Upload
lesly-licny-humani-lopez
View
101
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
uso estudiantil
Citation preview
2.5 CRAWLER TREAD: UN EJEMPLO DE MEZCLAS
Aunque el problema de PROTRAC, resulto ser un modelo de maximizacin, algunos
problemas del mundo real ocurren dentro de un contexto de minimizacin, pero si, por
ejemplo, el objetivo es el costo, entonces se buscara sin duda la minimizacin. Como
ejemplo, vamos a considerar el siguiente problema de la CRAWLER TREAD (bandas
para tractor oruga).
Se va a mezclar mineral procedente de cuatro minas diferentes para fabricar bandas para
un nuevo producto de la PROTRAC, un tractor oruga de tamao medio, el E-6, diseado
especialmente para competir en el mercado europeo. Los anlisis han demostrado que
para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensin y los requerimientos
mnimos se debe contar con tres elementos bsicos que para abreviar designaremos como
A, B Y C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener por lo menos 5 libras del
elemento bsico A, por lo menos100 libras del elemento B y al menos 30 libras del
elemento C. Estos datos se resumen en la figura 2.10. El mineral de cada una de las cuatro
minas diferentes contiene los tres elementos bsicos, pero en diferentes proporciones. Sus
composiciones, en libras por tonelada, se dan en la figura 2.11 los datos de los precios se
dan en la figura 2.12
DESARROLLO
ELEMENTO
BASICO
MINAS REQUERIMIENTOS
1 2 3 4
A 10 3 8 2 5
B 90 150 75 175 100
C 45 25 20 37 30
COSTO 800 400 600 500
PLANTEAMIENTO
F.O MIN 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
RESTRICCIONES
10 X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 > = 5
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 > = 100
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 > = 30
X1 + X2 + X3 + X4 = 1
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 511.1111
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.259259 0.000000
X2 0.703704 0.000000
X3 0.037037 0.000000
X4 0.000000 91.111115
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -44.444443
3) 31.666666 0.000000
4) 0.000000 -4.444445
5) 0.000000 -155.555557
NO. ITERATIONS= 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 800.000000 223.636307 120.000008
X2 400.000000 66.847809 300.000031
X3 600.000000 85.714294 118.269203
X4 500.000000 INFINITY 91.111107
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 5.000000 2.375000 0.250000
3 100.000000 31.666666 INFINITY
4 30.000000 0.714286 7.000000
5 1.000000 0.250000 0.043478
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
EJEMPLO 1: ASTRO Y COSMO (UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS)
Una compaa de TV produce dos tipos de equipos para televisin, el astro y el cosmos. Hay dos
lneas de produccin, una para cada tipo de televisor, y dos departamentos, ambos intervienen en
la produccin de cada aparato. La capacidad de la lnea de produccin astro es de 70 televisores
diarios y la de la lnea cosmos es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este
departamento los televisores astro requieren 1 hora de trabajo y los cosmos 2. Actualmente, en el
departamento A se puede asignar un mximo de 120 horas de trabajo por da a la produccin de
ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los
televisores, astro requieren 1 hora de trabajo, igual que los cosmos. En la actualidad se puede
asignar un mximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento B para la produccin de ambos
tipos de televisores. La utilidad por aparato es de 20 y 10 dlares, respectivamente, por cada
aparato astro y cosmos. Estos datos se resumen en la figura 2.13.
Si la compaa puede vender todos los aparatos que se produzcan, Cul debe ser el plan de
produccin diaria de cada aparato? Revise el modelo de PROTRAC, y despus trate de formular
el problema del astro y cosmos como un programa lineal.
