Oscilaciones en Masas de Agua Confinadas. Resonancia en Puertos

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

Oscilaciones en masas de agua

confinadas: resonancia

en puertos

MARA DEL CARMEN PALOMINO MONZN JOS LUIS ALMAZN GRATE

JOS LUIS ARRAYS GONZLEZ

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS


Oscilaciones en masas de agua

confinadas: resonancia

en puertos

M.C. PALOMINO MONZN

DRA. CIENCIAS FSICAS P.T.U.I. PUERTOS Y COSTAS E INGENIERA PORTUARIA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

J.L. ALMAZN GRATE

DR. ING. DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS LDO. CIENCIAS ECONMICAS Y EMPRESARIALES

P.T.U. PUERTOS Y COSTAS E INGENIERA PORTUARIA ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS


J.L. ARRAYS GONZLEZ ESTUDIANTE DE INGENIERA DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

BECARIO INVESTIGADOR DE LA FUNDACIN AGUSTN DE BETANCOURT ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS


RESONANCIA EN PUERTOS

INDICE

INDICE 1. Oscilaciones libres en masas de agua confinadas ................................................ 1

1.1 Introduccin ....................................................................................................... 11.2 Hidrodinmica de las oscilaciones libres en masas de agua confinadas ........... 4

Oscilaciones libres y ondas estacionarias. La frmula de Merian .................... 6Mtodo de Chrystal .......................................................................................... 9

1.3 Oscilaciones libres en masas de agua contenidas en recintos parcialmente abiertos ............................................................................................................. 12

1.4 Oscilaciones libres en masas de agua contenidas en sistemas de drsenas interconectadas ................................................................................................. 14Teora de la impedancia de Neumann .............................................................. 20Clculo del periodo de las oscilaciones libres en sistemas de drsenas interconectadas ................................................................................................. 26

1.5 Modo de oscilacin de Helmholtz ..................................................................... 30 2. Resonancia en puertos ........................................................................................... 33

2.1 Introduccin al concepto de resonancia. Sistemas mecnicos .......................... 33Resonancia en amplitud .................................................................................... 40Resonancia en energa ...................................................................................... 42Potencia transmitida a un oscilador .................................................................. 44

2.2 Resonancia en sistemas hidrodinmicos ............................................................ 47Introduccin ...................................................................................................... 47Resonancia en puertos: causas y efectos .......................................................... 49Espectro de respuesta de una drsena ............................................................... 56Criterios de diseo de un puerto para evitar problemas de resonancia ............ 58

Referencias .................................................................................................................. 63 Bibliografa ................................................................................................................. 65


1

1. Oscilaciones libres en masas de agua confinadas

1.1 Introduccin

En la naturaleza, todos los sistemas de partculas tienden a alcanzar y mantenerse en una

posicin de equilibrio en la que la energa total sea mnima, de forma que, si se intenta

desplazar al sistema de su estado de equilibrio, es preciso realizar un trabajo que contrarreste

la accin que tiende a devolverlo a la situacin de mnima energa total. Si, una vez apartado

el sistema de partculas de su posicin de equilibrio, se eliminan todas las coacciones al

movimiento del mismo, este experimentar oscilaciones libres en torno a aqulla,

denominadas as porque son debidas exclusivamente a la accin restituidora. Estas

oscilaciones son caractersticas de cada sistema e independientes de la accin exterior que

induce su aparicin.

Un caso particular lo constituyen las oscilaciones que afectan a masas de agua confinadas en

recintos completamente cerrados o parcialmente abiertos al exterior, que se conocen con el

nombre de seiches (1), trmino que parece derivar de la voz latina siccus seco, al descubierto-

y que se ha utilizado desde hace siglos para describir las variaciones peridicas observadas en

el nivel del agua del lago Ginebra, en Suiza. Aunque fue De Duillier (1730) el primero en

registrar la existencia de estas oscilaciones, el establecimiento de la naturaleza y orgenes del

fenmeno es debido al fsico suizo F. A. Forel (1869), quien dio un impulso a la investigacin

de las oscilaciones libres en masas de agua, extendindola a bahas y puertos en estos

ltimos, el fenmeno recibe el nombre de surging, emplendose el trmino secas en

castellano y reixada en mallorqun-.

No resulta difcil encontrar testimonios de observaciones de seiches incluso cuando no se

conoca an la naturaleza del fenmeno. Sirva de ejemplo la siguiente trascripcin

correspondiente a una carta enviada por S. J. Cappel a la revista Nature en febrero de 1880

[1]:

or segunda vez en 185 aos la gran lmina de agua

conocida como el Lago de Constanza, cuya rea superficial

supera las doscientas millas cuadradas, se ha helado.

(1) Estrictamente hablando, el trmino seiche corresponde a oscilaciones en masa que afectan a fluidos de cualquier naturaleza.

P


2

Relacionado con el mismo, se ha notificado un fenmeno muy

interesante. En un momento en que el aire se encontraba

perfectamente en reposo y durante una helada intensa, la capa de

hielo se parti en la zona central del lago y se aproxim colisionando

sobre el hielo situado ms prximo a la orilla, apilndose en grandes

montones. Una persona con experiencia en caminar sobre bloques de

hielo dice que no hay duda de que cada doce horas, aproximadamente,

los bloques de hielo se desplazan hacia atrs y adelante sobre el lago.

El mismo aade que, tanto en verano como en invierno, l y sus

amigos han observado, durante una calma absoluta, un potente

movimiento en el agua, alejndose y acercndose, tan fuerte a veces

como para obligarles a duplicar el esfuerzo necesario para mover su

embarcacin. Puede algn lector explicarme si de lo que se trata aqu

es de un verdadero movimiento mareal?...

Samuel James Capper

Hotel Helvetia, Kreuzlingen, Suiza, 17 de Febrero de 1880

Mucho ms antigua an es una crnica del ao 1549 debida a Schulthaiss, en la que se

registran oscilaciones similares tambin en el lago Constanza.

Fue Forel quien, en 1869, reconoci por primera vez que el fenmeno de los seiches en el

lago Ginebra es debido, en su forma ms elemental, a la presencia de dos ondas de gravedad

de longitud igual al doble de la del lago y que se propagan en sentidos opuestos, dando lugar a

una onda estacionaria como resultado de su interferencia. El agua del lago oscila

experimentando un movimiento de ascenso y descenso en los extremos mientras se desplaza

horizontalmente en la zona central, donde no existe movimiento vertical. En la figura 1 se

muestra este modo de oscilacin. Los extremos reciben el nombre de vientres o antinodos,

en contraposicin a la zona central, que constituye un nodo.

El nmero y posicin de los nodos caracteriza a la onda estacionaria. Cuanto mayor es el

primero, mayor es tambin la energa asociada a la oscilacin, por lo que los sistemas


3

naturales tienden a adoptar modos de oscilacin uninodales.

El movimiento de oscilacin implica un desplazamiento de agua desde el vientre que

desciende hacia el que asciende. Podra as considerarse el seiche como un mero

desplazamiento horizontal de vaivn del agua cuya manifestacin en la superficie es una

oscilacin vertical de igual periodo. Siguiendo esta consideracin, no resulta difcil simular un

seiche sujetando una bandeja con agua mientras se le imprime un movimiento horizontal

suave hacia derecha e izquierda; el lquido se desplazar de un lado a otro haciendo subir y

bajar de forma alternativa su nivel.

Forel y Chrystal [2], entre otros, han investigado las posibles causas que originan los seiches

en los lagos, enumerando las siguientes:

(a) Retroceso de la masa de agua empujada hacia la orilla por un viento fuerte que cesa.

(b) Presin ejercida sobre una parte del lago por una lluvia fuerte, nieve o granizo.

(c) Cambio brusco de la presin atmosfrica producido por el paso de una rfaga de aire.

(d) Descarga de agua procedente de ros o arroyos sobre uno de los extremos del lago.

(e) Paso de pequeas fluctuaciones baromtricas, identificables algunas veces con ondas

de aire de periodo prximo al del seiche.

Figura 1. Modo fundamental de oscilacin del Lago Ginebra (Suiza)


4

(f) Agitacin del terreno debida a sesmos, an cuando la distancia del lago al epicentro

sea considerable. Uno de los primeros casos registrados corresponde al terremoto de

Lisboa de 1755, cuyos efectos se dejaron sentir en forma de oscilaciones de lagos de

Escocia.

(g) Impacto de rfagas de aire sobre la superficie del agua asociados con variaciones en la

velocidad del viento y la presin atmosfrica.

Segn Chrystal (1908), los seiches de origen ssmico son raros, siendo mucho ms frecuentes

los producidos por causas meteorolgicas.

1.2 Hidrodinmica de las oscilaciones libres en masas de agua confinadas

La teora general de ondas de gravedad muestra que, cuando la profundidad de la lmina de

agua es reducida con relacin a la longitud de la onda, la naturaleza del movimiento cambia

completamente de modo que la propagacin de las ondas de superficie pasa a regirse por leyes

diferentes de las que gobiernan las ondas cortas. Las ecuaciones aplicables a estas ondas,

conocidas como ondas largas, pueden deducirse fcilmente si se acepta el hecho de que la

menor profundidad hace que los movimientos orbitales verticales sean tan pequeos frente a

los horizontales como para que las aceleraciones de los primeros puedan despreciarse. Este

supuesto conlleva dos consecuencias:

(i) La presin en cualquier punto de la masa de agua corresponde a la esttica ejercida por

la columna de agua que reposa sobre el mismo, variando nicamente al hacerlo la posicin

de la superficie del agua debido al paso de la onda.

(ii) El desplazamiento horizontal de todas las partculas contenidas en un plano

perpendicular a la direccin de propagacin es el mismo. Dicho de otra forma, la velocidad

horizontal no depende de la profundidad.

