OOPPTTIICCAA FFRRAACCCCIIOONNAALL DDEE FFOOUURRIIEERR

Cesar O. Torres**,, YYeezziidd TToorrrreess yy PPiieerrrree PPeellllaatt--FFiinneett ****.. Cesar O. TorresGGrruuppoo ddee OOppttiiccaa yy TTrraattaammiieennttoo ddee SSeeññaalleess

UUnniivveerrssiiddaadd IInndduussttrriiaall ddee SSaannttaannddeerr **DDiirreecccciióónn ppeerrmmaanneennttee LLaabboorraattoorriioo ddee OOppttiiccaa ee IInnffoorrmmááttiiccaa LLOOII

UUnniivveerrssiiddaadd PPooppuullaarr ddeell CCeessaarr **** UUnniivveerrssiittee ddee BBrreettaaggnnee SSuudd.. LLoorriieenntt FFrraannccee

RReessuummeenn SSee mmuueessttrraann llaass aapplliiccaacciioonneess mmááss rreelleevvaanntteess ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eenn eell ccaammppoo ddee llaa óóppttiiccaa yy ssuuss ppootteenncciiaalliiddaaddeess ffrreennttee aall pprroocceessaaddoo yy ttrraattaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee iimmáággeenneess,, eell aarrttííccuulloo ccoommiieennzzaa ccoonn uunnaa ppeeqquueeññaa iinnttrroodduucccciióónn hhiissttóórriiccaa ddee llaa ffoorrmmuullaacciióónn ppllaanntteeaaddaa ppoorr NNaammiiaass eenn 11998800,, lluueeggoo rreellaacciioonnaa llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ccoonn llaa tteeoorrííaa ddee llaa ddiiffrraacccciióónn,, ssee rreeaalliizzaa uunn aannáálliissiiss ddeell pprriinncciippiioo ddee HHuuyyggeennss FFrreessnneell yy llaa tteeoorrííaa ddeell ccaammppoo aauuttooccoonnssiisstteennttee;; ccoonncceeppttooss aapplliiccaaddooss aa llaa tteeoorrííaa ddee rreessoonnaaddoorreess,, ssee iinntteerrpprreettaa llaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ccoommoo uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee FFoouurriieerr eennttrree ccaassqquueetteess eessfféérriiccooss yy ccoonn aayyuuddaa ccoonncceeppttuuaall ddeell ppaassoo ddee uunnaa hhaazz lluummiinnoossoo aa ttrraavvééss ddee uunnaa lleennttee ddeellggaaddaa ssee eennccuueennttrraann llooss ooppeerraaddoorreess ddee llaa ddiiffrraacccciióónn,, ppoosstteerriioorrmmeennttee ssee aannaalliizzaann llaass ccoonnddiicciioonneess ddee oobbtteenncciióónn óóppttiiccaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr yy ssee iinnttrroodduuccee eell ccoonncceeppttoo ddee óóppttiiccaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ddee mmaanneerraa ggeenneerraall.. PPaallaabbrraass ccllaavveess:: FFóórrmmuullaa ddee CCoolllliinnss,, MMaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss,, óóppttiiccaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr..

RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN IINNTTEEGGRRAALL DDEE LLAA TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA FFRRAACCCCIIOONNAALL DDEE FFOOUURRIIEERR EEnn eell ccaassoo ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn uussuuaall ddee FFoouurriieerr ssee ppuueeddee mmoossttrraarr qquuee llaass ffuunncciioonneess pprrooppiiaass ddeell ooppeerraaddoorr ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee FFoouurriieerr

ℑ2π

ssoonn llaass ffuunncciioonneess ddee HHeerrmmiittee--

GGaauussss:: ( )xn

2

H2x-

exp ddoonnddee ( )xnH ssoonn llooss ppoolliinnoommiiooss ddee HHeerrmmiittee ddee oorrddeenn nn;; ppoorr

ttaannttoo ssee ppuueeddee eessccrriibbiirr llaa ssiigguuiieennttee rreellaacciióónn[1]::

( ) ( )xexin

n

2

2n

2

2

H2x-expH

2x-exp

=

π

πℑ (1)

Es posible en concordancia con el anterior resultado considerar la expresión:

( ) ( )xex inn

2

n

2

H2x-expH

2x-exp

=

α

αℑ (2)

Este operador generalizado puede ser representado en la forma:

( ) ( ) ( )xex inn

2

n

2

H2x-expH

2x-expAi

=

ααexp (3)

Donde se obtiene que:

21-

21

21- 2

2

2

xdxd

+=A (4)

Es posible definir a este operador como el operador de transformación fraccional de Fourier y se hace entonces evidente que para el caso en el cual se cambia α por se obtiene la transformación de Fourier fraccional inversa. Así mimo es sencillo determinar que para el caso

α−

2π

=α se encuentra la transformada estándar de Fourier,

para la situación α se produce el operador identidad, para α el operador paridad y así sucesivamente. Definiendo el orden de la transformación fraccional de Fourier como

0= π=

2π

α=n con − . 2≤≤ n2

De la ecuación (2) se tiene que las funciones de Hermite-Gauss son las funciones propias del operador con valores propios e y como es bien sabido una función

de cuadrado integrable puede ser expandida en términos de estas funciones propias donde el cálculo de los coeficientes se realiza aplicando las propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Hermite y el uso de la fórmula de Mehler. De tal forma que se obtiene

αℑf

αin

( )x

[1]:

( ) ( )dxxfixxxxf '

-

''2'`2

sencotan

2iexpcotan

2ixexp

sen224

i-exp

∫∞

∞

+−

−

−

=α

αααπ

απ

αℑ (5)

TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIIOONNEESS FFRRAACCCCIIOONNAALLEESS DDEE FFOOUURRIIEERR DDEE FFUUNNCCIIOONNEESS SSIIMMPPLLEESS[1]

FUNCION TRANSFORMADA FRACCIONAL DE FOURIER

1

−

αα

α

tgxiei

2exp

cos

22

−

2exp

2x

−

2exp

2x

( )

−

2exp

2xxHn ( )

−

2exp

2xxHe ninα

+− axx

2exp

2

+−− αα α ii axeeaix sin

22exp

22

δ ( )x

−

−

ααπ

απ

ctgxiii

2exp

sin224

exp 2

δ ( )ax − ( )