DESARROLLO
CAPACIDAD
DIARIA
UTILIZACIN DE TRABAJO POR
APARATO (HRS)
UTILIDAD POR
APARATO
DEPT. A DEPT. B
ASTRO 70 1 1 $20
COSMOS 50 2 1 10
DISPONIBILIDAD
TOTAL
120 90
PLANTEAMIENTO
F.O MAX 20X1 + 10X2
RESTRICCIONES
1X1 + 2X2 < = 120
1X1 + 1X2 < = 90
1X1 + 0X2 < = 70
0X1 + 1X2 < = 50
X1 + X2 = 1
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 20.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 1.000000 0.000000
X2 0.000000 10.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 119.000000 0.000000
3) 89.000000 0.000000
4) 69.000000 0.000000
5) 50.000000 0.000000
6) 0.000000 20.000000
NO. ITERATIONS= 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 20.000000 INFINITY 10.000000
X2 10.000000 10.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 120.000000 INFINITY 119.000000
3 90.000000 INFINITY 89.000000
4 70.000000 INFINITY 69.000000
5 50.000000 INFINITY 50.000000
6 1.000000 69.000000 1.000000
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
2.9 EJEMPLO 2: BLENDING GRUEL (UN PROBLEMA DE MEZCLAS)
Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener protenas, carbohidratos y grasas en
las siguientes cantidades mnimas: protenas, 3 onzas, carbohidratos, 5 onzas, grasas, 4 onzas. Se
va mezclar cuatro tipos de combinaciones de cereal en diversas proporciones para producir una
lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos al costo mnimo. Los contenidos y
precios de 16 onzas d cada combinacin se da en la figura 2.14
Revise el modelo de mezclas de la CRAWLER TREAD y formule este problema de mezcla de
combinaciones como programa lineal. (Sugerencia: designe con x, la proporcin de la
combinacin i que habr en una lata de 16 onzas de alimento para perros, i = 1, 2, 3, 4)
DESARROLLO
ALIMENTO CONTENIDOS Y PRECIOS POR 16 OZ DE CEREAL PRECIO
CONTENIDO DE
PROTENAS
(OZ)
CONTENIDO DE
CARBOHIDRATOS
(OZ)
CONTENIDO DE
GRASAS (OZ)
1 3 7 5 $4
2 5 4 6 6
3 2 2 6 3
4 3 8 2 2
CANTIDAD
MINIMA
3 5 4
PLANTEAMIENTO
F.O MIN 4X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4
RESTRICCIONES
3X1 + 5X2 + 2X3 + 3X4 > = 3
7X1 + 4X2 + 2X3 + 8X4 > = 5
5X1 + 6X2 + 6X3 + 2X4 > = 4
X1 + X2 + X3 + X4 = 1
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3.000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 0.500000
X2 0.166667 0.000000
X3 0.333333 0.000000
X4 0.500000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.000000
3) 0.333333 0.000000
4) 0.000000 -0.500000
5) 0.000000 2.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 4.000000 INFINITY 0.500000
X2 6.000000 1.999999 3.000000
X3 3.000000 1.000000 3.000000
X4 2.000000 2.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 3.000000 1.000000 0.500000
3 5.000000 0.333333 INFINITY
4 4.000000 0.250000 2.000000
5 1.000000 0.142857 0.038462
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
2.10 EJEMPLO 3: PROGRAMACION DE LA VIGILANCIA (UN PROBLEMA DE
PROGRAMACION)
Un gerente personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que satisfagan los
requerimientos de personal que se muestran en la figura 2.15
Los guardias trabajan turnos de 8 horas. Todos los das hay seis turnos. En la figura 2.16
se dan los horarios de entrada y de salida de cada turno. El gerente de personal quiere
determinar cuntos guardias debern trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el
nmero total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal.
DESARROLLO
TURNO HORA DE
ENTRADA Y
HORA DE
SALIDA
MEDIANOCHE
4 AM
4
AM
8
AM
8AM
MEDIODA
MEDIODA
4 PM
4
PM
8
PM
8 PM
MEDIANOCHE
1 MEDIANOCHE 8 AM
X1 X1
2 4 AM MEDIODIA
X2 X2
3 8 AM 4 PM
X3 X3
4 MEDIODIA 8PM
X4 X4
5 4 PM MEDIANOCHE
X5 X5
6 8 PM 4 AM
X6 X6
N MINIMO DE
OFICIALES
REQUERIDOS
5 7 15 7 12 9
PLANTEAMIENTO
F.O MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
RESTRICCIONES
X1 + X6 > = 5
X1 + X2 > = 7
X2 + X3 > = 15
X3 + X4 > = 7
X4 + X5 > = 12
X5 + X6 > = 9
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 32.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 0.000000
X2 8.000000 0.000000
X3 7.000000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
X5 12.000000 0.000000
X6 5.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.000000
3) 1.000000 0.000000
4) 0.000000 -1.000000
5) 0.000000 0.000000
6) 0.000000 -1.000000
7) 8.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 7
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 1.000000 INFINITY 0.000000
X2 1.000000 0.000000 0.000000
X3 1.000000 0.000000 0.000000
X4 1.000000 INFINITY 0.000000
X5 1.000000 0.000000 1.000000
X6 1.000000 0.000000 1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 5.000000 INFINITY 5.000000
3 7.000000 1.000000 INFINITY
4 15.000000 INFINITY 1.000000
5 7.000000 1.000000 7.000000
6 12.000000 INFINITY 8.000000
7 9.000000 8.000000 INFINITY
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
2.11 EJEMPLO 4: UN MODELO DE TRANSPORTE
Una compaa tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un mximo
de 100 unidades y la segunda un mximo de 200 unidades del mismo producto. El potencial de
ventas del primer almacn es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Las utilidades que
se obtienen por las ventas en los tres almacenes son: 12 en el primero, 14 en el segundo y 15 en
el tercero. En la figura 2.20 se da el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al
almacn j. la compaa desea determinar cuntas unidades debe transportar de cada planta a cada
almacn para maximizar la utilidad.
DESARROLLO
PLANTA ALMACEN OFERTA
(UNIDADES) 1 2 3
1 8 10 12 100
2 7 9 11 200
DEMANDA 150 200 350
PRECIO VENTA 12 14 15
PLANTEMIENTO
F.O MAX 4X11 + 4X12 + 3X13 + 5X21 + 5X22 + 4X23
RESTRICCIONES
X11 + X12 + X13 < = 100
X21 + X22 + X23 < = 200
X11 + X21 < = 150
X12 + X22 < = 200
X13 + X23 < = 350
COEFICIENTES
C1 12 8 = 4 C4 12 7 = 5
C2 14 10 = 4 C5 14 9 = 5
C3 15 12 = 3 C6 15 11 = 4
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1400.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 100.000000 0.000000
X12 0.000000 0.000000
X13 0.000000 1.000000
X21 0.000000 0.000000
X22 200.000000 0.000000
X23 0.000000 1.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 4.000000
3) 0.000000 5.000000
4) 50.000000 0.000000
5) 0.000000 0.000000
6) 350.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X11 4.000000 INFINITY 0.000000
X12 4.000000 0.000000 INFINITY
X13 3.000000 1.000000 INFINITY
X21 5.000000 0.000000 INFINITY
X22 5.000000 INFINITY 0.000000
X23 4.000000 1.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 100.000000 50.000000 100.000000
3 200.000000 0.000000 200.000000
4 150.000000 INFINITY 50.000000
5 200.000000 INFINITY 0.000000
6 350.000000 INFINITY 350.000000
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
2.12 EJEMPLO 5: CORPORACIN WINSTON SALEM DEVELOPMENT
(PLANEACIN FINANCIERO)
Esta es una interesante aplicacin de la programacin lineal a la planeacin financiera. La
corporacin Winston Salem Development (CWSD) est tratando de integrar su plan de
inversiones para los dos prximos aos. Actualmente, la CWSD tiene disponibles dos millones
de dlares para invertir. La CWSD espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las
inversiones previas. En la figura 2.21 se presentan los datos. Hay dos proyectos de desarrollo en
los que la compaa esta planeando participar.
1. en la figura 2.22 se muestra el flujo de caja que se tendra si la CWSD participara a un nivel
del 100% en el proyecto de Foster City Development (los nmeros negativos son inversiones y
los positivos son ingresos). As, para participar en el Foster City a nivel de 100% la CWSD tendra
que desembolsar de inmediato $1000000. A los 6 meses erogara otros $700000, etc.
2. un segundo proyecto consiste en hacerse cargo de la operacin de un antiguo proyecto de
vivienda media, con la condicin de que deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En la figura
2.23 se muestra el flujo de caja del proyecto, a nivel del 100% de participacin.
Debido a la poltica de la compaa, a la CWSD no se le permite pedir prestado dinero. Sin
embargo, al comienzo de cada periodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que
no sean colocados en Foster City o en proyecto de vivienda media) se invierten con un inters del
7% para este periodo de 6 meses. La CWSD puede participar en cualquiera de los proyectos a
nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirn
en forma proporcional. Por ejemplo, si la CWSD opta por participar en la Forest City, a nivel de
30%, el flujo de caja asociado con esta decisin seria 0.3 veces los datos de la figura 2.22. el
problema que actualmente encara la CWSD es decir que parte de los $2000000 en efectivo debe
invertirse en cada proyecto y cunto debe colocarse simplemente por el redito del 7% semestral.
La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habr al final de los 24 meses.
Formule este problema como modelo de programacin lineal.
DESARROLLO
INGRESOS PROCEDENTES DE INVERSIONES PREVIAS
6 MESES 12 MESES 18 MESES
INGRESO $500000 $400000 $380000
FLUJO DE EFECTIVO DEL PROYECTO DE VIVIENDA PARA GENTES DE MEDIANOS
INGRESOS
INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES
INGRESO $800000 $500000 $-200000 $-700000 $2000000
PLANTEAMIENTO
F.O MAX 600000F + 2000000M + 1.07S4
RESTRICCIONES
1000000F + 800000M + S1 < = 2000000
700000F 500000M 1.07S1 + S2 < = 500000
-1800000F + 200000M 1.07S2 + S3 < = 400000
-400000F + 700000M 1.07S3 + S4 < = 380000
FLUJO DE EFECTIVO DE FOSTER CITY
INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES
INGRESO $-1000000 $-700000 $1800000 $400000 $600000
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 5811886.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
F 1.320755 0.000000
M 0.849057 0.000000
S4 3104037.750000 0.000000
S1 0.000000 0.669203
S2 0.000000 0.141972
S3 2607547.250000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 2.131909
3) 0.000000 1.367015
4) 0.000000 1.144900
5) 0.000000 1.070000
NO. ITERATIONS= 4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
F 600000.000000 INFINITY 188112.984375
M 2000000.000000 150490.390625 400765.687500
S4 1.070000 0.290026 0.096394
S1 0.000000 0.669203 INFINITY
S2 0.000000 0.141972 INFINITY
S3 0.000000 0.713063 0.297529
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 2000000.000000 INFINITY 1285714.375000
3 500000.000000 900000.000000 1185772.000000
4 400000.000000 INFINITY 2607547.250000
5 380000.000000 INFINITY 3104037.750000
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL
2.13 EJEMPLO 6: COMPAA LONGER BOATS YACHT: DESCRIPCION DEL
ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO CON RESTRICCIONES
La compaa longer boats yacht produce tres balandras de regatas de alto rendimiento. En tres
botes se llaman aguijn, rayo y rompiente. La figura 2.24 da los datos pertinentes sobre beneficios
y costos para el siguiente periodo de planeacin.
Como puede verse en estos datos, el costo fijo de estas actividades es considerable. Segn se
explic en la seccin 2.7, un costo fijo es un costo global que se paga sin importar la cantidad
que se vaya a producir. De esta manera, el mismo costo fijo de $3000000 para los rayos se pagara
as sea una produccin de 0, 1 o 40 botes. El alto costo fijo incluye los gastos por modificacin
de diseos, reconstruccin de moldes y pruebas de viajes en lagunas.
El anlisis del punto de equilibrio fue presentado en el captulo 1. La figura 2.25 muestra el
anlisis del punto de equilibrio en la produccin del aguijn. Vemos que si la longer boats fuese
a producir solo aguijones, tendra que producir por lo menos 1000 botes para llegar al punto de
equilibrio.
Sin embargo, el problema de la longer boats es ms complicado. En principio para el prximo
periodo de planeacin la administracion ha contratado ya la produccin de 700 aguijones. Otro
cliente ha solicitado 400 rompientes, solicitud que el administrador le gustara atender. Los
estudios del mercado de la longer boats ha convencido al administrador de que por lo menos 300
rayos deben ser producido: adems, la administracion est interesada en vender lo suficiente para
alcanzar el punto de equilibrio, pero ahora hay tres productos, as como compromisos previos e
indicaciones que se deben tomarse en cuenta. Partiendo de los principios bsicos, el administrador
observa que, en el punto de equilibrio.
DESARROLLO
BALANDRA PRECIO DE VENTA
POR UNIDAD
COSTO VARIABLE
POR UNIDAD
COSTO FIJO
AGUIJON $10000 $5000 $5000000
RAYO 7500 3600 3000000
ROMPIENTE 15000 8000 10000000
PLANTEAMIENTO
F.O MIN 5000S + 3600R + 8000B
RESTRICCIONES
5000S + 3900R + 7000B = 18000000
S > = 700
B > = 400
R < = 300
A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO
B) ANALISIS DEL RESULTADO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 0.1831000E+08
VARIABLE VALUE REDUCED COST
S 2806.000000 0.000000
R 300.000000 0.000000
B 400.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.000000
3) 2106.000000 0.000000
4) 0.000000 -1000.000000
5) 0.000000 300.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
S 5000.000000 714.285706 384.615387
R 3600.000000 300.000000 INFINITY
B 8000.000000 INFINITY 1000.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 18000000.000000 INFINITY 10530000.000000
3 700.000000 2106.000000 INFINITY
4 400.000000 1504.285767 400.000000
5 300.000000 2700.000000 300.000000
C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL