Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada cap 31 - oscilações.pdf · CAPÍTULO 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada 31-1 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO

CAPÍTULO31

OscilaçõesEletromagnéticaseCorrenteAlternada

31-1OSCILAÇÕESEMUMCIRCUITOLC

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...31.01DesenharodiagramaesquemáticodeumcircuitoLCeexplicarquaissãoasgrandezasqueoscilameoqueconstituium

períododaoscilação.

31.02Desenharosgráficosdadiferençadepotencialdocapacitoredacorrentedo indutordeumcircuitoLCem funçãodotempoeindicaroperíodoTnosdoisgráficos.

31.03Explicaraanalogiaentreumosciladorbloco-molaeumcircuitoLC.

31.04Conhecerarelaçãoentreafrequênciaangularω,aindutânciaLeacapacitânciaCdeumcircuitoLC.

31.05DemonstraraequaçãodiferencialdacargaqdocapacitoremumcircuitoLCapartirdaenergiadeumsistemabloco-molaedeterminarafunçãoq(t)quedescreveavariação,comotempo,dacargadocapacitor.

31.06CalcularacargaqdocapacitordeumcircuitoLCemqualquerinstantedetempoedefiniraamplitudeQdasoscilaçõesdecarga.

31.07Calcularacorrentei(t)quedescreveavariação,comotempo,dacorrentedoindutordeumcircuitoLCapartirdafunçãoq(t)quedescreveavariação,comotempo,dacargadocapacitor.

31.08CalcularacorrenteinoindutordeumcircuitoLCemqualquerinstantedetempoedefiniraamplitudeIdasoscilaçõesdecorrente.

31.09ConhecerarelaçãoentreaamplitudedacargaQ,aamplitudedacorrenteIeafrequênciaangularωemumcircuitoLC.

31.10DeterminaraenergiadocampomagnéticoUB(t),aenergiadocampoelétricoUE(t)eaenergiatotaldeumcircuitoLCapartirdasexpressõesdacargaqedacorrenteiemfunçãodotempo.

31.11DesenhargráficosdaenergiadocampomagnéticoUB(t),daenergiadocampoelétricoUE(t)edaenergia totaldeumcircuitoLCemfunçãodotempo.

31.12CalcularosvaloresmáximosdaenergiadocampomagnéticoUB(t)edaenergiadocampoelétricoUE(t)eaenergiatotaldeumcircuitoLC.

Ideias-Chave•EmumcircuitoLC,aenergiaétransferidaperiodicamentedocampoelétricodocapacitorparaocampomagnéticodoindutor,evice-versa;osvaloresinstantâneosdasduasformasdeenergiasão

emqueqéacargainstantâneadocapacitoreiéacorrenteinstantâneadoindutor.•AenergiatotalU(=UE+UB)deumcircuitoLCéconstante.

•Deacordocomaleideconservaçãodaenergia,

Comoacargaéresistiva,ofatordepotênciacosϕéunitárioe,portanto,apotênciamédiafornecidaeconsumidaédadapelaEq.

31-77(Pméd= I=IV).

Cálculos:Nocircuitoprimário,comVp=8,5kV,aEq.31-77nosdá

Nocircuitosecundário,temos

ÉfácilverificarqueIs=Ip(Np/Ns),comoexigeaEq.31-80.

(c)QualéacargaresistivaRsdocircuitosecundário?QualéacargacorrespondenteRpdocircuitoprimário?

Primeiraabordagem:PodemosusaraequaçãoV=IRpararelacionaracargaresistivaàtensãoeàcorrente.Nocasodocircuito

secundário,temos

Nocasodocircuitoprimário,temos

Segundaabordagem:PodemosusarofatodequeRpéacargaresistiva“dopontodevista”dogerador,dadapelaEq.31-82[Req

=(Np/Ns)2R].FazendoReq=RpeR=Rs,obtemos

RevisãoeResumo

Transferências de Energia em um Circuito LC Em um circuito LC oscilante, a energia étransferidaperiodicamentedocampoelétricodocapacitorparaocampomagnéticodoindutor,evice-versa;osvaloresinstantâneosdasduasformasdeenergiasão

emqueqéacargainstantâneadocapacitoreiéacorrenteinstantâneanoindutor.AenergiatotalU(=UE

+UB)permanececonstante.OscilaçõesdeCargaedeCorrenteemumCircuitoLC Deacordocomaleideconservaçãodaenergia,

éaequaçãodiferencialdasoscilaçõesdeumcircuitoLC(semresistência).AsoluçãodaEq.31-11é

emqueQéaamplitudedacarga(cargamáximadocapacitor),eafrequênciaangularωdasoscilaçõesédadapor

AconstantedefaseϕdaEq.31-12édeterminadapelascondiçõesiniciais(emt=0)dosistema.Acorrenteinosistemaemuminstantequalquertédadapor

emqueωQéaamplitudeIdacorrente.OscilaçõesAmortecidas AsoscilaçõesdeumcircuitoLCsãoamortecidasquandoumcomponentedissipativoRéintroduzidonocircuito.Nessecaso,temos

AsoluçãodaEq.31-24é

emque

Consideramosapenasas situaçõesemqueR épequenoe,portanto,oamortecimentoépequeno;nessecaso,ω′≈ω.Correntes Alternadas; Oscilações Forçadas Um circuito RLC série pode sofrer oscilaçõesforçadas comuma frequência angular de excitaçãoωd se for submetida a uma força eletromotriz daforma

Acorrenteproduzidanocircuitopelaforçaeletromotrizédadapor

emqueϕéaconstantedefasedacorrente.Ressonância A amplitude I da corrente em um circuito RLC série excitado por uma forçaeletromotriz senoidal é máxima (I = /R) quando a frequência angular de excitação ωd é igual àfrequência angular natural ω do circuito (ou seja, na ressonância). Nesse caso, XC =XL,ϕ = 0 e acorrenteestáemfasecomaforçaeletromotriz.Componentes Isolados A diferença de potencial alternada entre os terminais de um resistor temumaamplitudeVR=IR;acorrenteestáemfasecomadiferençadepotencial.

Nocasodeumcapacitor,VC=IXC,emqueXC=1/ωdCéareatânciacapacitiva;acorrenteestáadiantadade90oemrelaçãoàdiferençadepotencial(ϕ=−90o=−π/2rad).Nocasodeumindutor,VL=IXL,emqueXL=ωdLéareatânciaindutiva;acorrenteestáatrasadade90o

emrelaçãoàdiferençadepotencial(ϕ=90o=π/2rad).CircuitosRLCSérie NocasodeumcircuitoRLCsériecomumaforçaeletromotrizdadapelaEq.31-28eumacorrentedadapelaEq.31-29,

e

DefinindoaimpedânciaZdocircuitocomo

podemosescreveraEq.31-60comoI= /Z.Potência EmumcircuitoRLCsérie,apotênciamédiaPmédfornecidapelogeradoréigualàpotênciamédiadissipadanoresistor:

Aqui, rms significa valor médio quadrático. Os valores médios quadráticos estão relacionados aosvaloresmáximospelasequaçõesIrms= .Otermocosϕéchamadodefatordepotênciadocircuito.Transformadores Um transformador (considerado ideal) é formado por um núcleo de ferro que

contémdoisenrolamentos:oenrolamentoprimário,comNpespiras,eoenrolamentosecundário,comNsespiras.Seoenrolamentoprimárioéligadoaumgeradordecorrentealternada,astensõesnoprimárioenosecundárioestãorelacionadaspelaequação

Ascorrentesnosenrolamentosestãorelacionadaspelaequação

earesistênciaequivalentedocircuitosecundário,dopontodevistadogerador,édadapor

emqueRéacargaresistivadocircuitosecundário.ArazãoNp/Nséchamadaderelaçãodeespiras.

Perguntas

1 A Fig. 31-19mostra três circuitosLC oscilantes com indutores e capacitores iguais. Coloque oscircuitosnaordemdecrescentedotemponecessárioparaqueoscapacitoressedescarreguemtotalmente.

Figura31-19 Pergunta1.

2 A Fig. 31-20 mostra os gráficos da tensão vC do capacitor em dois circuitos LC que contêmcapacitânciasiguaisetêmamesmacargamáximaQ.(a)AindutânciaLdocircuito1émaior,menorouigualàdocircuito2?(b)AcorrenteInocircuito1émaior,menorouigualàcorrentenocircuito2?


3Umcapacitorcarregadoeumindutorsãoligadosparaformarumcircuitofechadonoinstantet=0.EmtermosdoperíodoTdasoscilaçõesresultantes,determineotemponecessárioparaqueasseguintes

grandezaspassemporummáximopelaprimeiravez:(a)UB,(b)ofluxomagnéticonoindutor,(c)di/dte(d)aforçaeletromotrizdoindutor.

4QuaisvaloresdaconstantedefaseϕdaEq.31-12permitemqueassituações(a),(c),(e)e(g)daFig.31-1ocorramnoinstantet=0?

5AcurvaadaFig.31-21mostraaimpedânciaZdeumcircuitoRCexcitadoemfunçãodafrequênciaangular de excitação ωd. As outras duas curvas são semelhantes, mas foram traçadas para valoresdiferentesdaresistênciaRedacapacitânciaC.Coloqueas trêscurvasnaordemdecrescentedovalorcorrespondentedeR.


6AscargasdoscapacitoresdetrêscircuitosLCoscilantesvariamsegundoasequações(1)q=2cos4t,(2)q=4cost,(3)q=cos4t(comqemcoulombsetemsegundos).Coloqueoscircuitosnaordemdecrescente(a)daamplitudedacorrentee(b)doperíododasoscilações.


7Umafontedeforçaeletromotrizalternadaéconectadasucessivamenteaumresistor,umcapacitoreumindutor.Depoisqueafonteéconectada,faz-sevariarafrequênciadeexcitaçãofd,eaamplitudeIdacorrenteresultanteémedidaeplotada.EstabeleçaacorrespondênciaentreascurvasdaFig.31-22eosdispositivos.

8 Osvaloresdaconstantede faseϕparaquatrocircuitosRLC série comexcitação senoidal são (1)−15o,(2)35o,(3)π/3rade(4)−π/6rad.(a)Emquecircuito(s)acargaémaiscapacitivaqueindutiva?(b)Emquecircuito(s)acorrenteestáatrasadaemrelaçãoàforçaeletromotriz?


9AFig.31-23mostraacorrenteieaforçaeletromotrizdeexcitação deumcircuitoRLCsérie.(a)Aconstantedefaseépositivaounegativa?(b)Paraaumentarapotênciatransferidaparaacargaresistiva,éprecisoaumentaroudiminuirovalordeL?(c)AoutrapossibilidadeéaumentaroudiminuirovalordeC?

10AFig.31-24mostratrêssituaçõescomoasdaFig.31-15.(a)Afrequênciaangulardeexcitaçãoémaior,menor ou igual à frequência angular de ressonância do circuito na situação 1? (b)Responda àmesmaperguntaparaasituação2.(c)Respondaàmesmaperguntaparaasituação3.


11AFig.31-25mostraacorrenteieaforçaeletromotrizaplicada paraumcircuitoRLCsérie.(a)AcurvadacorrenteédeslocadaparaaesquerdaouparaadireitaemrelaçãoàcurvadaforçaeletromotrizeaamplitudedacurvaémaioroumenorseovalordeLaumentaligeiramente?(b)RespondaàsmesmasperguntasparaovalordeC.(c)Respondaàsmesmasperguntasparaovalordeωd.

12AFig.31-25mostraacorrenteieaforçaeletromotriz emumcircuitoRLCsérie.(a)Acorrenteestáadiantadaouatrasadaemrelaçãoàforçaeletromotriz?(b)Acargadocircuitoémaiscapacitivaqueindutivaoumaisindutivaquecapacitiva?(c)Afrequênciaangularωddaforçaeletromotrizémaioroumenorqueafrequênciaangularnaturalω?

Figura31-25 Perguntas11e12.

13OdiagramafasorialdaFig.31-26correspondeaumafontedeforçaeletromotrizalternadaligadaaumresistor,capacitorouindutor?(b)Seavelocidadeangulardosfasoresaumentar,ocomprimentodofasorquerepresentaacorrentedeveaumentaroudiminuirparamanteraescaladodesenho?


Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

Informações adicionais disponíveis emOCirco Voador da Física de Jearl Walker,

LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo31-1OscilaçõesemumCircuitoLC

·1UmcircuitoLCoscilanteéformadoporumindutorde75,0mHeumcapacitorde3,60μF.Seacargamáxima do capacitor é 2,90 μC, determine (a) a energia total presente no circuito e (b) a correntemáxima.

·2AfrequênciadeoscilaçãodeumcircuitoLCé200kHz.Noinstantet=0,aplacaAdocapacitorestácom a carga positiva máxima. Determine em que instante t > 0 (a) a placa estará novamente, pelaprimeiravez,comacargapositivamáxima,(b)aoutraplacadocapacitorestarápelaprimeiravezcomacargapositivamáximae(c)oindutorestarápelaprimeiravezcomocampomagnéticomáximo.

·3EmumcircuitoLCoscilante,aenergiatotaléconvertidadeenergiaelétricanocapacitoremenergiamagnética no indutor em 1,50 μs. Determine (a) o período das oscilações e (b) a frequência dasoscilações. (c)Seaenergiamagnéticaémáximaemumdadoinstante,quanto tempoénecessárioparaqueelasejamáximanovamente?

·4 QualéacapacitânciadeumcircuitoLCoscilanteseacargamáximadocapacitoré1,60μCe aenergiatotalé140μJ?

·5EmumcircuitoLCoscilante,L=1,10mHeC=4,00μF.Acargamáximadocapacitoré3,00μC.Determineacorrentemáxima.

·6 Um corpo de 0,50 kg oscila emmovimento harmônico simples, preso a umamola que, quandoalongada de 2,00 mm em relação à posição de equilíbrio, possui uma força restauradora de 8,0 N.Determine(a)afrequênciaangulardeoscilação,(b)operíododeoscilaçãoe(c)acapacitânciadeumcircuitoLCcomomesmoperíodo,seL=5,0H.

·7AenergiadeumcircuitoLCoscilantequecontémumindutorde1,25Hé5,70μJ.Acargamáximadocapacitoré175μC.Paraumsistemamecânicocomomesmoperíodo,determine(a)amassa,(b)a

constantedamola,(c)odeslocamentomáximoe(d)avelocidadeescalarmáxima.

·8 Umcircuitocomumaúnicamalhaé formadopor indutores (L1,L2, ...), capacitores (C1,C2, ...) eresistores(R1,R2,...),comonaFig.31-27a.Mostreque,qualquerquesejaasequênciadecomponentesnocircuito,ocomportamentodocircuitoéigualaodocircuitoLCsimplesdaFig.31-27b. (Sugestão:ConsiderearegradasmalhasevejaoProblema47doCapítulo30.)

Figura31-27 Problema8.

·9EmumcircuitoLCoscilantecomL=50mHeC=4,0μF,acorrenteestáinicialmentenomáximo.Quantotempoénecessárioparaqueocapacitorsecarreguetotalmentepelaprimeiravez?

·10OsciladoresLCtêmsidousadosemcircuitosligadosaalto-falantesparacriaralgunsdossonsdamúsica eletrônica. Que indutância deve ser usada com um capacitor de 6,7 μF para produzir umafrequênciade10kHz,queficaaproximadamentenametadedafaixadefrequênciasaudíveis?

··11Umcapacitorvariável,de10a365pF,eumindutorformamumcircuitoLCdefrequênciavariávelusado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menorfrequêncianaturalquepodeserobtidausandoestecapacitor?Seocircuitodeveserusadoparaobterfrequências entre 0,54MHz e 1,60MHz, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa defrequênciaspodesermodificada ligandoumcapacitoremparalelocomocapacitorvariável. (b)Qualdeve ser ovalor da capacitância adicional paraque a faixade frequências seja a faixadesejada? (c)Qualdeveseraindutânciadoindutordocircuito?

··12EmumcircuitoLCoscilante,quandoumaenergiaiguala75%daenergiatotalestáarmazenadanocampomagnéticodoindutor,determine(a)afraçãodacargamáximaqueestáarmazenadanocapacitore(b)afraçãodacorrentemáximaqueestáatravessandooindutor.

··13EmumcircuitoLCoscilante,L=3,00mHeC=2,70μH.Noinstantet=0,acargadocapacitorézeroeacorrenteé2,00A.(a)Qualéacargamáximadocapacitor?(b)Emqueinstantedetempot>0ataxacomaqualaenergiaéarmazenadanocapacitorémáximapelaprimeiravez?(c)Qualéovalordataxamáxima?

··14ParamontarumcircuitoLCoscilante,vocêdispõedeumindutorde10mH,umcapacitorde5,0μFeumcapacitorde2,0μF.Determine(a)amenor frequência, (b)asegundamenorfrequência, (c)asegundamaior frequência e (d) amaior frequênciadeoscilaçãoquepode ser conseguidacombinandoessescomponentes.

··15 UmcircuitoLCoscilanteformadoporumcapacitorde1,0nFeumindutorde3,0mHtemumatensãomáximade3,0V.Determine(a)acargamáximadocapacitor,(b)acorrentemáximadocircuitoe

(c)aenergiamáximaarmazenadanocampomagnéticodoindutor.

··16 Umindutoréligadoaumcapacitorcujacapacitânciapodeserajustadapormeiodeumbotão.QueremosqueafrequênciadessecircuitoLCvarielinearmentecomoânguloderotaçãodobotão,de2×105Hzaté4×105Hz,quandoobotãogirade180o.SeL=1,0mH,ploteacapacitânciadesejadaCemfunçãodoânguloderotaçãodobotão.

··17NaFig.31-28,R=14,0Ω,C=6,20μF,L=54,0mHeafonteidealtemumaforçaeletromotriz= 34,0 V. A chave é mantida na posição a por um longo tempo e depois é colocada na posição b.Determine(a)afrequênciae(b)aamplitudedasoscilaçõesresultantes.


··18EmumcircuitoLCoscilante,aamplitudedacorrenteé7,50mA,aamplitudedatensãoé250mVea capacitância é 220 nF.Determine (a) o período de oscilação, (b) a energiamáxima armazenada nocapacitor,(c)aenergiamáximaarmazenadanoindutor,(d)ataxamáximadevariaçãodacorrentee(e)ataxamáximadeaumentodaenergiadoindutor.

··19UsearegradasmalhasparaobteraequaçãodiferencialdeumcircuitoLC(Eq.31-11).

··20 Em um circuitoLC oscilante no qualC = 4,00μF, a diferença de potencialmáxima entre osterminais do capacitor durante as oscilações é 1,50 V e a corrente máxima no indutor é 50,0 mA.Determine(a)aindutânciaLe(b)afrequênciadasoscilações.(c)Qualéotemponecessárioparaqueacargadocapacitoraumentedezeroatéovalormáximo?

··21EmumcircuitoLCoscilantecomC=64,0μF,acorrenteédadapori=(1,60)sen(2500t+0,680),emquetestáemsegundos,iestáemampèreseaconstantedefaseestáemradianos.(a)Quantotempoapósoinstantet=0acorrenteatingeovalormáximo?(b)QualéovalordaindutânciaL?(c)Qualéaenergiatotal?

··22UmcircuitosérieformadoporumaindutânciaL1eumacapacitânciaC1oscilacomumafrequênciaangularω.Umsegundocircuitosérie,contendoumaindutânciaL2eumacapacitânciaC2,oscilacomamesmafrequênciaangular.Qualé,emtermosdeω,afrequênciaangulardeoscilaçãodeumcircuitosérieformadopelosquatrocomponentes?Desprezearesistênciadocircuito.(Sugestão:Useasexpressõesdacapacitânciaequivalenteedaindutânciaequivalente;vejaoMódulo25-4eoProblema47doCapítulo30.)

··23EmumcircuitoLCoscilante,L=25,0mHeC=7,80μF.Noinstantet=0,acorrenteé9,20mA,a

carga do capacitor é 3,80 μC e o capacitor está sendo carregado. Determine (a) a energia total docircuito,(b)acargamáximadocapacitore(c)acorrentemáximadocircuito.(d)Seacargadocapacitorédadaporq=Qcos(ωt+ϕ),qualéoângulodefaseϕ?Suponhaqueosdadossãoosmesmos,excetopelofatodequeocapacitorestásendodescarregadonoinstantet=0.Qualéovalordeϕnessecaso?

Módulo31-2OscilaçõesAmortecidasemumCircuitoRLC

··24Umcircuitodeumaúnicamalhaéformadoporumresistorde7,20Ω,umindutorde12,0Heumcapacitorde3,20μF.Inicialmente,ocapacitorpossuiumacargade6,20μCeacorrenteézero.CalculeacargadocapacitorapósNcicloscompletos(a)paraN=5,(b)paraN=10e(c)paraN=100.

··25QueresistênciaRdeveserligadaemsériecomumaindutânciaL=220mHeumacapacitânciaC=12,0μFpara que a cargamáximado capacitor caia para 99,0%do valor inicial após 50,0 ciclos?(Suponhaqueωʹ≈ω.)··26 EmumcircuitoRLC série oscilante, determineo temponecessário para que a energiamáximapresentenocapacitorduranteumaoscilaçãodiminuaparametadedovalorinicial.Suponhaqueq=Qemt=0.

···27 Em um circuitoRLC oscilante, mostre que ΔU/U, a fração da energia perdida por ciclo deoscilação,édadacomboaaproximaçãopor2πR/ωL.AgrandezaωL/RéchamadadeQdocircuito (Qsignificaqualidade).UmcircuitodealtoQpossuiumabaixaresistênciaeumabaixaperdadeenergia(=2π/Q)porciclo.

Módulo31-3OscilaçõesForçadasemTrêsCircuitosSimples

·28Umcapacitorde1,50μFéligado,comonaFig.31-10,aumgeradordecorrentealternadacom=30,0V.Determineaamplitudedacorrentealternadaresultanteseafrequênciadaforçaeletromotrizfor(a)1,00kHze(b)8,00kHz.

·29Umindutorde50,0mHéligado,comonaFig.31-12,aumgeradordecorrentealternadacom =30,0V.Determineaamplitudedacorrentealternadaresultanteseafrequênciadaforçaeletromotrizfor(a)1,00kHze(b)8,00kHz.

·30Umresistorde50,0Ωéligado,comonaFig.31-8,aumgeradordecorrentealternadacom =30,0V.Determineaamplitudedacorrentealternadaresultanteseafrequênciadaforçaeletromotrizfor(a)1,00kHze(b)8,00kHz.

·31(a)Paraquefrequênciaumindutorde6,0mHeumcapacitorde10μFtêmamesmareatância?(b)Qualéovalordareatância?(c)MostrequeafrequênciaéafrequêncianaturaldeumcircuitoosciladorcomosmesmosvaloresdeLeC.

··32Aforçaeletromotrizdeumgeradordecorrentealternadaédadapor = senωdt,com =25,0Veωd=377rad/s.Ogeradoréligadoaumindutorde12,7H.(a)Qualéovalormáximodacorrente?(b)Qualéaforçaeletromotrizdogeradornoinstanteemqueacorrenteémáxima?(c)Qualéacorrente

noinstanteemqueaforçaeletromotrizdogeradoré−12,5Veestáaumentandoemvalorabsoluto?

··33Umgeradordecorrentealternadatemumaforçaeletromotriz= sen(ωdt−π/4),emque =30,0Veωd=350rad/s.Acorrenteproduzidanocircuitoaoqualogeradorestáligadoéi(t)=I sen(ωdt−3π/4),emque I=620mA.Emque instanteapós t=0 (a)a forçaeletromotrizdogeradoratingepelaprimeiravezovalormáximoe(b)acorrenteatingepelaprimeiravezovalormáximo?(c)Ocircuitocontém um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de umresistor?Justifiquesuaresposta.(d)Qualéovalordacapacitância,daindutânciaoudaresistênciadessecomponente?

··34Umgeradordecorrentealternadacomumaforçaeletromotriz = senωdt,emque =25,0Veωd=377rad/s,éligadoaumcapacitorde4,15μF.(a)Qualéovalormáximodacorrente?(b)Qualéaforçaeletromotrizdogeradorno instanteemqueacorrenteémáxima?(c)Qualéacorrentequandoaforçaeletromotrizé−12,5eestáaumentandoemvalorabsoluto?

Módulo31-4OCircuitoRLCSérie

·35 Umabobinacom88mHdeindutânciaeresistênciadesconhecidaeumcapacitorde0,94μFsãoligadosemsériecomumgeradorcujafrequênciaé930Hz.Seadiferençadefaseentreatensãoaplicadapelogeradoreacorrentenocircuitoé75o,qualéaresistênciadabobina?

·36 Uma fonte alternada, de frequência variável, um capacitor de capacitânciaC e um resistor deresistência R são ligados em série. A Fig. 31-29 mostra a impedância Z do circuito em função dafrequênciaangulardeexcitaçãoωd.Acurvapossuiumaassíntotade500Ωeaescaladoeixohorizontalédefinidaporωds=300 rad/s.A figuramostra tambéma reatânciaXC do capacitor em funçãodeωd.Determineovalor(a)deRe(b)deC.


·37 Ummotorelétricopossuiumaresistênciaefetivade32,0Ωeumareatânciaindutivade45,0Ωquandoestáemcarga.Aamplitudedatensãodafontealternadaé420V.Calculeaamplitudedacorrente.

·38AFig.31-30mostraaamplitudeIdacorrenteemfunçãodafrequênciaangulardeexcitaçãoωddeum circuitoRLC. A escala do eixo vertical é definida por Is = 4,00 A. A indutância é 200 μH e aamplitudedaforçaeletromotrizé8,0V.Determineovalor(a)deCe(b)deR.


·39RemovaoindutordocircuitodaFig.31-7efaçaR=200Ω,C=15,0μF,fd=60,0Hze =36,0V.Determineovalor(a)deZ,(b)deϕe(c)deI.(d)Desenheumdiagramafasorial.

·40 Uma fontealternadacomuma forçaeletromotrizde6,00Vecomumângulode fasede30,0o éligadaaumcircuitoRLCsérie.Quandoadiferençadepotencialentreosterminaisdocapacitoratingeovalormáximopositivode5,00V,qualéadiferençadepotencialentreosterminaisdoindutor(incluindoosinal)?

·41NaFig.31-7,façaR=200Ω,C=70,0μF,L=230mH,fd=60,0Hze =36,0V.Determineovalor(a)deZ,(b)deϕe(c)deI.(d)Desenheumdiagramafasorial.

·42Umafontedecorrentealternada,defrequênciavariável,umindutordeindutânciaLeumresistorderesistência R são ligados em série. A Fig. 31-31 mostra a impedância Z do circuito em função dafrequência de excitaçãoωd, com a escala do eixo horizontal definida por ωds = 1600 rad/s. A figuramostratambémareatânciaXLdoindutoremfunçãodeωd.Determineovalor(a)deRe(b)deL.


·43RemovaocapacitordocircuitodaFig.31-7efaçaR=200Ω,L=230mH,fd=60,0Hze =36,0V.Determineovalor(a)deZ,(b)deϕe(c)deI.(d)Desenheumdiagramafasorial.

··44Umgeradordecorrentealternadacom =220Vefd=400HzproduzoscilaçõesemumcircuitoRLCsériecomR=220Ω,L=150mHeC=24,0μF.Determine(a)a reatânciacapacitivaXC, (b)aimpedânciaZe(c)aamplitudeIdacorrente.Umsegundocapacitorcomamesmacapacitânciaéligadoemsériecomosoutroscomponentes.Determineseovalorde(d)XC,(e)Ze(f)Iaumenta,diminuioupermaneceomesmo.

··45(a)EmumcircuitoRLC,aamplitudedatensãodoindutorpodesermaiorqueaforçaeletromotrizdogerador?(b)ConsidereumcircuitoRLCcom =10V,R=10Ω,L=1,0HeC=1,0μF.Determine

aamplitudedatensãodoindutornafrequênciaderessonância.

··46Umafontealternadadefrequênciavariávelfdéligadaemsériecomumresistorde50,0Ωeumcapacitorde20,0μF.Aamplitudedaforçaeletromotrizé12,0V.(a)Desenheumdiagramafasorialparao fasorVR (tensão do resistor) e para o fasorVC (tensão do capacitor). (b) Para que frequência deexcitaçãofdosdoisfasorestêmomesmocomprimento?Paraessafrequência,determine(c)oângulodefaseemgraus,(d)avelocidadeangularderotaçãodosfasorese(e)aamplitudedacorrente.

··47UmcircuitoRLCcomoodaFig.31-7temR=5,00Ω,C=20,0μF,L=1,00He =30,0V.(a)Paraquefrequênciaangularωd aamplitudedacorrenteémáxima,comonascurvasde ressonânciadaFig.31-16?(b)Qualéovalormáximo?(c)Paraquefrequênciaangularωd1<ωdaamplitudedacorrentetemmetade do valormáximo? (d) Para que frequência angular ωd2 > ωd a amplitude da corrente temmetadedovalormáximo?(e)Qualéovalorde(ωd2−ωd1)/ω,alarguradelinharelativaameiaalturadacurvaderessonânciadessecircuito?

··48 AFig.31-32mostraumcircuitoRLC, alimentadopor umgerador, quepossui dois capacitoresiguaiseduaschaves.Aamplitudedaforçaeletromotrizé12,0Veafrequênciadogeradoré60,0Hz.Comasduaschavesabertas,acorrenteestáadiantada30,9oemrelaçãoàtensão.ComachaveS1fechadaeachaveS2aberta,acorrenteestáadiantada15,0oemrelaçãoàtensão.Comasduaschavesfechadas,aamplitudedacorrenteé447mA.Determineovalor(a)deR,(b)deCe(c)deL.


··49NaFig.31-33,umgeradordefrequênciaajustáveléligadoaumcircuitoformadopelaresistênciaR=100Ω,asindutânciasL1=1,70mHeL2=2,30mHeascapacitânciasC1=4,00μF,C2=2,50μFeC3=3,50μF. (a)Qual é a frequência de ressonância do circuito? (Sugestão:VejaoProblema 47 doCapítulo 30.) Determine o que acontece com a frequência de ressonância (b) quandoR aumenta, (c)quandoL1aumentae(d)quandoC3éremovidodocircuito.


··50 Umafontede forçaeletromotrizalternada,de frequênciavariável fd, é ligadaemsérie comumresistorde80,0Ωeumindutorde40,0mH.Aamplitudedaforçaeletromotrizé6,00V.(a)Desenheum

diagramafasorialparaofasorVR(atensãonoresistor)eparaofasorVL(atensãonoindutor).(b)Paraque frequência de excitação fd os dois fasores têm o mesmo comprimento? Para essa frequência deexcitação,determine(c)oângulodefaseemgraus,(d)avelocidadeangularderotaçãodosfasorese(e)aamplitudedacorrente.

··51 A largura de linha relativa a meia altura Δωd/ω de uma curva de ressonância, como as queaparecemnaFig.31-16,éalarguradelinhanametadedovalormáximodeIdivididapelafrequênciaangularderessonância.MostrequeΔωd/ω=R(3C/L)1/2,emqueωéafrequênciaangularderessonância.ObservequearazãoΔωd/ωaumentaquandoRaumenta,comomostraaFig.31-16.

·52 UmvoltímetrodeCAcomaltaimpedânciaéligadosucessivamenteaosterminaisdeumindutor,aosterminaisdeumcapacitoreaosterminaisdeumresistoremumcircuitosérieaoqualéaplicadaumaforçaeletromotrizalternadade100V(rms);nos trêscasos,o instrumento forneceamesma leituraemvolts.Qualéessaleitura?

Módulo31-5PotênciaemCircuitosdeCorrenteAlternada

·53Umaparelhodearcondicionadoligadoaumatomadade120Vrmséequivalenteaumaresistênciade12,0Ωeumareatânciaindutivade1,30Ωligadasemsérie.Determine(a)aimpedânciadoaparelhoe(b)apotênciaconsumidapeloaparelho.

·54Qualéovalormáximodeumatensãoalternadacujovalorrmsé100V?

·55Quecorrentecontínuaproduzamesmaenergiatérmica,emumresistor,queumacorrentealternadacomumvalormáximode2,60A?

··56 Umdimmer típico,comoosquesãousadospararegularaluminosidadedaslâmpadasdopalconosteatros,écompostoporumindutorvariávelL (cujaindutânciapodeserajustadaentrezeroeLmáx)ligadoemsériecomumalâmpadaB,comomostraaFig.31-34.Ocircuitoéalimentadocomumatensãode 120V rms, 60Hz; a lâmpada é de 120V, 1000W. (a)Qual deve ser o valor deLmáx para que apotênciadissipadanalâmpadapossavariarentre200e1000W?Suponhaquearesistênciadalâmpadaéindependentedatemperatura.(b)Épossívelusarumresistorvariável(ajustávelentrezeroeRmáx)emvezdeumindutor?(c)Nessecaso,qualdeveserovalordeRmáx?(d)Porquenãoseusaessemétodo?


··57EmumcircuitoRLCcomoodaFig.31-7,suponhaqueR=5,00Ω,L=60,0mH,fd=60,0Hze=30,0V.(a)Paraqualvalordecapacitânciaapotênciadissipadanaresistênciaémáxima?(b)Paraqualvalordecapacitânciaapotênciadissipadanaresistênciaémínima?Determine(c)adissipaçãomáxima,(d)oângulode fasecorrespondentee (e)o fatordepotênciacorrespondente.Determine também(f)a

dissipaçãomínima,(g)oângulodefasecorrespondentee(h)ofatordepotênciacorrespondente.

··58 Mostrequeapotênciadissipadana resistênciaR daFig.31-35 émáximaquandoR é igual àresistênciardogeradordecorrentealternada.(Nadiscussãodotexto,supusemostacitamentequer=0.)

Figura31-35 Problemas58e66.

··59NaFig.31-7,R=15,0Ω,C=4,70μFeL=25,0mH.Ogeradorproduzumaforçaeletromotrizcomuma tensão rms de 75,0V e uma frequência de 550Hz. (a)Qual é a corrente rms?Determine atensão rms (b) emR, (c) emC, (d) emL, (e) emC eL juntos e (f) emR,C eL juntos.Determine apotênciamédiadissipada(g)emR,(h)emCe(i)emL.

··60EmumcircuitoRLCsérieoscilante,R=16,0Ω,C=31,2μF,L=9,20mHe = senωdtcom=45,0Veωd=3000rad/s.Noinstantet=0,442ms,determine(a)ataxaPgcomaqualaenergiaestásendofornecidapelogerador;(b)ataxaPCcomaqualaenergiadocapacitorestávariando,(c)ataxaPLcomaqualaenergiadoindutorestávariandoe(d)ataxaPRcomaqualaenergiaestásendodissipadanoresistor.(e)AsomadePC,PLePRémaior,menorouigualaPg?

··61AFig.31-36mostraumgeradordeCAligadoaosterminaisdeuma“caixa-preta”.Acaixacontémum circuito RLC, possivelmente com mais de uma malha, cujos componentes e ligações sãodesconhecidos.Medidasrealizadasdoladodeforadacaixarevelamque

(a)Qualéofatordepotência?(b)Acorrenteestáadiantadaouatrasadaemrelaçãoàforçaeletromotriz?(c)Ocircuitonointeriordacaixaémaisindutivooumaiscapacitivo?(d)Ocircuitonointeriordacaixaestásendoexcitadonafrequênciaderessonância?(e)Devehaverumcapacitornointeriordacaixa?(f)Devehaverumindutornointeriordacaixa?(g)Devehaverumresistornointeriordacaixa?(h)Qualéapotênciafornecidaàcaixapelogerador?(i)Porquenãoéprecisoconhecerovalordeωdpararesponderaessasperguntas?


Módulo31-6Transformadores

·62Umgeradorfornece100Vaoenrolamentoprimáriodeumtransformador,quepossui50espiras.Seoenrolamentosecundáriopossui500espiras,qualéatensãonosecundário?

·63 Umtransformadorpossui500espirasnoprimárioe10espirasnosecundário.(a)SeVpé120V(rms), quanto é Vs, com o secundário em circuito aberto? Se o secundário está ligado a uma cargaresistivade15Ω,determine(b)acorrentenoprimárioe(c)acorrentenosecundário.

