Upload
doandat
View
284
Download
20
Embed Size (px)
Citation preview
République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche
Scientifique
Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEFFaculté : SciencesDépartement : PhysiqueDomaine : ST-SM
TOME 2:
ONDES MECANIQUES
Rappels de CoursProblèmes posés aux concours d’entrée aux
Grandes Ecoles Scientifiques
Module : Physique 03Niveau : 2ième Année Licence
Présenté par:Dr Fouad BOUKLI HACENE
Année Universitaire : 2014 /2015
DEDICACES
Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:
Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,
pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient
moral et matériel qui m'a permis d’achever ce travail.
Je le dédie également à:
Ma très chère femme et mes chers enfants
Mes chers frères et sœurs
Mes oncles et tantes
Toute ma famille et mes proches
Sommaire
Avant propos
Nomenclature
Sommaire
TOME 2 : ONDES
Chapitre 6 : Généralités sur le phénomène de propagation. 139
Chapitre 7 : Propagation d’onde mécanique dans les solides. 164
Chapitre 8 : Propagation d’onde mécanique dans les fluides 206
Références bibliographiques
Nomenclature
)t(p Coordonnées généralisées
TE Energie totale du système
cE Energie Cinétique du système
cE Energie Cinétique moyenne du système
pE Energie potentielle su système
L Lagrangien du système
S Action du système
exeF
Forces extérieures appliquées au système
exeM
Moments extérieurs appliqués au système
0 Pulsation propre du mouvement libre
A Amplitude
Déphasage
0T Période propre du mouvement libre
k Constante de raideur du ressort
C Constante de torsion
J Moment d’inertie
R Rayon d’un disque
m Masse d’un système
ix Coordonnées du système
V
Vitesse du déplacement
Masse volumique
l Longueur du ressort
0l Longueur du ressort à vide
0P Pression du gaz à l’équilibre
0V Volume du gaz à l’équilibre
dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx
apC Capacité électrique
indL Capacité électrique
q Charge qui circule dans le circuit
)t(u Tension d’alimentation
frf
Force de frottement
Coefficient de frottement
Facteur d’amortissement
Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti
)t(f Force extérieure appliquée au système
Pulsation Force extérieure appliquée au système
)t(pg Solution générale du mouvement force
)t(p p Solution particulière
r Pulsation de résonance du mouvement forcé
21 , Pulsation de coupure en régime forcé
Bande passante
Q Facteur de qualité
Z~
Impédance
Masse linéique de la corde
Masse surfacique
T Tension de la corde
Tension linéaire
E Constante de Young
w Longueur d’onde
0k Vecteur d’onde
V Vitesse de propagation
s Coefficient de compressibilité
Avant propos
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières
scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il
répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »
enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la
matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations
et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques
réparties en Huit chapitres.
Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du
formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude
des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté
est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti
qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse
du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au
quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de
liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées
dans les cinq chapitres.
Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes
mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités
des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre
traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier
chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
139Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
TOME 2
ONDES MECANIQUES
Chapitre 6 :
Généralités sur le phénomène de
propagation
140Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un
milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière,
comme le montre la figure 1.6.
Figure 1.6 : Mouvement de la vague
Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée
équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit :
2
22
2
2
xV
t
Ou est l’onde qui se propage dans la direction Ox avec une vitesse V.
La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope
et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du
milieu. Elle varie d’un milieu à un autre.
L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie.
On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel
par le vecteur d’onde )k,k,k(k zyx
. Le rapport
V)(k
est appelé la relation
de la dispersion de l’onde.
141Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il existe deux types de milieux :
Milieu dispersif :
La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de la
longueur d’onde, telle quedk
dV g
. Les composantes se propagent avec
des vitesses de phase différentes. Toute fois si le signal de l’onde n’est
pas déformé il se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se
situent dans une bande très étroite. Nous avons dans ce cas, la vitesse du
groupe gV avec laquelle se déplace le groupe d’onde.
Exemple: ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque
l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute
fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse
fréquence, l'air est dispersif)
Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde
Milieu non dispersif :
La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation,
telle que tetanconsV
)(k
. Elle ne dépend pas de la fréquence,
c’est le cas de la propagation des ondes sonores dans l’air, toutes les
142Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
composantes d’un son, quelque soient leurs fréquences, se déplacent à la
même vitesse. C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans
déformation exécutée par un orchestre.
Il existe deux types d’ondes :
Onde longitudinale :
L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le
montre les figures 3.6-a.et 3.6-b
Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale
Figure 3.6-b : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz
Onde transversale :
143Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme
le montre les figures 4.6-a et 4.6-b
Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale
Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale de la corde
Il y a des ondes qui ne sont pas transversale ni longitudinale
comme par exemples les vagues comme le montre les figures
5.6-a et 5.6-b/
144Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
5.6-a
5.6-b
Figure 5.6 : Mouvement de la vague
L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :
A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.
A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.
Exemple : Lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau, comme la montre la
figure 6.6 ci-dessous :
145Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire
Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant
dans un plan
A trois dimension : Ondes sonores.
Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :
Périodicité temporelle : Caractérisée par la période T (s).
Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde w (m).
Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes.
il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les
dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, voire la
figure 7.6 :
146Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes
Si deux ondes identiques se rencontrent: c'est le phénomène d'interférence,
voire la figure 8.6 :
Figure 8.6 : Franges d’interférences
D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :
147Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 9.6 : Phénomène d’interférence des ondes
L’expérience de Young : la lumière passe à travers deux trous
séparés par une distance d. Il apparait sur l’écran alors des
interférences circulaires comme le montre la figure 10.6 ci-
dessus :
Figure 10.6 : Phénomène d’interférence en optique
148Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le phénomène d’interférence des ondes acoustiques émises par
deux hauts parleurs comme le montre la figure 10.6 :
Figure 11.6 : Phénomène d’interférence d’ondes acoustique
Effet doppler d'une source sonore en mouvement.
L'effet Doppler ou effet Doppler-Fizeau est le décalage de fréquence d’une
onde (onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la mesure à
l'émission et la mesure à la réception lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur
varie au cours du temps. Si on désigne de façon générale ce phénomène physique sous
le nom d'effet Doppler, on réserve le terme d'« effet Doppler-Fizeau » aux ondes
électromagnétiques.
Cet effet fut présenté par Christian Doppler en 1842 dans l'article sur la lumière
colorée des étoiles doubles et de quelques autres astres du ciel, confirmé sur les sons
par le chercheur néerlandais Ballot (en utilisant des musiciens jouant une note calibrée
sur un train de la ligne Utrecht-Amsterdam), et fut également proposé par Hippolyte
Fizeau pour les ondes électromagnétiques en 1848.
Reconstitution du passage d’une voiture.
149Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 12.6 : Illustration de la variation de la longueur d’onde en fonction
de la vitesse
Figure 13.6 : passage en supersonique et onde de choc sonore
L'effet Doppler se manifeste par exemple pour les ondes sonores dans la
perception de la hauteur du son d’un moteur de voiture, ou de la sirène d’un véhicule
d’urgence. Le son est différent selon que l’on est dans le véhicule (l’émetteur est
150Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
immobile par rapport au récepteur), que le véhicule se rapproche du récepteur (le son
est plus aigu) ou qu’il s’éloigne (le son est plus grave). (Il faut cependant remarquer
que la variation de la hauteur du son dans cet exemple est due à la position de
l'observateur par rapport à la trajectoire du mobile.
Applications
Problème 1 :
151Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Une source émet une onde mécanique ψ de fréquence ν se propageant dans la direction
0x avec une vitesse V constante.
Ecrire l’équation de propagation.
Posant les variables suivantes :V
xtp et
V
xtq .
Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.
En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et
infini en régime sinusoïdal.
Solutions :
L’équation de propagation :
2
22
2
2
xV
t
C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.
