Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

O SOFTWARE JCLIC COMO FERRAMENTA PEDAGÓGICA PARA

SE EXPLORAR OS CINCO SIGNIFICADOS DE FRAÇÃO: uma

intervenção com alunos de 6° ano do Ensino Fundamental

Aparecida de Araujo1

Veridiana Rezende2

Resumo: Nossa experiência como professora de Matemática, juntamente com resultados de pesquisas como Nunes e Bryant (1997), e os baixos resultados de avaliações realizadas pelo Ideb, Prova Brasil, Provinha Brasil, Saresp, Enem e SAEB em todo o Brasil, mostram que os alunos apresentam dificuldades para compreender o conceito de fração. Observamos que alguns livros didáticos abordam as frações como exercícios práticos, sequência de conceitos ilustrativos e conceito contextualizado, limitando a compreensão de fração apenas com significado parte do todo. Desta forma, apresentamos este trabalho com objetivo de favorecer um ambiente de reflexão, discussões e compreensão, apresentando uma diversidade de situações para contribuir com a compreensão do conceito de fração. O trabalho foi desenvolvido com vinte e oito alunos do 6° ano do Ensino Fundamental Além disso, com o presente texto temos o intuito de favorecer aos professores de matemática uma reflexão crítica sobre sua prática no ensino das frações. Esta proposta é resultado da produção didática realizada como requisito parcial do Programa de Desenvolvimento Educacional, e tem a intenção de se explorar os cinco significados do conceito de fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo propostos por Nunes (2003). Aliamos a isto a abordagem das frações por meio do Software Jclic. Finalmente, constatamos que a metodologia e atividades propostas favoreceram a evolução do conhecimento informal para a formal. Que os alunos resolvem os problemas de forma prática, aplicando os conceitos de fração estabelecendo relação com o significado estudado. Compreenderam o significado e importância do denominador e do numerador, bem como o que representam. Efetivamente, o aluno estabelece e percebe a relação o “todo” envolvido e dá sentido fazendo a dupla contagem das partes. Palavras-chave: Educação Matemática. Cinco significados de fração. Software Jclic.

1 INTRODUÇÃO

Diante de uma sociedade que exige uma demanda de novas competências,

faz-se necessário propor um ensino com enfoque que priorize a formulação de

estratégias, que promovam o uso de ferramentas tecnológicas e oportunize

1 Professora participante do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, Turma 2013 –

SEED/PR, Especialista em Ensino de Matemática, Professora da Rede Pública Estadual na cidade de Goioerê – Paraná. E-mail: cidamurro@seed.pr.gov.br. 2 Professora Doutora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Câmpus de

Campo Mourão, orientadora deste trabalho PDE. E–mail: rezendeveridiana@gmail.com.

desenvolver o espírito crítico, a criatividade, a interpretação, a iniciativa, a

autonomia do indivíduo para conhecer e enfrentar desafios.

Neste sentido, optou-se por desenvolver este trabalho envolvendo os cinco

significados da fração, acreditando que esta prática pedagógica de se explorar

diferentes significados de fração possa contribuir com o ensino de Matemática,

possibilitando ao aluno uma aprendizagem significativa da Matemática a partir de

atividades que propicie entender e estabelecer conexões entre conceitos e situações

do cotidiano. Com esta perspectiva, o projeto “O software Jclic como ferramenta

pedagógica para se explorar os cinco significados de fração: uma intervenção com

alunos de 6° ano do Ensino Fundamental” apresentado ao Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE é parte integrante às atividades da formação

continuada da Rede Estadual de Educação do Paraná. Foi desenvolvido com vinte e

oito alunos do 6° ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Antônio Lacerda

Braga – EFM e Profissionalizante, Município de Goioerê - Paraná, no período de

fevereiro a junho de 2014.

O objetivo principal da proposta foi implementar uma sequência de atividades

que favorecesse o ensino e a aprendizagem do conceito de fração, utilizando-se de

lápis e papel além do Software Jclic, para alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.

Temos observado ao longo de nossas práticas escolares que, nossos alunos

apresentam dificuldades ou conceitos desconectados em relação a fração. Estas

dificuldades podem ser confirmados com os resultados de pesquisas e provas

realizadas por meio de várias aferições como: Saeb3, Ideb4, Prova Brasil5, Provinha

Brasil6, Saresp7, Enem8, que aferem o desempenho dos alunos.

Neste sentido, surge a preocupação e a necessidade de repensar nossa

própria prática docente e, de repente, colaborar com a prática pedagógica de outros

professores de Matemática, a respeito do ensino de fração. Assim, realizamos

estudos e pesquisas em documentos curriculares a respeito do tema frações que

culminou na elaboração de uma sequência didática com cinquenta e nove

atividades. As atividades apresentam-se fundamentadas nos cinco significados de

3 Sistema de Avaliação da Educação Básica. 4 Índice de Desenvolvimento da Educação Básica. 5 Avaliação para diagnóstico, em larga escala, desenvolvidas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep/MEC). 6 A Provinha Brasil é uma avaliação diagnóstica aplicada aos alunos matriculados no segundo ano do ensino fundamental (MEC). 7 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 8 Exame Nacional do Ensino Médio

frações: número, relação parte-todo, medida, quociente,operador multiplicativo e

número, com a finalidade explorar uma diversidade de situações para favorecer a

compreensão dos alunos. A seguir, apresentamos a fundamentação teórica que

subsidiou o desenvolvimento deste trabalho.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Nesta seção, apresentamos reflexões dos principais autores que

fundamentaram o desenvolvimento do trabalho, bem como indicações de como o

ensino de fração deve ser abordado de acordo com os documentos curriculares

brasileiro (BRSIL, 1998) e paranaense (PARANÁ, 2008), e sua abordagem nos livros

didáticos de matemática.