Considrese un canal recto de seccin rectangular y profundidad uniforme en el que se ha

establecido un sistema de coordenadas x, z como se muestra en la figura.


5

Sea (x,t) la elevacin de la superficie del agua en la posicin x y en el instante t. Si h es el espesor de la lmina de agua en reposo, la altura de la columna de agua ser h+, con lo que la presin en un punto de coordenadas x, z vendr dada, para dicho instante t, por la expresin

)(0 zhgpp ++= donde p0 es la presin atmosfrica y la densidad del agua. Derivando respecto de x, se tiene

xg

xp

=

Si u es la componente horizontal de la velocidad, la ecuacin del movimiento segn esta

direccin se escribe como

xp

xuu

tu

=

+

1

Si las velocidades son pequeas, el trmino se segundo grado u(u/x) puede despreciarse frente al primero, quedando

Figura 2. Canal recto de seccin rectangular y profundidad uniforme


6

xg

tu

=

Denominando al desplazamiento horizontal de las partculas de agua, se tiene, puesto que u=d/dt,

xg

t =

2

2

(1)

que es la ecuacin del movimiento para ondas largas.

De la ecuacin de continuidad, 0=+

zv

xu

, se obtiene

==t

xuzdz

xuv

0 (2)

Por otra parte, la ordenada de la superficie libre es z=h+. Si suponemos que la onda es de pequea amplitud, se tiene que h, por lo que zh. La componente vertical de la velocidad en superficie se expresa como v=/t, por lo que, sustituyendo en (2) y teniendo en cuenta que u=/t, se obtiene la ecuacin de continuidad para un canal de seccin rectangular:

xh

= (3) Sustituyendo (3) en (1) se obtienen las ecuaciones diferenciales del movimiento de una onda

larga:

2

2

2

2

xhg

t =

(4-a)

2

2

2

2

xhg

t =

(4-b)

- Oscilaciones libres y ondas estacionarias. La frmula de Merian

Dada la linealidad de las ecuaciones (4-a) y (4-b), la suma algebraica de dos de sus soluciones

ser tambin solucin de las mismas. Considrese entonces una onda progresiva 1 que se propaga en la direccin positiva del eje x:

( )xkta = cos211 donde a es la amplitud, la frecuencia angular y k el nmero de onda.


7

La reflexin total de 1 en una pared vertical originar una segunda onda progresiva 2 de igual periodo y amplitud pero con sentido de propagacin opuesto a la primera. Si la pared se

encuentra situada en x=0, la expresin para la onda reflejada es la siguiente:

( )xkta += cos212 La superposicin de ambas ondas se traduce en una nica onda estacionaria de expresin

( ) ( )txka =+= coscos21 Por otra parte, cualquiera de las expresiones (4) representa la ecuacin general de ondas libres

que se propagan en un medio unidimensional definido por la direccin x:

2

22

2

2

xc

t =

donde c es la celeridad o velocidad de propagacin de la onda, que viene dada por

hgc = expresin deducida ya por Lagrange en 1781.

Supngase que el canal de propagacin de la figura 2 tiene una longitud L. La onda incidente,

que parte de x=0, emplea en llegar a x=L un tiempo dado por

hgL

Luego el tiempo utilizado por la onda en ir y volver, tras la reflexin, a la posicin x=0 ser

hgLT =

20 (5)

Si la onda incidente tiene una longitud =2L, la expresin (5) proporciona el periodo de la onda estacionaria formada, que tendr un nico nodo situado en x=L/2. Dicha expresin se

conoce como la frmula de Merian, por ser J. R. Merian quien la dedujo en 1828.

Obsrvese que las oscilaciones libres en masas de agua confinadas han de presentarse en la

forma de ondas estacionarias, ya que stas y las ondas progresivas son las nicas soluciones

de la ecuacin lineal de ondas y las primeras se producen por reflexin de las segundas en

paredes o contornos cerrados. Por tanto, la frmula de Merian proporciona el periodo

fundamental de oscilacin del agua contenida en una drsena rectangular de profundidad

uniforme1.

1 Cuando la elevacin de la superficie del agua no es suficientemente pequea con relacin a la profundidad h, la expresin (5) debe corregirse mediante un factor que depende de , quedando como


8

En el caso general de que la onda incidente tuviese una longitud =2L/n, siendo n un nmero natural, se tiene, dado que la celeridad se mantiene constante, la siguiente expresin para el

periodo de la onda estacionaria formada,

hgnLTn =

2 (6)

que constituye una generalizacin de la frmula de Merian. Dicha onda presenta exactamente

n nodos, y la energa por unidad de longitud de cresta asociada a la misma viene dada por

4

2 LagnE = El modo de oscilacin correspondiente a un nico nodo se denomina modo fundamental del

sistema, mientras que los que poseen mltiples puntos nodales se conocen como armnicos.

Obsrvese que la energa aumenta con el nmero de nodos, como corresponde al hecho de

que, al mismo tiempo, disminuye el periodo y, por ende, aumenta la frecuencia. As, los

sucesivos modos de oscilacin posibles se caracterizan por poseer un nmero de nodos cada

vez mayor as como una mayor energa a igualdad de amplitud. Ello explica que en la

naturaleza la mayora de los sistemas susceptibles de experimentar oscilaciones, y en

Figura 4. Modo fundamental de oscilacin de una drsena rectangular cerrada de profundidad uniforme


9

particular las masas de agua, tiendan a hacerlo con el periodo ms alto posible, que

corresponde al modo uninodal.

Aunque la frmula de Merian es exacta para una drsena rectangular de profundidad

uniforme, es posible su aplicacin a recintos con formas diferentes, permitiendo obtener un

orden de magnitud del periodo propio. As, parece que fue Forel el primero en aplicarla al

estudio de los seiches en lagos naturales, utilizando como valor de la profundidad un

promedio. En el caso del lago Ginebra, de 70 Km de longitud y 160 m de profundidad media,

Forel estim un periodo de 59 minutos, algo reducido en comparacin con los 73 minutos

medidos.

- Mtodo de Chrystal

G. Chrystal [2] propuso en 1905 un mtodo para estimar con mayor precisin los periodos de

oscilacin de una masa de agua contenida en un recinto de profundidad variable. Su

desarrollo procede como sigue.

Las ecuaciones de continuidad (3) y movimiento (4-b) pueden generalizarse para una canal de

seccin variable. As, si b(x) es el ancho y S(x) el rea de la seccin correspondiente a la

posicin x, la expresin (3) se convierte en

( ) = )(

)(1 xS

xxb (7)

quedando (4-b) como

=

xxS

xxbg

t )(

)(22

(8)

Si en las ecuaciones anteriores se introducen ahora las variables u, v definidas como

== x dxxbxSu0

)( v )(

y se crea la funcin auxiliar )()()( xbxSv = , se obtiene

2

2

2

2

)(vuvg

tu

vu

=

=

(9)

= hhgLT

2312


10

Para un recinto de ancho constante b y profundidad variable h(x), se obtiene, tomando

= )(xhu ,

2

2

2

2

)(xuxhg

tu

xu

=

=

(10)

ecuaciones que resultan idnticas a las anteriores sin ms que sustituir x por la variable

auxiliar v.

Llegado a este punto, Chrystal divide el recinto en n secciones transversales de reas Si y

ancho en superficie bi, denotando con vi la superficie de lago comprendida entre su extremo y

la seccin i-sima. La curva definida por el conjunto de puntos de abcisas vi y ordenadas biSi se denomina curva normal y corresponde a la lnea que une los puntos ms bajos de cada

seccin, es decir, el camino que se seguira recorriendo el fondo del recinto de un extremo a

otro pasando por los puntos ms bajos posibles. Comparando las ecuaciones (9) y (10) se

comprueba que las oscilaciones de un recinto de forma arbitraria definida por las funciones

b(x), S(x) son geomtricamente similares a las de una cuenca rectangular de profundidad h(x)

variable. Pues bien, como ste ltimo caso ecuaciones (10)- resulta matemticamente ms

simple, el problema se reduce al mismo.

La segunda de las ecuaciones (10) admite una solucin estacionaria del tipo

)t( )(),( += senxAtxu con T/2 = . Sustituyndola en la misma, queda la ecuacin final

0)(

2

2

2

=+ A

xhgxA


11

cuya resolucin proporciona los modos A(x) de oscilacin del recinto cuya curva normal es

h(x). La tabla siguiente, modificada de Lamb [3], proporciona los periodos tanto del modo

fundamental como de los armnicos para algunas formas geomtricas sencillas.

El mtodo se ha aplicado a recintos naturales, como es el caso del lago Earn en Escocia,

obtenindose los siguientes valores para los periodos:


12

MODO DE OSCILACIN PERIODO OBSERVADO (min.) PERIODO CALCULADO (min.)

Fundamental 14.52 14.50

Armnico 1 8.09 8.14

Armnico 2 6.01 5.74

Armnico 3 3.99 4.28

Armnico 4 3.54 3.62

Armnico 5 2.88 2.93

1.3 Oscilaciones libres en masas de agua contenidas en recintos parcialmente abiertos

En una masa de agua contenida en una cuenca comunicada por uno o varios puntos con

cuerpos de agua de mayor extensin pueden tambin establecerse ondas estacionarias. Tal es

el caso de canales, estuarios, bahas y, por supuesto, puertos artificiales.

Considrese el caso sencillo de una drsena abierta al mar. En esta situacin, la oscilacin del

nivel del agua dentro de aqulla se debe a un flujo y reflujo de agua entre ambos cuerpos.

