Optimum Hull Spacing of a Family of Multihulls

8/17/2019 Optimum Hull Spacing of a Family of Multihulls

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O P T I M U M H U L L S P A C I N G O F A F A M I L Y

O F M U L T I H U L L S

E . O . T u c k a n d L . L a z a u s k a s

A p p l i e d M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t

T h e U n i v e r s i t y o f A d e l a i d e

J u n e 1 1 , 1 9 9 8

A b s t r a c t

M u l t i h u l l c o n g u r a t i o n s a r e o p t i m i s e d f o r m i n i m u m w a v e - m a k i n g

u s i n g t h i n - s h i p t h e o r y . O n l y t h e n u m b e r o f h u l l s , a n d t h e i r p l a c e m e n t

a n d b e a m s a r e v a r i e d , t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t o f t h e v e s s e l a n d t h e

i n d i v i d u a l h u l l l e n g t h a n d s h a p e b e i n g x e d . I n p a r t i c u l a r , o p t i m u m

c o n g u r a t i o n s a r e d e t e r m i n e d f o r t w o , t h r e e a n d f o u r - h u l l e d v e s s e l s ,

w i t h a n d w i t h o u t l o n g i t u d i n a l s t a g g e r . A n e x a m p l e o f u s e o f t h i s

t h e o r y i s g i v e n , f o r a f a m i l y o f m u l t i h u l l s r e l e v a n t t o a h i g h - s p e e d

f e r r y d e s i g n . C o m p e t i n g d e s i g n s w i t h i n t h i s f a m i l y a r e a s s e s s e d o v e r

a l a r g e s p e e d r a n g e , w i t h r e s p e c t t o g e n e r a t e d w a v e a m p l i t u d e , w a v e

r e s i s t a n c e , a n d t o t a l d r a g .

K e y w o r d s : m u l t i h u l l s , c a t a m a r a n s , s h i p w a v e s , w a v e r e s i s t a n c e .

1 I n t r o d u c t i o n

T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o o p t i m i s e t h e p l a c e m e n t o f i n d i v i d u a l h u l l s i n a

m u l t i h u l l c o n g u r a t i o n , i n o r d e r t o m i n i m i s e w a v e m a k i n g . N o a t t e m p t i s

m a d e h e r e t o o p t i m i s e t h e s h a p e o f i n d i v i d u a l h u l l s . F o r a g e n e r a l m u l t i h u l l

v e s s e l , t h e s e a r e c o u p l e d t a s k s , b u t w e c o n s i d e r h e r e o n l y a s p e c i a l c a s e w h e r e

t h e y a r e u n c o u p l e d .

T h e m a i n c o n t e n t o f t h e p r e s e n t p a p e r i s a d e t a i l e d t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t

o f t h i s w a v e m i n i m i s a t i o n p r o b l e m . H o w e v e r , i n o r d e r t o m o t i v a t e t h i s t h e o r y

1



f r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , w e r s t p r o v i d e s a m p l e s o f r e s u l t s t h a t f o l l o w

f r o m i t . T h e s e r e s u l t s a r e f o r a v e s s e l w h o s e d i m e n s i o n s a r e o f r e a s o n a b l e

r e l e v a n c e t o a s p e c i c d e s i g n p u r p o s e , n a m e l y a s m a l l h i g h - s p e e d p a s s e n g e r

f e r r y . W e x b o t h t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t a n d a m e a s u r e o f t h e u s e a b l e d e c k

a r e a . T h e n w e a s s e m b l e a n a r r a y o f h u l l s i n v a r i o u s c o n g u r a t i o n s s u g g e s t e d

b y t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , a n d c o n t r a s t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e w h o l e v e s s e l

o n t h r e e c r i t e r i a , n a m e l y m a x i m u m g e n e r a t e d w a v e h e i g h t w i t h i n a c e r t a i n

p r e s c r i b e d p a t c h a f t o f t h e v e s s e l , w a v e r e s i s t a n c e , a n d t o t a l d r a g . T h i s i s

d o n e o v e r a l a r g e r a n g e o f s p e e d s , a l l o w i n g d e c i s i o n s t o b e m a d e o n t h e b e s t

m u l t i h u l l c o n g u r a t i o n a t e a c h s p e e d , o n a n y o f t h e t h r e e c r i t e r i a .

T h e m u l t i h u l l v e s s e l s c o n s i d e r e d h e r e h a v e i n d i v i d u a l h u l l s w h i c h a r e i d e n -

t i c a l e x c e p t f o r a s i m p l e s c a l i n g o f o s e t s . T h a t i s , t h e y h a v e t h e s a m e l e n g t h ,

d r a f t , a n d s h a p e , b u t c a n h a v e d i e r e n t b e a m s . I n t h a t c a s e , a c c o r d i n g t o

t h i n - s h i p t h e o r y , t h e w a v e m a k i n g p r o p e r t i e s o f t h e i n d i v i d u a l h u l l s a r e i d e n -

t i c a l a s i d e f r o m a c o n s t a n t m u l t i p l i e r . L i n e a r s u p e r p o s i t i o n o f t h e f a r - e l d

f r e e - w a v e p a t t e r n s t h e n l e a d s t o a c o m b i n e d w a v e s p e c t r u m w h i c h i s t h e

p r o d u c t o f t w o d i s t i n c t f a c t o r s , o n e r e p r e s e n t i n g t h e e e c t o f h u l l s h a p e a n d

t h e o t h e r t h e e e c t o f h u l l p l a c e m e n t , a n d w e c a n a l m o s t i g n o r e t h e f o r m e r

f a c t o r , a n d c o n c e n t r a t e o u r a t t e n t i o n o n m i n i m i s i n g t h e l a t t e r f a c t o r . T h i s

f a c t o r r e p r e s e n t s w a v e i n t e r f e r e n c e e e c t s , w h e r e o n e h u l l c a n c e l s w a v e s m a d e

b y a n o t h e r .

E a c h f a c t o r i n t h e c o m b i n e d w a v e s p e c t r u m i s a f u n c t i o n o f t h e a n g l e

o f w a v e p r o p a g a t i o n , m e a s u r e d t o p o r t o f t h e d i r e c t i o n o f t r a v e l o f t h e

v e s s e l . W h e n w e m i n i m i s e w a v e m a k i n g , w e d o s o f o r s o m e r a n g e o f v a l u e s

o f . H e n c e t h e r e i s s t i l l a s m a l l a m o u n t o f i n d i r e c t c o u p l i n g b e t w e e n h u l l

s h a p e a n d h u l l p l a c e m e n t , i n d e t e r m i n i n g t h a t r a n g e . F o r e x a m p l e , t h e r e

i s l i t t l e p o i n t i n c h o o s i n g a h u l l p l a c e m e n t t h a t c a n c e l s w a v e s n e a r t o s o m e

p a r t i c u l a r a n g l e =

0

i f w e a r e g o i n g t o u s e i n d i v i d u a l h u l l s t h a t m a k e n o

w a v e s a t t h a t a n g l e .

H o w e v e r , a n t i c i p a t i n g t h e n e e d t o a c c o m m o d a t e a v a r i e t y o f h u l l s h a p e s ,

w e s e t o u r s e l v e s h e r e t h e t a s k o f m i n i m i s i n g w a v e s b y m a x i m i s i n g h u l l - h u l l

c a n c e l l a t i o n o v e r t h e w i d e s t p o s s i b l e r a n g e o f v a l u e s . I n p a r t i c u l a r , w e

a l w a y s s e e k i f p o s s i b l e t o c a n c e l o u t p u r e t r a n s v e r s e w a v e s w i t h = 0 w h o s e

c r e s t s a r e e x a c t l y p e r p e n d i c u l a r t o t h e s h i p ' s t r a c k . T h i s i s h a r d l y a n e w

c o n c e p t i n s h i p d e s i g n ! F r o m t h e d a y s o f F r o u d e o r e a r l i e r , n a v a l a r c h i t e c t s

h a v e a l w a y s t r i e d t o o p e r a t e i n r e g i m e s w h e r e s u c h t r a n s v e r s e - w a v e c a n c e l -

l a t i o n n o t i o n a l l y b e t w e e n b o w a n d s t e r n f o r m o n o h u l l s i s m a x i m i s e d . T h i s

l e a d s t o h o l l o w s l o c a l m i n i m a i n t h e w a v e r e s i s t a n c e c u r v e , f o r e x a m p l e . I n

2



t h e s a m e s p i r i t , h e r e w e e x a c t l y c a n c e l t h e p u r e t r a n s v e r s e w a v e s , w h e r e v e r

i t i s p o s s i b l e t o d o s o b y c a r e f u l l o n g i t u d i n a l p l a c e m e n t o f h u l l s .

C a n c e l l a t i o n o f n o n - t r a n s v e r s e w a v e s i s n o t s u c h a n e a s y t a s k , h o w e v e r ,

a n d d e p e n d s e s s e n t i a l l y o n a c a r e f u l c h o i c e o f t h e l a t e r a l s e p a r a t i o n d i s t a n c e s .

A g a i n , e x a c t c a n c e l l a t i o n i s p o s s i b l e a t a n y x e d w a v e a n g l e =

0

0 , a n d

w e g i v e e x a m p l e s o f s i d e - b y - s i d e m u l t i h u l l s w h e r e t h i s i s a c h i e v e d a t u s e f u l

a n g l e s

0

. T h e r e q u i r e d l a t e r a l s e p a r a t i o n s b e c o m e l a r g e w h e n

0

i s s m a l l ,

a n d t h i s w o u l d h a p p e n i f w e w e r e t o a t t e m p t v a i n l y t o c a n c e l t r a n s v e r s e

w a v e s b y l a t e r a l s e p a r a t i o n o n l y . C o n v e r s e l y , t h e r e q u i r e d l a t e r a l s e p a r a t i o n s

b e c o m e s m a l l w h e n

0

a p p r o a c h e s 9 0

. I n p r a c t i c e ,

0

a s a m e a s u r e o f t h e

w a v e a n g l e w h e r e c a n c e l l a t i o n i s m o s t d e s i r a b l e i n c r e a s e s w i t h s p e e d . H e n c e

a b o v e a c e r t a i n s p e e d , t h e o p t i m u m l a t e r a l s e p a r a t i o n s h a v e b e c o m e s o s m a l l

t h a t l i t t l e f u r t h e r c a n b e d o n e b y h u l l p l a c e m e n t t o c a n c e l w a v e s , a n d s u c c e s s

i n w a v e r e d u c t i o n f o r p a t t e r n s d o m i n a t e d b y e x t r e m e d i v e r g i n g w a v e s , w i t h

c r e s t s n e a r l y p a r a l l e l t o t h e s h i p ' s t r a c k m u s t c o m e f r o m h u l l s h a p e d e s i g n .

T h e r e i s a s e n s e i n w h i c h m u l t i h u l l s a r e a l w a y s s u p e r i o r t o m o n o h u l l s

f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f w a v e r e d u c t i o n , a n d i n p a r t i c u l a r w a v e r e s i s t a n c e

r e d u c t i o n . A f t e r a l l , s i n c e w a v e r e s i s t a n c e v a r i e s a s b e a m s q u a r e d , t h e t o t a l

w a v e r e s i s t a n c e o f t w o s e p a r a t e h a l f - b e a m h u l l s i s h a l f o f t h a t o f o n e f u l l -

b e a m h u l l ! H e n c e t h e l a r g e - s e p a r a t i o n l i m i t f o r i d e n t i c a l s i d e - b y - s i d e h u l l s

w i l l a l w a y s p r o d u c e f o r m a l l y a l o w e r w a v e r e s i s t a n c e b y a f a c t o r e q u a l t o t h e

r e c i p r o c a l o f t h e n u m b e r o f h u l l s t h a n t h e s m a l l - s e p a r a t i o n l i m i t . W h a t w e

s e e k i s a n e v e n b e t t e r r e s u l t f o r s o m e n i t e s e p a r a t i o n . H o w e v e r , t h i s i s n o t

a l w a y s a c h i e v a b l e , a n d i n p r a c t i c e t h e o p t i m u m h u l l s p a c i n g s a r e s o m e t i m e s

i n n i t e . I n t h a t c a s e , t h e a c t u a l s p a c i n g s c a n b e c h o s e n o n g r o u n d s o t h e r

t h a n m i n i m i s a t i o n o f w a v e m a k i n g , p r o v i d i n g t h a t t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n

h u l l s i s s u c i e n t t o a c h i e v e a w a v e r e s i s t a n c e n o t e x c e s s i v e l y g r e a t e r t h a n

t h a t f o r i n n i t e s e p a r a t i o n .

2 A n e x a m p l e d e s i g n

S u p p o s e o u r t a s k i s t o d e s i g n a v e s s e l o f t o t a l d i s p l a c e m e n t 3 1 . 2 5 t o n n e s ,

u s i n g i n d i v i d u a l h u l l s o f a W i g l e y s h a p e 9 t h a t a r e e a c h o f l e n g t h 1 9 . 1

m e t r e s a n d d r a f t 1 . 2 5 m e t r e s . W e t h e n h a v e f r e e d o m o n l y t o c h o o s e t h e

n u m b e r o f h u l l s , t h e i r i n d i v i d u a l b e a m s , a n d t h e i r l o c a t i o n s .

3



2 . 1 S o m e p r e l i m i n a r i e s

B e f o r e e x a m i n i n g s o m e m u l t i h u l l a r r a n g e m e n t s i n d e t a i l , i t i s i n s t r u c t i v e t o

c o n s i d e r t h e w a v e - g e n e r a t i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f W i g l e y m o n o h u l l s , w h i c h h a v e

p a r a b o l i c s e c t i o n s a n d w a t e r l i n e s , a n d a r e c t a n g u l a r s i d e v i e w .

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

W

k N

T o t a l

D i v e r g i n g

T r a n s v e r s e

S p e e d m s

1

F i g u r e 1 : W a v e r e s i s t a n c e o f a W i g l e y m o n o h u l l .

F i g u r e 1 s h o w s t h e w a v e r e s i s t a n c e o f a 3 1 . 2 5 t W i g l e y m o n o h u l l o f l e n g t h

1 9 . 1 m a n d d r a f t 1 . 2 5 m o v e r a w i d e r a n g e o f s p e e d s . W e h a v e n o n e e d f o r

n o n - d i m e n s i o n a l i s a t i o n , s i n c e o u r c o m p u t a t i o n s a r e f o r a s p e c i c v e s s e l s i z e ,

a n d t h e r e f o r e s h o w t h e a c t u a l w a v e r e s i s t a n c e f o r c e i n k i l o N e w t o n s k N , a s a

f u n c t i o n o f s p e e d i n m e t r e s p e r s e c o n d m s

1

. F i g u r e 1 g i v e s t h e t o t a l w a v e

r e s i s t a n c e a s w e l l a s t h a t p o r t i o n w h i c h i s s e p a r a t e l y d u e t o t r a n s v e r s e a n d

d i v e r g i n g w a v e s . H e r e , t r a n s v e r s e w a v e s a r e d e n e d 7 p . 2 7 3 t o b e t h o s e

p r o p a g a t i n g b e t w e e n = 0 a n d = a r c s i n 1 =

p

3 = 3 5 3

; d i v e r g i n g w a v e s

p r o p a g a t e a t a n g l e s g r e a t e r t h a n 3 5 3

C l e a r l y , i f w e a r e d e s i g n i n g a v e s s e l f o r a s p e c i c s p e e d , i t i s i m p o r t a n t

t o e m p l o y m e t h o d s o f w a v e c a n c e l l a t i o n t h a t a r e a p p r o p r i a t e t o t h a t d e s i g n

s p e e d . T h u s f o r a h i g h - s p e e d v e s s e l , o p e r a t i n g a t s p e e d s t y p i c a l l y g r e a t e r

t h a n a b o u t 7 m s

1

f o r t h i s e x a m p l e , i t i s o f p a r a m o u n t i m p o r t a n c e t o e l i m i -

n a t e d i v e r g i n g w a v e s . O n t h e o t h e r h a n d , a v e s s e l d e s i g n e d t o s p e n d m o s t o f

4



i t s t i m e a t r e l a t i v e l y l o w s p e e d s , t y p i c a l l y l e s s t h a n 7 m s

1

, s h o u l d e m p l o y

m e a n s t o r e d u c e b o t h t r a n s v e r s e a n d d i v e r g i n g w a v e s .

A s m e n t i o n e d i n t h e I n t r o d u c t i o n , c a n c e l l a t i o n o f d i v e r g i n g w a v e s i s a d i f -

c u l t t a s k a n d d e p e n d s o n a c a r e f u l c h o i c e o f l a t e r a l h u l l s e p a r a t i o n . A t s o m e

s p e e d s , m i n i m u m w a v e m a k i n g c a n o c c u r f o r h u l l s t h a t a r e i n t h e o r y i n n i t e l y

f a r a p a r t ; a t s o m e o t h e r s p e e d s , t h e o p t i m a l c o n g u r a t i o n m a y b e o n e w h e r e

t h e i n d i v i d u a l h u l l s a r e i m p r a c t i c a l l y c l o s e t o g e t h e r . T h u s i t i s n e c e s s a r y t o

x a t l e a s t o n e m o r e p a r a m e t e r i n o r d e r t o e l i m i n a t e u n r e a s o n a b l y w i d e o r

n a r r o w c o n g u r a t i o n s .

