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Roger Erb

Optische Abbildung und Fourier-Optik Die optische Abbildung ist der eigentliche Anlass, um sich mit der Ausbreitung des Lichtes auseinanderzusetzen. Allerdings spielen im Physikunterricht die dabei entstehenden grundsätzlichen Fragen oft eine gegenüber der Konstruktion von Lichtstrahlen einerseits und der Beschreibung von Interferenz- und Beugungsbildern andererseits eher untergeordnete Rolle. Der vorliegende Beitrag versucht daher aufzuzeigen, wie im Physikunterricht auf dem Niveau der gymnasialen Oberstufe anknüpfend an die Inhalte der geometrischen Optik der Mittelstufe ein tiefergehender Einblick in das Thema optische Abbildung unter Berücksichtigung der Fourier-Optik gewonnen werden kann. 1 Einleitung

Der zentrale Gegenstand der Optik ist die Beschreibung einer optischen Abbildung, denn unser Erleben im Alltag wird zu einem großen Teil von der Möglichkeit, mit dem Auge eine Vorstellung von unserer Umwelt zu erlangen, bestimmt. Diesem Sachverhalt trägt der Physikunterricht aber nur bedingt Rechnung: Es dominiert die Konstruktion von Strahlen, die zwar zur Darstellung von Ort und Größe einer optischen Abbildung durchaus nützlich ist – alleine jedoch nicht zum Verständnis des Sachverhalts beiträgt. Durch diese Schwerpunktsetzung entstehen eigens neue Schwierigkeiten, so auf fachlicher Seite beispielsweise in Form der in Lehrbüchern auffindbaren Versuche, durch das Ausblenden möglichst dünner Lichtbündel Lichtstrahlen zu verwirklichen. Es gibt durchaus Unterrichtsansätze, das Defizit durch diese Schwerpunktsetzung zu verringern [1]. Eine Menge offensichtlich lässt sich über die Bildentstehung lernen, ohne dass Strahlkonstruktionen nötig sind – tatsächlich muss eine Menge gelernt werden, damit diese überhaupt sinnvoll erscheinen. Als Beispiel sei die Frage nach der Lage des Spiegelbildes angeführt. Hier haben wir Experimente vorgeschlagen, die einen einfachen Zugang zur Erkundung der Lage bei Plan-, Hohl- und Wölbspiegel ohne Strahlkonstruktion erlauben [2]. Im Folgenden sollen einige Ideen vorgestellt werden (ohne den Anspruch zu erheben, eine fertige Unterrichtsreihe zu skizzieren), die versuchen, der Bedeutung des Themas „Optische Abbildung“ auch im Unterricht der gymnasialen Oberstufe gerecht zu werden1. Dabei zeigt sich, dass gerade Inhalte der Beugungsoptik wesentlich zum Verstehen beitragen – ein Gegenstand, dessen Tragfähigkeit innerhalb der Optik über die schulübliche Herangehensweise hinaus kürzlich auch von W. Sommer, J. Grebe-Ellis und J. Vogt herausgestellt worden ist [4]. Ein wesentliches Anliegen des nun skizzierten Gedankengangs ist, Inhalte der geometrischen Optik in der Oberstufe aufzugreifen und zu erweitern, um zu einer schlüssigen Gesamtdarstellung zu kommen – ein Anspruch, den wir schon an anderer Stelle zu verfolgen und zu begründen versucht haben. Diese Erweiterung kann im Rahmen des üblichen Vorgehens im Physikunterricht geschehen oder innerhalb der von uns bevorzugten Darstellung eines in sich schlüssigen Lichtwegkonzeptes [2]. In der üblichen Repräsentation der Inhalte der Optik dagegen erscheinen die geometrische Optik und die Interferenz- und Beugungsoptik häufig ohne weitergehenden Zusammenhang.

1 Die Grundlagen der dargestellten Vorgehensweise waren in ähnlicher Form Teil der Habilitationsschrift des Autors [3].

MNU 60 (2007) 2, 100-107.

