origami e matemática-trab seminário

Maria de Fátim

a Rodrigues Pedrosa, nº 21653

Trabalho didáctico realizado para a disciplina de Seminário

Fátima PedrosaOrigami e Matemática

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Professores Doutores: Ana Júlia Viamonte e António Pascoal


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"Todo o origami começa quando

pomos as mãos em movimento.

Há uma grande diferença entre

compreender alguma coisa

através da mente e conhecer

a mesma coisa através do tacto."

Tomoko Fuse


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Índice

Introdução....................................................................................................................................5

Historia do origami.......................................................................................................................6

História do Tsuru......................................................................................................................8

A história de Sadako.................................................................................................................9

Origami e matemática................................................................................................................10

Utilização da arte do origami no ensino da geometria...........................................................11

Didáctica.....................................................................................................................................14

Origami na sala de aula..........................................................................................................14

Outras experiências a realizar em sala de aula...........................................................................22

O rectângulo áureo............................................................................................................22

Hexágono...........................................................................................................................26

Dodecaedro estrelado........................................................................................................30

Dodecaedro........................................................................................................................32

Pentágono..........................................................................................................................37

A divisão do ângulo recto (90°) em três ângulos congruentes...........................................39

Como obter duas folhas quadradas a partir do papel de formato A4................................41

Chapéu (recreativo) - em anexo mostra-se o método de construção de outras figuras, a pedido dos alunos..............................................................................................................42

O origami e o teorema de Pitágoras...................................................................................44

Determinação dos ângulos.................................................................................................46

Tangram a partir de um quadrado.....................................................................................46

O tangram por origami.......................................................................................................49

Como obter o triângulo na proporção 3.4.5 com origami..................................................52

Demonstrar o teorema de Pitágoras com módulos............................................................54

Demonstração de que a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180º................60

Demonstração: arctg1+arctg2+arctg3=π............................................................................61

Conclusão...................................................................................................................................64

Bibliografia.................................................................................................................................65


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Anexos........................................................................................................................................66

origami.......................................................................................................................................67

Copo de papel............................................................................................................................68

Base kabuto................................................................................................................................69

Chapéu de samurai.....................................................................................................................70

Peixe...........................................................................................................................................72

Origami modular........................................................................................................................73

Símbolos gráficos...................................................................................................................73

Peça unitária para construir sólidos...........................................................................................74

cubo...........................................................................................................................................75

Hexaedro triangular...................................................................................................................76

Octaedro estrelado....................................................................................................................77

tetraedro....................................................................................................................................79

Octaedro....................................................................................................................................80

Flor.............................................................................................................................................81

Teorema de Kawazaki................................................................................................................82

Óculos de sol..............................................................................................................................83

Dobragem por raiz quadrada de dois.........................................................................................84

Ângulos de 45º e 90º..................................................................................................................85

Ângulos de 30º e 60º..................................................................................................................86

Íris..............................................................................................................................................87

O sapo que salta.........................................................................................................................88

Outros origamis recreativos.......................................................................................................89


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Introdução

Introdução

Origami (dobragem de papel) pode não parecer um assunto para a investigação

matemática ou algo com aplicações sofisticadas. Ainda assim, qualquer um que tenha

tentado dobrar um mapa ou embrulhar um presente, sabe que origami não é um

assunto trivial. Matemáticos, cientistas da computação e engenheiros descobriram

recentemente que este assunto milenar pode ser usado para resolver muitos

problemas modernos. As técnicas do origami podem ser usadas para dobrar objectos

tais como air bags e telescópios espaciais gigantescos de maneira eficiente; podem

estar relacionadas com a maneira como as proteínas se dobram.

Em vários processos de fabrico é frequente querer fazer um produto com a utilização

de um único pedaço de material. O problema de fabricação traduz-se então em

verificar se uma certa forma pode ser dobrada ou não e, no caso positivo, descobrir as

maneiras eficientes de fazê-lo. Assim, muitos problemas em origami têm relação com

complexidade em algoritmos e a teoria de optimização. Um testemunho da

diversidade do origami, bem como do poder da matemática, é sua aplicabilidade em

problemas de química molecular, indústria e tecnologia espacial.

Neste trabalho fala-se um pouco da história do origami e de algumas curiosidades. De

seguida, é abordado o tema o origami e a matemática, sob duas perspectivas: a

matemática aplicada ao origami e o origami aplicado à matemática. Finalmente, são

abordados alguns assuntos que podem servir para as aulas de matemática, sob o

ponto de vista didáctico. Para melhor ilustrar este aspecto, mostram-se ainda fichas de

trabalho que já serviram este ano lectivo, embora não fosse na escola do núcleo de

estágio, mas noutras escolas. Em anexo são mostradas mais algumas figuras que os

alunos gostam imenso de construir.


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História do Origami

Historia do origamiNo ano 105 A.C. T’Sai Lun, administrador no palácio do imperador chinês, começou a

misturar cascas de árvores, panos e redes de pesca para substituir a sofisticada seda

que se utilizava para escrever. O império chinês manteve segredo sobre as técnicas de

fabricação do papel durante séculos. No século VI, por intermédio de monges budistas

chineses, a técnica de fabricar papel chegou ao Japão e um século mais tarde, os

árabes obtiveram o segredo desse processo. Na Europa a técnica de fabricação de

papel chegou por volta do século XII, e dois séculos mais tarde já se espalhava por

todos os reinos cristãos.

Nem sempre o papel teve boa qualidade, excepto na China e no Japão, onde desde os

primeiros momentos era possível dobrá-lo. No resto do mundo, principalmente na

Europa, o papel era grosso e frágil, dificultando as dobras. Só a partir do século XIV se

conseguiu fabricar um papel adequado.

Ori Kami

A palavra japonesa Origami é composta por dois caracteres. O primeiro, ori, deriva do

desenho de uma mão e significa dobrar. O segundo, kami, deriva do desenho de seda e

significa papel.

A palavra kami também significa espírito e Deus.


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A história do Origami pode ser dividida em três grandes períodos.

Durante o período Heian (794-1185) o Origami era um divertimento das classes altas,

as únicas que podiam comprar papel, que era um artigo de luxo.

Alguns modelos em Origami foram introduzidos nas cerimónias religiosas (Shinto). Os

casamentos eram celebrados com copos de saquê (aguardente de arroz) dobrados em

papel com borboletas, representando a noiva e o noivo. As borboletas fêmea e macho,

simbolizavam a união.

Os guerreiros Samurai trocavam, entre si, presentes enfeitados com “noshi”, pedaços

de papel dobrados em leque, de várias formas, seguros com faixas de carne seca.

Os mestres das cerimónias de chá recebiam diplomas dobrados de forma especial.

Depois de os diplomas abertos estes não podiam voltar à sua forma inicial sem se

realizarem outras dobras no papel.

Hoje em dia ainda se utiliza a expressão “Origami Tsuki” que significa “certificado” ou

“garantia”, que funcionam como um selo de qualidade, conferindo autenticidade aos

documentos de valor.