W e c h o o s e t o x a t 1 7 1 . 9 m

2

a n o t i o n a l m e a s u r e o f t h e d e c k a r e a " o f

t h e v e s s e l , n a m e l y t h e a r e a o f t h e p o l y g o n t h a t e n c l o s e s t h e e n d p o i n t s o f a l l

h u l l s . S o , f o r e x a m p l e , a c o n v e n t i o n a l 1 9 . 1 m l o n g c a t a m a r a n w i l l h a v e t h e

c e n t r e p l a n e s o f i t s h u l l s 1 7 1 9 = 1 9 1 = 9 0 m e t r e s a p a r t ; i t i s c o n s i s t e n t w i t h

t h i s i n t e r p r e t a t i o n o f d e c k a r e a t h a t w e s a y t h a t t h i s v e s s e l h a s w i d t h " 9 . 0 m ,

i g n o r i n g t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e b e a m o f t h e i n d i v i d u a l h u l l s . W e r e j e c t t h e

p o s s i b i l i t y o f u s e o f a m o n o h u l l v e s s e l f o r t h e p r e s e n t p u r p o s e , w h e r e t h i s

d e n i t i o n o f d e c k a r e a w o u l d b e i n a p p r o p r i a t e ; i n a n y c a s e , a 1 9 . 1 m l o n g

m o n o h u l l i s n o t a c o m p e t i t i v e 3 1 . 2 5 t v e s s e l a t t h e s p e e d s o f i n t e r e s t h e r e .

I t s h o u l d b e e m p h a s i s e d t h a t t h e p r e s e n t e x a m p l e i s n o t i n t e n d e d a s a

p r a c t i c a l d e s i g n . I n p a r t i c u l a r , t h e W i g l e y h u l l i s c h o s e n p u r e l y f o r m a t h e -

m a t i c a l c o n v e n i e n c e a n d b e c a u s e i t i s a w e l l - k n o w n b e n c h m a r k h u l l f o r w a v e

r e s i s t a n c e p u r p o s e s , b u t c o n v e y s n o r e a l - w o r l d b e n e t s ; i n d e e d , i t m a y b e

p a r t i c u l a r l y b a d f o r s o m e p u r p o s e s . O u r o n l y a i m h e r e i s t o c o n t r a s t v a r i o u s

p o s s i b l e m u l t i h u l l a r r a n g e m e n t s , i n a s i z e a n d s p e e d r e g i m e t h a t i s n o t t o o

d i e r e n t f r o m w h a t m a y b e o f i n t e r e s t f o r r e a l v e s s e l d e s i g n . H o w e v e r , w i t h

a m o r e p r a c t i c a l h u l l s h a p e , a n d i n c l u s i o n o f f u r t h e r d e s i g n c o n s t r a i n t s , t h e

p r i n c i p l e s o u t l i n e d h e r e c o u l d f o r m t h e b a s i s f o r a r e a l d e s i g n .

2 . 2 S p e c i c a t i o n s o f v e s s e l s

T h e v e s s e l s c o n s i d e r e d a r e a s f o l l o w s , s k e t c h e s a n d i n d i c a t i o n s o f t h e n o -

t i o n a l d e c k a r e a s b e i n g p r o v i d e d i n a c c o m p a n y i n g F i g u r e 2 . T h e b e a m s a r e

r e l a t i v e l y e x a g g e r a t e d i n t h i s g u r e f o r g r e a t e r c l a r i t y .

C A T : A c o n v e n t i o n a l s i d e - b y - s i d e c a t a m a r a n o f o v e r a l l l e n g t h 1 9 . 1 m , t h e

t w o h u l l s e a c h h a v i n g b e a m 1 . 4 7 m w i t h c e n t r e p l a n e s 9 . 0 m a p a r t .

W E I : A n u n c o n v e n t i o n a l l a t e r a l l y - u n s y m m e t r i c a l t w o - h u l l e d v e s s e l i n t e n d e d

t o p r o v i d e t r a n s v e r s e - w a v e c a n c e l l a t i o n a t a b o u t 1 0 m s

1

v i a l o n g i t u d i n a l

5



M O N O

C A T

T R I T E T

W E I

A R R S L I

D I A

F i g u r e 2 : V e s s e l p l a n f o r m s .

6



s t a g g e r , a s w e l l a s d i v e r g i n g - w a v e c a n c e l l a t i o n t o s t a r b o a r d a t t h a t s p e e d .

T h i s v e s s e l c a l l e d a W e i n b l u m " b y S o d i n g 1 0 h a s t o h a v e a r a t h e r e x t r e m e

o v e r a l l l e n g t h o f 5 1 . 2 m i n o r d e r t o p r o v i d e t h e r e q u i s i t e s t a g g e r a n d d e c k a r e a .

T R I : A v e s s e l c o n s i s t i n g o f t h r e e i d e n t i c a l h u l l s e a c h o f b e a m 0 . 9 8 m , s i d e

b y s i d e 4 . 5 m a p a r t , s o t h a t t h e o v e r a l l l e n g t h a n d w i d t h i s t h e s a m e a s t h e

C A T .

A R R : A t h r e e - h u l l v e s s e l i n a n a r r o w f o r m a t i o n , t h e c e n t r a l h u l l b e i n g l a r g e r ,

w i t h h a l f t h e d i s p l a c e m e n t . T h e h a l f - a n g l e o f t h e a r r o w i s 1 5 1

, s e e l a t e r .

T h e r e i s l o n g i t u d i n a l s t a g g e r s u c h t h a t t r a n s v e r s e w a v e s a r e c a n c e l l e d a t

6 . 3 m s

1

, a n d t h e r e s u l t i n g o v e r a l l l e n g t h o f t h i s v e s s e l i s 3 1 . 6 m .

T E T : A v e s s e l c o n s i s t i n g o f f o u r i d e n t i c a l h u l l s e a c h o f b e a m 0 . 7 4 m , s i d e b y

s i d e 3 . 0 m a p a r t ; a g a i n t h e o v e r a l l l e n g t h a n d w i d t h i s a s f o r t h e C A T .

S L I : A f o u r - h u l l v e s s e l i n a b l u n t a r r o w c o n g u r a t i o n , a l l f o u r h u l l s b e i n g

i d e n t i c a l , t h e f o r w a r d t w o h u l l s b e i n g 2 . 8 2 m a p a r t a n d t h e a f t t w o b e i n g

8 . 6 6 m a p a r t . T h e l o n g i t u d i n a l s t a g g e r i s s u c h a s t o c a n c e l t r a n s v e r s e w a v e s

a t 5 . 8 m s

1

, r e s u l t i n g i n a l e n g t h o v e r a l l o f 2 9 . 9 m . T h i s t y p e o f v e s s e l i s

s o m e t i m e s c a l l e d a S l i c e " 8 .

D I A : A f o u r - h u l l v e s s e l i n a d i a m o n d c o n g u r a t i o n , a l l f o u r h u l l s b e i n g

i d e n t i c a l , t h e o u t e r h u l l s b e i n g 5 . 8 8 m a p a r t . T h e t w o c e n t r a l h u l l s a r e n e a r l y

n o s e - t o - t a i l , t h e o v e r a l l l e n g t h b e i n g 3 9 . 3 m . T h i s v e s s e l y i e l d s a l m o s t t o t a l

w a v e c a n c e l l a t i o n a t a b o u t 5 . 5 m s

1

2 . 3 W a v e a m p l i t u d e s

W e u s e M i c h e l l ' s t h i n - s h i p t h e o r y s e e l a t e r t o c o n s t r u c t t h e f r e e - w a v e s p e c -

t r a f o r e a c h v e s s e l , a n d t h e n c o m p u t e t h e a c t u a l f r e e - w a v e p a t t e r n s o v e r a n

a r e a a f t o f t h e v e s s e l w h e r e t h e a m p l i t u d e s m a y b e e x p e c t e d t o b e l a r g e s t

a n d o f m o s t e n v i r o n m e n t a l c o n c e r n . N a m e l y , w e s u r v e y a s e c t o r i a l p a t c h

e x t e n d i n g f r o m 4 7 . 7 m i . e . 2 . 5 t i m e s t h e h u l l l e n g t h t o 2 2 5 . 6 m f r o m t h e

s t e r n o f t h e a f t m o s t h u l l , a n d i n a n g l e f r o m t h e c e n t r e l i n e t r a c k t o j u s t b e -

y o n d t h e K e l v i n 1 9 5

a n g l e . T h e v a l u e s i n m e t r e s q u o t e d f o r t h e m a x i m u m

w a v e a m p l i t u d e a r e a v e r a g e s o f t h e l a r g e s t e l e v a t i o n a n d t h e d e e p e s t t r o u g h

s i z e o b s e r v e d i n s u c h a p a t c h , w h i c h u s u a l l y o c c u r n e a r t h e c o r n e r w h i c h i s

n e a r e s t t o t h e s h i p a n d t o t h e K e l v i n a n g l e .

O u r w a v e - p a t t e r n c o m p u t a t i o n s a r e b a s e d o n a n a l g o r i t h m g i v e n i n A p -

p e n d i x C o f 1 1 , w h i c h c a r r i e s o u t t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i n a m a n n e r

7



c o n s i s t e n t w i t h t h e m e t h o d o f s t a t i o n a r y p h a s e , b u t i s n o t l i m i t e d t o t h e

e x t r e m e f a r e l d . I t i s o n l y n e c e s s a r y t h a t w e b e f a r e n o u g h a f t o f t h e s h i p

t h a t t h e l o c a l p a r t o f t h e o w e l d a r o u n d t h e h u l l i s n e g l i g i b l e , a n d i t i s

u s u a l t o a s s u m e t h a t t h i s i s a s a t i s f a c t o r y a p p r o x i m a t i o n b e y o n d a b o u t o n e

o r t w o s h i p l e n g t h s .

F i g u r e 3 : W E I w a v e c o n t o u r p l o t f o r U = 1 0 0 m s

1

A n e x a m p l e w a v e c o n t o u r c o m p u t e d b y t h i s m e t h o d i s g i v e n i n F i g u r e

3 . T h i s F i g u r e s h o w s t h e a s y m m e t r y o f t h e w a v e p a t t e r n p r o d u c e d b y t h e

W E I v e s s e l c . f . 1 0 . T h e l o n g i t u d i n a l s t a g g e r f o r t h i s v e s s e l i s s u c h t h a t

t r a n s v e r s e w a v e s a r e c a n c e l l e d t o t a l l y a t 1 0 m s

1

, a n d F i g u r e 3 c o n r m s t h i s

f e a t u r e , b y v i r t u a l a b s e n c e o f d i s t u r b a n c e a l o n g t h e s h i p ' s t r a c k . T o s t a r b o a r d

8



o f t h e s h i p ' s t r a c k , t h e r e a r e n a r r o w t r o u g h s a n d c r e s t s l y i n g a l o n g a l m o s t

s t r a i g h t l i n e s , w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h e w a v e s a r e p r o p a g a t i n g i n o n e d o m i n a n t

d i r e c t i o n . T h e c r e s t l i n e s a r e q u i t e a c u t e t o t h e s h i p ' s t r a c k , c o r r e s p o n d i n g

t o l a r g e w a v e p r o p a g a t i o n a n g l e s , o f t h e o r d e r o f 6 5

7 5

. T h e r e f o r e , o n

t h e s t a r b o a r d s i d e , t h e r e i s a l m o s t t o t a l c a n c e l l a t i o n o f w a v e s p r o p a g a t i n g

a t a n g l e s l e s s t h a n 6 5

, w h i c h i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s

p r e s e n t e d l a t e r . O n t h e p o r t s i d e o f t h e v e s s e l , t h e c o n t o u r s s h o w g e n t l y -

c u r v i n g b r o a d c r e s t s a n d t r o u g h s c o m b i n i n g t o g i v e a c o n v e n t i o n a l p a i s l e y -

l i k e s h i p - w a v e p a t t e r n , i n w h i c h c u r v a t u r e i n t h e c r e s t s a n d t r o u g h s i n d i c a t e s

t h a t t h e w a v e s a r e p r o p a g a t i n g o v e r a w i d e r a n g e o f a n g l e s . I n t e r e s t i n g l y , f o r

t h i s s p e e d , t h e a c t u a l m a x i m u m a n d m i n i m u m w a v e a m p l i t u d e s a r e a l m o s t

t h e s a m e o n e i t h e r s i d e o f t h e v e s s e l , b e c a u s e e v e n t h o u g h t h e r e h a s b e e n

d r a m a t i c c a n c e l l a t i o n o f l o w - w a v e s o n t h e s t a r b o a r d s i d e , t h e r e i s s t i l l

s i g n i c a n t e n e r g y i n t h e h i g h l y - d i v e r g e n t w a v e s .

F i g u r e 4 s h o w s t h e m a x i m u m w a v e a m p l i t u d e i n m e t r e s w i t h i n t h e s u r -

v e y e d p a t c h , f o r e a c h o f t h e c a n d i d a t e h u l l s , a s a f u n c t i o n o f s p e e d i n m e t r e s

p e r s e c o n d . T h e r e a r e t w o c u r v e s f o r t h e l a t e r a l l y u n s y m m e t r i c W E I v e s s e l ,

s i n c e t h i s v e s s e l p r o d u c e s d i e r e n t w a v e s o n i t s s t a r b o a r d s i d e t h a n i t s p o r t

s i d e . T h e r e i s a l a c k o f s m o o t h n e s s a b o u t s o m e o f t h e s e c u r v e s , d u e m a i n l y

t o d i c u l t i e s i n e s t i m a t i o n o f t h e m a x i m u m w a v e e l e v a t i o n s f r o m c o m p u t e d

d a t a i n t h e s p e c i e d p a t c h . T h e c o m p u t a t i o n a l e o r t t o p r o d u c e t h e s e r e -

s u l t s i s q u i t e s i g n i c a n t , e v e r y p o i n t o n t h e c u r v e s o f F i g u r e 4 d e m a n d i n g

d a t a o n a g r i d a s d e n s e a s t h a t u s e d t o p r o d u c e F i g u r e 3 . I n p a r t i c u l a r ,

w h e n e v e r a s o n t h e s t a r b o a r d s i d e o f F i g u r e 3 t h e r e a r e n a r r o w c r e s t s a n d

t r o u g h s c o r r e s p o n d i n g t o e x t r e m e d i v e r g i n g w a v e s , t h i s p r e s e n t s d i c u l t i e s

i n e s t i m a t i o n o f m a x i m u m e l e v a t i o n s . N e v e r t h e l e s s , w e h a v e c o n d e n c e t h a t

t h e t r u e " w a v e a m p l i t u d e s w i l l b e s i m p l y s m o o t h e d v e r s i o n s o f t h e c u r v e s

p r e s e n t e d h e r e .

T h e s e m u l t i h u l l v e s s e l s a l l p r o d u c e r e l a t i v e l y s m a l l w a v e s , o f a m p l i t u d e

l e s s t h a n 0 . 5 5 m i n t h e p r e s e n t p a t c h a r e a a t a n y s p e e d s l i g h t l y h i g h e r f o r

t h e C A T a t v e r y h i g h s p e e d , a n d l e s s t h a n h a l f o f w h a t a n e q u i v a l e n t m o n o -

h u l l w o u l d p r o d u c e a t m o s t s p e e d s . T h e T E T , S L I a n d T R I p r o d u c e w a v e s

o f a m p l i t u d e l e s s t h a n 0 . 3 5 m f o r a l l s p e e d s u p t o 1 4 m s

1

o r h i g h e r . T h e

T E T p e r f o r m s p a r t i c u l a r l y w e l l a t m o d e r a t e l y h i g h s p e e d s , m a k i n g w a v e s o f

a m p l i t u d e l e s s t h a n 0 . 2 5 m a t s p e e d s b e t w e e n 9 a n d 1 4 m s

1

. H o w e v e r , t h e

T E T a n d T R I s t i l l m a k e 0 . 3 m w a v e s e v e n w h e n t h e s p e e d i s a s l o w a s a b o u t

6 m s

1

, w h e r e a s t h e s t a g g e r e d v e s s e l s m a k e m u c h s m a l l e r w a v e s a t s u c h l o w

s p e e d s , t y p i c a l l y 0 . 0 5 t o 0 . 1 5 m .

9



0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

W

a

v

e

a

m

p

l

i

t

u

d

e

m

C A T

T R I

T E T

S p e e d m s

1

0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

W

a

v

e

a

m

p

l

i

t

u

d

e

m

D I A

S L I

A R R

S p e e d m s

1

W E I S t a r b o a r d

W E I P o r t

F i g u r e 4 : W a v e a m p l i t u d e v e r s u s s p e e d .