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2 Zum Bild in der geometrischen Optik

Was also ist eine optische Abbildung? Diese nahe liegende Frage ist so einfach nicht zu beantworten2. Eine schülernahe Antwort müsste beinhalten, dass das Bild ein Objekt zweidimensional auf einem Schirm wiedergibt, so wie ein gemaltes Bild (oft) eine möglichst naturgetreue Darstellung eines Gegenstandes zu sein versucht. Eine erste Formulierung könnte also lauten:

Ein Bild ist eine flächige Hell-Dunkel- und Farbverteilung (auf einem Schirm), die einem Objekt entspricht. (1)

Wie aber kommt diese „richtige“ Wiedergabe zustande? Schüler neigen zu der Ansicht, dass ein (leuchtender) Gegenstand ein Bild von sich abstrahlt, weshalb Wiesner in diesem Zusammenhang vom „Taschenlampenparadigma“ spricht [5]. Grundlage einer im physikalischen Sinne richtigen Beschreibung ist dagegen zunächst die Kenntnis darüber, dass sich für den Seh- und auch für den Abbildungsvorgang Licht vom Objekt zum Auge bzw. zum Schirm ausbreitet und dass dies insbesondere auch für nicht selbstleuchtende Körper der Fall ist. Dieser Sachverhalt ist schon mehrfach Gegenstand empirischer Forschungsarbeiten gewesen – auch wir konnten kürzlich bestätigen, dass für Schüler diese Vorstellung nicht selbstverständlich ist [6]. Der oben ausgeführten Vorstellung, dass Gegenstände ein Bild von sich abstrahlen, kann man im Physikunterricht mit folgendem Experiment begegnen.

Freie Abbildung: Hierbei wird mit zwei verschiedenfarbigen Leuchten ungebündelt ein weißer Schirm bestrahlt. Aus der Ansicht des Schirms lässt sich keine Information über die räumliche Lage der beiden Leuchten zueinander gewinnen, da beide die gesamte Schirmfläche beleuchten. Der Schirm erscheint in der entsprechenden Mischfarbe.

Ziel bei der Konstruktion eines „Abbildungsgerätes“ also wäre es, das Licht der Objekte (hier: Leuchten) nicht gleichmäßig auf den gesamten Schirm gelangen zu lassen, sondern nur an bestimmte Stellen – manche Stellen müssen stärker, manche schwächer beleuchtet werden, um anstelle der gleichmäßigen Beleuchtung Helligkeitskontraste zu erhalten. Dann wäre es dem Beobachter möglich, zu erkennen, dass sich zwei Lichtquellen vor dem Schirm befinden. Um eine Ortsinformation zu übertragen, müsste die räumliche Lage der beiden Leuchten getreu wieder gegeben werden. Im einfachsten Fall gelingt dies mit einer Lochblende. Durch das Einbringen einer solchen Lochblende wird kein Bereich des Schirms stärker beleuchtet als zuvor. Die Helligkeitsunterschiede, die das Bild von seiner Umgebung unterscheidbar machen, entstehen dagegen dadurch, dass die Gesamtmenge des den Schirm treffenden Lichtes verringert wird − der Raum hinter der Blende wird abgedunkelt. Der Informationsgewinn resultiert also aus einem Helligkeitsverlust, und wie ein Verringern der Lochgröße zeigt, ist dieser Informationsgewinn um so größer, je stärker die Abdunklung ist. Das Bild eines senkrecht zur optischen Achse ausgedehnten Gegenstandes kann man sich hierbei aus Bild“stellen“ zusammengesetzt denken, denen Punkte des Gegenstandes entsprechen und deren Größe im Wesentlichen durch die Öffnung der Blende gegeben ist3.

Ein Bildpunkt ist die Stelle im Raum, an der mehr Licht von einem Objektpunkt ankommt, als an anderen Stellen. (2)

Wie oben benannt, ist eine wichtige Forderung, dass die Teile der Gegenstandsfläche, die Gegenstandspunkte, in der Bildfläche ortsrichtig wiedergegeben werden. Bei der Lochkamera ist dies wenig überraschend, sondern ergibt sich einfach durch die Geradlinigkeit der Lichtwege.

2 Bei den folgenden Überlegungen soll in diesem Zusammenhang immer das reelle Bild gemeint und verkürzt lediglich mit „Bild“ bezeichnet sein. 3 Unbeachtet bleiben bei dieser einfachen Formulierung die Auswirkungen der Beugung an der Lochblende.

