Ondes Sonores Fluides 1

ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES (1).

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PROPAGATION DES ONDES SONORES DANS LES FLUIDES.

I. L’approximation acoustique. L’équation de propagation.

1°) Le cadre de l’étude.

Les effets de la pesanteur ou les causes d’amortissement (viscosité, …) ne sont pas pris en compte.

Lorsque le fluide est au repos (champ des vitesses nul), on note respectivement P0, 0 et T0 sa

pression, sa masse volumique et sa température, grandeurs supposées uniformes dans l’espace et cons-tantes dans le temps.

L’onde sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos, avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme :

1( , ) ( , )v M t v M t ,

0 1( , ) ( , )P M t P p M t , où p1 = surpression, ou pression acoustique,

0 1( , ) ( , )M t M t , où 1 désigne l’écart de masse volumique,

les champs 1v , p1 et 1 étant considérés a priori comme des infiniment petits

de même ordre. L’approximation acoustique.

L’approximation acoustique consiste à limiter les calculs à l’ordre 1 avec les infiniment petits, ce qui permet d’obtenir des équations linéaires. Tout terme d’ordre supérieur ou égal à 2 sera négligé.

En particulier, si on note ( , )x t le déplacement à l’instant t de la tranche de fluide située au repos à

l’abscisse x, l’approximation acoustique consiste à considérer les déformations des différents éléments

du fluide de faible amplitude et à écrire : 1x

.

2°) Mise en équation par approche eulérienne.

Équation locale de la dynamique pour un fluide parfait (équation d’Euler).

L’équation d’Euler conduit dans l’approximation acoustique à : 10 1( )v

grad pt

(éq 1).

Équation de conservation de la masse.

En se limitant aux infiniment petits d’ordre 1, l’équation de conservation de la masse s’écrit :

10 1( ) 0div v

t (éq 2).

Évolution thermodynamique.

Les méso-particules fluides subissent des évolutions thermodynamique isentropiques.

On donne le coefficient de compressibilité isentropique : 1 1

SS S

V

V P P.

La linéarisation du problème donne : 0 1

0 1P P P p. D’où 1

0 1

1S p

.

On en déduit dans l’approximation acoustique : 1 10 S

p

t t (éq 3).


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3°) L’équation de propagation. Célérité du son.

On rappelle l’expression de l’opérateur laplacien scalaire : ( ( ))f div grad f .

On établit à partir des équations de couplage (1), (2) et (3) l’équation d’évolution de la surpression

p1 sous la forme : 2

11 2 2

10

pp

c t, avec

0

1

S

c .

On retient :

Dans l’approximation acoustique et pour un écoulement parfait, la pression acoustique (ou surpression) p1 est solution de l’équation de D’Alembert à trois

dimensions : 2

2 2

10

ssc t

.

La célérité c de l’onde sonore (ou « vitesse du son ») s’écrit : S

Pc .

Ordres de grandeurs de c.

Dans un gaz parfait supposé parfait à la température T0 au repos, on a : 0RTc

M.

Pour un liquide, liq gaz . La vitesse du son est donc plus importante dans les liquides que

dans les gaz. Le cas des solides n’entre pas dans le cadre de l’étude menée ici. On retient toutefois que la vitesse du son dans un solide est encore plus élevée que dans un liquide.

gaz (à 20 °C) liquide Tiges solides Sols

milieu air hélium eau à 15 °C fonte acier verre Terre ou

sable Roches

c (m/s) 340 990 1500 3 103 5 103 4 à 6 103 2 à 3 103 5 à 6 103

Évolution du champ des vitesses.

D’un point de vue cinématique le champ des vitesses associé à la propagation d’une onde sonore,

correspond à un écoulement compressible ( ( ) 0div v ) et irrotationnel ( ( ) 0rot v ).

On établit, en utilisant l’identité vectorielle ( ( )) ( ( )) ( )rot rot v grad div v v , que le champ des

vitesses est, comme pour p1 ou 1, solution de l’équation de l’équation des ondes à trois dimensions :

21

1 2 2

10

vv

c t

Il s’agit ici de l’équation de d’Alembert vectorielle, formellement équivalente à l’équation scalaire (il suffit de se rappeler que les composantes du laplacien vectoriel, sont, en coordonnées cartésiennes, le laplacien des composantes).

Structure des ondes sonores.

Le caractère irrotationnel de la propagation d’une onde sonore montre que le champ des vitesses est parallèle à la direction de propagation de l’onde : on dit que les ondes sonores sont longitu-dinales. On retient :

Une onde acoustique progressive est longitudinale (le déplacement des couches de fluide se fait parallèlement à la direction de propagation de l’onde) et nécessite la

présence d’un milieu matériel pour se propager.


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II. Les solutions de l’équation des ondes à trois dimensions.

1°) Cas d’un problème à symétrie sphérique.

La fonction ft) cherchée ne dépend que du temps et de la distance r = OM.

Le laplacien s'écrit alors en coordonnées sphériques 22

1 ff r

r rr.

On effectue le changement de variable : = r.f

Alors 2

1f

r r r r D’où

2

1f r

r rr=

2

2

1

r r

Ainsi l’équation des ondes s’écrit 2 2

2 2 2

1 10

rr r c t, soit

2 2

2 2 2

10

r c t.

On reconnaît l’équation des ondes à une dimension étudiée précédemment.

La solution générale de l’équation de d’Alembert pour un problème à symétrie

sphérique s’écrit 1 1

( , ) ( ) ( )r r

f r t f t f tr c r c

.

Comme il a été déjà vu, les fonctions f+ et f- sont arbitraires , déterminées par les conditions aux li-

mites, représentant respectivement deux ondes sphériques divergente et convergente par rapport à l’origine O.

Surfaces d'onde.

On appelle surface d'onde associée à une onde f(M,t) le lieu des points M tels que f(M,t) = Cste à t donné.

Ainsi, par exemple, pour l'onde sphérique précédente, les surfaces d'onde sont des sphères de centre O.

2°) Cas d’une propagation suivant une direction fixe.

On désigne par Ou une direction spatiale fixe définie par le vecteur unitaire ue , de cosinus direc-

teurs (, , ) : u x y ze e e e , avec 2 2 2 1.

Un point M quelconque est repéré par son rayon vecteur x y zr xe ye ze .

On note .uu e r x y z (u représente l’abscisse de la projection H du point M sur

l’axe Ou).

On dit que f(x, y, z, t), solution de l’équation de d’Alembert à trois dimensions, décrit une onde plane progressive (O.P.P.) se propageant suivant la direction Ou

si, à t donné, f(x,y,z,t) ne dépend que de u, avec .uu e r .

Les surfaces d’onde de l’onde plane sont les plans perpendiculaires à Ou. Inversement, si f(x,y,z,t) représente une onde se propageant dans la direction Ou et

si, à t donné, f(x,y,z,t) n’a pas la même valeur en tout point d’un plan perpendicu-laire à Ou, c’est que l’onde ainsi décrite n’est pas plane.

L’équation de d’Alembert étant invariante par changement de base, on peut tout à fait choisir l’axe

Ox pour la direction Ou. Ainsi : .xu e r .

La solution ainsi cherchée sous forme d’onde plane progressive est du type . xr ef tc

.

Notons maintenant simplement u le vecteur unitaire dans la direction Ou, sans chercher à particu-lariser l’axe des x.


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Une onde plane progressive (O.P.P.) se propageant suivant la direction Ou,

solution de l’équation de d’Alembert à trois dimensions

2

2 2

10

ffc t

, s’écrit

sous la forme générale .r u

f tc

. (u unitaire dans la direction Ou).

Les surfaces d’ondes de l’O.P.P. sont des plans perpendiculaires à la direc-

tion définie par le vecteur u . Si la fonction f est de type sinusoïdal, l’onde associée est dite onde plane pro-

gressive harmonique (O.P.P.H.).

Généralisation.

Nous admettrons que toute solution de l’équation de d’Alembert est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation Ou couvrent tout l’espace.

Une superposition donnée d’ondes planes progressives ne conduit pas forcément à une onde résultante, ni plane, ni progressive (contre exemple : les ondes stationnaires ou les ondes guidées).

3°) L’onde plane progressive harmonique (O.P.P.H.).

Définition.

Une solution particulière de l'équation de propagation est l'onde plane dépendant sinusoïdale-ment du temps, appelée Onde Plane Progressive Harmonique (ou sinusoïdale, ou monochromatique), en abrégé O.P.P.H. (ou O.P.P.M.).

Une O.P.P.H. se propageant à la célérité c dans le sens du vecteur unitaire uest caractérisée par:

- sa fréquence (temporelle) ou sa pulsation (temporelle) 2 .

- sa longueur d'onde c

cT ou son nombre d'onde 1

= .

son vecteur d'onde 2

k u uc

.

Une O.P.P.H. présente une double périodicité, temporelle de période T et

spatiale de période .

Notation complexe d'une O.P.P.H.

Si on associe à toute composante réelle f du champ de vitesse ou de la surpression

acoustique la quantité complexe exp ( - . )mf f j t k r , les opérateurs dif-

férentiels se ramènent, en coordonnées cartésiennes, aux transformations algé-briques suivantes

Xj X

t , .divX jk X , rotX jk X ,

2X k X

Relation de dispersion.

Le modèle de l’O.P.P.H. conduit à la relation de dispersion obtenue en réinjectant la solution en OPPH dans l’équation de propagation. Pour un problème régi par l’équation des ondes, la relation de

dispersion s’écrit 2

22

kc

. Elle montre que k est réel et proportionnel à , conduisant à une pro-

pagation sans dispersion ni absorption.


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III. Approche énergétique.

1°) Impédance acoustique d’une onde plane progressive harmonique.

Soit une O.P.P.H. de pulsation se propageant suivant la direction xe . Soit v1 la projection du vec-

teur vitesse 1v sur la direction de propagation. On note xk k e le vecteur d’onde associé à cette

O.P.P.H. On écrit le potentiel des vitesses (l’onde sonore correspond à un écoulement irrotationnel)

sous la forme : 0( , ) expx t j t kx .

En raisonnant avec les images complexes associées au champ de vitesses v1 et au champ de sur-

pression p1, on peut écrire : 1v jk et 1 0p j

Par retour aux parties réelles, il vient 1 0 1

1 0 1

si propagation dans le sens des x


p cv

p cv.

Par superposition d’O.P.P.H. de même direction xe et de pulsations quelconques, ce résultat

précédent s’étend à toute O.P.P. car la constante 0c est indépendante de

On retient :

Le rapport 1

1

pZ

v pour une O.P.P. ne dépend que des caractéristiques du mi-

lieu. On l’appelle impédance acoustique du milieu, avec :

0

0



Z c

Z c.

2°) Vecteur de « Poynting » acoustique. Intensité sonore.

Puissance échangée à travers une surface.

Considérons la surface élémentaire dS orientée, centrée sur un point M et séparant le fluide en une partie à gauche de dS, dans laquelle existe la pression P0 + p1 (fluide en mouvement traversé par l’onde sonore) et l’autre à droite

de dS soumise uniquement à la pression P0 (fluide au repos). Sous l’effet de

l’onde acoustique, la surface dS se déplace à la vitesse 1v .

La force pressante exercée par la partie gauche sur la partie droite s’écrit : 1dF p dS .

La puissance de la force dF s’écrit alors 1 1 1. .d dF v p v dSP , et la puissance transmise à tra-

vers une surface (S) est donnée par 1 1.S

p v dSP .

On retient :

Cette puissance apparaît comme le flux du vecteur 1 1p v à travers (S). On

appelle ce vecteur le vecteur de Poynting acoustique (ou vecteur densité de flux de puissance sonore).

est homogène à une puissance surfacique et s’exprime en u.s.i. en W/m2.

Bilan énergétique local. Densité volumique d’énergie sonore.

On rappelle que ( ) ( ) ( )div fa fdiv a a grad f . Ainsi 1 1 1 1 1 1.div p v p div v v grad p

P0

P0 + p1

d S


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Avec les équations de couplage entre p1 et 1v , on obtient :

10 1 1 1.v

v v grad pt

et 11 1 1S

pp div v p

t

On en déduit l’équation locale ( ) 0e

divt

, où 2 20 1 1

1 1

2 2 Se v p . énergie

evolume

.

On retient :

La grandeur e, homogène à une énergie volumique (ou densité volumique

d’énergie sonore), est la somme d’une énergie volumique cinétique 2

0 11

2ce v asso-

ciée au mouvement macroscopique du fluide et d’une énergie volumique potentielle

21

1

2p Se p due au travail de la surpression acoustique.

Intensité acoustique (ou sonore).

On appelle intensité acoustique, notée I, la puissance moyenne transférée par l’onde sonore à travers une surface unité perpendiculaire à sa direction de propaga-

tion. Pour une O.P.P. 1 1I p v .

Le domaine de fréquences accessibles à l’oreille humaine s’étend sur environ 10 octaves de 20 Hz à 20 kHz (le plus souvent 25 Hz – 15 kHz).

Les surpressions détectables par l’oreille humaine varient typiquement de 10-5 Pa à 20 Pa (son douloureux), couvrant ainsi plusieurs décades.

Le seuil d’audition correspond à 12 2

0 10 .I W m (p1 = 2 10-5 Pa) et le

seuil de douleur se situe à 21 .douleurI W m (p1 = 20 Pa).

Décibels acoustiques.

On définit le niveau sonore (ou niveau de puissance acoustique) en décibels

par : 100

10 logI

LI

, avec 12 2

0 10 .I W m prise comme référence.

L’échelle logarithmique utilisée pour les intensités sonores vient de ce que l’oreille humaine, comme les autres récepteurs d’ailleurs constitue un détecteur logarithmique. Ordres de grandeurs typiques de niveaux sonores :

silence bruits

courants conversation

ambiance bruyante

bruits pénibles

douleur troubles de l’oreille

(turbo réacteur)

< 20 dB < 50 dB 60 dB < 70 dB < 100 dB 120 dB 130 dB


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3°) Discussion des o.d.g. : validation des approximations effectuées.

On considère une O.P.P.H. dans le domaine audible se propageant dans l’air à température am-

biante. La célérité vaut 340 /c m s .

L’impédance caractéristique de l’air est 0 440airZ c usi .

Grandeur physique mini valeur moyenne maxi

Fréquences 20Hz 2kHz 20kHz

Longueur d’onde /c f 17mm 17cm 17m

Intensité acoustique I 12 210 .Wm 6 210 .Wm 21 .Wm

Surpression acoustique airp Z I 510 Pa 210 Pa 20Pa

Vitesse particulaire / airv p Z 20 /nm s 20 /m s 5 /cm s

Déplacement particulaire /v 0,1nm 3nm 0,4 m

/ /x 9 86.10 2.10 1de à

( . )v

v grad v v tc

116.10 86.10 410

Modélisation de l’écoulement parfait : influence de la viscosité.

On a supposé l’écoulement parfait et donc négligé les forces volumiques de viscosité. En suppo-sant le fluide newtonien et en tenant compte ici de sa compressibilité, on montre que la force volu-

mique visqueuse s’écrit 4

( )3viscf v . Comparons viscf et 0

v

t en prenant pour la viscosité

cinématique de l’air 5 2 1

0

10 .m s .

2

20 0

( ) /

/ /

v v f

v t v T c 910 1 710 1 610 1

Il est bien légitime de négliger les forces de viscosité ce qui valide l’approximation de l’écoulement parfait dans l’équation mécanique.

Modélisation de l’écoulement isentropique : influence des transferts thermiques.

L’évolution thermodynamique du fluide est adiabatique si on peut négliger la puissance thermique

volumique transférée par diffusion thermique (terme en ( )th où th est la conductivité ther-

mique de l’air et la température) devant le transfert d’énergie interne par unité de volume et unité

de temps (terme en 0 Vc t).

On donne la diffusivité thermique de l’air 5 2 1

0

10 .thth

V

D m sc

.

2

20

/( )

/ /

thth th

V

D D f

c t T c 910 1 710 1 610 1

Le transfert thermique par diffusion est bien négligeable ce qui valide l’hypothèse d’adiabaticité dans l’écoulement.

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