1 0



T h e t w o c u r v e s f o r t h e W E I e a c h h a v e a m a x i m u m a t a s p e e d o f a b o u t

7 m s

1

, t h e s t a r b o a r d w a v e a m p l i t u d e t h e n b e i n g a r e l a t i v e l y l a r g e 0 . 4 5 m . O n

t h e o t h e r h a n d , a t 9 m s

1

, t h e w a v e a m p l i t u d e o n t h e s t a r b o a r d s i d e r e a c h e s a

m i n i m u m o f o n l y a b o u t 0 . 1 5 m , b y f a r t h e b e s t o f a l l t h e c a n d i d a t e v e s s e l s a t

t h a t s p e e d . H o w e v e r , t h i s e x t r e m e w a v e c a n c e l l a t i o n o c c u r s f o r o n l y a s m a l l

r a n g e o f s p e e d s , a n d e v e n s m a l l e x c u r s i o n s f r o m t h e o p t i m u m s p e e d l e a d t o

a r a p i d i n c r e a s e i n w a v e a m p l i t u d e o n t h e s t a r b o a r d s i d e o f t h e s h i p . O n t h e

p o r t s i d e , t h e w a v e a m p l i t u d e i s h i g h e r t h a n o n t h e s t a r b o a r d s i d e f o r s p e e d s

b e t w e e n 8 m s

1

a n d 1 0 m s

1

. F o r a l l o t h e r s p e e d s g r e a t e r t h a n a b o u t 6 m s

1

,

t h e w a v e s o n t h e p o r t s i d e a r e s m a l l e r t h a n o n t h e s t a r b o a r d s i d e , a l t h o u g h

t h e r e i s n e v e r a n e x t r e m e d e g r e e o f p o r t - s i d e c a n c e l l a t i o n .

S i m i l a r l y , t h e D I A v e s s e l m a k e s b y f a r t h e s m a l l e s t w a v e s a l m o s t n o n e i n

f a c t , w i t h a n a m p l i t u d e a s l o w a s 0 . 0 4 m a t i t s d e s i g n s p e e d o f a b o u t 5 . 5 m s

1

,

i n a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r y t o b e p r e s e n t e d l a t e r . T h i s p e r f o r m a n c e i s l e s s

s e n s i t i v e t o s p e e d t h a n f o r t h e W E I ' s s t a r b o a r d w a v e s , a n d o f c o u r s e i s n o w

a c h i e v e d o n b o t h s i d e s o f t h i s s y m m e t r i c v e s s e l .

2 . 4 W a v e r e s i s t a n c e

T h e s a m e M i c h e l l 5 p r o c e d u r e u s e d t o c a l c u l a t e w a v e h e i g h t s y i e l d s t h e

a c t u a l w a v e r e s i s t a n c e , s i m p l y b y i n t e g r a t i o n o f t h e f r e e - w a v e s p e c t r u m w i t h

r e s p e c t t o t h e a n g l e o f p r o p a g a t i o n , s e e l a t e r .

F i g u r e 5 s h o w s t h e w a v e r e s i s t a n c e o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s . F o r r e l a t i v e l y

l o w s p e e d s , f r o m a b o u t 4 . 7 5 m s

1

t o 9 . 0 m s

1

, w h e r e F i g u r e 1 s h o w s t h a t

t r a n s v e r s e w a v e p r o d u c t i o n b y i n d i v i d u a l h u l l s i s s i g n i c a n t , v e s s e l s w i t h

l o n g i t u d i n a l s t a g g e r A R R , S L I a n d D I A h a v e t h e l o w e s t w a v e r e s i s t a n c e ,

b e c a u s e t h e y u s e h u l l - h u l l i n t e r f e r e n c e t o c a n c e l t h e s e t r a n s v e r s e w a v e s . T h e

b e s t o f a l l i n t h i s s p e e d r a n g e i s c l e a r l y t h e D I A , w h i c h d i s p l a y s w e l l i n F i g u r e

5 b i t s d e s i g n s e e l a t e r f o r e x t r e m e l y l o w w a v e m a k i n g a t 5 . 5 m s

1

, b u t a l s o

p e r f o r m s r e a s o n a b l y w e l l a t o t h e r s p e e d s a n d i n p a r t i c u l a r s e e m s a g a i n t o

b e c o m e t h e b e s t v e s s e l a t t h e h i g h e s t s p e e d c o n s i d e r e d h e r e , 2 0 m s

1

T h e s i d e - b y - s i d e v a r i a n t s , C A T , T R I a n d T E T e x h i b i t r e l a t i v e l y l a r g e

w a v e r e s i s t a n c e i n t h e l o w - s p e e d r a n g e , a n d T R I a n d T E T p o s s e s s p e a k s o f

m a g n i t u d e a b o u t 9 k N a t 6 . 7 5 m s

1

. E v i d e n t l y t h e s e v e s s e l s a r e d o i n g l i t t l e

t o r e d u c e t h e t r a n s v e r s e w a v e s , a s i s c l e a r f r o m t h e f a c t t h a t t h e t r a n s v e r s e

w a v e d r a g s h o w n i n F i g u r e 1 f o r t h e m o n o h u l l a t 6 . 7 5 m s

1

i s a p p r o x i m a t e l y

8 k N .

F o r s p e e d s g r e a t e r t h a n a b o u t 1 0 m s

1

, w h e r e t r a n s v e r s e w a v e d r a g i s

1 1



0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

W

k N

C A T

T R I

T E T

S p e e d m s

1

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

W

k N

W E I

D I A

S L I

A R R

S p e e d m s

1

F i g u r e 5 : W a v e r e s i s t a n c e v e r s u s s p e e d .

1 2



l e s s i m p o r t a n t , t h e t h r e e f o u r - h u l l e d v e s s e l s h a v e t h e l o w e s t w a v e r e s i s t a n c e ,

t h e t w o t r i h u l l s a r e n e x t b e s t , a n d t h e t w o d i h u l l s h a v e t h e h i g h e s t w a v e

r e s i s t a n c e . T h e T E T v e s s e l i s r e m a r k a b l y g o o d a t h i g h s p e e d s , h a v i n g c l e a r l y

t h e l o w e s t w a v e r e s i s t a n c e l e s s t h a n 6 k N f o r s p e e d s b e t w e e n 1 0 a n d 2 0 m s

1

T h e W e i n b l u m d i h u l l v e s s e l W E I h a p p e n s t o b e t h e b e s t o f a l l a t a s p e e d

o f a p p r o x i m a t e l y 9 . 5 m s

1

. H o w e v e r , s l i g h t d e v i a t i o n s f r o m t h i s o p t i m u m

s p e e d l e a d t o l a r g e i n c r e a s e s i n w a v e d r a g , a n d t h e s p e e d r a n g e i n w h i c h

W E I i s t h e b e s t v e s s e l o f t h i s s e t i s v e r y n a r r o w . T h e r e a r e t w o m a i n p e a k s

i n t h e w a v e r e s i s t a n c e c u r v e f o r t h i s d e s i g n ; o n e o f a p p r o x i m a t e l y 1 2 k N a t

7 . 3 m s

1

a n d o n e o f a p p r o x i m a t e l y 1 3 k N a t 1 6 m s

1

. F o r t h e o t h e r s t a g g e r e d

v a r i a n t s A R R , S L I a n d D I A , t h e p e a k w a v e r e s i s t a n c e o f l e s s t h a n 8 k N

o c c u r s a t s p e e d s o f a r o u n d 1 1 t o 1 3 m s

1

G e n e r a l l y t h e r e i s a g o o d c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h e q u a l i t a t i v e f e a t u r e s

o f t h e w a v e - r e s i s t a n c e c u r v e s o f F i g u r e 5 a n d t h e w a v e - a m p l i t u d e c u r v e s o f

F i g u r e 4 . T h i s i s n o t t o o s u r p r i s i n g , s i n c e e a c h d e p e n d s o n t h e s a m e f r e e - w a v e

s p e c t r u m c u r v e a s a f u n c t i o n o f w a v e a n g l e ; w a v e r e s i s t a n c e i s t h e t o t a l a r e a

u n d e r t h i s c u r v e , w h e r e a s t h e w a v e a m p l i t u d e i s m o r e d e p e n d e n t o n p o i n t -

w i s e s p e c t r a l i n f o r m a t i o n . W e a r e i n v e s t i g a t i n g f u r t h e r f o r a w i d e v a r i e t y

o f s h i p s , i n r e s e a r c h t o b e r e p o r t e d e l s e w h e r e , t h e q u a n t i t a t i v e c o r r e l a t i o n

b e t w e e n w a v e r e s i s t a n c e a n d w a v e a m p l i t u d e .

2 . 5 T o t a l d r a g

A l t h o u g h o u r p r i m a r y a i m i s w a v e r e d u c t i o n , p r i m a r i l y o n e n v i r o n m e n t a l

g r o u n d s , t h e r e i s l i t t l e p o i n t i n e l i m i n a t i o n o f w a v e s i f t h e r e s u l t i s a v e s s e l

w h i c h i s p r o h i b i t i v e t o o p e r a t e b e c a u s e o f i n c r e a s e d v i s c o u s d r a g . T h i s w o u l d

o c c u r f o r e x a m p l e i f t h e t o t a l s u r f a c e a r e a w e r e i n c r e a s e d b y u s e o f m a n y v e r y

t h i n h u l l s . W e t h e r e f o r e a l s o s h o w f o r e a c h h u l l t h e t o t a l w a v e + v i s c o u s "

d r a g i n k i l o N e w t o n s a s a f u n c t i o n o f s p e e d i n m e t r e s s e c . T h e v i s c o u s d r a g

i s e s t i m a t e d b y t h e I T T C 1 9 5 7 l i n e , a n d n o f o r m c o r r e c t i o n i s u s e d .

F i g u r e 6 s h o w s t h e t o t a l d r a g o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s . A l s o s h o w n i n F i g -

u r e 6 a i s t h e t o t a l r e s i s t a n c e c u r v e f o r a m o n o h u l l . A l t h o u g h t h i s m o n o h u l l

i s n o t s t r i c t l y c o m p a r a b l e w i t h t h e m u l t i h u l l e d v e s s e l s i n t h e p r e s e n t s t u d y

p r i m a r i l y o n t h e g r o u n d s o f i n s u c i e n t d e c k a r e a i t i s i n a n y c a s e c l e a r l y

o u t - p e r f o r m e d b y o n e o r o t h e r o f t h e m u l t i h u l l s f o r s p e e d s b e t w e e n 6 a n d

1 9 . 5 m s

1

F o r s p e e d s g r e a t e r t h a n 1 2 m s

1

, t h e C A T a n d W E I v e s s e l s h a v e c o m -

p a r a b l e t o t a l r e s i s t a n c e , t h e C A T s l i g h t l y b e t t e r i n t h i s r a n g e , a n d b o t h

1 3



0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

T

k N

M O N O

C A T

T R I

T E T

S p e e d m s

1

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

T

k N

S L I

D I A

W E I

A R R

S p e e d m s

1

F i g u r e 6 : T o t a l d r a g v e r s u s s p e e d 3 1 . 2 5 t .

1 4



a r e s i g n i c a n t l y b e t t e r t h a n t h e o t h e r v e s s e l s . F o r s p e e d s b e t w e e n 8 . 5 a n d

1 1 . 5 m s

1

, t h e W E I h a s t h e l o w e s t t o t a l r e s i s t a n c e o f a l l t h e c a n d i d a t e s , b u t

t o g e t i n t o t h e p r o n o u n c e d d i p " a t a b o u t 9 m s

1

, t h e W E I m u s t r s t o v e r -

c o m e a h u m p i n t h e t o t a l d r a g a t a b o u t 7 . 5 m s

1

. T h e t h r e e - h u l l e d A R R i s

t h e b e s t d e s i g n f o r s p e e d s b e t w e e n 6 a n d 8 . 5 m s

1

b y v i r t u e o f i t s a b i l i t y t o

c a n c e l t r a n s v e r s e w a v e s i n t h i s s p e e d r a n g e . T h e f o u r - h u l l e d S L I a n d D I A

v e s s e l s a l s o p e r f o r m w e l l i n t h i s s p e e d r a n g e , b u t a t h i g h e r s p e e d s t h e y a r e

w i t h t h e T E T b y f a r t h e w o r s t f r o m a t o t a l d r a g v i e w p o i n t .

T h e g e n e r a l t r e n d s i n t h e t o t a l d r a g s h o w n i n F i g u r e 6 a r e n o t u n e x p e c t e d

a n d t h e l e s s o n s t o b e l e a r n e d a r e s o m e w h a t o b v i o u s ; t w o - h u l l e d v e s s e l s a r e

a t m o s t s p e e d s f r o m a t o t a l d r a g p o i n t o f v i e w b e t t e r t h a n t h r e e - h u l l e d

v e s s e l s , w h i c h i n t u r n a r e b e t t e r t h a n f o u r - h u l l e d v e s s e l s . T h i s i s b e c a u s e

v i s c o u s d r a g i s t h e d o m i n a n t c o m p o n e n t o f t h e t o t a l d r a g a t m o s t s p e e d s , a t

t h e g i v e n r e l a t i v e l y - l o w d i s p l a c e m e n t o f 3 1 . 2 5 t . U n d e r s u c h c i r c u m s t a n c e s ,

t h e r e i s a l a r g e s u r f a c e - a r e a p e n a l t y w h i c h m i l i t a t e s a g a i n s t u s e o f m a n y h u l l s .

2 . 6 L a r g e r v e s s e l s

S i n c e o n e o f t h e o b j e c t i v e s o f s h i p d e s i g n i s t o m o v e t h e l a r g e s t d i s p l a c e m e n t

a t t h e h i g h e s t s p e e d a n d w i t h t h e l e a s t t o t a l d r a g , i t i s n a t u r a l t o a s k w h a t

e e c t a n i n c r e a s e i n d i s p l a c e m e n t w o u l d h a v e i f o t h e r p a r a m e t e r s , n o t a b l y

t h e h u l l l e n g t h , w e r e k e p t c o n s t a n t . T o a d d i n f o r m a t i o n a b o u t l a r g e r v e s s e l s

t o t h e p r e s e n t e x a m p l e , w e s i m p l y d o u b l e t h e d i s p l a c e m e n t , b y d o u b l i n g t h e

b e a m o f a l l h u l l s . T h i s w i l l d o u b l e t h e w a v e - a m p l i t u d e s c a l e i n F i g u r e 4 a n d

q u a d r u p l e t h e w a v e - r e s i s t a n c e s c a l e i n F i g u r e 5 . T h u s t h e r e l a t i v e o r d e r o f

m e r i t o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s i s m a i n t a i n e d w i t h r e s p e c t t o t h e r s t t w o c r i -

t e r i a , n a m e l y m i n i m u m g e n e r a t e d w a v e h e i g h t a n d m i n i m u m w a v e r e s i s t a n c e .

H o w e v e r , s i n c e w a v e r e s i s t a n c e n o w b e c o m e s t h e d o m i n a n t c o m p o n e n t o f t h e

t o t a l d r a g f o r m o s t s p e e d s , t h e r e i s a p r o f o u n d c h a n g e i n t h e r e l a t i v e m e r i t s

o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s w i t h r e s p e c t t o t h e t h i r d c r i t e r i o n , n a m e l y t h e t o t a l

d r a g . I m p o r t a n t l y , t h e h i g h e r - m u l t i p l i c i t y v e s s e l s n o w b e c o m e c o m p e t i t i v e ,

b e c a u s e t h e i r e x t r a s u r f a c e a r e a i s r e l a t i v e l y l e s s i m p o r t a n t t h a n i t w a s f o r

t h e s m a l l e r d i s p l a c e m e n t .

F i g u r e 7 s h o w s t h e t o t a l d r a g o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s , w h e n t h e d i s p l a c e -

m e n t h a s b e e n d o u b l e d t o 6 2 . 5 t w h i l e t h e l e n g t h , d r a f t , a n d h u l l s e p a r a t i o n

d i s t a n c e s a r e a l l k e p t t h e s a m e a s f o r t h e 3 1 . 2 5 t v e s s e l s . A t l o w s p e e d s , t h e

s t a g g e r e d v a r i a n t s A R R , S L I a n d D I A n o w h a v e s i g n i c a n t l y l e s s t o t a l d r a g

t h a n a l l o t h e r s , t h e f o u r - h u l l e d D I A b e i n g b e s t o f a l l b y a s m a l l m a r g i n b e -

1 5



0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

T

k N

C A T

T R I

T E T

S p e e d m s

1

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

R

T

k N

W E I

A R R

S L I

D I A

S p e e d m s

1

F i g u r e 7 : T o t a l d r a g v e r s u s s p e e d 6 2 . 5 t .

1 6



t w e e n 4 . 8 a n d 8 . 8 m s

1

. B e t w e e n 8 . 8 a n d 1 0 . 3 m s

1

, t h e s t a g g e r e d t w o - h u l l e d

W E I h a s t h e l o w e s t t o t a l d r a g ; h o w e v e r o u t s i d e o f t h i s n a r r o w s p e e d r a n g e

i t i s u n c o m p e t i t i v e . F o r s p e e d s b e t w e e n 9 . 5 a n d 1 6 . 5 m s

1

, t h e u n s t a g g e r e d

t h r e e - h u l l e d T R I a n d f o u r - h u l l e d T E T v e s s e l s h a v e s i m i l a r t o t a l d r a g a n d a r e

b o t h s u p e r i o r t o a l l o t h e r v a r i a n t s e x c e p t W E I i n i t s n a r r o w b e s t r a n g e .

