Montepulciano: convegno sulle opzioni finanziarie

Intervento di Mauro Perotti sulla greca delta

22/06/2013

Il delta di un'opzione il rapporto tra la variazione del suo prezzo e quella del suo sottostante.Nel linguaggio matematico il delta di un'opzione la derivata (parziale) del prezzo di questa rispetto al sottostante.

Se indichiamo con c il prezzo di una call, con S il sottostante di riferimento e con ( il valore del delta, abbiamo:

Facciamo un esempio tratto dal mercato nostrano delle MibO. Supponiamo di aver acquistato un'opzione call 16000 scadenza corrente al prezzo di 320. Supponiamo che il delta di questa opzione sia 0,6. E supponiamo, ancora, che il sottostante valga 16290.

Chiediamoci, quale sar il valore dell'opzione se il sottostante sale a 16500? In modo approssimato, ma molto vicino alla realt, possiamo rispondere a questa domanda utilizzando la greca delta.

Vediamo come.

Di quanto variato il sottostante?

16500 - 16290 = 210

Allora il prezzo della call varier di:

210 * ( = 210 * 0,6 = 126

Pertanto il suo valore, approssimativamente, sar pari a:

320 + 126 = 446

Il segno algebrico del delta non sempre positivo. Proviamo a ripensare all'esempio precedente. La nostra controparte, quella che ci aveva venduto l'opzione, al crescere del sottostante ha osservato la sua opzione venduta che cresceva di valore maturando, cos, una perdita. Il suo delta, quindi, ha segno negativo.La tabella successiva riepiloga il segno del delta per le quattro figure di base.FiguraSegno del (

Long Call+

Short Call-

Long Put-

Short Put+

Nella gestione di una strategia, come abbiamo visto fare ad Antonio in questi mesi, un occhio sempre orientato verso l'analisi di questa greca e di come essa possa evolvere al variare del sottostante, ma anche del tempo e della volatilit.

Per meglio comprendere e governare questa abilit ci occorrono ancora due informazioni:

a. che cos' il delta di un portafoglio

b. come possiamo capire, osservando la curva dell'at-now, quale potr essere l'andamento del delta al variare del sottostante.

Si pu dimostrare che il delta di un portafoglio di opzioni e sottostante pari alla somma algebrica dei delta di tutte le singole componenti il portafoglio.

Formalmente scriviamo:

dove:

Facciamo un esempio. Supponiamo che il nostro portafoglio sia costituito da due sole opzioni in acquisto:1 c 16000/7 con (1 = 0,52

1 p 16000/7 con (2 = - 0,49

Quale sar il delta del nostro portafoglio?

E se invece le call in acquisto fossero 2? Vediamo. In questo caso avremmo:

Per capire come, guardando l'at-now, si modificher il delta del nostro portafoglio (o di una singola opzione, naturalmente), dobbiamo fare un passo indietro e ricordare il concetto di derivata.Supponiamo di avere una funzione:y = f(x)

descritta dal seguente grafico:

La derivata la misura di quanto il valore della y cresca o decresca al variare della x.

In altri termini la derivata pu essere pensata come la misura di quanto una grandezza cambi al variare di una seconda grandezza. Graficamente la pendenza della tangente al grafico della funzione in quel punto.E allora facciamo un esempio e proviamo a calcolare la pendenza della tangente alla y=f(x) nel punto di ascissa x0=1.

La pendenza di una retta corrisponde al suo coefficiente angolare. Questo si calcola facendo il rapporto tra un incremento della y ed il corrispondente incremento della x.

La derivata di una funzione, in generale, non costante ma varia punto per punto. E' quindi un concetto puntuale, e si deve calcolare punto per punto. Vediamo che succede nel punto di ascissa x0=1,6.

Riepilogando, che cosa abbiamo imparato?

che la derivata di una funzione corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa (x0) in cui stiamo calcolando la derivata medesima;

che il coefficiente angolare di una retta (m) si calcola facendo il rapporto tra un incremento della y ((y) ed il corrispondente incremento della x ((x).