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Ein Nachteil des Lochblendenbildes auf dem Schirm ist seine mangelnde Helligkeit. Es ist leicht einzusehen, dass man diese mit einer größeren Blendenöffnung verbessert. Doch erhöht man so zwar die Helligkeit oder genauer die Bestrahlungsstärke auf dem Schirm, nicht aber den Kontrast: Hierzu müsste die Beleuchtungsstärke an einer Stelle des Schirms, also für einen bestimmten Bildpunkt, dadurch erhöht werden, dass mehr Licht vom entsprechenden Objektpunkt (und nur von ihm) auf ihn (und nur auf ihn) fällt. Dies gelingt mit Linsen oder Hohlspiegeln. 3 Zum Bild unter dem Blickwinkel der Beugung

Im nächsten Schritt soll mit den Prinzipien der Beugungsoptik die optische Abbildung betrachtet werden. Erneut also die Frage: Wieso wirft ein leuchtender Gegenstand nicht von sich selbst ein Bild auf einen Schirm? Eine Öffnung in einer Blende, die von einer punktförmigen Lampe beleuchtet wird, erzeugt ein Schattenbild dieser Blende auf einem Schirm. Eine wie die Öffnung der Blende geformte Lichtquelle tut dies im Allgemeinen nicht, obwohl auch die Blendenöffnung selbst als Lichtquelle angesehen werden kann. Wie unterscheiden sich diese beiden Fälle? Offenbar strahlt die beleuchtete Blendenöffnung nicht in ihren Schattenbereich, während das selbstleuchtende Objekt keinen solchen Schattenbereich hat (Abb. 1). Der Grund hierfür ist in der Beugung zu suchen: Der zentrale Gedanke der Beugungsoptik lautet (in der von uns bevorzugten Sprechweise), dass es neben den Wegen, auf denen sich das Licht nach den Regeln der geometrischen Optik ausbreitet, auch andere zwischen zwei Punkten im Raum – dem Objektpunkt und dem Bildpunkt − gibt4. Genau genommen liefern unendlich viele Lichtwege einen Beitrag zum Bildpunkt; glücklicherweise reicht es aus, nur einige (aber eben nicht nur die der geometrischen Optik!) zu berücksichtigen. Im oben gewählten Beispiel rührt die Dunkelheit im weiteren Schattenbereich nun daher, dass die Vielzahl der Lichtwege von Punkten der von einer punktförmigen Quelle beleuchteten Blendenöffnung zu Punkten im Schattenbereich sich jeweils zu einem Interferenzminimum addiert. Hinter der ausgedehnten Lichtquelle dagegen gibt es keinen Bereich, in dem die Addition ein Minimum ergibt. Dies beruht auf der Regellosigkeit, mit der diese Quelle leuchtet, während die Phasenbeziehung der Lichtwege, die an der Blendenöffnung beginnen, einer bestimmten Regelmäßigkeit unterliegt. Demgegenüber muss jeder helle Bildpunkt bei der Abbildung ein Interferenzmaximum sein: Jeder Bildpunkt ist ein Interferenzmaximum. (3a) Wir wollen deshalb im Folgenden Bilder im Hinblick auf Interferenzerscheinungen untersuchen. Dabei können wir das abwechselnde Auftreten von hellen und dunklen Bereichen, die durch unterschiedliche Interferenzzustände ermöglicht werden, als kennzeichnend für ein Bild ansehen.

Ein Bild ist ein räumliches Muster optischer Information. Um eine Abbildung zu ermöglichen, müssen mehrere Lichtwege zu jedem Punkt der Bildebene führen. Helligkeit und Dunkelheit werden durch die Phasenbeziehung des Lichtes bewirkt. (3b)

Ein einfaches Experiment verdeutlicht diese Darstellungsweise: Poisson’scher Fleck: Hierzu wird eine Kugellagerkugel aus einigen Metern Abstand mit einer nahezu punktförmigen Lichtquelle beleuchtet und das Schattenbild ebenfalls in einigen Metern Abstand hinter der Kugel auf einem Schirm betrachtet.

Das Ergebnis ist in Abbildung 2 festgehalten, wobei als Lichtquelle ein Laser verwendet wurde, dessen Bündel mit einer kurzbrennweitigen Sammellinse aufgeweitet worden war. Der Lichtpunkt in der Mitte des Schattenbildes der Kugel darf als Bild der punktförmigen Lichtquelle angesehen werden: Die Kugel wirft einen Schatten im Licht der Leuchte; auf der

4 Die hiermit korrespondierende Aussage des Wellenmodells lautet, dass man sich jeden Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt neuer Elementarwellen vorstellen kann.