F o r t h e h i g h e s t s p e e d s c o n s i d e r e d h e r e , f r o m 1 6 . 5 t o 2 0 m s

1

, t h e T R I v e s s e l

i s n o w c l e a r l y b e s t o f a l l f r o m t h e t o t a l d r a g p o i n t o f v i e w .

A n e n t i r e l y d i e r e n t w a y t o g e n e r a t e l a r g e r v e s s e l s w o u l d b e t o i n c r e a s e

t h e h u l l l e n g t h . I n p a r t i c u l a r , w e c a n u s e F r o u d e s c a l i n g t o g e n e r a l i s e t h e

p r e s e n t r e s u l t s t o v e s s e l s o f a n y s i z e , p r o v i d i n g a l l l e n g t h s c a l e s a r e a d j u s t e d

s i m u l t a n e o u s l y a n d i d e n t i c a l l y . F o r e x a m p l e , t h e p r e s e n t 3 1 . 2 5 t v e s s e l c a n b e

d o u b l e d i n a l l d i m e n s i o n s t o p r o d u c e a 2 5 0 t v e s s e l , o p e r a t i n g a t s p e e d s

p

2 =

1 4 1 4 t i m e s t h a t a s s u m e d h e r e , w i t h t w i c e t h e w a v e a m p l i t u d e , e i g h t t i m e s t h e

w a v e r e s i s t a n c e , a n d n e g l e c t i n g s m a l l R e y n o l d s - n u m b e r s c a l e e e c t s o n t h e

s k i n f r i c t i o n c o e c i e n t e i g h t t i m e s t h e t o t a l d r a g . T h e r e l a t i v i t i e s b e t w e e n

t h e v a r i o u s c a n d i d a t e v e s s e l s a r e t h e r e f o r e e s s e n t i a l l y u n c h a n g e d b y t h i s f o r m

o f s c a l i n g .

O n t h e o t h e r h a n d , i f s u c h a n o v e r - a l l s c a l i n g w e r e t h e n f o l l o w e d b y a

s c a l i n g b a c k o f t h e i n d i v i d u a l h u l l b e a m s b y a f a c t o r o f 1 8 i n t h e a b o v e

e x a m p l e , i t w o u l d b e p o s s i b l e t o m a i n t a i n a x e d d i s p l a c e m e n t . T h i s w o u l d

d r a m a t i c a l l y c h a n g e t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f w a v e a n d v i s c o u s r e s i s t a n c e ,

a n d h e n c e t h e r e l a t i v e m e r i t o f t h e c a n d i d a t e v e s s e l s . T h e p r e s e n t a u t h o r s

4 h a v e u s e d g e n e t i c a l g o r i t h m t e c h n i q u e s t o m i n i m i s e t h e t o t a l d r a g o f

m u l t i h u l l v e s s e l s a t x e d d i s p l a c e m e n t b y v a r y i n g t h e l e n g t h i n t h i s w a y ,

w i t h t h e n o t - t o o - s u r p r i s i n g c o n c l u s i o n t h a t v e r y l o n g v e s s e l s w i t h a l m o s t n o

w a v e r e s i s t a n c e a r e p r e f e r r e d . H o w e v e r , t h e p r e s e n t s t u d y i s i n t e n d e d t o s u i t

s i t u a t i o n s w h e r e t h e l e n g t h i s c o n s t r a i n e d , s u c h t h a t w a v e r e s i s t a n c e i s o f

m a j o r i m p o r t a n c e a n d t h e r e f o r e n e e d s t o b e r e d u c e d b y c a r e f u l d e s i g n .

2 . 7 S u m m a r y o f e x a m p l e d e s i g n s

I t s e e m s t h a t e a c h v a r i a n t c o n s i d e r e d h a s , a t l e a s t f o r s o m e r a n g e o f s p e e d s ,

h y d r o d y n a m i c a d v a n t a g e s o v e r a l l o r m o s t o f t h e o t h e r c a n d i d a t e v e s s e l s ,

s o t h a t i t i s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r t h e i n h e r e n t d i s a d v a n t a g e s o f e a c h d e s i g n .

I n t h e p r e s e n t e x a m p l e , a n o b v i o u s r s t c u t f o r m o s t a p p l i c a t i o n s w o u l d b e

t o r e j e c t a s t o o u n c o n v e n t i o n a l a n d t o o e x t r e m e , t h e W E I a n d D I A v a r i a n t s ,

i n s p i t e o f t h e i r u n i q u e l o w - w a v e c h a r a c t e r i s t i c s a t s o m e s p e e d s . T h e s e v e s -

s e l s a r e i n a n y c a s e s i g n i c a n t l y l o n g e r o v e r a l l t h a n t h e o t h e r s , a n d w o u l d

1 7



p r o b a b l y s u e r i n h y d r o d y n a m i c c o m p a r i s o n w i t h o t h e r e x t r e m e l y l o n g a n d

s l e n d e r d e s i g n s n o t c o n s i d e r e d h e r e , e v e n p e r h a p s w i t h s o m e l o n g m o n o h u l l s .

F o r 3 1 . 2 5 t t o t a l d i s p l a c e m e n t , t h e i n d i v i d u a l h u l l s o f t h e f o u r - h u l l e d v e s -

s e l s a r e v e r y n a r r o w , a n d w e m a y t h e r e f o r e h a v e t o r e j e c t t h e s e v e s s e l s f r o m

f u r t h e r c o n s i d e r a t i o n ; t h e y a r e i n a n y c a s e n o t c o m p e t i t i v e o n a t o t a l d r a g

b a s i s . W e a r e t h e n l e f t w i t h C A T , T R I a n d A R R a s t h e o n l y p r a c t i c a l

c h o i c e s . T h e C A T h a s a s i g n i c a n t t o t a l d r a g a d v a n t a g e o v e r t h e T R I a n d

A R R . H o w e v e r i t i s n o t t h e b e s t c h o i c e i f l o w e s t p o s s i b l e w a v e m a k i n g i s t h e

d o m i n a n t d e s i g n c r i t e r i o n . I n t h a t c a s e , A R R i s t h e b e s t v e s s e l a t l o w s p e e d s ,

a n d T R I i s s u p e r i o r a t h i g h s p e e d s .

F o r 6 2 . 5 t v e s s e l s , t h e b e a m s o f t h e i n d i v i d u a l h u l l s o f t h e f o u r - h u l l e d v e s -

s e l s a r e m o r e r e a s o n a b l e a n d w e n o w h a v e a s e r i o u s c h o i c e b e t w e e n C A T ,

T R I , A R R , T E T , a n d S L I . T h e s e c a n d i d a t e v e s s e l s a r e m o s t n a t u r a l l y c o n -

s i d e r e d o n t h e b a s i s o f w h e t h e r w e a r e d e s i g n i n g f o r a s i n g l e s p e e d o r f o r

t w o o r m o r e d e s i g n s p e e d s . F o r a s i n g l e d e s i g n s p e e d , t h e A R R a n d S L I

d e s i g n s s e e m t o b e t h e b e s t c h o i c e f o r l o w s p e e d s , a n d t h e T R I a n d T E T

a r e b e s t a t h i g h s p e e d s . T h e t h r e e - h u l l e d d e s i g n s a r e l i k e l y t o b e c h e a p e r t o

c o n s t r u c t t h a n t h e i r f o u r - h u l l e d c o u n t e r p a r t s . H o w e v e r i f l o w w a v e - h e i g h t i s

t h e o v e r - r i d i n g c o n s i d e r a t i o n o n e n v i r o n m e n t a l g r o u n d s , t h e n t h e f o u r - h u l l e d

v e s s e l s S L I a n d T E T m i g h t b e p r e f e r r e d .

F o r a p r o b l e m w h e r e w e h a v e t w o d e s i g n s p e e d s , s a y a n e c o n o m i c a l l o w

c r u i s e " s p e e d , a n d a h i g h p u r s u i t " s p e e d , t h e C A T a n d S L I v e s s e l s m i g h t b e

g o o d c o m p r o m i s e s . T h e S L I h a s m u c h l e s s l o w - s p e e d d r a g t h a n t h e C A T , a n d

c o m p a r a b l e t o t a l d r a g a t h i g h s p e e d s , b u t a g a i n s t t h i s a r e t h e d i s a d v a n t a g e s

i n h e r e n t i n u s i n g f o u r h u l l s .

I f f o u r h u l l s a r e a c c e p t a b l e , t h e n t h e c h o i c e b e t w e e n S L I a n d T E T d e p e n d s

o n t h e s p e e d r a n g e . I f t h e l o w e s t a c h i e v a b l e w a v e i s r e q u i r e d a t l o w t o

m o d e r a t e s p e e d s , t h e S L I v e s s e l i s p r e f e r a b l e . H o w e v e r , t h e T E T i s a s h o r t e r ,

s i m p l e r d e s i g n w i t h s i g n i c a n t d r a g a n d w a v e - m i n i m i s i n g a d v a n t a g e s a t h i g h

s p e e d s . E v e n i t s p e a k w a v e a m p l i t u d e o f 0 . 3 m a t 7 m s

1

i s l e s s t h a n t h a t o f

t h e C A T a t t h e s a m e s p e e d , a n d t h i s p e a k m a y b e a b l e t o b e r e d u c e d i n s i z e

b y c a r e f u l h u l l d e s i g n .

M u c h o f t h e a r t i n n a v a l a r c h i t e c t u r e i s t h a t o f m a k i n g j u d i c i o u s d e s i g n

c o m p r o m i s e s , g i v e n d i c u l t c h o i c e s a n d c o n s t r a i n t s . T h e e x a m p l e p r o b l e m

d e m o n s t r a t e s t h a t h y d r o d y n a m i c c o n s i d e r a t i o n s a l o n e c a n n o t a l w a y s p r o v i d e

a c l e a r l y s u p e r i o r , p r a c t i c a l d e s i g n . T h e y d o , h o w e v e r , a l l o w u s t o s e e t h e

r e l a t i v e m e r i t s o f t h e v a r i o u s d e s i g n s , a n d s o m e o f t h e i r i n d i v i d u a l s t r e n g t h s

a n d w e a k n e s s e s .

1 8



3 S h i p w a v e t h e o r y

3 . 1 F r e e - w a v e s p e c t r u m

T h e s t e a d y w a v e p a t t e r n z = x ; y o f a n y s h i p , a s s e e n a t a p o i n t x ; y

s u c i e n t l y f a r f r o m t h e s h i p , i s o f t h e f o r m o f a s u m o f p l a n e w a v e s t r a v e l l i n g

a t v a r i o u s a n g l e s o f p r o p a g a t i o n r e l a t i v e t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n n e g a t i v e

x - a x i s o f t h e s h i p . T h u s 3 , 1 1 , 7 p . 2 7 7

x ; y =

Z

= 2

= 2

A e

i k x c o s + y s n

d 1

w h e r e A i s t h e a m p l i t u d e a n d k t h e w a v e n u m b e r o f t h e w a v e t r a v e l l i n g

a t a n g l e . N o t e t h a t t h e c o n t r i b u t i o n s t o t h i s i n t e g r a l f r o m p o s i t i v e a n g l e s

c o r r e s p o n d t o w a v e s b e i n g p r o p a g a t e d t o t h e l e f t o r p o r t s i d e o f t h e s h i p .

O n c e A a n d k a r e s p e c i e d , w e c a n u s e t h i s r e s u l t t o d e t e r m i n e t h e

a c t u a l w a v e p a t t e r n , a n d a l s o i t s t o t a l e n e r g y a n d h e n c e t h e w a v e r e s i s t a n c e

R =

2

U

2

Z

= 2

= 2

A

2

c o s

3

d 2

o f t h e s h i p . A t a n y g i v e n s h i p s p e e d U , t h e a m p l i t u d e f u n c t i o n A i s a

p r o p e r t y o n l y o f t h e s h i p ' s h u l l g e o m e t r y , w h e r e a s k i s f u l l y d e t e r m i n e d

f r o m t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r p l a n e w a v e s . I n i n n i t e w a t e r d e p t h , w h i c h

w e s h a l l g e n e r a l l y a s s u m e f r o m n o w o n , w e h a v e s i m p l y

k = k

0

s e c

2

3

w h e r e k

0

= g = U

2

= k 0 i s t h e w a v e n u m b e r o f p u r e t r a n s v e r s e w a v e s a t

= 0

T h e c o m p l e x a m p l i t u d e f u n c t i o n A , s o m e t i m e s a l s o c a l l e d t h e f r e e

w a v e s p e c t r u m o r K o c h i n f u n c t i o n , c a n b e c o m p u t e d b y v a r i o u s m e a n s , e . g .

M i c h e l l ' s 5 t h i n - s h i p t h e o r y , a c o m p l e t e n o n l i n e a r n e a r - e l d c o m p u t a t i o n

6 , 1 , o r b y e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t 2 . F o r e x a m p l e , f o r a m o n o h u l l

w i t h o s e t s y = Y x ; z , M i c h e l l ' s 5 t h e o r y i n d i c a t e s t h a t

A =

2 i

k

2

0

s e c

4

Z Z

Y x ; z e x p k

0

z s e c

2

+ i k

0

x s e c d x d z : 4

H o w e v e r , i n t h e r e m a i n d e r o f t h e p r e s e n t p a p e r , w e s h a l l n o t n e e d t o m a k e

a n y a s s u m p t i o n a b o u t h o w t h i s f u n c t i o n d e p e n d s o n h u l l s h a p e .

1 9



3 . 2 M u l t i h u l l s

T h e f o r m u l a 1 a p p l i e s e q u a l l y t o m u l t i h u l l s a s m o n o h u l l s , w i t h A t h e

t o t a l w a v e a m p l i t u d e f u n c t i o n f o r t h e c o m p l e t e v e s s e l . W e n o w a s s u m e t h a t

t h e w a v e e l d o f a m u l t i h u l l v e s s e l c a n b e c o n s t r u c t e d b y l i n e a r s u p e r p o s i t i o n

o f w a v e e l d s g e n e r a t e d b y a m p l i t u d e f u n c t i o n s f o r e a c h s e p a r a t e h u l l , e a c h

a c t i n g a s i f a l o n e . I f t h e r e a r e N s u c h h u l l s , a n d t h e h u l l n u m b e r e d j l o c a t e d

a t x ; y = x

j

; y

j

h a s w a v e a m p l i t u d e A

j

, t h e t o t a l f a r - e l d w a v e i s t h e n

x ; y =

N

X

j = 1

Z

= 2

= 2

A

j

e

i k x x

j

c o s + y y

j

s i n

d

=

Z

= 2

= 2

e

i k x c o s + y s n

N

X

j = 1

A

j

e

i k x

j

c o s + y

j

s n

d

T h a t , i s , t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n 1 s t i l l a p p l i e s t o t h e w h o l e v e s s e l , w i t h

A =

N

X

j = 1

A

j

e

i k x

j

c o s + y

j

s n

I n t h e p r e s e n t p a p e r , w e s u p p o s e t h a t a l l h u l l s h a v e t h e s a m e w a v e - m a k i n g

p r o p e r t y , e x c e p t f o r a c o n s t a n t r e a l p o s i t i v e m u l t i p l i e r

j

t h a t m a y d i e r f r o m

h u l l t o h u l l . I f w e a r e u s i n g t h e t h i n - s h i p a p p r o x i m a t i o n , t h i s c o r r e s p o n d s

t o h u l l s t h a t a r e i d e n t i c a l e x c e p t t h a t t h e i r b e a m s v a r y i n p r o p o r t i o n t o

j

T h u s w e s e t

A

j

=

j

A

0

f o r s o m e g i v e n a m p l i t u d e f u n c t i o n A

0

. T h e n t h e c o m b i n e d w a v e a m p l i t u d e

i s

A = A

0

F

w h e r e

F =

N

X

j = 1

j

e

i k x

j

c o s + y

j

s n

T h u s F m e a s u r e s t h e i n t e r f e r e n c e b e t w e e n t h e h u l l s , a n d i s i n d e p e n -

d e n t o f t h e a c t u a l w a v e - m a k i n g p r o p e r t y o f i n d i v i d u a l h u l l s , a s m e a s u r e d b y

A

0

. W e c a n n o w s e t a b o u t m i n i m i s i n g c o m p l e x F , o r m o r e u s e f u l l y i t s

r e a l m a g n i t u d e s q u a r e d

G = F

2

2 0



I n d o i n g t h i s , w e s h a l l n e e d t o n o r m a l i s e t h e c o e c i e n t s

j

i n s o m e w a y , a n d

c h o o s e t o d o s o b y s e t t i n g t h e i r s u m t o u n i t y , i . e .

N

X

j = 1

j

= 1

H e n c e e a c h

j

r e p r e s e n t s t h e f r a c t i o n o f t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t o f t h e c o m -

p l e t e v e s s e l t h a t i s c o n t r i b u t e d b y h u l l j

3 . 3 I n d e p e n d e n t h u l l s

B e f o r e a t t e m p t i n g t o c h o o s e s p a c i n g s b e t w e e n h u l l s t h a t m i n i m i s e w a v e m a k -

i n g b y u s e o f d e s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e b e t w e e n t h e w a v e p a t t e r n s o f i n d i v i d u a l

h u l l s , i t i s i m p o r t a n t t o c l a r i f y t h e s i t u a t i o n w h e n t h e r e i s n o s u c h i n t e r f e r -

e n c e . T h i s c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e l i m i t o f l a r g e s p a c i n g s f o r a m u l t i h u l l

v e s s e l . H o w e v e r , i t c a n a l s o b e t h o u g h t o f m o r e d i r e c t l y i n t e r m s o f a c h o i c e

b e t w e e n u s e o f o n e l a r g e m o n o h u l l a n d s e v e r a l s m a l l e r m o n o h u l l s t o s e r v i c e

a r o u t e .

