8/2/2019 Optimum Notch Filtering

http://slidepdf.com/reader/full/optimum-notch-filtering 1/3

Optimum Notch Filtering

Resmi N.G.

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y g x y w x y x yη ∧

= −  

2 2

( , ) :

: (2 1) (2 1)

1( , ) [ ( , ) ( , )]

(2 1)(2 1)

a b

 s a t b

To find w(x,y) which minimizes varaince of f x y

Window size a b

 y f x s y t f x ya b

σ 

∧

∧ ∧

=− =−

+ × +

= + + −+ +

∑ ∑

 

1( , ) ( , )(2 1)(2 1)

a b

 s a t b

  f x y f x s y t  a b

∧ ∧

=− =−

= + ++ + ∑ ∑

 

[ ]2

2

( , ) ( , ) ( , )1

( , ) 1(2 1)(2 1) ( , )

(2 1)(2 1)

a b

a b

 s a t b

 s a t b

 g x s y t w x s y t x s y t  

 x ya b f x s y t  

a b

η 

σ  ∧

=− =−

=− =−

+ + − + + + +

=

+ + − + + + +

∑ ∑∑ ∑

 

[ ]

[ ]

2

( , ) ( , ) ( , )1

1(2 1)(2 1) ( , ) ( , ) ( , )(2 1)(2 1)

a b

a b

 s a t b

  s a t b

 g x s y t w x s y t x s y t  

a b g x s y t w x s y t x s y t  a b

η 

η =− =−

=− =−

+ + − + + + +

=

+ + − + + − + + + + + +

∑ ∑∑ ∑

 

[ ]2

( , ) ( , ) ( , )1

(2 1)(2 1) ( , ) ( , ) ( , )

a b

 s a t b

 g x s y t w x s y t x s y t  

a b g x y w x y x y

η 

η =− =−

+ + − + + + + =

+ + − − ∑ ∑  

 Assuming that w(x, y)remains constant over theneighbourhood,

w(x + s, y + t)= w(x,y)

 Also,w(x,y)η(x,y)= w(x,y)η(x,y), intheneighbourhood.

 

[ ]2

2( , ) ( , ) ( , )1

( , )(2 1)(2 1) ( , ) ( , ) ( , )

a b

 s a t b

 g x s y t w x y x s y t   x y

a b g x y w x y x y

η 

σ η =− =−

+ + − + + ∴ =

+ + − − ∑ ∑  

8/2/2019 Optimum Notch Filtering

http://slidepdf.com/reader/full/optimum-notch-filtering 2/3

[ ]

[ ]

2

2

( , ) ( , ) ( , )

12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

(2 1)(2 1)

( , ) ( , ) ( , )

a b

 s a t b

 g x s y t w x y x s y t  

 g x s y t w x y x s y t g x y w x y x ya b

 g x y w x y x y

η 

η η 

η 

=− =−

+ + − + +

= − + + − + + − + + + −

∑ ∑

 

2 2 2

2

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )1

2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )(2 1)(2 1)

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

 g x s y t g x s y t w x y x s y t w x y x s y t  

 g x s y t g x y g x s y t w x y x y

w x y x s y t g x y w x y x s y t w x y x ya b

 g x y g x y w x y x y

η η 

η 

η η η 

η 

+ + − + + + + + + +

− + + + + +

=+ + + − + ++ +

+ −22 ( , ) ( , )

a b

  s a t b

w x y x yη 

=− =−

+

∑ ∑ 

2 2 2

2 22

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

 g x y w x y g x y x y w x y x y

 g x y g x y g x y w x y x y

w x y x y g x y w x y x y w x y x y

 g x y g x y w x y x y w x y x y

η η 

η 

η η η 

η η 

= − +

− +

+ −

+ − +

 

2 2 2

2

22

2 22

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

 g x y w x y g x y x y w x y x y

 g x y w x y g x y x y

w x y x y g x y w x y x y

 g x y w x y g x y x y w x y x y

η η 

η 

η η 

η η 

= − +

− +

+ −

+ − +

 

2 2 2

2 2 22

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

 g x y w x y g x y x y w x y x y

 g x y w x y g x y x y w x y x y g x y

η η 

η η 

= − +

− + − +

 

2( , ) ( , ),

. . . ( , ) .

( , ).

To find w x y which minimizes x y

differentiateit w r t w x y and equateto zero

Solve for w x y

σ 

 

8/2/2019 Optimum Notch Filtering

http://slidepdf.com/reader/full/optimum-notch-filtering 3/3