No Período Muromachi (1338 – 1576) o papel tornou-se um produto mais acessível e o

Origami começou a ser utilizado para distinguir as diversas classes sociais, conforme os

adornos que as pessoas usavam.

A “democratização” do Origami surge durante o Período Tokugawa (1603-1867). É

neste período que surgem os primeiros livros de Origami.

O primeiro livro com instruções surgiu em 1797 – Sembazuru Oricata (como dobrar mil

tsurus).

Não se dobrou apenas no Japão, os muçulmanos também praticaram esta arte e

levaram-na para Espanha. Os muçulmanos proibiam a criação de figuras, pois é contra

os princípios do Islão, permitindo apenas o uso das dobras de papel para estudos

matemáticos e astronómicos.


9

Os árabes optaram por investigar as diversas formas e propriedades de dobrar um

quadrado e explorar diversas formas de cobrir as paredes de Alhambra (em Granada)

com “tessellacions”, tendo aplicado também os seus avançados conhecimentos de

trigonometria para mapearem as estrelas.

Após os árabes terem sido expulsos da Península Ibérica, pela inquisição, os espanhóis

desenvolveram esta arte, chamando-a de Papiroflexia.

O pai do Origami moderno é o japonês Akira Yoshizawa. É a Yoshizawa que se deve a

simbologia actual de instruções de como dobrar os modelos

(Sistema Yoshizawa – Randlett, 1956). Este sistema é a

contribuição mais importante para o Origami desde a invenção

do papel, já que permite a difusão internacional das várias

criações. Para Yoshizawa o Origami é uma filosofia de vida.

Hoje em dia pessoas de todo o mundo, dedicam-se ao Origami,

de várias formas. Tanto no desenvolvimento de figuras cada vez mais complexas, como

no estudo matemático das várias dobras. Os japoneses utilizam, actualmente, esta

forma de arte no seu Projecto Espacial.

História do TsuruO Tsuru é o símbolo do Origami japonês e significa boa sorte, felicidade

e saúde.

Inicialmente o Tsuru tinha apenas uma função decorativa, sendo

utilizado, por exemplo, nos quartos das crianças com a função de as

distrair. Mais tarde o Tsuru foi associado às orações, sendo oferecido

nos templos, juntamente com orações para pedir protecção.

Actualmente, nas festas de Ano Novo, casamento, nascimento e outras comemorações

festivas, a figura do Tsuru está presente nos enfeites ou nas embalagens de presentes.

http://yasalde.no.sapo.pt/images/Livro1.JPG

http://yasalde.no.sapo.pt/images/tsuru.jpg


10

A história de SadakoDepois da destruição de Hiroshima em 1945, surgiram muitas doenças entre os

sobreviventes. Uma das vítimas, Sadako Sassaki, com dois anos no dia da explosão,

começou a sentir os efeitos da Bomba Atómica aos 12 anos, sendo-lhe diagnóstico

Leucemia.

Quando Sadako estava no hospital, um amigo levou-lhe alguns papéis coloridos e

dobrou um pássaro (TSURU). Disse-lhe que esse pássaro é sagrado no Japão, que vive

mil anos e tem o poder de conceder desejos. E que se uma pessoa dobrar mil Tsurus e

fizer o seu pedido a cada um deles, este será atendido.

Sadako começou a dobrar Tsurus e a pedir para se curar, porém a sua doença

agravava-se a cada dia. A menina começou, então, a pedir pela Paz Mundial. Sadako

dobrou 964 Tsurus até 25 de Outubro de 1955, data em que morreu. Os seus amigos

dobraram os restantes Tsurus a tempo do seu funeral. Mas eles queriam mais,

desejavam pedir por todas as crianças que estavam a morrer, em consequência da

explosão da Bomba Atómica. Os amigos de Sadako formaram um clube e começaram a

angariar dinheiro para um monumento. Contribuíram estudantes de mais de 3000

escolas do Japão e de 9 outros países. Em 5 de Maio de 1958 inauguraram o

Monumento da Paz das Crianças, no Parque da Paz de Hiroshima.

Todos os anos no Dia da Paz, seis de Agosto, são

enviados Tsurus de papel, provenientes de todo o

mundo, para o Parque. As crianças desejam

espalhar pelo mundo a mensagem esculpida na

base do monumento de Sadako:

Este é o nosso Grito

Esta é a nossa oração:

Paz no Mundo


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Origami e Matemática

Origami e matemática

Todos nós já dobrámos uma folha de papel, no entanto são poucos os que dobram

intencionalmente com o intuito de estudar ideias matemáticas implícitas. A dobragem

de papel é uma actividade que é tanto recreativa como educacional. Recorrendo a

materiais simples, como papel A4, revistas, papel de embrulho, papel de lustro

podemos de uma forma divertida aprender Matemática.

A arte de dobrar papel ajuda os alunos a aprender e a comunicar Matemática. É fácil

de aprender e simples de usar.

As actividades geométricas são um excelente meio para desenvolver a comunicação

matemática. Por exemplo quando um aluno tem que descrever a figura que obteve,

após concretizar determinadas dobras, para que o colega a possa construir, também

está a fazer uso desta capacidade.

Dobrando e desdobrando podemos observar por meio dos vincos formados rectas,

ângulos, simetrias e figuras geométricas. Podemos reconhecer e analisar propriedades

de figuras geométricas, utilizar a visualização e o raciocínio espacial. Explorar os

conceitos de tamanho, forma e medida, incentivar a escrita matemática e motivar os

alunos para a disciplina.

As dobragens praticadas em grupo permitem o debate de ideias, o esclarecimento de

conceitos e o desenvolvimento de estratégias individuais e colectivas. São estas

actividades de aprendizagem que rentabilizam a autonomia e a responsabilização do

aluno. Além disso, permitem o desenvolvimento da criatividade, da concentração e

persistência, capacidades fundamentais para se ser matematicamente competente.

Com a dobragem de papel podem extrair-se raízes quadradas, resolver equações de

segundo grau, desenhar uma cónica por tangentes, demonstrar teoremas de

geometria, calcular áreas e até a soma de uma ou outra série infinita.


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Utilização da arte do origami no ensino da geometria

“Os pesquisadores foram atraídos

provavelmente porque o Origami

instigou os seus talentos matemáticos e

científicos”, afirma o matemático

Thomas Hull, do Merrimack College, de

North Andover, nos Estados Unidos, e

editor do “Imagiro”, publicação bimensal

sobre Origami que tem entre os seus autores os estudiosos de maior renome no

assunto.

O Origami passou então a ser objecto de estudos matemáticos. Percebeu-se que a

dobragem poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na

ciência, como o batimento das asas de um pássaro ou a deformação da capota de

metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, então, a desenvolver

teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobragens.

Na matemática, o Origami pode ser tratado pela topologia e pela geometria

combinatória. Diferentemente da geometria, na topologia as figuras podem ser

esticadas ou deformadas do seu estado original sem passarem a ser consideradas

objectos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer emenda.