·64AFig.31-37mostraumautotransformador,umcomponentenoqualumabobinacomtrêsterminaiséenroladaemumnúcleodeferro.EntreosterminaisT1eT2existem200espiras,eentreosterminaisT2eT3 existem800espiras.Qualquerparde terminaispodeserusadocomoos terminaisdoprimário,equalquer par de terminais pode ser usado como os terminais do secundário. Para as escolhas queresultam emum transformador elevador de tensão, determine (a) omenor valor da razãoVs/Vp, (b) osegundomenorvalordarazãoVs/Vpe(c)omaiorvalordarazãoVs/Vp.Paraasescolhasqueresultamemumtransformadorabaixadordetensão,determine(d)omenorvalordarazãoVs/Vp,(e)osegundomenorvalordarazãoVs/Vpe(f)omaiorvalordarazãoVs/Vp.


··65UmgeradordeCAalimentaumacargaresistivaemumafábricadistantepormeiodeumalinhadetransmissãodedoiscabos.Nafábrica,umtransformadorabaixadordetensãoreduzatensãodovalordetransmissãoVt (rms) para um valormuitomenor que émais seguro e conveniente para ser usado nafábrica.Aresistênciadalinhadetransmissãoé0,30Ω/caboeapotênciadogeradoré250kW.SeVt=80kV,determine(a)aquedadetensãoΔVnalinhadetransmissãoe(b)apotênciaPddissipadanalinha.SeVt=8,0kV,determineovalor(c)deΔVe(d)dePd.SeVt=0,80kV,determineovalor(e)deΔVe(f)dePd.

ProblemasAdicionais

66NaFig.31-35,suponhaqueoretângulodaesquerdarepresentaasaída(dealtaimpedância)deumamplificador de áudio, com r = 1000 Ω. Suponha que R = 10 Ω representa a bobina (de baixaimpedância)deumalto-falante.ParaqueatransferênciadeenergiaparaacargaRsejamáxima,devemosterR = r, o que, nesse caso, não é verdade. Entretanto, os transformadores podem ser usados para“transformar”resistências,fazendocomqueestassecomportemeletricamentecomosefossemmaiores

ou menores do que realmente são. (a) Modifique o circuito da Fig. 31-35 de modo a incluir umtransformador entre o amplificador e o alto-falante para casar as impedâncias. (b) Qual deve ser arelaçãodeespirasdotransformador?

67Umgeradordecorrentealternadaproduzumaforçaeletromotriz = sen(ωdt−π/4),emque =30,0Veωd=350rad/s.Acorrentenocircuitoligadoaogeradorédadapori(t)=Isen(ωdt+π/4),emqueI=620mA.(a)Emqueinstanteapóst=0aforçaeletromotrizatingeovalormáximopelaprimeiravez?(b)Emqueinstanteapóst=0acorrenteatingeovalormáximopelaprimeiravez?(c)Ocircuitocontém um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de umresistor?Justifiquesuaresposta.(d)Qualéovalordocomponente?

68UmcircuitoRLCsérieéexcitadoporumgeradorcomumafrequênciade2000Hzeumaamplitudede 170V.A indutância é 60,0mH, a capacitância é 0,400μF e a resistência é 200Ω. (a) Qual é aconstantedefaseemradianos?(b)Qualéaamplitudedacorrente?

69Umgeradorcomumafrequênciade3000Hzaplicaumaforçaeletromotrizde120VdeamplitudeaumcircuitoRLCsérie.Aresistênciadocircuitoé40,0Ω,acapacitânciaé1,60μFeaindutânciaé850μH.Determine(a)aconstantedefaseemradianose(b)aamplitudedacorrente.(c)Ocircuitoémaiscapacitivo,maisindutivoouestáemressonância?

70 Umindutorde45,0mHpossuiumareatânciade1,30kΩ.(a)Qualéafrequênciadeoperaçãodocircuito?(b)Qualéacapacitânciadeumcapacitorcomamesmareatâncianamesmafrequência?Seafrequênciaformultiplicadapordois,qualseráanovareatância(c)doindutore(d)docapacitor?

71UmcircuitoRLCéexcitadoporumgeradorcomumaforçaeletromotrizcom80,0Vdeamplitudeeuma corrente com 1,25A de amplitude.A corrente está adiantada de 0,650 rad em relação à tensão.Determine (a) a impedância e (b) a resistência do circuito. (c) O circuito é mais indutivo, maiscapacitivoouestáemressonância?

72UmcircuitoRLCsérieéalimentadodetalformaqueatensãomáximanoindutoré1,50vezatensãomáximanocapacitore2,00vezesatensãomáximanoresistor.(a)Qualéoϕdocircuito?(b)Ocircuitoé mais indutivo, mais capacitivo ou está em ressonância? A resistência é 49,9 Ω e a amplitude dacorrenteé200mA.(c)Qualéaamplitudedaforçaeletromotrizdeexcitação?

73Umcapacitorde158μFeumindutorformamumcircuitoLCqueoscilacomumafrequênciade8,15kHzeumaamplitudedecorrentede4,21mA.Determine(a)aimpedância,(b)aenergiatotaldocircuitoe(c)acargamáximadocapacitor.

74UmcircuitoLCoscilantetemumaindutânciade3,00mHeumacapacitânciade10,0μF.Determine(a)afrequênciaangulare(b)operíododeoscilação.(c)Noinstantet=0,ocapacitorécarregadocom200μCeacorrenteézero.Façaumesboçodacargadocapacitoremfunçãodotempo.

75EmumcircuitoRLCsérie,aforçaeletromotrizmáximadogeradoré125Veacorrentemáximaé3,20A.Seacorrenteestáadiantadade0,982rademrelaçãoàforçaeletromotrizdogerador,determine

(a)aimpedânciae(b)aresistênciadocircuito.(c)Ocircuitoémaiscapacitivooumaisindutivo?

76 Umcapacitorde1,50μFpossuiuma reatânciacapacitivade12,0Ω. (a)Qual é a frequênciadeoperaçãodocircuito?(b)Qualseráareatânciacapacitivadocapacitorseafrequênciaformultiplicadapordois?