F o r e x a m p l e , i f w e s p l i t t h e b e a m o f a m o n o h u l l i n t o t w o , a n d a s s u m i n g

t h a t s t a b i l i t y a n d o t h e r p r a c t i c a l c o n s i d e r a t i o n s m a k e t h e t w o s e p a r a t e t h i n -

n e r m o n o h u l l s f e a s i b l e a s s h i p s r u n t w o s u c h m o n o h u l l s o n a p a r t i c u l a r r o u t e

i n s t e a d o f o n e , e a c h t h i n h u l l w i l l m a k e h a l f o f t h e w a v e s o f t h e o r i g i n a l t h i c k

h u l l , a n d h a v e a q u a r t e r o f t h e w a v e r e s i s t a n c e . T h e n e t c o s t i f m e a s u r e d

b y w a v e r e s i s t a n c e a l o n e i s t h e r e f o r e h a l v e d , a s i s t h e e n v i r o n m e n t a l r i s k

f r o m w a v e m a k i n g , s o t h i s i s a p r e f e r a b l e " s o l u t i o n o n t h a t b a s i s . I f s p l i t t i n g

i n h a l f i s g o o d , s p l i t t i n g i n t h r e e i s e v e n b e t t e r , e t c . T h a t i s , i n p r i n c i p l e

o n e c a n e n t i r e l y e l i m i n a t e t h e c o n s e q u e n c e s o f w a v e m a k i n g b y u s i n g m a n y

i n d e p e n d e n t w a f e r - t h i n h u l l s i n s t e a d o f o n e t h i c k h u l l .

T h e a b o v e h i g h l y - i d e a l i s e d s c e n a r i o h a s b e e n d e s c r i b e d i n s p i t e o f i t s o b v i -

o u s p r a c t i c a l a w s , b e c a u s e i t i n u e n c e s t h e o p t i m a l h u l l - p l a c e m e n t p r o b l e m

f o r r e a l i s t i c m u l t i h u l l v e s s e l s . I f t h e r e i s a t h e o r e t i c a l l y - b e t t e r a r r a n g e m e n t

w i t h n o h u l l - h u l l i n t e r a c t i o n a t a l l , a n y o p t i m i s a t i o n a t t e m p t e d f o r a m u l t i h u l l

v e s s e l w i l l i n e v i t a b l y g r a v i t a t e t o w a r d i n n i t e h u l l s e p a r a t i o n . I n d e e d , a n y

n o n - t r i v i a l o p t i m u m N - h u l l v e s s e l w h e r e d e s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e h a s b e e n

e x p l o i t e d m u s t h a v e a t o t a l w a v e r e s i s t a n c e w h i c h i s l e s s t h a n a f r a c t i o n

1 = N o f t h e c o r r e s p o n d i n g m o n o h u l l r e s i s t a n c e ; o t h e r w i s e i t s i n d e p e n d e n t -

h u l l c o m p e t i t o r " w o u l d h a v e b e e n p r e f e r r e d . T h i s i s n o t a l w a y s e a s y t o

a c h i e v e .

2 1



E v e n w h e n t h e r e a r e n i t e s e p a r a t i o n d i s t a n c e s t h a t m i n i m i s e w a v e g e n -

e r a t i o n , t h i s m i n i m u m i s o f t e n v e r y s h a l l o w , a n d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e

o p t i m u m N - h u l l v e s s e l i s h a r d l y b e t t e r t h a n t h a t o f N i n d e p e n d e n t h u l l s .

I n t h a t c a s e , a m o r e r e a l i s t i c q u e s t i o n t o a s k i s , w h a t i s t h e m i n i m u m s e p a -

r a t i o n d i s t a n c e a t w h i c h a p e r f o r m a n c e c l o s e t o s a y w i t h a w a v e r e s i s t a n c e

n o t m o r e t h a n 1 0 h i g h e r t h a n t h e i n d e p e n d e n t - h u l l l i m i t c a n b e a c h i e v e d ?

T h i s i s e s s e n t i a l l y a c o u p l e d " o p t i m i s a t i o n m a t t e r , a r i s i n g o n l y w h e n w e

c o m b i n e t h e h u l l - h u l l i n t e r f e r e n c e f a c t o r G w i t h t h e s p e c t r u m A

0

2

f o r

a p a r t i c u l a r h u l l s h a p e . F o r t h e p r e s e n t s t u d y , w e i g n o r e s u c h c o u p l i n g , a n d

s e e k s i m p l y t o m i n i m i s e G

4 A n a l y s i s o f o p t i m a l s p a c i n g

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e t a s k o f m i n i m i s i n g G f o r i n c r e a s i n g v a l u e s o f

N . C l e a r l y t h e r e i s n o t h i n g f u r t h e r t o b e s a i d a b o u t t h e c a s e N = 1 , w i t h

G =

2

1

= 1 . M i n i m i s a t i o n o f w a v e m a k i n g f o r m o n o h u l l s i s n a t u r a l l y ! a

m a t t e r o f c h o o s i n g t h e w a v e a m p l i t u d e A

0

o f t h e i n d i v i d u a l h u l l , a n d w e

a r e n o t c o n s i d e r i n g t h a t c h o i c e h e r e .

W e c o n s i d e r e a c h v a l u e o f N i n t u r n . A r e l a t i v e l y e x h a u s t i v e t r e a t m e n t i s

a t t e m p t e d i n o r d e r t o a v o i d m i s s i n g a n y p r o m i s i n g c o n g u r a t i o n s , b u t s o m e

m a t h e m a t i c a l d e t a i l s a r e d i v e r t e d t o A p p e n d i c e s .

4 . 1 D i - h u l l s

F o r a t w o - h u l l e d v e s s e l o r c a t a m a r a n w i t h N = 2 w e h a v e

G =

2

1

+

2

2

+ 2

1

2

c o s k s c o s + w s i n

H e r e s = x

1

x

2

i s t h e l o n g i t u d i n a l s e p a r a t i o n o r s t a g g e r , a n d w = y

1

y

2

i s t h e l a t e r a l s e p a r a t i o n o r w i d t h . C l e a r l y G l i e s b e t w e e n a m i n i m u m o f

1

2

2

= 1 4

1

2

a n d a m a x i m u m o f

1

+

2

2

= 1 , i r r e s p e c t i v e o f

U n d e r t h o s e c i r c u m s t a n c e s , t h e b e s t c h o i c e m u s t b e

1

=

2

= 1 = 2 , a l l o w i n g

G = c o s

2

1

2

k s c o s + w s i n

t o v a n i s h a t i t s m i n i m u m . T h a t i s , t h e b e s t w a v e - c a n c e l l i n g d i - h u l l a l w a y s

h a s t w o i d e n t i c a l h u l l s .

2 2



T h i s i s t r u e w h e t h e r t h e d i - h u l l i s c o n v e n t i o n a l l y s y m m e t r i c , i . e . h a s s i d e -

b y - s i d e i d e n t i c a l h u l l s w i t h s = 0 , o r i s u n s y m m e t r i c , w i t h n o n z e r o s t a g g e r

s . F i r s t l e t u s c o n s i d e r c o n v e n t i o n a l c a t a m a r a n s w i t h s = 0 . T h e o n l y

p a r a m e t e r n o w a v a i l a b l e f o r m i n i m i s a t i o n i s t h e w i d t h w . H o w e v e r , a t = 0

w e h a v e G 0 = 1 i r r e s p e c t i v e o f w . T h a t i s , t h e r e i s n o t h i n g w e c a n d o t o

r e d u c e p u r e t r a n s v e r s e w a v e s b y v a r y i n g t h e w i d t h o f s y m m e t r i c d i - h u l l s , a

p h y s i c a l l y o b v i o u s r e s u l t .

O t h e r w i s e , o u r a i m m u s t b e t o m i n i m i s e G a t s o m e n o n - z e r o a n g l e s o f

i n t e r e s t . C l e a r l y w e c a n e n t i r e l y e l i m i n a t e w a v e s a t a n y p a r t i c u l a r a n g l e

=

0

b y s e t t i n g

k

0

w s i n

0

= ; 3 ; 5 ; : : :

I f w e s e l e c t a p a r t i c u l a r a n g l e

0

a s t h e l o w e s t a t w h i c h t h e r e w i l l b e n o w a v e s ,

t h e n w e m u s t c h o o s e t h e w i d t h a s

w =

k

0

s i n

0

T h e n G w i l l s i m p l y o s c i l l a t e i n n i t e l y m a n y t i m e s b e t w e e n 0 a n d 1 , t a k i n g

t h e v a l u e 0 w h e n s a t i s e s

k s i n

k

0

s i n

0

= 1 ; 3 ; 5 ; : : :

a n d t h e v a l u e 1 w h e n s a t i s e s

k s i n

k

0

s i n

0

= 2 ; 4 ; 6 ; : : :

F o r e x a m p l e , t o e n t i r e l y e l i m i n a t e w a v e s t r a v e l l i n g a t

0

= 6 0

i n i n n i t e

w a t e r d e p t h , w e m u s t c h o o s e a w i d t h w s a t i s f y i n g k

0

w = = 2

p

3 = 0 9 0 7 ,

o r a w i d t h s h i p l e n g t h r a t i o o f 0 9 0 7 F

2

, w h e r e F i s t h e F r o u d e n u m b e r . T h e

f u n c t i o n G t h e n p o s s e s s e s a p a r a b o l a - l i k e z e r o m i n i m u m a t = 6 0

, r e -

m a i n i n g b e l o w 0 . 2 5 i n t h e 1 0 - d e g r e e r a n g e 5 3 8

6 3 8

. H e n c e t h i s

c o n g u r a t i o n w i l l b e e e c t i v e i n r e d u c i n g w a v e s w h e n e v e r t h e b a s e h u l l h a s

a s p e c t r u m w i t h a m a i n m a x i m u m n e a r = 6 0

w h i c h i s l a r g e l y c o n n e d t o

s u c h a r a n g e o f v a l u e s . T h i s s e e m s t o b e t h e c a s e f o r m o s t c o n v e n t i o n a l h u l l s

a t F r o u d e n u m b e r s o f a b o u t F = 0 6 , a n d t h e r e q u i r e d w i d t h t o e l i m i n a t e

w a v e s a t = 6 0

i s t h e n a b o u t o n e - t h i r d o f t h e s h i p l e n g t h .

T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 8 , w h i c h g i v e s t h e f r e e - w a v e s p e c t r u m , d R = d

f o r v e s s e l s s i m i l a r t o t h e f a m i l y u s e d i n S e c t i o n 2 , a t a s p e e d o f 8 . 2 5 m s

1

. H e r e

2 3



R i s t h e a c t u a l w a v e r e s i s t a n c e i n k i l o N e w t o n s , a n d d R = d i s t h e i n t e g r a n d

i n t h e f o r m u l a f o r t h e w a v e r e s i s t a n c e , s o t h a t t h e r e s i s t a n c e i s t h e a r e a

u n d e r e a c h o f t h e c u r v e s . T h u s d R = d i s a m e a s u r e o f t h e e n e r g y i n t h e

c o m p o n e n t o f t h e s h i p w a v e p a t t e r n t h a t i s p r o p a g a t i n g a t d i r e c t i o n . T h e

s p e e d w a s c h o s e n a s 8 . 2 5 m s

1

s o t h a t t h e p e a k i n t h e f r e e - w a v e s p e c t r u m f o r

t h e m o n o h u l l o c c u r s a t = 6 0

T h e p r e s e n t t h e o r y s h o w s t h a t w e c a n c o m p l e t e l y e l i m i n a t e w a v e s p r o p -

a g a t i n g a t = 6 0

f o r a c a t a m a r a n b y c h o o s i n g t h e l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n

h u l l s a s 6 . 2 9 3 m . A l t h o u g h F i g u r e 8 c o n r m s t h i s r e s u l t , d r a m a t i c c a n c e l l a -

t i o n i s a p p a r e n t o n l y f o r a s m a l l r a n g e o f

A s i n d i c a t e d i n S e c t i o n 3 . 3 , t h e b e s t w i d t h t o m i n i m i s e t o t a l w a v e m a k i n g

o r w a v e r e s i s t a n c e m a y w e l l b e i n n i t e . T h a t i s , t o t a l e l i m i n a t i o n o f w a v e s a t

s o m e p a r t i c u l a r a n g l e i s n o t n e c e s s a r i l y o p t i m a l f o r a p a r t i c u l a r h u l l s h a p e

a n d s p e c t r u m .

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0

d R

W

d

T R I 1 2 1

M O N O

C A T

T R I 1 1 1

d e g r e e s

F i g u r e 8 : F r e e w a v e s p e c t r a f o r v a r i o u s m u l t i h u l l s a t 8 . 2 5 m s

1

4 . 2 L a t e r a l l y - u n s y m m e t r i c a l d i - h u l l s

L e t u s n o w t u r n t o u n s y m m e t r i c a l l y s t a g g e r e d d i - h u l l s , o r W e i n b l u m s " 1 0

w i t h s 0 . I t i s n o w p o s s i b l e t o c a n c e l t h e p u r e t r a n s v e r s e w a v e s a t = 0 ,

2 4



b y c h o o s i n g t h e l o n g i t u d i n a l s t a g g e r a s s = = k

0

. A n y o d d m u l t i p l e o f t h a t

q u a n t i t y a l s o e l i m i n a t e s t r a n s v e r s e w a v e s , b u t l e t u s a s s u m e t h e s m a l l e s t

s t a g g e r i s u s e d . T h i s s i m p l y c o r r e s p o n d s t o p l a c i n g t h e s e c o n d h u l l e x a c t l y

o n e h a l f - w a v e l e n g t h b e h i n d t h e r s t , w i t h t h e i r e q u a l - m a g n i t u d e t r a n s v e r s e

w a v e s e x a c t l y o u t o f p h a s e .

A l l t h a t i s l e f t t o d o i s t o c h o o s e a n o p t i m a l v a l u e f o r t h e l a t e r a l s e p a r a t i o n

w . A t r s t s i g h t t h i s i s n o m o r e e n c o u r a g i n g t h a n f o r s y m m e t r i c d i - h u l l s ,

s i n c e t h e f u n c t i o n G s t i l l o s c i l l a t e s i n n i t e l y m a n y t i m e s b e t w e e n 0 a n d

1 . I n d e e d , f o r 0 w a v e s o n t h e p o r t s i d e , t h i s v e s s e l h a s n o a d v a n t a g e

o v e r c o n v e n t i o n a l c a t a m a r a n s w i t h r e s p e c t t o c a n c e l l a t i o n o f d i v e r g i n g w a v e s .

H o w e v e r , w h e n 0 , i t i s p o s s i b l e t o c h o o s e a l a t e r a l s e p a r a t i o n s u c h t h a t

G r e m a i n s c l o s e t o z e r o o v e r a r e m a r k a b l y l a r g e r a n g e , a n d w e g i v e t h e

d e t a i l e d m a t h e m a t i c s o f t h i s c h o i c e i n A p p e n d i x 1 .

T h e r e s u l t s h o w s a r a t h e r b r o a d m i n i m u m a t a l a t e r a l s e p a r a t i o n o f w =

0 8 8 U

2

= g , a n d i s s u c h t h a t G 0 0 0 5 f o r 6 4 5

+ 7 3

. T h i s l a t e r a l

s e p a r a t i o n c o r r e s p o n d s i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e l o n g i t u d i n a l s e p a r a t i o n o f

s = 3 1 4 U

2

= g t o t h e l i n e j o i n i n g c e n t r e s o f t h e t w o h u l l s m a k i n g a n a n g l e

o f 1 5 7

t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n , s o m e w h a t i n s i d e t h e K e l v i n a n g l e 1 9 5

o f t h e w a v e p a t t e r n o f t h e l e a d i n g h u l l . H u l l s s o p l a c e d w i l l m a k e v e r y s m a l l

w a v e s o n t h e s t a r b o a r d s i d e . A n a l i g n m e n t o f t h e t r a i l i n g h u l l t o s t a r b o a r d

n o t f a r f r o m a l i n e a t t h e K e l v i n a n g l e i s i n t u i t i v e l y r e a s o n a b l e a s a m e a n s

t o c a n c e l t h e w a v e s p r o p a g a t e d a l o n g t h a t l i n e b y t h e l e a d i n g h u l l .