Os especialistas em origami trabalham na construção de algoritmos, que são

sequências de passos definidos na solução de um problema, como, por exemplo, o

algoritmo da divisão. Para desenvolver esse trabalho, recorrem à geometria

combinatória, que permite obter fórmulas computacionais para a construção, por

meio de dobragens, das formas complexas e sofisticadas de origami. Com essas


13

técnicas, procuram também obter a melhor sequência de dobragem e o

aproveitamento máximo da folha de papel para uma determinada figura que

pretendam construir. Ao que tudo indica, qualquer procedimento que o computador

fornecer pode ser feito no papel manualmente.

O desafio está em fazer o caminho inverso matematicamente. A partir de um origami

aberto, com as marcas das dobras, os matemáticos recaem em complicados problemas

com polinómios para descobrir, sem dobrar, em que figura um certo padrão de

dobragem resultará.

Desse modo, o origami tornou-se nas últimas duas décadas inspiração para a busca de

soluções de sofisticados problemas matemáticos e tecnológicos. Os especialistas

obtiveram bons resultados e esperam aplicar os seus estudos, por exemplo, a

projectos de painéis solares, micro circuitos e até telescópios, que, se pudessem ser

dobrados, poderiam ser usados em dispositivos menores que os existentes hoje.

Para alguns, o acto de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder o seu

charme criativo e artístico. Mas os amantes do Origami tradicional não precisam

recorrer aos passos matemáticos de dobragem para dar a forma que querem a um

simples pedaço de papel. Uma das mais recentes publicações sobre o envolvimento da

matemática e do Origami são os teoremas a seguir:

Um princípio importante na matemática do Origami é o Teorema de Kawasaki,

segundo o qual a soma dos ângulos alternados formados por dobragens em volta de

um único vértice em um Origami desdobrado será sempre 180º. Isto é válido para cada

vértice do papel desdobrado de uma figura plana, e não necessariamente de formas

não achatadas.

Veja-se abaixo o Origami da cegonha (ou tsuru):

1 + a3 + a5 + ... + a2n-1 = 180º e a2 + a4 + a6 + ... + a2n = 180º


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Pode-se ver que teremos sempre um número par de ângulos, para cada vértice. Outra

propriedade matemática importante no Origami é nos padrões de dobragem de

figuras planas. Pode-se colorir o papel inteiro desdobrado somente com duas cores,

sem que se repita a mesma cor lado a lado, como se mostra acima.


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Didáctica

Didáctica

Origami na sala de aula

Para que o ensino da Matemática contribua para a formação global do aluno, a qual

tem como objectivo maior a conquista da cidadania, é fundamental explorar temas

que de facto encontrem na matemática uma ferramenta indispensável para serem

compreendidos.

Assim, o aluno percebe a real necessidade dessa ciência para a sua vida. O Origami no

presente trabalho procura trabalhar conteúdos significativos que promovam a

compreensão das ideias matemáticas.

Os conteúdos explorados e actividades propostas permitem que sejam abordados

aspectos da vida do aluno ligados a outras áreas do conhecimento, aos temas

transversais e ao tratamento da informação. Os temas são abordados, sempre que

possível, por meio de situações reais que valorizam o conhecimento prévio do aluno,

estimulando-o a agir reflexivamente e privilegiando a criatividade e autonomia na

busca de soluções para os mais diversos problemas.

O trabalho foi desenvolvido da seguinte forma:

Foi efectuada por um grupo de alunos de curso EFA (Educação e Formação de Adultos), B3 (9º ano de escolaridade) – “Inovinter”

Foi solicitado aos alunos que formassem grupos, foram então entregues folhas de

papel a cada integrante do grupo. Começamos a discutir o conceito de plano, logo

após trabalhamos o conceito de recta. Seguindo o processo construtivista de Jean

Piaget elaborou-se uma sequência de conhecimentos de forma espiral, em que o

conceito apresentado dependerá das anteriores.

Observemos a seguinte sequência de conceitos:


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Plano, recta, rectas perpendiculares, ponto, rectas paralelas, rectângulo,

ângulos, bissectriz, diagonal de um polígono, quadrado, triângulo equilátero, a

soma dos ângulos internos de um triângulo, área de um rectângulo, área de um

triângulo.

Após todo este processo iniciou-se uma nova fase, construindo um pentágono e foram

apresentados novos conceitos:

Ângulos alternos, externo, diagonal de um polígono, áreas, hexágono, e para

finalizar foi dada uma breve introdução ao conceito de volume.

A cada aula foram distribuídos apenas papel e tesoura, e a partir desses dois materiais

começaram a ser construídos os conceitos e definições sobre os seguintes assuntos:

1) Noções básicas de geometria: ponto, recta, plano;

2) Rectas perpendiculares;

3) Rectas paralelas;

4) Polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono e

octógono);

5) Diagonal de um polígono;

6) Área de triângulos e de rectângulos;

7) Ângulos (bissectriz, ângulo alterno interno e alterno externo);

8) Introdução ao conceito de volume. No final, foram construídos sólidos

platónicos, que serviram de enfeite à árvore de Natal, mostrada na fotografia a

seguir:


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Resultados e conclusão:

Observaram-se as seguintes dificuldades:

1) Deficiência para o cálculo das quatro operações básicas sem máquina, para os

alunos mais jovens (abaixo de 30 anos) devido a não saberem a tabuada;

2) A maioria não sabia o que é um polígono;

3) Todos tinham uma noção intuitiva de ponto recta e plano;

4) Havia outras dificuldades como dificuldades de escrita, de interpretação e de

inserção em grupo;

Como resultado, obteve-se:

1) Melhoria na visão espacial do aluno;

2) Desenvolvimento da coordenação motora e da criatividade, que são

necessárias para as actividades propostas;

3) Devido ao material ser concreto, e ser do estilo de jogos matemáticos criava-se

uma atracção pelo assunto, gerando assim uma melhor aprendizagem;

4) Devido ao conteúdo proposto pôde-se também desenvolver uma prática da

álgebra básica, retomando a aprendizagem dos conteúdos já estudados em

anos anteriores.

As actividades de desenvolvimento e de consolidação dos conteúdos matemáticos de

geometria plana demonstraram que este não é apenas uma ferramenta limitada

apenas ao ensino ou desenvolvimento de uma potencialidade cognitiva, mas também

uma óptima ferramenta avaliativa ou de sondagem na educação, possibilitando uma

melhor definição das dificuldades dos alunos, e nortear melhor os procedimentos

perante os problemas encontrados.


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Alunos do 3º ciclo e secundário: (Inovinter e Escola Profissional de Economia Social)

Neste trabalho foram realizadas duas actividades para a descoberta da noção de

sequência e de função inversa, utilizando o origami.

