Msica y matemticas. La afinacin pitagrica. El origen de la escala heptatnica Alguna vez os habis preguntado por qu son as las teclas de un piano? El teclado sigue un patrn

de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava. Las teclas

blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son

las notas alteradas (do#, mib, fa#, sol#, sib). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay

siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T). Pero entonces, por qu no

estn todas las teclas al mismo nivel?, por qu algunas notas se consideran naturales y otras

alteradas?, por qu los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala

natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, por qu tiene precisamente 7 notas? (la escala pentatnica,

caracterstica de oriente, por ejemplo, slo tiene 5). La respuesta, de nuevo, est relacionada con

Pitgoras.

La afinacin por 5as

El lunes os cont como la 5 de cualquier sonido se obtiene al multiplicar su frecuencia por 3. Sin

embargo, as obtenemos su quinta una octava ms aguda. En rigor, tendramos un intervalo de 12

(una 8 ms una 5: como al medir los intervalos tomamos las dos notas de los extremos, las sumas

en msica no funcionan, siempre dan uno de ms). Ese mismo sonido, una octava baja, se hallara en

una proporcin de 3/2 respecto a la fundamental, y sta es la proporcin que Pitgoras tom como

base de su sistema musical.

Para reconstruir este sistema, partiremos de la nota do y supondremos, nuevamente, que su

frecuencia es 1. A partir de ah, la multiplicaremos sucesivamente por 3/2 para obtener cada nuevo

sonido de la escala natural. La mayora de estos sonidos aparecern en escalas ms agudas, pero para

obtener estos sonidos en la escala original no tenemos ms que bajarles una o varias veces de 8, esto

es: dividir su frecuencia entre dos. El resultado es el que podis ver en la siguiente imagen:

Con estos datos podemos observar varias particularidades de la escala:

1. Existen cinco intervalos de mayor tamao y dos claramente ms pequeos. Los intervalos

ms pequeos se encuentran entre el mi y el fa, y entre el si y el do agudo. Si observamos el teclado

del comienzo, vemos que entre las teclas blancas correspodientes a estas notas no hay ninguna tecla

negra: son los dos nicos intervalos de semitono que encontramos en la escala natural.

2. La diferencia de frecuencias va aumentando segn nos acercamos al agudo. No obstante,

nosotros percibimos los intervalos de tono como iguales debido a que nuestra percepcin es

logartmica (para intervalos iguales, donde a y b son frecuencias, se cumple que loga logb = cte).

3. Podramos seguir aadiendo quintas obteniendo as sonidos intermedios, pero los intervalos

comenzaran a ser menos homogneos. No obstante, este es el origen de la escala cromtica,

como veremos el prximo da.

Tambin podemos observar que esta escala tiene ciertos defectos o incoherencias.

1. El semitono no es la mitad exacta de un tono, (256/243 9/8). Por ello, mediante esta

afinacin, obtendremos dos tipos de semitonos distintos: cromticos y diatnicos, como veremos el

prximo da.

2. La tercera dista mucho de ser consonante, segn la definicin que dimos en un principio y

la proporcin que determinamos el pasado lunes (81/64 = 1,265625 5/4 = 1,25). La tercera en esta

escala resulta un poco disonante al ser mayor de lo que debera, y se la suele llamar ditono

pitagrico.

Los modos griegos

Los griegos no utilizaban preferentemente la escala de do. En estas entradas la tomamos como

referencia por ser la escala que se utiliz sistemticamente en la msica occidental a partir del

Renacimiento (aproximadamente). Hoy la conocemos como escala diatnica Mayor. A veces se

utiliza tambin la escala diatnica menor, que sera la escala de los sonidos naturales (las teclas

blancas) solo que empezando desde la (T, ST, T, T, ST, T, T).

Los griegos, en cambio, tenan 8 escalas diferentes llamadas modos. El patrn intervlico segua

siendo el mismo que el que acabamos de describir, solo que empezando desde distintos puntos de la

escala. El modo ms importante para los griegos, por ejemplo, era el modo drico; la escala que va

de mi a mi (ST, T, T, T, ST, T, T).