8/18/2019 OR_PR_02

1/9

2. OPIS PROSTORNIH ODNOSA

2.1. Vektori, koordinatni sustavi i opis pozicije točke u prostoru

• vektor u n-dimenzionalnom prostoru jest orijentirana dužina čije su rubne točkeuređene. Jedna rubna točka – početak (hvatište); druga rubna točka – svršetak

• vektor  – stupčasta matrica

• pozicija točke  P u prostoru možemo opisati vektorom čije je hvatište u ishodištu

baznog k.s. definiranog u prostoru, a svršetak u točki P 

2.2. Opis 3D objekta

• objekt – skup točaka u 3D prostoru

• opis oblika objekta – specifikacija pozicija svih točaka objekta u odnosu nareferentni k.s. objekta

8/18/2019 OR_PR_02

2/9

• položaj objekta u odnosu na neki k.s. predstavlja informaciju dostatnu da se

odredi položaj svake njegove točke u odnosu na taj k.s.

• položaj objekta  A u odnosu na k.s. S  B – položaj referentnog k.s. objekta S  A u

odnosu na S  B.

• položaj = pozicija + orijentacija• položaj k.s. S  A u odnosu na k.s. S  B = pozicija ishodišta k.s. S  A u odnosu na S  B +

orijentacija osi S  A u odnosu na S  B

• orijentacija k.s. S  A u odnosu na k.s. S  B: - 3 parametra, npr. 3 kuta:

  – u a o re u u or en ac u A

u o nosu na B

,

 – 1 kut – orijentacija Y  A u ravnini okomitoj na  X  A

 – orijentacija osi  Z  A određena je osima X  A i Y  A time što je os  Z  A okomita na  X  A i

Y  A i s njima čini desno orijentirani ortonormirani koordinatni sustav

Opis prostornih odnosa

8/18/2019 OR_PR_02

3/9

2.3. Orijentacija koordinatnog sustava

• orijentacija k.s. S  A u odnosu na k.s. S  B može se opisati rotacijskom matricom

11 12 13

21 22 23

31 32 33

 B

 A

r r r 

r r r 

r r r 

=

R  r ij =kosinus kuta između  j-te osi k.s.  A i

i-te os k.s.  B

 B B A

 A= ⋅p R p

• inverzna rotacijska matrica

( )  1

 A B B T 

 B A A

−= =R R R 

 B

x A B

y A B

z A

Opis prostornih odnosa

 A A B B= ⋅p R p

8/18/2019 OR_PR_02

4/9

1 0 0

( ) 0

0

 x   c s

 s c

φ φ φ 

φ φ 

= −

R 

0

( ) 0 1 0 y

c sθ θ 

θ 

= R 

Osnovne rotacije

0 s c−

0

( ) 0

0 0 1

 z 

c s

 s c

ψ ψ 

ψ ψ ψ 

− =

R 

Opis prostornih odnosa

• Primjer: Matrica  BR  A = R  z (α ) opisuje položaj k.s. S  A dobivenog rotacijom k.s. S  Boko z-osi k.s. S  B za kut α .

8/18/2019 OR_PR_02

5/9

Složene rotacije

• Višestruka rotacija oko osi istog koordinatnog sustava. Neka je k.s. S C  dobiven

rotacijom k.s. S  B oko neke od njegovih osi za kut  α . Označimo tu os s  k . Tada se

orijentacija k.s.   S C  u odnosu na k.s.   S  B može prikazati rotacijskom matricom B

R C  =  R k (α ). Neka je, nadalje, k.s. S  A dobiven rotacijom k.s. S C oko neke od os k.s.S  B za kut  β . Označimo tu os s l . Vektori koji prikazuju osi k.s. S  A u k.s.  S  B mogu se

izračunati tako da se svaka os k.s.   S C  prikazana vektorom u k.s.   S  B pomnoži

rotacijskom matricom R l ( β ), tj.

 B B

što se može napisati u sljedećem obliku

Opis prostornih odnosa

 A l C ⋅

( ) B B A l C  β = ⋅y R y

( ) B Bl C  β = ⋅z R z

( ) B B B B B B A A A l C C C  β  = ⋅ x y z R x y z

( ) ( ) ( ) B B A l C l k  β β α = ⋅ = ⋅R R R R R  

8/18/2019 OR_PR_02

6/9

Složene rotacije

• Uzastopna rotacija koordinatnog sustava oko njegovih osi. Neka je k.s.   S C dobiven rotacijom k.s. S  B oko neke od njegovih osi za kut  α . Označimo tu os s  k .

Tada se orijentacija k.s. S C u odnosu na k.s. S  B može prikazati rotacijskom matricom B

R C  =  R k (α ). Neka je, nadalje, k.s. S  A dobiven rotacijom k.s. S C oko neke od os togk.s. za kut  β . Označimo tu os s   l . Tada se orijentacija k.s.  S  A u odnosu na k.s.  S C može prikazati rotacijskom matricom  C R  A =  R l ( β ). Vektori koji prikazuju osi k.s. S  A u

k.s. S  B mogu se izračunati tako da se svaka os k.s. S  A transformira iz k.s.  S C  u k.s.

S  ,tj.

što se može napisati u sljedećem obliku

Opis prostornih odnosa

 B B C 

 A C A= ⋅y R y

 B B C 

 A C A= ⋅z R z

 B B B B C C C 

 A A C A A A = ⋅ x y z R x y z

( ) ( ) B B C 

 A C A k l α β = ⋅ = ⋅R R R R R  

 A C A= ⋅x R x

8/18/2019 OR_PR_02

7/9

• Skretanje-poniranje-valjanje (pan-tilt-roll). Orijentacija nekog k.s. S  A u odnosu

na k.s. S  B može se opisati na sljedeći način.

 – k.s. S C se postavi tako da bude identičan sa S  B.

 – Zakretanjem S C oko  X  B za kut ψ dobiva se k.s. S  D.

 – Zakretanjem S  D oko Y  B za kut θ dobiva se k.s. S  E .

 – Zakretanjem S  E oko  Z  B za kut ϕ dobiva se k.s. S  A.

( , , ) ( ) ( ) ( ) z y xφ θ ψ φ θ ψ  =R R R R  

• Eulerovi kutovi. Orijentacija nekog k.s. S  A u odnosu na k.s. S  B može se opisati nasljedeći način.

 – k.s. S C se postavi tako da bude identičan sa S  B.

 – Zakretanjem S C oko  Z C za kut ϕ dobiva se k.s. S  D. – Zakretanjem S  D oko Y  D za kut θ dobiva se k.s. S  E .

 – Zakretanjem S  E oko  Z  E za kut ψ dobiva se k.s. S  A.

( , , ) ( ) ( ) ( ) z y z φ θ ψ φ θ ψ  =R R R R  

Opis prostornih odnosa

8/18/2019 OR_PR_02

8/9

• Rotacija oko ekvivalentne osi. Prema Eulerovom zakonu, proizvoljna orijentacija

nekog k.s. S  A u odnosu na k.s. S  B može se opisati tako da se postavi k.s.

poravnat s S  B, koji se zatim zakrene oko određene osi K za kut θ , čime se dobva

k.s. S  A. U tom se slučaju orijentacija S  A u odnosu na S  B može opisati s jediničnim

vektorom u smjeru osi  K  i kutom θ .

−−+−+−

+−−−+−

=   θ θ θ θ θ θ 

θ θ θ θ θ θ 

θ    sk ck k cck  sk ck k 

 sk ck k  sk ck k cck 

 x y z  y z  y x

 y x z  z  x y x

)1()1()1(

)1()1()1(

),(   2

2

k R 

 AS ′

  +−+−−−   cc sc sc

 z  x z  y y z  x

Opis prostornih odnosa

8/18/2019 OR_PR_02

9/9

• opis orijentacije alata

 X  – okomit vektor 

  –

 Z  – vektor približavanja

Opis prostornih odnosa