4 . 3 T r i - h u l l s

I f N = 3 , t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e c o m p l e x i n t e r f e r e n c e f a c t o r i s

F = 1

2

3

+

2

e

i k x

2

c o s + y

2

s n

+

3

e

i k x

3

c o s + y

3

s n

w h e r e w e h a v e s e t x

1

= y

1

= 0 w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , i . e . p l a c e d h u l l 1

a t t h e o r i g i n , a n d u s e d t h e s c a l i n g l a w t o e l i m i n a t e

1

W e c o n s i d e r h e r e o n l y l a t e r a l l y s y m m e t r i c v e s s e l s , a s s u m i n g t h a t

2

=

3

= , x

2

= x

3

= s a n d y

3

= y

2

= w . T h a t i s , t h e v e s s e l c o n s i s t s o f a

m a i n h u l l o f d i s p l a c e m e n t f r a c t i o n 1 2 , w i t h s y m m e t r i c a l l y p l a c e d i d e n t i c a l

s i d e h u l l s e a c h o f d i s p l a c e m e n t f r a c t i o n a t a s t a g g e r d i s t a n c e s b e h i n d t h e

m a i n h u l l , o n e a d i s t a n c e w t o p o r t a n d o n e w t o s t a r b o a r d o f t h e m a i n h u l l .

T h e n

F = 1 2 + 2 e

i k s c o s

c o s k w s i n

2 5



w i t h m a g n i t u d e s q u a r e d

G = 1 2

2

+ 4 1 2 c o s k s c o s c o s k w s i n + 4

2

c o s

2

k w s i n

W e h o p e t o u s e l o n g i t u d i n a l s t a g g e r s t o s e t G 0 = 0 . H o w e v e r , i f t h e r e i s

n o s t a g g e r , i . e . s = 0 , t h e n G 0 = 1 f o r a l l w , a n d a s w i t h c o n v e n t i o n a l

c a t a m a r a n s w e c a n n o t e l i m i n a t e p u r e t r a n s v e r s e w a v e s . L e t u s r s t c o n s i d e r

t h a t c a s e o f c o n v e n t i o n a l s o - c a l l e d t r i m a r a n s " i n d e t a i l .

4 . 4 S i d e - b y - s i d e t r i - h u l l s

N o w i f s = 0 w e h a v e

F = 1 4 s i n

2

1

2

k w s i n

w h i c h v a r i e s b e t w e e n m a x i m a o f 1 a n d m i n i m a o f 1 4 . A n o b v i o u s l y

f a v o u r a b l e c h o i c e i s = 1 = 4 , w h i c h f o r c e s t h a t m i n i m u m t o b e z e r o , w i t h

F = c o s

2

1

2

k w s i n

T h i s i s t h e c a s e w h e r e t h e o u t r i g g e r h u l l s a r e e a c h h a l f o f t h e d i s p l a c e m e n t

o f t h e c e n t r a l h u l l . I t p r o d u c e s r e s u l t s c o m p a r a b l e t o a n d s o m e w h a t b e t t e r

t h a n t h a t o f a c o n v e n t i o n a l c a t a m a r a n .

I n d e e d , i f w e a s s u m e t h e s a m e b e t w e e n - h u l l s p a c i n g w i n e a c h c a s e , s o t h a t

t h e t r i m a r a n i s t w i c e a s w i d e a s t h e c a t a m a r a n , t h e n F f o r t h e = 1 = 4

t r i m a r a n i s i d e n t i c a l t o G f o r t h e c a t a m a r a n . T h a t i s , t h e i n t e r f e r e n c e

f a c t o r f o r t h i s t r i m a r a n i s t h e s q u a r e o f t h a t f o r t h e c a t a m a r a n . T h i s i s c l e a r l y

f a v o u r a b l e , p r o d u c i n g w i d e r m i n i m a o f v a l u e 0 a n d n a r r o w e r m a x i m a o f

v a l u e 1 . A n y r a n g e o f a n g l e s w h e r e t h e c a t a m a r a n h a s G 1 = 4 f o r

e x a m p l e , t h e 1 0 - d e g r e e r a n g e 5 3 8

6 3 8

f o r

0

= 6 0

q u o t e d a b o v e

w i l l b e s u c h t h a t G 1 = 1 6 f o r t h e t r i m a r a n , a n d h e n c e w i l l l e a d t o b e t t e r

w a v e r e d u c t i o n w h e n t h e b a s e h u l l s p e c t r u m i s p e a k e d i n t h a t r a n g e .

T h e r e i s s o m e p o t e n t i a l g a i n f r o m u s i n g v a l u e s s o m e w h a t g r e a t e r t h a n

1 = 4 , i . e . f r o m a l l o w i n g e a c h o u t r i g g e r d i s p l a c e m e n t t o b e m o r e t h a n h a l f o f

t h a t o f t h e c e n t r a l h u l l . I n t h a t c a s e , F c a n b e a l l o w e d t o t a k e a s m a l l

n e g a t i v e v a l u e 1 4 a t i t s m i n i m u m , w i t h G = F

2

t h e r e f o r e t a k i n g a s m a l l

p o s i t i v e l o c a l m a x i m u m c l o s e l y b r a c k e t e d w i t h z e r o s . T h i s c a n p r o d u c e a n

e v e n w i d e r r a n g e o f v a l u e s w h e r e G t a k e s r e l a t i v e l y s m a l l v a l u e s . F o r

2 6



e x a m p l e , i f = 0 3 1 2 5 c o m p a r e d t o t h e c e n t r a l h u l l 1 2 = 0 3 7 5 , t h e

a b o v e r a n g e o f a n g l e s w h e r e G 1 = 1 6 a t

0

= 6 0

e x t e n d s f r o m 1 0

d e g r e e s t o n e a r l y 1 4 d e g r e e s , n a m e l y 5 0 9

6 4 8

. E v e n t h e c a s e o f

t h r e e i d e n t i c a l h u l l s = 1 = 3 i s w o r t h c o n s i d e r i n g f r o m t h i s p o i n t o f v i e w ,

a s t h i s g i v e s a m i n i m u m i n F o f 1 = 3 o r a l o c a l m a x i m u m i n G o f 1 = 9

T h e c a s e o f t h r e e i d e n t i c a l h u l l s i s e s p e c i a l l y s i g n i c a n t w h e n t h e r e i s n o h u l l

i n t e r f e r e n c e , i . e . i n t h e l a r g e - s e p a r a t i o n l i m i t , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 3 .

F i g u r e 8 a s a l r e a d y d i s c u s s e d f o r c a t a m a r a n s a l s o s h o w s s o m e t r i m a r a n

f r e e - w a v e s p e c t r a i l l u s t r a t i n g t h e t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s o f t h e p r e s e n t

s e c t i o n . T h e T R I 1 1 1 " v e s s e l h a s t h r e e i d e n t i c a l h u l l s a n d i s s i m i l a r t o b u t

w i t h a d i e r e n t l a t e r a l s e p a r a t i o n t h e v e s s e l c a l l e d T R I i n S e c t i o n 2 . T h e

v e s s e l T R I 1 2 1 " h a s a c e n t r a l h u l l w i t h t w i c e t h e d i s p l a c e m e n t o f o n e o f t h e

o u t r i g g e r h u l l s , a s r e q u i r e d b y t h e a b o v e t h e o r e t i c a l o p t i m u m .

T h e p r e s e n t t h e o r y s h o w s t h a t w e c a n c o m p l e t e l y e l i m i n a t e w a v e s p r o p a -

g a t i n g a t = 6 0

f o r b o t h t h e c a t a m a r a n a n d t h e T R I 1 2 1 v e s s e l s b y c h o o s i n g

t h e l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n h u l l s a s 6 . 2 9 3 m . F o r t h e T R I 1 2 1 v e s s e l , t h e r e g i o n

o f c a n c e l l a t i o n i s o v e r a m u c h w i d e r r a n g e o f a n g l e s t h a n f o r t h e c a t a m a r a n .

T h e T R I 1 1 1 a r r a n g e m e n t d o e s n o t e l i m i n a t e c o m p l e t e l y t h e w a v e s p r o p a g a t -

i n g a t = 6 0

, b u t p r o d u c e s a n e v e n w i d e r r a n g e o f a n g l e s w h e r e t h e e n e r g y

i s r e l a t i v e l y l o w . I n d e e d , t h e T R I 1 1 1 h a s t h e l o w e s t w a v e r e s i s t a n c e a r e a

u n d e r t h e c u r v e s o f t h e f o u r v e s s e l s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 8 . T h i s i s a c h i e v e d

p r i m a r i l y b y r e d u c i n g w a v e s p r o p a g a t i n g b e t w e e n = 2 0

a n d = 5 3

, t h e

d r a g s a v i n g i n t h i s r e g i o n m o r e t h a n c o m p e n s a t i n g f o r t h e w o r s e p e r f o r m a n c e

v e r y c l o s e t o = 6 0

T h e t y p e o f l o w - w a v e c o n g u r a t i o n d i s c u s s e d i n t h e p r e s e n t s e c t i o n i n -

v o l v e s c a n c e l l a t i o n o f d i v e r g i n g w a v e s , w i t h n o s e r i o u s a t t e m p t b e i n g m a d e

t o c a n c e l t r a n s v e r s e w a v e s . I t i s t h e r e f o r e m a i n l y u s e f u l a t r e l a t i v e l y h i g h

s p e e d s , t y p i c a l l y h u l l - l e n g t h F r o u d e n u m b e r s F 0 5 5 s p e e d s g r e a t e r t h a n

7 . 5 m , f o r t h e e x a m p l e 1 9 . 1 m h u l l , w h e n t h e b a s e h u l l m a k e s l i t t l e t r a n s -

v e r s e w a v e s . C a n c e l l a t i o n o f t r a n s v e r s e w a v e s c a n o n l y b e a c h i e v e d b y u s e

o f a s i g n i c a n t a m o u n t o f l o n g i t u d i n a l s t a g g e r , a s t r e a t e d i n t h e f o l l o w i n g

s e c t i o n . W e h a v e h o w e v e r a l s o i n v e s t i g a t e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e p r e s e n t

d i v e r g i n g w a v e c a n c e l l a t i o n c o u l d b e e n h a n c e d b y u s e o f a s m a l l l o n g i t u -

d i n a l s t a g g e r , b u t h a v e r e a c h e d a n e g a t i v e c o n c l u s i o n o n t h a t m a t t e r . T h a t

i s , s = 0 i s a l o c a l m i n i m u m i n G , f o r c o n g u r a t i o n s w h i c h e l i m i n a t e w a v e s

a t a n y n o n - z e r o a n g l e =

0

; l o n g i t u d i n a l s t a g g e r i s o n l y o f v a l u e i f i t i s l a r g e

e n o u g h t o b e c o m p a r a b l e t o t h e t r a n s v e r s e h a l f - w a v e l e n g t h , a n d i s o t h e r w i s e

d e t r i m e n t a l .

2 7



4 . 5 A r r o w - s h a p e d t r i - h u l l s

A s w i t h t h e W e i n b l u m d i - h u l l , i t i s p o s s i b l e t o c a r r y o u t a c o m p l e t e m a t h -

e m a t i c a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e o p t i m u m l a y o u t o f a t h r e e - h u l l e d v e s s e l i n a

l a t e r a l l y s y m m e t r i c a r r o w - s h a p e d c o n g u r a t i o n w i t h s 0 , a n d t h i s i s p r o -

v i d e d i n A p p e n d i x 2 .

I n s u m m a r y , t h e c e n t r a l h u l l s h o u l d h a v e h a l f t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t , i . e .

h a v e t w i c e t h e b e a m o f e a c h o f t h e i d e n t i c a l s i d e h u l l s . T h e l o n g i t u d i n a l

s t a g g e r s h o u l d a s u s u a l b e s = U

2

= g t o e l i m i n a t e t r a n s v e r s e w a v e s . O u r

n a l t a s k i s t h e n t o c h o o s e t h e l a t e r a l s e p a r a t i o n w , o r e q u i v a l e n t l y t h e h a l f -

a n g l e o f t h e a r r o w " .

A g a i n t h e r e i s a r a t h e r b r o a d m i n i m u m i n G a s a f u n c t i o n o f w , a n d a

g o o d c o m p r o m i s e i s w = 0 8 5 U

2

= g , c o r r e s p o n d i n g t o a n a r r o w h a l f - a n g l e o f

1 5 1

. T h i s a n g l e f o r t h e l i n e j o i n i n g h u l l c e n t r e s p l a c e s t h e o u t r i g g e r h u l l s

i n s i d e t h e K e l v i n a n g l e o f t h e c e n t r a l h u l l , a n d i s s l i g h t l y s m a l l e r t h a n t h e

c o r r e s p o n d i n g a n g l e f o r t h e W e i n b l u m d i - h u l l . F o r t h a t c h o i c e , w e n d t h a t

G 0 2 6 f o r a l l i n t h e r a n g e 7 1 5

. T h i s i s n o w h e r e n e a r a s g o o d

a c a n c e l l a t i o n a s i s a c h i e v e d f o r t h e W e i n b l u m d i - h u l l o n i t s s t a r b o a r d s i d e ,

b u t t h i s l a t e r a l l y s y m m e t r i c t r i - h u l l v e s s e l c a n c e l s w a v e s o n b o t h s i d e s , a n d

t h e r a n g e o f a n g l e s o v e r w h i c h s u c h c a n c e l l a t i o n o c c u r s i s q u i t e i m p r e s s i v e .

4 . 6 S i d e - b y - s i d e t e t r a - h u l l s a n d h i g h e r

I t i s n o t d i c u l t t o r e p e a t t h e d i - h u l l a n d t r i - h u l l a n a l y s i s f o r s i d e - b y - s i d e

m u l t i h u l l s o f a n y m u l t i p l i c i t y N . F o r c o n g u r a t i o n s e n t i r e l y e l i m i n a t i n g

w a v e s a t a g i v e n a n g l e =

0

, t h e i n t e r a c t i o n f a c t o r G c a n b e m a d e t o

t a k e t h e v a l u e

G =

c o s

w

2

k s i n

2 N 2

b y p l a c i n g a l l h u l l s i n a n e q u a l l y - s p a c e d s i d e - b y - s i d e a r r a y , t h e l a t e r a l d i s -

t a n c e b e t w e e n h u l l s b e i n g

w =

k

0

s i n

0

T h u s t h e t o t a l w i d t h N 1 w o f t h e v e s s e l i n c r e a s e s w i t h m u l t i p l i c i t y , i n

p r o p o r t i o n t o N 1 . T h e i n d i v i d u a l d i s p l a c e m e n t s m u s t v a r y i n a c c o r d a n c e

w i t h P a s c a l ' s t r i a n g l e , i . e . t h e j ' t h h u l l h a s a f r a c t i o n

j

=

1

2

N 1

N 1

j 1

!

2 8



o f t h e t o t a l , e x p r e s s e d i n t e r m s o f b i n o m i a l c o e c i e n t s . I n p a r t i c u l a r , e a c h

o u t e r m o s t h u l l h a s a r a p i d l y d i m i n i s h i n g f r a c t i o n

1

=

N

= 1 = 2

N 1

o f t h e

t o t a l d i s p l a c e m e n t .

F o r e x a m p l e , t h e o p t i m u m t e t r a - h u l l N = 4 h a s t w o c e n t r a l h u l l s e a c h

w i t h 3 8 o f t h e d i s p l a c e m e n t , a n d t w o o u t e r h u l l s e a c h w i t h 1 8 o f t h e d i s -

p l a c e m e n t . S i m i l a r l y , t h e o p t i m u m p e n t a - h u l l N = 5 h a s a c e n t r a l h u l l

w i t h 3 8 o f t h e d i s p l a c e m e n t , t w o i n t e r m e d i a t e h u l l s e a c h w i t h 1 4 o f t h e

d i s p l a c e m e n t a n d t w o o u t e r h u l l s e a c h w i t h 1 1 6 o f t h e d i s p l a c e m e n t .

I n t h e l i m i t a s N ! 1 t h e r e i s z e r o w a v e r e s i s t a n c e , i r r e s p e c t i v e o f t h e

s h a p e o f t h e i n d i v i d u a l h u l l s , s i n c e t h e i n t e r f e r e n c e f a c t o r G a p p r o a c h e s

z e r o f o r a l l . H o w e v e r , t h i s i s a n i n n i t e l y w i d e a r r a y , w i t h a l l h u l l s o f

v a n i s h i n g l y s m a l l b e a m . A n y s u c h a r r a y w i l l h a v e z e r o w a v e r e s i s t a n c e , a s

d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 3 . B e y o n d a b o u t N = 5 , t h e p r e s e n t a r r a y w i t h

e x t r e m e l y t h i n o u t r i g g e r s i s h a r d l y p r a c t i c a l .

T h e a b o v e r e s u l t s a r e o p t i m a l " o n l y i n t h e s e n s e o f m i n i m i s i n g w a v e -

m a k i n g n e a r a p a r t i c u l a r a n g l e =

0

. I n p r a c t i c e , t h e i n d e p e n d e n t - h u l l

l i m i t o f l a r g e s p a c i n g s a g a i n o f t e n p r o v i d e s t h e l e a s t w a v e r e s i s t a n c e , a n d

t h i s c o r r e s p o n d s t o N i d e n t i c a l h u l l s r a t h e r t h a n t h e P a s c a l " d i s t r i b u t i o n

s u g g e s t e d h e r e .