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optischen Achse jedoch addiert sich das Licht phasenrichtig, da vom Rand der Kugel zur Mitte alle Wege gleich lang sind. Es sollte nun zu erwarten sein, dass auch von mehreren Lichtpunkten oder von einem ausgedehnten Objekt ein Bild aufgefangen werden kann.

Poisson’sche Abbildung: Um dies im Experiment zu zeigen, dient nach einer Idee von Pohl [7] eine etwa 5 mm hohe Lochschablone in Form eines L, die von hinten mit parallelem Licht beleuchtet wird, als abzubildendes Objekt.

Eine fotografische Aufnahme des Schirmbildes hinter der Kugel ist in Abbildung 3 zu sehen. 4 Optische Abbildung einer kohärenten Quelle

Um den tiefer liegenden Zusammenhang zwischen Abbildungsvorgang und Interferenz zu verdeutlichen, sollen im Folgenden zwei Lichtpunkte als Objekt dienen. Eine einfache Punktlichtquelle erleuchtet den sie umgebenden Raum gleichmäßig (Abb. 4 a). Das ändert sich jedoch, wenn man eine zweite, gleichartige Quelle dazubringt, die (so soll zunächst vorausgesetzt werden) kohärent mit der ersten leuchtet. Realisiert wird dies etwa mit Hilfe einer Blende aus Aluminiumfolie mit zwei kleinen Öffnungen oder dem schulüblichen Doppelspalt. In einiger Entfernung hinter den beiden Quellen entsteht auf einem Schirm das typische Young’sche Doppelspalt- (oder Doppelpunkt- ) Interferenzmuster (Abb. 4 b). Für dessen Intensität I gilt bei Beleuchtung mit parallelem Licht und Schirm im Unendlichen

I ∼ cos²kx . Dies ist natürlich nicht das, was im eigentlichen Sinne unter einem Bild zu verstehen ist, sondern eher eine Art Zwischenbild (primäres Bild). Um ein reelles Bild zu erhalten, wird eine Sammellinse in den Versuchsaufbau eingebracht.

Doppelquelle: Eine Doppelspaltblende wird mit parallelem Licht beleuchtet. Das Bild auf einem Schirm wird vor und nach dem Einbringen einer Sammellinse hinter der Blende in verschiedenen Abständen betrachtet.

In diesem und den weiteren Experimenten ist es erforderlich, das Beugungsobjekt mit einem hinreichend breiten, parallelen Lichtbündel (Durchmesser ca. 5 mm) zu beleuchten. Hierzu eignet sich ein Laser mit einem Objektiv, das das Bündel parallel aufweitet. Alternativ können auch Laserpointer ohne weitere Optik verwendet werde, da deren Bündel meist hinreichend breit sind. Nach Einbringen der Linse erscheint das Young’sche Interferenzmuster in der Brennebene, und zugleich wird in der Bildebene, die sich nach den Gesetzen der geometrischen Optik ergibt, ein Bild der Blende (sekundäres Bild) sichtbar (Abb. 4 c). Zum Abbilden verwendet man eine Linse mit großer Brennweite (z. B. 0,5 m), damit das primäre Bild ausreichend groß wird. Allerdings erscheint das sekundäre Bild dann in großem Abstand: Bei einer Brennweite von f = 0,5 m ergibt sich bei einer Gegenstandsweite von g = 0,6 m eine Bildweite von b = 3 m. Es liegt nahe, dass es einen Zusammenhang zwischen dem Interferenzmuster (dem primären Bild) und dem Bild in der Bildebene gibt. Um diesen zu verstehen, untersuchen wir zunächst, ob die gesamte Bildinformation im primären Bild vorhanden ist. Dazu beobachten wir die Wirkung einer Beugungsvorlage, die dem primären Bild entspricht. Um die oben benannte Helligkeitsverteilung wiederzugeben, genügt es aber nicht, ein einfaches Strichgitter zu verwenden, sondern es ist nötig, die Gitter“striche“ mit weichen Kanten zu versehen, d.h., die Durchlässigkeit muss von den hellen zu den dunklen Bereichen kontinuierlich mit einer Cosinusfunktion entsprechend dem Amplitudenverlauf des Zwischenbildes verändert werden (Abb. 5). Beim Beleuchten dieses Gitters sollte sich dann als primäres Bild ein Muster ergeben, das dem sekundären Bild des beleuchteten Doppelspaltes entspricht (Abb. 4 d)! Das Cosinusgitter entspricht damit einem künstlichen Hologramm der Doppellichtquelle (vgl. [8]). Man kann ein solches Gitter durch Belichten eines Diafilms mit dem Doppelspaltinterferenzmuster erhalten oder mit dem Computer als Punktraster erzeugen, vergrößert ausdrucken und fotografieren. Es ist auch möglich, das Gitter direkt in