Dado que el volumen de agua del mar es lo suficientemente grande comparado con el de la

drsena como para que su nivel no vare, as como que ha de existir continuidad en la posicin

del nivel de agua al pasar de uno a otro, resulta inmediato que ha de existir una lnea nodal en

la entrada de la drsena. As, el modo de oscilacin de mayor periodo posible que puede darse

en la drsena estar caracterizado por la presencia de un vientre en su extremo cerrado y un

nodo en el extremo abierto, tal como se muestra en la figura 5. Este modo es conocido como

de un cuarto de longitud de onda, al coincidir su forma con la de un cuarto de senoide.

En el caso de una drsena rectangular de seccin y profundidad constantes, resulta fcil

deducir la expresin del periodo si se considera a aqulla como la mitad de una drsena

cerrada, tambin rectangular, pero de longitud doble -figura 5-. Si L es la longitud de la

primera, la aplicacin de la frmula de Merian (5) para la segunda, de longitud 2L, da

hgL

hgLT =

= 4)2(20

expresin para el periodo de la drsena abierta.


13

La expresin anterior puede generalizarse para cualquier armnico, quedando en la forma

hgmLTm =

4 (11)

donde s toma en este caso valores impares (m=1, 3, 5, ...). El nmero de nodos n

correspondiente al armnico m-simo viene dado por n=(m+1).

En realidad, la ecuacin (11) es vlida para drsenas de ancho muy pequeo con relacin a su

longitud. Cuando esto no es as, resulta necesario introducir una correccin que incrementa el

periodo. Algo parecido ocurre con el sonido producido en el interior de los tubos de un

rgano, que se hallan abiertos por un extremo; a igualdad de longitud, los de mayor dimetro

interior producen sonidos ms graves, de mayor periodo por tanto. Investigaciones llevadas a

cabo por Rayleigh [4] en 1897 muestran, como cabe esperar, que, a mayor valor de la

correccin, mayor es el ancho de la bocana con relacin a la longitud de la drsena.

Figura 5. Modo fundamental de oscilacin de una drsena rectangular abierta de profundidad uniforme


14

La nueva expresin para el periodo, incluyendo ahora la correccin, es la siguiente:

+=

Lb

Lb

hgmLTm 4

ln14 23

donde: = 0.577215 es la constante de Euler b es el ancho de la bocana

L es la longitud de la drsena

A modo de ejemplo, la tabla siguiente muestra valores del factor de correccin para varias

relaciones b:L

b/L 1 1/3 1/5 1/10 1/20

Factor de correccin

1.371 1.297 1.240 1.203 1.176 1.110 1.066

Obsrvese que para una drsena de ancho igual a su longitud, el periodo se incrementa en un

37% con relacin al que proporciona la frmula de Merian (11).

La tabla de la pgina siguiente, modificada de Lamb [3], proporciona valores de los periodos

de oscilacin de drsenas abiertas al mar con diferentes configuraciones en planta y alzado.

1.4 Oscilaciones libres en masas de agua contenidas en sistemas de drsenas

interconectadas

La determinacin de los periodos de oscilacin libre en sistemas de drsenas interconectadas,

caso comn de un puerto requiere la separacin de los mismos en unidades con modos de

oscilacin propios. Esta idea queda ilustrada mediante el siguiente ejemplo.


15

Considrese el caso de dos drsenas rectangulares de profundidad uniforme y diferentes

tamaos comunicadas entre s mediante un canal estrecho tal como se muestra en la figura 6.

Si la bocana de la drsena secundaria es suficientemente estrecha, el agua contenida en la

drsena principal oscilar como si sta estuviese cerrada en todo su permetro, formndose un

vientre en la entrada al canal. Esto hara, a su vez, que el nivel del agua en el canal

experimentase tambin oscilaciones, generndose corrientes horizontales de flujo y reflujo en

el mismo. Impulsada por estas corrientes, el agua entrara y saldra de la drsena secundaria,

cuyo nivel acabara experimentando tambin oscilaciones.


16

De esta forma, el agua del canal se movera hacia adelante y atrs con el mismo periodo que

las oscilaciones en la drsena principal, aunque el proceso fsico en s sera bastante diferente

del de un seiche, pues el canal tiene un modo de oscilacin propio distinto. Esto hara que el

agua del mismo se mostrase reacia a oscilar al comps de la drsena principal, producindose

un cierto retraso que hara que el periodo de oscilacin del sistema formado por las dos

drsenas y el canal fuese algo diferente del correspondiente a la drsena principal como si

estuviese aislada.

Analizada de forma cualitativa la hidrodinmica del sistema, vamos a establecer las

ecuaciones bsicas que modelizan el comportamiento del mismo.

Para ello, y como muestra la figura 6, se han asignado valores de las dimensiones en planta, L

y b, y del calado o profundidad h a cada uno de los recintos que lo componen, utilizando los

ndices 1, 2, 3 para la drsena principal, el canal de unin y la drsena secundaria,

respectivamente. Para cada recinto, asimismo, se definen su superficie, A=bL, su seccin transversal, S=bh, su seccin longitudinal, F=Lh y su volumen, V=Lbh. Sean, por otra parte, , los desplazamientos horizontal y vertical, respectivamente, de las partculas de agua.

Supngase que la drsena principal se encuentra oscilando de forma regular; es decir, existe

un seiche establecido en la misma -figura 7 -. En esta situacin, existirn en el canal

variaciones peridicas de la presin as como una corriente longitudinal alternante en forma

Figura 6. Sistema de dos drsenas interconectadas mediante un canal estrecho


17

de movimiento de vaivn. En la drsena secundaria tambin se dejar sentir el movimiento en

la forma de oscilaciones causadas por el llenado y vaciado de la misma al comps del modo

de oscilacin libre del sistema completo, cuyo periodo T depender, ante todo, de las

dimensiones del mismo, que pueden introducirse en el clculo en forma de condiciones de

contorno en los puntos x=0, x=L1 y x=L1+L2, tal como muestra la figura 7.

Centrmonos en la drsena secundaria; las oscilaciones que se producen en ella son simples

variaciones en el nivel del agua debidas al flujo entrante o saliente a travs de la seccin

correspondiente a x=L1+L2 -figura 7-. La aplicacin de la condicin de continuidad conlleva

a que

321321secundaria drsena la

en volumen deVariacin

33

secundaria drsenala a entrada deseccin

lapor fluye queVolumen

22 = OS (12)

En el canal, por otra parte, resulta aplicable la ecuacin del movimiento (1), resultando la

expresin

Figura 7. Condiciones de contorno (los superndices D e I se refieren a los extremos derecho e izquierdo, respectivamente, del recinto en cuestin)


18

( )IDLg

xg

t 2222

22

2

==

(13)

Ntese que se ha sustituido la variacin de nivel con la distancia por su valor medio a lo largo

del canal, lo cual es vlido si se tiene en cuenta que el movimiento de agua en ste consiste en

una corriente originada por diferencia de presin hidrosttica entre sus extremos.

Dado que todos los movimientos que se producen en el sistema son oscilatorios, parece

razonable pensar que las variables , en cada punto son funciones peridicas del tiempo, en la forma compleja e jt. Considerando entonces las ecuaciones (12) y (13), as como las

condiciones de contorno para x=L1, se obtiene la siguiente expresin:

01 12

12

122

23 =+

DD

Lg

SS

(14)

en la cual

231

223

233

23 ==

Oc

LhOShg

(15)

siendo 33 hgc = la celeridad de las ondas progresivas en la drsena secundaria y

2

22 L

S= una variable con dimensiones de longitud que se conoce como conductividad de un recinto;

en este caso, del canal. De la segunda parte de la expresin (15) se deduce la expresin para el

periodo de las oscilaciones en la drsena secundaria:

2

3

33

2

Qc

T =

La ecuacin (14) representa una relacin entre el desplazamiento horizontal y el vertical en la parte derecha de la drsena principal. Es posible deducir una segunda ecuacin que

relacione ambas variables en el extremo izquierdo a partir de la ecuacin de las oscilaciones

en dicho recinto, ya que en esta zona el agua oscila como si dicha drsena estuviese aislada.

As, de (4) y (2), se obtiene, particularizando para x=0 y despreciando el factor temporal e

jt, las siguientes ecuaciones para el movimiento:


19

( ) ( )

( ) ( )xLhx

LD

D

=

=

cossen

sen sen

1

111

1

11

(16)

siendo c1=.

La segunda de las ecuaciones (16) proporciona, particularizando para x=L1, una segunda

relacin entre las variables 1D, 1D: ( ) 0 cotg 1111 =+ DDLh (17)

Las ecuaciones (14) y (17) forman un sistema lineal homogneo,

( )

=

00

1 cotg

1

1

1

11

22

122

23

D

D

LhLg

SS

que solamente puede tener solucin si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo,

( )0

1 cotg

1

11

22

122

23 =

LhLg

SS

lo cual ocurre cuando es la frecuencia angular propia del sistema. Tras varias transformaciones, se obtiene

-1S cotg 223

2

11

=

L (18)

Si se supone que la seccin del canal es muy pequea con relacin a la de la drsena principal,

puede admitirse que el agua en sta oscila como si aqul no existiese, por lo que su periodo

vendr dado por la frmula de Merian:

1

11

2hg

LT =

La expresin (18) toma entonces la forma siguiente:

112 cotg 23

2

21

11

=TT-

TcS

TT

que es vlida nicamente si el movimiento del agua en el canal se reduce a corrientes de

compensacin de volmenes entre ambas drsenas, sin presencia de oscilaciones.


20

Si, adems, la longitud de onda de la oscilacin conjunta del sistema es grande con relacin a

la longitud de la drsena principal, el producto L1 ser muy pequeo, pudindose escribir:

11

cotg 1 LL

La ecuacin (18) toma entonces la siguiente forma definitiva para el periodo T de oscilacin

del sistema:

31

31

22

22FFFF

ghbLT +

= (19)

- Teora de la impedancia de Neumann

En el apartado anterior se ha estudiado el comportamiento conjunto de un sistema simple

formado por dos drsenas de las cuales, por simplificacin, se ha supuesto que una es lo

suficientemente grande con relacin a la otra como para admitirse que puede oscilar con

independencia de la segunda.