4 . 7 A r r o w - s h a p e d t e t r a - h u l l s

A s p e c i a l c a s e o f t h e t e t r a - h u l l w i t h N = 4 i s c o m p a r a b l e t o t h e a r r o w -

s h a p e d t r i - h u l l , n a m e l y a l a t e r a l l y - s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n w i t h t w o l e a d i n g

h u l l s a s m a l l d i s t a n c e 2 v a p a r t a n d t w o t r a i l i n g h u l l s a g r e a t e r d i s t a n c e

2 w 2 v a p a r t , w i t h t h e t r a i l i n g h u l l s s t a g g e r e d s r e l a t i v e t o t h e l e a d i n g

h u l l s . T h i s t y p e o f v e s s e l h a s b e e n c a l l e d a S l i c e " 8 . I t i s e a s y t o s e e

t h a t f o r t r a n s v e r s e w a v e c a n c e l l a t i o n w e m u s t h a v e a l l f o u r h u l l s i d e n t i c a l ,

a n d s = = k

0

a s b e f o r e . I n e e c t t h e p r e s e n t c o n g u r a t i o n i s o b t a i n e d b y

s l i c i n g " t h e l e a d i n g h u l l o f t h e a r r o w t r i - h u l l i n t w o , a n d t h e n s h i f t i n g t h e s e

t w o h a l v e s a p a r t l a t e r a l l y b y 2 v . S i n c e w e n o w h a v e a n e x t r a p a r a m e t e r v ,

t h e r e i s s o m e h o p e o f a c h i e v i n g e v e n b e t t e r w a v e c a n c e l l a t i o n .

A p p e n d i x 3 g i v e s a s u m m a r y o f t h e m a t h e m a t i c a l o p t i m i s a t i o n p r o b l e m

f o r t h i s v e s s e l , a l t h o u g h n o a t t e m p t i s m a d e t o p r o v i d e a s e x a c t a n o p t i m i s a -

t i o n a s f o r t h e p r e v i o u s c a s e s . T h e c o n c l u s i o n i s t h a t t h e b e s t " s e p a r a t i o n s

a r e a p p r o x i m a t e l y v = 0 4 1 U

2

= g a n d w = 1 2 6 U

2

= g . T h e s e c h o i c e s g i v e

G 0 2 2 f o r 7 1

. T h i s i s a 1 4 i m p r o v e m e n t o v e r t h e a r r o w t r i - h u l l ,

w h i c h i s u s e f u l b u t n o t s p e c t a c u l a r , a n d t h e e x t r a c o m p l e x i t y a n d s u r f a c e

2 9



a r e a o f t h i s v e s s e l m a y n o t a l w a y s b e w a r r a n t e d . N o t e t h a t t h e a n g l e o f t h e

l i n e b e t w e e n c e n t r e s o f t h e h u l l s o n e a c h s i d e o f t h i s v e s s e l i s a p p r o x i m a t e l y

t h e s a m e 1 5

a s f o r t h e a r r o w t r i - h u l l .

4 . 8 D i a m o n d - s h a p e d t e t r a - h u l l s

T h e a r r o w - s h a p e d t e t r a m a r a n i s n o t t h e o n l y l a t e r a l l y - s y m m e t r i c p o s s i b i l i t y

w i t h N = 4 . S u p p o s e t h a t t h e f o u r h u l l s a r e i n a d i a m o n d - s h a p e d a r r a y ,

c o n s i s t i n g o f t w o i d e n t i c a l c e n t e r l i n e h u l l s o f d i s p l a c e m e n t

1

=

2

= 1 2

i n t a n d e m w i t h t h e i r c e n t r e s a l o n g i t u d i n a l d i s t a n c e 2 s a p a r t , a n d t w o i d e n -

t i c a l o u t r i g g e r h u l l s w i t h d i s p l a c e m e n t

3

=

4

= s i d e - b y - s i d e m i d s h i p s

w i t h t h e i r c e n t r e p l a n e s a l a t e r a l d i s t a n c e 2 w a p a r t . T h a t i s , x

1

; y

1

=

s ; 0 ; x

2

; y

2

= + s ; 0 ; x

3

; y

3

= 0 ; + w a n d x

4

; y

4

= 0 ; w . T h e n

F = 1 2 c o s k s c o s + 2 c o s k w s i n

C a n c e l l a t i o n o f t r a n s v e r s e w a v e s F 0 = 0 d e m a n d s

= 0 5

c o s k

0

s

1 c o s k

0

s

F o r e x a m p l e , a l l f o u r h u l l s a r e i d e n t i c a l w i t h = 0 2 5 i f c o s k

0

s = 1 ,

t h e s h o r t e s t v e s s e l o f w h i c h h a s s = = k

0

a s b e f o r e . N o t e h o w e v e r , t h a t

t h e t o t a l l o n g i t u d i n a l s t a g g e r 2 s i s t h e n t w i c e t h a t o f t h e p r e v i o u s v e s s e l s .

O t h e r w i s e , w e r e q u i r e s t o l i e i n t h e r a n g e b e t w e e n 0 5 = k

0

a n d 1 5 = k

0

, w i t h

t h e o u t r i g g e r s t h i n n e r t h a n t h e c e n t r a l h u l l s .

T r i a l a n d e r r o r i s t h e o n l y r e a s o n a b l e p r o c e d u r e f o r m i n i m i s a t i o n o f F

o r G = F

2

w i t h r e s p e c t t o t h e s p a c i n g p a r a m e t e r s s ; w i n t h e p r e s e n t c a s e ,

u s i n g o u r e x p e r i e n c e w i t h s i m p l e r v e s s e l s a s a g u i d e . T h e r e s u l t s c a n b e r a t h e r

s p e c t a c u l a r . F o r e x a m p l e , i n t h e i d e n t i c a l - h u l l c a s e s = = k

0

, i t i s p o s s i b l e

b y c h o o s i n g w = 2 9 0 s d i a m o n d a p e x h a l f - a n g l e 1 6 2

t o a c h i e v e G 0 0 0 1

f o r a l l 6 2 5

! A l t h o u g h t h i s i s a n e x t r e m e d e g r e e o f w a v e c a n c e l l a t i o n , i t

i s p e r h a p s o v e r k i l l , a n d w e c a n d o b e t t e r " i n t e r m s o f t h e r a n g e o f v a l u e s

w h e r e c a n c e l l a t i o n o c c u r s , b y u s i n g a n a r r o w e r a p e x a n g l e , a t t h e e x p e n s e

o f a s o m e w h a t g r e a t e r G . F o r e x a m p l e , i f w = 0 2 6 5 s h a l f - a n g l e 1 4 8

, w e

h a v e G 0 0 1 3 f o r a l l 7 1

, a n d t h i s i s s t i l l a v e r y i m p r e s s i v e a m o u n t

o f w a v e c a n c e l l a t i o n . T h e c h o i c e b e t w e e n n a r r o w a n d w i d e d i a m o n d s t h e n

d e p e n d s o n t h e a m p l i t u d e f u n c t i o n A

0

o f t h e i n d i v i d u a l h u l l s ; i f t h e r e i s

s i g n i c a n t e n e r g y i n t h e r a n g e 6 2 5

7 1

w e s h o u l d u s e t h e n a r r o w

3 0



d i a m o n d , b u t i f n o t , t h e r e m a y b e s o m e a d v a n t a g e f r o m t h e g r e a t e r l o w -

e e c t i v e n e s s o f t h e w i d e r d i a m o n d .

T h e r e i s n o t a l o t t o b e g a i n e d b y u s e o f d i e r e n t v a l u e s o f t h e s t a g g e r s ;

n o n e a t a l l f r o m l o n g e r v e s s e l s . S l i g h t l y s h o r t e r v e s s e l s w i t h s m a l l e r o u t r i g g e r s

d o g i v e a s m a l l i m p r o v e m e n t , b u t m o s t l y i n t h e s e n s e o f e x t e n d i n g t h e r a n g e

o f . F o r e x a m p l e , i f s = 0 8 6 = k

0

, t h e b e s t w i d t h i s w = 0 2 2 s h a l f - a n g l e

1 2 4

, a n d t h i s v e s s e l h a s t h e s a m e w a v e c a n c e l l a t i o n G 0 0 1 3 a s t h e

n a r r o w i d e n t i c a l - h u l l v e s s e l , b u t o v e r a s l i g h t l y g r e a t e r a n g l e r a n g e 7 3

T h i s v e s s e l w i l l b e a b o u t 1 0 s h o r t e r o v e r a l l t h a n t h e i d e n t i c a l - h u l l v e s s e l ,

w i t h a 1 0 r e d u c t i o n i n t h e o u t r i g g e r t h i c k n e s s r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l h u l l s .

5 C o n c l u s i o n

I n o r d e r t o c h o o s e o p t i m a l h u l l p l a c e m e n t s f o r m u l t i h u l l s , w e h a v e h e r e u s e d

t h e l i n e a r s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e a n d d i r e c t p r o p o r t i o n a l i t y o f t h e g e n e r a t e d

w a v e a m p l i t u d e t o h u l l b e a m . T h e s e a r e i n h e r e n t p r o p e r t i e s o f M i c h e l l ' s

5 t h i n - s h i p t h e o r y . H o w e v e r , w e h a v e n o t h a d t o m a k e u s e o f M i c h e l l ' s

e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p 4 b e t w e e n h u l l s h a p e a n d f r e e - w a v e s p e c t r u m . I n d e e d ,

a p a r t f r o m t h e s p e c i c d e s i g n e x a m p l e f o r W i g l e y h u l l s i n S e c t i o n 2 , w e h a v e

n o t u s e d a n y i n f o r m a t i o n a b o u t h u l l s h a p e . T h a t e x a m p l e i s p o t e n t i a l l y

m i s l e a d i n g i n s o m e w a y s , a s t h e r e i s n o r e a s o n t o b e l i e v e t h a t W i g l e y h u l l s

a r e i n a n y s e n s e o p t i m a l f o r m i n i m i m w a v e - m a k i n g p u r p o s e s . F u r t h e r w o r k

i s n e e d e d t o c l a r i f y r e l a t i o n s b e t w e e n h u l l s h a p e a n d h u l l p l a c e m e n t .

I n t h i s , t h e c e n t e n a r y y e a r o f t h e p u b l i c a t i o n o f M i c h e l l ' s 1 8 9 8 l a n d m a r k

p a p e r , h i s l e g a c y c a n s t i l l b e o f g r e a t u s e i n q u a l i t a t i v e s h i p d e s i g n .

A c k n o w l e d g e m e n t

T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d b y t h e A u s t r a l i a n R e s e a r c h C o u n c i l . S u g g e s -

t i o n s , c o m m e n t s a n d a s s i s t a n c e b y T i m G o u r l a y a n d S e r g e y S i m a k o v a r e

g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .

R e f e r e n c e s

1 B R U Z Z O N E , D . , C A S S E L L A , P . , P E N S A , C . , S C A M A R D E L L A , A .

a n d Z O T T I , I . 1 9 9 7 O n t h e h y d r o d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f a h i g h -

3 1



s p e e d c a t a m a r a n w i t h r o u n d - b i l g e h u l l : w a v e r e s i s t a n c e a n d w a v e p a t t e r n

e x p e r i m e n t a l t e s t s a n d n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n , F o u r t h I n t C o n f o n F a s t S e a

T r a n s p F A S T 9 7 " , p p 2 2 5 2 2 9 , B a i r d P u b l i c a t i o n s , M e l b o u r n e .

2 E G G E R S , K . W . H . , S H A R M A , S . D . a n d W A R D , L . W . 1 9 6 7 A n a s -

s e s s m e n t o f s o m e e x p e r i m e n t a l m e t h o d s f o r d e t e r m i n i n g t h e w a v e m a k i n g

c h a r a c t e r i s t i c s o f a s h i p f o r m , T r a n s S N A M E , v o l 7 5 , p p 1 1 2 1 5 7 .

3 H A V E L O C K , T . H . 1 9 3 4 W a v e p a t t e r n s a n d w a v e r e s i s t a n c e , T r a n s

R I N A , p p 4 3 0 4 4 2 .

4 L A Z A U S K A S , L . a n d T U C K , E . O . 1 9 9 7 L o w d r a g m u l t i h u l l s f o r s p o r t -

i n g , c o m m e r c i a l a n d m i l i t a r y a p p l i c a t i o n s , F o u r t h I n t C o n f o n F a s t S e a

T r a n s p F A S T 9 7 " , p p 6 4 7 6 5 2 , B a i r d P u b l i c a t i o n s , M e l b o u r n e .

5 M I C H E L L , J . H . 1 8 9 8 T h e w a v e r e s i s t a n c e o f a s h i p , P h i l M a g 5 , v o l

4 5 , p p . 1 0 6 1 2 3 .

6 N A K O S , D . E . a n d S C L A V O U N O S , P . D . 1 9 9 4 K e l v i n w a k e s a n d w a v e

r e s i s t a n c e o f c r u i s e r a n d t r a n s o m - s t e r n s h i p s , J S h i p R e s , v o l 3 8 , p 1 .

7 N E W M A N , J . N . 1 9 7 7 M a r i n e H y d r o d y n a m i c s , M I T P r e s s .

8 S C H M I D T , T . 1 9 9 8 a s q u o t e d i n F a s t F e r r y I n t e r n a t i o n a l , J a n - F e b p .

6 3

9 S H E A R E R , J . R . a n d C R O S S , J . J . 1 9 6 5 T h e e x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a -

t i o n o f t h e c o m p o n e n t s o f s h i p r e s i s t a n c e f o r a m a t h e m a t i c a l m o d e l , T r a n s

R I N A , v o l 1 0 7 , p p 4 5 9 4 7 3 .

1 0 S

O D I N G , H . 1 9 9 7 D r a s t i c r e s i s t a n c e r e d u c t i o n s i n c a t a m a r a n s b y s t a g -

g e r e d h u l l s , F o u r t h I n t C o n f o n F a s t S e a T r a n s p F A S T 9 7 " , p p 2 2 5 2 2 9 ,

B a i r d P u b l i c a t i o n s , M e l b o u r n e .

1 1 T U C K , E . O . , C O L L I N S , J . L . a n d W E L L S , W . H . 1 9 7 1 O n s h i p w a v e s

a n d t h e i r s p e c t r a , J S h i p R e s , p p 1 1 2 1 .

3 2



A p p e n d i x 1 : O p t i m i s a t i o n o f W e i n b l u m d i - h u l l

O u r m a t h e m a t i c a l t a s k i s m i n i m i s a t i o n o v e r t h e l a r g e s t p o s s i b l e r a n g e o f

a n g l e s , b y c h o i c e o f t h e l o n g i t u d i n a l a n d l a t e r a l s e p a r a t i o n s s ; w , o f t h e

f u n c t i o n

G = c o s

2

2

f

w h e r e

f = k s c o s + w s i n

W e a s s u m e t h a t t h e w a v e n u m b e r k i s a p o s i t i v e s y m m e t r i c f u n c t i o n o f

w i t h t h e p r o p e r t y k ! + 1 a s ! 9 0

. W h e n w = 0 t a n d e m h u l l s , w e

h a v e f 0 , a n d G a g a i n o s c i l l a t e s b e t w e e n 0 a n d 1 i n n i t e l y m a n y t i m e s a s

! 9 0

a n d f ! + 1 . H o w e v e r , w h e n w 0 , t h e r e i s n o l o n g e r s y m m e t r y

o f f w i t h r e s p e c t t o , a n d a l t h o u g h t h e b e h a v i o u r f o r 0 i s s i m i l a r t o

t h a t a t w = 0 , s o m e i n t e r e s t i n g n e w t h i n g s h a p p e n f o r 0 . I n p a r t i c u l a r ,

n o w f ! 1 a s ! 9 0

, b u t n o t n e c e s s a r i l y m o n o t o n i c a l l y . C l e a r l y i f

w i s s m a l l , t h e r e w i l l b e a t e n d e n c y t o f o l l o w t h e w = 0 t r e n d t o w a r d l a r g e

p o s i t i v e v a l u e s o f f u n t i l i s c l o s e t o 9 0

, w h e n f w i l l p l u n g e t o l a r g e

n e g a t i v e v a l u e s .

A t t h i s s t a g e , t o m a k e f u r t h e r p r o g r e s s i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y t h e f o r m

o f t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n k , a n d w e u s e t h e i n n i t e - d e p t h r e l a t i o n 3 .

W e a l s o a s s u m e t h a t t h e l o n g i t u d i n a l s t a g g e r s i s c h o s e n a s t h e l o w e s t v a l u e

w h i c h e x a c t l y e l i m i n a t e s a l l t r a n s v e r s e w a v e s b y r e q u i r i n g f 0 = 1 , n a m e l y

s = = k

0

. T h e n

f = s e c + W s e c

2

s i n

w h e r e W = k

0

w = . F i g u r e 9 s h o w s f f o r v a r i o u s W

O u r t a s k c a n n o w b e r e d u c e d t o t h a t o f a t t e m p t i n g b y c h o i c e o f W t o

k e e p f a s c l o s e a s p o s s i b l e t o 1 . N o w w e n d t h a t t h e r e i s a m i n i m u m i n

f a t =

m n

0 s a t i s f y i n g f

m n

1 w h e r e

t a n

m n

=

1

p

1 8 W

2

4 W

a n d a m a x i m u m f

m a x

1 w h e r e

t a n

m a x

=

1 +

p

1 8 W

2

4 W

w e a s s u m e W

2

1 = 8 . T h u s a s d e c r e a s e s f r o m 0 , f r s t d e c r e a s e s f r o m

1 t o i t s m i n i m u m a t =

m n

, t h e n p a s s e s b a c k a b o v e 1 t i l l i t r e a c h e s i t s

3 3



- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

- 9 0 - 6 0 - 3 0 0 3 0 6 0 9 0

f

W = 0

W = 0 1

W = 0 3

W = 0 2

d e g r e e s

F i g u r e 9 : P h a s e f u n c t i o n f f o r t h e W e i n b l u m d i - h u l l .

m a x i m u m a t =

m a x

. A f t e r t h a t , f a g a i n d e c r e a s e s b e l o w 1 , b u t t h e n

c o n t i n u e s t o d e c r e a s e m o n o t o n i c a l l y t o w a r d 1 a s ! 9 0

. I t i s d u r i n g

t h e l a t t e r m o n o t o n i c d e c r e a s e t h a t G = c o s

2

f = 2 w i l l o s c i l l a t e b e t w e e n

0 a n d 1 .

H o w e v e r , b e f o r e t h e n , f n e g o t i a t e s i t s o w n m i n i m u m a n d m a x i m u m , a n d

w e c a n e n s u r e b y c h o i c e o f W t h a t t h e s e a r e b o t h c l o s e t o 1 , a n d h e n c e G i s

c l o s e t o z e r o . I n f a c t , t h e b e s t c h o i c e o f W i s t h a t w h i c h c a u s e s t h e m i n i m u m

o f f t o l i e e x a c t l y a s f a r b e l o w 1 a s t h e m a x i m u m d o e s a b o v e 1 , i . e .

f

m a x

1 = 1 f

m n

A f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n , i t c a n b e s h o w n t h a t t h i s o c c u r s w h e n W

2

s a t i s e s

t h e c u b i c e q u a t i o n

5 1 2 W

2

3

+ 1 7 2 8 W

2

2

1 5 2 W

2

+ 1 = 0

w h i c h h a s t h e s o l u t i o n W = 0 2 8 0 6 7 4 i n t h e r e q u i r e d r a n g e . W i t h t h i s

c h o i c e o f W , w e h a v e f

m n

= 0 9 5 5 4 0 o c c u r r i n g a t

m n

= 1 9 2 4 3

, a n d

f

m a x

= 1 0 4 4 6 0 o c c u r r i n g a t

m a x

= 5 5 0 7 9

, i . e . t h e m a x i m u m e x c u r s i o n

i n f f r o m 1 i s o f m a g n i t u d e 0 0 4 4 6 0 . T h e r e s u l t i n g l o c a l m a x i m u m v a l u e

3 4



o f G i s 0 0 0 4 9 0 , t a k e n e q u a l l y a t = 1 9 2 4 3

a n d = 5 5 0 7 9

A s

d e c r e a s e s f u r t h e r f r o m 5 5 0 7 9

, G g o e s t o z e r o a t = 6 2 4

, t h e n

i n c r e a s e s , p a s s i n g t h r o u g h 0 0 0 4 9 0 a g a i n a t = 6 4 5

b e f o r e r e a c h i n g i t s

r s t g l o b a l m a x i m u m o f 1 a t = 7 4 3

. T h i s i s t h e n f o l l o w e d b y i n n i t e l y

m a n y s w i n g s b e t w e e n 0 a n d 1 a s ! 9 0

M e a n w h i l e , w h e n 0 , t h e b e h a v i o u r o f G i s m o r e c o n v e n t i o n a l , a n d

d i e r s l i t t l e f r o m t h e c a s e w = 0 G p a s s e s t h r o u g h 0 . 0 0 4 9 0 a t = + 7 3

,

w i t h i t s r s t g l o b a l m a x i m u m v a l u e o f 1 o c c u r r i n g a t = + 4 8 7

. T h e w a v e s

o n t h e p o r t s i d e o f t h i s v e s s e l a r e n o t m i n i m i s e d , a l t h o u g h t h e a b s e n c e o f

t r a n s v e r s e w a v e s i s s t i l l f a v o u r a b l e .

I n s u m m a r y , p r o v i d i n g w e c h o o s e W = 0 2 8 0 6 7 4 , o r w = 0 8 8 1 7 6 U

2

= g ,

t h e i n t e r f e r e n c e f u n c t i o n G i s l e s s t h a n 0 0 0 4 9 0 o v e r t h e r e m a r k a b l y l a r g e

r a n g e 6 4 5

+ 7 3

. T h e l i n e j o i n i n g c e n t r e s o f t h e t w o h u l l s m a k e s

a n a n g l e o f a r c t a n 0 2 8 0 6 7 4 = 1 5 6 7 8

t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n .

A l t h o u g h w e h a v e b e e n a b l e t o c o m p u t e t h i s p a r t i c u l a r o p t i m u m t o a t

l e a s t 5 - g u r e a c c u r a c y , G = 0 0 0 4 9 0 i s a r a t h e r b r o a d m i n i m u m a r o u n d

W = 0 2 8 0 6 7 4 , a n d i n p r a c t i c e e v e n a s m u c h a s 1 0 v a r i a t i o n s a b o u t t h e

t r u e o p t i m u m s t i l l g i v e e x c e l l e n t r e s u l t s . W i d e r c o n g u r a t i o n s r e t a i n g o o d

c a n c e l l a t i o n , b u t o v e r a n a r r o w e r r a n g e , e . g . W = 0 3 0 c e n t e r l i n e a n g l e

1 6 7

g i v e s a m a x i m u m G = 0 0 0 6 7 f o r 6 1 0

. O n t h e o t h e r h a n d ,

n a r r o w e r c o n g u r a t i o n s d e g r a d e t h e e x t r e m e m i n i m u m v a l u e m o r e q u i c k l y ,

b u t r e t a i n a r e a s o n a b l y l o w G f o r l a r g e r v a l u e s , e . g . W = 0 2 7 c e n t r e l i n e

a n g l e 1 5 1

g i v e s a m a x i m u m o f G = 0 0 1 3 1 f o r 6 5 7

. T h e b e s t c h o i c e

t h e n d e p e n d s o n w h e t h e r t h e i n d i v i d u a l h u l l s p e c t r u m A

0

h a s s i g n i c a n t

e n e r g y a t v a l u e s i n t h e 6 1 t o 6 6 d e g r e e r a n g e .

A p p e n d i x 2 : O p t i m i s a t i o n o f a r r o w t r i - h u l l

O u r m a t h e m a t i c a l t a s k f o r t h i s v e s s e l i s m i n i m i s a t i o n o v e r t h e l a r g e s t p o s s i b l e

r a n g e o f a n g l e s , b y c h o i c e o f t h e i n d i v i d u a l o u t r i g g e r d i s p l a c e m e n t f r a c t i o n

, a n d t h e l o n g i t u d i n a l a n d l a t e r a l s e p a r a t i o n s s ; w , o f t h e f u n c t i o n

G = 1 2

2

+ 4 1 2 c o s k s c o s c o s k w s i n + 4

2

c o s

2

k w s i n

I n p a r t i c u l a r , a t = 0 ,

G 0 = 1 8 1 2 s i n

2

1

2

k

0

s

3 5



I f s 0 , G 0 v a r i e s f r o m a m a x i m u m o f 1 w h e n t h e s i n e v a n i s h e s , t o a

m i n i m u m o f 1 4

2

w h e n t h e s i n e h a s m a g n i t u d e 1 , i . e . w h e n k

0

s = =

1 ; 3 ; 5 ; : : : . T h a t m i n i m u m v a l u e c a n b e m a d e t o b e z e r o i f = 1 = 4 . T h a t i s ,

a s i s p h y s i c a l l y o b v i o u s , p u r e t r a n s v e r s e w a v e s c a n b e e l i m i n a t e d e n t i r e l y i f

t h e m a i n h u l l h a s h a l f t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t a n d t h e s i d e h u l l s e a c h h a v e a

q u a r t e r t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t , w i t h t h e s i d e h u l l s s t a g g e r e d l o n g i t u d i n a l l y b y

a n o d d m u l t i p l e o f a h a l f w a v e l e n g t h . T h i s m e a n s t h a t t h e s i d e h u l l s p r o d u c e

t r a n s v e r s e w a v e s t h a t a r e i n t o t a l o f t h e s a m e a m p l i t u d e a s t h o s e m a d e b y

t h e m a i n h u l l , b u t 1 8 0

o u t o f p h a s e w i t h t h e m . N o t e t h a t t h i s c o n c l u s i o n

h o l d s f o r a n y v a l u e o f t h e l a t e r a l h a l f - s e p a r a t i o n w . W e t h u s a s s u m e f r o m

n o w o n t h a t = 1 = 4 a n d t h a t s t a k e s t h e m i n i m u m v a l u e = k

0

n e e d e d t o

c a n c e l t r a n s v e r s e w a v e s .

A l l t h a t i s l e f t t o d o i s t o c h o o s e t h e l a t e r a l s p a c i n g w , t o m i n i m i s e t h e

r e s i d u a l i n t e r f e r e n c e f a c t o r

G =

1

4

+

1

2

c o s k s c o s c o s k w s i n +

1

4

c o s

2

k w s i n

w i t h s = = k

0

. A g a i n , l e t u s n o w a s s u m e t h e i n n i t e - d e p t h d i s p e r s i o n r e l a -

t i o n 3 . T h e n

G =

1

4

+

1

4

C

2

+

1

2

C c o s s e c

w h e r e

C = c o s W s e c

2

s i n

a n d W = k

0

w

C l e a r l y G i s b o u n d e d b y 1 , w h i c h w o u l d o c c u r i f s i m u l t a n e o u s l y C a n d

c o s s e c t a k e t h e v a l u e s + 1 o r 1 . N o w w e h a v e a l r e a d y a s s u r e d t h a t

G 0 = 0 , s o a s w e i n c r e a s e f r o m z e r o , G r i s e s t o i t s r s t m a x i m u m

a t s o m e a n g l e =

0

. O n e p o s s i b l e a i m w o u l d b e t o m i n i m i s e t h e h e i g h t

o f t h a t m a x i m u m b y c h o i c e o f W . I n f a c t i t i s n o t h a r d , b y s e t t i n g t o z e r o

b o t h d G = d a n d d G = d W , t o s h o w t h a t t h i s d e m a n d s t h a t b o t h C = 0 a n d

c o s s e c = 0 . H e n c e t h e l e a s t p o s s i b l e v a l u e o f t h e r s t m a x i m u m o f t h e

i n t e r f e r e n c e f a c t o r G i s e x a c t l y 1 = 4 , a n d t h i s o c c u r s r s t w h e n s e c = 3 = 2 ,

i . e . a t =

0

= a r c c o s 2 = 3 = 4 8 2 0

. M e a n w h i l e , f o r C t o v a n i s h a t t h a t

a n g l e , w e m u s t h a v e W s e c

2

s i n = = 2 , o r

W =

1

2

c o s

2

0

= s i n

0

=

2

3

p

5

= 0 2 9 8 1 4

3 6



W h e n W t a k e s t h a t v a l u e , a f t e r r e a c h i n g t h e r s t p e a k o f 0 2 5 a t =

4 8 2

, G f a l l s t o i t s r s t m i n i m u m a t a b o u t = 6 0

, t h e m a g n i t u d e o f

w h i c h i s v e r y s m a l l l e s s t h e n 0 0 0 0 0 1 , t h e n r i s e s t o a s e c o n d m a x i m u m o f

0 3 4 4 a t = 6 6 6

, t h e n a n o t h e r m i n i m u m , a n o t h e r m a x i m u m , e t c . T h e

r e a s o n f o r t h e v e r y s m a l l m a g n i t u d e o f t h e r s t m i n i m u m c a n b e s e e n b y

n o t i n g t h a t i t i s a l s o p o s s i b l e t o c h o o s e a n o t h e r W s o t h a t t h i s m i n i m u m

i s e x a c t l y z e r o , i f C = 1 a n d c o s s e c = + 1 . T h i s h a p p e n s a t e x a c t l y

= 6 0

w h e n W = 1 = 2

p

3 = 0 2 8 8 6 8 , w h i c h i s c l o s e t o , a l i t t l e b e l o w , t h e

a b o v e o p t i m u m v a l u e .

I n f a c t , i t i s s o m e w h a t a d v a n t a g e o u s t o d e c r e a s e W e v e n a l i t t l e m o r e .

F o r e x a m p l e , s u p p o s e w e d e m a n d t h a t t h e s e c o n d m a x i m u m o f G b e e x a c t l y

1 = 4 , r a t h e r t h a n t h e r s t . T h e s e c o n d a n g l e w h e r e c o s s e c = 0 i s =

a r c c o s 2 = 5 = 6 6 4 2

, a n d t h e n C = 0 i f W = 6 = 5

p

2 1 = 0 2 6 1 8 6 . W i t h

t h i s c h o i c e o f W , t h e r s t p e a k a t a b o u t = 4 8 6

, c l o s e t o t h e p r e v i o u s

4 8 2

i s s l i g h t l y e l e v a t e d , o f m a g n i t u d e a b o u t 0 2 5 9 r a t h e r t h a n t h e o p t i m u m

0 2 5 , b u t t h i s l e s s t h a n 4 i n c r e a s e i n t h e s i z e o f t h e r s t p e a k m a y u n d e r

s o m e c i r c u m s t a n c e s b e w a r r a n t e d b e c a u s e o f t h e m o r e s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n

i n t h e s i z e o f t h e s e c o n d p e a k , f r o m 0 3 4 4 a t = 6 6 6

, t o 0 2 5 a t = 6 6 4

A g o o d c o m p r o m i s e i s W = 0 2 7 0 w h i c h g i v e s a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e

s i z e f o r b o t h p e a k s , n a m e l y G = 0 2 5 6 . A s w e m o v e t o e v e n h i g h e r a n g l e s ,

G r e m a i n s b e l o w 0 2 5 6 u n t i l = 7 1 5

. T h e n a s i n c r e a s e s b e y o n d 7 1 5

t o w a r d 9 0

, t h e r e a r e m o r e a n d m o r e c l o s e l y s p a c e d m a x i m a a n d m i n i m a i n G ,

w i t h s o m e m a x i m a a p p r o a c h i n g t h e g l o b a l m a x i m u m o f 1 . T h i s c o m p r o m i s e

o p t i m u m h a s a n a p e x h a l f - a n g l e o f a r c t a n 0 2 7 = 1 5 1

I n s u m m a r y , g o o d w a v e r e d u c t i o n b y a f a c t o r o f a b o u t a q u a r t e r i n t h e

e n e r g y s p e c t r u m f o r a l l 7 1

o c c u r s f o r W v a l u e s b e t w e e n a b o u t 0 . 2 6

a n d 0 . 2 9 , o r t r i m a r a n h a l f - a n g l e s b e t w e e n a b o u t 1 4 5

a n d 1 6

. A g a i n i t i s

i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e o p t i m u m t r i m a r a n t s e n t i r e l y i n s i d e t h e K e l v i n

a n g l e o f t h e l e a d i n g h u l l .

A p p e n d i x 3 : O p t i m i s a t i o n o f a r r o w t e t r a - h u l l

O u r m a t h e m a t i c a l t a s k f o r t h i s v e s s e l i s m i n i m i s a t i o n o v e r t h e l a r g e s t p o s s i b l e

r a n g e o f a n g l e s , b y c h o i c e o f t h e t w o l a t e r a l s e p a r a t i o n s v ; w , o f t h e f u n c t i o n

G =

1

4

c o s

2

k v s i n +

1

2

c o s k s c o s c o s k v s i n c o s k w s i n +

1

4

c o s

2

k w s i n

3 7



h a v i n g d e m a n d e d t h a t t h e h u l l s b e i d e n t i c a l , w i t h l o n g i t u d i n a l s e p a r a t i o n

s = = k

0

A g a i n f o r i n n i t e d e p t h , w e c a n w r i t e

G =

1

4

B

2

+

1

4

C

2

+

1

2

B C c o s s e c

w h e r e

B = c o s V s e c

2

s i n

a n d V = k

0

v a n d C i s d e n e d a s b e f o r e .

A l t h o u g h i t i s n o l o n g e r r e a s o n a b l e t o s e e k s u c h a c c u r a t e o p t i m a a s b e -

f o r e , w e c a n b e g u i d e d b y o u r e x p e r i e n c e w i t h s i m p l e r c o n g u r a t i o n s . I n

p a r t i c u l a r , a s w i t h t h e a r r o w t r i - h u l l w h i c h i s t h e c a s e V = 0 o r B = 1 , w e

c a n f o r a n y V c h o o s e W s o t h a t t h e r s t t w o p e a k s o f G h a v e t h e s a m e s i z e .

T h e n w e i n c r e a s e V s l o w l y f r o m z e r o u n t i l t h a t p e a k s i z e i s m i n i m a l . T h e

c o n c l u s i o n i s t h a t t h e b e s t c h o i c e s a r e V = 0 1 3 ; W = 0 4 0 , w i t h t h e s i z e o f

t h e r s t t w o p e a k s i n G b e i n g 0 2 2

3 8

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Optimum Hull Spacing of a Family of Multihulls