A fundamentação teórica da pesquisa contou com os estudos de Terezinha

Nunes e Peter Bryant (1997), que estão apoiados no trabalho sobre o significado da

representação fracionária dos números racionais e nos estudos da Teoria dos

Campos Conceituais de Vergnaud, que trata do ensino e aprendizagem do conceito

de fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador

multiplicativo.

Nos PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL,

1998), encontramos indicações de que os professores devem iniciar formalmente as

primeiras ideias do conceito de número racional a partir do 4° e 5° anos do Ensino

Fundamental, ampliando-se este estudo nos 6° e 7° anos desta mesma modalidade

de ensino. Esta mesma indicação é estabelecida pelas DCE - Diretrizes Curriculares

para a Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008). Este

estudo dos números racionais, estende-se ao nível médio, como um dos principais

conceitos a ser estudado.

Autores como Bonotto (2011) e Moutinho (2005), em suas análises de livros

didáticos e entre outras obras como de Jakubovic, Lellis e Centurión (1999), Dante

(2001)9, Andrini e Vasconcellos (2002)10, Jakubovic e Lellis (1999)11, referente à 5ª

série do Ensino Fundamental abordam as frações como exercícios práticos,

sequência de conceitos ilustrativos e conceito contextualizado. Observamos estas

9 Matemática, Editora Ática.

10 Praticando Matemática, Editora Brasil 11 Matemática na Medida Certa, Editora Scipione

mesmas características na abordagem de fração em coleção mais recentes, tais

como Giovani, Castrucci e Giovanni Jr (2009)12.

Toledo e Toledo (1997) asseguram que a forma como o professor introduz os

números racionais, e o conceito de fração, estão aliados aos conceitos dos livros

didáticos, que é ensinada de modo rígido por meio de ilustrações de situações de

natureza contínua que é repartida em n partes iguais e são coloridas m dessas

partes, para representar a fração n

m. Mas, pesquisadores como Bertoni (2004),

Bezerra (2002), Moutinho, (2005), Nunes (2005), Santos (2005) e Rodrigues (2005),

sinalizam as dificuldades na compreensão dos alunos ao se abordar o conceito de

fração somente como quociente e como descritoras de quantidades.

Toledo e Toledo (1997), relacionam as dificuldades apresentadas pelo aluno

em compreender os conceitos de frações a forma de ensinar. Pois, na maioria a

abordagem está relacionada ao significado parte do todo, a partir de sua

representação b

a com a e b naturais e 0b . Para Campos e Cols (1997 apud

NUNES, p. 191) esse modo de ensino “[...] simplesmente encoraja os alunos a

empregar um tipo de procedimento de contagem dupla – ou seja, contar o número

total de partes e então as partes pintadas – sem entender o significado desse novo

tipo de número”.

Desta forma podemos relacionar as dificuldades que os alunos apresentam

em aprender conceitos de frações com a importância de diversificar metodologias e

na forma de abordar tais conceitos.

Nunes e Bryant (1997, p.191) afirmam que quanto à aprendizagem de

frações, os alunos podem manifestar habilidades em manipular operações com

números fracionários sem ter assimilados os conceitos.

Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter

uma compreensão completa das frações e ainda não a têm. Elas usam os

termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem

alguns problemas fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações

ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que

é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as

dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.

Se atentarmos para situações do cotidiano, podemos observar que as frações

estão vinculadas a várias situações. Estão sempre relacionadas com medidas,

12 A Conquista da Matemática, A+Nova e na Edição renovada

objetos, valores, quantidades entre outros. Podemos relacionar situações diversas

nas quais utilizamos frações como por exemplo, 43

de um copo, 21

quilo de

tomate, eleições vence o candidatos que obtiver (metade) total dos votos mais um

no primeiro turno ou a maioria simples no segundo, em mapas e plantas com uso de

escalas; razões e proporções empregadas na música, na física, na culinária e em

outras.

Para Moutinho (2005),

[...] os conceitos que nós utilizamos estão embebidos na vida cotidiana e

não surgem por simples apreensão sensível diretamente do real; por outro

lado, os conceitos só funcionam, quando estão reunidos em proposições,

sentenças, enunciados e teoremas e não operam em vão.

Moutinho (2005), afirma que o ser humano não se relaciona de forma

mecânica ou imediata com o outro e com a realidade. Para essas relações, faz-se

preciso uma dimensão simbólica ou representacional.

Neste sentido, ressalto a importância de nós professores trabalharmos os

conteúdos embasados em teorias que fundamentam os conceitos. Que possibilite

estabelecer análise e entender como se dá a construção dos conhecimentos. Ou

seja, propor atividades que promova situações que permita ao aluno compreender e

estabelecer relações com outros conhecimentos já adquiridos.

A teoria deve estabelecer uma reflexão sobre novas possibilidades ao

acesso do conhecimento, além de ser um instrumento para análise da própria

prática.

Assim, percebemos na teoria dos Campos Conceituais embasamentos

importantes para a prática dos professores em sala de aula, que podem contribuir

para a aprendizagem dos alunos, sobretudo do conceito de fração, objeto de estudo

deste trabalho. Uma vez que os conceitos de frações serão apresentados por meio

de cinco diferentes significados com intuito de promover a compreensão de modo a

dar sentido em cada situação estudada pelos alunos.

Para Silva (2007 apud VERGNAUD, 1990, p.133) o princípio de Gérard

Vergnaud é uma teoria cognitivista que busca favorecer um quadro coerente,

estabelecendo a base de estudo do desenvolvimento da aprendizagem.

Vergnaud (1982, p. 40 apud MOREIRA, 2002), toma como premissa que o

conhecimento está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte do

sujeito, ocorre ao longo de um largo período de tempo, através de experiência,

maturidade e aprendizagem. Campo conceitual é, para ele, um conjunto informal e

heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e

operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente,

entrelaçados durante o processo de aquisição (ibid).

O pesquisador afirma, ainda, que é possível contornar as dificuldades

conceituais, as quais são superadas na medida em que são encontradas, ao longo

da experiência escolar.

Desta forma, Vergnaud (1983a, p. 393; 1988 p. 141; 1990 p. 145; 1993 p. 8;

1997 p. 6, apud MOREIRA 2002) define o conceito formado por tripleto de conjuntos

C = (S, I, R) onde:

S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito;

I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os

quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes

operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que

podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar

as situações do primeiro conjunto;

R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos

e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e

representar esses invariantes e, consequentemente, representar as

situações e os procedimentos para lidar com elas.

Para tanto, Vergnaud (1998, p. 141 apud MOREIRA 2002), explica que, o

primeiro conjunto – de situações – é o referente do conceito, o segundo – de

invariantes operatórios – é o significado do conceito, enquanto o terceiro – de

representações simbólicas – é o significante. Desta forma podemos citar que,

psicologicamente (s), é a realidade e (S) é a representação que pode ser

considerada sob os dois aspectos do pensamento, a saber: I é o significado, ligado

ao teorema de ação, e S é o significante.

O pesquisador apresenta ainda, três argumentos principais que levaram ao

conceito de campo conceitual: 1) um conceito não se forma dentro de um só tipo de

situações; 2) uma situação não se analisa com um só conceito; 3) a construção e

apropriação de todas as propriedades de um conceito ou todos os aspectos de uma

situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, às vezes

uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre

concepções, entre procedimentos, entre significantes (ibid).

Assim sendo, justifica-se a forma como pensamos, pois o nosso raciocínio

reflete os conceitos que temos abstraído ao longo do período e experiências da

vivência construída historicamente. Esse processo se dá em todas as instâncias e

situações que nos deparamos.

Este conceito fica muito claro quando Vergnaud (1990 apud Moutinho, 2002,

p.14) registra que, a situação tem a ver com o contexto, o qual o problema (tarefa)

se encontra inserido, de forma a contribuir, para que os conceitos presentes nessa

situação ganhem significado.

Desta forma, cabe ao professor propor situações problemas para que

aconteça a apropriação dos conceitos, onde o aluno precisa estabelecer relações

entre o conhecimento novo e os prévios. Neste processo o professor desempenhará

o papel de mediador do processo na construção do conhecimento do aluno. Assim o

aluno estabelecerá conexões com conceitos já organizados e engendrará novas

conexões.

Os pesquisadores Barais e Vergnaud (1990, p. 78 apud Moreira, 2002, p.11)

afirmam que, as situações é que dão sentido ao conceito; as situações é que são

responsáveis pelo sentido atribuído ao conceito; um conceito torna-se significativo

através de uma variedade de situações (1994, p. 46). Mas o sentido não está nas

situações em si mesmas, assim como não está nas palavras nem nos símbolos

(1990, p. 158).

Nesse sentido, torna-se importante o professor pensar em uma prática em

que o aluno possa vivenciar situações, mas não são situações isoladas, trata-se de

situações capazes de dar significados e produzir um pensar construtivo. Pois quanto

mais situações vivenciam, mais conexões estabelecem. Desta forma o aluno poderá

utilizar os mesmos conceitos para situações diferentes. Quando falamos em frações,

há diversos conceitos relacionados, entre eles podemos citar divisão, multiplicação.

Kieren (1976 apud CANOVA, 2006, p. 35) foi o primeiro pesquisador a

alertar a comunidade científica para a importância dos números racionais serem

constituídos de diversos constructores13 e que a compreensão destes fará com que

o aprendiz entenda a natureza do numero racional. O pesquisador enfatiza a ideia

13 Kieren refere-se aos constructores e subonstructores. Podemos entender Constructores como sendo o conceito e subsconstrutores como um pequeno conceito e juntos formam um conceito maior.

de que o número racional deve ser visto primeiro como um conhecimento humano e

só posteriormente como uma construção lógica formal.

Neste sentido, justifica-se a necessidade de propor situações diversificadas

para oportunizar ao aprendiz a apropriação de conceitos, pelos quais desenvolverá

competências necessárias no sentido de automatizar, organizar ações para

aprender novos conceitos e aplicá-los.

Assim sendo, além de se relacionar entre si, os conceitos, dão suporte para

estabelecer novos conceitos, estabelecendo conexões com várias áreas de

conhecimento.

Outro documento que orienta o ensino no Estado do Paraná são as Diretrizes

Curriculares de Matemática da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná

(PARANÁ, 2008). Propõe que o ensino da matemática deve possibilitar aos

estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e

formulação ideias, ou seja, que os alunos tornem-se capazes de estabelecer

relações e se apropriem significativamente dos conceitos matemáticos necessários

para atuar positivamente em seu cotidiano e contribua para o desenvolvimento da

sociedade.

Paraná (2008) apresenta considerações sobre tendências metodológicas que

compõem o campo de estudos da Educação Matemática. Dentre elas, aponta que

as mídias tecnológicas vêm contribuindo para uma melhora na compreensão da

disciplina.