Ora siamo pronti per calcolare graficamente il delta di un'opzione o di un portafoglio di opzioni.Abbiamo detto che il delta definito come la derivata del prezzo di un'opzione (per esempio una call) rispetto al sottostante:

Quindi il prezzo dell'opzione, c, corrisponde alla funzione, che generalmente indichiamo con y. Ed il sottostante S, corrisponde alla variabile indipendente, che generalmente indichiamo con x.

Allora, per calcolare il delta in un certo punto, dovremmo calcolare il coefficiente angolare del prezzo dell'opzione in quel punto. Ma chi ci da' la curva del prezzo dell'opzione. Ebbene, questa altri non che ci che chiamiamo at now.

Bene, immaginiamo di comprare una call 16000 al prezzo di 845 punti (845x2,5 = 2112,5).

Vogliamo calcolare graficamente il delta di questa opzione nel punto in cui si trova il sottostante in questo momento: 16238. Che cosa dobbiamo fare? Tracciare la tangente alla curva dell'at now (quella bleu) nel punto di ascissa S=16238. Facciamolo.

Ed ora che dobbiamo fare? Dobbiamo calcolare il coefficiente angolare di questa retta. Quindi prenderemo un incremento della x, (x e, in corrispondenza di questo, un incremento della y, (y. Poi faremo il rapporto tra questi due incrementi. Facciamolo.

L'incremento della x di immediata lettura, grazie alla graduazione della scala delle ascisse ed alla scelta degli estremi dell'incremento medesimo.

Per il corrispondente incremento della y ci aiuteremo con un veloce processo di interpolazione.

Ed ora possiamo calcolare m, ovvero il delta dell'opzione:

che corrisponde a quanto indicato da Calibro nella sezione delle greche.Ed ora proviamo a calcolare il delta di un portafoglio come quello detenuto da AZ13, nel "corso teorico pratico opzioni giugno" alla data del 18/6/13 ore 15:29 (vedi forum).

Calcoliamo il delta facendo tutto quello che ormai abbiamo imparato. Anzi, per far vedere la potenza del metodo grafico, questa volta lo facciamo anche in modo grossolano (oserei dire, quasi, ad occhio!). Otteniamo:

che corrisponde a quanto indicato da Calibro nella sezione delle greche.

Ed ora facciamo vedere come il delta non dipende solo dal sottostante ma anche dal tempo. Per far questo consideriamo un portafoglio di opzioni, come quello detenuto da AZ13, nel "corso teorico pratico opzioni giugno" alla data del 19/6/13 ore 13:41.

Innanzitutto chiediamoci: di che segno algebrico il delta? Proviamo ad immaginare la retta tangente alla curva dell'at now in corrispondenza del valore assunto dal sottostante, 16142. Essendo una retta rivolta verso il basso, dovremo attenderci un coefficiente angolare negativo, e quindi un delta anch'esso negativo.Non ripetiamo il processo grafico di calcolo, che ormai dovrebbe essere chiaro, e poniamoci un'altra domanda: che cosa accade al delta, se facciamo trascorrere il tempo di un giorno, fissato il sottostante?

Ebbene, possiamo gi immaginarlo guardando l'immagine. La curva dell'at now dovrebbe avvicinarsi a quella del pay off statico e, nel punto in cui si trova al momento il sottostante, dovrebbe crescere - in valore assoluto - la ripidit. E quindi il delta. Vediamolo.

E, infatti, si passa da -0,36 a -0,51.

In conclusione, dovremmo aver compreso che:

il delta misura la variazione del prezzo di un derivato al variare del sottostante; matematicamente una derivata parziale prima e graficamente corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente nel punto in cui lo stiamo calcolando; se cambiamo il punto di tangenza cambia il valore del delta: quindi il delta non costante e dipende dal sottostante;

se facciamo variare il tempo anche il delta cambia: quindi il delta anche una funzione del tempo;

non lo abbiamo fatto vedere ma, a questo punto, dovrebbe esser chiaro che il delta dipende anche dalla volatilit (per convincersene si pensi al fatto che se la volatilit varia anche la curva dell'at now si muove, e con essa il delta).Grazie a tutti!

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