒2 + 4𝑏𝑒1𝑒2)

= 2R(a𝑒2 + 2𝑏𝑒1𝑒2) (22)

Soit U = 2R(a𝐸2 cos 𝜔𝑡 + 2𝑏𝐸1𝐸2 cos 𝛺𝑡cos 𝜔𝑡)

Soit encore : U = 2R(a𝐸2 cos 𝜔𝑡 + 𝑏𝐸1𝐸2 cos(𝛺 − 𝜔)𝑡 + 𝑏𝐸1𝐸2 cos(𝛺 + 𝜔)𝑡) (23)

On constate que la porteuse 𝑒1 = 𝐸1 cos 𝛺𝑡 a disparu et que le spectre BF

transposé dans la bande (𝛺 + 𝜔)𝑒𝑡 (𝛺 − 𝜔).

III- LA MODULATION DE FREQUENCE (F.M)

Elle consiste à faire varier la pulsation Ω en fonction du temps. Soit la

fonction A = a cos θ(t). Une grandeur périodique ou θ(t) est sa phase instantanée.

La pulsation instantanée est donnée par :

Ωi =dθ

dt (24)

C’est cette grandeur qui en modulation de fréquence est modifiée au rythme du

signal BF.

Dans le cas simple d’un signal modulant sinusoïdal, on a :

Ωi = Ω + ∆Ω cos Ωt (25)

où ∆Ω est l’excursion de fréquence qui est proportionnelle à l’amplitude du signal et

Ω la pulsation centrale.

On a: θ(t) = ∫ Ωi(t)dt =t

0Ω(t) +

∆Ω

ωsin ωt (26)

D’où l’expression du signal modulé: a cos( Ωt +∆Ω

ωsin ωt) (27)

Le rapport m =∆Ω

ω est l’indice de la modulation, il met en jeu ∆Ω qui caractérise

l’amplitude de la modulation ou plutôt la déviation de fréquence.

NB : dans le cas général, on a : Ωi = Ω + βσ(t) et l’n obtient :

θ(t) = Ωt + β ∫ σ(t)t

0dt

Le spectre du signal s’obtient en développant (27) et on a :

V = a[cos Ωt cos(m sin ωt) − sin Ωt sin(m sin ωt)] (28)

Or cos(y sin θ) = Jθ(y) + 2 ∑ J2n(y) cos 2nθ∞n=1

sin(y sin θ) = 2 ∑ J2n−1(y) sin 2nθ∞n=1

où Jn(y) est la fonction de BESSEL de 1ère espèce d’ordre n de la variable y

Ainsi, en développant les différent termes, (28) devient :

V = a{J0(m) cos Ωt − 2J1(m) sin Ωt sin ωt + 2J2(m) cos Ωt cos 2ωt − 2J3(m) sin Ωt sin3 ωt

+ 2J4 cos Ωt cos 4ωt − ⋯ }

Le développement des produits de cosinus et sinus donne : J3(m) cos(Ω + ω)t

V = a{J0(m) cos Ωt + J1(m)[cos(Ω + ω)t − cos(Ω − ω)t]

+J2(m)[cos(Ω + 2ω)t + cos(Ω − 2ω)t]

+J3(m)[cos(Ω + 3ω)t − cos(Ω − 3ω)t]

+J4(m)[cos(Ω + 4ω)t + cos(Ω − 4ω)t] − ⋯ } (29)

Soit sous une forme condensée :

𝑉 = a{J0(m) cos Ωt + ∑ Jn(m)

∞

n=1

〔cos(Ω + nω)t + (1)n cos(Ω − nω)t〕}

(29) montre que le spectre contient une infinité de raies latérales de part et d’autres

de la porteuse. On a les porteuses :

Ω − nω,…, Ω − 2ω, Ω − ω, 𝜔, Ω + ω, Ω + 2ω,…, Ω + nω

et les amplitudes sont proportionnelles à :

Jn(m),…, J2(m), J1(m), J0(m), J1(m), J2(m),…, Jn(m)

Dans le cas d’une modulation sinusoïdale pure, le spectre des amplitudes des

composantes est donc symétrique et théoriquement illimité.

On peut à l’aide des tables des fonctions de BESSEL, déterminer la valeur N de n pour

laquelle Jn(m) devient négligeable ; dans ces conditions, la largeur pratique du

spectre sera : (Ω + Nω) − (Ω − Nω) = 2Nω

Si 𝑓 =2𝜋

𝜔 est la fréquence de modulation, la largeur du spectre en fréquence sera :

2𝑁𝜔

2𝜋= 2𝑁𝑓

Cas d’un faible indice de modulation

Si m est faible (m<0.2) alors J2, J3… sont négligeables devant J0 et J1

On a : Jn(m) = (m

2)n ∑

(−1)k

k!(k+n)!∞n=0 (

m

2)2k

Pour m petit on a : J0(m)#1 ∶ J1(m)#m

2

L’expression (29) devient alors :

V = a {cos Ωt +am

2[cos(Ω + ω)t − cos(Ω − ω)t]} (30)

On retrouve les mêmes latérales qu’en modulation d’amplitude avec cependant un

signe opposé pour le terme (Ω − ω) montrant l’existence d’un déphasage de 𝜋/2

entre la fréquence des raies latérales et celles de la porteuse.

Cas d’un fort indice de modulation

Le spectre s’étale de plus en plus lorsque m augmente et l’amplitude décroit

rapidement à partir de l’ordre (m+1), ce qui correspond à une largeur de bande

±(Ω + ω) autour de la porteuse.

Pour certaines valeurs de m, il peut y avoir disparition de la fréquence porteuse ou

des raies symétriques placées par rapport à elle, c’est ainsi que des raies Ω ± nω

disparaitront si m est solution de Jn(m) = 0.

Production de la modulation en fréquence

Ce type de modulation ne peut être obtenue qu’en modifiant, au rythme du signal

BF, la fréquence de fonctionnement d’un oscillateur. Cette dernière étant en général

définie par la valeur d’une capacité ou d’une self, c’est l’un de ces deux éléments

qui doit être modifiée. La variation du coefficient L d’un bobinage par modification

de l’induction dans le circuit magnétique autour duquel elle est réalisée, est possible

mais les performances sont mauvaises.

La méthode universellement utilisée consiste à utilisée une diode à capacité

variable ; en effet une jonction PN polarisé en sens inverse se comporte comme une

capacité dont la valeur est donnée par l’expression :

CV =CV

√Vϕ − 1

n

Ou n ≠ 2. Φ est fraction de volt et V est la tension.

Le montage ci-dessous utilise cette méthode. Il s’agit d’un oscillateur type "𝐸𝐶𝑂"

dont la fréquence est déterminée à la fois par une capacité fixe C et les deux diodes

de capacité 𝐷1 et 𝐷2. Les deux diodes sont montées en tête "beche" (améliore la

linéarité de la capacité variable équivalente) et elles sont polarisées en inverse par

une tension positive E à laquelle est supposée une BF appliquée au point de jonction

𝑅1 et 𝑅2. L’inconvénient de ce procédé est que la fréquence moyenne de

l’oscillateur est eu stable.

IV- LA MODULATION DE PHASE

Un signal sera modulé en phase si sa phase ϕ est proportionnelle au signal

ϕ = kS (31)

et l’on a :

V = a cos(Ωt + ϕ) = a cos(Ωt + kS) (32)

La phase instantanée, angle du vecteur de Fresnel a donc pour valeur :

θ(t) = Ωt + kS

D’où la pulsation : ω =dθ

dt= Ω + k

dS

dt (33)

Or dans le paragraphe précédent consacré à la modulation de fréquence la relation

(25) telle que Ωi = Ω + ∆Ω cos ωt est assimilable à la relation (33).

La modulation de phase d’une porteuse par un signal S(t) est donc équivalente à une

modulation de fréquence par la dérivée du signal. Tout ce qui a été développé au

paragraphe précédent peut être repris ici.

Exemple :

Soit 𝑆(𝑡) = 𝑆0 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 on a 𝜃(𝑡) = 𝛺𝑡 + 𝑘𝑆0 𝑐𝑜𝑠 𝛺𝑡 (34)

qui n’est pratiquement pas différente de la relation (26) qui est

𝜃(𝑡) = 𝛺𝑡 +∆𝛺

𝜔𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡

Il faut noter que la modulation de phase n’est pas utilisée directement pour

la transmission d’ondes modulées, mais est surtout employée comme étage

intermédiaire pour la production d’ondes modulées en amplitude ou en

fréquence.

CONCLUSION

Dans les procédés de modulation étudiés ci-dessus, le signal agit directement sur

l’amplitude, la fréquence ou la phase de la porteuse qu’il module en permanence. Il

convient de noter qu’il existe la modulation par impulsion où la modulation de la

porteuse est discontinue. La porteuse n’est émise que pendant des intervalles de

temps dont la durée 𝜏 et la position sont déterminées par un code. A la réception

l’utilisation du même code permet d’extraire le signal.

Il existe la modulation par impulsions en amplitude (IMA), en largeur (IML), en

position (IMP), en fréquence (IMF).