O trabalho foi elaborado da seguinte forma:

1. Breve introdução histórica que permita aos alunos conhecer um pouco da

génese desta arte e as suas potencialidades (elaborada de acordo com o já

apresentado neste trabalho);

2. Ficha de trabalho para o terceiro ciclo (oitavo ano, no ensino oficial regular)

sobre a noção de sequência;

3. Ficha de trabalho para o secundário (décimo primeiro ano no ensino regular)

sobre o conceito de função inversa;

4. Conclusão.

O Origami utiliza um dicionário de símbolos que permite seguir um conjunto de

instruções. Não o utilizaremos aqui, já que as fichas de trabalho direccionam as

actividades dos alunos.

DESCOBERTA DAS SEQUÊNCIAS

Público – alvo:Alunos do oitavo ano.

Objectivos:Descobrir a noção de sequência.Identificar os termos de uma sequência.

Material:Folha de papel.Ficha de trabalho.


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Pré – requisitos:Conhecer o significado comum da palavra sequência.

Metodologia de trabalho:Realização da ficha de trabalho, pelos alunos, em conjunto com a Professora.

FICHA DE TRABALHO

Matemática – 8º Ano

Parte A – Construir uma sequência

1. Comece com uma folha quadrada. Inicialmente tem 1 camada de papel

e 0 dobras.

2. Dobre a folha ao meio e conte o número de camadas. Registe o número.

3. Repita o mesmo procedimento e conte o número de camadas.

Preencha a seguinte tabela:

Nº de dobras Nº de camadas

0 1

1

2

3

4

5

4. Quantas camadas deve haver após 10 dobragens? E após 15? Explique

como chega à conclusão.


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5. Escreva uma expressão matemática que determine o número de

camadas, usando o número de dobras. Verifique se a expressão está

correcta.

Parte B – Conclusões

1. Os números 1, 2, 4, 8, 16, 32, … formam uma sequência.

2. O primeiro termo da sequência é 1, o segundo termo é 2, o terceiro termo é 4,

etc…

3. O termo geral da sequência é 2n.

IDENTIFICAR FUNÇÕES INVERSAS

Público – alvo:

Alunos do décimo primeiro ano de Matemática A.

Objectivos:

Descobrir quais as funções que possuem inversa.

Relacionar os domínios e os contradomínios de uma função e da sua inversa.

Identificar funções cuja inversa é a própria função.

Material:

Folha de papel.

Ficha de trabalho.

Régua graduada e lápis.

Pré – requisitos:

Conhecer a noção de função.

Conhecimento de que a inversa de uma função é a simétrica da função em relação à

recta y = x .

Metodologia de trabalho:

Organização da turma em grupos de quatro alunos.

Discussão das conclusões em grupo - turma.


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FICHA DE TRABALHO

Matemática A – 11º Ano

Parte A1. Dobre uma folha de papel duas vezes, na horizontal e na vertical, de forma a

criar um sistema de eixos cartesianos. Identifique o eixo das abcissas e das

ordenadas.

2. Dobre cuidadosamente a folha de papel de modo a formar a recta y = x .

3. Com a régua gradue os eixos coordenados fazendo corresponder uma unidade

a um centímetro.

4. Represente a função y = 2x +1 no plano cartesiano. Classifique-a quanto à

injectividade.

5. Dobre a folha de papel ao longo da linha y = x e encontre a reflexão de y = 2x

+1. Marque a nova linha com uma cor diferente.

6. Desdobre a folha. Descreva a relação que existe entre a função original, y = 2x

+1 e a sua reflexão ao longo da linha y = x .

7. A imagem de y = 2x +1 é uma função? Justifique.

Parte B1. Na folha já se encontra desenhada a função y =1+ 1/x. Classifique-a quanto à

injectividade.

2. Faça a reflexão desta função em relação à recta y = x . Marque a nova linha a

cor diferente.

3. Relacione os domínios e contradomínios das duas funções.

4. A imagem de y =1+ 1/x é uma função? Justifique.

Parte C1. Repita os passos 1. , 2. e 3. da parte A.

2. Represente a função y = x2 no plano cartesiano.


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3. Dobre a folha de papel ao longo da linha y = x e encontre a reflexão de y = x2 .

Marque a nova linha com uma cor diferente.

4. A imagem de y = x2 é uma função? Justifique.

Conclusões:

1. Das três partes, quais das funções têm imagens que são funções?

2. A inversa de uma função é sempre uma função? Justifique.

3. Que relação existe entre os domínios e contradomínios de uma função e da sua

inversa?

4. Identifique duas funções cuja inversa é a própria função.

CONCLUSÃO

A experiência da professora permite-lhe concluir que os alunos se sentem muito

motivados, trabalham com muito entusiasmo e retiram mais rapidamente conclusões

da matéria em estudo, do que numa aula teórica em que é a Professora a expor todos

os conteúdos.

Esta é uma técnica a implementar, nos Clubes da Matemática e não só, das respectivas

escolas como forma de motivação dos alunos para a aprendizagem da Matemática.


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Outras experiências a realizar em sala de aula

Outras experiências a realizar em sala de aulaA partir de uma folha de papel quadrada, podemos obter várias outras formas

geométricas.

Comecemos com alguns rectângulos.

O rectângulo áureo

Um rectângulo áureo, ou rectângulo de ouro, é aquele semelhante ao mostrado

abaixo. Se o dividirmos em um quadrado e um rectângulo, este terá os seus lados nas

mesmas proporções que o rectângulo inicial, e também será áureo.

Seja a o comprimento do lado menor do rectângulo, e b o do maior. Como mostra a

figura, o rectângulo obtido após retirar um quadrado de lado a, tem lados b − a e a.

Como eles estão na mesma proporção que os lados do rectângulo maior, verificamos

que


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de onde obtemos, isolando b/a,

O lado maior do rectângulo inicial (de comprimento b) fica dividido em 2 segmentos

(de comprimentos a e b − a, respectivamente). Podemos dizer, então, que o segmento

menor está para o segmento maior, como este está para o segmento total. Essa

relação já era bem conhecida pelos pitagóricos no século VI a.C., designada como

“divisão de um segmento em extrema e média razão”, e a sua resolução geométrica

aparece em Os Elementos de Euclides. No Renascimento passou a ser chamada de

“proporção divina”, numa obra homónima do matemático Luca Pacioli, ilustrada por

Leonardo da Vinci. A partir do século XIX e até à actualidade, tornou-se mais conhecida

como “razão de ouro” ou “razão áurea”. A primeira aparição dessa designação é de

1835, num livro do matemático bávaro Martin Ohm. A relação é representada

normalmente pela letras gregas ϕ ou Φ.

Argumenta-se que o rectângulo áureo é o mais “belo” visualmente, o que teria

motivado o seu uso em obras arquitectónicas e artísticas, tal como o Partenon, na

Acrópole grega.

Porém, não existe uma clara evidência científica desse facto.

Entretanto, ϕ possui propriedades matemáticas muito interessantes; por exemplo, é a

relação entre o lado de um pentágono regular e sua diagonal. Lembremos que o

símbolo da escola pitagórica era a estrela de cinco pontas, que é obtida trancando as

diagonais de um pentágono regular. Possivelmente o estudo dessa figura levaria os

pitagóricos ao problema da razão áurea. Usaremos essa propriedade num capítulo

posterior para construir um pentágono regular.