++−

−

αααπ

απ

csc2

expsin2

24exp

22 iaxaxctgiii

ikxe ( )

++

−

ααα

α

sec2

expcos

222

ikxxktgiei

CCÁÁLLCCUULLOO OOPPEERRAACCIIOONNAALL GGEENNEERRAALLIIZZAADDOO UUttiilliizzaannddoo llaa ddeeffiinniicciióónn ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eess ssiimmppllee ddeedduucciirr llaass ssiigguuiieenntteess pprrooppiieeddaaddeess qquuee hhaacceenn ppaarrttee ddee llaa ffoorrmmaa ddee ooppeerraarr ddee eessttaa ddeeffiinniicciióónn ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall[1]:: RReeggllaa ddee llaa mmuullttiipplliiccaacciióónn RReeggllaa ddee llaa ddiiffeerreenncciiaacciióónn RReeggllaa ddeell pprroodduuccttoo ccoommbbiinnaaddoo RReeggllaa ddee llaa ddiivviissiióónn RReeggllaa ddee llaa iinntteeggrraacciióónn RReeggllaa ddeell ddeessppllaazzaammiieennttoo RReeggllaa ddee llaa ssiimmiillaarriiddaadd RReeggllaa ddeell eexxppoonneenncciiaall AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS PPUURRAAMMEENNTTEE MMAATTEEMMAATTIICCAASS HHaassttaa aahhoorraa llaass ppootteenncciiaalleess aapplliiccaacciioonneess ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr aabbaarrccaann bbáássiiccaammeennttee ddooss ggrraannddeess ttóóppiiccooss:: llaa ssoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess ddiiffeerreenncciiaalleess yy eenn eell ccaammppoo ddee llaa óóppttiiccaa;; eenn eell pprriimmeerr ccaassoo ssee uuttiilliizzaa eell pprriinncciippiioo ddee rreedduucciirr eell oorrddeenn ddee llaa eeccuuaacciióónn mmeeddiiaannttee llaa uuttiilliizzaacciióónn ddee llaass rreeggllaass ddeell ccáállccuulloo ooppeerraacciioonnaall ggeenneerraalliizzaaddoo,, eess iimmppoorrttaannttee rreeccaallccaarr qquuee eessttee pprroocceeddiimmiieennttoo eess aapplliiccaaddoo aa llaa ssoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess ddiiffeerreenncciiaalleess ppaarrcciiaalleess yy oorrddiinnaarriiaass ddee sseegguunnddoo oorrddeenn qquuee ccoonnttiieenneenn ttéérrmmiinnooss ccuuaaddrrááttiiccooss eenn llaass vvaarriiaabblleess iinnvvoolluuccrraaddaass yy ddeennttrroo ddee llaass ccuuaalleess vvaallee llaa ppeennaa ddeessttaaccaarr llaass rreellaacciioonnaaddaass aa ccoonnttiinnuuaacciióónn[1]::

11.. SSoolluucciióónn ddee llaa eeccuuaacciióónn ddee SScchhrrööddiinnggeerr iinnddeeppeennddiieennttee ddeell ttiieemmppoo ppaarraa eell oosscciillaaddoorr aarrmmóónniiccoo ccuuáánnttiiccoo

22.. FFuunncciioonneess ddee GGrreeeenn ppaarraa eell oosscciillaaddoorr aarrmmóónniiccoo yy llaa eevvoolluucciióónn tteemmppoorraall ddeell ppaaqquueettee ddee oonnddaa

33.. FFuunncciioonneess ddee GGrreeeenn ppaarraa eell oosscciillaaddoorr aarrmmóónniiccoo ffoorrzzaaddoo

44.. EEssttaaddooss eessttaacciioonnaarriiooss yy nniivveelleess ddee eenneerrggííaa ppaarraa eelleeccttrroonneess lliibbrreess eenn uunn ccaammppoo mmaaggnnééttiiccoo uunniiffoorrmmee yy ccoonnssttaannttee

55.. EEvvoolluucciióónn ddee ppaaqquueetteess ddee oonnddaa eelleeccttrróónniiccooss eenn uunn ccaammppoo mmaaggnnééttiiccoo uunniiffoorrmmee yy ccoonnssttaannttee

66.. SSoolluucciióónn ddee llaa eeccuuaacciióónn ddee SScchhrrööddiinnggeerr ppaarraa eelleeccttrroonneess lliibbrreess eenn uunn ccaammppoo mmaaggnnééttiiccoo uunniiffoorrmmee vvaarriiaannddoo tteemmppoorraallmmeennttee....

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS EENN LLAA OOPPTTIICCAA EEss nnuueessttrroo pprrooppóóssiittoo eenn eessttee aarrttííccuulloo pprreesseennttaarr llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr aall ccaammppoo ddee llaa óóppttiiccaa ddeennttrroo ddee llaass ccuuaalleess ddeessttaaccaarreemmooss ccoommoo llaass mmááss rreelleevvaanntteess eenn llaass áárreeaass ddee llaa tteeoorrííaa ddee llaa ddiiffrraacccciióónn,, tteeoorrííaa ddee rreessoonnaaddoorreess,, oobbtteenncciióónn óóppttiiccaa yy ddiiggiittaall ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr bbiiddiimmeennssiioonnaall yy llaa ooppeerraacciióónn ccoorrrreellaacciióónn ffrraacccciioonnaall.. DDIIFFRRAACCCCIIÓÓNN DDEE FFRREESSNNEELL YY TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA FFRRAACCCCIIOONNAALL DDEE FFOOUURRIIEERR RReeeessccrriibbiieennddoo llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ddaaddaa ppoorr NNaammiiaass[1] ddee mmaanneerraa bbiiddiimmeennssiioonnaall::

( )[ ] ( )

+

−

=ℑ 22

2tani-exp

22

exp, vu

sin

iU A ααπ

απ

ηξα

( ) ( ) ( ) ηξηξαηξ

ηξα

ddUvuA ,

siniexp

2tani-exp 22∫∫

∞

∞−

∞

∞−

+

+

(6)

CCoommppaarraannddoo llaa aanntteerriioorr ddeeffiinniicciióónn ccoonn llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell::

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ηξ

ληξπ

ηξλπ

ηξλπ

λdd

dvu

dUvu

ddivuU AP ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

+

+

+=

2i-expiexp,iexp1, 2222 (7)

DDoonnddee eell ttiieemmppoo oorriiggeenn ssoobbrree PP eess ddeessppllaazzaaddoo ccoonn rreessppeeccttoo aall oorriiggeenn tteemmppoorraall eenn AA,, lluueeggoo eell ffaaccttoorr

λπdi2exp hhaa ssiiddoo ddeesseessttiimmaaddoo..

LLaa ssiimmiilliittuudd eennttrree llaass ddooss eexxpprreessiioonneess ppeerrmmiittee vviissuuaalliizzaarr eell hheecchhoo ddee qquuee eess ppoossiibbllee eennttoonncceess eessccrriibbiirr llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ccoommoo uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ccoommoo ssee ddeettaallllaa aa ccoonnttiinnuuaacciióónn[2,3]:: RReeaalliizzaannddoo uunn eessccaallaammiieennttoo[4] ttaannttoo eenn llaass ccoooorrddeennaaddaass ddeell ppllaannoo ddee ddiiffrraacccciióónn

ξ

ccoommoo ppaarraa llaass ccoooorrddeennaaddaass eenn eell ppllaannoo ddee oobbsseerrvvaacciióónn ;; tteenniieennddoo eenn ccuueennttaa qquuee

,0 πα ≠

ddee llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ssee oobbttiieennee::

( ) ( ) ([ ηξα

πλ

παλ

απ α ,2

expsenexpsen2,222

AP Uivuiddi

vuU ℑ

−−

+

= )] (8)

rreessuullttaaddoo qquuee ssee ccoorrrreessppoonnddee eexxaaccttaammeennttee ccoonn llaa iinntteerrpprreettaacciióónn ddee llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell eenn ttéérrmmiinnooss ddee uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr,, ddeennoottaaddaa ppoorr

αℑ ,, ccoonn n2π

α = ..

EEss mmuuyy iinntteerreessaannttee nnoottaarr qquuee ssee eessttaabblleecciióó uunnaa rreellaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eennttrree llaass ddiissttrriibbuucciioonneess ddee aammpplliittuudd ccoommpplleejjaa ddeell ccaammppoo ddee ssaalliiddaa )( vuP ,U yy llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee aammpplliittuudd ccoommpplleejjaa ddeell ccaammppoo ddee eennttrraaddaa )( ηξ ,AU ((VVeerr eeccuuaacciióónn 77 )).. EEll ffaaccttoorr ddee ffaassee aaddiicciioonnaall eenn eessttaa rreellaacciióónn ssee iinntteerrpprreettaa ccoommoo uunnaa oonnddaa ddiivveerrggeennttee;; lloo ccuuaall qquuiieerree ddeecciirr qquuee llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee aammpplliittuudd ccoommpplleejjaa ddee oobbsseerrvvaacciióónn ssee eennccuueennttrraa aahhoorraa ssoobbrree uunnaa ssuuppeerrffiicciiee eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo ddaaddoo ppoorr::

α2send

=R (9)

TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIIÓÓNN DDEE FFOOUURRIIEERR YY SSIISSTTEEMMAASS ÓÓPPTTIICCOOSS EEss ppoossiibbllee ddee mmaanneerraa ggeenneerraall eennccoonnttrraarr uunnaa eexxpprreessiióónn ppaarraa llooss ssiisstteemmaass óóppttiiccooss ssii ssee ccoommbbiinnaa llaa ffóórrmmuullaa ddee CCoolllliinnss yy llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr[5]:: LLaa bbiieenn ccoonnoocciiddaa ffóórrmmuullaa ddee CCoolllliinnss llaa ccuuaall eess uunnaa aaddeeccuuaaddaa aarrttiiccuullaacciióónn eennttrree llaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss ddee uunn ssiisstteemmaa óóppttiiccoo yy llaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell eessttáá ddaaddaa ppoorr::

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηξηξλ

ηξπλ

ηξπλ

πλ

ddUvuvuvuU AP ,B

i2expB

AiexpB

DiexpBi,

2222

∫∫∞

∞−

∞

∞−

+−

+

+−

= (10)

DDoonnddee llooss vvaalloorreess AABBCCDD ccoorrrreessppoonnddeenn aa llooss eelleemmeennttooss ddee llaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss ddeell ssiisstteemmaa óóppttiiccoo[6] ccoonnssiiddeerraaddoo;; ssii aaddeemmááss ssee pprroodduuccee uunn eessccaallaammiieennttoo eenn llaass ccoooorrddeennaaddaass ddee llooss ppllaannooss ddee ddiiffrraacccciióónn yy oobbsseerrvvaacciióónn ccoonn llaass mmiissmmaass rreessttrriicccciioonneess yy ssee iilluummiinnaa ccoonn uunnaa oonnddaa eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo

A1R eell ppllaannoo ddee oobbsseerrvvaacciióónn ssee oobbttiieennee ccoommoo

rreessuullttaaddoo::

( ) ( ) ( )[ ]ηξαπ

λπα

λαπ α

,2

expB

RB-1A

cosBDexp

Bsen2,

22

1

2

AP Uivuii

vuU ℑ

−−

+

−=

(11)

EExxpprreessiióónn qquuee ppeerrmmiittee oobbtteenneerr llaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell eenn ttéérrmmiinnooss ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ppaarraa eell ccaassoo ddee uunn ssiisstteemmaa óóppttiiccoo ccuuyyaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss eess ccoonnoocciiddaa.. YY ddee ddoonnddee eess ppoossiibbllee ccoonncclluuiirr lloo ssiigguuiieennttee::

11.. SSii eell vvaalloorr ddeell eelleemmeennttoo ddee llaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss eessttáá ddaaddoo ppoorr AA==00;; ssiieemmpprree ssee oobbtteennddrráá uunnaa ttrraannssffoorrmmaaddaa eessttáánnddaarr ddee FFoouurriieerr eennttrree llaass ssuuppeerrffiicciieess ddee ddiiffrraacccciióónn yy ddee oobbsseerrvvaacciióónn ((vveerr eeccuuaacciióónn 1100)).. EEnn llaa ssiittuuaacciióónn ppaarrttiiccuullaarr qquuee aaddeemmááss DD==00 llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ssee oobbtteennddrráá ddee mmaanneerraa eexxaaccttaa ssoobbrree uunnaa ssuuppeerrffiicciiee ppllaannaa..

22.. SSii eell eelleemmeennttoo ddee llaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss AA≠≠00;; ssiieemmpprree ssee oobbtteennddrráá uunnaa

ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eennttrree llaass ssuuppeerrffiicciieess ddee ddiiffrraacccciióónn yy ddee oobbsseerrvvaacciióónn ((vveerr eeccuuaacciióónn 1111)) ddee lloo ccuuaall ssee ppuueeddee ccoonncclluuiirr qquuee::

22..11.. EEnn eell ccaassoo qquuee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddee ddiiffrraacccciióónn sseeaa ppllaannaa llaa oobbsseerrvvaacciióónn ddeebbeerráá

rreeaalliizzaarrssee eenn llaa ssuuppeerrffiicciiee eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo α22 cos-AD

AB-=R

22..22.. EEnn eell ccaassoo qquuee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddee oobbsseerrvvaacciióónn sseeaa ppllaannaa llaa iilluummiinnaacciióónn ssoobbrree eell ppllaannoo ddee ddiiffrraacccciióónn ddeebbeerráá rreeaalliizzaarrssee ccoonn oonnddaa eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo

α21 cos-ADABD

=R ..

22..33.. EEnn eell ccaassoo qquuee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddee oobbsseerrvvaacciióónn sseeaa eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo 2 R llaa

iilluummiinnaacciióónn ssoobbrree eell ppllaannoo ddee ddiiffrraacccciióónn ddeebbeerráá rreeaalliizzaarrssee ccoonn oonnddaa eessfféérriiccaa ddee rraaddiioo

1R ,, ccoonneeccttaaddaass mmeeddiiaannttee llaa eexxpprreessiióónn

α2

1

12

cosB1AD

B1AB

−

−

−−

=

R

RR

..

22..44.. CCuuaannddoo ssee ddeesseeee oobbsseerrvvaarr uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eennttrree

ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass,, ttaannttoo llaa ssuuppeerrffiicciiee ddee ddiiffrraacccciióónn ccoommoo ddee oobbsseerrvvaacciióónn ddeebbee ccuummpplliirr qquuee α2cos=AD ..

33.. LLaa oobbtteenncciióónn ddee llaa rreellaacciióónn eennttrree llaass ddiissttrriibbuucciioonneess ddee aammpplliittuudd ccoommpplleejjaass eennttrree

ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass aa ddiissttaanncciiaass ffiinniittaass eenn eell eessppaacciioo lliibbrree nnoo ppeerrmmiittee llaa oobbtteenncciióónn ddee uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall,, ppuueessttoo qquuee AA yy DD ssoonn ccoonnssttaanntteess yy nnoo ssoonn ffuunncciioonneess ddee llooss ppaarráámmeettrrooss ddeell ssiisstteemmaa óóppttiiccoo;; ppoorr ttaannttoo ssuu ddeessccrriippcciióónn eessttaarráá ttoottaallmmeennttee ddeeffiinniiddaa ppoorr llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ((vveerr eeccuuaacciióónn 77))..

44.. LLaa ddiiffrraacccciióónn eess uunnaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ccuuyyoo oorrddeenn ddeeppeennddee ddee llaa

ddiissttaanncciiaa ddoonnddee eell ccaammppoo ddiiffrraaccttaaddoo eess oobbsseerrvvaaddoo.. LLaa ccoonnttiinnuuiiddaadd ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ccoonn rreessppeeccttoo aa ssuuss oorrddeenneess ccoorrrreessppoonnddee aa llaa ccoonnttiinnuuiiddaadd ddee pprrooppaaggaacciióónn ddee oonnddaa yy aa llaa ccoonnttiinnuuiiddaadd eennttrree eell ffeennóómmeennoo ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell yy ddee FFrraauunnhhooffeerr.. TTaammbbiiéénn ppuueeddee sseerr mmoossttrraaddoo qquuee llaass lleeyyeess ddee ccoommppoossiicciióónn ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eessttáánn ddee aaccuueerrddoo ccoonn eell pprriinncciippiioo ddee HHuuyyggeennss..

55.. LLaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr aappaarreeccee ccoommoo uunnaa hheerrrraammiieennttaa mmaatteemmááttiiccaa

aapprrooppiiaaddaa ppaarraa llaa eexxpprreessiióónn ddee llaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell bbaajjoo aapprrooxxiimmaacciióónn ppaarraaxxiiaall[7].. LLaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ddee FFoouurriieerr eessttáánnddaarr eess uunn ccaassoo eessppeecciiaall qquuee ccoorrrreessppoonnddee aa llaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrraauunnhhooffeerr..

66.. LLaa ttrraannssffeerreenncciiaa eennttrree ddooss mmeeddiiooss hhoommooggéénneeooss ee iissoottrróóppiiccooss ppuueeddee ttaammbbiiéénn sseerr

rreepprreesseennttaaddaa ccoonn llaa aayyuuddaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr aabbrriieennddoo uunn

nnuueevvoo ccaammiinnoo ddee pprroocceeddeerr ccoonn llaa óóppttiiccaa ddee FFoouurriieerr yy llaa tteeoorrííaa ddee ffoorrmmaacciióónn ddee iimmáággeenneess..

OOPPEERRAADDOORREESS DDEE LLAA DDIIFFRRAACCCCIIÓÓNN SSii ssee ccoonnssiiddeerraa ddee nnuueevvoo llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ((vveerr eeccuuaacciióónn 77)) ddee llaa ssiigguuiieennttee ffoorrmmaa ::

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )ηξ

ληξπ

ηξλπ

ηξλλ

π ddd

vud

Udi

vud

vuU AP ∫∫∞

∞−

∞

∞−

+

+=

+

−2iexpi-exp,1i-exp, 2222

(12)

LLoo ccuuaall ssee ppuueeddee eessccrriibbiirr eenn ttéérrmmiinnooss ddee llaass ssuuppeerrffiicciieess eessfféérriiccaass ttaannggeenntteess aa llooss ppllaannooss ddee oobbsseerrvvaacciióónn yy ddiiffrraacccciióónn ddaaddooss ppoorr::

) (( )

+−=

diU AASph λ

ηξπηξηξ

22

exp),(),(U (13)

y (

( ))

−+−

=d

vuivuUvu PPSph λπ 22

exp),(),(U (14)

RReeeemmppllaazzaannddoo ssee oobbttiieennee::

( )ηξ

ληξπ

ηξλ

ddd

vuiUdi

vuSphSph AP ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

+=

2exp),(1),(U (15)

IInnttrroodduucciieennddoo ccoooorrddeennaaddaass aaddeeccuuaaddaass ddee eessccaallaammiieennttoo eenn llaass ssuuppeerrffiicciieess ddee ddiiffrraacccciióónn yy ddee oobbsseerrvvaacciióónn ssee oobbttiieennee qquuee:: [ ]),(2),( ηξ

λπ

SphSph AP Udi

vu ℑ=U (16)

LLoo ccuuaall ppeerrmmiittee iinntteerrpprreettaarr aa llaa ffóórrmmuullaa ddee ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell ccoommoo uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn eessttáánnddaarr ddee FFoouurriieerr eennttrree ddooss ssuuppeerrffiicciieess eessfféérriiccaass ccoonnccéénnttrriiccaass ccoommoo ssee mmuueessttrraa eenn llaa ffiigguurraa 11..

FFiigg.. 11.. DDiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell eennttrree ssuuppeerrffiicciieess eessfféérriiccaass ddee eennttrraaddaa AA yy ssaalliiddaa PP..

LLaa ddiiffrraacccciióónn ddee FFrreessnneell eess uunnaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee oorrddeenn 11 eennttrree ddooss ssuuppeerrffiicciieess eessfféérriiccaass ccuuyyooss vvéérrttiicceess eessttáánn llooccaalliizzaaddooss ssoobbrree llaa mmiissmmaa eessffeerraa yy sseeppaarraaddooss uunnaa ddiissttaanncciiaa iigguuaall aall rraaddiioo ddee llaa eessffeerraa.. EEssttee rreessuullttaaddoo ddeessddee eell ppuunnttoo ddee vviissttaa ddee llaa óóppttiiccaa ppaarraaxxiiaall ttiieennee eell mmiissmmoo ssiiggnniiffiiccaaddoo aall ddeell ooppeerraaddoorr eessffeerraa ddee FFoouurriieerr oobbtteenniiddoo eenn llaa

aapprrooxxiimmaacciióónn mmeettaaxxiiaall[7].. EEss ddeecciirr Sph

),( vuPU eess llaa eessffeerraa ddee FFoouurriieerr ddee ),( ηξSphAU ..

SSii aahhoorraa ssee ttiieennee eenn ccuueennttaa llaa ccoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa ffiigguurraa 22;; qquuee mmuueessttrraa eell eeffeeccttoo ddeell ppaassoo ddee uunn hhaazz lluummiinnoossoo aa ttrraavvééss ddee uunnaa lleennttee ddeellggaaddaa::

FFiigg.. 22.. OOppeerraaddoorr ttrraannssppaarreenncciiaa ddee ccuurrvvaattuurraa

),( ηξAU eess llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee ccaammppoo iinnmmeeddiiaattaammeennttee ddeettrrááss ddee llaa lleennttee yy ),( ηξBU

RR =2

eess llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee ccaammppoo iinnmmeeddiiaattaammeennttee ddeessppuuééss ddee llaa lleennttee;; ccoonn aayyuuddaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee ffaassee iinnttrroodduucciiddaa ppoorr uunnaa lleennttee,, ccoonnssiiddeerraannddoo BRR =1

yy ; A

llaa aapprrooxxiimmaacciióónn ddee oonnddaass eessfféérriiccaass ccoonnvveerrggeenntteess yy ddiivveerrggeenntteess yy pprrooppaaggaacciióónn eenn eell eessppaacciioo lliibbrree ssee oobbttiieennee qquuee::

( )

−

+−=

AB

AB RRiU

SphSph

11exp),(),(22

ληξπ

ηξηξU (17)

RReessuullttaaddoo qquuee ppeerrmmiittee oobbtteenneerr eell ooppeerraaddoorr ttrraannssppaarreenncciiaa ddee ccuurrvvaattuurraa eenn aapprrooxxiimmaacciióónn ppaarraaxxiiaall.. CCoonn aayyuuddaa ddee eessttooss ddooss ooppeerraaddoorreess eess ppoossiibbllee eennttoonncceess oobbtteenneerr llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee aammpplliittuudd ccoommpplleejjaa eenn eell eessppaacciioo lliibbrree yy ssee aabbrree ddee eessttaa ffoorrmmaa llaa ppoossiibbiilliiddaadd ddee mmooddiiffiiccaarr llaa eennsseeññaannzzaa ddee llaa ddiiffrraacccciióónn úúnniiccaammeennttee ccoonn llaa ccoorrrreeccttaa aapplliiccaacciióónn ddee llooss ooppeerraaddoorreess eessffeerraa ddee FFoouurriieerr oo ttrraannssffeerreenncciiaa ddee ccaammppoo eelleeccttrroommaaggnnééttiiccoo yy ttrraannssppaarreenncciiaa ddee ccuurrvvaattuurraa.. TTEEOORRIIAA DDEE RREESSOONNAADDOORREESS LLaa ccoonnffiigguurraacciióónn ddeessccrriittaa eenn llaa ffiigguurraa 11 ssee ppuueeddee hhaacceerr ccoorrrreessppoonnddeerr ccoonn uunn rreessoonnaaddoorr ccoonnffooccaall ddee eessppeejjooss eessfféérriiccooss ddee rraaddiiooss iigguuaalleess dd[6,8].. PPaarraa ccoommpprroobbaarr llaa ccoorrrreessppoonnddeenncciiaa eennttrree llaa eeccuuaacciióónn ((1111)) yy eell pprriinncciippiioo ddee HHuuyyggeennss--FFrreessnneell ssee ddeebbee oobbtteenneerr qquuee llaass ssuuppeerrffiicciieess ddee llooss eessppeejjooss ssoonn ccooiinncciiddeenntteess ccoonn llooss ffrreenntteess ddee ffaassee ddee llooss mmooddooss ddeell rreessoonnaaddoorr;; ccuummpplliieennddoo aassíí ccoonn llaa tteeoorrííaa ddee ccaammppoo aauuttooccoonnssiisstteennttee.. DDee lloo ccoonntteemmppllaaddoo eenn eell lliitteerraall 22..33 yy llaa eeccuuaacciióónn ((1111)) eess ffáácciill oobbtteenneerr llaa ccoonnddiicciióónn ddee eessttaabbiilliiddaadd eenn rreessoonnaaddoorreess mmuullttiieelleemmeennttooss ::

