Optimizasyon Teknikleri

Nedim TUTKUN

nedimtutkun@duzce.edu.tr

Düzce Üniversitesi

Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü

Düzce-Türkiye

Optimizasyon nedir?

● “İşleri daha iyi yapmak”

● “Daha fazla kâr elde etmek”

● “En iyisini belirlemek”

● “Az şeyle çok iş yapmak”

● Optimizasyon, bütün kısıtları sağlayacak şekilde amaç

fonksiyonunu en büyük veya en küçük yapan tasarım

değişkenlerini bulmak olarak tanımlanabilir.

Optimizasyon nedir?

● En genel anlamda optimizasyon mümkün olan en

elverişli çözümü bulma sürecidir.

● Mühendisler verilen işi en düşük maliyetle en etkin

bir şekilde yapan cihazları ve ürünleri tasarlamak

durumundadır.

● Bu nedenle mühendisler her zaman performans ve

sınırları dengede tutan optimizasyon problemleri

ile karşılaşırlar.

Optimizasyon nedir?

Matematiksel bir perspektiften bakıldığında,

optimizasyon, bir veya birden fazla değişkene bağlı

bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini

bulmakla ilgilenir. Burada amaç verilen fonksiyon

için maksimum ve minimumları veren değişken

değerlerinin bulunmasıdır. Bulunan optimal değerler

ile fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük

değerler hesaplanır.

Tarihsel Süreç

● Newton, Leibniz, Bernoulli, De l’Hospital (1697)

● Lagrange (1750): kısıtlı optimizasyon

● Cauchy (1847): en dik azalış

● Dantzig (1947): Simplex yöntemi (Lineer Programlama (LP))

● Kuhn, Tucker (1951): optimallik koşulları

● Karmakar (1984): dahili nokta yöntemi (LP)

● Bendsoe, Kikuchi (1988): topoloji optimizasyonu

Tarihsel sürece bakıldığında bir çok bilim insanı optimizasyon ile ilgili çalışmalar yapmıştır. Bunlardan bazı aşağıdaki gibidir.

Neler Yapılabilir?

● Optimizasyon teknikleri şunlar için kullanılabilir:

– Çalışan bir tasarım veya sistemin yapılması

– En iyi performansa ulaşma

– Tasarımı veya sistemi güvenilir ve sağlam yapmak

● Ayrıca aşağıdaki konularda fikir verir:

– Tasarım problemi

– Temel fizik

– Model zayıflıkları

Optimizasyon problemi

● Tasarım değişkenleri: tasarım probleminin

parametrelendirildiği değişkenler

● Amaç: Minimize veya maksimize edilecek miktar

Genellikle maliyet fonksiyonu olarak adlandırılır.

● Kısıt: sağlanması gereken koşul

– Eşitsizlik kısıtı:

– Eşitlik kısıtı:

g(x) 0

h(x) 0

f (x)

x x1, x2 , , xn

Optimizasyon problemi

● Optimizasyon probleminin genel biçimi:

Min f (x) x

g(x) 0

h(x) 0

x X n

xL x xU

Optimizasyon problemlerini çözme

● Optimizasyon problemleri genellikle bir iteratif

algoritma kullanılarak çözülür:

Model

Optimize edici

Tasarım değişkeni x

Sabitler Değerler

f , g, h

Türev

değerleri

(tasarım

hassasiyetleri)

f ,

g ,

h

xi xi xi

Boyutsallık sorunu

Değişken sayısının artması problemi karmaşık hale getirir.

● n adet tasarım değişkeniyle ilgili bir problem düşünün

● Her değişkeni m örnekle örnekleyin

● Gerekli hesaplama sayısı: mn

● Hesaplama başına 1 saniye, 10 değişken, 10 örnek: toplam

süre 317 yıl

Paralel hesaplama

● Büyük problemler için

optimizasyon çok büyük

bilgisayar gücü gerektirir.

● Paralel hesaplama

Tasarım sürecinde optimizasyon

Conventional design process:

Collect data to describe

the system

Estimate initial design

Analyze the system

Check performance

criteria

Is design satisfactory? Done

Change design based

on experience /

heuristics / wild guesses

Optimizasyonda tasarım süreci:

Sistemi tanımlamak için veri topla

Başlangıç tasarımını tahmin edin

Tasarım yakınsama kriterlerini

karşılıyor mu?

Bir optimizasyon metodu

kullanarak tasarımı değiştirin

Evet

BeIirlenecek hususlar:

1. Tasarım değişkenleri

2. Amaç fonksiyonu

3. Kısıtlar

Sistemi analiz edin

Kısıtları kontrol et

DUR

Tasarım sürecinde optimizasyon

● Global optimum en iyi çözümü sunar ve yerel bir

optimum ise en iyi çözüm olmasa bile yakındaki

değerlere göre daha iyidir.

● Yerel optimumları içeren durumlar multimodal olarak

adlandırılır. Bu gibi durumlarda, global optimumun

bulunması çoğu zaman istenir.

● Ayrıca global yerine yerel optimumun yanlışlıkla

alınmaması için dikkatli olmak gerekir.

Tasarım sürecinde optimizasyon

Lokal maksimum Global maksimum

Global minimum

Lokal minimum

Tasarım sürecinde optimizasyon

Optimum

Minimum

Maksimum

Tasarım sürecinde optimizasyon

● Tıpkı kök bulmada olduğu gibi, tek boyutlu optimizasyon

paranteze alma ve açık yöntemler olarak ikiye ayrılır.

Altın-Bölme ‘Golden Section’ arama yöntemi paranteze

alma yönteminin bir örneği olup kök bulma yöntemi olan

Aralık Yarılama yöntemi ile benzerlik gösterir.

● Biraz daha karmaşık olan parabolik enterpolasyon

yaklaşımı ise başka bir yöntemdir. Bu iki yöntemin

birleştirilip MATLAB’ın ‘fminbnd’ fonksiyonu ile kullanılır.

● >> fminbnd('fun',a,b)

Neden optimizasyon popüler?

Popülerlik nedenleri:

● Sayısal modelleme tekniklerinin kullanılabilirliğini artması

● Ekonomik olan bilgisayarda gücün artması

● Artan rekabet ve küresel pazarlar

● Daha iyi ve daha güçlü optimizasyon teknikleri

● Artan pahalı üretim süreçleri (deneme yanılma yaklaşımı ile yapılan üretim çok pahalıdır)

● Optimizasyon bilgisi olan daha fazla mühendisin olması

Optimizasyon tuzakları!

Doğru şekilde problemin formülasyonu kritik öneme

sahiptir!

Verilen bir problem için doğru algoritmayı seçmek

önemlidir!

Birçok algoritma çok sayıda kontrol parametresi içerir

Optimizasyon, modellerdeki zayıf noktaları kullanma

eğilimi gösterir

Optimizasyon çok hassas tasarımlarda sorun çıkarabilir

Bazı sorunlar oldukça zor, büyük ve pahalıdır

Yapısal optimizasyon

● Yapısal optimizasyon = Yapılara optimizasyon

teknikleri uygulanabilir

● Farklı kategoriler:

– Boyutlandırma optimizasyonu

– Malzeme optimizasyonu

– Şekil optimizasyonu

– Topoloji optimizasyonu t

E,

r

R

L

h

Şekil optimizasyonu

Yamaha R1

Topoloji optimizasyon örnekleri

Sınıflandırma

● Problemler:

– Kısıtlı ve kısıtsız optimizasyon – Tek düzeyli ve çok düzeyli optimizasyon – Tek amaçlı ve çok amaçlı optimizasyon – Deterministik ve stokastik

● Çözümler:

– Lineer ve lineer olmayan

– Konveks ve konveks olmayan – Düzgün ve düzgün olmayan

● Değişkenler:

– Sürekli ve tam sayı kesikli

Pratik örnek: Airbus A380

● Airbus A380'in

kanat sertleştirici

kaburgaları:

● Amaç: ağırlığı azaltmak ● Kısıtlar: stres, burkulma

Ön kenar

kaburgaları

Pratik örnek: Airbus A380

● Topoloji optimizasyonu:

● Boyutlandırma/şekil

optimizasyonu:

Airbus A380 Örneği

● Sonuç: 500 kg ağırlık tasarrufu

Diğer örnekler

● Jaguar F1 FRC ön kanat: Maksimum yer değiştirmelerde

ağırlık kısıtlamalarını azaltmak

5% tasarruf sağlandı

Diğer Örnekler

● Paketleme ürünlerin dizaynı optimizasyonu

● Amaç: kullanılan

malzemeyi en aza

indirmek

● Kısıtlamalar:

stres, burkulma

● Sonuç:% 20 tasarruf edildi.

Aktif kateter optimizasyonu

Diğer Optimizasyon Uygulamaları ● Optimizasyon ayrıca aşağıdaki alanlarda da

uygulanır:

–Protein katlama

–Sistem tanılama

–Finansal piyasa tahmini (opsiyon fiyatlaması)

–Lojistik (gezgin satıcı problemi), rota planlama, yön eylem araştırması

–Kontrolör tasarımı

–Uzay aracı yörünge planlaması

–Yapısal tasarım optimizasyonu

Bir tasarım optimizasyon

problemini ilginç kılan nedir?

● İyi tasarım optimizasyon problemleri genellikle

çıkar çatışması / çelişen gereksinimler gösterir:

– Uçak kanadı: rijitlik / ağırlık

– Yağ şişesi: sertlik / burkulma yükü / malzeme kullanımı

● Aksi takdirde sorun önemsiz olabilir!

Optimizasyon modeli

● Optimizasyon problemleri genellikle bir iteratif

algoritma kullanılarak çözülür:

Model

Optimize edici

Tasarım değişkeni x

Sabitler Değerler

f , g, h

Türevl

değerleri

(tasarım

hassasiyetleri)

f ,

g ,

h

xi xi xi

Sistem yaklaşımı

Sistem Fonksiyon

Ortam

● Sistematik düşünme biçimi:

– Giriş / çıkışlar nelerdir?

– Sisteme veya ortama ait olanlar hangileridir?

– Ayrıntı seviyesi ne ölçüde olmalıdır?

– Alt sistemleri ve hiyerarşileri ayırt edilmeli

Giriş Çıkış

Örnek: konsol kirişi:

h E,

F, U

U(t) F(t)

E, , h, L i

F(t) U(t)

Model örneği

Matematiksel model:

12

bh3 3E

U FL

3EI

3 3 FL

Sonlu elemant model: U K (E, L,b, h) F 1

F, U

L

h, b

h

b

E,

Çelik

U(x), M(x), V(x)

Model örneği (2)

● Sistem (durum)

değişkenleri:

● Sistem parametreleri:

● Sistem sabitler:

b

U(x), M(x), V(x)

h, b, L

E,

F, U h, b

h

E,

L

Çelik

U(x), M(x), V(x)

Bilgisayar modellerinin özellikleri

● Sonlu doğruluğun nedenleri:

– Ayrıklaşma zamanı ve arama uzayı

– Sonlu sayıda iterasyon (özdeğerler, doğrusal

olmayan modeller)

– Sayısal yuvarlama hataları, kötü koşullar

● Çözümler "gürültü" içerebilir:

– Arama uzayında ve/veya farklı ayrıklıklaşma

nedeniyle bu olabilir. Örneğin tekrar ağ yapısı

oluşturma.

Gürültü içeren çözüm

● Örnek: tekrar ağ yapısı oluşturma etkisi

Normalize edilmiş

stres kısıtı

Delik çapı

Bilgisayar modellerinin özellikleri

● Hesaplamalı modeller (çok) zaman alır

● Çoğu zaman tasarım hassasiyetleri hesaplanabilir

– Tasarım hassasiyetinin maliyet analizi?

– Hassasiyetlerin doğruluğu / tutarlılığı

Çözüm

Tasarım Değişkeni

Tam

Nümerik

Model

Sonlu fark hassasiyetleri

● Duyarlılık hesaplamanın basit yolu:

sonlu farklar

● Fazla ayrıntı daha sonra verilecek!

df

f ( x x) f ( x)

dx x

Küçük!

f

x

f (x x)

f (x)

x

Einstein'ın tavsiyesi

“Her şey

mümkün

olduğunca basit

yapılmalı, ancak

daha basit

olmamalıdır.”

Modelin basitleşmesi optimizasyon için önemlidir.!

Kaynaklar

● P.Y. Papalambros & D.J. Wilde, Principles of

Optimal Design , Modeling and Computation

● Singiresu S. Rao, Engineering Optimization:

Theory and Practice

● Chong E.K.P. and Zak S.H., An Introduction to

Optimization

● Fred van Keulen & Matthijs Langelaa, Lecture

Notes on Engineering Optimization, Delft

University, 2008