Aqui veremos como construir um rectângulo áureo a partir de uma folha de papel

quadrada.

O seguinte método parece ser o mais eficiente.


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(8) O rectângulo ABCD é áureo

Um bom exercício de geometria é provar que o rectângulo obtido acima é áureo. Para

isso, analisemos o resultado final, conforme a seguinte figura:


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Queremos determinar a relação entre os lados do rectângulo resultante, x = AD/DC.

Como AD = EC, então x = EC/DC. Pela semelhança dos triângulos FEC e GDC, sabemos

que

e por uma conhecida propriedade das proporções

Para simplificar o cálculo, suponhamos que o quadrado inicial tenha lados de

comprimento 1.

Então, AD = EC = 1, FE = 1/2, e pelo Teorema de Pitágoras, FC = √FE2 + EC2 = √5/2.

Sabemos, também, que os ângulos α e β são iguais (do passo 4). Os ângulos β e γ são

alternos internos entre as paralelas AD e BC e, portanto, iguais, o que implica que α =

γ.

Consequentemente, AGC é um triângulo isósceles, e AG = GC. Então,

GD + GC = GD +AG = 1.

Substituindo os valores calculados na fórmula acima para x, obtemos finalmente


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que é a razão áurea.

Hexágono

1. Fazer pequenas marcas para dividir o lado em metades e depois dobrar, fazendo os

pontos tocarem-se.

2. Dobrar para trás.


28

3. Cortar ou vincar na indicação.

5. Hexágono regular pronto.

A partir daqui pode-se construir um módulo triangular, para construção de um

icosaedro:

5. Veja-se o hexágono após o papel ter sido aberto sem ser cortado. Fazer uma dobra

nos vincos indicados.


29

6. Dobrar ao meio.

7. Uma dobra para frente e outra para trás, nas indicações destacadas.

8. colocar as pontas para dentro.


30

9. Este é o módulo triangular equilátero com encaixes para montagens.

10. Ligar os triângulos usando uma folha com ¼ do tamanho da folha usada para o

módulo triangular; dobrar os quatro cantos para o centro e encaixar metade dentro de

cada triângulo.

11. Utilizando 20 módulos pode-se construir o Icosaedro, que nesse caso é apenas a

representação do sólido regular.


31

Dodecaedro estrelado

1. Marcar o centro da folha. Depois dobrar os quatro cantos para o centro e virar o

papel.

2. Marcar as bissectrizes e virar o papel.


32

3. Dobrar uma aba de cada lado para dentro e virar o papel novamente.

4. Dobrar como na base do Peixe.

5. Fazer duas dobras encaixando as pontinhas para dentro e desdobrar duas abas de

baixo.

6. Veja-se como encaixar os módulos. Para montar o dodecaedro estrelado fazer trinta

módulos. Vão-se formar pirâmides de base pentagonal.


33

7. Pronto!

Dodecaedro - criação David Brill

O dodecaedro é um dos cinco sólidos regulares conhecidos como sólidos platónicos,

por serem atribuídos a Platão. As suas faces são pentágonos regulares, com 30 arestas,

12 faces e vinte vértices. Neste caso, que é feito com papel, não pode ser chamado de

sólido por ser oco. Chama-se então representação do dodecaedro.

O icosaedro, mencionado acima, é outro dos sólidos platónicos. Em anexo mostra-se a

construção do tetraedro, octaedro e hexaedro ou cubo. Podem assim ser construídos

os cinco sólidos platónicos em origami.


34

Existem outras maneiras de construir o dodecaedro por origami, nomeadamente um

feito com uma só folha, sendo portanto, um origami complexo.

1. Usar papel A4. Depois, dobrar e desdobrar pelos pontos médios dos lados.

2. Dobrar dois cantos para o centro (A e B sobre O)


35

3. Dobrar C e D sobre O

4. Dobrar ao meio, encaixando a ponta a por baixo da ponta b.

5. Veja-se como encaixar, no detalhe.


36

6. Dobrar, fazendo com que o canto C fique sobre AB. Antes de dobrar, veja-se a

próxima fase.

7. Repetir a fase anterior no lado direito do papel.

8. Veja-se o pentágono formado. Em seguida, desdobrar as duas abas.

9. Obtém-se este módulo. Agora só é necessário dobrar mais 11 módulos iguais a

este.


37

10. Começar a encaixar os módulos conforme mostra o desenho. Encaixar 3 a 3.

Esta operação deve ser efectuada quatro vezes.

11. O desenho mostra nove módulos, encaixados três a três.


38

12. Encaixar por último o módulo que falta (que também é formado por três dos

anteriores). Caso haja dificuldade, utilizar um pouco de cola para poder

manusear melhor (mas é batota!)

13. Dodecaedro pronto.

Pentágono

1. Dobrar uma folha quadrada por uma das diagonais. Depois fazer pequenas marcas

parar dividir o lado em metades. Em seguida dobrar novamente fazendo os círculos

tocarem-se.

2. Dobrar para a direita.


39

3. E para a esquerda na indicação.

4. Fazer uma marca em ângulo recto.

5. Dobrar para trás.


40

6. Cortar na indicação. Essa é a marca feita na fase 4.

7. E aí está, o pentágono regular pronto.

A divisão do ângulo recto (90°) em três ângulos congruentes

1. Marcar a folha dobrando e desdobrando pelos pontos médios. Formam-se os

eixos x y e o ângulo a ser dividido é O.


41

2. Desenho ampliado. Fazer duas dobras partindo do vértice O de tal forma que:

O vértice A toca o eixo x. O vértice B toca o eixo y. Para dividir em 6 ângulos

congruentes, basta dobrar AO sobre Oy e OB sobre Ox.

3. Centrando o compasso nos quatro vértices do quadrado, raio = lado.

4. Veja-se a execução da fase anterior. Dobrar e repetir no lado direito da folha.

Após dividir o ângulo em 3, fica mais fácil dividi-lo em 6. Basta para isso, dobrar as

bissectrizes ou seja, sobrepor os lados dos ângulos.

Como obter duas folhas quadradas a partir do papel de formato A4.


42

1. Marcar uma recta partindo dos pontos médios laterais A e C. Depois, dobrar AB e BC

sobre a recta BD.

2. Cortar o papel na linha tracejada, conforme mostra a figura. Desdobrar,

posteriormente, os triângulos AB e BC.

3. O rectângulo que sobra após o recorte da tira possui medidas 2x1, ou seja, são dois

quadrados iguais ou "quadrados duplos", como é conhecido.


43

Agora, cortar o rectângulo ao meio para obter os quadrados de mesma medida,

padrão universal para se produzir um origami mais simples.

4. Dois quadrados prontos.

5. Pelo Teorema de Pitágoras, calcular a diagonal desse rectângulo:

Chapéu (recreativo) - em anexo mostra-se o método de construção de outras figuras, a pedido dos alunos.