No contexto da Educação Matemática, as mídias tecnológicas têm

potencializado o processo pedagógico através de recursos tecnológicos, como

software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da internet, entre outros, pois

tem favorecido as experimentações matemáticas e possibilitado simulações nas

formas de resolução de problemas (PARANÁ, 2008). Nesse sentido D’Ambròsio e

Barros (1998), afirmam que:

As atividades com lápis e papel ou mesmo quadro de giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são

sintetizadas.

Na medida em que for possível, o professor poderá propor atividades

significativas, utilizando as ferramentas tecnológicas, pois as mesmas possibilitam

ao estudante realizar ensaios, expectativas e simulações.

Neste sentido, Moram (2008) assinala que é necessário um currículo mais

integrado, mais próximo do cotidiano, com muito mais liberdade de percurso, de

escolhas, de integração significativa. Com metodologias diversificadas, mais ativas e

focadas em pesquisa e produção, em jogos, na relação prática-teoria-prática.

Utilizando as mídias possíveis e de forma integrada nos novos nichos educacionais.

Com este propósito, desenvolvemos nossa produção didático pedagógica e

implementação, buscando favorecer o ensino e a aprendizagem de frações. Os

recursos tecnológicos, como o software Jclic, no ensino de Matemática, composta

com atividades que envolve os cinco significados de frações vem enriquecer e

auxiliar na compreensão do conteúdo trabalhado.

Os cinco significados de fração:

O êxito na aprendizagem de conceito de fração pode ser obtida quando esse

conceito é explorado por meio de cinco significados: parte-todo, medida, quociente e

operador multiplicativo e número, sendo cada um trabalhado a partir de uma gama

diversificada de situações, Magina (2013 p.91, apud NUNES, 2003). Segue a

descrição de cada significado.

Significado Número: Uma fração b

a, com b 0, pode assumir o significado de

número e ser posicionada na reta numérica. Assim como os pesquisadores Bonotto

(2011) e Moutinho(2005), podemos observar que esta abordagem raramente é

utilizada pelos livros didáticos, o que prejudica a organização do conceito, pois o

aluno tende a não identificar a fração como um número. É importante que o aluno

reconheça este significado, e visualize seu posicionamento na reta numérica, além

do fato deste número também poder ser representado como um decimal.

Significado Relação Parte-Todo: Esta ideia representa um todo (contínuo ou

discreto) dividido em n partes iguais, onde cada uma dessas partes é representada

como n

1 . A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem,

onde o denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o

numerador quantas partes foram consideradas. Nota-se que esta ideia é bastante

abordada pelos livros didáticos, sendo muitas vezes utilizada como uma estratégia

para a introdução do conteúdo de frações. Este fato por ser observado nos livros

didáticos como: Dante (2001)14, Andrini e Vasconcellos (202)15, Jakubovic e Lellis

(199)16, entre outros.

Significado de Medida: Neste caso, a ideia é de comparação entre duas

grandezas, podendo estas ser intensivas ou extensivas (medida de quantidade de

mesma natureza, parte todo). Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de

um evento, que é obtido através da razão entre o número de casos prováveis e o

número de casos possíveis desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal

evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da

mesma forma que o estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado

a porcentagem.

Significado de Quociente: O significado quociente é empregado quando, em uma

determinada situação, a divisão é o recurso empregado para a solução do problema,

ou seja, quando a situação b

a, a e b inteiros, e 0b , é utilizado para escrever ba .

Este aspecto do conceito de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.

Operador Multiplicativo: A fração b

a, com a e b inteiros, e 0b , atua como fator

transformador de um número ao ser multiplicando por ''a e, logo em seguida,

dividindo por ‘b’. O número resultante deste processo pode ser maior ou menor que

o número em seu estado inicial, dependendo do quociente b

a. Este momento poder

aproveitado para abordar as ideias de número inverso e identidade.

Como nos referimos anteriormente, a maioria dos autores de livros didáticos

estabelece uma relação entre inteiro e divisão em partes iguais. Representam

geometricamente figuras divididas em partes iguais e pintadas de acordo com o

denominador da fração, além de analisar ordem da fração e equivalência por meio

da observação e percepção. Tal forma de abordagem, pode possibilitar ao aluno

raciocinar de um maneira errônea das relações lógico-matemáticas que estão

envolvidas nos conceitos fracionários.

Neste sentido, consideramos a importância de se explorar os cinco

significados de frações: parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo e

14 Matemática, Editora Ática, 2001 15 Praticando Matemática. Editora Brasil, 2002 16 Matemática na medida certa.Editora Scipione,1999

número, é que conduzimos a proposta da produção didático pedagógica de nosso

trabalho do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE.

Assim, propomos trabalhar tais significados com uma diversidade de

situações. Possibilitamos, por meio de cada atividade, situações para o aluno

vivenciar, os diferentes conceitos contextualizando todas as conjecturas proposta

com o seu cotidiano.

Também, levamos em consideração os grandes avanços tecnológicos e

inserimos recursos tecnológicos no ensino da Matemática, em conformidade com

documentos curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008).

Para atender as demandas tecnológicas e estabelecer uma linguagem mais

próxima da realidade de nossos alunos, favorecendo a compreensão e visualização

das situações propostas, trabalhamos as atividades no Software Jclic.

METODOLOGIA

Nosso trabalho foi desenvolvido com 28 alunos de 6° ano do Ensino

Fundamental do Colégio Estadual Antônio Lacerda Braga – EFM e

Profissionalizante, Município de Goioerê - Paraná, no período matutino, de fevereiro

a junho de 2014. O objetivo principal da proposta foi implementar uma sequência de

atividades que favorecesse o ensino e a aprendizagem do conceito de fração,

utilizando-se do uso do Software Jclic, com uma carga horária de 32h/a,

desenvolvida no primeiro semestre de 2014.

Com nossa experiência em sala de aula, podemos observar que a maioria

dos alunos envolvidos apresentava defasagem quanto aos pré-requisitos

relacionados aos conteúdos de fração, não demonstrando clareza na compreensão

dos conceitos de números fracionários, além da dificuldade de interpretar e

estabelecer conexões com situações problemas.

Ao implementar o projeto, tivemos a preocupação de despertar nos alunos a

relação entre os cinco significados da fração com a sua vida diária.

As atividades foram propostas por seção, sendo que em cada seção foi

trabalhado um dos cinco significados da fração. Para introduzir cada significado,

trabalhamos com lápis e papel, em sala de aula convencional e laboratório de

informática com atividades proposta no Software Jclic.

Para iniciar os estudos, cada aluno recebeu folhas impressas com o

significado a ser abordado. Sempre iniciamos a abordagem por meio de um diálogo,

onde o aluno foi conduzido a observar e trazer de seu convívio conceitos

relacionados naquele significado. Nas atividades impressas, por meio de papel e

lápis, os alunos construíam a trajetória dos conceitos e registraram por meio de

desenhos, textos ou resolução das atividades suas impressões, conclusões e

relações de aprendizagem. Como descritas e propostas na Produção Didático

Pedagógica, as atividades foram diversificadas e de acordo com a intenção de

explorar conceitos específicos de cada significado, ou seja, momentos coletivos,

individuais e em grupos. Para enriquecer a aprendizagem, logo depois de cada

conceitos trabalhado, os alunos se dirigiram para o laboratório de informática, onde

foram realizadas atividades de fixação e complementação no software Jclic

Após explorar e trabalhar cada “ação” proposta na Unidade Didática

Pedagógica, os alunos realizaram as atividades de fixação e verificação de

aprendizagem vinculados ao significado estudado, posteriormente corrigidos

individualmente ou coletivamente. Oportunidade para fixar e tirar dúvidas dos

conceitos estudados.

Os encaminhamentos realizados permitiram a autora não apenas observar os

níveis dos conceitos abstraídos pelos alunos, naquela abordagem, mas também,

organizar e (re)organizar tais conceitos mediando as situações de vivencia, trazidas

pelos alunos, para dar significados aos conceitos já assimilados em outras situações

de aprendizagem, seja na escola ou em seu cotidiano.

Desta forma, foi possível verificar que, de acordo com Vergnaud, onde

assinala as relações das teorias dos campos conceituais, que os conceitos

permeiam o universo das relações, estabelecendo conexões entre si.

ANALISE DOS RESULTADOS

A realização da implementação deu-se por meio cinquenta e nove atividades.

Porém, apresentaremos a análise dos resultados de duas atividades específicas

proposta em nossa implementação da produção didático pedagógica. A primeira

referente ao “significado do todo”, pois consideramos o cerne da compreensão dos

conceitos fracionários. É por meio da abstração deste conceito “todo”, que permeiam

a compreensão do significado do “numerador” e do “denominador”. Além do que,

entender o “todo” e as partes em que foram dividido o “inteiro”, está intrinsecamente

ligada os conceitos absoluto da fração. Da mesma forma para assimilar a leitura, a

representação gráfica, a probabilidade e proporção, a comparação de frações, ou

seja, este conceito é abrangente quanto aos cinco significado da fração e auxilia na

sua compreensão.

ANÁLISE DE ATIVIDADES COM SIGNIFICADO PARTE - TODO:

Ao trabalhar o significado parte do todo, quando solicitado ao alunos para que

desenhassem o que consideravam o “todo” ou “um inteiro”, eles não apresentaram

nenhuma dificuldade ou surpresa. Este fato comprova que os alunos trazem este

conceito do meio social em que vivem. Este conceito foi evidenciado em várias

ações da Unidade Didática trabalhada.

A primeira evidência desse conceito foi observado na ação 1, quando

solicitado para registrar frações em seu cotidiano.

Na ação 2, observa-se que o aluno estabelece relação entre o “todo”e a parte

considerada.

Figura 3: Registro do aluno 1 do 6° ano a

respeito do conceito de frações Figura 2: Registro do aluno 2 do 6° ano respeito do conceito de frações

Por meio das representações gráficas e escrita, observa-se que quase todos

os alunos compreendem e estabelecem, relação entre o conceito “parte do todo”

com o “inteiro”, ou seja, apresentaram com clareza a ideia do “todo”, seja na forma

discreta ou contínua. Apenas 8% dos alunos apresentaram dificuldades em

relacionar o “todo: com a parte considerada, conforme registros dos aluno 4 ao

realizar as ações 4 e 5.

Como afirmam Barais e Vergnaud (1990, p. 78 apud MOREIRA, 2002, p.11),

“as situações é que dão sentido ao conceito; as situações é que são responsáveis

pelo sentido atribuído ao conceito; um conceito torna-se significativo através de uma

variedade de situações” (1994, p. 46). “Mas o sentido não está nas situações em si

mesmas, assim como não está nas palavras nem nos símbolos” (1990, p. 158).

Figura 5: Registro do aluno 4 do 6° ano a

respeito do conceito do “inteiro”e a parte

considerada.

Figura 6: Registro do aluno 4 do 6° ano a

respeito do conceito do “inteiro”e a parte

considerada.

Figura 3: Registro do aluno 1 do 6° ano a

respeito do conceito de frações .

Figura 4: Registro do aluno 3 do 6° ano a respeito do conceito do “inteiro”e sua representação gráfica.

Figura 7: atividade lápis e papel – significado de fração parte-todo

A ideia do todo corresponde a um conjunto de 7 dias da semana, sendo que

três dias começam com a letra “S”. Nestes casos, temos uma representação parte-

todo chamada de “discreta” porque cada elemento que compõe o todo são

independentes.

A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem, onde o

denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o

numerador quantas partes foram consideradas.

Após trabalhar o significado parte do todo, com lápis de papel nas folhas

impressas na sala de aula convencional, os alunos desenvolveram atividades

virtuais no laboratório de informática e com o auxilio do aparelho multimídia, que

possibilitaram aplicar os conceitos estudados realizando várias atividades proposta

no Software Jclic.

No Software Jclic, é possível emitir um relatório das atividades realizadas

pelos alunos, no qual apresenta-se, entre outros dados, a porcentagem dos acertos

Figura 8: atividade Software Jclic– significado de fração parte-todo

e erros. Por meio deste relatório de atividades, observa-se que nas atividades

realizadas, 85% dos alunos estabelecem o mesmo raciocínio quando o significado

do “Todo”.

A atividade abaixo, tem por objetivo que o aluno reconheça o “todo” e

estabeleça relações com o numerador e denominador, dos meses do ano que se

inicia com a letra “j”.

Figura 09: atividade Jclic – significado de fração parte-todo

Observa-se que a relação do “todo” trabalhada com elementos que

representa a parte discreta, é percebida pelos alunos, com mais clareza do que com

as divisões do inteiro contínuo.

Nesta etapa os alunos começaram a perceber que a fração não é um

“desenho geométrico”, quando, por exemplo, escreveram os dias da semana.

Assim, assume significado a representação geométrica estabelecida nos dias da

semana, quando separadas em partes, onde cada dia ocupa uma parte do inteiro.

Percebe-se que estabeleceram uma relação mais lógica, mais real, concreta daquilo

que era abstrato – geométrica. Como por exemplo nas duas atividades abaixo, em

que deve executar o cálculo, encontrando a fração de uma quantia e/ou

estabelecendo relação entre o todo e partes.

Figura 10: atividade Jclic – significado de fração parte-todo

No presente contexto, torna-se importante ressaltar algumas dificuldades

encontradas para trabalhar com as ferramentas tecnológicas. O colégio nem sempre

oferece plenas condições para trabalhar em seus laboratórios, tanto em se tratando

do número de máquinas como das condições de uso . Assim sendo, nos primeiros

momentos trabalhamos as atividades coletivamente, com o auxilio do multimídia,

aproveitando o entusiasmo dos alunos, continuamos trabalhando off-line com o

software Jclic. Para organizar o desempenho no laboratório, disponibilizamos

atividades impressas para a metade da turma, enquanto o outro grupo trabalhava

nas máquinas.

O software Jclic é uma ferramenta pedagógica que possibilita ao professor

verificar as atividades que o aluno realizou com sucesso, bem como fornece a

porcentagem de acertos no final da seção proposta.

Diante de várias barreiras para administrar o trabalho com as ferramentas

tecnológicas, acreditamos que o professor deva propor atividades por meio do

software Jclic que possibilite ao aluno experimentar, simular e aplicar através destas

ferramentas, os conceitos trabalhados e assimilados por meio de experiências. Com

o uso das ferramentas tecnológicas, vamos ao encontro dos interesses da maioria

dos alunos, haja vista que os mesmos convivem com estes recursos e apresentam

uma grande satisfação em executar atividades proposta por meio das mesmas. Pois

sabemos que nossos alunos são “filhos” experientes de ambientes tecnológicos.

Os alunos apresentaram mais entusiasmo em realizar as atividades proposta

no software Jclic do que ao realizar com lápis e papel. Muitos executaram as

atividades como se estivessem “testando” o conceito que é aplicável àquela

atividade.

Torne-se importante ressaltar que o Software Jclic , mesmo com todos os

recursos e possibilidades, não substitui as atividades com lápis e papel nas aulas

convencionais, mas complementa e auxilia na fixação dos conteúdos e na

aplicabilidade dos conceitos estudados.

ANÁLISE DE ATIVIDADES COM SIGNIFICADO MEDIDA:

O significado do “todo” também tem grande importância no significado

“medida”, pois a ideia é de comparação entre duas grandezas, podendo estas serem

intensivas ou extensivas (medida de quantidade de mesma natureza, parte todo).

Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de um evento, que é obtido

através da razão entre o número de casos prováveis e o número de casos possíveis

desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal evento varia entre 0 e 1,

sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da mesma forma que o

estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado a porcentagem. Na

maioria dos valores que trabalhamos são fracionários.

Desta forma foram realizadas as atividades da Ação 9: Os alunos foram

organizados em 5 grupos. Cada grupo recebeu:

Para o primeiro experimento:

um copo descartável com uma etiqueta “2ª–feira”, um palito de sorvete, três

tubinhos de tinta guache azul e três tubinhos de tinta branca.

Para o segundo experimento:

um copo descartável com uma etiqueta “3ª–feira”, um palito de sorvete, dois

tubinho de tinta guache azul e dois brancos.

Realizaram as misturas conforme solicitadas nos primeiro e segundo experimentos

Figura 11: atividade experiência – significado medida- proporção

Durante a realização dos experimentos, os alunos tentaram “adivinhar” os

resultados. Alguns dos alunos dos grupos que estavam com duas tintas de cada cor

acreditavam que a mistura deles ficariam mais clara. Mas muitos alunos já

deduziram que independente da quantidade de tinta, mais ou menos, mas na

mesma “proporção”, que eles se referem a “mesma quantidade” as misturas teriam

as mesmas cores.