El caso general de un nmero cualquiera de drsenas conectadas entre s, como corresponde a

un puerto artificial, resulta difcil de tratar de forma analtica. No obstante, Neumann [5]

desarroll un mtodo sencillo basado en el concepto de impedancia de un sistema oscilatorio

y que permite calcular el periodo de oscilacin de conjuntos de drsenas interconectadas, con

la nica limitacin de que stas han de ser rectangulares y de profundidad uniforme.

Para entender el concepto de impedancia de un sistema oscilatorio considrese el caso sencillo

de un circuito elctrico como el representado en la figura 8, formado por una resistencia

hmica de valor R, una bobina de inductancia L y un condensador de capacidad C, todos

ellos conectados en serie y alimentados por una fuente de tensin alterna senoidal v(t). Si, inicialmente, el interruptor est abierto posicin 1- y en un momento dado se cierra

posicin 2-, comenzar a circular por el circuito una corriente i(t) de variacin alterna

senoidal tambin. Pero, antes de que el circuito pueda llegar a una situacin estacionaria de

rgimen permanente de funcionamiento, pasar por un periodo de transicin durante el cual

tanto la corriente como las tensiones en los elementos variarn con el tiempo hasta llegar a la

situacin de equilibrio que corresponde a los parmetros R, L, C del circuito.


21

Si tomamos como variable la tensin vC(t) en bornas del condensador, la ecuacin diferencial

que modeliza el comportamiento del circuito es la siguiente [7],

)(2

2

tvvdt

dvCR

dtvd

CL CCC =++ (20)

Si la tensin del generador responde a la forma tjeVtv = )( , puede admitirse que la corriente circulante ser de la forma = tjeIti )( . Por otra parte, dado que la relacin entre corriente y tensin en el condensador viene dada por

dtdvCti c=)(

integrando, se tiene

=tj

c ejCItv 1)(

Sustituyendo en (20), se obtiene la siguiente relacin entre la tensin v(t) del generador y la

corriente i(t) que circula por el circuito:

+= CLjRti

tv

1)()(

(21)

que no es otra cosa que la impedancia Z del circuito.

Este resultado tiene su analoga en sistemas hidrodinmicos. Hasta ahora, se ha tratado el

movimiento de las masas de agua sin considerar las prdidas de energa por friccin. Como se

comentar en el siguiente captulo, el efecto de la friccin en un sistema oscilatorio puede

Figura 8. Circuito elctrico R-L-C


22

modelizarse mediante una fuerza opuesta al movimiento y proporcional a la velocidad de ste.

As, si (t) es el desplazamiento horizontal de las partculas de agua respecto a su posicin de equilibrio, la fuerza de friccin se expresar como

dtd

trmino que puede ser aadido a la ecuacin (4-a) para obtener

2

2

2

2

xhg

dtd

t +=

(22) Si se considera que vara con la posicin x segn xje , donde =2/L es el nmero de onda, se tiene, sustituyendo xje en (22) y suponiendo la presencia de una fuerza f(t) actuando en la direccin horizontal [6],

fdtd

t=++

222

(23)

donde =c es la frecuencia natural de oscilacin de .

Si se toma una variacin alterna senoidal para la fuerza, tjeFtf = )( , cabe esperar que la velocidad del movimiento horizontal presente tambin el mismo tipo de variacin temporal,

aunque con un desfase respecto a la primera: =

= tjeUt

tu )(

Integrando, se obtiene la expresin para el desplazamiento,

=

tjeUj

t 1)(

Sustituyendo sta en la ecuacin (23) se obtiene la impedancia del sistema como

+==

2

)()( j

tutfZ (24)

Si se compara esta expresin con la (21) puede observarse que la parte real corresponde al

parmetro responsable de la disipacin de energa: la resistencia R para el circuito elctrico y

el coeficiente de amortiguamiento para el sistema hidrodinmico. Puede demostrarse que la frecuencia natural de oscilacin de cualquier sistema es aqulla que

hace mnima su impedancia. En el caso particular de que no exista amortiguamiento, la

condicin anterior se reduce a que la impedancia sea nula. Esta afirmacin resulta fcil de


23

comprobar a partir de (24) si, tomando =0, se impone Z=0; ello ocurre nicamente cuando =, es decir, en el caso en que el sistema oscila con su frecuencia natural.

Para el caso de una drsena rectangular de seccin transversal uniforme, es posible demostrar

que la impedancia se define como

horizontal velocidadla de amplitud ansversalseccin trpresin la de amplitud

=Z (25)


24

Ejemplo de aplicacin. Calcular el periodo propio de oscilacin del agua contenida en una

drsena rectangular de longitud l, profundidad h y ancho b, ambos uniformes en toda la

longitud. La drsena se encuentra abierta al mar en uno de sus extremos.

Si se sita el fondo de la drsena en la posicin x=0 y el extremo abierto en x=l, el

desplazamiento horizontal de las partculas de agua debido a la onda estacionaria formada viene dado por la expresin

tj0 ex)(sen

= que, derivada respecto del tiempo, proporciona la amplitud de la velocidad

horizontal, que ser mxima en la bocana, donde nicamente existen

desplazamientos horizontales:

l)( 0max = senju El desplazamiento vertical de las partculas viene dado, de acuerdo con (3) por la expresin

tj0 ex)( cos

== h

xh

cuya amplitud en la bocana viene dada por:

l)( cos0max = h Dado que la presin mxima viene dada por maxmax = gp , donde es la densidad del agua, se obtiene la siguiente expresin para la impedancia:

l)( cotgl)(

l)( cos1

0

0 =

=

hbcj

senjhg

hbZ

Si imponemos que la impedancia sea nula, resulta

2hgT

2 ;

2c ;0l)( cotg

=== ll de donde resulta finalmente

hglT = 4

expresin ya deducida anteriormente a partir de la frmula de Merian (5).


25

Neumann ha calculado la impedancia para los casos de mayor aplicabilidad en la

modelizacin de situaciones reales:

(1) Drsena abierta en un extremo

)( cotg lhbcjZ =

(2) Drsena abierta en ambos extremos

)( tg lhbcjZ =

(3) Canal estrecho

hbljZ =

(4) Drsena conectada con el mar abierto a travs de una bocana muy estrecha

=

l

clhb

jZ


26

- Clculo del periodo de las oscilaciones libres en sistemas de drsenas interconectadas Siguiendo la analoga del circuito elctrico, la impedancia de un sistema de drsenas

interconectadas puede obtenerse tratando stas como elementos de un circuito elctrico y

aplicando las reglas de combinacin de impedancias ya conocidas (5):

(1) La impedancia equivalente Z a un conjunto de impedancias Zi dispuestas en serie es igual

a la suma de las mismas:

=i

iZZ

(2) El inverso de la impedancia equivalente Z a un conjunto de impedancias Zi dispuestas en

paralelo es igual a la suma de los inversos de las mismas:

=i iZZ

11

As, para empezar es necesario establecer si dos drsenas adyacentes se encuentran dispuestas

en serie o en paralelo. El siguiente ejemplo pretende aclararlo.


27

Ejemplo de aplicacin. Calcular el periodo fundamental y los correspondientes a los dos

primeros armnicos relativos a las oscilaciones libres del puerto indicado en la figura,

formado por un canal de acceso y dos drsenas. Las dimensiones de los recintos son:

Canal de acceso Drsena 1 Drsena 2

l3= 320 m l1=400 m l2=300

b3= 35 m b1= 60 m b2= 40 m

h3=12 m h1=10 m h2=9 m

Los valores hi corresponden a profundidades medias, de modo que en la transicin entre

drsenas no hay discontinuidades en el fondo. Se considerar una densidad para el agua =1 g/cm3.

___________________________________

En primer lugar, se procede a determinar la impedancia del conjunto mediante la

adecuada asociacin de las impedancias de los recintos individuales. Como puede

observarse en la figura, puede suponerse que la drsena 1 se ramifica en la

drsena 2 y el canal de acceso, de modo que estos dos ltimos pueden asociarse en

paralelo y, a su vez, ambos en serie con la drsena 1.

32

3223

3223

Z;111ZZZZ

ZZZ +=+=


28

32

321

32

323121231

111

ZZZZZ

ZZZZZZZZZZZ +

++=+

++=+=

Las impedancias individuales se calculan utilizando las expresiones deducidas por

Neumann.

Las drsenas 1, 2 se encuentran abiertas por un slo extremo:

( )j

hgl

hbhg

jcl

hbcjZ

==

=

=

386.40 cotg0165.0

cotg cotg1

1

11

1

1

1

11

11

( ).j

hgl

hbhg

jcl

hbcjZ

==

=

=

92832 cotg0261.0

cotg cotg2

2

22

2

2

2

22

22

El canal de acceso, en cambio, se encuentra abierto por ambos extremos:

( )..j

hgl

hbhg

jcl

hbcjZ

==

=

=

49329 tg02580

tg tg3

2

33

3

3

3

33

33

Los periodos propios sern aquellos que anulen la impedancia total Z del conjunto:

( ) ( ) ( ) 049329 cotg0258092832 tg0261.0386.40 tg0165.0;0111 ;0

321

=+=++=

...ZZZ

Z

La resolucin de la ecuacin anterior proporciona los siguientes valores para la

frecuencia angular :

rad/s 1357.0 rad/s, 0771.0 rad/s, 0168.0 210 ===

que se corresponden con los siguientes periodos de oscilacin:


29

Fundamental: s 3740 =T 1er armnico: s 821 =T 2 armnico: s 472 =T

En cualquier caso, no hay que olvidar que los valores proporcionados por el

mtodo de Neumann sern tanto ms aproximados cuanto ms razonable resulte la

modelizacin del sistema real mediante un conjunto de drsenas rectangulares. El

caso general de una masa de agua en oscilacin permanece an sin solucin

analtica.


30

1.5 Modo de oscilacin de Helmholtz

Cabe, por ltimo, comentar un caso particular de oscilacin de una masa de agua confinada en

un recinto. Corresponde al modo en que el nivel del agua sube y baja de manera uniforme y al

unsono en todos los puntos de la superficie. Esta situacin puede presentarse en cuerpos de

agua conectados con el mar mediante un canal largo, de forma similar a como ocurre entre

dos vasos comunicantes; las oscilaciones de nivel no son ms que oscilaciones en el volumen

de agua contenido en el recinto.

La modelizacin matemtica requiere una formulacin muy sencilla. Sea S la superficie del

cuerpo de agua, y L, a y h su longitud, anchura y calado, respectivamente, del canal de enlace

con el mar. Si denotamos por el desplazamiento del nivel con respecto a la posicin de equilibrio y v es la velocidad de flujo en el canal, la ecuacin de continuidad de volmenes se

obtiene expresando que la variacin en la unidad de tiempo del volumen del recinto debe ser

igual que el caudal que fluye por el canal:

vhaSt

=

(26)

Si el canal es suficientemente largo, resulta razonable admitir que su calado no variar, por lo

que el gradiente de presin hidrosttica originado por la variacin del nivel dentro del cuerpo

de agua puede escribirse como

Lxp =

Esta variacin de la presin no es ms que una fuerza que hace fluir al agua dentro del canal.

La ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento queda entonces como

Ltv = (27)

Eliminando v entre (26) y (27) se obtiene la ecuacin diferencial que satisface la

variacin temporal de :

02

2

=+

Lahg

tS

ecuacin de un movimiento vibratorio armnico simple. El periodo de las oscilaciones

viene entonces dado por la siguiente expresin:


31

ahgLST = 2

La denominacin de modo de Helmholtz se suele emplear en acstica, utilizndose el trmino

pumping (bombeo) para la analoga hidrodinmica.


32

2. Resonancia en puertos

2.1 Introduccin al concepto de resonancia. Sistemas mecnicos Resulta frecuente hoy en da hablar de resonancia sin saber el significado exacto del trmino.

Una persona vulgar lo asocia fcilmente a fenmenos cotidianos como son el eco que se

produce en una habitacin vaca o las vibraciones inducidas en las ventanas al paso de un

vehculo cerca de las mismas. Una persona con cierta cultura asocia la resonancia con

movimientos oscilatorios ampliados por fuerzas exteriores al sistema que los experimenta. Tal

es el caso de un columpio; cuando un nio aprende a balancearse en l, figura 1, realiza

movimientos que, sin saberlo, amplifican la oscilacin de ste por resonancia. Para ello, se

pone de pie cada vez que pasa por el punto ms bajo, con lo que acerca su centro de gravedad

al punto de giro y disminuye su momento de inercia. Al conservarse el momento angular,

aumenta la velocidad angular del columpio y, por tanto, la energa cintica. Al llegar al punto

de mayor elevacin, dispondr de mayor energa potencial, con lo que alcanzar cada vez

mayor altura.

No es difcil encontrar en la Historia episodios relacionados con la resonancia. Ya Galileo

Figura 1. Amplificacin del movimiento de un columpio


33

Figura 2. Colapso del puente Tacoma Narrows

observ cmo la amplitud de oscilacin de un pndulo aumentaba al aplicarle una pequea

fuerza de forma peridica. Ms recientemente, el tenor italiano Enrico Caruso llegaba a

romper copas de vidrio entonando notas de cierta frecuencia.

En la inmensa mayora de los libros de texto de enseanza secundaria no se habla de

resonancia sin citar el colapso del puente Tacoma Narrows en 1940. La causa del mismo fue,

al parecer, la amplificacin de las oscilaciones del tablero, ya de por s existentes dada su baja

rigidez, debido a que la frecuencia de las variaciones de presin inducidas en la zona de

sotavento del tablero, por desprendimiento de los vrtices generados por el viento, se

aproximaba bastante a la frecuencia natural de oscilacin de aqul [8].

Pero, en qu consiste exactamente la resonancia?, por qu se produce?. Para responder a

estas cuestiones, considrese un sistema mecnico tan simple como el formado por una masa

puntual m capaz de moverse a lo largo de una lnea recta bajo la coaccin de un resorte lineal

de constante k. Si x(t) es la posicin instantnea de la partcula respecto a la de reposo, su

movimiento satisface la siguiente ecuacin diferencial lineal:

{ { 0

rarestituido Fuerza

inercia de Fuerza

=+ xkxm && (1)

cuya solucin general es de la forma ( ) += t cos)( atx , donde a es la amplitud del movimiento, mk /= la frecuencia angular y el ngulo de fase inicial.

La representacin grfica de la funcin x(t) nos muestra un movimiento vibratorio armnico

simple. La masa puntual oscila libremente alrededor de la posicin de reposo permaneciendo


34

en todo momento en un estado de equilibrio dinmico en el que intervienen dos fuerzas: la de

inercia de la masa, de magnitud mx, y la restituidora del resorte, kx. En esta situacin, y en ausencia de amortiguamiento, el sistema se caracteriza porque su

energa total se mantiene constante, habiendo un intercambio continuo entre energa

potencial, almacenada en el resorte energa potencial elstica-, y cintica, portada por la

masa en movimiento:

Figura 3. Oscilacin libre de una masa unida a un resorte

t

x

Figura 4. Variacin de la posicin con el tiempo

constante21

potencial E.

221

cintica E.

221 =+= akxkxmE 321321 &


35

En la prctica, todos los sistemas de partculas que experimentan oscilaciones pierden energa

por la accin de algn mecanismo disipativo, lo que se traduce en una disminucin progresiva

de la amplitud del movimiento. Se dice, por ello, que las oscilaciones son amortiguadas y,

naturalmente, un movimiento oscilatorio libre que experimenta amortiguamiento acaba

desapareciendo. As que, si queremos mantener las oscilaciones, debemos introducir energa

en el sistema. Cuando hacemos esto, obtenemos lo que se conoce como oscilaciones

forzadas.

La forma ms comn de modelizar el amortiguamiento es suponer que est producido por

una fuerza disipativa de magnitud proporcional a la velocidad del movimiento y que resulta

similar a la que acta sobre una partcula que se desplaza en el seno de un fluido viscoso; de

aqu que se hable de amortiguamiento viscoso.

Volviendo al ejemplo del sistema oscilante masa-resorte, veamos qu ocurre si sobre el

mismo acta una fuerza exterior cuya magnitud y sentido varan peridicamente en el tiempo

con amplitud Fo y frecuencia angular f, en el caso de existir un amortiguamiento viscoso de constante c.

Tiempo

Ener

ga

Ec

Ep

Figura 5. Balance de energa dentro de un ciclo de oscilacin


36

De forma similar, la ecuacin diferencial del movimiento se obtiene planteando el equilibrio

dinmico del conjunto de fuerzas que actan sobre la masa, resultando

{ { { ( )44 344 21&&&

exterior Fuerza

0

rarestituido Fuerza

oraamortiguadFuerza

inercia de Fuerza

cos tFxkxcxm f =++ (2)

Antes de llegar a la solucin, es posible deducir cmo se va a comportar el sistema. Pinsese

por un momento que no hay fuerza exterior actuando sobre el mismo; en tal caso puede

ocurrir que ste oscile perdiendo amplitud de forma progresiva si el amortiguamiento es dbil

comparado con la fuerza restituidora, caso conocido como amortiguamiento dbil -figura 7-,

o bien que no llegue a producirse ninguna oscilacin debido a que la mayor parte de la energa

Figura 6. Modelo mecnico para un oscilador con amortiguamiento sometido a una fuerza exterior F (t) de magnitud y sentido variables

t

x(t)

Figura 7. Amortiguamiento dbil


37

potencial del resorte se disipa con el amortiguamiento, situacin que se conoce como

sobreamortiguamiento -figura 8-.

Si aplicamos la fuerza exterior, el sistema tender a mantener las oscilaciones libres pero

afectadas por la accin de aqulla. Dado que la ecuacin (2) es lineal, el principio de

superposicin resulta aplicable, por lo que la respuesta de aqul deber ser una combinacin

lineal de la respuesta natural y la inducida por la fuerza exterior. En trminos matemticos

diramos que la solucin general de (2) es suma de la correspondiente a la ecuacin

homognea, 0=++ xkxcxm &&& , y de la particular que aporta el trmino independiente, F0cos(ft). Cabe esperar, asimismo, que la solucin de la ecuacin homognea desaparezca con el tiempo, ya que estar afectada por el amortiguamiento; constituye por ello una

respuesta transitoria. La solucin particular, en cambio, debe de mantenerse en el tiempo, ya

que es debida a la fuerza exterior; puede hablarse, entonces, de una respuesta permanente.

La resolucin de (2) conduce, efectivamente, a la siguiente funcin:

( ) ( )444 3444 21444 3444 21 permanente Respuestaia transitorRespuesta

t cost cos)( fft beatx +++=

(3)

donde mc

2= es una constante denominada coeficiente de amortiguamiento.

La amplitud b de la respuesta estacionaria viene dada por la expresin

t

x(t)

Figura 8. Sobreamortiguamiento


38

( ) 22222 0 4 ffmFb

+= (4)

Obsrvese que la respuesta permanente tiene la misma frecuencia que la fuerza exterior F(t),

lo cual es de esperar ya que, al desaparecer progresivamente la oscilacin transitoria, el

sistema es forzado a oscilar con la frecuencia que se le impone. Puede comprobarse,

asimismo, que dicha respuesta se encuentra desfasada respecto a la fuerza exterior, hecho

debido a que el amortiguamiento introduce cierta pereza en el sistema.

A continuacin se muestran, a modo de ejemplo, las respuestas transitoria xt(t), estacionaria

xe(t) y total suma de las dos anteriores- x(t) de un oscilador con amortiguamiento viscoso

sometido a una fuerza de variacin senoidal con frecuencia doble que la natural de aqul.

t

xt (t)

Respuesta transitoria


39

- Resonancia en amplitud

Hasta ahora se ha visto cmo la respuesta de un oscilador lineal bajo la accin de una fuerza

exterior de variacin peridica acaba estabilizndose en amplitud y frecuencia al cabo de un

cierto tiempo desde el inicio del movimiento. Obsrvese que, si se fijan las caractersticas del

t

xe(t)

Respuesta estacionaria

t

x(t)

Respuesta total


40

oscilador, la amplitud final b, dada por la expresin (4), depende de la frecuencia angular f de la fuerza exterior. Analizando la funcin b (f) se obtienen los siguientes resultados:

(i) Si la fuerza exterior es constante su frecuencia f es nula-, b adopta el valor Fo/k, que corresponde a la magnitud de la misma.

(ii) Si la frecuencia angular f es muy superior a la natural O del sistema, b se anula.

(iii) El valor de f que maximiza la amplitud b viene dado por la expresin 22

0 2 =f (5) expresndose bmax como

220

0max

2 =mF

b (6)

Cuando se cumple la condicin dada por la expresin (5), la transmisin de energa al sistema

en forma de trabajo realizado por la fuerza exterior es mxima para las condiciones de

amortiguamiento existentes. En el caso particular de que el amortiguamiento sea pequeo, las

frecuencias 0 y f son muy parecidas, con lo que, en cada ciclo, el sistema llega a ganar ms energa de la que pierde y la amplitud de las oscilaciones aumenta de forma notable. Esta

situacin se conoce como resonancia en amplitud. Para que ello sea posible, es preciso que,

segn se deduce de la ecuacin (5), el coeficiente de amortiguamiento sea superior al valor lmite 20 .

El grfico de la pgina siguiente muestra la variacin de la amplitud b con la frecuencia

angular f de la fuerza exterior para distintos valores del coeficiente de amortiguamiento . Puede comprobarse que, siempre que exista algn amortiguamiento, la frecuencia para la que

se produce resonancia en amplitud es inferior a la natural del sistema.

- Resonancia en energa

Anteriormente se ha visto como, en las primeras oscilaciones, la amplitud de las mismas

decrece como consecuencia de la presencia de la componente transitoria. Durante esta fase, el


41

sistema pierde ms energa que la que recibe. Sin embargo, una vez alcanzado el movimiento

estacionario, la energa total se mantiene constante, ya que la disipada por el amortiguamiento

es aportada por el trabajo de la fuerza exterior.

En esta situacin, la energa del sistema viene dada por 2max21 vmE = . Si se fijan los

parmetros del sistema, puede estudiarse la variacin de sta con la frecuencia angular f de la fuerza exterior para distintos valores del coeficiente de amortiguamiento ,

+

=2

220

20

f

42

)(

ffm

FE

llegndose a que:

(i) Independientemente del valor del coeficiente de amortiguamiento , la energa es nula tanto para valores nulos como elevados de la angular f de la fuerza exterior.

(ii) Para un amortiguamiento dado, el sistema alcanza un valor mximo en su energa

cuando su frecuencia angular natural 0 coincide con la de la fuerza exterior, f.

Variacin de la amplitud de las oscilaciones

con la frecuencia de la fuerza exterior


42

Dicho valor mximo viene dado por

2

20

8 mF

E =

El grfico siguiente, similar al de la pgina anterior, muestra la variacin de la energa total E

con la frecuencia angular f de la fuerza exterior para distintos valores del coeficiente de amortiguamiento .

Tericamente, si el amortiguamiento es nulo, la energa del sistema se hace infinita. En los

sistemas reales, sin embargo, existe siempre algo de amortiguamiento, aunque si la frecuencia

de excitacin es similar a la resonancia, la amplitud puede crecer tanto que haga que el

oscilador rompa o adopte un comportamiento no lineal que le permita disipar parte de la

energa suministrada.

- Potencia transmitida a un oscilador

Considrese un oscilador lineal con amortiguamiento sometido a oscilaciones forzadas.

Transcurrido cierto tiempo desde el comienzo del movimiento, la respuesta transitoria se

habr debilitado lo suficiente como para que el movimiento resultante pueda considerarse

estacionario.

Variacin de la energa del sistema con la frecuencia de la fuerza exterior


43

En esta situacin resulta fcil obtener una expresin para la potencia transferida por la fuerza

exterior al sistema oscilador:

)( cos)( cos f0f0 +== tvtFxFW &

La figura siguiente muestra cmo vara a lo largo de un ciclo de oscilacin del sistema la

potencia transferida a ste por la fuerza exterior para diferentes frecuencias de variacin de

sta:

Puesto que la potencia es la variacin de la energa cedida en la unidad de tiempo, un valor

positivo de la misma indica que la fuerza exterior realiza trabajo a favor del movimiento del

sistema, cedindole energa. Los valores negativos, en cambio, corresponden a la situacin en

que la fuerza exterior, por no estar correctamente sincronizada con el sistema, realiza trabajo

en contra del movimiento de ste.

En la figura anterior puede observarse cmo el balance de energa del sistema tras un ciclo es

tanto ms positivo cuanto ms se aproximan entre s la frecuencia de la fuerza excitadora y la

natural del sistema. En el caso particular de que ambas coincidan situacin de resonancia en

energa-, todo el trabajo realizado por la fuerza exterior entra en el sistema en forma de

energa.

Potencia transmitida al sistema a lo largo de un ciclo


44

2.2 Resonancia en sistemas hidrodinmicos

- Introduccin

El concepto de resonancia analizado en el epgrafe anterior puede aplicarse de forma similar a

sistemas hidrodinmicos. En general se producir resonancia siempre que exista una fuente

exterior que introduzca energa en el sistema con una frecuencia muy prxima a la natural de

ste.

Existen en la naturaleza casos muy particulares en los que se pone de manifiesto el fenmeno

de la resonancia. Quizs uno de los ms conocidos y, a la vez, ms espectacular, sea la

amplificacin de la onda de marea en la baha de Fundy, situada en la provincia de Nueva

Escocia, en la costa atlntica de Canad.

En la baha de Fundy se producen las mayores mareas del planeta, con una carrera mxima

anual de unos 16.8 m. La figura 2 muestra la onda de marea en forma de lneas co-mareales,

es decir, aqullas que unen puntos con la misma carrera de marea. Obsrvese que sta crece

desde la entrada de la baha, donde se une con el ocano Atlntico, hacia el interior,

alcanzando los valores mximos en las pequeas bahas Minas Basin y Chignecto Basin. La

forma de la onda de marea se corresponde claramente con la de una onda estacionaria con

lnea nodal en la entrada a la baha y vientre en el fondo de sta, es decir, un modo de

oscilacin de un cuarto de longitud de onda.

Figura 1. Situacin geogrfica de la baha de Fundy


45

Es posible que esta amplificacin se deba a un fenmeno de resonancia?. Veamos, la

longitud de la baha es de unos 250 Km, con una profundidad media de 70 m. La relacin

entre el ancho en la entrada y la longitud es de 0.23, con lo que puede calcularse el periodo

mediante la frmula de Merian aplicando un factor de correccin de 1.192 ver captulo

anterior-, obtenindose

mhT 38127081.9102504192.1

3

==

valor que se corresponde muy de cerca con 12h 25m, periodo de la componente semidiurna de

la onda de marea en el Atlntico Norte. As, cada vez que la marea en la baha de Fundy

comienza a subir, recibe el empuje de las aguas del ocano adyacente, lo que hace que ambas

ondas se encuentren acopladas. El fenmeno es equivalente a colocarse detrs de un columpio

y empujarlo cada vez que, despus de aproximarse a nosotros, comienza a descender para

iniciar un nuevo ciclo; cada impulso realiza trabajo a favor del movimiento, de modo que la

energa de ste aumenta continuamente y, con ella, la amplitud. En la baha de Fundy, cada

vez que la onda de marea necesita agua para ascender y llenar su prisma, la recibe del

Atlntico de forma forzada.

Figura 2. Onda de marea en la baha de Fundy


46

La importancia del efecto de resonancia en la baha de Fundy se pone de manifiesto si se tiene

en cuenta que, de no existir, la carrera mxima de marea en la misma no llegara a 2 m. Las

imgenes siguientes muestran las situaciones correspondientes a bajamar y pleamar para un

mismo lugar:

La magnitud de la carrera de marea se aprecia claramente observando que, en la fotografa de

la izquierda, el paisaje se ha reducido a un lecho marino vaco durante la bajamar. El prisma

de marea o volumen de agua desplazado es de aproximadamente 115000 hectmetros

cbicos.

- Resonancia en puertos: causas y efectos

Desde el punto de vista hidrodinmico, un puerto artificial es en esencia un conjunto de

recintos o drsenas interconectados entre s y con abertura al mar. Dado que la superficie de la

masa de agua contenida en el mismo se encuentra en contacto directo con la atmsfera, es

susceptible de experimentar oscilaciones verticales que acaban afectando a toda la

profundidad de la misma, induciendo oscilaciones horizontales.

Como se ha visto en el captulo anterior, estas oscilaciones tienen lugar de forma ordenada,

constituyendo ondas estacionarias con una distribucin de vientres y lneas nodales ms o

menos compleja.

Se ha visto tambin que estas oscilaciones presentan unos periodos que dependen

Bajamar en la baha de Fundy

Pleamar en la baha de Fundy


47

exclusivamente de la geometra del puerto1, de tal forma que, una vez proyectado ste, el

valor de aquellos queda prefijado. As, pues, se dar resonancia en un puerto si se cumplen

dos condiciones:

1 Tiene lugar una transferencia de energa a la masa de agua confinada tal que hace que sta

comience a oscilar.

2 La transferencia de energa es producida por un trabajo fsico favorable al movimiento con

una variacin temporal peridica de frecuencia similar a la natural de oscilacin del puerto.

En la prctica, la principal fuente de energa capaz de generar oscilaciones en la masa de agua

de un puerto son las ondas de gravedad que se propagan por la superficie del mar. Dentro del

abanico de periodos que comprende el espectro de energa de stas, las ms peligrosas son las

denominadas ondas largas, con periodos comprendidos entre 30 segundos y algo ms de 5

minutos figura 3-, intervalo dentro del cual se encuentran los periodos propios de la mayora

de los puertos.

El origen de las ondas largas parece estar asociado a los grupos de swell muy desarrollado que

alcanza las costas previamente a la llegada de un temporal, presentndose como una sucesin

de olas perfectamente definidas y cuya altura parece estar modulada por una onda de largo

periodo. Iribarren y Nogales [9], as como Tucker [10], entre otros, observaron este

fenmeno. Longuet-Higgins y Stewart [11] encuentran que, al paso de los grupos de ondas

altas, el nivel medio del mar experimenta una depresin o set-down debido a una disminucin

de la presin asociada a la mayor velocidad orbital de las partculas de agua. As, el nivel

medio se deprime bajo los grupos y crece entre ellos, dando origen a una onda de largo

periodo conocida como onda de resaca. Este descenso del nivel medio puede calcularse

utilizando la frmula siguiente [11]:

22

2

23

dag=

donde a es la amplitud de la onda, =2/T la frecuencia angular y d la profundidad.

1 Estrictamente hablando y aunque no se ha tratado aqu por razones de simplicidad, el periodo de oscilacin depende tambin, en menor medida, del rozamiento del agua con los lmites del recinto y del interno debido a su viscosidad, cuyo efecto se reduce a un ligero aumento de aqul.


48

As, bajo una ola de 2 m de altura y 12 s de periodo, propagndose sobre un fondo de 15 m de

profundidad, el nivel medio del mar descendera 0.24 m. La figura 4 muestra la forma de la

onda de depresin del nivel medio del mar al paso de un tren de swell.

Bowers [13] demuestra tericamente que las oscilaciones de un puerto pueden ser excitadas

por este tipo de ondas, que viajan con la celeridad de grupo del tren de swell que las origina,

pudiendo dar lugar a resonancia sin que se produzca la rotura de las ondas.

Una de las caractersticas ms perniciosas de estas ondas es que rompen nicamente en

Figura 3. Distribucin relativa de la energa de las ondas que se propagan por la superficie del mar, modificada de Munk [12]

Figura 4. Onda larga producida por el descenso del nivel medio del mar al paso de un tren de swell. La escala vertical se ha exagerado.


49

pendientes muy reducidas, reflejndose casi en su totalidad incluso en los mantos de escollera

de los diques de abrigo, dado que la rugosidad de stos es muy inferior a la cuarta parte de

la longitud de onda de las mismas. Segn la frmula propuesta por Iribarren y Nogales [14]

en el XVII Congreso Internacional de Navegacin, la pendiente lmite i entre la reflexin y la

rotura de una onda de altura H y periodo T viene dada por

gH

Ti = 2

8

El grfico siguiente muestra el valor sta en funcin de la altura de la onda para periodos de

30 s y 5 min. Obsrvese que, incluso para una onda de 30 s de periodo y altura de 3 m, el

talud de rotura apenas supera el valor 1:10, utilizado nicamente en rampas de varada muy

tendidas.

Cuando una onda larga entra en un puerto, alcanza todos los puntos del mismo cambiando de

direccin por reflexin y difraccin, fundamentalmente. Una vez que comienzan a producirse

reflexiones, con una mnima prdida de energa, las ondas incidente y reflejada se superponen

y originan ondas estacionarias. Cuando el proceso ha afectado a todo el recinto del puerto,

Relacin entre la pendiente de rotura y la altura de la onda segn Iribarren y Nogales [14]


50

queda constituida la oscilacin propiamente dicha, apareciendo un patrn de vientres y lneas

nodales bien definido.

La figura 5 muestra, a modo de ejemplo, la distribucin de amplitudes de onda dentro de un

puerto real obtenida mediante un programa informtico. La onda se ha representado mediante

lneas de nivel, utilizando una escala relativa. Obsrvese que se han formado tres vientres,

situados en las zonas de mayor amplitud de onda, as como un punto nodal donde la amplitud

vertical del movimiento es nula.

Por otra parte, dado que la longitud de estas ondas es muy grande con relacin a la dimensin

de la bocana, la penetracin a travs de sta se produce en fase en toda su anchura, tal como si

la onda incidiera siempre frontalmente. Por esta razn, sera errneo pensar que se evitara la

entrada de una onda larga en un puerto orientando la bocana en direccin transversal a la de

propagacin de aqulla, tal como han demostrado experimentalmente Iribarren, Nogales y

Figura 5. Ejemplo de patrn de oscilacin propia en un puerto real


51

Fernndez [15]. Este hecho se explica si se tiene en cuenta que la energa total por unidad de

superficie que porta una onda de gravedad es suma de dos componentes:

- energa potencial o de posicin, debida exclusivamente a la existencia de una elevacin de

la superficie del agua y con carcter escalar. Puede expresarse en la forma 2

1 HKE p = donde K1 es una constante y H la altura de la onda.

- energa cintica, transmitida en la direccin de avance de la onda y con carcter vectorial

por tanto: 2

2 )cos( HKEC = es el ngulo de incidencia respecto a la bocana, correspondiendo el valor nulo a incidencia frontal. K2 es una constante.

La formacin de un patrn de oscilacin estacionario en un puerto produce varios efectos:

(a) Las ondas estacionarias dan lugar a dos tipos de oscilaciones, con importancia relativa

segn su localizacin,

- Movimientos verticales, con mayor relevancia en los vientres. La amplitud admisible

de los mismos depende del tipo de embarcacin que va a ser afectada y del periodo.

Por otra parte, en casos extremos de ondas de mucha longitud y amplitud apreciable, el

ascenso y descenso del vientre supone la movilizacin de un volumen de agua

importante que puede hacer disminuir el calado de forma inadmisible en algunas zonas

del puerto; tngase en cuenta que, dentro del puerto, los recintos adyacentes se ceden

entre s el agua necesaria para el ascenso de los vientres de onda es de destacar, a

ttulo de ejemplo, el vaciado que experimenta el puerto de La Ciudadela, en la isla de

Menorca-. Si la bocana del puerto es estrecha y el periodo de las oscilaciones bajo, el

agua exterior no tendr tiempo de entrar y salir a tiempo, acentundose el efecto de

vaciado.

- Movimientos horizontales, localizados sobretodo en las proximidades de los nodos.

Estn producidos por las corrientes de agua necesarias para mantener las oscilaciones


52

verticales y, por tanto, para el llenado y vaciado de los volmenes de agua de los

vientres. Estas corrientes son especialmente intensas en los canales de acceso a las

drsenas, pudiendo alcanzar 2.5 m/s para una amplitud de la onda de tan slo 10 o 20

cm., resultando muy perniciosas al forzar los medios de amarre de las embarcaciones,

pudiendo incluso romperlos, aparte del riesgo de colisin de las embarcaciones entre s

o con los pantalanes y muelles.

En la figura 6 se muestra la distribucin de la velocidad horizontal asociada al patrn de

oscilacin del puerto de la figura 5. Obsrvese cmo la magnitud de la misma se hace

significativa en la zona prxima al nodo y en el canal inferior de acceso.

(b) La presencia de oscilaciones estacionarias en un puerto constituye el primer paso para que

se produzca resonancia, con la consiguiente amplificacin de los efectos anteriores. En la

prctica, el valor del factor de amplificacin suele estar comprendido entre 4 y 12, aunque se

conocen casos en los que se ha superado las 20 veces.

Figura 6. Distribucin de velocidades horizontales en un puerto real


53

La figura 7 muestra el campo de velocidades en una seccin de un cuarto de longitud de una

onda estacionaria a lo largo de un periodo completo. Los crculos negros corresponden a

partculas de agua, cuya posicin cambia a lo largo del ciclo siguiendo lneas ms o menos

rectas. Obsrvese que las mayores velocidades son horizontales, localizadas en la proximidad

del nodo.

- Espectro de respuesta de una drsena

A fin de analizar la posibilidad de que se produzca resonancia en una drsena es preciso

conocer su espectro de respuesta, que expresa el valor del factor de amplificacin

correspondiente a un punto de la misma en funcin del periodo de la excitacin exterior. Esta

funcin se define para aquellos puntos donde es previsible que los efectos de la resonancia

sean ms acusados.

La figura 8 muestra el espectro de respuesta correspondiente al caso sencillo de una drsena

rectangular de profundidad uniforme abierta al mar en uno de sus extremos. Se representan

tres curvas, correspondientes a distintas aberturas relativas de la bocana, que muestran el

factor de amplificacin en el fondo de la drsena en funcin del cociente entre la longitud l de

sta y la longitud L de la onda excitadora. La longitud de la drsena es cinco veces superior a

su ancho. Obsrvese que reduccin de la bocana incrementa el factor de amplificacin. Este

hecho fue puesto de manifiesto, por primera vez, por Miles y Munk [16] en 1961, quienes

establecieron la llamada harbor paradox, ya que resultaba paradjico que el estrechamiento

de la bocana empeorara el problema de la resonancia. Ito [17] comprob que si se tiene en

cuenta el efecto de friccin del agua oscilante al penetrar por la bocana, hecho presente en el

caso de un fluido real, la amplificacin interior se atena; la harbor paradox aparece

nicamente si se considera el agua como un fluido ideal, sin viscosidad.

Figura 7. Evolucin del campo de velocidades en un cuarto de longitud de onda

estacionaria a lo largo del periodo, T.


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Cuando el puerto est formado por ms de una drsena, se ha de obtener el espectro de

respuesta de cada una [18], tomando como referencia en cada caso aquel punto donde se

presenten mayores amplitudes de oscilacin.

- Criterios de diseo de un puerto para evitar problemas de resonancia

La mejor forma de luchar contra la resonancia es huir de ella, es decir, conseguir que los

periodos de oscilacin propios del puerto que se ha de proyectar difieran en la mayor cuanta

posible con respecto a los de las excitaciones exteriores que pudieran presentarse en la zona

de ubicacin del mismo. El periodo ms importante es el correspondiente al modo

fundamental, ya que es el que proporciona mayores amplitudes en los movimientos, adems

del hecho de ser el de mayor probabilidad de presentacin por precisar menor energa que los

modos armnicos restantes la amplitud del primer armnico suele ser del orden de la cuarta

parte del modo fundamental-.

Figura 8. Ejemplo de espectros de repuesta de una drsena


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Si la banda de frecuencias de las ondas largas est bien delimitada, el diseo se har cuidando

la relacin entre las dimensiones de cada recinto, especialmente las de planta. El calado es una

variable fcil de modificar, pero hay que tener en cuenta que influye en el periodo con la raz

cuadrada de su valor, por lo que, salvo en casos de periodos de onda excitadora muy acotados,

su variacin no resultar eficaz. Iribarren [9] solucion el problema de la resonancia existente

en el puerto de Motrico (Guipzcoa) mediante un dragado del mismo, si bien los periodos

crticos para el Cantbrico se encuentran comprendidos entre 224 s y 252 s, una franja

bastante estrecha.

En relacin con los dragados, operaciones frecuentes y necesarias para el correcto

funcionamiento de un puerto, debe tenerse en cuenta la posibilidad de que el aumento del

calado pueda originar, de forma no deseada, la posibilidad de que aquel experimente

fenmenos de resonancia. Un caso reciente en Espaa lo constituye el puerto de Cdiz, donde

el dragado, al parecer, pudo modificar el periodo propio del mismo hasta el punto de darse

cierta resonancia.

Una causa natural de variacin del calado de un puerto es, cuando existe, la onda de marea. A

este respecto debe analizarse la posibilidad de resonancia tanto en pleamar, situacin que hace

disminuir el periodo propio, como en bajamar, que produce un incremento de aquel. En

cualquier caso y aunque el efecto de la marea es transitorio, no hay que desconsiderar la

posibilidad de coincidencia de un calado peligroso con la presentacin de un temporal con

fuertes resacas.

En cuanto a la influencia de la geometra interior de las drsenas, Hensen [19] realiz ensayos

en modelo reducido utilizando muelles transversales a la direccin de entrada al puerto,

consiguiendo duplicar y hasta triplicar el periodo fundamental de ste. Para ello utiliz un

recinto rectangular de profundidad uniforme y observ el efecto que producan muelles de

diferente longitud en varias posiciones sobre el modo fundamental de oscilacin. La figura 9

muestra el efecto conseguido con los mismos. El esquema A corresponde al modo de

oscilacin en ausencia de obstculos interiores. En el caso B, la presencia de un muelle

pequeo es ya suficiente para distorsionar las lneas de corriente prximas. Las sucesivas

situaciones C, D y E transforman completamente la forma de la onda, curvando las lneas de

corriente y consiguiendo as un aumento del periodo al tener que recorrer el agua mayor

distancia; tngase en cuenta que, al ser constante el calado d, tambin lo es la celeridad,


56

TLdgc ==

por lo que, a mayor longitud L de la onda corresponder tambin un mayor periodo T. En el

Figura 9. Influencia de muelles transversales sobre el patrn de oscilacin en un puerto


57

caso E, donde la longitud del muelle es igual a tres cuartas partes de la anchura del recinto, el

periodo fundamental se ha duplicado con respecto al caso A.

En estas situaciones no slo aumenta el periodo sino que, adems, disminuye la amplitud de

las oscilaciones. nicamente en el caso en que la disposicin del muelle es asimtrica, se

amplifica la oscilacin en la drsena ms estrecha.

En el caso F, la onda estacionaria se ha desdoblado en dos que oscilan casi de forma

independiente.

La disposicin de muelles alternativos a lo largo de lados opuestos, como se muestra en la

figura siguiente, aumenta bastante el periodo del modo fundamental. Estos muelles

transversales pueden actuar como elementos de atraque, si bien la disposicin alternante de

los mismos dificulta el acceso al fondo de la drsena, adems de fomentar la degradacin del

agua en poca de calmas por falta de circulacin.

Sobre la conveniencia o no de disponer muelles permeables, Hensen [19] aconseja no superar

un valor del 10% para la permeabilidad de los mismos, al objeto de que las corrientes

transversales generadas no perjudiquen a la estabilidad de las embarcaciones. Un 10% de

permeabilidad reduce en cuatro quintas partes la amplitud de los movimientos horizontales

con respecto a un muelle impermeable. Sin embargo, los muelles permeables no logran el

mismo incremento del periodo fundamental de la drsena que los impermeables.


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Referencias

1. Cappel, S. J., Tidal Phenomenon in Lake Constance, Nature, No. 539, Vol. 21,

February 26, 1880.

2. Chrystal, G., On the hydrodynamical theory of seiches, Transactions of the Royal

Society of Edinburgh, 41 (III), 599-649, 1905

3. Lamb, H., Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1932

4. Rayleigh, L., Theory of sound, pp 480, 504. MacMillan and Co. London and New

York, 1897

5. Neumann, G., Die Impedanz mechanischer Schwingungs-Systeme and ihre Anwendung

auf die Theorie der Seiches, Ann. Hydr. Mar. Met. 44, 29, 1944

6. Defant, A., Theoretische Ueberlegungen ber Seespiegelschwankungen in Seen und

Meeresbuchten, Ann. Hydr. Mar. Met. 44, 29, 1916

7. Fraile Mora, J., Electromagnetismo y circuitos elctricos, tercera edicin. Colegio de

Ingenieros de Caminos Canales y Puertos. Madrid, 1995

8. Petroski, H., "The Ups and Downs of Bridges", To Engineer is Human, First Edition. St.

Martin's Press. New York, 1985.

9. Iribarren Cavanilles, R. y Nogales Olano, C., Corrientes y oscilaciones de resacas en

el interior de los puertos, Revista de Obras Pblicas. Madrid, 1948

10. Tucker M. J., Surf beats: sea waves of 1 to 5 minutes period, Proceedings of the Royal

Society of London, A 207, 565-573, 1950

11. Longuet-Higgins, M. S. y Stewart, R. W., Radiation stress and mass transport in

gravity waves, with application to surf-beats, Journal of Fluid Mechanics, 13, 481-504,

1962


59

12. Munk, H.W., Origin and generation of waves, Proceedings of the First Coastal

Engineering Conference, Berkeley (California), 1950

13. Bowers, E. C., Long period oscillations of moored ships subject to short wave seas.

The Royal Institution of Naval Areh, 1977

14. Iribarren Cavanilles, R. y Nogales Olano, C., Talud lmite entre la rotura y la reflexin

de las olas, Revista de Obras Pblicas. Madrid, 1950

15. Iribarren Cavanilles, R., Nogales Olano, C. y Fernndez Fernndez, P., Onda de

resaca en los puertos. Ensayos de resonancia en modelos reducidos, Revista de Obras

Pblicas. Madrid, 1958

16. Miles, J. and Munk, W., Harbor paradox, Journal of Waterways and Harbors

Division, Proc. ASCE, Vol. 87, No WW, 1961

17. Ito, Y., Head loss at tsunami breakwater opening, Proceedings of de 12th Conference on

Coastal Engineering. Washington D. C., 1970

18. Almazn Grate, J. L., Palomino Monzn, M. C. y otros, Investigacin privada.

Madrid, 2000

19. Hensen, N., Effects of long period waves in harbors, Final technical Report, Franzius-

Institute der Technischen Hochschule. Hanover, 1960.


60

Bibliografa

- Almazn Grate, J. L., Hermosilla Villalba, F. y Palomino Monzn, M. C., Esttica de

fluidos, E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid, 1999

- Almazn Grate, J. L., Palomino Monzn, M. C. y Espinosa Goded, J., Puertos

deportivos: servicios e instalaciones, E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.

Madrid, 2000

- Almazn Grate, J. L., Palomino Monzn, M. C. y Garca Montes, J. R., Introduccin

a la dinmica de las formas costeras, E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.

Madrid, 2000

- Almazn Grate, J. L., Palomino Monzn, M. C. y Garca Montes, J. R., Introduccin

al diseo de obras de defensa de formas costeras de depsito, E. T. S. de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos. Madrid, 2000

- Bruun, P., Port Engineering, 2nd edition, Gulf Publishing Company, 1972

- Defant, A, Physical Oceanography, Pergamon Press, 1961

- Ippen, A. T., Estuary and Coastline Hydrodynamics, McGraw-Hill Book Company, 1966

- Iribarren Cavanilles, R. y Nogales Olano, C., Obras martimas. Oleaje y diques,

Editorial Dossat, S. A. Madrid, 1964

- Macmillan, D. H., Tides, CR Books Ltd. London,

Documents

Oscilaciones en Masas de Agua Confinadas. Resonancia en Puertos