1. Iniciar com um papel quadrado, dobrar em forma de triângulo, e em seguida, dobrar

pelas linhas a tracejado.


44

2. Dobrar ambas as folhas para cima, pelas linhas a tracejado do desenho n° 1.

3 e 4. Em seguida, abrir com os dedos pelo meio e, ao mesmo tempo, apertar a parte

de cima de maneira que fique sob forma adequada. Fechar de seguida.

4. Conclusão da fase 3.

5. Dobrar para cima, pelas linhas atracejado do desenho n° 4.

6. Para finalizar, com os dedos, puxar as pontas para fora, formando assim as abas do

chapéu procurado


45

7. O chapéu está pronto.

O origami e o teorema de Pitágoras

Utilizar uma folha quadrada e seguir as instruções para fazer uma demonstração

simples do Teorema de Pitágoras.

1. Numa folha quadrada, dobrar e desdobrar as duas diagonais e mediatrizes. Depois,

dobrar dois triângulos (cantos) para trás.

2. O triângulo x é um triângulo rectângulo. Após as dobras, foram construídos dois

quadrados sobre os catetos (b e c) desse triângulo. Antes de dobrar os outros dois

cantos para trás, notar que cada quadrado (amarelo) pode ser decomposto em dois

triângulos exactamente iguais ao triângulo x.

Recortar e transportar esses quatro triângulos (amarelos) para a hipotenusa (a) do

triângulo x. Produz-se um quadrado com os lados cuja medida é igual à da hipitenusa.


46

No caso do origami, evita-se o recorte e, ao dobrar os dois últimos cantos para trás,

produz-se um quadrado de lado igual à hipotenusa do triângulo x.

Portanto, podemos afirmar que: b2 + c2= a2


47

Determinação dos ângulos

O origami pode ser utilizado como auxílio no ensino da Geometria, conforme já vimos.

Ao desdobrar a base do pássaro é possível visualizar a formação de ângulos e rectas.

Tangram a partir de um quadrado

O tangram é um jogo, e os jogos exercem sempre atracção sobre as crianças (e não

só), facilitando a sua aplicação em sala de aula.

Objectivos:

- Treinar a precisão no acto de dobrar;

- Trabalhar com medidas sem usar instrumentos (aproximação);

- Calcular as áreas das figuras;

- Observar a simetria nas figuras;

- Observar a semelhança entre figuras;

- Construir figuras da imaginação, utilizando os dois conjuntos de tangrans;

- Decompor o quadrado e o teorema de Pitágoras.

Para propor uma actividade com origami em sala de aula, é necessário que o professor

domine pelos menos as técnicas básicas. Como isso não é comum, perdem-se boas

oportunidades com a ausência deste excelente recurso didáctico. Quanto custa uma

folha de papel? Dela obtemos um quadrado e, a partir dele, começa a grande aventura

geométrica.


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Como conseguir dois tangrans a partir de um quadrado:

Fase 1

1. Vincar (marcar) as duas diagonais do quadrado.

2. Vincar (marcar) a bissectriz do ângulo A.

3. Dobrar aproximadamente 2 mm acima do ponto de intersecção da bissectriz com a

diagonal (aproximadamente 2/7 da diagonal).

Fase 2

1. Dobrar os outros três cantos, sempre em ângulo recto com as diagonais, formando

um rectângulo.

2. Recortar os quatro triângulos.

Fase 3

1. Dividir o rectângulo em doze quadrados iguais. O lado menor é dividido em três

e o maior, em quatro.

2. Recortar nas linhas tracejadas, conseguindo as dez peças que, somadas aos

quatro triângulos, formarão os dois conjuntos de tangrans.


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Este é o quadrado sem os recortes, mostrando apenas os vincos. O tangram é útil nas

aulas de matemática, na ilustração de histórias ou simplesmente para ajudar o aluno a

criar as suas próprias figuras.

O tangram é um quebra-cabeças chinês de origem e inventor desconhecidos,

composto por sete peças recortadas a partir de um quadrado que, quando arranjadas,

podem produzir mais de mil peças diferentes.

Para cada composição, devem ser usadas as sete peças, que não podem ser

sobrepostas.

A proposta aqui é a construção de um tangram por origami para fazer a demonstração

do Teorema de Pitágoras, tendo um triângulo rectângulo como módulo básico,

dobrado a partir de uma folha quadrada. Dá muito jeito para o 8ºano (e não só),

quando o professor não tem à mão outros recursos.


50

O tangram por origami

Montagens por Origami - cinco módulos básicos formam os cinco triângulos

1. Após dobrar três cantos de uma folha quadrada para o centro, dobrar ao meio.

2. Abrir e achar. Depois virar o papel e repetir a operação.

3. Dobrar, colocando o triângulo branco para dentro do modelo.

4. Módulo básico pronto. Em cada lado forma-se uma bolsa que permite um encaixe.


51

5. Veja-se como unir os triângulos para formar o quadrado pequeno e o paralelogramo.

6. O tangram e os seus cortes (a sua formação dá-se pela união de partes distintas, em

que dois módulos básicos formam o paralelogramo e devem ser unidos por um papel

quadrado com diagonal igual ao lado do módulo (cateto). Dois módulos básicos

formam o quadrado e devem ser unidos por um papel quadrado com diagonal igual ao

lado do módulo (hipotenusa)).


52

6. Transportar os dois tangrans para a hipotenusa a fim de demonstrar a

expressão

b2 + c2 = a2 .

Notas

Uma folha quadrada com 15 cm de lado, dobrada como indicam as figuras a seguir,

gera um triângulo cuja hipotenusa tem 10,5 cm. Considerando a área desse quadrado,

serão necessárias duas folhas inteiras para os dois triângulos maiores.

Para o triângulo médio, a área do quadrado deve ser metade da folha inteira, que é

obtida dobrando-se os quatro cantos da inteira para o centro.


53

Para construir os dois triângulos menores, são necessárias duas folhas com 1/4 da área

da folha inteira.

Para o quadradinho, duas folhas com 1/4 da área da folha inteira, cujos módulos serão

unidos pela diagonal. Para o paralelogramo, duas folhas com 1/4 da área da folha

inteira. Os módulos serão unidos por um dos catetos.

Fonte: www.eduquenet.net

Como obter o triângulo na proporção 3.4.5 com origami.

Em geral, os lados de um triângulo não são números inteiros.

Conhecendo o triângulo rectângulo, cujos lados são números inteiros (3,4,5),

multiplicam-se as suas medidas por 2,3,4,5... sucessivamente e conseguem-se vários

triângulos, cujos lados são números inteiros, semelhantes ao primeiro.

Assim, quando as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são expressas por três

números inteiros, esses números são denominados pitagóricos.

Se a, b e c são inteiros e positivos tais que a² = b² + c², então a, b e c são números

pitagóricos.

Observe-se e tente-se construir o triângulo com lados 3, 4 e 5 por origami, conforme

mostra a receita.