77 NaFig.31-38,umgerador trifásicoGproduzenergiaelétrica,queé transmitidapor trêsfios.Ospotenciaisdos três fios (emrelaçãoaumareferênciacomum)sãoV1=A senωdtparao fio1,V2 =Asen(ωdt − 120o) para o fio 2, eV3 =A sen(ωdt − 240o) para o fio 3.Alguns equipamentos industriaispesados(motores,porexemplo)possuemtrêsterminaisesãoprojetadosparaseremligadosdiretamenteaostrêsfios.Parausarumdispositivomaisconvencionaldedoisterminais(umalâmpada,porexemplo),basta ligar o dispositivo a dois dos três fios. Mostre que a diferença de potencial entre dois fiosquaisquer(a)oscilasenoidalmentecomfrequênciaangularωde(b)temumaamplitudeA .

78 Ummotor elétrico ligado a uma tomadade 120V, 60Hzdesenvolve umapotênciamecânica de0,100hp (1hp=746W). (a)Seomotorconsomeumacorrente rmsde0,650A,qualéa resistênciaefetiva do motor do ponto de vista da transferência de energia? (b) A resistência efetiva é igual àresistênciadosenrolamentosdomotor,medidacomumohmímetrocomomotordesligadodatomada?

79(a)EmumcircuitoLCoscilante,qualéacarga,emtermosdacargamáximaQdocapacitor,quandoaenergiadocampoelétricoé50,0%daenergiadocampomagnético?(b)Quefraçãodeperíododevetranscorrerapósoinstanteemqueocapacitorestátotalmentecarregadoparaqueessasituaçãoaconteça?

80 UmcircuitoRLC sérieéexcitadoporuma fontealternadacuja frequênciaé400Hzecuja forçaeletromotriztemumaamplitudede90,0V.Aresistênciadocircuitoé20,0Ω,acapacitânciaé12,1μFeaindutânciaé24,2mH.Determineadiferençadepotencialrms(a)noresistor,(b)nocapacitore(c)noindutor.(d)Qualéapotênciamédiadissipadanocircuito?

81EmumcircuitoRLCsérieexcitadocomumafrequênciade60,0Hz,atensãomáximanoindutoré2,00vezesatensãomáximanoresistore2,00vezesatensãomáximanocapacitor.(a)Dequeânguloacorrenteestáatrasadaemrelaçãoàforçaeletromotrizdogerador?(b)Seaforçaeletromotrizmáximadogeradoré30,0V,qualdeveseraresistênciadocircuitoparaqueacorrentemáximasejade300mA?

82Umindutorde1,50mHemumcircuitoLCoscilantearmazenaumaenergiamáximade10,0μJ.Qualéacorrentemáxima?

83UmgeradordefrequênciaajustáveléligadoemsériecomumindutorL=2,50mHeumcapacitorC= 3,00 μF. Para que frequência o gerador produz uma corrente com a maior amplitude possível no

circuito?

84UmcircuitoRLCsériepossuiumafrequênciaderessonânciade6,00kHz.Quandoéexcitadocomumafrequênciade8,00kHz,ocircuitopossuiumaimpedânciade1,00kΩeumaconstantedefasede45o.Determineovalorde(a)R,(b)Le(c)Cnessecircuito.

85 UmcircuitoLCoscilacomumafrequênciade10,4kHz.(a)Seacapacitânciaé340μF,qualéaindutância?(b)Seacorrentemáximaé7,20mA,qualéaenergiatotaldocircuito?(c)Qualéacargamáximadocapacitor?

86Quandoestáemcargaefuncionandocomumatensãormsde220V,ummotorconsomeumacorrenterms de 3,00A. A resistência domotor é 24,0Ω e a reatância capacitiva é zero. Qual é a reatânciaindutiva?

87OgeradordecorrentealternadadaFig.31-39forneceumaforçaeletromotrizde120Ve60,0Hz.Comachaveabertacomonafigura,acorrenteestáadiantadade20,0oemrelaçãoàforçaeletromotrizdogerador.Quandoachaveécolocadanaposição1,acorrenteficaatrasadade10,0oemrelaçãoàforçaeletromotriz do gerador.Quando a chave é colocada na posição 2, a amplitude da corrente é 2,00A.Determineovalor(a)deR,(b)deLe(c)deC.


88EmumcircuitoLCoscilante,L=8,00mHeC=1,40μF.Noinstantet=0,acorrenteémáximaetemo valor de 12,0mA. (a)Qual é a cargamáxima do capacitor durante as oscilações? (b)Emqueinstantedetempot>0ataxadevariaçãodaenergiaarmazenadanocapacitorémáximapelaprimeiravez?(c)Qualéovalordataxadevariação?

89 NocasodeumcircuitoRLC série,mostrequeemumciclocompletodeperíodoT (a) a energiaarmazenada no capacitor não varia; (b) a energia armazenada no indutor não varia; (c) a energiafornecidapelafontealternadaé(T/2) Icosϕ;(d)aenergiadissipadanoresistoréTRI2/2.(e)Mostrequeosresultadosdositens(c)e(d)sãoiguais.

90Quecapacitânciadeveserligadaaumindutorde1,30mHparaqueafrequênciaderessonânciadocircuitosejade3,50kHz?

91Umcircuitosériecomacombinaçãoresistor-indutor-capacitorR1,L1,C1temamesmafrequênciaderessonânciaqueumsegundocircuitocomumacombinaçãodiferente,R2,L2,C2.Asduascombinaçõessãoligadasemsérie.Mostrequeafrequênciaderessonânciadonovocircuitoéamesmadosdoiscircuitos

separados.

92 Considere o circuito da Fig.31-40.Com a chave S1 fechada e as outras duas chaves abertas, aconstantedetempodocircuitoéτC.ComachaveS2fechadaeasduasoutraschavesabertas,aconstantedetempodocircuitoéτL.ComachaveS3fechadaeasoutrasduaschavesabertas,ocircuitooscilacomumperíodoT.Mostreque .


93QuandoaforçaeletromotrizdogeradordoExemplo31.07émáxima,qualéatensão(a)dogerador,(b) do resistor, (c) do capacitor e (d) do indutor? Some as tensões, com os sinais apropriados, paramostrarqueosresultadossatisfazemaregradasmalhas.

_______________1Doinglêsrootmeansquare.(N.T.)

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Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada cap 31 - oscilações.pdf · CAPÍTULO 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada 31-1 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO