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ESTATÍSTICA PANORAMA HISTÓRICO:

Todas as ciências têm suas raízes na história do homem e, a Estatística, como ramo da Matemática aplicada, também surgiu da necessidade de contagem, trocas e demais atividades do convívio social. (CRESPO, 2002)

Segundo o mesmo autor, os povos desde a Antiguidade já utilizavam o que chamamos, hoje, de “estatísticas”, através de processos quantitativos para registrar o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, de riquezas individuais e sociais, distribuição de terras, cobrança de impostos, entre outros. Na Idade Média, as informações geralmente eram tributárias ou bélicas. A partir do século XVI é que surgiram as primeiras análises sistemáticas dos fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, registradas nas primeiras tábuas e tabelas. No século XVIII Godofredo Achenwall, batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, caracterizando objetivos e relações verdadeiramente científicas.

Provavelmente, hoje, a Estatística é a área de conhecimento mais demandada nos cursos superiores do Brasil e do mundo. Esta importância deve-se essencialmente ao fato de que a Inferência Estatística define em sua essência uma metodologia para a pesquisa científica.

Em sua outra parte constituinte (a Teoria de freqüências de ocorrência e de probabilidades), a Estatística apresenta-se como um ramo da Física, tornando-se então, na sua totalidade, uma ciência mista.

“A palavra ‘Estatística’, de origem latina, significou por muito tempo ‘Ciência dos negócios do Estado’. Os que governavam, sentindo necessidade de informações, organizavam departamentos que tinham a responsabilidade de fazer essas investigações.” (NAZARETH, 2000).

A Estatística pode ser considerada a tecnologia da ciência, auxiliando a pesquisa desde o seu planejamento até a interpretação dos dados. A Estatística, além de ser uma técnica de coleta e apresentação de dados (análise exploratória e descrição, gráficos e tabelas) é também modelagem (probabilidade e processos estocásticos), análise indutiva (inferência: testes e estimação) e previsão e controle (verificação), ou seja, ela está presente nas diversas etapas de uma pesquisa, podendo influenciar tanto o processo de pesquisa quanto à tomada de decisões.

Algumas técnicas poderosas, tais como, extrair informações significativas de pilhas de dados brutos, ou fazer inferências sobre a natureza de uma população com base em observações de uma amostra dela extraída, ou como predizer taxas de ocorrência de eventos aleatórios, e como entender e interpretar cálculos estatísticos efetuados por outras pessoas, podem explicar como a Estatística pode ser usada em pesquisas, nas áreas sociais e humanas.

POR QUE ESTATÍSTICA?Podemos citar como exemplos de aplicações de Estatística:

1) Levantar dados sobre o grau de instrução do chefe da casa, nas famílias residentes em determinada cidade, por bairros.

2) Uma empresa que está se preparando para lançar um novo produto precisa conhecer as preferências dos consumidores no mercado de interesse. Para isso, pode fazer uma pesquisa de mercado entrevistando um número de residências escolhidas aleatoriamente. Poderá, então, usar os resultados para estimar as preferências de toda a população.

3) Uma grande escola desejando conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos pode dispor, através de técnicas de amostragem, dos dados necessários à sua análise.

4) Um auditor deve verificar livros de uma empresa para se certificar de que os lançamentos refletem efetivamente a situação financeira da companhia. O auditor deve examinar pilhas de documentos originais, como notas de venda, ordens de compra e requisições. Seria um trabalho incalculável consultar todos os documentos originais, em vez disso, o auditor pode verificar uma amostra de documentos escolhidos aleatoriamente e, com base nessa amostra, fazer inferências sobre a população.

5) Se, estamos recebendo um grande embarque de mercadorias de um fornecedor, teremos de certificar-nos de que o produto realmente satisfaz os requisitos de qualidade acordados. Seria muito dispendioso fazer uma verificação de cada item; mas aqui, mais uma vez, as técnicas estatísticas vem em nosso auxílio, permitindo-nos fazer inferências sobre a

Prof. Luiz A. Esmanhotto 1

qualidade de todo o lote mediante inspeção de uma amostra de itens escolhidos aleatoriamente.

CONCEITOS FUNDAMENTAISA palavra Estatística tem dois significados diferentes, embora relacionados: no

sentido mais comum, significa um conjunto de dados numéricos e, também, designa o ramo da matemática que analisa dados estatísticos. Portanto, podemos dizer que a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. Ou seja, é uma metodologia desenvolvida para a coleta, classificação, apresentação, análise e interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.

POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO:POPULAÇÃO: Ou Universo Estatístico, é o conjunto da totalidade dos indivíduos

sobre o qual se faz uma inferência. Pode ser finita ou infinita (na prática, não se trabalha com um número infinito de componentes, mas diz-se infinita quando existe um grande número de componentes).

AMOSTRA: é uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população. Ou seja, é um conjunto de elementos extraídos da população.

DADOS ESTATÍSTICOS: É toda informação devidamente coletada e registrada, quer seja na forma de contagem ou de medição.

ESTATÍSTICA: É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos.

CENSO: É uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando–se todos os componentes da população.

PARÂMETRO: Uma característica numérica estabelecida para toda uma população.ESTIMAÇÃO: É uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um

estimador através do cálculo de probabilidade.ESTIMADOR: Uma característica numérica estabelecida para uma amostra.INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: É o fato de se admitir que os resultados obtidos na

análise dos dados de uma amostra são válidos para toda a população, da qual, aquela amostra foi retirada. Consiste em obter e generalizar conclusões.

Propriedades Principais:CENSO ESTIMAÇÃOAdmite erro processual zero e tem confiabilidade 100%

Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%

É caro É baratoÉ lento É rápidaÉ quase sempre desatualizado É atualizadaNem sempre é viável É sempre viável

Esquematicamente temos:


METOLOGIA DA PESQUISA ESTATÍSTICA:TIPOS DE VARIÁVEIS Para o levantamento dos dados é preciso, antes de mais nada, que se tenham bem

definidas quais as características de interesse que deverão ser verificadas. A característica de interesse poderá ser qualitativa (quando resultar de uma

classificação por tipos ou atributos) ou quantitativa (quando seus valores forem expressos em números)

Ex.: a) População: moradores de uma cidade: Variável: quantitativa: número de filhos. qualitativa: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc.)A variável quantitativa pode ser subdividida em: discreta (é aquela que pode

assumir apenas valores pertencentes a um conjunto enumerável, ou seja, assumem valores inteiros) e contínua (é aquela que, teoricamente, pode assumir qualquer valor num certo intervalo razoável de variação).

Ex.: a) População: as jogadas possíveis com um dado. Variável: o ponto obtido em cada jogada (quantitativa discreta) b) População: pessoas residentes em uma cidade. Variável: idade. (quantitativa contínua).

Os valores das variáveis discretas são obtidos mediante alguma forma de contagem (valores exatos), ao passo que os valores das variáveis contínuas resultam, em geral, de uma medição, sendo freqüentemente dados em alguma unidade de medida (valores aproximados).

ATIVIDADES1)Classifique as variáveis em: qualitativas, quantitativas discretas e quantitativas contínuas:a)População: peças produzidas por uma máquina. Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa) ______________________________________b) População: as jogadas possíveis de um dado. Variável: o ponto obtido em cada jogada. ________________________________________c) População: sabonetes de certa marca e tipo. Variável: peso líquido._________________________________________________________d) População: peças produzidas por uma máquina. Variável: diâmetro externo._____________________________________________________e) População: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. Variável:número de defeitos por unidade.__________________________________________f) População: óbitos em um hospital, nos últimos cinco anos.Variável: causa mórtis (moléstias cardiovasculares, cânceres, moléstias do aparelho digestivo, etc,) ________________________________________________g) População: candidatos a um exame vestibular. Variável: sexo (masculino ou feminino). ___________________________________________h) População: indústrias de uma cidade. Variável: índice de liquidez. _____________________________________________________

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM:Há várias razões para se estudar amostras no lugar do todo. A mais importante é o

custo excessivo e/ou a dificuldade de estudar toda a população. Qualquer administrador se depara com o problema de limitação de recursos. Em outras ocasiões não se pode ter acesso a toda a população, sendo então, suficiente estudar uma amostra que represente efetivamente a população da qual foi extraída.

Para que a amostra seja significativa ela deve ser escolhida através de determinadas técnicas que asseguram a representatividade da amostra. Podem ser:1) Amostra Casual Simples: é composta por elementos retirados ao acaso da população. Todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra.


2) Amostra Sistemática: Os elementos são selecionados para a amostra por um sistema preestabelecido. Ex.: Para obter uma amostra dos assinantes de um jornal, o pesquisador resolveu localizar os nomes no arquivo, tirando, de cada 20, o vigésimo.3) Amostra estratificada: Quando a população se apresenta dividida em estratos, isto é, quando a população está dividida em grupos distintos. Ex.: Para obter uma amostra representativa da comunidade acadêmica o diretor deve selecionar uma amostra dentro de cada estrato, isto é, uma amostra dos professores, uma amostra dos funcionários e uma amostra dos alunos, e depois reunir essas três amostras em uma só, constituindo então uma amostra estratificada.4) Amostra de conveniência: É formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. O pesquisador que utiliza amostras de conveniência precisa de muito senso crítico. Os dados podem ser tendenciosos.

*Tendenciosidade da amostra: Quando uma amostra não é representativa da população. Por exemplo, quando um professor de educação física pede à sua turma três voluntários para apostar uma corrida e apresentam-se como voluntários apenas os alunos que sabem ser bons corredores, tornando a amostra tendenciosa ou viciada.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA: É aquela que tem por objeto descrever e analisar determinada população, sem pretender tirar conclusões de caráter mais genérico.

Em um sentido mais amplo, a Estatística Descritiva pode ser interpretada como uma função cujo objetivo é a observação de fenômenos de mesma natureza, a coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, a organização e a classificação desses dados observados e a sua representação através de gráficos e tabelas, além do cálculo de coeficientes (estatísticas) que permitem descrever resumidamente os fenômenos.(TOLEDO & OVALLE, 1985)

FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO (Estatística Descritiva):Quando pretendemos realizar um estudo estatístico completo em determinada população ou em determinada amostra, o trabalho que se realizará deverá passar por várias fases, que deverão se desenvolvidas até se chegar aos resultados finais procurados. Definição do Problema : É a primeira fase do trabalho estatístico e consiste em definir a

formulação correta do problema a ser estudado, verificando outros levantamentos realizados no mesmo campo, não havendo estudos semelhantes o pesquisador poderá formular o problema, sabendo exatamente aquilo que se pretende estudar;

Delimitação do Problema : Não é suficiente saber com clareza o que se pretende pesquisar. É também necessário saber onde será realizada a pesquisa: em que local, com que tipo de pessoas (ou coisas), em que dias (ou horários) e assim por diante;

Planejamento : Após a definição do problema, a fase do planejamento consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. Ou seja, é preciso planejar o trabalho a ser realizando visando atingir os objetivos;

Coleta dos Dados : Esta fase é essencialmente operacional, compreendendo a coleta das informações propriamente ditas, através da obtenção, reunião e registro sistemático de dados;

Apuração dos Dados : É o momento de se resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento. É um trabalho de condensação e de tabulação dos dados para tornar compreensível sua leitura;

Apresentação dos Dados : Os dados podem ser apresentados de duas maneiras: Tabelas : É a apresentação numérica dos dados dispostos em linhas e colunas

distribuídas de modo ordenado, segundo algumas regras práticas adotadas. No Brasil as normas técnicas ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. (Fundação IBGE).

Gráficos : É a representação geométrica dos dados. Fornece uma visão mais rápida, fácil e clara do fenômeno e sua variação.

Análise e Interpretação dos dados: O interesse maior desta fase reside em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema.

TABULAÇÕES


Dados Brutos: são a relação dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de ordem numérica.

Ex.: Suponha que as notas do teste a que nos referimos tenham sido as seguintes:

7-6-8-9-6-5-7-4-6-8-9-8-7-6-10-8-4-5-6-10-5-8-4-3-8-7-9-6-10-7-7-7-9-5-4-5-9-10-8-8-6-7-5-10-8-6-7-7-10-6

Rol: é a relação dos resultados obtidos em um uma pesquisa e que foram colocados em ordem numérica, crescente ou decrescente.

Dos dados do exemplo anterior:

3-4-4-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-6-6-6-6-6-6-6-7-7-7-7-7-7-7-7-7-7-8-8-8-8-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-10-10-10

FREQUÊNCIA: é o número de vezes que um mesmo resultado acontece durante uma pesquisa. Nós denominaremos de (f).Do exemplo anterior, temos:

NOTAS FREQUÊNCIA (f)3 14 45 66 97 108 99 5

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TABELAS:Os dados coletados devem ser apresentados em tabelas construídas de acordo com

as normas técnicas ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. (Fundação IBGE).

Componentes das Tabelas: As tabelas têm título, corpo, cabeçalho e coluna indicadora. O Título explica o que a tabela contém. O corpo é formado pelas linhas e colunas de dados. O cabeçalho especifica o conteúdo das linhas.

As tabelas podem conter fonte, notas e chamadas. Contudo, a existência ou não de determinado componente depende apenas da natureza do problema, nunca do gosto de quem faz a tabela. A fonte é a entidade responsável pelo fornecimento dos dados, as notas são informações de natureza geral que servem para esclarecer o conteúdo das tabelas ou para explicar o método utilizado no levantamento dos dados. As chamadas são informações de natureza específica que servem para explicar ou conceituar determinados dados.

As tabelas devem ser delimitadas por traços horizontais. Podem ser feitos traços verticais para separar as colunas, mas não devem ser feitos traços verticais para delimitar a tabela.

Ex.: Tabela 1:PRODUÇÃO DE CAFÉ – BRASIL – 1991-1995

ANOS PRODUÇÃO (1000 t)1991 2.5351992 2.6661993 2.1221994 3.7501995 2.007

FONTE: IBGE

ATIVIDADES:1)De acordo com o IBGE (1988), a distribuição dos suicídios ocorridos no Brasil em 1986, segundo a causa atribuída, foi a seguinte: 263 por alcoolismo, 198 por dificuldade financeira,


700 por doença mental, 189 por outro tipo de doença, 416 por desilusão amorosa e 217 por outras causas. Apresente essa distribuição em uma tabela.

2)Imagine que foi obtida a opinião de 1000 pessoas a respeito da liberação de determinado filme para exibição em televisão. Dessas 1000 pessoas, 432 mostravam-se favoráveis, 322 eram contrárias, 122 não quiseram declarar a opinião e as restantes disseram não ter opinião. Mostre esses dados numa tabela.

3)Imagine que das 1000 pessoas entrevistadas cujas respostas foram apresentadas no exercício anterior, 500 eram homens e 500 eram mulheres. Do total de homens, 289 mostravam-se favoráveis, 129 eram contrários, 78 não quiseram declarar a opinião e os restantes disseram não ter opinião. Construa uma tabela para apresentar a distribuição das respostas segundo o sexo.

4)Construa uma tabela de distribuição de freqüências para apresentar os dados referentes aos valores do total de vendas diárias de um certo produto de mercado, no período de 50 dias úteis:130,00 - 105,00 - 120,00 - 111,50 - 99,00 - 116,00 - 82,50 - 107,50 - 125,00 - 100,00107,50 - 120,00 - 143,00 - 115,00 - 135,00 - 130,00 - 135,00 - 127,50 - 90,50 - 104,50136,50 - 100,00 - 145,00 - 125,00 - 104,50 - 101,50 - 102,50 - 101,50 - 134,50 - 158,50110,00 - 102,50 - 90,50 - 107,50 - 124,00 - 121,50 - 135,00 - 102,00 - 119,50 - 115,50125,50 - 117,50 - 107,50 - 140,00 - 121,50 - 107,50 - 113,00 - 93,00 - 103,50 - 99,50

Distribuição de Freqüências - Seriação:Nas distribuições de freqüências, os dados estatísticos são dispostos ordenadamente em linhas e colunas, de modo a permitir sua leitura nos sentidos horizontais e verticais. Na tabela resultante desse procedimento, são fixos a época, o local e o fenômeno, estando os dados agrupados de acordo com a intensidade ou variação quantitativa do fenômeno.

As tabelas com grande número de dados são cansativas e não dão ao leitor visão rápida e global do fenômeno. Para isso, é preciso que os dados estejam organizados em uma tabela de distribuição de freqüências.

Primeiro, é preciso definir as classes, que são, as faixas dos valores que representam os dados. É mais fácil trabalhar com intervalos de classes iguais. Podem ser também apresentados nesse tipo de tabela os pontos médios de classe, que são dados pela soma dos extremos da classe, dividida por 2. Por exemplo, para a classe 1,5 |— 2,0 o ponto médio é 1,75.

A distribuição de freqüências compreende a organização dos dados de acordo com as ocorrências dos diferentes resultados observados.

APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS: Todo gráfico deve ter título e escala, para que possa ser interpretado sem que haja

necessidade de esclarecimentos adicionais ao texto. No eixo das abscissas, a escala cresce da esquerda para a direita e é escrita embaixo do eixo e no eixo das ordenadas, a escala cresce de baixo para cima e é escrita à esquerda do eixo. A variável apresentada em cada eixo deve ser claramente identificada no próprio eixo. Vejamos alguns tipos de gráficos:

1)Gráfico em Barras (horizontais): Os gráficos em barras têm por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos de igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas. Para fazer um gráfico de barras, primeiro se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois deslocam-se, no eixo das abscissas ( ou das ordenadas) as categorias da variável em estudo. Em seguida, constroem-se barras retangulares com base no eixo das abscissas (ou das ordenadas e altura (ou comprimento) igual à freqüência.2)Gráfico em colunas (Histograma): ou em barras verticais prestam-se à mesma finalidade que os gráficos em barras horizontais, e a única diferença entre eles reside na direção dos retângulos: no gráfico de barras, horizontais e no gráfico de colunas, verticais.3)Gráfico de linhas: é usado para apresentar séries cronológicas. Por exemplo, para fazer um gráfico de linhas que apresente a população presente no Brasil, segundo o ano do censo demográfico, é necessário traçar o sistema de eixos cartesianos, depois, no eixo das abscissas


colocar os anos do censo e no eixo das ordenadas os dados da população. Depois de corresponder os pontos para cada par de valores, unir os pontos por segmentos de reta.4)Gráfico de setores: é usado para evidenciar a composição percentual de uma amostra ou de uma população. Devemos lembrar que 100% do gráfico corresponde a 360º da circunferência.

Ex. Imagine que se perguntou a 1000 pessoas se elas acreditavam horóscopo. Dessas 1000 pessoas, 488 disseram acreditar, 292 disseram não acreditar, 120 disseram que tinham dúvidas e as restantes expressaram opiniões diversas. Faça um gráfico de colunas, um gráfico de linhas, um gráfico de barras e um gráfico de setores para apresentar esses dados.

TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA:SÉRIES ESTATÍSTICASSérie Estatística é uma sucessão de números, que expressam dados estatísticos,

referidos a qualquer variável.1)SÉRIE HOMÓGRADA: É aquela em que a variável descrita apresenta variação

discreta ou descontínua. São séries homógradas a série temporal, a série geográfica e a série específica.

1.1. Série Temporal:Igualmente chamada série cronológica, série histórica, série evolutiva ou marcha,

identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Assim, deve ter:a) Elemento Variável: época (fator cronológico)b) Elementos Fixos: local (fator geográfico) fenômeno (fator especificativo)Ex.: O diretor de Marketing da empresa G.L.T. S.A., fabricante de componentes

eletrônicos, deseja examinar a evolução de suas vendas em 1995, mês a mês. Para tanto, solicitou ao Departamento de Análise de Mercado a tabela da qual constam os valores de vendas no período desejado. Neste exemplo o único caráter variável é o tempo, aqui representado pelos meses.

1.2.Série GeográficaTambém denominada série territorial, série espacial ou série de localização, a série

geográfica apresenta como elemento ou caráter variável somente o fator geográfico. Assim:a) Elemento Variável: local (fator geográfico)b) Elementos Fixos: época (fator cronológico) fenômeno (fator especificativo)Ex: Se o diretor de marketing da G.L.T.A. Desejar saber, agora, o comportamento das

vendas dessa empresa efetuadas nos vários Estados do Brasil, durante o exercício de 1995, o fator diferenciador das vendas seria o geográfico.

1.3.Série Específica:Também chamada de Série categórica ou série por categoria. Agora, o caráter

variável é o fenômeno.a) Elemento variável: fenômeno (fator especificativo)b) Elementos Fixos: época (fator cronológico) local (fator geográfico)Ex: Suponha que o diretor de marketing esteja agora interessado em conhecer o

comportamento das vendas de cada um de seus produtos, os quais foram agrupados em três categorias ou linhas, dada a grande variedade de componentes fabricados pela empresa. A tabela contendo essas informações representaria uma série específica.

2)SÉRIE HETERÓGRADAÉ aquela na qual o fenômeno ou o fato apresenta gradações ou subdivisões. Embora

fixo, o fenômeno varia em intensidade. A distribuição de freqüências ou seriação é uma série heterógrada.

EXERCÍCIOS1)Segundo o IBGE o número de crianças que trabalhavam no ano de 1996, com idade entre 10 a 14 anos, segundo as grandes regiões do Brasil - Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro-


Oeste - são respectivamente, 149.475, 1.621.126, 931.784, 626.613 e 245.755. Que tipo de série é apresentada nessa situação?

2)Imagine que você está trabalhando com um grande número de dados que representam o faturamento de uma determinada empresa (em milhares de reais). Após calcular o faturamento mensal, é possível apresentar esses dados em uma tabela representativa de uma distribuição de freqüências? Se possível, como fazer?

3)Uma tabela que representa as vendas de cada linha de determinados produtos. Que tipo de série representa essa situação?

4)Os valores sucessivos apresentados pelo censo demográfico de uma cidade formam que tipo de série estatística?

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

1. 1. Média Aritmética: É a medida mais popular de tendência central e consiste em somar os n termos e dividir por n.

x̄ = x i

nEx: Um gerente de supermercado, que deseja estudar a movimentação de pessoas em seu estabelecimento, constata que 295, 1002, 941, 768 e 1283 pessoas entraram no estabelecimento nos cinco últimos dias. Descubra o número médio de pessoas que entraram diariamente no estabelecimento nesses cinco dias.

Para dados agrupados, temos: a) Sem intervalos de classes: x̄ = x ifi

n = somatórioxi = valores possíveis das variáveisfi = freqüência de cada valor de variável.

b) Com intervalos de classe: x̄ = x ifi agora, xi é o ponto médio da classe. f i

2. Média Ponderada: Ao calcularmos uma média, podemos cometer sério engano, se ignorarmos o fato de que as grandezas em jogo não têm todas a mesma importância em relação ao fenômeno que está sendo estudado. Para dar a quantidades sujeitas ao processo de média o grau de importância, é preciso atribuir-lhes pesos e então calcular uma média ponderada.Ex: Em uma turma de um curso de Ensino Superior, há 20 calouros, 18 do 2º período e 12 dos demais períodos. Se os calouros obtiveram a média 68 em uma avaliação, os do 2º período 75 e os demais 86, determine a nota média de toda a turma.

3. Mediana: Para evitar a possibilidade de sermos enganados por valores muito pequenos ou muito grandes, ocasionalmente descrevemos o “meio” ou “centro” de um conjunto de dados com outras medidas estatísticas que não a média. Uma dessas medidas, a mediana de n valores, exige que os ordenemos para encontrarmos o valor do centro.

Ex: 1) Em determinado mês o Departamento de Vendas de uma empresa constatou que as vendas de uma semana foram 53, 31, 67, 53 e 36. Ache a mediana do número de vendas para esses dias.

2) Em algumas áreas, as pessoas autuadas por certas infrações leves de tráfego podem freqüentar um curso de direção defensiva em lugar de pagar uma multa. Se 12 desses cursos foram freqüentados por 40 32 37 30 24 40 38 35 40 28 32 37 cidadãos, determine a freqüência mediana.


Posição mediana: É calculada por (n + 1)/2, por exemplo a posição mediana para n = 15 elementos é: (15 + 1)/2 = 8, ou seja, a mediana é o valor do 8º Elemento. Para n = 20 temos: (20 +1)/2 = 10,5, ou seja, a mediana é a média entre o 10º e o 11º elementos.

Moda: Pode ser definida simplesmente como o valor que ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. Suas duas vantagens principais são: não exige cálculo, apenas uma contagem, e pode ser determinada também para dados qualitativos ou nominais.Ex: Vinte reuniões de uma determinada classe tiveram as seguintes freqüências de seus membros: 26 25 28 23 25 24 24 21 23 26 28 26 24 32 25 27 24 23 24 22. Determine a moda:Mo =

Moda de Dados Organizados em Classes:Classe modal: é a classe onde ocorre a maior freqüência (quando os intervalos são iguais). Quando os intervalos de classes são diferentes, a classe modal será aquela que apresentar maior densidade de freqüência relativa.Moda:· Com intervalos diferentes: a maior densidade de freqüência relativa.· Com intervalos iguais: calcula-se pela fórmula: Mo= Li + fpost . A fant + fpost

Onde:Mo= moda;Li = limite inferior da classe que contém a moda;A = amplitude da classe que contém a moda;fant = freqüência da classe anterior à classe modal;fpost = freqüência da classe posterior à classe modal.

QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (ou centis)Enquanto a mediana divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais, os quartis permitem dividir a distribuição em quatro partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma; os decis em dez partes e os centis em cem partes iguais. ATIVIDADES1)Calcular a média aritmética simples dos seguintes conjuntos de números:X = {10, 60, 360)Y = {2, 2, 2, 2}Z = {2, 4, 6, 8, 10}W = {10,1; 10,1; 10,2; 10,4; 10,5}

2)Imagine que um aluno obteve as seguintes notas: 7; 8; 5; 7; 7; 9. A moda desse conjunto de dados é?

3)Qual é a classe modal e qual a moda dos dados apresentados na seguinte tabela de distribuição de freqüências?

Distribuição de classes de uma escola segundo o número de alunos reprovados por classe

Classe de idade Freqüências

10 |— 15 2 15 |— 20 7 20 |— 25 15 25 |— 30 27 30 |— 35 20 35 |— 40 17 40 |— 45 12 45 e mais 9


4)Observe a tabela de distribuição de freqüências abaixo, e responda: qual é a classe modal e a moda?Rendimento nominal médio mensal domiciliar, nos domicílios em que os moradores declararam algum rendimento, de acordo com o censo demográfico de 1991,

Classes (Sal. Mínimos) Freqüência Freqüência Relativa Até ¼ de salário mínimo: 210.047 0,629 Mais de ¼ a ½ S.M. 1.746.952 5,235 Mais de ½ a 1 S.M. 4.517.002Mais de 1 a 2 S.M. 6.944.407Mais de 2 a 3 S.M. 4.606.305Mais de 3 a 5 S.M. 5.488.783Mais de 5 a 10 S.M. 5.521.276Mais de 10 a 15 S.M. 1.910.696Mais de 15 a 20 S.M. 912.302Mais de 20 a 30 S.M. 789.544Mais de 30 S.M. 724.370Total 33.371.684 100,000

Fonte: IBGE (1996)Nota: Declararam não ter rendimento moradores de 478.347 domicílios e não declararam rendimento moradores de 893.410 domicílios.

5)Os dados abaixo representam a distribuição das espessuras de 100 folhas de tabaco:2,01 2,08 1,96 3,04 2,01 3,18 1,94 2,19 2,24 2,182,59 1,96 2,29 3,18 2,09 1,96 2,06 2,18 2,05 2,042,43 1,56 1,94 3,15 2,35 2,08 2,56 2,17 1,96 1,592,22 2,34 2,24 1,95 2,01 3,12 3,03 3,12 2,04 1,661,87 2,49 3,12 2,24 1,76 3,2 2,38 1,58 1,89 1,981,89 1,71 2,42 1,62 1,97 2,18 1,69 3,14 2,18 3,062,4 1,96 3,01 2,19 2,25 1,45 1,93 2,06 1,83 1,841,91 2,11 1,78 2,36 2,33 3,17 2,03 1,87 3,11 2,171,72 1,62 1,99 1,64 1,54 2,26 1,86 2,09 1,74 1,922,36 1,82 2,02 2,25 1,75 3,15 3,18 1,99 1,76 2,51

a) Construir uma tabela de distribuição de freqüências com 9 classes de amplitude 0,2 , sendo que o limite inferior da 1ª classe é igual a 1,40.

b) Determinar a classe modal e a moda.

6) Encontre a mediana e o elemento mediano dos conjuntos numéricos abaixo:a) X = {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20}b) Y = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30}

7) Determine a posição mediana para n = 25 e n = 64 elementos.

8) Em um mês, 15 vendedores atingiram 107 90 80 92 86 109 102 92 353 78 74 102 106 95 91 por cento de suas cotas de vendas. Calcule a média e a mediana dessas porcentagens e indique qual das duas medidas dá melhor indicação do desempenho “médio” desses vendedores.

9) Complete a tabela:Valores freqüência Freqüência acumulada

3 34 65 96 87 68 4


TOTAL

10) Com notas de 20 alunos em uma avaliação, determine os quartis da distribuição:7,5 5,5 7,5 9,0 8,0 6,5 3,0 7,5 4,5 9,0 2,5 9,0 9,0 7,5 5,5 6,0 4,5 7,0 9,5 3,0

11) A tabela de distribuição de freqüências abaixo refere-se ao tempo (em segundos), necessário para se realizar certa operação industrial. Complete a tabela e determine a moda:

Classes Ponto Médio Freqüência Freq. Relativa Freq. Acumulada25 30 2

30 35 3

35 40 5

40 45 6

45 50 10

50 55 4

55 60 2

60 65 8

TOTAL

12)Calcule a média aritmética dos dados abaixo:Classe Ponto Médio Freqüência xifi

1,5 2,0 32,0 2,5 162,5 3,0 313,0 3,5 343,5 4,0 114,0 4,5 5TOTAL

13) Suponha que em um escritório há cinco funcionários que recebem os seguintes salários mensais: R$800,00, R$780,00, R$820,00, R$890,00 e R$790,00. A média aritmética dos salários ou o salário médio mensal dos funcionários, será?

14) Calcule a média aritmética dos dados apresentados nas tabelas abaixo:a) Distribuição dos alunos de um colégio de ensino médio segundo o nº de advertências e/ou suspensões

Número de advertências e/ou suspensões escolares

Número de alunos xifi


0 2111 402 303 124 45 26 1

TOTAL

b) Distribuição das estaturas, em centímetros, de funcionários de uma empresa.Classe Ponto médio Freqüência xifi

135 145 15145 155 150155 165 250165 175 70175 185 10185 195 5

TOTAL

15) Em uma pesquisa de mercado foram colhidas embalagens de certo produto para análise do custo médio, na seguinte ordem:

Embalagens com 15 unidades R$11,60 cada. Embalagens com 07 unidades R$12,40 cada Embalagens com 10 unidades R$12,00 cada Embalagens com 17 unidades R$10,80 cada.Calcule o custo médio por unidade:

16) Um aluno obteve as seguintes notas em suas avaliações de determinada disciplina: 4, 7 e 6. Sabendo que as avaliações tinham peso 1, 2 e 3, respectivamente, calcule a média ponderada do aluno.

17) Inspecionam-se quinze rádios antes da remessa. Os números de defeitos por unidade são: 3, 0, 1, 1, 0, 3, 4, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1. Determine a média, a mediana e a moda do número de defeitos.

2. MEDIDAS DE DISPERSÃO ou VARIABILIDADE

As medidas de tendência central, vistas anteriormente, dão o valor da abscissa de um ponto em torno do qual os dados se distribuem. Porém, muitas vezes, existe interesse em medir o grau de dispersão dos dados de um conjunto. Para isso veremos as seguintes medidas de dispersão:

2.1. Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor, observados em um conjunto de dados.

2.2.Variância: os dados distribuem-se em torno da média. Então o grau de dispersão de um conjunto de dados pode ser medido pelos desvios em relação à média. Ou seja, entre cada dado e a média do conjunto. Ex.: Se a média de idade dos funcionários de uma empresa for 30 anos, a pessoa que tiver 54 anos terá um desvio em relação à média de 24 anos.

Os desvios em relação à média medem a dispersão. Como cada dado tem um desvio em relação à média, então, para julgar o grau de dispersão de todo o conjunto de dados, com base nos desvios, seria preciso observar todos os desvios. Porém, não se pode usar a soma dos desvios como medida de dispersão, pois é sempre igual a zero. Ex.: Considere os seguintes dados: 0,4,6,8 e 7.

A média desses dados é (0 + 4 + 6 + 8 + 7) : 5 = 5. Os desvios em relação à média, representados por xi - x , são os seguintes:

0 - 5 = -5 4 - 5 = -1 6 - 5 = 1 8 - 5 = 3 7 - 5 = 2Como podemos verificar, a soma entre os desvios é igual a zero.


Por isso, os estatísticos utilizam, para medir a dispersão dos dados em torno da média, a soma dos quadrados dos desvios. Como esta soma não é uma medida de dispersão, usa-se a variância para medir a dispersão desses dados, que é a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de dados. Quando se trabalha com amostras, é mais correto definir variância como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de graus de liberdade da amostra, que é representado por n - 1. Ou seja : s2 = (x i – x̄ ) 2

n - 1

Desenvolvendo algebricamente a fórmula temos: s2 = x2 - ( x i) 2 ___ n__ n - 1Variância de dados agrupados: s2 = xi

2fi - ( x ifi) 2 _______ n__ n - 1

Exemplos de:1)Amplitude:a) Imagine que 10 alunos fizeram uma prova com 50 questões. As respostas corretas, por aluno, foram: 31 27 42 35 47 28 7 45 15 20Amplitude:

b) Sendo três grupos de pessoas e suas idades, calcule a amplitude em cada grupo: 3 4 9 11 19 20

3 10 11 11 11 20

4 5 9 12 18 15 20 27

2)Variância:a) Encontre a variância dos dados abaixo:

Dados xi Desvios (xi – x̄ ) Quadrados dos desvios (xi – x̄ )2

2689

10x̄ =

b) Dados os valores: 8, 6, 9, 7, 5, 4, 2, 1. Calcule a Variância:

c) Calcule a variância dos seguintes dados: 0, 4, 6, 8, 7:

d) Calcule a variância dos dados da tabela abaixo:

Distribuição dos alunos segundo as notasNotas Número de alunos xf x2 x2f

0 151 102 53 54 15 16 07 3

TOTAL


2.3. Desvio-padrão: Por definição, desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. É representado por s. O desvio-padrão é a medida mais utilizada em caso de distribuições simétricas. Graficamente, distribuições desse tipo se aproximam de uma curva conhecida como curva normal ou curva de Gauss.Ex: Um aluno fez três provas, com 60 questões cada uma. Acertou 40, 45 e 50 questões. A média de acertos nas três provas, é?A variância é?

Portanto, o desvio-padrão:

2.4 Coeficiente de variação: é uma medida de dispersão relativa porque estabelece uma relação entre o desvio-padrão e a média.Ex: Sendo dois grupos de pessoas e suas idades:1º grupo = 1, 3 e 52º grupo = 53, 55 e 57A variância em cada grupo é:

Como podemos ver, dispersão em torno da média é a mesma nos dois grupos. No entanto, a diferença de idade entre os elementos no 1º grupo indica grandes mudanças físicas e comportamentais. Porém, no 2º grupo, não. Essas observações refletem a idéia de dispersão relativa, ou seja, de dispersão em relação à média. Para medir a dispersão relativa usa-se o coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio-padrão e a média, multiplicada por 100.

CV = s . 100 x̄

EXERCÍCIOS:1)É dado o rendimento anual mensal de 20 pessoas, em salários mínimos: 1,2 - 2,8 - 1,7 - 4,1 - 7,2 - 1,3 - 4,2 - 1,1 - 1,0 - 2,3 - 2,9 - 1,2 - 8,9 - 1,0 - 7,0 - 3,5 - 2,2 - 2,4 - 1,9 - 3,0. Calcule a amplitude:

2)Dados os valores 8; 0; 5; 7, calcule a variância.

3)Dados os “pesos” de 10 casais (em quilogramas), calcule a variância do “peso” dos homens e a variância do “peso” das mulheres. Onde ocorre maior dispersão?Marido: 82 - 75 - 67 - 65 - 90 - 58 - 78 - 61 - 79 - 65Mulher: 61 - 56 - 71 - 49 - 62 - 57 - 58 - 54 - 65 - 65

4)Dez pessoas apostam no número de caras que irão ocorrer quando se joga uma moeda quatro vezes. Calcule a média e a variância das apostas.

Aposta Freqüência0 21 22 53 14 0

5)Calcule o desvio-padrão para os seguintes conjuntos de dados:a) 10, 10, 0, 0, 5b) 4, 4, 4, 6, 8c) 0, 2, 3, 4, 5

6)São dados o “peso” e a estatura de quatro pessoas. Calcule os coeficientes de variação. Qual é a variável que tem maior dispersão relativa?


Peso (kg): 60 - 75 - 70 - 75Estatura (cm): 160 - 170 - 175 - 165

7)Calcule a média e o desvio padrão dos dados apresentados abaixo relativos ao comprimento (em centímetros) de cobaias de laboratório de 90 dias, segundo o sexo:Masculino: 25,5 - 26,0 - 26,5 - 25,0 - 26,0 - 25,0 - 24,0 - 25,0 - 25,5 - 26,0Feminino: 27,0 - 27,0 - 27,0 - 27,0 - 26,0 - 27,0 - 27,5 - 27,0 - 28,0 - 26,0

8) Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as seguintes resistências à ruptura: 340, 329, 337, 348, 351, 360 e 354 Kg/cm2. Calcule a média, variância, desvio padrão e coeficiente de variação:

9)Uma amostra de metal que se presume seja ouro, é examinada mediante 10 determinações de densidade, obtendo-se: 19 19.4 19.2 18.9 19.5 19.1 19 18.8 18.9 19.4Determinar a densidade média, a amplitude total, o desvio padrão e o coeficiente de variação:

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

1. PROBABILIDADE1.1. – Experimento AleatórioSão aqueles que não podem ser previamente determinados. Essa impossibilidade de prever-se os resultados, chamamos de acaso.

Exemplo: Lançar um dado e anotar o número que ocorrerá na face voltada para cima.

1.2. – Espaço Amostral ( S )É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo 1: Ao se lançar um dado e observar a face superior, tem-se o espaço amostral: S = { 1,2,3,4,5,6 }Exemplo 2: Numa partida de futebol, uma das equipes pode obter resultados

tais como: vitória (v), empate (e) ou derrota (d). Tem-se então: S = { v, e, d }

1.3. – Evento É um conjunto qualquer de resultados de um experimento aleatório.

Pode-se dizer que um evento é um subconjunto do espaço amostral.Tipos de eventos:

Evento certo – é o próprio espaço amostral.Exemplo: Lançamento de um dado e ocorrência de um número menor ou igual a 6 na face superior. Evento impossível – é o subconjunto vazio do espaço amostral.Exemplo: Lançamento de um dado e ocorrência de um número maior do que 6 na face superior. Eventos elementares – são aqueles que têm um só elemento.Exemplo: Lançamento de um dado e ocorrência de um número ímpar maior do que 4 na face superior.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS (DISJUNTOS):


Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Diferentemente dos eventos complementares onde não necessariamente a união de dois eventos mutuamente exclusivos vai constituir o espaço amostral. Por isso todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas a recíproca não é verdadeira. Por exemplo, se lançarmos um dado e considerarmos os seguintes eventos: o primeiro estabelece o resultado como um número maior que dois { 3, 4 , 5 , 6} e o segundo um resultado menor que dois { 1 }. Nesse caso um número não pode ser maior e menor que dois ao mesmo tempo e a união dos dois conjuntos não forma o espaço amostral, pois o 2 está de fora. Sendo A e B evento mutuante excludentes, isto é não podem ocorrer ao mesmo por A ∩ B = Ø

Se A1, A2.... An são dois eventos mutuante excludentes.

P ( A1 U A2 U A3 U.... U An U...) = P (Ai)

EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:Regras de adição para eventos não mutuamente exclusivos.

P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B ) ( regra geral ou para eventos não exclusivos)Onde: P (A ∩ B ) = P (A) . P(B)

Dois ou mais eventos são não mutuamente exclusivos quando é possível ambos ocorrerem simultaneamente. Necessariamente os dois eventos não necessitam ocorrer juntos.

EXEMPLOS1 – No lançamento de uma moeda duas vezes consecutivas, determine o número de ocorrência de:

R: S = { (C,C),(C,K),(K,C),(K,K) }a) duas coroas (c); R: 1b) duas caras (k); R:1c) exatamente uma cara; R: 2d) exatamente uma coroa; R: 2e) pelo menos uma cara; R: 3f) pelo menos uma coroa; R: 3g) no mínimo uma cara; R: 3h) no máximo uma cara. R: 3


A B

A B

2 - No lançamento consecutivo de dois dados de cores diferentes, um vermelho e um branco, observando-se a face superior temos o seguinte espaço amostral: ( 1 , 1 ) ; ( 1 , 2 ) ; ( 1 , 3 ) ; ( 1 , 4 ) ; ( 1 , 5 ) ; ( 1 , 6 ) ( 2 , 1 ) ; ( 2 , 2 ) ; ( 2 , 3 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 2 , 5 ) ; ( 2 , 6 ) S = ( 3 , 1 ) ; ( 3 , 2 ) ; ( 3 , 3 ) ; ( 3 , 4 ) ; ( 3 , 5 ) ; ( 3 , 6 ) ( 4 , 1 ) ; ( 4 , 2 ) ; ( 4 , 3 ) ; ( 4 , 4 ) ; ( 4 , 5 ) ; ( 4 , 6 ) ( 5 , 1 ) ; ( 5 , 2 ) ; ( 5 , 3 ) ; ( 5 , 4 ) ; ( 5 , 5 ) ; ( 5 , 6 ) ( 6 , 1 ) ; ( 6 , 2 ) ; ( 6 , 3 ) ; ( 6 , 4 ) ; ( 6 , 5 ) ; ( 6 , 6 )Com base no espaço amostral acima, determine a ocorrência de números:a) iguais nos dois dados; R: 6b) cuja soma seja 12; R: 1c) cuja soma seja menor ou igual a 12; R: 36d) cuja soma seja igual a 9; R: 4e) cuja soma seja menor que 10; R: 30f) cuja soma seja 7; R: 6g) iguais ou com soma igual a 8; R: 10h) múltiplos de 3 nos dois dados. R: 4

2 O CÁLCULO DA PROBABILIDADEChamamos de probabilidade de um evento A ( A⊂S ) o número real

P(A), tal que:

P( A )=n( A )n (S )

onde: n(A) é o número de elementos de A; n(S) é o número de elementos de S.

Exemplo: A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período de um ano (ano 2000). Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de 170 milhões?

Exemplo 1: Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.

R: S = { k, c } n ( S ) = 2A = { k } n ( A ) = 1

P( A )=n( A )n (S )

=12

Exemplo 2: Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do:

R: S = { 1,2,3,4,5,6 }a) evento A “obter um número par na face superior”. R: 1/2


b) evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. R: 6/6c) evento C “obter um número 4 na face superior”. R: 1/6d) evento D “obter um número maior que 6 na face superior”. R: 0/6

Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que: Probabilidade do evento certo é igual a 1; P(S) = 1 Probabilidade do evento impossível é igual a 0; P(Ø) = 0

Probalidade de um evento A qualquer ( A⊂S ) um número real P(A), tal que:0 P( A ) 1

Eventos Complementares ( P (¯A ) )A probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 1 menos a

probabilidade de ocorrer A, que pode ser representada por:P (¯A ) = 1 – P(A)

Exemplo: A tabela a seguir, apresenta o número de bombas injetoras existentes em uma fábrica, conforme as suas características. Todas estão em caixas iguais. Escolhendo uma caixa ao acaso, determine a probabilidade dela:Bombas Elétricas ManuaisNovas 45 30Usadas 15 10

a) conter uma bomba nova; R:3/4b) conter uma bomba manual; R:2/5c) não conter uma bomba elétrica nova; R:11/20d) não conter uma bomba manual usada.R:9/10

AXIOMAS E TEOREMASA probabilidade de ocorrer um evento A é representado por p(A) que

satisfaz os seguintes axiomas.1) P (A) ≥ 02) P (S) = 13) P (AUB) = P (A) + P (B) ( teorema da soma para eventos mutuamente

exclusivos)

Probabilidade condicional: Imagine que alguém pergunta: “Qual é a probabilidade de ocorrer um ás de espadas, quando se retira ao acaso uma carta do baralho?”

Imagine agora que foi feita a mesma pergunta, mas se deu uma informação adicional: “Saiu carta de espadas.”

P(A/B)= n( A B) n(B)

Eventos Independentes: Quando a probabilidade de ocorrer um evento não se modifica, mesmo quando se impõe a condição de ter ocorrido outro evento.Teorema do Produto: a probabilidade de ocorrer um evento com a característica A e um evento com a característica B, isto é, a probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é dada por:

P ( A B) = P(A) . P(B)Ex.: Duas moedas são lançadas. É claro que o fato de sair cara numa das moedas

não influi sobre o fato de sair cara na outra moeda. Então, esses eventos são independentes. Conseqüentemente, a probabilidade de ocorrerem duas caras quando se lançam duas moedas é:

½ . ½ = ¼


Teorema da Soma: A probabilidade de ocorrer ou um evento com a característica A, ou um evento com a característica B, isto é, a probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é:

P (A B) = P(A) + P(B)

Freqüência Relativa: O conceito de probabilidade aplica-se facilmente nos casos de jogos de azar. Entretanto, a aplicação desse mesmo conceito fica difícil quando se tenta responder a questões do tipo: Qual é a probabilidade de uma pessoa morrer antes de completar os 40 anos? Qual é a probabilidade de dois aviões se chocarem em pleno ar? Qual é a probabilidade de um bujão de gás explodir?

Todas essas questões são legítimas e estão associadas à teoria de probabilidades, mas não podem ser respondidas com base nos conceitos apresentados até aqui. É possível ampliar esses conceitos, como é o caso da freqüência relativa, que é uma estimativa da probabilidade de ocorrer certo evento.

Exemplo: Para obter a freqüência relativa de natimortos, no sexo masculino, divide-se o número de natimortos desse sexo pelo total de nascidos do sexo masculino, no mesmo período.

Na área da saúde é comum usar o termo risco, como sinônimo de probabilidade.

Exemplo:Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agência de viagens, 100 viajam para Fortaleza e 80 para Manaus (os turistas restantes viajam para outras cidades). Esses dados incluem 30 turistas que viajam para as duas cidades simultaneamente.Qual a probabilidade de um turista aleatoriamente escolhido estar de viagem:

a) para Fortaleza (F);b) para Manaus (M);c) para Fortaleza(F) ou para Manaus (M).

Taxas demográficas: Entende-se por taxa ou coeficiente, em demografia, a razão entre o número de indivíduos que apresentam, ou apresentaram, determinada característica no decurso de certo período, e o total de indivíduos na população.

A taxa de mortalidade é a razão entre o número de óbitos, registrados, em determinada região durante um ano, e a população da região: (nº de óbitos população).1000:

Taxa de mortalidade infantil= nº de óbitos de menores de 1 ano . 1000 nº de nascidos vivos

Taxa de natalidade = nº de nascidos vivos . 1000 população

ATIVIDADES:1) Um levantamento de assinantes do Forbes mostrou que 45,8% deles haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões de negócios, que 54% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões pessoais e que 30% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses tanto por razões pessoais como por razões de negócios.a) Qual a probabilidade de que um assinante tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões pessoais ou por razões de negócios?b) Qual é a probabilidade de que um assinante não tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses nem por razões pessoais nem por razões de negócios?

2) Suponha que temos dois eventos, A e B, com P(A)=0,50, P(B)=0,60 e P(AB)=0,40.a) Ache P(A/B);b) Ache P(B/A);

3)Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade de a soma de pontos ser par?


4)Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ½. Nessas condições, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco filhos homens?

5)Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta contém duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma bola de cada urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola branca da urna branca ou da urna preta?

6)Joga-se um dado duas vezes. Qual é a probabilidade de sair um número ímpar em pelo menos uma das jogadas?

7)Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é igual a ½. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADEA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínuas, uma das mais empregadas é a DISTRIBUIÇÃO NORMAL.

O aspecto gráfico de uma distribuição normal é o da figura abaixo:

Principais características:1ª) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.2ª) A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou GAUSS.3ª) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.4ª) A curva normal é ASSINTÓTICA em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.5ª) Como a curva é SIMÉTRICA em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 . Escreve-se: P (X ) = P (X ) = 0,5 .


Quando existe uma variável aleatória com distribuição normal, o principal interesse é obter a probabilidade dessa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Para calcular essa probabilidade é usada a distribuição normal padrão.

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA (PADRÃO) (Z) tem distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. X N ( = 0; = 1)

Z= X−μσ

A tabela de distribuição normal reduzida, em anexo, apresenta a probabilidade de Z assumir qualquer valor entre a média 0 e um dado valor Z, isto é: P(0<Z<Z)

Exemplo 1: Em um exame final de Matemática, a média foi 72 e o desvio padrão 15. Determinar a variável reduzida (isto é, os graus expressos em unidades de desvio padrão) dos estudantes que obtiveram graus:

a) 60; R.: -0,8 b) 93; R.: 1,4 c) 72. R.: 0

Exemplo 2: Com referência ao exemplo 1, determinar os graus correspondentes aos escores reduzidos:

a) –1 ; R.: 57 b) 1,6. R.: 96

Exemplo 3: Dois estudantes foram informados de que alcançaram as variáveis reduzidas de 0,8 e –0,4, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de inglês. Se seus graus foram 88 e 64, respectivamente, determinar a média e o desvio padrão dos graus do exame.R.: 72 e 20

Exemplo 4: Determinar a área limitada pela curva normal em cada um dos casos abaixo:

a) Entre z = 0 e z = 1,2 R.: 0,3849b) Entre z = -0,68 e z = 0 R.: 0,2518c) Entre z = -0,46 e z = 2,21 R.: 0,6636d) Entre z = 0,81 e z = 1,94 R.: 0,1828e) À esquerda de z = - 0,6 R.: 0,2742f) À direita de z = -1,28 R.: 0,8997g) À direita de z = 2,05 e à esquerda de z = -1,44 R.: 0,0951

EXERCÍCIOS

1 – Determinar a média e o desvio padrão de um exame, cujos graus 70 e 88 correspondem, respectivamente, os escores reduzidos –0,6 e 1,4.R.: 75,4 e 92 – Determinar a área subtendida pela curva normal:a) cc R.: 0,2991b) À esquerda de z = -1,78 R.: 0,0375c) À esquerda de z = 0,56 R.: 0,7123d) À direita de z = -1,45 R.: 0,9265e) Correspondente a z ¿ 2,16 R.: 0,0154f) Corresponde a -0,80 ¿ z ¿ 1,53 R.: 0,7252g) À esquerda de z = -2,52 e à direita de z = 1,83 R.: 0,0395h) Corresponde a z ¿ -1,64 R.: 0,9495i) Corresponde a -1,96 ¿ z ¿ 1,96 R.: 0,9500

3 - Determinar o valor, ou valores, de z em cada um dos casos, nos quais as áreas referem-se às limitadas pela curva normal:

a) A área entre 0 e z é 0,3770.b) A área à esquerda de z é 0,8621.


c) A área entre –1,5 e z é 0,0217.

4 - O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma determinada universidade, é 75,5 kg e o desvio padrão é 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determinar quantos estudantes pesam:

a) entre 60 e 77,5 kg; R.: 294 estudantesb) mais do que 92,5 kg. R.: 6 estudantes

5 - Determinar quantos estudantes do exemplo 6 pesam:

a) menos do que 64 kg; R.: 32 estudantesb) 64 kg; R.: 0 estudantes

6 - A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.

R.: 0,2302



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