54

1. Dobrar e desdobrar pelo ponto médio dos lados

2. Dobrar 1/8 de cada lado.

3. Dobrar ao meio para baixo.


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4. Dobrar e desdobrar, dividindo os ângulos rectos em dois. Depois desdobrar

tudo.

5. O triângulo sombreado tem as proporções 3,4, e 5 . Na verdade temos

quatro triângulos congruentes, o que permite, por dobras, construir um

módulo triangular que tem três encaixes laterais.

Demonstrar o teorema de Pitágoras com módulos

Esta demonstração foi feita por Henri Perigal em 1875, utilizando tesoura e papel.

Traçou à altura do triângulo original uma linha paralela à altura e perpendicular à

hipotenusa e uma linha paralela à hipotenusa passando pelo centro do quadrado.

Como todos os polígonos podem ser decompostos em triângulos, fez-se uma

adaptação com módulos triangulares em origami permitindo, além da demonstração

em si, a construção de vários módulos para a montagem de figuras.

1. O primeiro desenho mostra como Henri Perigal fez os cortes.


56

2. O segundo desenho mostra como iniciar o primeiro módulo, dobrando dois cantos

de um quadrado para o centro. Para este módulo, utilizar um quadrado com 16cm de

lado e fazer quatro módulos.

3. No terceiro desenho, dobrar os dois cantos pelas linhas tracejadas passando-as por

dentro.

4. Dobrar as duas pontas para dentro do modelo.

5. O primeiro módulo está pronto.

Para dobrar o segundo módulo, usar um papel quadrado com 14,6cm de lado e fazer

quatro módulos.

1. Dobrar o quadrado pela diagonal.


57

2. Fazer uma dobra simultânea para a esquerda e direita.

3. Dobrar o lado maior do triângulo para a direita.

4. Dobrar para a esquerda.

5. Dobrar a ponta de cima para dentro do modelo

6. O segundo módulo está pronto.


58

Agora dobra-se o módulo triângulo rectângulo, sobre o qual se fará a demonstração.

(Usar um quadrado com 15cm de lado e fazer um módulo)

1. Vincar a diagonal e dobrar na bissectriz.

2. Dobrar o triângulo do canto superior esquerdo para baixo.

3. Agora, dobrar duas vezes o lado direito e encaixar o papel por baixo do triângulo

menor.


59

4. O triângulo está pronto. Vamos chamá-lo de módulo A, e sobre os seus catetos e

hipotenusa far-se-à a demonstração com os outros módulos.

Para o último módulo usa-se um quadrado com 12,3cm de lado. Todas as medidas são

aproximadas. Com esse módulo é possível montar uma moldura para fotos,

encaixando a foto por baixo dos cantos do quadrado.

1. Dividir o quadrado, por meio de dobras, em 16 quadradinhos. Depois, dobrar os

quatro cantos ao meio, como mostra o desenho.

2. Antes de dobrar, encaixar a foto no quadrado tracejado. Dobrar bem as pontas para

que a foto fique firme.

3. Nesta fase, ao dobrar os cantos para trás, os cantos da foto encaixada também irão

dobrar. Por isso, dobrar bem. Está pronto! Pode deixar o módulo assim ou deixar dois


60

cantos a 90° do módulo para que ele fique "em pé".

A. O desenho mostra o triângulo, módulo A, e os quadrados construídos sobre os seus

catetos. O quadrado menor é a moldura. O quadrado médio é construído com a união

dos oito módulos triangulares.

B. Ao transpor os módulos à hipotenusa formamos o quadrado maior, cuja área é igual

a soma das áreas dos quadrados menor e médio.

Se ao olhar os desenhos tiver a impressão que os encaixes não são perfeitos não se

assuste. Eles estão mesmo distorcidos. Seguindo as orientações acima terá certamente

melhorado um pouco a sua coordenação motora, montando uma demonstração do

Teorema de Pitágoras com sua foto ou a de alguém de quem gosta.

Demonstração de que a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180º.


61

(Feita pelo meu querido Professor Doutor Augusto Lopes numa aula de didáctica da

matemática em 2007)

1. Recorte-se um papel de modo que se obtenha um triângulo qualquer. Desde

um dos vértices fazer uma primeira cicatriz, como se indica no desenho.

Há que lembrar que na simbologia do origami o sinal

significa dobrar na direcção indicada enquanto que o sinal

equivale a dobrar e voltar à posição original, com a única finalidade de

deixar marcado o papel.

2. A seguir levar o vértice B sobre a base do triângulo e os vértices A e C, ao pé da

altura.

3. Dobrar e desdobrar as vezes que seja necessário para se convencer da

igualdade dos ângulos que fica reflectida na seguinte figura, na qual, além


62

disso, fica provado que a soma dos três ângulos é 180º, já que formam um

ângulo raso.

Demonstração: arctg1+arctg2+arctg3=π

1. Parte-se de um quadrado e fazem-se as marcas correspondentes às diagonais e

à linha horizontal que divide o quadrado em duas partes.

2. De seguida faz-se mais um par de pregas, como se indica:

3. Devemos obter um mapa de cicatrizes, como o da figura:


63

4. Se nos centrarmos no pequeno triangulo de vértices F,H e D, devemos lembrar-

nos que , num triangulo rectângulo, a tangente de um ângulo se define como o

quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo considerado.

De acordo com isto, tem-se que:

tgα= ABBD

=1 ; tgβ=FIIH

=1 ; tgγ=CDEF

=2

5. Observemos agora os dois triângulos rectângulos [CGH] e [HIF]. Os ângulos em

H são iguais por serem opostos pelo vértice. Trata-se, portanto, de dois

triângulos semelhantes, o que permite estabelecer a seguinte proporção:


64

FIIH

=GCGH

=GDGH

6. No triângulo [CBD] vemos que H é precisamente o baricentro do mesmo, ou

seja, o ponto onde se cortam as três medianas (a terceira está representada

por uma linha tracejada). Como as medianas têm a propriedade de se

intersectarem a um terço do seu comprimento, temos que:

GDGH

=3com o que tgβ=3 e, finalmente,

arctg1+arctg2+arctg3=α+β+γ=π

Porque já se demonstrou que a soma dos três ângulos internos de um triângulo vale

180º.


65

Conclusão

ConclusãoO uso do origami mostrou ser um recurso didáctico motivador do interesse dos alunos

e, principalmente, um recurso que propicia o desenvolvimento do espírito

investigativo, colaborando para o ensino-aprendizagem da matemática.

Por meio das actividades desafiadoras com origami, observa-se que os alunos

desenvolvem autonomia no fazer e no pensar, uma vez que buscam, inicialmente,

recursos próprios para solução dos desafios e, posteriormente, agregam novos

conhecimentos e habilidades que são compartilhadas com o grupo durante a

construção das peças. Nesse fazer activo e compartilhado os alunos além de

desenvolverem autoconfiança, iniciativa e ousadia necessárias à aprendizagem,

principalmente objectiva a formação da cidadania, no exercício do trabalho em equipa,

necessário à aprendizagem do pensar colectivo.