1B1A21

<

−

−<

RBD

R0 (18)

EEnn llaa ssiittuuaacciióónn ppaarrttiiccuullaarr ddee uunn rreessoonnaaddoorr vvaaccííoo ssee oobbttiieennee llaa eexxpprreessiióónn cclláássiiccaa:: 11111

21

<

−

−<

RR0 (19)

SSii aahhoorraa ssee ccoonnssiiddeerraa uunnaa hhaazz GGaauussiiaannoo )(

+−

2exp

22 γρπ

2R

vviiaajjaannddoo ddeell eessppeejjoo ddee rraaddiioo

ddee ccuurrvvaattuurraa 1R aall eessppeejjoo ddee rraaddiioo ddee ccuurrvvaattuurraa ;; EEnn ccoonnccoorrddaanncciiaa ccoonn llooss rreessuullttaaddooss

pprreelliimmiinnaarreess,, llaa iinnvvaarriiaannzzaa ddee llooss hhaacceess GGaauussiiaannooss aa uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall yy aall eessccaallaammiieennttoo uuttiilliizzaaddoo ppaarraa oobbtteenneerr llaa eeccuuaacciióónn 1111 ssee ttiieennee qquuee::

( ) ( )

+

−

−=

+−

21

cosexp2

''exp22

1

22 vu

Rdd

sinvu ααλππ

((2200))

TTeenniieennddoo eenn ccuueennttaa qquuee llaa pprrooppaaggaacciióónn eess ddeell eessppeejjoo ccoonn rraaddiioo ddee ccuurrvvaattuurraa

1R aall eessppeejjoo ccoonn rraaddiioo ddee ccuurrvvaattuurraa

2R ;; llaa ssiigguuiieennttee rreellaacciióónn ppuueeddee sseerr eessttaabblleecciiddaa::

−

=1

cos

1

22

Rdd

sinw

ααπλ (21)

DDoonnddee ww eess uunn ppaarráámmeettrroo rreeaall rreeffeerriiddoo aall ppaarráámmeettrroo ccoommpplleejjoo ddeell hhaazz yy ddeessccrriibbee llaa vvaarriiaacciióónn GGaauussiiaannaa ddee llaa iinntteennssiiddaadd ddeell hhaazz ccoonn llaa ddiissttaanncciiaa aall eejjee óóppttiiccoo,, aassíí ccoommoo llaa ccuurrvvaattuurraa ffrroonnttaall ddee llaa ffaassee.. SSii ssee uuttiilliizzaa llaa ccoonnddiicciióónn ddee eessttaabbiilliiddaadd ddee llooss rreessoonnaaddoorreess ssee oobbttiieennee::

( )( )

−+−

−

=

dRRd

dRdRRw

212

1

2

242 π

λ (22)

EEll ssiimmppllee ccaammbbiioo ddee

1R ppoorr 2R ppeerrmmiittee oobbtteenneerr llaa eexxpprreessiióónn ppaarraa 4

1w DDee llaass aanntteerriioorreess eeccuuaacciioonneess ssee oobbttiieennee llaa cciinnttuurraa ddeell hhaazz ccoommoo::

( )( )(

( ))

2

21

2121

2

40 2dRR

dRRdRdRdw−+

−+−−

=πλ

(23)

CCoonn aayyuuddaa ddee uunn pprrooggrraammaa ssee hhaa ssiimmuullaaddoo llooss mmooddooss ddee oosscciillaacciióónn aa llaa eennttrraaddaa ddee llaa ccaavviiddaadd;; eess ddeecciirr eenn eell eessppeejjoo ddee rraaddiioo ddee ccuurrvvaattuurraa

1R yy lloo oobbsseerrvvaaddoo ssoobbrree llaa ssaalliiddaa ddeell rreessoonnaaddoorr,, eess ddeecciirr ssoobbrree eell eessppeejjoo ddee ssuuppeerrffiicciiee eessfféérriiccaa

2R ..

aa)) bb)) cc))

FFiigg.. 33.. SSiimmuullaacciióónn ddee llooss mmooddooss ddee oosscciillaacciióónn aa llaa eennttrraaddaa yy ssaalliiddaa ddee llaa ccaavviiddaadd rreessoonnaannttee..

aa)) TTEEMM00 bb)) TTEEMM01 cc))TTEEMM11.. 00 01 11

REALIZACIÓN OPTICA DE LA TRANSFORMADA FRACCIONAL DE FOURIER DDee aaccuueerrddoo ccoonn lloo eessttuuddiiaaddoo eenn llooss pprreelliimmiinnaarreess eess ppoossiibbllee oobbtteenneerr uunnaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr ppaarraa eell ccaassoo iinnddiiccaaddoo eenn eell lliitteerraall 22..44;; eell ccuuaall ssee bbaassttaannttee iimmppoorrttaannttee ddeessddee eell ppuunnttoo ddee vviissttaa eexxppeerriimmeennttaall ppuueess ppoossiibbiilliittaa llaa oobbtteenncciióónn ddee eessttaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn eennttrree ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass.. EEnn eell ccaassoo ppaarrttiiccuullaarr ccoonnoocciiddoo ccoommoo mmoonnttaajjee ccaannóónniiccoo ddee LLoohhmmaannnn ttiippoo II [9-14] ((vveerr ffiigguurraa 44))..

FFiigg .. 44.. EEssttrruuccttuurraa óóppttiiccaa ddeell mmoonnttaajjee ccaannóónniiccoo ddee LLoohhmmaannnn ttiippoo II..

SSee mmuueessttrraa qquuee llaa mmaattrriizz ddee ttrraannssffeerreenncciiaa ddee rraayyooss eessttaa ddaaddaa ppoorr llooss eelleemmeennttooss

fd

−=1A ;; f

dd2

2B −= ;; f1

−=C yy fd

−=1D ;; lloo ccuuaall rreeqquuiieerree ppaarraa eell ccuummpplliimmiieennttoo ddee

llaa ccoonnddiicciióónn qquuee::

2

2 2 αfsind = (24)

DDee mmaanneerraa ggeenneerraall ssee ppuueeddee ddeecciirr qquuee llaa rreeaalliizzaacciióónn óóppttiiccaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eess ppoossiibbllee ccoonn eell ccuummpplliimmeennttoo ddee llooss rreeqquuiissiittooss eexxiiggiiddooss eenn llooss lliitteerraalleess 22..11 aall 22..44 eessttuuddiiaaddooss pprreevviiaammeennttee..[15-18] CCoonn aayyuuddaa ddeell mmoonnttaajjee ccaannóónniiccoo ddee LLoohhmmaannnn ttiippoo II,, ssee oobbttuuvviieerroonn eexxppeerriimmeennttaallmmeennttee llooss oorrddeenneess ddee ddiiffrraacccciióónn ½½ yy 11 vveerr ffiigguurraa 55..

aa)) bb)) cc))

FFiigg .. 55.. RReessuullttaaddooss eexxppeerriimmeennttaalleess aa)) oorrddeenn cceerroo bb)) oorrddeenn ½½ cc))OOrrddeenn uunnoo

CORRELACION FRACCIONAL TTeenniieennddoo eenn ccuueennttaa llaa ddeeffiinniicciióónn ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr yy llaa ccoonnsseerrvvaacciióónn ddeell pprriinncciippiioo ddee HHuuyyggeennss[19-21] eess ppoossiibbllee ddeeffiinniirr mmaatteemmááttiiccaammeennttee eell ccoonncceeppttoo ddee ccoorrrreellaacciióónn ffrraacccciioonnaall ccoommoo ssiigguuee ::

]

C (25) ( )[ ] ( )[{ }ηξηξ βαγγβα ,,),,(12 AA UU ℑ⊗ℑℑ=

LLoo ccuuaall ppeerrmmiittee eexxpplloorraarr nnuueevvaass ppoossiibbiilliiddaaddeess eenn eell ccaammppoo ddeell ttrraattaammiieennttoo ddee sseeññaalleess yy ppaarrttiiccuullaarrmmeennttee ddee iimmáággeenneess ddiiggiittaalleess;; ccoonn aayyuuddaa ddee uunn pprrooggrraammaa ddiisseeññaaddoo eenn ccoommppuuttaaddoorr eess ppoossiibbllee ssiimmuullaarr llaa ccoorrrreellaacciióónn eennttrree ddooss lleettrraass aa mmeeddiiddaa qquuee ssee ccoonnssiiddeerraa uunn oorrddeenn mmaayyoorr eenn uunn ccoorrrreellaaddoorr ttiippoo JJTTCC ((aaqquuíí,, αα==ββ==γγ)).. CCoommoo ssee ppuueeddee nnoottaarr llooss ppiiccooss llaatteerraalleess eemmppiieezzaann aa ddeeccrreecceerr aa mmeeddiiddaa qquuee ssee iinnccrreemmeennttaa eell vvaalloorr ddeell oorrddeenn ((vveerr ffiigguurraa 66))..

FFiigg .. 66.. CCoorrrreellaacciióónn ffrraacccciioonnaall aa)) ffiigguurraa ddee eennttrraaddaa bb)) oorrddeenn ½½ cc))OOrrddeenn 00..88 dd)) oorrddeenn 00..99

OOPPTTIICCAA FFRRAACCCCIIOONNAALL DDIIGGIITTAALL LLooss rreessuullttaaddooss aanntteerriioorreess ppeerrmmiitteenn ppoorr ttaannttoo ddeeffiinniirr lloo qquuee ssee ccoonnooccee ccoommoo óóppttiiccaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr[22-26],, eenn ppaarrttiiccuullaarr ppaarraa ccoommeennzzaarr aa aabboorrddaarr eessttaa tteemmááttiiccaa ssee hhaa iimmpplleemmeennttaaddoo eenn llaa ppllaattaaffoorrmmaa MMaattllaabb uunn pprrooggrraammaa qquuee ppeerrmmiittee rreeaalliizzaarr ooppeerraacciioonneess bbáássiiccaass ddeell ttrraattaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee iimmáággeenneess ccoonn aayyuuddaa ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr vveerr ffiigguurraa 77..

FFiigg .. 77.. SSooffttwwaarree ppaarraa pprroocceessaaddoo ddiiggiittaall ddee iimmáággeenneess ccoonn llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS SSee hhaa pprroobbaaddoo ddee mmaanneerraa ccllaarraa yy sseenncciillllaa ccoommoo ssee ppuueeddee iinnttrroodduucciirr llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eenn eell ccaammppoo ddeell aannáálliissiiss yy pprroocceessaammiieennttoo ddee iimmáággeenneess,, aassíí ccoommoo ssuuss ppootteenncciiaalliiddaaddeess.. EEss iimmppoorrttaannttee rreeccaallccaarr eell vvaalloorr qquuee hhaa tteenniiddoo eell aauuggee ddee eessttooss ttóóppiiccooss eenn llaa mmeeddiiddaa qquuee ggrraannddeess vvoollúúmmeenneess ddee aapplliiccaacciioonneess ccoonn eessttaa nnuueevvaa hheerrrraammiieennttaa hhaann ssuusscciittaaddoo.. EEll pprrooppóóssiittoo ddee llaa ccoonnffeerreenncciiaa qquuee aaccoommppaaññóó aa eessttee aarrttííccuulloo nnoo ffuuee oottrroo ddiissttiinnttoo aall ddee ddaarr aa ccoonnoocceerr llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa ffrraacccciioonnaall ddee FFoouurriieerr eenn llaa ccoommuunniiddaadd ddee óóppttiiccooss ddee CCoolloommbbiiaa ccoonn llaa ffiirrmmee ccoonnvviicccciióónn ddee ssuu uulltteerriioorr aapplliiccaacciióónn aa llooss ddiiffeerreenntteess ttrraabbaajjooss ddee iinnvveessttiiggaacciióónn qquuee ssee rreeaalliizzaann aall iinntteerriioorr ddee llaa rreedd ccoolloommbbiiaannaa ddee óóppttiiccaa.. AGRADECIMIENTOS EEll pprriimmeerr aauuttoorr eexxpprreessaa ssuuss mmááss ssiinncceerrooss aaggrraaddeecciimmiieennttooss aall GGrruuppoo ddee OOppttiiccaa yy TTrraattaammiieennttoo ddee SSeeññaalleess ddee llaa UUnniivveerrssiiddaadd IInndduussttrriiaall ddee SSaannttaannddeerr ((UUIISS)) ddoonnddee rreeaalliizzaa eessttuuddiiooss ppaarraa oobbtteenneerr eell ttííttuulloo ddee DDooccttoorr eenn CCiieenncciiaass NNaattuurraalleess -- FFííssiiccaa.. RREEFFEERREENNCCIIAASS [[11]] VV.. NNaammiiaass,, JJ.. IInnsstt.. MMaatthh.. AAppppll.. 2255 ((11998800)) 224411 [[22]] PP.. PPeellllaatt--FFiinneett,, OOpptt.. LLeetttt.. 1199 ((11999944)) 11338888.. [[33]] TT.. AAlliieevvaa,, VV.. LLooppeezz,, FF.. AAgguulllloo--LLooppeezz,, aanndd LL.. BB.. AAllmmeeyyddaa,, JJoouurrnnaall ooff mmooddeerrnn

ooppttiiccss..4411 ((11999944)) 11003377.. [[44]] JJ.. HHuuaa,, LL.. LLiiuu aanndd GG.. LLii,, AAppppll.. OOpptt.. 3366 ((11999977)) 88449900.. [[55]] SS.. AA.. CCoolllliinnss,, JJ.. OOpptt.. SSoocc.. AAmm.. 6600 ((11997700)) 11116688.. [[66]] HH.. KKooggeellnniikk aanndd TT.. LLii,, PPrroocceeeeddiinnggss ooff IIEEEEEE.. ((11996666)) 117722.. [[77]] PP.. PPeellllaatt--FFiinneett aanndd GG.. BBoonnnneett,, OOpptt.. CCoommmm.. 111111 ((11999944)) 114411..

[[88]] DD.. ZZhhaaoo,, OOpptt.. CCoommmm.. 116688 ((11999999)) 8855.. [[99]] WW.. LLoohhmmaannnn,, JJ..OOpptt.. SSoocc..AAmm.. AA.. 1100 ((11999933)) 22118811.. [[1100]] WW.. LLoohhmmaannnn,, OOpptt.. CCoommmm.. 111155 ((11999955)) 443377.. [[1111]] YY.. BBiittrraann,, DD.. MMeennddlloovviicc,, RR.. GG.. DDoorrsscchh,, AA.. LLoohhmmaannnn aanndd HH.. OOzzaakkttaass AAppppll.. OOpptt..

3344 ((11999955)).. [[1122]] RR.. GG.. DDoorrsscchh,, AAppppll.. OOpptt.. 3344 ((11999955)) 66001166.. [[1133]] SS.. HH.. OOzzaakkttaass aanndd DD.. MMeennddlloovviicc,, OOpptt.. CCoommmm.. 112200 ((11999955)) 113344.. 11332299.. [[1144]] DD.. MMeennddlloovviicc,, ZZ.. ZZaalleevvsskkyy,, NN.. KKoonnffoorrttii,, RR.. DDoorrsscchh aanndd AA.. LLoohhmmaannnn,, AAppppll..

OOpptt.. 3344 ((11999955)) 77661155.. [[1155]] ZZ.. LLiiuu,, XX.. WWuu aanndd DD.. FFaann,, OOpptt.. CCoommmm.. 115555 ((11999988)) 77.. [[1166]] HH.. OOzzaakkttaass aanndd DD.. MMeennddlloovviicc,, OOpptt.. LLeetttt.. 1199 ((11999944))11667788.. [[1177]] HH.. OOzzaakkttaass aanndd DD.. MMeennddlloovviicc,, JJ.. OOpptt.. SSoocc.. AAmm.. AA.. 1122 ((11999955)) 774433.. [[1188]] WW.. LLoohhmmaannnn,, ZZ.. ZZaalleevvsskkyy,, RR.. GG.. DDoorrsshh aanndd DD.. MMeennddlloovviicc,, OOpptt.. CCoommmm.. 114466

((11999988)) 5555.. [[1199]] PP.. EEnnddeerrss,, EEuurr.. JJ.. PPhhyyss.. 1177 ((11999966)),, 222266--223355.. [[2200]] CC.. JJ.. RR.. SShheeppppaarrdd aanndd KK.. GG.. LLaarrkkiinn,, OOpptt.. CCoommmm.. 115544 ((11999988)) 117733.. [[2211]] SS.. LLiiuu,, HH.. RReenn,, JJ.. ZZhhaanngg aanndd XX.. ZZhhaanngg,, AAppppll.. OOpptt.. 3366 ((11999977)) 55667711.. [[2222]] PP.. PPeellllaatt--FFiinneett,, CC.. RR.. AAccaadd.. SSccii.. PPaarriiss,, 332277 ((11999999)) 11226699.. [[2233]] YY.. ZZhhaanngg,, BB.. GGuu,, BB.. DDoonngg aanndd GG.. YYaanngg WW,, OOpptt.. CCoommmm.. 116699 ((11999999)) 229922.. [[2244]] SS.. HH.. OOzzaakkttaass aanndd DD.. MMeennddlloovviicc,, AAppppll.. OOpptt.. 3377 ((11999988)) 22113300.. [[2255]] XX.. WWaanngg aanndd JJ.. ZZhhoouu,, OOpptt.. CCoommmm.. 114477 ((11999988)) 334411.. [[2266]] CC.. PPaallmmaa aanndd VV.. BBaaggiinnii,, JJ.. OOpptt.. SSoocc.. AAmm.. AA.. 1144 ((11999977)) 11777744..

..