Ao final da atividade, concluíram que independente da quantidade, mas sim

da proporção, as misturas ficarão sempre iguais. Assim, puderam estabelecer outras

relações com outras situações de proporcionalidade, como: misturas para sucos,

receitas em geral, em situações de metade, dobro, triplo de medidas.

Estabelecendo, também relação com a porcentagem de quantidades com situações

que envolvem frações no seu cotidiano.

A segunda atividade, “Significado de números”, a qual os alunos

apresentaram maior dificuldade, não na compreensão, mas na representação do

número fracionário na reta numérica. Fato este que nos deixa alerta quanto a

deficiência de outros conceitos, possíveis de atenção por parte do professor de

matemática.

Uma fração b/a com b ≠ 0 pode assumir o significado de número e ser

posicionada na reta numérica. Para Rodrigues (2010), de acordo com definições

propostas por Lamon ,(1999) que se aproximam bastante das propostas por Nunes

e Bryant (1996), isso significa que o valor numérico de uma situação em que o

número racional na forma fracionária, possui uma representação decimal, e que

representa um valor na reta numérica. Para compreender esse subconstruto, o aluno

precisa entender que o número racional na forma fracionária não representa um

número sobre outro, mas sim a divisão de um número por outro, além de saber que

esse número representa uma posição na reta numérica, que entre esses dois

números existem infinitos números e observar que há duas formas para

representarmos um número racional, isto é, a forma fracionária e a forma decimal.

De acordo com Vasconcelos e Belfort (2006),

... a visualização dos números fracionários na reta numérica não deveria, a rigor, ser considerada como uma nova ideia, pois também se trata da divisão de uma unidade em partes iguais. Só que, ao invés de destacarmos a parte, passamos a destacar pontos da reta. (p. 2)

Durante a realizações das atividades deste significado, podemos observar

que os alunos estabelecem relações entre frações e números decimais de uma

forma bastante lógica dentro dos conceitos abstraídos no seu cotidiano. Porém,

apresentam dificuldades em localizar os valores “números decimais” na reta,

conforme podemos observar nos recortes das atividades abaixo.

Figura 12: atividade lápis e papel – significado de número

Os alunos apresentaram dificuldades para representar a reta. Aproveitei a

oportunidade para trabalhar o inteiro e parte do todo e a divisão em partes iguais:

centímetros, milímetros...

Outra dificuldade apresentada pelos alunos, além de localizar o número

decimal na reta numérica é divisão decimal. Trabalhei retomando os passos e

introduzi o uso da calculadora para facilitar.

Para auxiliar na compreensão e localização, iniciamos a comparação com

centavos de reais, especificamente R$0,50, indicando a representação da reta entre

0 (zero) e 1. Questionei-os em que posição poderia “posicionar” 0,5. Se a direita de

zero (se 0,5 era maior ou menor de 0), estabelecendo a relação com meio ( ½),

metade de um real. Até perceberem que 0,5 é a metade entre zero e 1, ou seja, que

50 centavos é a metade de zero centavos a um real. Depois, passamos para a

localização de ¾ na reta. Já sabiam que era só dividir 3 por 4. Para posicionar 0,75

na reta, passamos a estabelecer a relação com centavos de reais. Demonstrei na

reta que o inteiro, entre 0 e 1 foi dividido em quatro partes e três dessas quatro

partes representava 0,75, ou seja, que 0,75 é a terça parte de um inteiro que foi

dividido em quatro partes, isto é, que cada parte é 0,25, somando 0,25 com 0,25,

temos 0,50 e localizamos na reta essa divisão. Ficou mais visível estabelecer

relação da divisão de um real em quatro moedas e 25 centavos, ou seja, um inteiro

dividido em quatro partes iguais. Sempre questionado se 0,75 está localizada a

direita ou a esquerda do 0,50. Quando apresentaram dúvidas, recorremos a soma

das três moedas de 25 centavos. Logo em seguida, localizaram ¼ na reta. Desta

vez, apresentaram mais facilidade e propriedade. Alguns estabeleceram relação

com as moedas, ou seja, com inteiro dividido em quatro partes.

Nesta seção, foi possível trabalhar comparação de frações. Não só por meio

da representação geométrica, divisão do inteiro, mas também estabelecendo

comparações entre o numerador e o denominador. Por exemplo: 2/5 e 4/5 em

quantas partes foi dividido o inteiro? Se de cinco partes foi consideradas duas

partes, se de cinco partes foram consideradas quatro partes. Quem é maior, 2/5 ou

4/5? Relacionando com divisão de folha de papel, pizza, bolos, animais, frutas, etc.

E quando os denominadores são diferentes, por exemplo: 7/10 e 7/20,

trabalhamos em quantas partes o inteiro foi dividido. E os inteiros de mesmo

tamanho forem dividido em 10 e 20 partes, quais desses inteiros terão os pedaços

maiores?

Na atividade de fixação e verificação, 35% dos alunos apresentaram dificuldades

em localizar as frações na reta numérica, mesmo com a divisão e representação em

números decimais, como se verifica nas imagens abaixo.

Figura 13: atividade lápis e papel – significado de número

Figura 14: atividade lápis e papel – significado de número

As mesmas dificuldades apresentadas durante a realização das atividades

com lápis e papel, em localizar as frações na reta, refletiram ao realizarem as

atividades proposto no Software Jclic . Para suprir a dificuldade posta pelos alunos,

tornou-se necessário trabalhar identificação de números decimais, parte inteira e

parte decimal. Desta forma, o aluno pode estabelecer relação entre a parte inteira e

decimal, proporcionando uma visualização e localização das frações divididas, como

por exemplo: 5/2 – 2 inteiros e 5 décimos (metade de um).

Ë importante o uso das tecnologias para auxiliar os alunos nas apropriações

dos conceitos trabalhados, desta forma, disponho o link as atividades

complementares sobre o estudo de frações:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/43336033/jclic/index.htm. Ao clicar no link e

não abrir o jogo, clique no “ícone” do Fiferox do lado esquerdo da “URL” , depois na

seta – “continuar bloqueado” e escolha “desativar proteção”. Quando aparecer o

Java, clicar em “eu aceito...”> executar. Conforme figura abaixo:

Com forma de contornar as dificuldades encontradas durante a implementação

quanto ao uso do laboratório de informática por fatores já mencionados e como

forma de proporcionar a todos os alunos o acesso as atividades do Software Jclic

fora do ambiente escolar, forneci o link para que os mesmos realizassem as

atividades quantas vezes desejassem.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após a implementação, constatamos que a forma de abordagem e as

relações propostas nas atividades favoreceram o aprendizado dos alunos do 6º ano

do Ensino Fundamental de forma significativa.

A turma demonstrou empenho, envolvimento e interesse em desenvolver as

atividades, fatores que tornaram a implementação muito gratificante e produtiva.

Percebemos por meio da realização das atividades, sejam elas com lápis e papel ou

com a utilização do software Jclic, na reconstrução dos conceitos de fração, houve

progresso, compreensão e uma aprendizagem contextualizada.

Desta forma, chega-se a conclusão de que é possível ensinar frações por

meio da metodologia que foi aplicada e obter uma aprendizagem efetiva. Percebe-se

que as estratégias utilizadas propiciaram aos alunos utilizar e estabelecer relações

de conceitos já adquirido construir e formar novos conceitos.

Observa-se que a metodologia e atividades propostas favoreceram a

evolução do conhecimento informal para a formal. Que os alunos resolveram os

problemas de forma prática, aplicando os conceitos de fração estabelecendo relação

com o significado estudado. Compreenderam o significado e importância do

denominador e do numerador, bem como o que representam. Efetivamente, os

alunos estabeleceram e perceberam a relação o “todo” envolvido e deram sentido

fazendo a dupla contagem das partes.

As atividades no Software Jclic, complementou, facilitou e estimulou a

compreensão dos conceitos estudados.

Dentre as considerações apresentadas podemos apontar a presença dos três

argumentos principais que levaram a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud

(1998, p. 141 apud Moreira 2002): 1) um conceito não se forma dentro de um só tipo

de situações; 2) uma situação não se analisa com um só conceito; 3) a construção e

apropriação de todas as propriedades de um conceito ou todos os aspectos de uma

situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, às vezes

uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre

concepções, entre procedimentos, entre significantes.

As atividades propostas na Unidade Didática: os cinco significados da fração,

são bastante diversificadas, enriquecendo os conceitos estudados e propiciando aos

alunos, além das realizações de atividades convencionais, experiências com

materiais concretos na abordagem de proporção, probabilidade, sendo

complementadas com ferramentas tecnológicas, as quais podem ser acessadas por

meio do link acima mencionado.

Referências BEZERRA, F.; Magina, S. & Spinillo, AG (2002). Como promover as crianças compreensão de frações? Um Proceedings Estudo Exploratório. Da 26

Conferência Internacional para a Psicologia da Educação Matemática (PME), vol. 2, pp 89-96, Norwich, UK, de Julho. MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Em: Investigações em Ensino de Ciências - IENCI, Janeiro de 2002, Volume 7, Número 1. DELORS, Jacques et al. Educação: um tesouro a descobrir. Relatório para Unesco da Comissão Internacional sobre Educação para o Século XXI. 4 ed.São Paulo: Cortez: Brasília: UNESCO. 1996. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, Secretaria de Estado da

Educação do Paraná, Matemática, 2008. MAGINA, S.; CAMPOS,T; NUNES,T., GITIRANA,V. Repensando Adição e Subtração: Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, Ed. PROEM Ltda,

São Paulo, 2001 MOUTINHO, Leonel Valpereiro. Frações e Seus Diferentes Significados: Um Estudo com os alunos da 4 e 8 Séries do Ensino Fundamental. 2005. 218 f.

Dissertação (3º) - Departamento de Matemática, Puc, São Paulo, 2005. Disponível em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/leonel_valpereiro_moutinho.pdf>. Acesso em: 28 abr. 2013. SANTOS, Aparecido Dos. O Conceito de Frações em Seus Diferentes Significados: Um Estudo Diagnóstico Junto a Professores que Atuam no Ensino Fundamental. 2005. 218 f. Dissertação (3º) - Departamento de Matemática,

Puc, São Paulo, 2005. Disponível em:

<http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/aparecido_santos.pdf>. Acesso em: 28 abr. 2013. SILVA, Angélica da Fontoura Garcia. O Desafio do Desenvolvimento do Profissional Docente: Análise da Formação Continuada de um Grupo de Professores das Séries Iniciais do Ensino Fundamental, Tendo como Objeto de Discussão o Processo de Ensino Aprendizagem das Frações. 2005. 218 f. Tese

de Doutorado (3º) - Departamento de Matemática, Puc, São Paulo, 2007. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/do/tese/angelica_fontoura_garcia.pdf>. Acesso em: 20 abr. 2013. MORAN, José Manoel. Mudanças na comunicação pessoal. São Paulo: Paulinas,1998. RUIZ, A.R.; BELLINI, L. F. O computador chegando na escola. Porto Ferreira, SP:

Editora Gráfica São Paulo, 1999.