As observações feitas pela professora em salas de aula de diversas escolas, permitiram

detectar que durante a construção das peças houve um ganho significativo nos

aspectos de organização do pensamento lógico e do desenvolvimento das ideias

geométricas, além de atitudes positivas em relação ao desejo de aprender, de maneira

autónoma e investigativa.

É também necessário usar bom senso em todas as actividades. Esta será de

implementar, mas com um número limitado de aulas.


66

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bibliografia

1. Kawano, C. A Matemática do Origami. Editora Globo S.A.

2. Imenes, L. M. Vivendo a Matemática - Geometria das dobraduras.

Editora Scipione. 1988.

3. Row, T.S. Geometric Exercises in Paper Folding. New York: Dover, 1966.

4. Providência, Natália Bebiano da, et al; EXPERIÊNCIAS MATEMÁTICAS…com

origami; Projecto δelfos; Coimbra; ano 2006;

Locais da Internet

Motor de busca sapo; página da Internet de endereço

http://origami.paginas.sapo.pt/, [Fevereiro de 2008].

Enciclopédia livre on-line Wikipédia; página da Internet de endereço

http://pt.wikipédia.org/wiki/Origami, [Fevereiro de 2008].

http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT516776-2680,00.html


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Anexos

AnexosEm “workshops” que tenho realizado, a minha principal preocupação é a construção

de sólidos geométricos, nomeadamente os sólidos Platónicos.

No entanto, os alunos pedem sempre mais e gostam imenso da construção destas e de

outras figuras. Para grande admiração minha, os alunos com necessidades educativas

especiais são os mais aficionados, e acham sempre que estiveram muito pouco tempo

com origami.

Para isso, junto uma colecção que fiz, para poder ser utilizada de forma recreativa e

pedagógica.


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Origami

origamiHá alguns símbolos que são usados para indicar os movimentos e dobragens que se pretende fazer para construir o origami pretendido.


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Copo de papel

Copo de papelSabias que é possível construir um copo de papel capaz de reter água?

Para isso basta uma folha de papel A4 .

Segue as instruções:


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Base Kabuto

Base kabuto1. Pegue num quadrado e marque uma das suas diagonais e as duas medianas

2. Dobre pela diagonal e una a ponta esquerda com o vértice inferior.

3. Una a ponta direita com o vértice inferior.

Acabou de construir a base Kabuto que lhe vai permitir construir outras peças.


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Chapéu de samurai

Chapéu de samurai1. Pegue num quadrado e construa a base kabuto

2. Puxe os vértices inferiores do triângulo para cima e vinque pelas respectivas alturas, como se vê na figura.

3. Faça as dobragens seguintes

4. Pegue no triângulo inferior e dobre-o por onde indica a figura

5. Faça uma pequena dobra, de modo a obter a figura abaixo

6. Pegue no triângulo inferior que lhe resta e dobre-o para o interior do chapéu de samurai

7. O chapéu de samurai está pronto!


72


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Peixe

Peixe1. Pegue num quadrado e construa o chapéu de samurai até ao passo 5.2. O triângulo inferior que dobrou para o interior, no chapéu de samurai, dobre-o agora

para o exterior, como mostra a figura.

3. Abra e espalme a peça para obter um quadrado.

4. Corte 2/3 de cada um dos lados do quadrado

5. Faça uma pequena dobra no canto inferior direito e puxe o canto superior direito para fora de modo a obter um peixe.


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Origami modular

Origami modular

Símbolos gráficos

http:://www.nihonsite.com/orig/simb1_index.cfm

Peça unitária para construir sólidos


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Peça unitária para construir sólidos1. Com uma folha de papel quadrada, dobrar ao meio e desdobrar

2. Voltar a folha e dobrar ao meio cada um dos rectângulos. Desdobrar de modo a obter a figura seguinte:

3. Dobrar como mostra o esquema:

4. Voltar a dobrar, conforme o esquema abaixo, obtendo-se uma peça unitária.

Cubo


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cubo

Serão necessários 6 módulos como o representado

acima, que serão encaixados uns aos outros.

Observar que todos os módulos deverão estar no mesmo sentido, ou seja, que o

trapézio esteja na mesma inclinação e tamanho em todos os 6 módulos antes de

encaixá-los.

Hexaedro triangular


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Hexaedro triangularIremos fazer peças com 3, 12 ou 30 módulos, que serão encaixados uns aos outros. Para conseguirmos que os módulos se encaixem da maneira desejada, teremos de adicionar duas dobras aos módulos já existentes. Chamaremos este módulo a partir de agora de Módulo A e as laterais deste, H.

Sempre observando se todos os módulos estão no mesmo sentido antes de começarmos a encaixa-los.

Encaixe com 3 módulos

Neste modelo utilizaremos encaixes piramidais.

Octaedro estrelado


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Octaedro estreladoPara fazer esta construção vão ser necessárias 12 peças unitárias exactamente iguais, de 3 cores diferentes.

Neste modelo utilizaremos encaixes piramidais e encaixes quadrados.


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Encaixe com 30 módulos

Neste modelo utilizaremos encaixes quadrados e encaixes pentagonais.

Fonte das imagens: KASAHARA, Kunihiko e TAKAHAMA Toshie Origami for the Connoisseur -- ed: Japan Publications Inc. Tóquio, 6ºed. 1998. p. 46, 47.

Tetraedro


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tetraedro


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Octaedro

Octaedro

Flor


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Flor

This design was folded by a barman in Cyprus!Diagrams D. Brill © BOS2000

Teorema de Kawazaki


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Teorema de Kawazaki

A theorem giving a criterion for an origami construction to be flat. Kawasaki's theorem states that a given

crease pattern can be folded to a flat origami iff all the sequences of angles , ..., surrounding each

(interior) vertex fulfil the following condition

Note that the number of angles is always even; each of them corresponds to a layer of the folded sheet.

The rule evidently applies to the case of a rectangular sheet of paper folded twice, where the crease

pattern is formed by the bisectors. But there are many more interesting examples where the above

property can be checked (see, for example, the crane origami in the above figure).

Óculos de sol


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Óculos de sol


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Dobragem em rectângulo Miura-Ori por raiz quadrada de dois

Dobragem por raiz quadrada de doisImagine-se um papel sem espessura. Pode dobrar-se mais de cem vezes (pode mesmo ser um milhão de vezes); este plano imaginário tem de ter um ponto em teoria.

Os mapas são em geral dobrados na horizontal e na vertical. Um por um. Mas será que existe um modo de dobragem de forma que ao mesmo tempo se dobre na horizontal e na vertical? Miura-ori é a resposta.

Gostaria de mostrar o modo de dobragem por um rectângulo √2.

Reference: Monthly magazine "Origami" NO.194By Nippon Origami Association


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Ângulos de 450 e 900

Ângulos de 45º e 90º


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Ângulos de 300 e 600

Ângulos de 30º e 60º

Obtenção dos mesmos ângulos, a partir do meio da folha:


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Íris


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O sapo que salta

O sapo que salta


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Outros origamis recreativos


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origami e matemática-trab seminário