Les solutions générales, en utilisant la méthode du changement des variables
qui sont:
V
xtq
V
xtp
Pour le premier terme de l’équation
Pour le premier ordre, on a :
1t
q
1t
p
avect
q
qt
p
pt
On obtient alors :
qpt
Pour le deuxième ordre, on aura :
152Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
1t
q
1t
p
avect
q
qpqt
p
qppqpt]
t[
tt 2
2
On obtient alors :
qppqpqt
2
2
2
2
22
2
2
De même pour le deuxième terme :
Pour le premier ordre, on a :
V
1
x
qV
1
x
p
avecx
q
qx
p
px
On obtient :
qpV
1
x
Pour le deuxième ordre, on aura :
V
1
x
qV
1
x
p
avecx
q
qpqx
p
qppqpx]
x[
xx 2
2
On obtient alors :
qppqpqx
2
2
2
2
22
2
2
Apres, on intègre les deux termes dans l’équation de base, on obtient :
)p(0pq
)q(0qp
0pqqp
2
2
1
2
22
D’ou la solution totale s’écrit sous la forme :
)p()q( 21T
On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme :
153Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
réfléchieOnde)V
xt(
incidenteOnde)V
xt(
)V
xt()
V
xt(
2
1
21T
Les figures 14.6 et 15.6 représentent l’illustration physique des fonctions
)V
xt(1 et )
V
xt(2
Figure 14.6: Ondes progressives dans le sens de la direction positive
Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive
Dans un milieu homogène infini et en régime sinusoïdal, la solution est de la
forme :
154Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)xV
t(cosA)x,t(
Problème2 :
Une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans un espace cartésien Oxyz
avec une vitesse V constante.
Etablir l’équation de propagation de S
Déterminer les solutions de l’équation différentielle par la méthode de
séparation des variables.
On définit le vecteur d’onde ko et la pulsation ω.
En déduire la forme de la solution générale.
Donner une relation entre ko et ω
L’espace de propagation est une cavité parallépépidique de dimension (a, b, c).
Figure 16.6 : La cavité de la propagation des ondes
On considère qu’à l’instant initial 0)0t(S .
Déterminer les solutions finales.
Solutions :
L’équation de propagation à trois dimensions:
155Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions
On décompose le vecteur d’onde k
en trois composantes )k,k,k( zyx sous la
forme suivante :
2z
2y
2x
2 kkkk
On détermine les composantes )k,k,k( zyx en trois directions:
2
22
2
22z
2
22y
2
22x
t
S
S
1avec
z
S
S
1k
y
S
S
1k
x
S
S
1k
Après sommation terme à terme, On obtient alors :
156Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
S
2
2
2
2
2
222
z2y
2x
z
S
y
S
x
S
S
1kkkk
D’ou :
SVt
S 2
2
2
Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des
variables :
)t(T)z(C)y(B)x(A)x,t(S
On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient
alors :
Cste
t
)t(T)z(C)y(B)x(A
V
1
z
)t(T)z(C)y(B)x(A
y
)t(T)z(C)y(B)x(A
x
)t(T)z(C)y(B)x(A2
2
22
2
2
2
2
2
D’où :
Cste)t(T
)t(T
V
1
)x(C
)x(C
)x(B
)x(B
)x(A
)x(A2
Après le calcul on obtient les équations différentielles comme suit :
Vk
kkkk
avec
0)t(T)t(T
0)z(Ck)z(C
0)y(Bk)y(B
O)x(Ak)x(A
o
2z
2y
2x
2
2
2z
2y
2x
Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit :
tsinTtcosT)t(T
zksinCzkcosC)z(C
yksinBykcosB)y(B
xksinAxkcosA)x(A
21
z2z1
y2y1
x2x1
Dans l’espace limité la propagation de l’onde est confinée. On a l’interférence
des ondes incidentes et réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires
dans les trois directions. A cet effet l’onde finale est régie par les conditions aux
bords.
En appliquant les conditions aux limites suivantes :
157Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0)cx(C)0x(C
0)by(B)0y(B
0)ax(A)0x(A
On obtient les solutions :
c
pket0C
b
mket0B
a
nket0A
)m(z1
)m(y1
)n(x1
Avec les conditions initiales :
0T0)0t(S 2
Les solutions finales s’écrivent alors :
tcosT)t(T
zksinC)z(C
yksinB)y(B
xksinA)x(A
1
z2
y2
x2
D’ou :
tcoszksinyksinxksinTCBA)t,z,y,x(S p,m,n)p(
z)m(
y)n(
x1222p,m,n
Ainsi la solution totale pour tous les modes propres est :
1222n m p
p,m,n)p(
z)m(
y)n(
xT TCBAavectcoszksinyksinxksin)t,z,y,x(S
Problème 3 :
Un haut parleur envoie dans l’air des ondes sonores S de fréquence ν se propageant à
symétrie sphérique avec une vitesse V constante. A tout instant, l’amplitude de l’onde
sonore sera la même sur une surface centrée sur le haut parleur.
Ecrire l’équation de propagation de S.
Résoudre l’équation aux dérivées partielles.
Exprimer la solution générale dans le cas d’un milieu infini en régime
sinusoïdal. Interpréter les résultats.
158Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
L’onde se propage d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale.
Figure 18.6 : Forme de l’onde sphérique
L’équation de propagation :
SVt
S 2
2
2
La solution générale de l’équation aux dérivées partielles :
Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphère r qui se
calcule comme suit:
2222 zyxr
Alors, la solution )t,z,y,x(S ne dépend que de la variable r devient :
)t,r(S)t,z,y,x(S
Pour la variable x :
r
S
r
x
x
r
r
S
x
S
Pour la deuxième dérivée :
2
2
2
2
2
2
r
S
r
1
r
S
r
1
r
x
r
S
r
1
x
r
r
S
r
1
rx
x
x
r
S
r
1
r
S
r
x
xx
S
xx
S
D’où :
2
2
2
2
2
2
2
2
r
x1
r
S
r
1
r
S
r
x
x
S
159Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
De même pour la direction y :
2
2
2
2
2
2
2
2
r
y1
r
S
r
1
r
S
r
y
y
S
De même pour la direction z :
2
2
2
2
2
2
2
2
r
z1
r
S
r
1
r
S
r
z
z
S
On somme pour les trois directions, on obtient :
r
S
r
2
r
SS
z
S
y
S
x
S2
2
2
2
2
2
2
2
Après transformation on aura :
2
2
r
)rS(
r
1S
D’où :
2
2
22
2
t
)rS(
V
1
r
)rS(
En posant la nouvelle variable :
rS
L’équation aux dérivées partielles devient :
2
2
22
2
tV
1
r
La solution s’écrit sous la forme :
)V
rt()
V
rt()r,t( 21
D’où la solution globale devient :
)
V
rt(g)
V
rt(f
r
1)t,r(S
On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique
réfléchie.
La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal dans un milieu infini
devient comme suit :
2222 zyxravec)V
rt(cos
r
1)t,r(S
160Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure
10.6.
Figure 19.6 : Forme conique de l’Onde
Le facteurr
1représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui
est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même
manière.
Problème 4 :
Soit une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans le plan (0xy) avec une
vitesse V constante.
Ecrire l’équation de propagation.
Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables.
On pose les conditions suivantes :
0)0y(y
S,0)0x(S
Déterminer les solutions générales.
Application :
Etablir l’équation de propagation dans le cas d’un jet de pierre sur une surface
d’eau.
En déduire les solutions générales.
161Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 20.6 : Mouvement ondulatoire circulaire à la surface de l’eau
Solutions :
La propagation se fait à deux dimensions suivant le schéma :
Figure 21.6 : Mouvement d’une onde a deux dimensions
L’équation de propagation à deux dimensions s’écrit comme suit:
2
2
2
22
2
2
y
S
x
SV
t
S
162Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des
variables :
)t(T)y(B)x(A)x,t(S
On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient
alors :
Cste
t
)t(T)y(B)x(A
V
1
y
)t(T)y(B)x(A
x
)t(T)y(B)x(A2
2
22
2
2
2
D’où :
Cste
t
)t(T)y(B)x(A
V
1
y
)y(B)t(T)x(A
x
)x(A)t(T)y(B
2
2
22
2
2
2
Après simplification on obtient :
Cste)t(T
)t(T
V
1
)x(B
)x(B
)x(A
)x(A2
On en déduit que :
20
2
)t(T
)t(T]
)y(B
)y(B
)x(A
)x(A[V)t(T)y(B)x(A)y,x,t(S
Après le calcul on obtient les équations différentielles séparées :
Vk
kkkavec
0)t(T)t(T
0)y(Bk)y(B
O)x(Ak)x(A
o
2y
2x
2O
2
2y
2x
D’ou les solutions sont déterminées comme suit :
tsinTtcosT)t(T
yksinBykcosB)y(B
xksinAxkcosA)x(A
21
y2y1
x2x1
L’espace de propagation est limité (fini), on obtient des ondes stationnaires dans
les trois directions.
En appliquant les conditions aux limites On obtient :
a
nket
0B
0A
0)0y(y
S0)0x(S
)n(x
1
2
Les solutions s’écrivent alors :
ykcosB)y(B
xksinA)x(A
y1
)n(x2
Les solutions générales sont :
163Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
22n
)m(y
)n(xT BAavec)t(yTkcosxksin)t,y,x(S
Application :
Dans le cas d’une membrane circulaire de rayon R, l’équation de propagation
est sous forme :
2
2
2
2
2
2
t
zz
y
z
x
z
D’où :
2
2
t
z)
r
zr(
rr
1)r(z
Ainsi, la célérité de l’onde est égale a :
V
La forme de la solution générale de l’équation de propagation :
)r(YA)r(JA)y,x,t(z 21
Où )r(Y),r(J sont les fonctions de Bessel et Neumann.
Figure 21.6 : Représentation des fonctions de BesselA gauche : Première espèce Jm(r)Adroite : Seconde espèce Ym(r)
164Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 7
Propagation d’onde mécanique
dans les solides
165Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une
perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation. Puisque le milieu est
constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont
responsables du déplacement de la perturbation. Cette propagation dépend des
propriétés physiques du milieu où l’onde se propage.
Figure 1.7: Propagation dans différents milieux
Onde élastique dans le solide :
Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une
extrémité est fixé sur un support rigide fixe. On applique à l’autre extrémité une force
de traction F
à la longueur du barreau, on constate un allongement l.
166Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 2.7 : Allongement due à la force de traction
Les variations relatives )S
F(f
l
l
présentent deux aspects fondamentaux. Le premier
est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur
originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA. Le deuxième aspect est
représenté dans l’intervalle AB, appelé zone non linéaire, à cet effet, même après la
suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel comme le montre la
figure 3.7
167Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 3.7: Comportement de la loi de Hooke
Dans la zone élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke comme suit
S
F
E
1
l
l
Où E est une constante propre au matériau, appelée module de Young qui s’exprime
en Newton par mètre carré.
On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un
barreau solide indéformable, homogène et continue. A cet effet, On considère
un élément du barreau de section S, de masse volumique, de constante de
Young E, de longueur dx , et de masse dm . Les deux sections réparties sur les
abscisses x et dxx sont soumises respectivement aux forces de traction
)x(F et )dxx(F .
L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :
dxx
F)x(F)dxx(F
t
USdx
2
2
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la
déformation comme suit :
x
USE)x(F
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes
élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des
caractéristiques macroscopiques des matériaux :
EVavec
x
UV
t
U
x
UE
t
U2
22
2
2
2
2
2
2
168Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 4.7 : Déformation locale du barreau
Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles
sont de la forme:
)kxt(j0 eU)x(U
OùV
k
est le module du vecteur d’onde.
On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le
rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du
déplacement de l’onde :
)x(Uj
)x(SEjkU
t
)x(Ux
USE
)x(U
)x(F)x(Z
Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :
cSZVS)x(Z
Où cZ est appelée l’impédance caractéristique du barreau. Elle ne dépend pas de
la position du milieu.
169Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Mouvement ondulatoire dans une corde
Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde libre représentée
comme suit.
Figure 5.7 : La corde est au repos
Soit une corde de longueur l et de masse m, la masse linéique μ (supposée constante le
long de celle-ci) est définit comme suit :
dx
dm
l
m
Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas déformer
le câble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone perturbée, un
élément de fil, de longueur dl :
Les Approximations sont les suivantes:
Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon
à être presque parallèle à l'axe x. Les angles )t,dxx(),t,x( sont donc
considérés comme petits
La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme
des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.
Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure 6.7 ci-dessous :
170Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 6.7: Mouvement transversal de la corde
Le bilan des forces s’écrit :
dldmavec
t
ydm]sin[sinF
0]cos[cosFadmF
2
2
xdxx
xdxx
Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et a
représente l’accélération selon
y. Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement
qui donne :
dxdl
x
yxtanxsin
La loi de Newton appliquée à la masse dxdm donne (nous considérons que
chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas
allongement) :
Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :
2
2
xdxx t
ydx]
x
y
x
y[F
Il en résulte l’équation aux dérivées partielles :
FV
x
yV
t
y
x
yF
t
y2
22
2
2
2
2
2
2
Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".
171Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Nous vérifions les unités de
Fsont celles du carré d'une vitesse 2)s/m( ,
comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :
FV
Le Fouet
Le fouet est une corde dont la masse linéique diminue avec la longueur, très
massique prés de la poignée et peu massive à l’autre extrémité représenté dans la
figure 7.7.
Lorsqu’on agite le fouet, l’onde ne se déplace pas de la même vitesse, car la vitesse
dépend de la masse linéique. La grande vitesse atteinte par l’extrémité du fouet peut
déplacer une quantité d’air et ainsi provoquer un claquement.
Figure 7.7 : Le fouet
Corde tendue : Ondes stationnaires :
172Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, on aura l’interférence des
ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes
stationnaires. Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords, comme suit :
0)t,ax(y)t,0x(y
On obtient les modes propres :
Nnaveca
nk n
Le schéma est représenté dans la figure 8.7
Figure 8.7 : Modèle de la corde tendue
Le premier dispositif expérimental qui illustre l’expérience de la production
des ondes stationnaires est celui de « MELDE » représenté dans la figure 9.7.
173Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 9.7: Dispositif expérimental de « MELDE »
Expérience générale :
Une corde de longueur L est placée horizontalement sur deux tiges en fer, à l’une des
extrémités de la corde nous attachons un poids de masse M. Un vibreur fait vibrer la
corde selon une intensité variable. Nous constatons qu’il se produit un mouvement
particulier de la corde qui présente des ventres et des nœuds en différents points.
Figure 10.7 : Expérience de la corde tendue
174Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Autres applications :
Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples :
La mise en vibration peut s’effectuer par :
Pincement (harpe)
Percussion (piano)
Frottements (violon)
Figure 11.7 : cordes de la guitare
Réflexion et transmission
La figure 12.7 montre deux cordes ayant la même tension et de masse linéaires
différentes raccordées au point x=0, appelé point de discontinuité.
175Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 12.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique
Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il
existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1.
Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité telle que :
0x
t
0x
r
0x
i
tri
x
)t,x(y
x
)t,x(y
x
)t,x(y
)t,0(y)t,0(y)t,0(y
Mouvement transversal dans une membrane
On considère un petit élément de cotés )dy,dx( dans une membrane
caractérisée par une tension par unité de longueur et une masse
surfacique sM . On définit )t,y,x(w le déplacement transversal local et
)t,y,x(f la densité surfacique des forces extérieures.
176Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 13.7 : Mouvement ondulatoire de la membrane
En appliquant la loi dynamique de Newton pour l’élément )dy,dx( :
2
2
s2
2
2
2
t
wdxdyMdxdy)t,y,x(f
y
wdxdy
x
w
x
wdx
x
wdydx
x
w
x
wdy
Avec :
2
2
s2
2
2
2
t
wdxdyMdxdy)t,y,x(f
y
w
x
wdxdy
En considérant que la force extérieure est nulle 0)t,y,x(f :
L’équation d’Alembert aux dérivées partielles devient alors :
2
22
2
2
2
2
2
2
s t
wwV
t
w
y
w
x
w
M
La quantitésM
représente la célérité de la propagation de l’onde dans la membrane.
Les solutions devront satisfaire les conditions aux limites sur le contour .
Pour fixe : on a )y,x(pour0)y,x(w
Pour libre: on a
)y,x(pour0
n
)y,x(w
n Représente la dérivée de )y,x(w dans la direction normale de n
177Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1 :
Soit une corde vibrant transversalement dans le plan Oxy . L’équation de mouvement
est de forme )t,x(fy . Soient T et μ la tension et la masse linéique de la corde à
l’équilibre.
Figure 14.7 : La corde libre
Ecrire l’équation de propagation de l’onde.
En déduire la célérité V des oscillations.
On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal.
Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la
méthode des séparations des variables.
Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distance a, lâchée sans vitesse
initiale.
178Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 15.7: La corde tendue
Déterminer la forme de la solution générale.
Montrer que les fréquences de vibration de la corde sont multiples entier
d’une fréquence fondamentale f1.
Application numérique :
Pour la troisième corde de la guitare de longueur a=63cm en nylon, de masse
volumique ρ=1200kg/m3 et de section S=0.42mm2.
Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son
fondamental f1=147Hz (note ré).
La corde maintenant est écartée de la position d’équilibre à l’instant t=0,
telle que représentée par la figure 16.7 et lâchée sans vitesse initiale:
179Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 16.7 : La corde écartée de sa position initiale
Déterminer la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
L’équation de propagation aux dérivées partielles s’écrit:
2
22
2
2
2
2
2
2
x
yV
t
y
x
yT
t
y
la célérité de l’onde est égale :
TV
Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre :
En utilisant la méthode des séparations des variables
)t(T)x(Ay
On obtient :
22
)t(T
)t(T
)x(A
)x(AV
D’où la solution s’écrit comme suit :
)t(T)x(A)t,x(ytsinTtcosT)t(T
xV
sinAxV
cosA)x(A
21
21
La corde est maintenant fixée :
les conditions aux limites nous donnent :
a
n)
V(k
xksinA)x(A
0A
0)ax(y
0)0x(yx
)n(x
x2
1
La solution s’écrit sous la forme:
180Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
xksinA)x(A )n(x2
Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :
n
a2
a
n)
V(
2k x
)n(x
La figure ci-dessus, Figure 14.7 illustre les différents types des modes
propres :
Figure 17.7 : Modes propres
les conditions initiales nous donnent :
tcosT)t(Tdonc0T0)0t(T n12
D’où, la solution finale s’écrit:
12
1n
n)n(
xT BAavectcosxksin)t,x(y
Les fréquences propres des vibrations de la corde :
T
a2
1favecnff
a
n
V
f2
Vk 11n
nn)n(x
Application numérique :
N3.17TSfa4TT
a2
1f 2
12
1
La corde pincée en son milieu :
L’équation de la corde à l’instant initial dans ce cas est de la forme :
181Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
ax2
apour
2
ax0pour
)xa(a
h2)0,x(y
xa
h2)0,x(y
En appliquant la condition initiale :
0)0t,x(y
On obtient :
ax2
apour
2
ax0pour
)xa(a
h2)0,x(y
xa
h2)0,x(y
xa
nsin)0,x(y
1n
On multiplie les deux membres par xa
nsin
et on intègre sur a,0
2
a
0
2
a
01n
a
0
2 xdxa
nsin)
a
x1(h2xdx
a
nsinx
a
h2xdx
a
nsin
Après intégration, on obtient :
2
nsin
)n(
h8
2
nsin
)n(
ha4
2
a22
1n
La solution finale s’écrit alors :
12
1n
n2T BAavectcosxa
nsin
2
nsin
)n(
h8)t,x(y
Problème 2:
Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique, tendue par une
force de tension d’intensité F constante. La corde au repos est horizontale et
matérialisée par l’axe Ox .
Au cours de la propagation d’une onde, le point M de la corde, d’abscisse x au repos
subit le déplacement transversal y(x, t) à l’instant t. On néglige l’influence de la
pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée
suivant l’axe Ox , OyOx et de valeur algébrique : )t,x(bV par unité de
longueur (avec b0), oùt
y)t,x(V
est la vitesse transversale de l’élément de la
corde d’abscisse x à l’instant t.
Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t).
182Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On définit k le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible
(b).
Etablir la relation de dispersion sous la forme :
c
)](jg1[)(k
Exprimer les coefficients g et c en fonction des données F, et b.
En déduire l’équation de l’onde y(x, t). Que peut on dire sur y(x, t) ?
On définit l’impédance mécanique complexe
)t,x(V
TZ~ y
Où yT désigne la projection sur Oy de la tension de la corde en M(x).
Exprimer l’impédance mécanique complexe Z~
de la corde en fonction de
F, , b. et.
Solutions :
Soit le schéma d’un élément de la corde subit des forces de tensions et de frottement
comme suit :
Figure 18.7 : Mouvement oscillatoire de la corde sous la force de frottement
En appliquant la loi dynamique de Newton, on a :
dldmavec
t
ydm]sin[sinFf
0]cos[cosF
admF2
2
xdxxfr
xdxx
L’équation du mouvement s’écrit :
183Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
2
xdxxt
ydx])
x
y()
x
y[(Fdx
t
yb
xletx
ysin
On obtient alors :
2
2
2
2
t
ydxdx
x
yFdx
t
yb
L’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t) :
t
y
F
b
t
y
V
1
x
y
t
y
F
b
t
y
Fx
y2
2
22
2
2
2
2
2
La célérité de l’onde est égale a :
FV
La relation de dispersion )(k :
On remplace la forme de la solution sinusoïdale dans l’équation de propagation,
on obtient :
t
Ae
F
b
t
Ae
V
1
x
)Ae(Ae)x,t(y
)xkt(j
2
)xkt(j2
22
)xkt(j2)xkt(j
Après simplification, On aura :
F
bj)(
V
1k 2
2
2*
La relation de dispersion devient alors :
)2
bj1(
c)(kb
Ainsi que les coefficients sont déterminés comme suit :
2
b)(get
Fc
La solution de l’équation de l’onde y(x, t)s’écrit alors :
)c
xt(j
c2
bx
eAe)x,t(y
C’est une onde progressive amortie.
L’impédance mécanique complexe s’écrit:
t
yx
y
F)t,x(V
TZ~ y
184Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou
)2
bj1(FZ
~
Problème 3 :
Partie A : Equation de la corde vibrante :
Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique, est tendue horizontalement
suivant l’axe Ox avec une tension F constante, voire la figure 19.7.
La corde, déplacée de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant
t par le déplacement quasi vertical y(x, t), compté à partir de sa position d’équilibre,
d’un point M d’abscisse x au repos.
A l’instant t, la tension )t,x(T exercée par la partie de la corde à droite de M sur la
partie de la corde à gauche de M, fait un petit angle )t,x( avec l’horizontale.
On admettra petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de
pesanteur.
Figure 19.7 : Mouvement de la corde
Equation des cordes vibrantes :
On considère le tronçon de la corde compris entre les abscisses dxx,x .
Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante.
En déduire la célérité V de l’onde en fonction de et F.
185Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Partie B : Analogie électrique :
Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure 20.7
comme suit :
Figure 20.7 : une tranche d’une cellule électrique sans perte
Montrer que la cellule électrique représentée ci dessus constitue un circuit
analogique d’un élément de corde vibrante de longueur dx
Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique Lind, de la
capacité linéique Cap, de l’intensité du courant i(x, t) et de la tension électrique
u(x, t).
Solutions :
Partie A :
L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante :
En appliquant la loi dynamique sur l’élément de la corde, on a :
dldmavec
t
ydm]sin[sinF
0]cos[cosF
admF2
2
xdxx
xdxx
L’équation du mouvement s’écrit :
2
2
xdxxt
ydx])
x
y()
x
y[(F
xletx
ysin
On obtient :
2
2
2
2
t
ydxdx
x
yF
186Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou l’équation aux dérivées partielles du déplacement )x(y s’écrit:
2
2
22
2
2
2
2
2
t
y
V
1
x
y
t
y
Fx
y
La célérité de l’onde est égale à :
FV
Partie B :
L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :
t
iL
x
ut
uC
x
i
0i
0U
ind
ap
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des
ondes de courant et de tensions comme suit :
2
2
apind2
2
t
iCL
x
i
La célérité de l’onde de courant est égale à :
apind CL
1V
L’équivalence mécanique-électricité :
t
y)t,x((i
F
1C
L
Avec
t
y
Fx
y
t
iCL
x
i
ap
ind
2
2
2
2
2
2
apind2
2
Problème 4 :
187Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Deux cordes, de masses linéiques 1 et 2, sont attachées à la jonction O pour former
une longue corde tendue horizontalement suivant l’axe Ox avec une force de tension
d’intensité F. On choisit l’abscisse x=0 à la jonction O des deux cordes.
Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude ai et venant de la
gauche (région x0) de la forme :
)xktcos(a)t,x(y 1ii
A la jonction O il y a une onde réfléchie dans la région x0 et une onde transmise vers
la région x0. On définit k1 et k2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes
dans les régions x0 et x0 :
Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux
relations qui lient les amplitudes rti a,a,a et le rapport2
1
k
k.
En déduire les coefficients de réflexioni
r
a
aR et de transmission
i
t
a
aT
pour l’amplitude en fonction de k1 et k2, puis en fonction de 1 et 2.
Commenter.
Application numérique : On attache en O un fil d’acier(1) de diamètre d1=2
mm et un fil d’acier (2) de diamètre d2=1.2mm.
Calculer, pour l’onde qui se propage du fil (1) vers le fil (2), les coefficients R
et T.
Solutions :
Les deux équations de continuité :
En appliquant les deux équations de continuités :
0x
t
0x
r
0x
i
tri
x
)t,x(y
x
)t,x(y
x
)t,x(y
)t,0(y)t,0(y)t,0(y
On obtient alors :
t1
2ri
tri
ak
kaa
aaa
Les coefficients de réflexion et de transmission :
188Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
i
t
i
r
a
aT
a
aR
On obtient :
21
1
0201
01
21
21
0201
0201
2T
kk
k2T
Rkk
kkR
Commentaires :
0Tet0R
0R
21
21
21
21
Application numérique :
%75Tdd
d2T
kk
k2T
a
aT
%25Rdd
ddR
kk
kkR
a
aR
21
1
0201
01
i
t
21
21
0201
0201
i
r
Problème 5:
Soit U une onde mécanique longitudinale se propageant suivant l’axe Ox dans un
barreau cylindrique homogène indéformable de masse volumique , de module de
Young E de longueur l et de section droite S.
Ecrire l’équation de propagation d’Alembert.
Déterminer la solution U(x, t) de l’onde.
Déterminer l’impédance mécanique Z(x) à la position x. En déduire
l’impédance caractéristique du milieu Zc.
Solutions
L’équation de propagation des ondes :
EVavec
x
UV
t
U
x
UE
t
U2
22
2
2
2
2
2
2
189Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles
sont de la forme:
)kxt(j0 eU)x(U
OùV
k
est le module du vecteur d’onde.
On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le
rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du
déplacement de l’onde :
)x(Uj
)x(SEjkU
t
)x(Ux
USE
)x(U
)x(F)x(Z
Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :
cSZVS)x(Z
Problème 6:
Un barreau cylindrique d’aluminium, de masse volumique de longueur l et de
section droite, subit un allongement relatif :
E
F
l
l
Sous l’effet d’une force F d’étirement dans le sens de l’axe x0 du barreau ; la
constante E est le module d’Young du métal. On négligera les variations de la section
du barreau. Lors du passage d’une onde acoustique, l’élément de barreau compris entre
les plans de section voisins d’abscisses dxx,x se déplacent respectivement de
)t,x(s et )t,dxx(s à l’instant t par rapport à leur position d’équilibre ;
Montrer que l’élongation )t,x(s obéit à une équation de propagation d’ondes.
Calculer la célérité V de ces ondes dans le barreau d’aluminium pour lequel :
= 2700kg/m3 et E= 71010 Pa
Soit une onde plane progressive acoustique d’amplitude a0 :
190Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)V
xt(coa)t,x(s 0
Calculer dans ce cas la variation relative maximale max de volume de l’élément
de barreau )dxx,x( entre les instants 0 et t ;
La tension T(x, t) du barreau au niveau de sa section droite d’abscisse x, à
l’instant t.
Le barreau de longueur l, fixé à une de ses extrémités O, est libre à l’autre extrémité A.
On cherche la solution de l’équation de propagation de l’onde sous la forme
tsin)x(g)t,x(s
Déterminer la fonction g(x), on notera a l’amplitude de cette fonction spatiale.
On prend comme conditions aux limites :
0)t,lx(x
set0)t,0x(s
Déterminer les fréquences propres du barreau en fonction de E, l, et d’un
entier N.
Dans les conditions où le son le plus grave a une fréquence f0=2KHz,
Déterminer :
La longueur l= OA du barreau cylindrique.
L’énergie cinétique moyenne )t(Ec de ce barreau en fonction de sa masse M et
de la vitesse maximale maxV d’un élément du barreau.
Solution :
L’équation de propagation d’ondes :
Soit un élément du barreau représenté comme suit :
191Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 21.7 : L’élément du barreau soumis à des forces de tractions
En appliquant la loi dynamique de newton :
2
2
t
sdm)t,x(T)dxx(TamF
L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :
dxx
T)x(T)dxx(T
t
sdx
2
2
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la
déformation comme suit :
x
sE)x(T
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes
élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des
caractéristiques macroscopiques des matériaux.
L’équation du mouvement s’écrit alors :
192Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
22
2
2
2
2
2
2
x
sV
t
s
x
sE
t
s
La célérité de l’onde est égale :
EV
Application numérique :
s/m1610E
V
La variation relative max et la tension T(x, t) :
)V
xt(sinESa)t,x(T
V
a0
0max
La fonction g(x) :
En utilisant la méthode des séparations des variables, on a :
tsin)x(g)t,x(s
On obtient :
0)x(g)V
(dx
)x(gd 2
2
2
D’où :
xV
sinAxV
cosA)x(g 21
Alors la solution générale s’écrit :
tsinxV
sinAxV
cosA)t,x(s 21
En utilisant les conditions aux bords, on aura :
0A
xV
sina)x(g0)0(g0)t,0(s
1
Les fréquences propres du barreau :
En utilisant la condition au bord :
0)x
s( lx
On obtient :
2
)1N2(cos)l
Vcos(0)l
Vcos(0)
x
g( lx
193Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les fréquences propres sont :
l4
V)1N2(f N
La longueur l= OA du barreau cylindrique :
On a la relation de dispersion :
2
)1N2(l
V
Pour le son le plus grave, c'est-à-dire, N=0 : on a :
l4
Vf0
D’où la longueur du barreau est égale :
cm31E
f4
1l
0
L’énergie cinétique moyenne :
l
0
2c
22c )a(M
8
1)t(ESdx)
t
s(
2
1dmv
2
1)t(E
Problème 7:
On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface S d’une
membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace plan Oxyz
et dont les axes sont Oz,Oy,Ox . Soit un élément ds dont les cotes sont soumises a des
tensions linéaires , comme le montre la figure 22.7 comme suit :
194Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 22.7 : Mouvement transversal de la membrane
Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une
masse surfacique σ.
Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations
des variables.
En déduire la forme de la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
En appliquant la loi dynamique de Newton
dxdy)y
z
x
z(
t
zdxdyadmF
2
2
2
2
2
2
L’équation de propagation de l’onde :
2
2
22
2
2
2
2
2
t
z
V
1z
t
z
y
z
x
z
La célérité de l’onde est égale à
V
Les solutions de l’équation différentielle :
En utilisant la méthode de séparation des variables :
195Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)t(T)y(B)x(A)y,x,t(z
On obtient :
2
2
22
2
2
2
t
)]t(T)y(B)x(A[
V
1
y
)]t(T)y(B)x(A[
x
)]t(T)y(B)x(A[
D’où
Cste)t(T
)t(T
V
1
)y(B
)y(B
)x(A
)x(A2
Après le calcul, on obtient les équations différentielles séparées comme
suit:
Vk
kkkavec
0)t(T)t(T
0)y(Bk)y(B
O)x(Ak)x(A
0
2y
2x
20
2
2y
2x
Dont les solutions sont de la forme :
tsinTtcosT)t(T
yksinBykcosB)y(B
xksinAxkcosA)x(A
21
y2y1
x2x1
Ainsi, la solution totale s’écrit sous la forme:
)tsinTtcosT)(yksinBykcosB)(xksinAxkcosA()t,y,x(Z 21y2y1x2x1
Problème 8 :
Une ligne de transmission téléphonique, parallèle à l’axe Ox , sans pertes, peut être
décomposée en cellules élémentaires de longueur dx . Cette ligne est caractérisée par
son inductance linéique indL et sa capacité linéique
apC . Comme le montre la figure
23.7 ci dessous :
196Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 23.7 : Elément de la ligne électrique
Montrer que le courant i(x, t) et la tension u(x, t) obéissent à une même équation
d’onde d’Alembert que l’on déterminera.
Exprimer en fonction de indL et
apC la célérité V de la propagation de l’onde de
courant et de l’onde de tension sur cette ligne.
On admet qu’une onde progressive harmonique de courant se propage dans cette ligne,
supposée infinie :
)V
xt(cosi)t,x(i 0
Montrer qu’en tout point de la ligne, on a )t,x(iZ)t,x(u c où l’impédance
caractéristique cZ est une constante qu’on exprimera en fonction de indL et
apC .
La ligne, située dans l’espace x0, s’étend jusqu’en x=0 où elle est fermée sur une
résistance R. On alimente la ligne par une tension par tension sinusoïdale de pulsation
L’onde de courant s’écrit alors sous la forme :
tjx
Vjx
Vj
e)BeAe()t,x(i
Justifier cette écriture en notation complexe.
Exprimer l’impédance)t,x(i
)t,x(u)t,x(Z
~ de cette ligne. On fera apparaître cZ
dans l’expression de Z(x).
Solutions :
L’équation de propagation :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :
t
iL
x
ut
uC
x
i
0i
0U
ind
ap
197Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des
ondes de courant et de tensions comme suit :
2
2
apind2
2
2
2
apind2
2
t
uCL
x
ut
iCL
x
i
La célérité de l’onde est la même et est égale à :
apind CL
1V
L’impédance caractéristique cZ :
Soit l’expression :
)t,x(ViL)V
xt(cosVLi)t,x(u indind0
Alors l’impédance caractéristique :
ap
indc
C
LZ
L’onde de courant résultante dans cette ligne fermée par la résistance R est due
à la superposition d’une onde incidente qui se propage vers les x0 qui s’écrit
sous la forme :
)xV
t(j
i Ae)t,x(i
Et en onde réfléchie qui se propage vers les x0 sous forme :
)xV
t(j
r Ae)t,x(i
Ainsi la résultante est donnée comme suit :
tjx
Vjx
Vj
e)BeAe()t,x(i
L’impédance complexe de la ligne :
xV
jxV
j
xV
jxV
j
c
BeAe
BeAeZ)t,x(Z
~
)t,x(i
)t,x(u)t,x(Z
~
198Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 9 :
On se propose d’étudier le problème des ondes élastiques transversales dans un
barreau solide, de masse volumique, de coefficient de cisaillement G soumis à
l’une de ses extrémités à une force de cisaillement, parallèle à la section S. on
suppose que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en
199Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
bas sans mouvement horizontal. On appelle Uz le déplacement transversal d’une
tranche d’épaisseur dx à un instant donné, comme le montre la figure 24.7 :
Figure 24.7 : Ondes transversales dans un barreau
Sachant que chaque tranche d’épaisseur dx est soumise aux forces
antagonistes )x(F et )dxx(F qui sont tangentes aux sections et qui sont
produites par les portions du barreau qui sont situées de chaque coté du
barreau. Etablir l’équation aux dérivées partielles de l’équation d’onde.
En déduire la célérité de l’onde.
Résoudre l’équation d’onde par la méthode de séparations des variables.
Problème 10:
Soit une chaine linéaire à un atome par maille de coté a. La position au repos du nième
atome de masse m est nax comme le montre la figure 25.7.
Figure 25.7 : Chaine d’atomes identiques
200Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de
l’axe Ox est caractérisée par :
)txq(jAe
On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type
2kx2
1comme le montre la figure 26.7 avec k est la constante de rappelle.
Figure 26.7 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques
Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant
1nn1n y,y,y les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.
On cherchera la solution de forme :
)txq(jn
nAey
Déterminer la relation de dispersion )q( .
Tracer le graphe )q( .
En déduire la vitesse de la phase.
Donner l’expression de la vitesse du groupe.
Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs
d’onde.
Problème 11:
Dans tout le problème on considère une corde vibrante homogène et sans raideur, de
masse linéique, tendue par une force de tension d’intensité F constante. la corde au
repos est horizontale et matérialisée par l’axe Ox .
Partie 1 :
201Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On étudie des petits mouvements transversaux d’un point M d’abscisse x de la
corde )t,x(fy au plan Oxy . En admettant qu'un élément de corde au repos M0 reste
pendant le mouvement à la même abscisse. L'élongation d'un point d'abscisse x à
l'instant t est notée )t,x(y . La tangente en M à la corde fait avec l'axe Ox un angle
)t,x( qui reste petit, ce qui suppose que 1x
y
.
Enfin, l'action du champ de pesanteur sur le mouvement, ainsi que toute cause
d'amortissement sont négligées.
Figure 27.7 : Elément de la corde
Équation d'onde pour un ébranlement le long de la corde
La longueur de la corde varie très peu lorsqu'elle vibre. Montrer qu'à des termes
du second ordre en )t,x( près, l'abscisse curviligne C peut être confondue avec
l'abscisse x.
On admet que la tension F
reste, en tout point, tangente à la corde.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un élément de la corde
compris entre x et dxx .
202Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Montrer à l'aide des hypothèses faites que la tension F
est de module constant,
noté F, et que l'ébranlement est régi par une équation aux dérivée partielles dont
on déterminera.
Exprimer la célérité V en fonction de F et .
Solution en ondes progressives de l'équation de d'Alembert :
Introduire les grandeursV
xtp et
V
xtq .
En déduire la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
Applications numériques :
Calculer V pour une cordelette (type de Melde) en coton ou nylon de 1 gramme
par mètre tendue sur une poulie par une masse de 100g.
Calculer V pour une corde tendu d'acier de masse volumique 33 kgm210.7 ,
de rayon 1mm.
Partie 2 :
A présent la corde de longueur a est fixée en ses extrémités, deux points de l'axe Ox
d'abscisse x=0 et x=a.
On cherche des solutions de l'équation (1) sous la forme de variables séparées :
)t(g)x(f)t,x(y
Montrer que f et g doivent être des fonctions sinusoïdales.
En notant ω la pulsation de )t(g . Quelle est la relation de dispersion
)(k ?
En utilisant les conditions aux limites, Montrer que les fréquences propres nf
sont multiples d’une fréquence fondamentale 1f ( Nnavecnff 1n ).
En déduire la longueur d’onde n .
Montrer que l'expression de la solution générale )t,x(y n s’écrit sous la forme :
xa
nsin
a
ftnsinD
a
ftncosC)t,x(y
1n
nnT
Applications numériques :
203Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour une corde de longueur a, oscillant à la fréquence f, donner la
tension nF à appliquer pour obtenir le seul mode n.
En déduire f pour n=1, (la fréquence fondamentale), N2930F1 ,
13 m.kg6510.5 et a=1.22m.
Partie 3 :
Corde de piano
A l’instant t=0, la corde est immobile dans la position d’équilibre )0,x(y . Elle est
frappée avec un petit marteau de largeur e (avec 1e ) situé entre les
abscisses edxetdx , qui communique par le choc une impulsion initiale à
la partie frappée. Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l'instant
t=0 est modélisée par une « fonction créneau » comme suit.
ailleurspour0)0,x(t
y
edxdpouru)0,x(t
y
Déterminer les coefficients nC et nD .
Trouver une application musicale du fait que les coefficients dépendent de d.
Que faut-il faire pour supprimer un harmonique, en particulier celui
correspondant à n=7?
Dans le cas2
ad . Quelles sont les harmoniques présentes ?
Corde de clavecin, de guitare ou de harpe
La même corde est pincée et lâchée au temps t=0 de telle sorte que sa vitesse initiale
soit nulle. L’endroit x=d où a lieu le pincement joue le même rôle vis à vis des
harmoniques que celui de la frappe. En conséquence, et afin de limiter les calculs,
nous nous limitons à un pincement en2
ax si bien que la position initiale de la corde
est définie par la « fonction triangle » comme suit :
ax2
apour)xa(
a
h2)0,x(y
2
ax0pour
a
h2)0,x(y
204Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Déterminer les coefficients nC et nD .
Comparer les spectres d'une corde à piano et d'une corde à clavecin et apprécier
la différence de timbre sonore.
Pour une corde de guitare ou de harpe, le pincement peut être effectué
délicatement avec un doigt de telle sorte que la position initiale soit définie par
la « fonction parabole » comme suit:
)xa(xa
h2)0,x(y
2
Déterminer les coefficients nC et nD
Reprendre les calculs dans ce cas et conclure.
Oscillations entretenues: Expliquer ce qui se passe si, l'extrémité x=a étant
fixée, on place en x=0 un vibreur de très faible amplitude de telle sorte
que tcosA)t,0(y .
Réflexion et transmission sur discontinuité :
Une corde très longue est composée de deux tronçons de masses linéiques 1
et 2 , la tension étant toujours F, le nœud en x=0 est sans masse.
Figure 28.7 : Phénomène de transmission et de réflexion
205Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Du coté x<0 arrive un ébranlement d’une onde incidente de la forme :
)V
xt(f)t,x(y
1i où f est une fonction quelconque.
Montrer qu'en plus de l'onde incidente, il existe une onde réfléchie
)t,x(y r du coté x<0 et une onde transmise du coté )t,x(y t .
En utilisant les deux conditions de continuités, exprimer les deux
expressions qui déterminent respectivement les coefficients de réflexion.
Problème 12:
On considère un mouvement transversal de la corde, supposée semi infinie, de masse
linéique, soumise à une tension F et terminée en x=0 par le système composé par une
masse m, d’un ressort de constante de raideur k et d’un amortisseur de coefficient de
viscosité comme le montre la figure 29.7.
Figure 29.7 : Mouvement sinusoïdal d’une corde semi infinie
Une onde incidente sinusoïdale )t,x(y i d’amplitude A et de pulsation ω se propageant
à partir de x<0. En équilibre la corde est horizontale et la masse m se trouve en O.
Etablir l’équation de l’onde.
En déduire l’expression du déplacement de particule de l’onde incidente )t,x(y i .
206Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Donner les expressions de l’impédance caractéristique cZ de la corde et de la
célérité de l’onde.
En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à la masse m, Etablir
l’expression de l’impédance mécanique terminale de la corde.
Déterminer la relation du coefficient de réflexion R, pour le déplacement de
particules à l’extrémité de la corde.
Exprimer l’expression du déplacement totale de particules dans la corde.
Problème 12:
On considère un mouvement transversal )t,x(y , de pulsation ω et de vecteur d’onde k
se propageant suivant la direction Ox . Soit une corde tendue étant fixée aux extrémités
de longueur L, de masse linéique, sous une tension F, est parcourue par deux ondes :
)kxtcos(A)t,x(yet)kxtcos(A)t,x(y 2211
Décrivez le phénomène résultant dans le milieu.
Etablir l’expression de la solution totale.
Déterminer sur la corde les points qui sont immobiles.
Exprimer dans ce cas, la distance d entre deux points successifs en fonction de
la longueur d’onde.
Montrer que les fréquences propres nf sont multiples d’une fréquence
fondamentale 1f qu’on déterminera.
Sur le violon, la note mi de fréquence fondamentale f=660 Hz est obtenue en
faisant vibrer une corde de longueur L=33cm et de masse linéique
=5.410-4Kg/m. Dans ce cas calculer la tension de la corde.
206Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 8 :
Propagation d’onde mécanique
dans les fluides
207Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
Dans un milieu continu, la variation d’une grandeur en un point entraine sa
modification un peu plus loin un peu plus tard, par un phénomène de propagation.
Dans u tuyau, une compression locale a tendance à se propager : ce sont les ondes
acoustiques comme la montre la figure 1.8:
Figure 1.8: Exemple d’onde de compression dans un tuyau rempli d’air
On définit alors, les Ondes élastiques dans les fluides comme des ondes
mécaniques qui se propagent dans les gaz ou dans les liquides.
On suppose que les fluides soient parfaits, il n’y aura pas d’absorption.
L’onde élastique dans l’air est due à la propagation de la variation de pression,
c'est-à-dire par la compression et dilatation de l’air comme le montre les figures
2.8 et 3.8:
208Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure2.8 : Propagation d’onde élastique plane dans l’air
Figure 3.8 : Propagation d’onde élastique sinusoïdale plane dans l’air
On définit la pression acoustique : p=P-P0
P : Pression absolue du fluide
P0 : Pression absolue au repos
0 : Masse volumique du fluide à l’équilibre
Dans un gaz, la pression est souvent de l’ordre de la pression atmosphérique,
Pa10P 5
209Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Une vibration mécanique est véhiculée par une surpression locale )t,x(p ,
telle que :
Pp .
Sachant que les mouvements aux fréquences sonores sont trop rapides
pour qu’il y ait des échanges thermiques, les variations de pression sont donc
adiabatiques et l’évolution d’un volume V est reliée à celle de la pression
comme suit :
0V
dV
P
dP
Oùv
p
c
c est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à
volume constant.
On obtient la relation suivante :
CtePV
Mise en équation :
Beaucoup de problèmes de bruit industriel sont liés à la propagation d’ondes
sonores dans des conduites et des tuyaux. Cette propagation est conditionnée
par la longueur d’onde acoustique telle que :
Df
c
D : Diamètre de la conduite sonore
c : Célérité du son dans l’air qui est égale à 344m/s à 20°c
f : Fréquence de l’onde
Soit une membrane vibrante émise une onde plane progressive dans un fluide
uniforme, de masse volumique et de pression P0 à l’équilibre. Cette onde se
propage dans la direction x positif.
Le phénomène de propagation des ondes sonores dans le fluide est du
principalement par une succession de compressions et de détentes des tranches
de fluide voisines.
210Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On considère une tranche de fluide d’épaisseur dx située aux abscisses x et dx .
Soient les pressions )x(P et )dxx(P agissant sur les plans x et dx respectivement
qui génèrent le mouvement de la tranche comme le montre la figure 4.8.
Soient )x(U et )dxx(U les déplacements à l’instant t des plans d’abscisse x et
dxx respectivement.
Figure 4.8: Propagation d’onde acoustique dans un fluide
En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
)x(F)dxx(Ft
Udm
2
2
Où )x(F et )dxx(F sont des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x
et dxx respectivement.
La résultante des forces s’écrit :
211Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)x(P)dxx(PS)x(F)dxx(F
L’équation du mouvement s’écrit alors :
)x(P)dxx(PSt
Udm
2
2
Avec :
dxx
pdp)x(P)dxx(P
D’où :
dxx
pS
t
Udm
2
2
On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :
x
U1p
Où est appelé le coefficient de compressibilité.
En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
dx)x
U1(
xS
t
USdx
2
2
D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit:
2
22
2
2
2
2
2
2
x
UV
t
U
x
U1
t
U
Avec
1V est appelée la célérité de l’onde sonore dans le fluide.
La solution de l’équation de l’onde est de forme sinusoïdale :
)xV
tcos(A)t,x(p
On définit l’impédance acoustique en un point, le rapport de l’amplitude
complexe de la pression )t,x(p à l’amplitude complexe de la vitesse de
particule )t,x(U comme suit :
)t,x(U
)t,x(p)t,x(Z
On définit le produit V0 par l’impédance caractéristique du fluide.
Réflexion et transmission :
212Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Lors du passage de l’onde acoustique incidente du fluide 1 vers le fluide 2, il
existe à l’interface de séparation, une onde transmise vers le milieu 2 dans le
sens des x>0 et une onde réfléchie dans le sens des x<0 vers le milieu 1.
Figure 5.8: Interface fluide-fluide
Les types d’ondes acoustiques se présentent comme suit :
transmiseondeep)t,x(p
réfléchieondeep)t,x(p
incidenteondeep)t,x(p
)xkt(jt0t
)xkt(jr0r
)xkt(ji0i
1
1
1
Les relations de continuités à l’interface sont :
)t,0(U)t,0(U
)t,0(p)t,0(p
21
21
On en déduit les équations de continuités à l’interface en fonctions des
caractéristiques :
t2
ri1
tri
pZ
1)pp(
Z
1ppp
213Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1:
Une conduite cylindrique de section S et d’axe horizontal Ox contient un gaz au repos,
de pression 0P , de masse volumique 0 et de coefficient de compressibilité s . Une
onde acoustique plane se propageant dans ce fluide. On considère )t,x(s le
déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse x au repos sous l’action de la
pression )t,x(P et )t,dxx(s le déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse
dxx au repos sous l’action de la pression )t,dxx(P comme le montre la figure 4.8.
On négligera les échanges thermiques de chaleur.
Figure 6.8 : Mouvement acoustique dans la tranche de fluide
Pour des petites oscillations :
214Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Etablir l’équation de propagation relative au déplacement )t,x(s à partir de
l’équation fondamentale de la dynamique.
Calculer la célérité V de l’onde acoustique dans l’air caractérisé par :
16s Pa10.15.7 et 3m.kg29.1
Introduire les grandeurs suivantes :
V
xtq 1 et
V
xtq 2 .
Déterminer la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
En déduire la solution de l’onde progressive sinusoïdale.
Solutions :
En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
)x(F)dxx(Ft
Udm
2
2
Où )x(F et )dxx(F sont des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x
et dxx respectivement, comme le montre la figure 5.8.
Les forces appliquées aux plans s’écrivent :
)x(P)dxx(PS)x(F)dxx(F
L’équation du mouvement s’écrit alors :
)x(P)dxx(PSt
Udm
2
2
Avec :
dxx
pdp)x(P)dxx(P
D’où :
dxx
pS
t
Udm
2
2
215Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.8 : Mouvement de la tranche de fluide
On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :
x
U1p
Où est appelé le coefficient de compressibilité.
En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
dx)x
U1(
xS
t
USdx
2
2
D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit sous la
forme :
2
22
2
2
2
2
2
2
x
UV
t
U
x
U1
t
U
La célérité de l’onde sonore dans le fluide s’écrit :
216Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
1V
Application numérique :
s/m303729.11510.7
11V
6
La solution générale de l’onde acoustique est de la forme :
)V
xt(G)
V
xt(F)x,t(U
On définit les fonctions comme suit :
réfléchieOnde)V
xt(G
incidenteOnde)V
xt(F
L’onde progressive sinusoïdale s’écrit alors :
)kxtcos(A)t,x(U
Problème 2:
Une membrane d’un cylindre de section S émis une onde acoustique de pression p se
propageant dans un fluide de masse volumique 0 suivant l’axe Ox . A l’équilibre la
pression du fluide est égale à 0P . On définit k le module du vecteur d’onde.
Ecrire l’équation de propagation de la pression acoustique )t,x(p
En déduire en notation complexe, l’onde de pression progressive sinusoïdale.
On définit la pression acoustique au plan x comme suit :
x
)t,x(U1)t,x(p
Où est le coefficient de compressibilité du fluide.
En déduire l’allongement )t,x(U .
Déterminer l’impédance acoustique au plan x définit comme suit :
)t,x(U
)t,x(p)t,x(Z
En déduire l’impédance acoustique caractéristique du fluide cZ .
Solutions :
217Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation de propagation de l’onde est égale à :
2
22
2
2
2
2
2
2
x
pV
t
p
x
p1
t
p
La solution de l’onde progressive sinusoïdale s’écrit en notation complexe sous
la forme :
)x
V
1t(j
0 ep)t,x(p
L’allongement )x(U est égal :
dx)t,x(p)t,x(U
En remplaçant )t,x(p par sa valeur, on obtient:
)x
V
1t(j
0
0)x
V
1t(j
0 eVj
p)t,x(Udxep)t,x(U
L’impédance acoustique au plan x s’écrit :
)xV
1t(j
0
0 eV
p
t
)t,x(U)t,x(Uavec
)t,x(U
)t,x(p)t,x(Z
D’où :
V)t,x(Z 0
L’impédance caractéristique est égale à :
VZ 0c
Problème 3:
Soit une onde acoustique progressive sinusoïdale de forme )kxtcos(U)t,x(U 0 se
déplaçant dans un fluide de masse volumique 0 de coefficient de compressibilité .
Un petit élément du fluide de volume v0, se comprime et se dilate sous l’action de la
surpression p comme le montre la figure 7.8
218Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.8: Flux d’énergie d’onde acoustique
Déterminer la densité d’énergie cinétique et la densité d’énergie potentielle
En déduire la densité d’énergie totale moyenne en régime sinusoïdal.
Calculer l’intensité de l’onde acoustique par unité de temps qui traverse une
surface perpendiculaire à la direction de propagation.
On définit le niveau sonore en décibel comme suit :
0db
I
Ilog10N
Déterminer l’intensité, l’amplitude de la pression p0 et la vitesse de la particule.
Application numérique :
Pour les niveaux 0 dB et 130 dB, V= 330m/s,
I0=10-2W/m2, f=1kHZ et SI411Z c . Calculer l’intensité I, l’amplitude p0.
Solutions :
Soit un petit élément de volume v0. Sous l’action de la surpression p, cet
élément se comprime ou se dilate et se déplace par )x,t(u :
L’énergie cinétique s’écrit :
200c uv
2
1E
On déduit la densité d’énergie cinétique :
20c u
2
1
219Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’énergie potentielle s’écrit:
0
0p
v
vvpavecpdvE
On en déduit :
2
pvEpdp
vE
20
p
p
0
0p
Par conséquent, la densité d’énergie potentielle s’écrit alors :
2
p 2
p
La densité d’énergie totale est égale :
20
2
TcpT u2
1
2
p
En régime sinusoïdal la densité d’énergie totale s’écrit sous la forme :
)kxt(cospV
1 202
0
T
D’ou la densité d’énergie totale moyenne est égale à:
202
0
T
T
0
202
0
T pV2
1dt)kxt(cosp
TV
1
L’intensité de l’onde :
On calcule tout d’abord l’énergie qui traverse pendant un intervalle de temps
dt une surface S perpendiculaire à la direction de propagation
SVdt
dEPSVdtdE TT
Avec P est la puissance traversant cette surface.
D’où l’intensité de l’onde acoustique I s’écrit alors :
)kxt(cosPV
1)t(I
S
P)t(I 22
0
0
On en déduit l’intensité moyenne de l’onde acoustique comme suit :
20
0
T
0
220
0
pV2
1Idt)kxt(cosp
TV
1)t(I
On définit l’impédance caractéristique : VZ 0c
220Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors :
20
c
pZ2
1I
On déduit à partir du niveau sonore
L’intensité:
dbN1.00 10II
L’amplitude de la pression :
IZ2p c0
La vitesse de la particule :
C
0
Z
pU
La position :
f2
UU
Application numérique :
dBN )m/W(I 2 )Pa(p0 )s/m(U )m(u
0 dB 10-12 2.9 10-5 7 10-8 1.1 10-11
130 dB 10 91 0.22 3.5 10-5
221Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 4:
On considère un tuyau de section circulaire et d’axe Ox rempli d’un fluide, voir la
figure 6.8.
Figure 8.8 : Tube de rayon r0 et de section S0
Au repos le fluide a une masse volumique 0 et une pression inférieure
0P identique à la pression extérieure qui est constante. A l’équilibre, on suppose que le
champ des vitesses est nul et que la section du noyau est uniforme et notée 0S .
On s’intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites amplitudes
suivant l’axe Ox dans le cadre linéaire.
On donne les relations suivantes :
)t,x()t,x(
)t,x(pP)t,x(P
u)t,x(v)t,x(v
10
0
0
Ou 0u
est le vecteur unitaire selon la direction Ox . )t,x(v est appelé la vitesse
acoustique, et )t,x(p est la surpression par rapport à 0P . Le fluide étant supposé
parfait. On considère que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tube et que
le coefficient de compressibilité s du fluide considéré constant donnée par la relation:
ss )P
(1
On se place dans un tube rigide où la section du tube ne dépend pas de la surpression.
222Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Ecrire l’équation de propagation d’Euler et en déduire une équation
différentielle entre la vitesse acoustique )t,x(v et la surpression )t,x(p .
Ecrire l’équation générale de conservation de la masse.
En déduire l’équation différentielle suivante :
x
)t,x(u
t
)t,x(0
Etablir l’équation de propagation de la surpression et de la vitesse )t,x(u . En
déduire l’expression de la célérité C de l’onde sonore en fonction de et de 0
Application numérique :
Calculer C de l’eau de mer pour : 110 Pa210.5 et de 30 Kgm1050
REFERENCES
[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-
7298-8751-2, 1987.
[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,
Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.
[3] H. LUMBROS0, « Ondes Mécaniques et Sonores », Edition
DUNOD, ISBN 2-10-00468-8, 2000
[4] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la
technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.
[5] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition
MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.
[6] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition
CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.
[7] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition
PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES
ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.
[8] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de
propagation », Edition DUNOD, 1972.
[9] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes
vibratoires », Edition DUNOD, 1973.
[10] L. LANDEAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition
MIR MOSCOU, 1966.
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des
filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs
d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes
mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et
techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de
vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Mr Fouad BOUKLI HACENE est titulaire d’un doctorat en
Science Génie mécanique obtenu à l’université de sciences et
technologie Mohamed BOUDIAF USTO d’Oran. Il est maitre de
conférences au département de physique de la faculté des
sciences à l’université Hassiba BENBOUALI de Chlef. Il est
auteur de plusieurs travaux scientifiques