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Originalgröße auf Folie zu drucken; die Ergebnisse sind wegen der Trübung der Folien aber weniger gut. Eine Anleitung zur Programmierung findet sich im untenstehenden Kasten; eine Fotografiervorlage als pdf-Dokument und ein ausführbares Programm auf www.physik.ph-gmuend.de. Dieses Gitter kann nun im Experiment zunächst mit einem Strichgitter der gleichen Periode, bzw. der gleichen Ortsfrequenz im Experiment verglichen werden5.

Gitter: Mit dem oben beschriebenen Aufbau wird das Experiment gemäß Abbildung 4 d) bzw. e) durchgeführt.

Beim Beleuchten des Strichgitters mit dem parallelen Lichtbündel ergibt sich als Muster auf dem Schirm in der Brennweite die bekannte Reihe von Interferenzpunkten. Im einfachsten Fall wird das Gitter direkt mit dem breiten Bündel eines Laserpointers beleuchtet und das primäre Bild ohne Abbildungslinse im Unendlichen betrachtet. Die Interferenzmaxima gemeinsam sind das primäre Bild (Beugungsbild) des Gitters. Das „weiche“ Cosinusgitter erzeugt beim Beleuchten hingegen drei Punkte, von denen der mittlere stärker als die beiden äußeren ist (Abb. 6). Es ergibt sich also ein deutlicher Unterschied zum Strichgitter, aber nicht das erwartete primäre Bild aus nur zwei Punkten, entsprechend dem sekundären Bild der beiden ursprünglichen Lichtquellen. Wir vergleichen deshalb noch einmal das Interferenzbild des Doppelspaltes und das Cosinusgitter: Das sichtbare Interferenzbild entspricht einem cos²-Muster (Abb. 7 a), die Amplitudenverteilung (im Wellenmodell die Feldstärke) einer Cosinusfunktion (Abb. 7b). Um das Interferenzmuster nachzubilden, müsste man ein Gitter, das eine cosinusförmige Amplitudenverteilung erzeugt, herstellen (vereinfacht), wobei die Ortsfrequenz, die im Helligkeitsbild (cos²-Funktion) doppelt so groß wie im Amplitudenbild (cos-Funktion) ist, hier nicht beachtet werden soll. Dies kann aber nicht gelingen, da eine geschwärzte Blende nur den Lichtstrom verändern kann, und alle Hellbereiche bei Beleuchtung mit einem parallelen Lichtbündel gleichphasig leuchten. Im vorliegenden Fall wird der Lichtstrom deshalb offensichtlich mit einer 1+ cos-Funktion (F = 2 (1 + cos k0x) variiert. Das entsprechende Amplitudenmuster, das für das entstehende Beugungsbild verantwortlich ist, verhält sich somit wie 2 |cos(0,5 k0 x)| ; (Abb. 7c). Dies allerdings ähnelt wieder der 1 + cos –Funktion. Letztere nun kann man sich zusammengesetzt denken aus einem Cosinusanteil und einem Gleichlichtanteil, d.h. der zusätzlichen Beleuchtung mit einer Punktquelle, die diese Ebene gleichmäßig bestrahlt (Abb. 8). Folgerichtig setzt sich das erhaltene Beugungsbild aus einem Bild der Doppellichtquelle und einem Bild einer punktförmigen Lichtquelle (entsprechend dem Gleichlichtanteil in der Gitter- bzw. Blendenebene) in der Mitte zusammen. 5 Fourier-Transformierte

Im letzten Abschnitt wurde das Ergebnis des Beugungsexperimentes auf qualitative Weise diskutiert. Ein tiefergehender, aber schwieriger nachzuvollziehender Zusammenhang ergibt sich durch Betrachtung des mathematischen Zusammenhangs. Wir erinnern zunächst daran, dass wir das primäre Bild als Aussage über die Struktur der Blende angesehen haben. Tatsächlich entspricht die Amplitude des Beugungsmusters der Fouriertransformierten der Blendenöffnungsfunktion, weshalb dieser Bereich der Optik entsprechend benannt wird. Dieser Zusammenhang lässt sich in den gewählten Beispielen noch vergleichsweise leicht erkennen: Das weiche Cosinusmuster als Beugungsbild entsteht durch das Blendenmuster mit zwei hellen Punkten. Folgerichtig lässt sich die Cosinusfunktion durch zwei Fourier-Anteile synthetisieren (Abb. 9 a) und umgekehrt. Der Gleichlichtanteil entspricht einer zusätzlichen

5 Die Raumfrequenz oder Ortsfrequenz R eines Musters gibt die Anzahl der Perioden pro Längeneinheit an: R = 1 / λ , wobei λ die räumliche Periode ist. Bei den hier verwendeten Gittern beträgt die Ortsfrequenz rund R = 10 / cm.

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Komponente mit der Raumfrequenz null, bei der Synthese kommt entsprechend ein dritter Beitrag hinzu (Abb. 9 b). Je mehr Beiträge hinzukommen, desto schärfer strukturiert wird das Ergebnis: Abbildung 9 c) zeigt das Ergebnis der Addition von sechs Beiträgen, das dem Beugungsbild eines Sechsfachspaltes entspricht. Das harte Strichgitter schließlich erzeugt ein Interferenzbild mit unendlich vielen, scharf ausgeprägten Maxima. Detaillierte Ausführungen findet man etwa bei Hecht [9]. Hier sind auch die im vorliegenden Beitrag anschaulich begründeten und experimentell ausgeführten Abbildungen mit dem Cosinusgitter theoretisch diskutiert. 6 Beeinflussung des primären Bildes

Wir betrachten nun das sekundäre Bild des Cosinusgitters in der Bildebene der abbildenden Linse. Abbildung 10 a) zeigt das Bild des teilweise beleuchteten Gitters; der gleichförmig helle Bereich ist der oben angeführte Gleichlichtanteil der direkten Beleuchtung, die Lichtquelle leuchtet etwas über das Gitter hinweg. Blendet man nun in der Brennebene die beiden äußeren Punkte aus, indem man dort eine Spaltblende mit entsprechender Öffnung einfügt, so sollte in der Bildebene das Bild (das Raummuster) des Gitters verschwinden: Abbildung 10b) zeigt deshalb an der Stelle des Gitterbildes nur noch eine Abschwächung! Dies führt zu der von Ernst Abbe gemachten Entdeckung, nach dem das Linsensystem die ersten Beugungsmaxima miterfassen muss, Blenden im optischen Aufbau also eine gewisse Mindestgröße besitzen müssen. Deckt man dagegen in der Blendenebene den mittleren Bereich ab, so verschwindet die Hintergrundhelligkeit, wobei außerdem die Ortsfrequenz des Gitterbildes verdoppelt wird (Abb. 10 c), da die Ortsfrequenz des Intensitätsmusters

I ~ (1 + cos k0x)² halb so hoch ist wie die von

I ~ (cos k0x)² . Es zeigt sich damit, dass die in den Experimenten gewonnenen Ergebnisse gut mit den vorab formulierten Überlegungen übereinstimmen. Sie lassen sich im Prinzip auch auf inkohärente Objekte und somit auf Abbildungsprobleme allgemein übertragen. In diesem Fall haben zwei Objektpunkte kein stabiles Interferenzmuster, weil die Phasendifferenz sich schnell ändert. Die Ausdehnung der für jeweils sehr kurze Momente entstehenden Interferenzmuster bleibt aber gleich. Dies wird plausibel, wenn man gedanklich eine der beiden kohärenten Quellen eines Young’schen Interferenzmusters mit einer zusätzlichen Phasendifferenz von λ/2 versieht. Dann werden alle Hell- und Dunkelbereiche gerade ausgetauscht, die Dimension des Musters bleibt aber unverändert. Man kann also schließen, dass auch zum Abbilden inkohärenter Objekte mit einer bestimmten Qualität Blenden bzw. Linsen einen gewissen Mindestdurchmesser besitzen müssen. 7 Schlussbemerkung

Der im vorliegenden Beitrag ausgeführte Gedankengang ergänzt die Inhalte des Optikunterrichts und setzt sich somit – wie jede Ergänzung – ohne Hoffnung auf ein Anwachsen des gesamten Zeitbudgets für den Physikunterricht der berechtigten Nachfrage aus, auf Kosten welcher Inhalte eine solche vollzogen werden kann. Derartige Fragen lassen sich aber kaum allgemeingültig beantworten. Eine Einbindung in den üblichen Optikunterricht oder – wie oben angedeutet – in ein Konzept zur in sich schlüssigen Darstellung der gesamten Optik muss an den Zielen des jeweiligen Unterrichtes gemessen werden. Ist dieses Ziel ein Erarbeiten des Gegenstandes „optische Abbildung“ selbst, so ist die hier skizzierte Ergänzung zumindest hilfreich und könnte auf Kosten von Inhalten erfolgen, die weniger gut das eigentliche Anliegen der Physik repräsentieren: Ein Ordnen unserer Kenntnisse der Welt zu ermöglichen. Die vorgestellte Vorgehensweise bietet darüber

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hinaus zumindest einige einfache experimentelle Annäherungen mit zum Teil überraschenden Ergebnissen – Physik ist eben für Überraschungen gut. Literatur [1] H. Wiesner: Verbesserung des Lernerfolgs im Unterricht über Optik (I):

Schülervorstellungen und Lernschwierigkeiten. − Physik in der Schule 30 (1992), Heft 9, 286-290.

[2] R. Erb − L. Schön: Ein Blick in den Spiegel - Einblick in die Optik. − In: H. E. Fischer (Hg.). Handlungs- und kommunikationsorientierter Unterricht in der Sek.II. − Köln: Ferd. Dümmlers Verlag, 2002, 30-54.

[3] R. Erb: Das Thema „Optische Abbildung“ im Physikunterricht. − Habilitationsschrift, Universität Kassel, 1999.

[4] W. Sommer − J. Grebe-Ellis – J. Vogt: Zur Beugung − Von einfachen Freihandversuchen über die Laue-Kegel zum reziproken Gitter und zur Ewald-Kugel. – PhyDid 2/3 (2004), 67-86.

[5] H. Wiesner: Wie erklären Mittelstufenschüler nach Optikunterricht die Abbildung an Lochblenden? − In: K.H. Wiebel (Hg.). Zur Didaktik der Physik und Chemie: Probleme und Perspektiven, Vorträge auf der Tagung für Didaktik der Physik/Chemie in Hamburg, September 1991. − Alsbach: Leuchtturm, 1992, 302-304.

[6] R. Erb: Hat das Licht eine Geschwindigkeit? – Schülervorstellungen zur Lichtausbreitung. − In: R. Girwidz − M. Gläser-Zikuda − M. Laukenmann − T. Rubitzko (Hg.): Lernen im Physikunterricht − Hamburg: Kovac, 2006.

[7] R. W. Pohl: Optik und Atomphysik. − Springer: Berlin; Göttingen; Heidelberg, 1958. [8] H. Dittmann − W. Schneider: Computererzeugte Interferenzmuster als Zugang zur

Holographie. − Physik und Didaktik, 16 (1988), 207-216. [9] E. Hecht: Optik. − Bonn [usw.]: Addison-Wesley, 1989. Prof. Dr. Roger Erb, Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd, Abteilung Physik, Oberbettringer Str. 200, 73525 Schwäbisch Gmünd, roger.erb@ph-gmuend.de, ist Professor für Physik und Didaktik der Physik.

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Lichtquelle

P

a

b

Q

d

c

S

Blendenöffnung

Abb. 1. Vergleich von Lichtquelle und Blendenöffnung. Bei Q herrscht im Gegensatz zu P Dunkelheit, weil das Licht auf den Wegen c und d nicht konstruktiv interferiert.

Herstellung eines Beugungsgitters

Das Cosinusgitter (und ähnliche) kann als Punktraster mit dem Computer erzeugt und ausgedruckt werden. In ähnlicher Weise haben auch DITTMANN/SCHNEIDER [8] synthetische Hologramme erzeugt. Die Idee des Programms, das die Dichte der gedruckten Punkte mit der Amplitude der Cosinusfunktion variiert, ist hier als Ausschnitt eines Pascal-Quelltextes abgedruckt.

for lauf:= 1 to punktzahl*1000 {Es werden punktzahl*1000 Punkte erzeugt} do begin x:=Random(360); y:=Random(240);

{der Ort eines möglichen Punktes auf dem Bildschirm wird ausgewaehlt}

p1:= 50+ 50*cos(n*2*pi*(x/xschirm)); {die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser x-Koordina te ein Punkt gedruckt werden soll, wird berechnet; n: Zahl der Gitter“striche“}

p2:= Random(100); {Erzeugen einer Vergleichswahrscheinlichkeit} if p1>p2 then {Vergleich} PutPixel (x,150+y,15); end;

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Abb. 2. Fotografie des Schattens einer Kugellagerkugel mit Poisson-Fleck (Pfeil)

Abb. 3. Fotografie der mit einer Kugel abgebildeten L-Blende

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Abb. 4.

a) Eine punktförmige Lichtquelle beleuchtet den Schirm gleichmäßig. Realisiert man die punktförmige Lichtquelle durch eine Blende mit kleiner kreisförmiger (oder spaltförmiger) Öffnung, die mit einem parallelen Lichtbündel beleuchtet wird, so entspricht der (nahezu) gleichmäßig beleuchtete Bereich dem Hauptmaximum der Beugung. b) Zwei kohärente Quellen (Doppelspalt- oder Doppellochblende) bewirken auf dem Schirm ein Interferenzbild (primäres Bild P). c) Die Linse L holt dieses Interferenzbild in die Brennebene, und in der Bildweite entsteht das eigentliche Bild der beiden Quellen (sekundäres Bild S). d) Stellt man die Helligkeitsverteilung, die P entspricht, künstlich durch Beleuchtung eines entsprechenden Gitters her, sollte sich im Unendlichen bzw. mit einer Sammellinse in der Brennweite ein sekundäres Bild der ursprünglichen Quellen (zugleich primäres Bild P’ des Gitters) ergeben. Zugleich sollte in der Bildweite ein Bild des Gitters entstehen (sekundäres Bild S’ des Gitters). e) Ein normales, „hartes“ Strichgitter dagegen erzeugt in dieser Anordnung als sein primäres Bild das sekundäre Bild vieler gleichartiger Lichtquellen.

P

L S P

L G P’ S’

L G P’ S’

a)

b)

c)

d)

e)

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Abb. 5. Cosinusgitter. Im Original hat das Gitter die Größe eines Kleinbilddias.

Abb. 6. Beugungsbild des Cosinusgitters

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Abb. 8. Zusammensetzen zweier Amplitudenmuster

+

= ̂

Abb. 7 b). cos x -Funktion Abb. 7 a). cos²x -Funktion

Abb. 7 c). |cos x | -Funktion

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Abb. 9

a) Die aus [cos(x)+sin(x)] und [cos(-x)+sin(-x)] zusammengesetzte Funktion (rot) entspricht dem Amplitudenmuster des Doppelspaltbeugungsbildes, das Quadrat (blau) dem Intensitätsmuster. b) Der zusätzliche Beitrag [2cos(0⋅x)+2sin(0⋅x)] bewirkt den Gleichlichtbeitrag im Amplitudenmuster (rot) und Intensitätsmuster (blau). Ein zusätzlicher Beitrag [cos(0⋅x)+sin(0⋅x)] hätte dagegen das Beugungsbild eines Dreifachspaltes ergeben. Entsprechend wäre in Abbildung 10 c) jeder zweite Gitterstrich schwächer. c) Die Summe von sechs Beiträgen im gleichen Abstand ergibt das Beugungsbild (blau) eines Sechsfachspaltes. (Alle Abbildungen wurden mit Derive erzeugt.)

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Abb. 10 c). Durch Abdecken des inneren Maximums verändertes sekundäres Bild (unten rechts).

Abb. 10 a). Primäres (oben, schematisch) und sekundäres Bild des Cosinusgitters (oben rechts).

Abb. 10 b). Durch Abdecken der äußeren Maxima verändertes sekundäres Bild (rechts).